ACADEMIA

ACADEMIA 51 2026COLEGIO JUAN PABLO ÁLGEBRAACADEMIA VONEX ÁLGEBRA10. Determine la edad de Saúl si se sabe quedentro de 11 años será la mitad del cuadradode la edad que tenía hace 13 años.A) 20 años B) 21 añosC) 7 años D) 9 añosE) 16 años11. Determine las dimensiones de una fincarectangular de 750 m2, donde se hanutilizado 110 m de cerca para rodear toda lafinca.A) largo: 30 m y ancho: 25 mB) largo: 25 m y ancho: 20 mC) largo: 40 m y ancho: 15 mD) largo: 40 m y ancho: 20 mE) largo: 20 m y ancho: 20 m12. Una escalera está inclinada sobre una paredtal como se muestra en el gráfico.Calcule lalongitud total de la escalera.A) 3 m B) 4,5 m C) 6 mD) 5 m E) 8 m13. Dos automóviles dejan atrás una intersecciónal mismo tiempo: uno se dirige hacia el nortey el otro se dirige hacia el oeste. Tiempo mástarde, están separados exactamente 100 km.El automóvil que va hacia el oeste ha viajado20 km más que el vehículo que se dirige haciael norte. ¿Qué distancia ha viajado cadaautomóvil?A) 60 km el que va hacia el norte y 80 km elque va hacia el oeste.B) 80 km el que va hacia el norte y 60 km elque va hacia el oeste.C) 10 km el que va hacia el norte y 60 km elque va hacia el oeste.D) 25 km el que va hacia el norte y 80 km elque va hacia el oeste.E) 15 km el que va hacia el norte y 60 km elque va hacia el oeste.14. Un comerciante obtiene una ganancia deS/5,00 por cada casaca de dama que vende yS/8,00 por cada casaca de varón. Si el númerode casacas de damas vendidas es 25% másque el número de casacas de varones quevendió y se obtuvo una ganancia total deS/11 400, ¿cuántas casacas de damas vendió?A) 800 B) 1000 C) 1200D) 900 E) 50015. Lucía gasta 200 soles en la compra decuadernos de la misma marca y tipo. Sihubiera comprado cinco cuadernos menoscon el mismo monto, cada cuaderno hubieracostado 2 soles más. ¿Cuánto le costó cadacuaderno a Lucía?A) 4 soles B) 8 solesC) 10 soles D) 5 solesE) 9 soles

52 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO ÁLGEBRAACADEMIA VONEX 28 ÁLGEBRAHOMEWORK1. Halle “x” en:A) 2/3 B) 3/2 C) 5/2D) 2/5 E) 3/22. Luego de resolver:E indique la suma de cifras del valor de “x”.A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 153. Muy pronto se enfrentarán las selecciones dePerú y Chile. Diversos expertos coinciden enque el marcador final será de x1 a x2 respectivamente; donde (coincidentemente)dichos valores son las raíces del polinomiop(x) = x2 – mx + 5. Si se pronostica quecelebraremos más de un gol de nuestraselección peruana y en total se anotarán 6goles, ¿Quién ganará el partido y cuál será elresultado?A) Perú 4, Chile 2B) Perú 5, Chile 1C) Empate 3 a 3D) Chile 4, Perú 2E) Empate 1 a 14. Si α y β son las raíces de p(x) =x2 +x+ 3 yrepresenta la edad que tenía Javier hace 15 años, ¿dentro de cuánto tiempo Javier cumplirá 40 años?A) 25 años B) 23 añosC) 20 años D) 19 añosE) 30 años5. Si la discriminante de la ecuación p(x) = x2+mx – 12 = 0 es 49, donde el mayor elementoentero de m representa el número de hijosde Gabriel con Fiorella en el año 2018. Si ellosvivieron un matrimonio con buenos y malosmomentos hasta el momento y decidierontener un hijo más. Su último hijo nació enmayo del 2020 ¿Cuántos hijos tienen en laactualidad?A) 1 B) 2 C) 4D) 3 E) 56. Al primer examen de un concurso sepresentaron x postulantes y fueron eliminados (3x – 126). En el segundo examen fueroneliminados la mitad de los que quedaban, enel tercer examen eliminados (3 – x)postulantes. ¿Cuántos postulantesquedaron?A) 60 – 2x B) 120 – x C) 30D) 60 E) 507. María compró cierta cantidad deventiladores. El costo de cada uno es igual alnúmero de ventiladores que compróaumentado en diez, pero si hubiesecomprado el doble de número deventiladores hubiera pagado por cada unomenos de la quinta parte del número deventiladores que compró y hubiese gastado625 soles más, ¿Cuántos ventiladorescompró?A) 54 B) 25 C) 45D) 52 E) 568. Luchito vende un libro de álgebra en 24 soles,perdieron un porcentaje sobre el costo dellibro que es igual al número de soles que le

ACADEMIA 53 2026COLEGIO JUAN PABLO ÁLGEBRAACADEMIA VONEX ÁLGEBRAcostó el libro. ¿Cuánto costó el libro de Luchito, si la pérdida fue mínima?A) 20 soles B) 50 solesC) 16 soles D) 40 solesE) 30 soles9. De un total de 78 estudiantes, 41 llevan elcurso de lenguaje y 22 llevan el curso dematemática. Si 9 de ellos llevan amboscursos, ¿cuántos no llevan ninguno?A) 32 B) 24 C) 41D) 42 E) 3610. Un alambre de 48 m se corta en tres partes,la segunda pieza mide tres veces la longitudde la primera y la tercera mide cuatro vecesla longitud de la segunda. ¿Cuánto mide latercera parte?A) 38 m B) 32 m C) 42 mD) 36 m E) 24 mCLAVES1. A 2. D 3. B 4. B 5. B6. D 7. C 8. C 9. B 10. D

54 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO ÁLGEBRA

3«Cada problema que resolví, se volvió una regla que sirvió más tarde para resolver otros problemas». Renato DescartesGEOMETRÍACONTENIDO● Triángulos............................................................. 57● Congruencia de triángulos................................... 62● Cuadriláteros........................................................ 68● Circunferencia ...................................................... 73● Puntos notables.................................................... 78● Proporcionalidad y semejanza ............................ 83

ACADEMIA 57 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 23 GEOMETRÍASEMANA 1TEMA: TRIÁNGULOSBY: ULISES CAMPOS1. La figura muestra una polea para transportarcemento, está formado por una columna demadera, dos listones DF, BE y un cable AC quesujeta la estructura. Si AB = AC = CD = DE,halle mDEC.A) 26,5o B) 24,5o C) 22,5oD) 25,5o E) 28,5o2. En la figura se muestra dos tuberías de aguaen forma paralela. Se coloca un hidrante enel punto P por ser una zona de mayor presión.Si P equidista de A y B, halle a.A) 20o B) 10o C) 15oD) 18o E) 25o3. Un granjero desea cercar un huerto de formatriangular, donde la longitud de uno de loslados es el doble de la longitud de uno de losotros dos lados. Si los otros lados miden 5 my 6 m respectivamente, halle el perímetro delhuerto.A) 18 m B) 21 m C) 25 mD) 17 m E)244. La figura muestra un terreno ABDC divididoen cuatro parcelas tal que los ladosrepresentados por AC, BC y BD tienen lamisma longitud. Halle la medida del ánguloformado por los lados AD y CD del terreno.A) 20o B) 30o C) 37oD) 45o E) 40o5. En la figura se muestran las avenidasrepresentadas por AD, AB, DC, Tarapacá yUnión tal que AB = BC y m∢ADC = 81o. Hallela medida del ángulo formado por lasavenidas Tarapacá y Unión.A) 10o B) 9o C) 12oD) 18o E) 7o01 Triángulos

58 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA6. En la figura se muestra sobre un lado de laperezosa el triángulo ABC, tal que AM=AN,CQ=CP y m ∢ ABC > 90o. Halle el máximo valorentero de x.A) 112o B) 121o C) 115oD) 135o E) 142o7. En la figura, L1 ⃡ // L2 ⃡ representan dosavenidas paralelas, BQ, PR y AP tuberías. SiPQ = QR = 3 m y AB = BP = 5 m, halle lamáxima longitud entera de tubería empleadaen el tramo APR.A) 9 m B) 10 m C) 13 mD) 15 m E) 16 m8. En la figura, ABDC es un terreno dividido porel lindero BC en dos partes y para delimitarlose consideró que mBDC = 3mBAC. Halle lamedida del ángulo entre los linderos AB y AC.A) 36o B) 38o C) 40oD) 45o E) 30o9. Un carpintero metálico debe fabricar ciertacantidad de triángulos escalenos, nocongruentes entre sí, utilizando tresalambres de modo que dos de ellos siempretendrán longitudes de 5 y 7 metros. Si serequiere que el tercer lado de cada uno deesos triángulos fabricados tenga por longitudun número entero impar, halle la cantidad detriángulos que fabricará el carpintero.A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 210. En la figura se quiere ubicar un objetosumergido en E, en un determinado instanteun barco pasa por B y logra triangular elobjetivo ubicado en la zona ABC, cuando pasapor D coplanar con los puntos A, B y C emiteel sonar con dirección DE. Si DE es mediatrizde AC y mBAC - mACB = 40o, halle x.A) 80oB) 75oC) 72oD) 70oE) 60o11. En la figura se muestra sobre un lado de laperezosa el triángulo ABC, tal que AM=AN,CQ=CP y m∢ABC > 90o. Halle el máximo valorentero de x.A) 112o B) 121o C) 115oD) 135o E) 142o

ACADEMIA 59 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 25 GEOMETRÍA12. En la figura, BC = CD = 6 m y AB = 3 m. Hallarel máximo valor entero que puede tomar AD.A) 5 m B) 6 m C) 7 mD) 8 m E) 9 m13. Según el gráfico AB = BE y AE = EC, calcule x.A) 40° B) 48° C) 52°D) 45° E) 56°14. Si: +  = 2, AD 3 y AC 8 = = . Calcule BC.A) 3 B) 5 C) 6D) 4 E) 1115. En el gráfico, AB= AD= DC. Calcule  (engrados)A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 15HOMEWORK1. La figura representa un terreno en donde loslinderos representados por AD y DC tienenla misma longitud y forman un ángulo cuyamedida es 60o. Si AB = 5 m y BC = 12 m, hallela máxima longitud entera de cerca que sedebe comprar para asegurar que se puedacercar todo el terreno. A) 47 m B) 49 m C) 51 mD) 50 m E) 45m

60 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA2. En la figura, se muestra un dron que está auna altura BH = 90 m, desde el punto A y C sele observa con ángulos de elevación de 80o y20o, siendo A, H, Q y C colineales. Lleva unacámara fotográfica que hace capturas deimagen desde el punto B, haciendo el barridoHQ. Si BQ es bisectriz en el triángulo ABC,halle la medida del ángulo de elevación de unvisor ubicado en Q.A) 50oB) 60oC) 55oD) 70oE) 65o3. Según el gráfico calcule x, si b + c =6x.A) 30oB) 36oC) 45oD) 50oE) 40o4. En el gráfico AB = AP, CB = CQ,  +  = 130o yel ángulo ABC mide 120o. Calcule x.A) 35o B) 36o C) 48oD) 24o E) 20o5. Calcule x.A) 105oB) 110oC) 120oD) 125oE) 130o6. Si AD  AB y AB = BC = CD. Calcule x.A) 10oB) 20oC) 30oD) 50oE) 40o7. En el gráfico, calcule + + + A) 140oB) 160oC) 170oD) 130oE) 180oxABCQP40°x 100° 

ACADEMIA 61 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA8. Según el gráfico, calcule: x.A) 40o B) 15o C) 10oD) 20o E) 30o9. Dado un triángulo ABC, se ubican los puntosP y Q, en BC y AC respectivamente, tal queAB = BQ y PC = QC. Si los ángulos ABQ y PCQson complementarios, calcule mBQP.A) 30o B) 45o C) 60oD) 40o E) 35o10. En el gráfico: AG = AF y EC = CD. Calcule elvalor de .A) 45oB) 54oC) 60oD) 72oE) 50oCLAVES1. B 2. B 3. B 4. A 5. D6. E 7. B 8. A 9. B 10. C

62 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 25 GEOMETRÍATEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS BY: ULISES CAMPOS 1. Debido a los constantes huracanes, un árbolde palmera es atado por una cuerda tensadaAE a la parte superior de un poste y este esreforzado por una varilla metálica para sumayor estabilidad, como se muestra en lafigura. Si la longitud del poste es 2 m, AE = ECy BC = 1 m, halle AB.A) 5 mB) 4 mC) 3,5 mD) 2,5 mE) 3 m2. Dos grúas idénticas tienen que colocar unaplancha metálica representada por eltriángulo de BDE y fijarla en el punto D.Cuando el brazo AB la grúa se eleva unángulo θ, el lado BE queda alineado con elbrazo CE . Si m CED  = m BAC  y AD = DE,halle θ.A) 30o B) 45o C) 53oD) 60o E) 75o3. En la figura se observan dos escaleras de igualmedida apoyadas sobre las paredesrepresentadas por AB y BC si DE = EC,m∢ADE=m∢ACB si m∢ABE=40 calcule lam∢BEC.A) 60 B) 70 C) 80D) 66 E) 564. En la figura, en un parque Ana, Boris, Carlos yDanilo se encuentran ubicados en A, B, C y Drespectivamente. Si Boris dista de Ana yCarlos 9 m y 7 m respectivamente, halle ladistancia entre Ana y Danilo.A) 8 m B) 10 m C) 13 mD) 16 m E) 15 m02 Congruencia de triángulos

ACADEMIA 63 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA5. Un yate está ubicado en el punto P de una islay necesita llegar al punto C, viajando por laruta PB siendo los ángulos APB y BPCcongruentes (A, B y C son colineales). Si ladistancia de P a la orilla es 6 millas y ladistancia de B a PC es 3 millas, halle CP.A) 10 millas B) 12 millasC) 11 millas D) 15 millasE) 16 millas6. Un poste es sostenido por los cablescongruentes y perpendiculares AB y BC . Si elposte está a 4 m del anclaje A y 7 m de lapared, calcule la altura de la pared.A) 2 m B) 3 m C) 4 mD) 5 m E) 3,5m7. Con frecuencia los topógrafos se enfrentan aobstáculos, como los árboles, cuando midenlos límites de un terreno. Una técnica paraobtener una medición precisa es el llamadométodo de triangulación, el cual consiste encolocar puntos representados por A, B y Cdeterminándose el triángulo ABC alrededor del obstáculo y medir cualquiera de sus ángulos como se muestra la figura. Si AH = 12 m y HC = 4 m, halle m∠ABC. A) 80o B) 90o C) 85oD) 84o E) 95o8. En la figura se muestra un volquete cuya tolva se ha elevado por medio de un sistemahidráulico, en ese instante el cilindrohidráulico representado por EF tiene unalongitud de 1,5 m y CA = 2 m. Si B, E, A soncolineales y m∠BCE = m∠ECA, halle lamedida del ángulo entre la base de la tolva yBA en dicho instante.A) 16o B) 15o C) 10oD) 18o E) 14o9. Un policía ubicado en el punto C se encuentraen el interior de su auto vigilando una calletal como se muestra en la figura y su campode visión en la vereda que tiene en frente vadesde el punto A al punto B. Si las distanciasde C a PQ y de B a QM son iguales a 4 m,calcule la longitud de vereda que puedeobservar el policía.

64 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 27 GEOMETRÍAA) 10 m B) 14 m C) 12 mD) 15 m E) 11 m10. Para salvar un barranco, se quiere construirel puente representado por AC . Un ingenieroubicado en D observa que la longitud delpuente es igual a la distancia del punto D alpunto B del fondo. Si desde las orillas A y C seve el fondo bajo los ángulos cuyas medidasson 3x y 4x, respectivamente, hale x si lam∢DBC=2x.A) 20o B) 18o C) 36oD) 40o E) 42o11. En el gráfico, las regiones sombreadas soncongruentes, calcule x.A) 150o B) 135o C) 120oD) 127o E) 143o12. En el gráfico, AB = BC y BD = BE. Calcule x.A) 37o B) 40o C) 50oD) 30o E) 60o13. Del gráfico calcular el valor de “x”, si BM=MCy PC=AB+AP.A) 10 B) 20 C) 50D) 40 E) 6514. En la figura AC=10 y BD=4, calcular “DC”.A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

ACADEMIA 65 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 28 GEOMETRÍA15. Si AB = ND, AN = CD y BM = MC = 2, calcularMN.A) 2 B) 6 C) 3D) 2 2 E) 2 3HOMEWORK1. Si los triángulos que están sombreados soncongruentes, calcular el valor de x.A) 26,5B) 30C) 15D) 22,5E) 362. Para evitar la caída de un poste se colocan lossoportes AB y BC, como se muestra en lafigura. Si A, D y C son colineales, AD = DC = CBy la medida del ángulo entre el soporte AB yel poste es 30o, halle la medida del ánguloentre el poste y el soporte BC.A) 30o B) 53o C) 37oD) 60o E) 45o3. En la figura, una tabla está sostenida por uncaballete, para que uno de sus extremosdescanse en el piso y el otro contra un muro.Si A, M y C son colineales, AM = MC, 2AH =6HB = 9 m y BC = 5 m, halle la medida delángulo entre la tabla y BM.A) 45o B) 53o C) 37oD) 60o E) 30o4. Para sostener los árboles se utilizan cuerdastensadas, como se muestra la figura. Si F, B y Cson colineales, AD = DC = 2ED y FB = 6 3m,halle a que distancia el punto de sujeción Aestá respecto al suelo.

66 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 29 GEOMETRÍAA) 6 B) 4 3 C) 9D) 3 3 E) 6 35. En la figura, se disponen tubos metálicos quesirven de soporte al contenedor del carrito decompras. Se ubica el soporte DB tal queAD=DB, DC=2AB y m∢DBC=90o. Halle lamedida del ángulo que deben formar lostubos metálicos CB y AC .A) 18o B) 12o C) 15oD) 16o E) 13o6. En la figura, los triángulos ABE y DCA soncongruentes. Si AE = 3 cm, BE = 7 cm, elángulo ADC es obtuso y DC = x cm, halle elmáximo valor entero de x.A) 6 B) 9 C) 11D) 13 E) 127. En la figura, BC / /DE , AC=DE, AE=10m yPC=3 m. Calcule BP.A) 9 m B) 10 m C) 6 mD) 7 m E) 8 m8. En la figura si L es mediatriz de AC AM = PC y QM = PQ, calcule el valor de x.A CBQPMx°40°LA) 45 B) 60 C) 30D) 37 E) 539. Si AE=EF, DE 2 2 = y CD es bisectriz del ángulo ACB, calcular “AC”.A) 4 B) 6 C) 8D) 8 2 E) 12

ACADEMIA 67 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 30 GEOMETRÍA10. En la figura DC=5 y BK=3. Calcular “AC”.A) 8 B) 10 C) 12D) 13 E) 11CLAVES1. B 2. D 3. B 4. A 5. A6. A 7. D 8. B 9. C 10. C

68 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 22 GEOMETRÍATEMA: CUADRILÁTEROSBY: ULISES CAMPOS1. Se desea construir una ventana con marcosde madera en forma de trapecio rectángulocomo se muestra en la figura, P es puntomedio del lado BC , PQ // DC , PQ = 95 cm,DC = 50 cm y BC = 120 cm. Halle el perímetrodel marco de la ventana.A) 3,8 mB) 4 mC) 4,6 mD) 5 mE) 6 m2. Sobre una de las losetas cuadradas de la salade una casa se observan dos hormigasrealizando el recorrido tal como se muestraen el gráfico. Calcule la medida del ángulodeterminado por los recorridos. ConsidereAO=CD (O: centro de la loseta).A) 16o B) 14o C) 37o/2D) 53o/2 E) 15o3. La figura muestra la instalación de un panelde una casa prefabricada, dicho panel tieneforma cuadrada y está sostenida por unacuerda tensada LQ desde el punto Q. Si ladistancia entre P y Q es 3 m, ¿a qué altura delpiso se encuentra el centro del panel? (K,L,Py Q, son puntos coplanares)A) 1,8 m B) 1,5 m C) 1,2 mD) 1,6 m E) 2m4. En la figura 1 se muestra el instante en quedos globos aerostáticos están sujetados a dosestacas ubicadas en los puntos A y B concables de igual longitud. En otro instante, lafigura 2 muestra los cables inclinadosparalelamente debido a los fuertes vientos,por lo cual fueron reforzados con los cablesTQ y AE unidos en el punto E. Halle ladistancia entre el punto de anclaje T y elpunto de unión E. (A, P, Q, B y T son puntoscoplanares).A) 3 m B) 4 m C) 5 mD) 3,5 m E) 4,5 m03 Cuadriláteros

ACADEMIA 69 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 23 GEOMETRÍA5. Se muestra una pieza de madera donde ABCDes un trapecio isósceles (BC //AD). Si uncarpintero hace un corte desde del punto C alpunto medio del borde AD tal que la distanciadel punto A hacia la línea recta del corte es lamitad de la longitud del borde AB , halle lamedida del ángulo entre dicho corte y CD.A) 15oB) 30oC) 37oD) 45oE) 53o6. Don Esteban tiene que cercar su terreno deforma trapecial ABCD (BC // AD ) comomuestra la figura. Si por el tramo BC lecobran S/. 420, AB=30m, BC=20m y CD=40m,halle el precio que le cobrarán por cercartodo el terreno.A) S/. 3 000 B) S/. 3 200C) S/. 3 300 D) S/. 3 330E) S/. 3 3607. La figura muestra una plancha rectangular detriplay ABCD, donde OE y OD son las líneasde corte que se realizan para obtener unaescuadra triangular EOD. Si O es el punto deintersección de las diagonales de la plancha,AE = OE y el largo del triplay es 90 cm, halle elperímetro de la escuadra.A) 150 cmB) 160cmC) 144 cmD) 30(3 + 3 ) cmE) 60(1 + 2 ) cm8. Según el gráfico AB // CD, para asegurar laporción de madera ABCD a la pared, se quiereunir el extremo superior de la pared con elpunto medio de BC .Determine la longitud de la cuerda que senecesita si AB=30 y CD = 10.A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 189. En la figura se muestra una estructura metalica, tal que ABCD es un trapecio, BC // AD yla suma de las longitudes de las barras de lasbases con las barras diagonales es 80 m. Parareforzar la estructura, se colocaron las varillas MP, NP y MN. Si M, N y P son puntos mediosde los lados AB,CD y AD , halle la suma de laslongitudes de las varillas de refuerzo.A) 38 mB) 42 mC) 40 mD) 44 mE) 41m10. Manuel se compra un terreno de formatrapecial como muestra el gráfico. Si BC / /AD, calcule el perímetro de dicho terreno.A) 300 mB) 360 mC) 380 mD) 420 mE) 400 m

70 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA11. Si ABCD es un paralelogramo, calcular PQ.A) 1B) 1,5C) 2D) 2,5E) 312. En el gráfico, ABCD es un romboide. Si PQ=32,calcule AE.A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 1613. En la figura, ABCD es un trapecio y N es puntomedio de HM y AM = MD. Si BQ =6 cm,QC = 2 cm, AD = 12 cm, halle NQ.A) 5 cm B) 4 cm C) 6 cmD) 5,5 cm E) 4,5 cm14. En la figura ABCD es un rombo y AB = 2 (CH)calcular valor de αA) 12B) 15C) 18D) 20E) 2515. En la figura, halle el valor de Ax@ si ABCD esun cuadrado y OPQRes un rectángulo.A) 120B) 105C) 112,5D) 115E) 118,5

ACADEMIA 71 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 25 GEOMETRÍAHOMEWORK1. La figura muestra la vista aérea del diseño deuna piscina que tiene forma cuadrada. En elcentro O se ha colocado el sumidero y por latubería OP discurre el agua hacia la troncalMN de desagüe. Si los vértices B y D distan12m y 4m de la troncal y PA=2m, halle lalongitud de la tubería de desagüe OP.A) 10 m B) 12 m C) 14 mD) 8 m E) 15 m2. Alberto a partir de una plancha de triplaycortó una figura con la forma de un rombo,pero se distrajo y realizó el corte por HO. SiOH = 12 cm y AC = 40 cm, calcule BH.(O: centro de ABCD).A) 6 cm B) 8 cm C) 9 cmD) 10 cm E) 12 cm3. Se tiene una compuerta diseñada para granpresión de agua, con un material de acero yde forma de trapecio isósceles. Halle lam ADC ∠A) 75° B) 45° C) 60°D) 30° E) 37°4. En la figura se muestra una ventana en formatrapecial BC / /AD si AD = 2(BC) si lam∢BED = 90o y m∢EDC = 50 halle la m∢BEC.A) 25 B) 50 C) 40D) 60 E) 535. La figura muestra la vista superior de doscorrales de formas triangulares CDB y ABDcon frontera BD , destinadas para la crianzade cuyes, donde en C y B se ubican losbebederos “1” y “2”. Si la distancia delbebedero “1” a dicha frontera es 4 m,CD / /BA y AB = 3CD, halle la distancia entrelos bebederos.A) 4 2m B) 5m C) 8mD) 4 3m E) 6m6. La figura muestra un terreno que tiene laforma de un romboide ABCD, el cual esdividido en tres parcelas para sembrar

72 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍAvariedades de frejol. Si el lindero BP biseca al ∢ABC y m∢PCD = 2m∢PBC, halle la longitud del lindero PC.A) 5 km B) 4 km C) 6 kmD) 7 km E) 8 km7. Si ABCD es un paralelogramo dondeCM = MD, BE = 5 y EM = 3 calcule AE.A) 10 B) 16 C) 12D) 11 E) 158. Calcular la longitud del segmento que une lospuntos medios de las diagonales, si AC = 16.A) 8B) 16C) 12D) 10E) 159. En el rombo ABCD, calcular \"x\".A) 2 B) 2,5 C) 3D) 3,5 E) 410. En la figura, los puntos A, B, C y D representanla ubicación de las viviendas de cuatro amigosy en el punto L se ubica la vivienda de laamiga común a todos. Los puntos M, N, P, Qy R son paraderos referenciales en la avenidarepresentada por MR , AM=300 m, DR=400m, el paradero N está a igual distancia de losque viven en A y B, Q está a igual distancia delos amigos que viven en C y D, Si la viviendade la amiga está a igual distancia de los queviven en B y C, a que distancia de la avenidavive la única amiga?A) 380 mB) 350 mC) 320 mD) 360 mE) 300 mCLAVES1. A 2. C 3. D 4. C 5. C6. D 7. D 8. A 9. D 10. BABDC 2αα

ACADEMIA 73 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 24 GEOMETRÍATEMA: CIRCUNFERENCIAby: Moisés Rayme Delgado1. En el grafico P y Q son puntos de tangencia.Si = 200° y = 100°. Calcule “x”.A) 30° B) 50° C) 65°D) 45° E) 75°2. En el gráfico, B y D son puntos de tangencia yABCD es un paralelogramo. Calcule “x”.A) 20° B) 25° C) 30D) 35° E) 40°3. La entrada de una carpa semicircular dediámetro está sostenido por una cuerdatensada . Si DE = OB = OA y = 40°,Calcular la medida del ángulo CEOA) 35° B) 20° C) 25°D) 30° E) 40°4. En el gráfico, BC = 16, CD = 21 y OD = 10.Calcule DEA) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 85. En el gráfico, ABCD es un rombo y =74°Calcule .A) 1350B) 1200C) 2220D) 1480E) 13806. Dos poleas de centros A y B cuyos radiosmiden 7 cm y 5 cm respectivamente sonsujetadas por una cuerda tangente en lospuntos P y Q como se muestra en la figura. Si= 53°, halle la distancia entre los centrosde las poleas.A) 16 cm B) 18 cm C) 20cmD) 25 cm E) 15 cmmAMB mCNDABEC mCDmABmAEmPT04 Circunferencia

74 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA7. La figura muestra un boceto para laconstrucción de una zona segura en unhelipuerto, donde A, B, P, Q, R, N y M sonpuntos de tangencia; y los puntos P, Q y Rdeterminan un triángulo equilátero. Si x es lamedida del ángulo en la zona de incursiónsegura de un helicóptero, halle “x”.A) 30° B) 45° C) 37°D) 60° E) 53°8. En la figura se muestra un parquerecreacional para niños cuya periferia es unacircunferencia de centro O, donde , ,y representan las vías de acceso a dichoparque (A, B y E colineales). Si A, B y C puntosde tangencia, m∢AFB = 3m∢BEC y esdiámetro, halle la medida del ángulo formadopor las vías y .A) 36° B) 30° C) 40°D) 25° E) 35°9. En la figura A se muestra el diseño de unajoya en forma de cuarto creciente, si se deseacolocar los arillos representados por ytangentes al borde del orificio, como semuestra en la figura B. Si = 130° y= 240°, calcule .A) 15° B) 18° C) 20°D) 12° E) 10°10. En la figura se muestran dos adornos, paradarle mayor estabilidad se sujeta a los cablestangentes a dichos adornos representadospor , y . Calcule x.A) 50° B) 40° C) 60°D) 45° E) 30°11. Después de ocurrir un accidente de tránsito yevitar que haya congestión vehicular secoloca los soportes representados por ,y que sostienen al poste de alumbrado eléctrico representado por como muesEC EB FBFAACEB ECPL PEmEBLmABC mMNAL BC ALPEBC COAB

ACADEMIA 75 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍAtra la figura. Si AO = OE, // , BM = MC y = = 90°, calcule .A) 30° B) 60° C) 37°D) 35° E) 45°12. Ana quiere comprar unos aretes de plata,cuya forma consta de tres circunferenciastangentes interiores, soldados en un alambrede plata como se muestra en la figura, A, B, Cy D son puntos de tangencia y los arcos AB yDPC suman 298°. Para que estos aretescumplan ciertas medidas estándares elángulo entre las dos varillas AE y ED debeestar entre 60° y 65°, indique si la confecciónde estos aretes cumple dicha condición.A) No porque mide menos de 60°B) No porque mide más de 65°C) Si cumple la condiciónD) No se puede determinarE) Es indefinido13. La rueda delantera de una bicicleta estáfijada en un rodillo de forma triangular ABC,y para que la rueda quede asegurada se aumentan unas barras de fierro representadas por OB y BH como se muestra en la figura. O es centro, A punto de tangencia y OB = BH = CD. Si O, B, D y C son colineales, halle la medida del ángulo que forman las barras OB y AB. A) 60° B) 90° C) 120°D) 45° E) 85°14. Un herrero quiere construir una ventana deforma circular, con los soportes de aluminio, , y como se muestra en lafigura. Si el precio de la barra de aluminio pormetro es S/ 3, ABCD es un rombo, QC = 3 m y= 120°, halle el costo de armazón dealuminio.A) S/ 24 B) S/ 30C) S/ 27 D) S/ 33E) S/ 3515. En la figura se muestra la tapa de unaalcantarilla, la cual tiene forma cuadradacircunscrita a una circunferencia y BAD es uncuadrante. Se quiere colocar una placatriangular cuyos vértices coinciden con losOC ABmAM mME mPMAB BC CQ APmQP

76 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 27 GEOMETRÍApuntos A, P y el centro de la circunferencia. Si CD = 120 cm, halle el perímetro de la placa.A) 60(3 + 2 ) cmB) 80(3 + 2 ) cmC) 60(2 + 2 ) cmD) 80(2 + 2 ) cm E) 80(3 + 3 ) cmHOMEWORK1. En el grafico P es punto de tangencia.Calcule “x”.A) 30°B) 40°C) 50°D) 60°E) 36°2. En la figura, O es centro del cuadrante AOB.Hallar x.A) 20° B) 10° C) 30°D) 40° E) 50°3. Hallar “x”A) 80B) 70C) 60D) 40E) 504. Según el gráfico, T es punto de tangencia.Calcule x si mAB̂= 140.A) 25° B) 50° C) 30°D) 40° E) 100°5. En la figura, se muestra parte de una estructura semicircular hecha de varillas. Si AO = OEy = 20°, halle la medida del ángulo queforman las varillas y .A) 30°B) 40°C) 45°D) 50°E) 36°6. En la figura se muestra dos poleas de centroE y O cuyos radios miden 6 cm y 3 cmrespectivamente. Se quiere colocar una fajamCDOA OB

ACADEMIA 77 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍAtangente en los puntos A y B cuya longitud es 12 cm, calcule .A) 30° B) 60° C) 37°D) 53° E) 45°7. Sobre una circunferencia dibujada en el piso,hay cuatro amigos: Alberto, Boris, Carlos yDaniel; representados por A, B, C y D, respectivamente. Alberto y Boris se encuentran lomás alejados posible, Carlos se ubica de talmanera que mCAB = 2mCBA. Si Danielestá diametralmente opuesto a Carlos y ladistancia entre Alberto y Carlos es 6 m, hallela distancia entre Alberto y Daniel.A) 4 B) 5 C) 6D) 12 E) 78. En la figura se muestra la vista frontal de unagiba semicircular de diámetro y unarampa representada por . Si D es punto detangencia y m∢DEB = 119°, halle la medidadel ángulo de inclinación de la rampa respecto al piso.A) 32° B) 36° C) 34°D) 38° E) 40°9. El ciclista de un circo hace una pirueta en unanillo semicircular donde la cabeza y eltronco del ciclista debe estar en una amplitudde 40° para que se mantenga en equilibriocomo se muestra en la figura. Si A, B, C, D, E yF son puntos de tangencia y O es puntomedio del diámetro PQ, halle la medida delarco AB.A) 60° B) 65° C) 70°D) 75° E) 80°10. En la figura, se muestra la vista aérea de uncampo de cultivo circular, para que toda lazona tenga un buen sistema de riego seinstalan las tuberías , , y . SiABCD es un romboide y = 80°, halle lamedida del ángulo que forman las tuberíasy .A) 110° B) 120° C) 115°D) 125° E) 100°CLAVES1. C 2. A 3. D 4. C 5. B6. D 7. C 8. A 9. B 10. AmAT3 3 33 3ABCDBE FD AD ABmEFBE FD

78 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 29 GEOMETRÍATEMA: PUNTOS NOTABLESby: Moisés Rayme Delgado1. En la figura, hallar x.A) 125° B) 115° C) 110°D) 120° E) 100°2. En la figura, H es ortocentro del triánguloABC, DE = EC. Calcule x.A) 24 B) 30 C) 28D) 20 E) 323. En el gráfico, G es baricentro de la regióntriangular ABC. Calcule x.A) 300 B) 370/2 C) 530/2D) 150 E) 4504. En la figura, O es circuncentro del triánguloABC. Si AD = DO, halle x.A) 50° B) 30° C) 35°D) 40° E) 36°5. Según el grafico, I es incentro del triánguloABC y CI = (AI).A) 300 B) 67,50 C) 18,50D) 26,50 E) 22,506. En un campo de cultivo se encuentran tresperros vigilantes ubicados en tres puntos (nocolineales), Rambo y Lassie se encuentran auna distancia de 3 metros y la distancia entreLassie y Bobby es de 4 metros. Se deseacolocar un hueso tal que esté equidistante delos tres y a la vez se encuentre fuera de laregión determinado por los perros, halle ladistancia entre Rambo y Bobby si esto es unnumero entero.A) 6 m B) 10 m C) 8 mD) 9 m E) 12 m205 Puntos notables

ACADEMIA 79 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA7. Un soldador construye una estructura metalica como se muestra en la figura. Si las varillas y están soldadas en los puntosM y N. Si NM = 50 cm, AH = HB y AM = MC,halle CH.A) 180 m B) 190 m C) 220 mD) 175 m E) 150 m8. La figura muestra las trayectorias que sueleseguir Andrés cuando parte desde una ciudadubicada en el punto A, para llegar a otraciudad ubicada en el punto C. Cuando pasapor la posta medica ubicada en el punto D(ortocentro del triángulo ABC), gira su trayectoria en forma horaria 80°, pero cuando pasapor la capilla ubicada en B, tiene que girar sutrayectoria x grados en forma horaria. Hallela medida del ángulo de giro en B.A) 130° B) 100° C) 110°D) 120° E) 105°9. Tres ciudades A, B y C están unidas porcarreteras rectas, por motivos depresupuesto los alcaldes planean construiruna estación de bomberos ubicada en elinterior del triángulo ABC luego construir vías de acceso rápido desde la estación a cada una de las carreteras (lados del triángulo ABC), con la condición que sean las más cortas posibles y tengan la misma longitud. ¿Cuál es el punto notable del triángulo ABC donde se construirá la estación de bomberos?A) CircuncentroB) IncentroC) ExcentroD) OrtocentroE) Baricentro10. En la figura, se muestra una parte de un planourbano, una persona ubicada en el punto E queequidista de las Av. Azángaro, Av. FranklinRoosevelt y Jr. Las Bambas, se dirige al puntoB. Si AB = BC = 80 m, halle la longitud de dichorecorrido.A) 20 mB) 50 mC) 80 mD) 90 mE) 92 m11. La figura representa un parque en formatriangular ABC, en el cual se colocará unapileta de agua ubicada en el punto D(baricentro del triángulo ABC) y se construiráuna vereda que pase por ella. Si el lindero delparque mide 18 m, halle la longitud de lavereda por construir en el tramo .A) 4,5 m B) 6 m C) 5 mD) 5,5 m E) 6,5 mCH BMACBD

80 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA12. La figura muestra el tramo de una carretera y las conexiones por medio de tres pistas lineales , y C, hacia dos casas ubicadas en los puntos B y C. Si la casa ubicada en C, equidista de A, B y D, y la longitud de la pista es 14 m, halle la menor longitud de una vereda que conecte a la casa ubicada en C, con el tramo de la carretera.A) 9 m B) 10 m C) 7 mD) 8 m E) 12 m13. En la figura, calcular «x» si «G» es baricentrodel ∆ABCA) 60 B) 50 C) 40D) 80 E) 10014. En la figura se muestra una escalera apoyadaen el punto A de un poste, formando untriángulo rectángulo con el piso, y para mayorestabilidad se colocará un soporte ̅MH̅̅̅̅. Si ladistancia del punto B al baricentro deltriángulo ABC es 2 m, AM = MC y BC = 3√3 m,halle la longitud del soporte.A) 3,75 m B) 2,5 m C) 1,5 mD) 5 m E) 4 m15. En la figura, H es ortocentro del triánguloABC, AH = 6m y NC = 8 m. Halle α.A) 37°/2 B) 53°/2 C) 30°D) 20° E) 36°ADBA BD CDCD

ACADEMIA 81 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 32 GEOMETRÍAHOMEWORK1. Si G es el baricentro de la región ABC, CD = 5y DG = 1. Calcule AB.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 92. En la figura, calcular «x» si: «O» escircuncentro del ∆ABC.A) 12 B) 15 C) 18D) 20 E) 243. En la figura, O es circuncentro del triánguloacutángulo ABC. Halle x.A) 85° B) 60° C) 84°D) 82° E) 864. Tres ciudades A, B y C están unidas porcarreteras rectas, por motivos depresupuesto los alcaldes planean construiruna estación de bomberos ubicada en elinterior del triángulo ABC luego construir víasde acceso rápido desde la estación a cada unade las carreteras (lados del triángulo ABC),con la condición que sean las más cortasposibles y tengan la misma longitud. ¿Cuál esel punto notable del triángulo ABC donde seconstruirá la estación de bomberos?A) CircuncentroB) IncentroC) ExcentroD) OrtocentroE) Baricentro5. Según el grafico, H es ortocentro del triánguloABC. Si AC = 14, calcule BH.A) 7 B) 6 C) 3D) 2 E) 56. Siendo A y B puntos de tangencia, calcule:.A) 150° B) 120° C) 300°D) 180° E) 200°mBC mAD +

82 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 33 GEOMETRÍA7. En el gráfico, I es el incentro del ∆ABC y α+β ൌͳͳͲι. Calcule .A) 80° B) 60° C) 70°D) 76° E) 80°8. En el gráfico, G es el baricentro del ∆ABC yBG = 2(GN). Calcule x.A) 30° B) 37° C) 45°D) 53° E) 60°9. En la figura I es incentro del triángulo ABC,calcular el valor de x si = 60.A) 120 B) 60 C) 100D) 50 E) 9010. En la figura calcular “x” si “O” es el circuncentro y “H” es el ortocentro del triánguloABCA) 110 B) 125 C) 130D) 140 E) 160CLAVES1. D 2. C 3. D 4. B 5. D6. D 7. C 8. C 9. C 10. EmQmAM

ACADEMIA 83 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAGEOMETRÍAACADEMIA VONEX 22 GEOMETRÍASEMANA 6TEMA: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZAby: Moisés Rayme Delgado1. En un triángulo ABC, por el baricentro setraza una paralela a que interseca a en “E”. Si BE = x + 4 y EC = x – 5, calcular “BC”.A) 9 B) 15 C) 18D) 24 E) 272. En la figura CD = 2, DB = 3. Calcular la medidadel arco BD.A) 15 B) 18,5 C) 37D) 53 E) 453. Calcular \"x\".a) 4b) 8c) 5d) 6e) 74. Calcular la , si ABCD es un cuadrado,CM = MD y 2(BQ) = 5(QP)A) 37 B) 45 C) 30D) 18 E) 535. Del gráfico adjunto, calcular el valor de x.En la figura AP = 2 y SC = 8. Si PQRS es uncuadrado, calcular ACA) 38/3 B) 40/3 C) 28/3D) 32/3 E) 24/56. En el gráfico, G es baricentro de la regióntriangular ABC, BM = x + 4 y MC = x – 5.Calcule x.A) 6 B) 7 C) 9D) 14 E) 187. En el gráfico, ℒ1 ⃖���⃗//ℒ2 ⃖���⃗//ℒ3 ⃖���⃗, AB = EF y DE = BC= EG. Calcule x.A) 300 B) 450 C) 600D) 370 E) 530AC BCmNP06 Proporcionalidad y semejanza

84 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX GEOMETRÍA8. En el gráfico, los triángulos ABC, CDE y EFGson equiláteros. Si AC = 3 y CE = 2, calcule EG.A) 3/2 B) 1 C) 5/3D) 4/3 E) 2/39. En el gráfico, T es punto de tangencia, 3(AB)= 5(AT) y // . Si TE = 4, calcule EF.A) 5/3 B) 10/3 C) 20/3D) 1 E) 3/210. En el gráfico, 2(BC) = 7(AB) y // . Calcule . A) 2/7 B) 1/7 C) 3/7D) 4/7 E) 1/611. Según el grafico, 6(AD) = 5(DC) y BM = MC.CalculeA) 3 B) 2 C) 6/5D) 5/6 E) 5/312. En el gráfico, AD = 3(DE). Calcule .A) 1 B) 2 C) 3D) 5/4 E) 4/313. Según el grafico, T y M son puntos detangencia y MB = 2(BA). Calcule . A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 3/2CE DFAB PQBQQCAP . PMABBCPAAT

ACADEMIA 85 2026COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 24 GEOMETRÍA14. En el gráfico, CD = 3 y AC = 5. Calcule x/y. A) 3/2 B) 3/5 C) 5/3D) 2/3 E) 4/515. En un triángulo ABC, se traza la cevianainterior AD, de modo que m∢BCA =∢BAD, BD = 3 y DC = 9. Calcule AB.A) 2 B) 2 C) 3D) 3 E) 6HOMEWORK1. Si el triángulo ABC de la figuraentonces el triángulo es:A) EscalenoB) IsóscelesC) EquiláteroD) RectánguloE) Obtusángulo2. En la figura, calcular \"x\".A) 37° B) 30° C) 53°D) 60° E) 45°3. En el gráfico // , calcular el valor de x A) 4,5 B) 5 C) 7,5D) 8 E) 64. Según el grafico, 3(AB) = 2(BC) y NC = 9.Calcule ND.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 92 3 23DE //AC MN AC

86 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO GEOMETRÍAACADEMIA VONEX 25 GEOMETRÍA5. En el gráfico, MB = 4(AM) y BD = 12. CalculeCD.A) 6 B) 5 C) 4D) 2 E) 36. En el gráfico, , 3(AC) = 7(PQ) y AP = 5. Calcule PB.A) 3,5 B) 3,75 C) 3,25D) 3,3 E) 2,757. En el gráfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.A) 12 B) 13 C) 14D) 7 E) 88. A partir del gráfico, calcule (AQ)(QC) sí H esortocentro del triángulo ABC, BH = 6 y HQ = 2.A) 16 B) 12 C) 15D) 14 E) 189. Según el grafico, ABCD es un romboide. Si2(AN) = 3(BN), calcule NQ/QC.A) 2/3 B) 3/2 C) 2/5D) 5/2 E) 110. Según el grafico, los triángulos ABC y CDE sonequiláteros, AC = 6 y CE = 4. Calcule PQ.A) 3/2 B) 2/3 C) 12/5D) 5/12 E) 12CLAVES1. C 2. A 3. E 4. B 5. E6. B 7. E 8. A 9. C 10. CPQ //AC

4«Los agujeros negros son los lugares del universo en donde Dios dividió por cero». Steven WrightTRIGONOMETRÍACONTENIDO● Reducción al primer cuadrante ........................... 89● Identidades trigonométricas para un solo ángulo ............................................. 93● Identidades trigonométricas para ángulos compuestos.................................... 97● Identidades trigonométricas para ángulos múltiples ............................................................ 101● Identidades de transformación ......................... 105● Circunferencia trigonométrica............................ 109

ACADEMIA 89 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAReducción al primer cuadranteTRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 35 TRIGONOMETRÍASEMANA 7TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTEby: Gregorio Janampa1. Obtenga el valor de sen225°.A) 2 – 3B) 2 – 4C) 3 – 3D) 3 – 2E) 2 – 22. Calcule tan 1485 ( ) °A) –1/2 B) 1/2 C) –1D) 1 E) − 23. A Lucía se le entregó S/x como incentivo porsus buenas calificaciones. Resolviendo lasiguiente ecuación podrá averiguar concuánto se le premió.5 sec –60 () () () °+ ⋅ °= ° x tan –4525sen –53A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 504. Un terreno de forma rectangular tiene(3 6 sec 135 cot 330 m ⋅° ° ( )( )) de ancho y(80sen 330 tan 135 m ( )( ) ° ° ) de largo.Calcule el área de dicho terreno.A) 810m2 B) 720m2 C) 630m2D) 540m2 E) 480m25. Al simplificar:( ) ( )( )cos( x) cot 180 x sen 360 x Fcos(180 x) sen x− + °+ ° − = +° + −se obtiene:A) –csc(x) B) csc(x) C) –sec(x)D) sec(x) E) – cot(x)6. Luciana le comenta a su hermana que lacantidad de invitados para su próximareunión serán a personas, donde.( )23 cos cot2a3tan2  π⋅ −α π−α     =   π   − α  Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final se ubica en el tercer cuadrante tal que sec 3 ( ) α =− , ¿cuántas personas fueron invitadas a dicha reunión? A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 147. Un grupo de personas de una embarcaciónubicada en el punto B será rescatado por unhelicóptero que está ubicado en el punto A,como se representa en la figura. Si( ) 5tan12θ =− , calcule la distancia entre elhelicóptero y la embarcación.A) 31,2 km B) 13 km C) 26 kmD) 12 km E) 25 km01

90 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 36 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA8. 2tan(90 x)cosxcot(180 x)sen(270 x)° +°+ °−es el número de veces que un alumno postuló a la universidad hasta lograr su ingreso. ¿Cuántas veces postuló dicho alumno?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 59. En la construcción de un edificio, se observadesde arriba que los brazos de las grúas M yN se mueven en los ángulos β y θ. CalculeE tan cot = θ+ β () ()A) 16/15 B) 0 C) – 5D) 15/4 E) 8/510. Dado un triángulo ABC, reducir:( ) ( )( )2tan A B csc 2B 2CNtan(C) csc 2A+ + = −A) 1 B) –2 C) –1D) 2 E) –311. Si F representa los casos favorables de unevento y T los casos totales, calcule el valorde FT.( )( )( )6cos 90 xFsen 180 x cos 270 x° + = °+ + °−( ) ()( )17tan 360 x 28cot 90 xT3tan 180 x°− + °+ = ° −A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3D) 0,4 E) 0,512. Del gráfico, calcule: tan tan () ( ) θ+ αA) 11/7 B) 7/11 C) –7/11D) –11/7 E) 4/713. En el gráfico se muestra la cantidad dealumnos matriculados en los talleres deajedrez y oratoria.Donde: A = 2 – 30sen(–30°) B = 10sec(–60°) ¿Cuál es la cantidad total de alumnos matriculados los talleres?A) 33 B) 34 C) 35D) 36 E) 3714. El BCR del Perú pronostica que el crecimientoeconómico del 2023 con respecto al 2022 delPBI será de P%, el cual se obtiene al reducirla siguiente expresión() ()( )2sec 290 csc 200Psec 110°+ ° = °¿De cuánto es el crecimiento económico del PBI del año 2022 al año 2023?A) 2% B) –2% C) 1%D) –1% E) 0%

ACADEMIA 91 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 37 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA15. El cruce de la Línea 1 y la nueva Línea 2 delMetro de Lima entre la Av. Aviación y Av. 28de julio en La Victoria se requiere construir unpuente peatonal con escaleras que a su vezbajen a ambas estaciones desde lascoordenadas en cientos de metros (-4; -3). Apartir del gráfico, calcule sen(β).A) 3/5 B) 4/5 C) 1D) 2/5 E) 5/2HOMEWORK1. El precio de unos audífonos para celular estádado en cientos de soles por el valor de laexpresión:C 5cos 300 = ° ( )A) S/ 280 B) S/ 200 C) S/ 250D) S/ 100 E) S/ 1502. A partir del gráfico una escalera apoyada enla pared, calcule el valor de la expresión H.( ) 2x 2y sen x y cos 3 Hx y 1 cos3  ++ +     =   ++    A) –3 B) –1 C) 1D) 2 E) –23. Calcule el valor desen 315 cos(240 ) ( ) Jcot(135 )°⋅ ° = °A) 23 − B) 24 − C) 33 −D) 32 − E) 22 −4. Alex le confirma a Manuel que al simplificarla siguiente expresión obtuvo una de lassiguientes alternativas. Si la respuesta deAlex es correcta, señale a que alternativahace referencia Alex.tan(180 x) cot(270 x) °− + °+A) –2cot(x) B) –2tan(x) C) –tan(x)D) –cot(x) E) –2

92 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 38 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA5. Del gráfico, calcule sen cos ( ) () α− θ .A) 10/13 B) –10/13 C) 0D) 2/13 E) 13/26. Para la construcción de un triángulo musicalse usa una varilla metálica AB en la cual semarcan los puntos M y N tal que AM = NB,luego se dobla dicha varilla uniendo A y Bcomo se muestra en la figura. Si área de laregión triangular AMN es 120 c 2m y8cos17θ=− , calcule la longitud de la varilla.A) 58 cm B) 48 cm C) 56 cmD) 46 cm E) 50 cm7. A Sebastián se le entregó S/y como incentivopor sus buenas calificaciones. Resolviendo lasiguiente ecuación se podrá calcular el valorde y. ¿Con cuánto se le premió a Sebastián?() () ( )( )2y cos 45 12tan 53 3 tan 608csc 30⋅ − °+ − °= − °− −°A) S/ 25 B) S/ 27 C) S/ 29D) S/ 35 E) S/ 458. En un triángulo ABC, simplifique( )( )( )( )sen A B 2C sec A 2B CMsen A B sec B++ + + = ++A) 1 B) 0 C) –1D) –2 E) –39. Cielo tiene una memoria USB en la quealmacena música y fotos. La memoria USBtiene una capacidad de 1 GB (1000 MB). Elsiguiente gráfico muestra la distribuciónactual del disco de su memoria USB.Donde5 7 200csc B=100-150tan6 4    =         A π π¿Cuál es el tamaño del espacio disponible en MB? A) 750 MB B) 650 MBC) 550 MB D) 450 MBE) 350 MB10. Ricardo quiere vender un terreno de formarectangular que mide 505 4sen dam6  π     delargo y 73 2 cos dam4  π     de ancho. Si el metro cuadrado de dicho terreno cuesta S/.800, ¿cuánto vale el terreno?A) S/. 160 000 B) S/. 220 000C) S/. 200 000 D) S/. 170 000E) S/. 150 000CLAVES1. C 2. E 3. B 4. B 5. C6. E 7. C 8. D 9. E 10. A

ACADEMIA 93 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAIdentidades trigonométricas para un solo ánguloTRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 36 TRIGONOMETRÍASEMANA 8TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN SOLO ÁNGULOby: Daniel Díaz Pacora1. Indique el equivalente de la siguienteexpresión:() ()( )4 42sen θ cos θM2cos θ+ =A) sen2(θ) B) cos2(θ)C) –sen2(θ) D) – cos2(θ)E) tan2(θ)2. Si: sen(x) cos(x) 2 + = , determinar:4 4 M sen (x) cos (x) = +A) 32 B) 53C) 12D) 27 − E) 53 −3. Luego de hacer unas compras en la tienda,Margarita que es la encargada le dice a DonAvelino que tiene que yapear M soles. Pero,Don Avelino se equivoca y yapea N soles.( () ()) () () 2 M sen x cos x 2sen x .cos x 13, =+ − +( () ()) () () 2 N cos x sen x 2cos x .sen x 15 =+ − +Entonces:A) Margarita tiene que darle vuelto de s/. 3a Don AvelinoB) Don Avelino tiene que volver a yapear s/.3 a MargaritaC) Margarita tiene que darle vuelto de s/. 2a Don AvelinoD) Don Avelino tiene que volver a yapear s/.2 a MargaritaE) Margarita tiene que darle vuelto de s/. 1a Don Avelino4. Se tienen dos triángulos rectilíneos, elprimero tiene una base de (3Sen(x)) m y unaaltura de (8Csc(x)) m, mientras que el otrotiene una base de 4(Cos(x))m y una altura de5(Sec(x)) m. ¿Cuál es el valor de la regióntriangular de mayor área?A) 16m2 B) 12m2 C) 8m2D) 10m2 E) 20m25. Simplificar:A = 4. Sen(x). Tan(x). Cos(x) – 2 +4Cos(x).Cot(x). Sen(x) A) 0 B) –2 C) –3D) 3 E) 26. Reducir:( ) ( )2 2sen(x). sen(x) csc(x) cos(x). cos(x) sec(x) 1 Bsec (x) tan (x)+ + + − = −A) 5 B) -4 C) 3D) -2 E) 27. El costo aproximado mensual por un cartel depublicidad en una avenida está dado en milesde soles por el valor de la expresión:( ) ( ) 2 1 P 3 sen(x) cos(x) 2 tan(x) cot(x) −   = +−+  Indique el costo mensual de dicha publicidad.A) 4200 solesB) 3000 solesC) 3800 solesD) 3400 solesE) 2400 soles02

94 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA8. Uno de los problemas propuestos en unexamen de retroalimentación requiere elcálculo de la siguiente expresión “K” para unvalor agudo de “x”.( () () () ()) 3 3 K 4 sen x .csc x cos x .sec x = +Halle el valor de “K”A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 59. Reducir:B = 5·cos(x) ·cot(x).sen(x) + 1 + 5·sen(x) ·tan(x)·cos(x)A) 9 B) 8 C) 7D) 6 E) 510. La ganancia de una empresa por cada mes deactividades comerciales es de:( ) ( ) 4 4 6 6 1 s 8 sen co (x) (x) (x)+− + s 12 n co xs ( e )en miles de soles. Calcule la ganancia anual.A) S/. 70 000 B) S/. 71 000C) S/. 72 000 D) S/. 74 000E) S/. 75 00011. El precio de venta de 1 Kg de uva en lashaciendas de Ica se expresa porcsc(x) cot(x) 5 + = si en Lima en el mercadomayorista el precio del mismo artículo es:(50 csc(x) cot(x) 3 soles ( − −) )Calcule la ganancia en la venta de 100 kg deuva.A) S/. 500 B) S/. 600C) S/. 700 D) S/. 800E) S/. 1 00012. La edad del primer hijo de Mayte es:( () ())( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 sen x cos xmeses1 sen x 1 cos x  + −  + −  Calcule cuántos meses le falta para cumplir un año.A) 6 meses B) 5 mesesC) 7 meses D) 4 mesesE) 8 meses13. Si 4 4 sen (x) cos (x) m + =Calcule: ( () ()) 2tan x cot x − +A) m 12+ B) m 12− C) 1 m2−D) m 14+ E) 1 m4−14. El diseño de una caja especial(rectoedro)para perfumería tiene las siguientesdimensiones como las mostradas en elgráfico, si el perímetro de la cara lateralsombreada de dicha caja es 6u, calcule suvolumen.A) 44 u3 B) 70 u3 C) 63 u3D) 50 u3 E) 74 u315. El costo fijo mensual para la elaboración demesas de estudio esta dado por el valor de laexpresión en miles de soles.( ) 22 22 L 3 2sen cot 2cos csc = −+ + (x) (x) (x) (x)Indique el valor de dicho costo fijo mensual.A) 1200 soles B) 8000 solesC) 9000 soles D) 4500 solesD) 6500 soles

ACADEMIA 95 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 38 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍAHOMEWORK1. Simplificar:P = sen(x)·csc(x) + cos y .sec y () () – 1A) 4 B) 3 C) 2D) 1 E) 02. Se tienen dos rectángulos, el primero tieneuna base de 6tan(x) m y una altura de 5cot(x)m, mientras que el otro tiene una base de 8sen(x) m y una altura de 4csc(x) m. ¿Cuál es elvalor de la región triangular de menor área?A) 36 m2 B) 32 m2 C) 8 m2D) 34 m2 E) 30 m23. Hugo recordando el tema de identidadestrigonométricas logra simplificar la siguienteexpresión:() () ()() () ()222222sen x cos x tan xLsen x cos x cot x+ + = + +¿Cuál es la expresión simplificada?A) tan(x) B) cot(x) C) tan2(x)D) cot2(x) E) sec(x)4. Simplificar:() ()( )csc x sec xM1 cot x+ = +A) sen(x) B) cos(x) C) tan(x)D) sec(x) E) csc(x)5. Simplificar:() ()() ()sec x cos xEcsc x sen x− = −A) sen2(x) B) cos(x) C) cot2(x)D) tan3(x) E) 16. Se compró un artículo a crédito y cuando lepreguntaron al cliente en cuántas cuotaspagará el artículo, él respondió:( )( 1 5tan(x cotx 7sec(x csc(x cos(x + ) + −) ) )cuotas )Indique dicho número.A) 10 B) 12 C) 14D) 15 E) 187. En una feria compre 2 artículos uno por elprecio de S/. 12tan(x) y el otro porS/.20cos(x). Calcule cuánto se pagó siademás:3sen x 4cos x 5 () () + =A) S/. 23 B) S/. 25 C) S/. 27D) S/. 29 E) S/. 318. En el gráfico, se muestra una cartulina deforma rectangular, cuya superficie tiene unárea igual a 0,25 m2 . Determine el perímetrode dicha cartulina.A) 3 2 m B) 6 m C) 6 m D) 2 2 m E) 5m9. Durante la campaña escolar 2023, un padrede familia se dispone a comprar un grupo deútiles escolares a su menor hijo, de modoque:“El padre de familia compra M cuadernos alprecio de N soles cada uno”

96 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 39 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍASi: M = sen2 (x) + cos2(x) + 9N = sec2(x) – tan2(x) + 7¿Cuánto pagó por los N cuadernos?A) S/. 90 B) S/. 80 C) S/. 70 D) S/. 60 E) S/. 5010. Simplificar:2 22sen(x)·csc(x) cos(x).sec(x) 3tan(x).cot(x) A2(sen x cos x)− + = +A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5CLAVES1. D 2. E 3. C 4. D 5. D6. B 7. B 8. B 9. B 10. B

ACADEMIA 97 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAIdentidades trigonométricas para ángulos compuestosTRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 36 TRIGONOMETRÍASEMAMA 9TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS COMPUESTOS by: Dan az Pacora 1. Simplifique:() ()( ) ()sen α β sen α β H2cos α .cos β++ − =A) cos(α) B) tan(α) C) sen(α)D) tan(β) E) cos(β)2. Reduzca la siguiente expresión:( )() () ( ) sen α θL tan θcos α .cos θ− = +A) tan(α) B) 1C) cot(α) D) tan(α).cot(θ)E) cot(α).tan(θ)3. En la figura desde un punto en el suelo seobservan los puntos A y B en el edificio.Calcule la tangente del ángulo deobservación de dichos puntos.c A) 14B) 12C) 34D) 32E) 234. Calcule:( )( ) 0 0 K 1 tan(35 ) 1 tan(10 ) =+ +A) 1 B) 32C) 12D) 2 E) 35. Sabiendo:tan x 4 ; tan x y 3 () ( ) = +=Calcule tan(y) A) 112B) 112− C) 113D) 113− E) 1146. Del gráfico ABCD: cuadradoCalcule:( ) 0 K cot = + θ csc(37 )A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 57. Carlos adquirió un terreno de formarectangular, del cual se necesita conocer elperímetro. Se sabe además que susdimensiones son:L 3 2sen 25 cos 20 = °° ( ()())damA 18cos 25 sen 20 = °° ( ()())damCalcule el perímetro de dicho terreno. A) 75 m B) 70 m C) 60 mD) 48 m E) 54 m03

98 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA8. El gráfico mostrado representa un terrenorectangular que posee Javier, destinado parala construcción de una casa.Si: 3 cos 14 sen 14 8k cos 44 ⋅ °− °= ⋅ ° () () (),calcule el área de dicho terreno.A) 260 m2 B) 240 m2C) 210 m2 D) 220 m2E) 280 m29. Un alumno al copiar en la pizarra la expresión00 00 G sen(52 ).cos(22 ) cos(52 ).sen(22 ) = +cometió un error y escribió00 0 0 G sen(52 ).cos(22 ) cos(52 ).sen(22 ). = −Calcule la diferencia entre el valor correcto yel valor que obtuvo el alumno.A) 0,42 B) 0,44 C) 0,46D) 0,48 E) 0,5010. Un problema reto del capítulo de ánguloscompuestos es propuesto a los estudiantesdel Repaso extremo.( ) 20 20 V 4 3 cos (20 cos (40 ) = )−Si todos os alumnos obtuvieron la respuesta correcta, señale dicha respuesta.A) 4sen(20°)B) 6sen(20°)C) 6sen(10°)D) 4sen(10°)E) 6sen(40°)11. Un atleta recorre el día lunes:( ) 0 0 5sen(27 ).cos(10 ) Km,luego 7cos(3600)km el martes y el miércoles( ) 0 0 5cos(27 .sen(10 ) ) Km. Calcule la longitudrecorrida.A) 3 km B) 5 km C) 6 kmD) 10 km E) 12 km12. Sabiendo:ta3 2 n() () θ −= −= α 4 tan 2θ 3α y 5Calcule tan( ) θ α+ A) 121B) −1 C) 110D) 121− E) 110−13. El Senamhi logro modelar la variación de latemperatura en °C para cierta ciudad,mediante la siguiente expresión:( ) ( ) ( ) α T 5sen =+ + α 11 cos α 19Halle la máxima temperatura en la ciudad.A) 21 °C B) 22 °C C) 23 °CD) 24 °C E) 25 °C14. En la figura, se observa una región ABCD quetiene la forma de un cuadrilátero. Si el costopor pintar el metro cuadrado es(14cot 47 ( ) α + ) soles , calcule el costo porpintar la región triangular ABC.A) S/. 400 B) S/. 700C) S/. 900 D) S/. 500E) S/. 200

ACADEMIA 99 2026COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX 38 TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA15. El máximo valor que toma A en la expresiónrepresenta los años que tiene actualmenteAlex.A 12 3sen(x) 4cos(x) = + ( )¿Cuál es la edad de Alex?A) 48 B) 56 C) 52D) 60 E) 54HOMEWORK1. Reducir( ) () ()() ()sen α θ cos α .sen θEcos α .cos θ+ − =A) sen(α) B) sen(θ) C) tan(α)D) tan(θ) E) 12. El área en metros cuadrados de una planchade triplay está dada por el valor de lasiguiente expresión:0 00 0tan(40 ) tan(20 ) A 31 tan(40 ).tan(20 )  + =    −A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 53. Si el costo de enchapar el metro cuadrado delpiso de un local de forma rectangular ABCDque se representa en la figura es (tanθ+29)soles, ¿cuánto será el costo por enchapar elpiso limitado por el trapecio AMCD?A) S/. 2 400 B) S/. 3 000C) S/. 4 800 D) S/. 2 000E) S/. 2 5004. La edad de mi hija es (x) años. Calcule cuántole falta para celebrar sus 15 años, sabiendo:csc30 sen 5x cos(2x) sec60 cos(5x)sen 2x 1 ° −° = ( ) ( )A) 1 año B) 2 años C) 3 añosD) 4 años E) 5 años5. Si ABCD es un cuadrado, BM = MC y BN =3(AN), halle tanx.A) –6 B) –4 C) –5D) –1/4 E) –1/56. Del gráfico:Calcule tanθA) 14B) 12C) 34D) 43E) 2

100 I BIMESTRE EDUCACIÓN PARA LA VIDA...COLEGIO JUAN PABLO TRIGONOMETRÍAACADEMIA VONEX TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA7. El gráfico muestra una montaña con lasiguiente información: tan 2 3 α=− .Calcule el valor de tanθ.A) 2 35 B) 3 35 C) 4 3D) 3 34 E) 4 358. Se compró la colección de librospreuniversitario de la editorial VONEX por elprecio de S/. 42K cada libro. Si la colecciónde ciencias tiene 6 libros. Calcule cuánto sepagó si:K tan50 tan5 tan50 ·tan5 = °− °− ° °A) S/. 250 B) S/. 252 C) S/.256D) S/. 258 E) S/. 2609. La edad de mi nieto se expresa de la siguientemanera:4 tan20 tan25 tan37 tan20 .tan25 ( °+ °+ °+ ° °)A) 7 años B) 6 años C) 5 añosD) 3 años E) 1 año10. La edad de Jorge está dada por el máximovalor que toma la expresión “E”.E 11 3sen x 4cos x = − ( () ())¿Cuál es la edad de Jorge?A) 33 B) 44 C) 55D) 66 E) 77CLAVES1. C 2. C 3. C 4. E 5. C6. C 7. B 8. B 9. A 10. C