Cálculo con Aplicaciones - Francisco Soler, Reinaldo Núñez, Moisés Aranda

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r. f(x) = 4x ― x4

s. wf(x)w= x w.elsolucionario.net



632

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t. f(x)= ex ― e―x

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u. f(x)=


633

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v. f(x)= x +


w.w f(x)w= w.elsolucionario.net



634

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x. f(x)= x2e―x

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y. f(x)=


635

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z. f(x)=

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2. No. Si f(x)=x, g(x)=x+1, entonces f ´(x)=g´(x) en cualquier intervalo (a, b). Sin embargo
f(x)≠g(x) para todo x ∈ .

3. a. b. f(x)=x2―1 c. f(x)=x2+5x―9

4. Demostración, numeral 1, ejercicios 5,4.

Ejercicio 5.6

1. .
2. 2m de ancho, 1m de altura.
3. a. cm de base, cm de altura.
b. R de base, R de altura.
c. 6 de base, 6 de altura.

636

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d. de base, de altura.

e. de base, de altura.

4. 80 m.

5. de radio, de altura.

6. a. 40, 80 b. 0, 120
b. 10, 10
7. a. 2

8.
9. 850 cm2
10. 180000 m2
11. 10, 10, 10

12. a. b.

www.elsolucionario.net13. 4+10 ,6+15

14. a. i) Para que la suma de las áreas sea máxima, la parte para el cuadrado debe medir
cm y la parte para la circunferencia debe medir cm.

ii) Para que la suma de las áreas sea mínima basta con que la parte del cuadrado mida
120 cm.

b. i) Para que la suma de las áreas sea máxima, la parte del cuadrado debe medir

cm y la parte para el triángulo equilátero debe medir cm.


ii) Para que la suma de las áreas sea mínima, la parte para el triángulo equilátero debe
medir 120 cm.

15. 2m, m
16. a. 5000 artículos b. $9000
c. η(200)= ―99, la demanda es elástica porque |η(200) |>1

17. m de radio, m de altura, de área mínima.

637

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18. cm de radio, de altura.

19. cm de radio, cm de altura.

20.
21. a. 40 cm de base mayor, 20 cm de base menor, 10√3 cm de altura

b. 2R de base mayor, R de base menor, de altura.

22. a. cm de base mayor, cm de base menor,
cm de altura.

23. Las dos semicircunfencias tienen radio m, que determina el ancho del rectángulo. El
largo de el rectángulo es 100 m.

24. a. b.

25. a. 15 artículos b. $1250

www.elsolucionario.net c. η(20) = ―20, |η(20) |>1, luego la demanda es elástica para 20 artículos.
, luego la demanda es inelástica para 40 artículos. Esto significa
que producir 20 artículos y disminuir el preco unitario de cada uno de ellos implica un
aumento en la ventas suficiente para que los ingresos aumenten. Sin embargo producir 40
artículos y disminuir el precio unitario de cada uno de ellos implica un aumento en las ven-
tas que no es suficiente para que los ingresos aumenten.

En efecto I(20)=$(100―2×20)×20=$60×20=$120.
I(40)=$(100―2×40)×40=$20×40=$800<$1200=I(20).

d. Utilidad marginal ―60, ingreso marginal 0

26. $1730000, $40000

27 a. i) 200 sillas ii) 400 sillas

b. $70000, $20000

c. i) x=700 ii) x=1000

Cuando se producen 700 sillas y se disminuye el precio unitario de cada una de ellas hay
un incremento en las ventas que genera un ingreso. No tiene sentido hablar de 100 sillas
porque como η(1000)>0, tendríamos p(1000)<0, es decir que se estaría regalando sillas y
dinero adicional.

638

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28. $2700000
29. 45 grabadoras.

30. El valor que minimiza el costo promedio por piso, es el menor número natural mayor o igual

a , porque el número de pisos tiene que ser un número natural. Nótese que si el costo del

terreno aumenta, digamos de c a c1, tenemos , luego el nuevo óptimo es
mayor o igual al óptimo anterior.

31. 125

32. 1250

33. q=2500, p=1. Nótese que el ingreso marginal y el costo marginal es , luego

34. 75, $5625000

35. wdewradiow, .dee altlusra olucionario.net

36. es el radio, es la altura
37. A 15 metros de ambos postes
38. 6.21 cm
39. 5 árboles
40. q = 40 unidades; costo promedio mínimo es: 23

41. a. 40, 400 b.

42. US$ 4.35, 21750

43. a. 90 unidades b. $220 c. $17420 d. $230

44. a. En el nivel de producción de x = 5 utilidad máxima es de 50.

b. Utilidad máxima (20 ― t)2
c. Una tasa de impuesto de 10 por unidad producirá un impuesto sobre la renta.

639

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45. El valor de A que maximiza la utilidad neta es 2300.
46. Deben venderse 3000 sacos.
47. Para el nivel de producción q =40 el costo promedio es de 23.
48. Debe producir 300 unidades para maximizar el ingreso total.
49. Dixie debe realizar 10 pedidos por año, cada uno de 1000 motocicletas.
50. El valor presente óptimo del precio de mercado del edificio es de $600779 y esto ocurrirá

dentro de 7.72 años.

Ejercicio 5.7

1. a. b. x(6)=8 m. c. 3.717 seg.

2. a. Area(t)=π2 A2 t2 b. 36π m2. c. 36.06 km.

www.elsolucionario.net3. a. 100 km. b.
c. 36.06 seg.

4. a. 0 b. t c. 64.03 km.

5. a. en metros b. en metros c. m.

6. a. cm/seg b. 100 minutos

7. a. 24π m2/min b. 96π m2/min

8. a. cm/min b. cm/min

9. a. 9 cm3/seg b. 900 cm3/seg c. 9x2 cm3/seg
10. a. 0 b. 12 cm/min

640

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Capítulo 6

Ejercicio 6.1

1. a. dy = (2x + 7)dx b. dy = 8t(t2 + 1)3 c. dy = (1 + ln t)dt

d. dy = (1―u) e―u e. f.

g. h. i.

j. k. dy = 2xdx l.

2. a. • f es continua en porque f ´ existe en todo .
• f es creciente en el intervalo (―∞, m) y decreciente en el intervalo (m, ∞) porque f ´ es
positiva en o (―∞, m) y negativa en (m, ∞).
• f es cóncava hacia abajo en porque f ´ es decreciente en todo .
• El punto (m, f(m)) es un máximo relativo de f porque f ´(m)=0 y f ´ cambia de creciente
a decreciente en x = m.

www.elsolucionario.net b. • f es continua en porque f ´existe en todo .
• f es decreciente en porque f ´(x)<0 para todo x ∈ .
• f pertenece a una familia de rectas con pendiente negativa porque f ´ es constante en
y tal constante es negativa.

c. • f es continua en todo porque f ´existe en todo .
• f es creciente en porque f ´(x)>0 para todo x ∈ .
• f es cóncava hacia abajo en (―∞, a) y cóncava hacia arriba en (a, ∞) donde a ∈ es el
punto tal que (a, f(a)) es mínimo de f, porque f ´ es decreciente en (―∞, a) y creciente
en (a, ∞).

d. • f es continua en todo porque f ´ existe en todo .
• f es decreciente en cada uno de los intervalo (―∞, a),(b, c) porque f ´ es creciente nega-
tiva en cada uno de estos intervalos.
• f es cóncava hacia arriba en cada uno de los intervalos (―∞, d), (e, ∞) porque f ´ es
creciente en cada uno de estos intervalos.
• f es cóncava hacia abajo en el intervalo (d, e) porque f ´es decreciente en este intervalo.
• El punto (a, f(a)) es un mínimo relativo de f porque f ´(a)=0, f es decreciente en
(―∞, a) y creciente en (a, b).
• El punto (b, f(b)) es un máximo relativo de f porque f ´(b)=0, f es creciente en (a, b) y
decreciente en (b, c).
• El punto (c, f(c) ) es un mínimo relativo de f porque f ´(c)=0, f es decreciente en (b, c)
y creciente en (c, ∞).

641

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e. • f es continua en todo ―{0} porque f ´existe en todo ―{0}.
• f no es necesariamente continua en x=0.
• f es creciente en el intervalo (0, ∞) porque f ´(x)=1>0, para todo x>0.
• f es decreciente en el intervalo (―∞, 0) porque f ´(x)=―1<0, para todo x<0.
• f es cóncava hacia arriba en cada uno de los intervalos (―∞, d), (e, ∞) porque f ´ es
creciente en cada uno de estos intervalos.
• f no tiene concavidad.

Familia de funciones continuas que cumplen las características de f ´.
Una función no continua en x=0 (f(0)=0) que cumple con las características de f ’.

f. • f es continua en todo porque f ´existe en todo .
• f es creciente en porque f ´(x)>0 para todo x ∈ .
• f es cóncava hacia arriba en (0, ∞) porque f ´es creciente en (0, ∞).
• f es cóncava hacia abajo en (―∞, 0) porque f ´ es decreciente en (―∞, 0).

3. a. Para f ´se pueden observar tres casos:

I. f ´ es continua en x=0
Familia de funciones f ´ que cumplen con la características de f ´´. El análisis de f ´ está hecho

en el inciso e. del punto anterior.

∞)

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dELaol ancnduáerlviasaiysc―opraarresaosLpn3o l noydsLic2eonfrutteeeshaedLce3heLos3 creciente en cada no de los intervalos (―∞, ―a), (a,
con en el eje x.
en el inciso f. del punto anterior.

II. f ´ no continua en x=0

Una función no continua f ´ que cumple con las características de f ´´. El análisis se esta fun-
ción se realizó en el inciso e. del punto anterior.

En este caso no existe na funcion f talque su derivada f ´ coincide con la función dada en la
gráfica. Para ver esto nótese que la función dada tiene la forma:

Con a≠0, b≠0 y a≠―b. Ahora, la función

satisface que G´(x)=F(x) para todo x≠0.
Sin embargo

642

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Así, para que G fuese diferenciable en 0, necesitaríamos que G(0)=c=d (que es posible)
y a=―b, pero en este caso. a≠―b, luego G´(0) no existe. Cualquier otra función H tal que
H´(x)=F(x) para x≠0, debe tener la forma de G para x≠0. Por tanto no existe una función G
tal que G´(x)=F(x) para todo x ∈ .

III. f ´ no definida en x=0.


• f ´ es continua en ―{0} porque f ´´ existe en todo ―{0}.
• f ´ es creciente en (0, ∞) porque f ´(x)=1>0 para todo x>0.
• f ´ es decreciente en (0, ∞) porque f ´(x)=―1<0 para todo x<0.
• f ´ no tiene concavidad.
• f es continua en ―{0} porque f ´existe en todo ―{0}.
• f puede o no, ser continua en x=0 (en este caso es continua)
• f es creciente en (―∞, a) porque f ´(x)>0 para todo x ∈(―∞, a) y f es decreciente en
(a, 0) porque f ´(x)<0 para todo x ∈(a, 0)
• f es cóncava hacia abajo en (―∞, 0) y cóncava hacia arriba en (0, ∞) porque f ´ es de-

creciente en (―∞, 0) y creciente en (0, ∞).

www.elsolucionario.net b. • f ´ es continua en porque f ´´ existe en todo .
• f ´ es creciente en porque f ´´ (x) es una constante positiva para todo .
• f ´ pertenece a una familia de rectas de pendiente positiva.
• f es continua en porque f ´ existe en todo .
• f pertenece a una familia de parábolas cóncavas hacia arriba en todo , porque f ´ es
creciente en todo .

c. • f ´ es continua en porque f ´´ existe en todo .
• f ´ es creciente en (0, ∞) y decreciente en (―∞, 0) porque f ´´(x)>0 para todo x ∈(0, ∞)
y f ´´ (x)<0 para todo x ∈(―∞, 0).
• f ´ pertenece a una familia de parábolas cóncavas hacia arriba en todo , porque f ´´ es
creciente en todo .
• f es continua en porque f ´ existe en todo .
• f es cóncava hacia abajo en (―∞, 0) y hacia arriba en (0, ∞) porque f ´es decreciente en
(―∞, 0) y creciente en (0, ∞)
• f es creciente en todo .

d. El análisis de f se realizó en inciso anterior.
• f es continua en porque f ´ existe en todo .
• f es cóncava hacia arriba en todo porque f ´ es creciente en todo .
• f es creciente en todo .

La gráfica correspondiente a ci es creciente en (ai , ∞) y decreciente en (―∞. ai ) donde ai es
el corte de ci con el eje x, para i = 1, 2, 3.

643

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4. a. f(x) = x2+2; f(x)=x2―2; f(x)=x2―r2
b. f(x) = x3+5x; f(x)=x3+5x+2; f(x)=x3+5x+a2
c. f(x) = ln(x); f(x)=ln(kx); f(x)=ln(x)+k
d. f(x) = cex
e. f(x) =

5. a. f(x) = x2+3x+c b. f(x) = x3―2x2+x+c

c. f(x) = d. f(x) = ex + c

e. f(x) = f. f(x) =

g. f(x) = h. f(x) = k constante

i. f(x) =

6. a. f ´(x) = 12x+c1; f(x)=6x2+c1 x+c2, c1, c2 constantes.

b. f ´(x) = ―6x2+10x+c1; f(x)=―2x3+5x2+c1 x+c2, c1, c2 constantes.

c. f ´(x) = constantes.

d. f ´(x) = ex+e―x+c1; f(x)=ex―e―x+c1 x+c2, c1, c2 constantes.

e. f ´(x) =

www.elsolucionario.net f. f´(x)=
constantes.

constantes.

7. a. v(t)=k(s(t))2 para algún k>0, donde s(t), v(t) son el desplazamiento y la velocidad en
función del tiempo.

b. para algún k>0, donde T(t) es la temperatura en función del tiempo.

c. para algún k>0, donde C(t) es el costo de x unidades del producto.

d. para algún k>0, donde I(x) es el ingreso por vender x unidades del producto.

Ejercicio 6.2

1. a. b.
c. d.

e. f.

2. a. Si b. No c. Si d. Si

644

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3. a. f(x) = x2+2 b. f(x) = x3―3x2+ex+1

c. f(x) = ―3x2+2ln(x)+7 d. f(x) =

4. a. f(x) = ―x3+2x+10 b. f(x) = x4+2x+ex―1
c. y(x) = f(x)=―12x2

Ejercicio 6.3

1. 2.

3. 4.

5. 6.
7. 8.
9. 10.

11. www.els o luc ion12.a rio.net

13. 14.

15. 16.
17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.
25. 26.

27. 28.

29. 30.

645

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31. 32.

33. 34.
35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.
45. 46.

47. 48.

49. www .e lso luc ion50.a rio.net

51. 52.

53. 54.
55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

646

www.elsolucionario.net Respuestas

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.
85. 86.

87. 88.

89. w ww .e lso luc ion90.a rio.net

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.
101. 102.

103. 104.
105. 106.
107. 108.

647

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109. 110.
111. 112.
113. 114.
115. 116.
117. 118.
119.

Ejercicio 6.4

1. 2.

3. w ww .e lso luc ion4. a rio.net

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.
15. 16.

17. 18.

19. 20.
21. 22.

648

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23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.
33.

34. 35.

36. 37.
38. 39.

40. www.elso luc ion41.a rio.net

42. 43.

44. 45.
46. 47.
48.

49. 50.
51.

Ejercicio 6.5

1. 2.
3. 4.

649

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5. 6.
7. 8.
9. 10.
11.
12. 13.
14.
15.
16. 17.
18. 19.

20. www.elsolucionario.net

21. 22.
23. 24.
25.
26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33.
34.

650

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35.
36.
37.
38.
39. 40.
41.

42.
43. 44.
45. 46.

47. www.elso luc ion48.a rio.net

49.
50.
51.

Ejercicio 6.6

1. a. b.
c. d.
e. f.
g. h.


651

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i. j.
k. l.
m.
n. o.

2. a. b.
c. d.
e. f.


g. h.

i. j.

www.elsolucionario.net3. a. Verdadera b. Falsa

4. a. b. c.
5. b. c.
6. a.

d. e. f.

7.
8.
9.
10.
11.

652

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Ejercicio 6.7

1. a. C(x) = ―0.025x2+30x+2000 b. US$ 5937.5

2. a. C(x) = 0.002x3―0.015x2+24x+2500 b. $2500

c. $260750

3. US$ 1275.05

4. C(x) = 0.001x2+5x

5. a. R(x) = 20x―0.01x2―0.001x3 b. US$ 900
c. p(x) = 20―0.01x―0.001x2

6. a. R(x) = 4x―0.005x2 b. p(x) = 4―0.005x

7. a. b.

8.

9. www.elsolucionario.net

10. C(x) = 3x2―17x+47
11. a. R(x) = 16x―x3 b. p(x) = 16―x2
12. C(x) = x3+4x2+4x+6
13. US$ 3375
14. a. US$ 81 b. US$ 3
15. US$ 5
16. 100128 personas
17. a. a(t)=6t+2, s(t)=t3+t2+5t b. a(2)=14 m/min2
c. s(3)=51 m d. s(3)―s(2)=29 m
18. s(2)―s(1)―20 m
19. $ 120000
20. 15 unidades

653

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21. 4.15 partes por millón
22. $ 190500
23. US$ 646.2
24. US$ 2300
25. R(x) = 240x―2x2, US$ 1150

26. a. b. C(1012 )=2000009000001×105

27. a. dólares, donde v(0) es el valor inicial de la máquina

b. v(10) = 1049.61 dólares

28. a. C(q) = (q―4)3+64+C(0) b. US$ 1500

29. US$ 196608

30. i(t) = 1000e0.007t es la inversión en función de t.

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Capítulo 7

Ejercicio 7.1

1. a. 174 b. c. 2n–1

d. 133560 e. f.

2. a. b. c.

d.

3. a. 8 b. c.

d.

654

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4.
5. a. 10000 b. 5050 c. 50500
d. 2870 e. 44100
6. 162 m aproximadamente
7. $784657

Ejercicio 7.2

1. a. b. c. 20
2. a. 1 b.
3. 6 m

www.elsolucionario.net4. a. c(b―a) b. c. 0

d.

Ejercicio 7.3

1. 2. 3. 144

4. 5. 6.

7. 8. 0 9.

10. 252 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18. 3ln2

19. e 20. 21.

22. 23. 24.

655

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Ejercicio 7.4

1. 2.

3. a. b. 9 c.

d. e. f.


g. , si acotamos el área con el eje x h.

i. j. k.

l. m. n.

ñ. 64 o. 22 p. 108

q. r. s.

www.elsolucionario.net t. 8 u. v.

w.

4.

5.

Ejercicio 7.5

1. 98 personas aproximadamente c. $3900000
2. 124 m
3. a. $1700000 b. $1500000

4. a. 1220 personas b. 10240 personas
5. US$774
6. $1785600

656

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7. $75

8. US$ 4081077.5

9. 132 personas aproximadamente

10. disminuye en US$ 92934 aproximadamente

11. 2008876 personas

12. a. 12 años b. US$ 1008

c. El exceso de utilidad corresponde a la parte sombreada en la gráfica, es decir, el área
R (x)=100+x2 y R (x)=220+2x
entre 1 2

13. a. años y medio b. US$ 3241 aproximadamente

c. El exceso de utilidad es el área entre las curvas R (x)=60e0. 12x y R2(x)=160e0. 08x en el
1

intervalo

14. a. 9 años b. US$ 12150

15. 18wunidwadesw.elsolucionario.net
16. a. 10 semanas aproximadamente b. US$ 14857

17. a. 8 semanas aproximadamente b. US$ 15069.26

18. a. US$ 624 b. US$ 1000 c. US$ 199.7

d. US$ 564 aproximadamente

19. a. US$ 288 b. US$ 333.334 c. US$ 129.93

d. US$ 152.377

20. a. q0=3; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 366, EC=US$ 36
b. q0=3; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 414, EC=US$ 63
c. q0=40; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 2400, EC=US$ 1920
d. q0=36; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 1842.07, EC=US$ 1122.07

e. q0=25; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 57.08, EC=US$ 28.43
f. q0=25ln3; los consumidores están dispuestos a pagar US$ 500, EC=US$ 225.347

657

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21. a. q=18 b. US$ 162
22.
23.
24. . Obsérvese que
25. a.
b.
26.
27. 176.87≈176 unidades
28. US$ 13212.056
29. 336
30.

31. www.elsolucionario.net

32. EC = 280ln4 ―210≈178.1625, EP = 45

Capítulo 8

Ejercicio 8.1

1. 2. 3.
4. 5. 6. Diverge
7. Diverge 8. 3 9. Diverge
10. 11. Diverge 12. 4
13. 14. 0 15. 6

658

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16. Diverge 17. 0 18. Diverge
19. p<1 20. Diverge para todo p ∈ 21. Diverge
22. 23. Diverge 24. ―e―1
25. ln2 26. 27.
28. 29. Diverge 30. 2e―1
31. 32. 5e10 33. 2
34. 1 35. Diverge 36.
37. Diverge 38. Diverge 39.

40. 1 41. Diverge 42.

43. 44. Diverge 45. 1

www.elsolucionario.net46. Diverge 47. Diverge 48. Diverge

49. e 50.

Ejercicio 8.2

1. a. b. c. ∞
c. 30000000
2. a. 30000000 b. 99604805.28
, donde P(t) es el número de
3. a. 22224 ejemplares

b. A largo plazo la especie se extingue, es decir
ejemplares en t años.

4. $ 5792476.126

5. $ 4545454.55

6. $ 5823381.567

659

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7. El valor prevaleciente de la franquicia es: $ 600.000
9. La población aumenta sin límite.
10. a. La probabilidad de que un par de autos seleccionados al azar disten menos de 10 pies el

uno del otro es 1―6e–5 ≈ 0.9596
b. La distancia promedio entre autos sucesivos en una autopista es 4 pies.

11. a. b.
12.

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660

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13. a. 5.77% b. 45.11% c. 54.88%

d. E(X) =100 horas (duración promedio de la bombilla), y V(X) = 10000 horas cuadradas
(variabilidad, relativamente, muy grande).

14. a. 22.1 % b. 55.07 % c. 44.933 %

15. a. 12.151 % b. 32.968 % c. 63.032 %

16. a. 0.63 b. 0.14

17. a. 0.59 b. 0.22

18. a. 0.22 b. 0.55 c. 0.45

19. a. 0.12 b. 0.33 c. 0.67

Capitulo 9

Ejercwiciow9.1w.elsolucionario.net

1. a.
b.
c.
d.

2. a.



b.



c.


d.


661

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e.

f. h(r, s, t) = ter+s+log(t+2), Dm(h)={(r, s, t) |t >―2}
h(ln2, 0, ―1) = ―1eln2+0 +log(―1+2)=―2
h(1, 1, 1) = e2+log3

3. Área: A(�, x) = { }, Dom (A) = (�, x)| x > 0, 0 < � <

4. y2

5. VF = V0(1,06)n, donde dependiente
VF : = valor futuro, variable

nV0::==tvieamlopropr(eesneanñteo,sv)a, vriaarbialebliendinedpeepnedniednietente


6. P = k , donde

P : = producción diaria, variable dependiente
k : = constante
t : = número de horas de trabajo de la máquina, variable independiente
m : = insumo, variable independiente

www.elsolucionario.net v : = vida útil, variable independiente

Ejercicio 9.2

1. a. fd(fx=,(y3)x=2x+32+xxy2)yd―x+y3(,xf2x―=33yx22)+d2yx. y, fy=x2―3y2,

Si P(1, 2), df=7dx―11dy

b. df(fx=,(y6)x=―24x3y―2 4)dxxy+2+(3―y83x, fyx+=96yx2―)4dyy2, fy=―8xy+9y2,



Si P(1, 2), df=―10dx+20dy

df(fx=,(y1)4=x7+x42+y4)dxxy++(142xy+2,2f4x=y1)d4yx+4y, fy=4x+24y,

c.


Si P(1, 2), df=22dx+52dy

d. fd(fx=,(y4)8=(82(x2―x―5y5)y2))3d, fxx+=(4―8(122x0―(25xy―)25, fyy)=2―)1dy20(2x―5y)2,


662

www.elsolucionario.net Respuestas


Si P(1, 2), df=384dx―960dy
2. a.








b. f(x, y, z)=exyz
dfxf==yyzzeexyxyzz, fdy=x+xzxezexyxzy,zfdz=yx+yxeyxeyzxyz dz=exyz (yzdx+xzdy+xydz)




Si P(1, 2, 3), df=e6 (6dx+3dy+2dz)

c. f(x, y, z)=xy2 z3
dfxf==yy22zz33, fdy=x+22xyxyz3z,3fdz=y3+x3yx2yz22z2 dz



Si P(1, 2, 3), df=108dx+108dy+108dz

d. wf(x, wy, z)=w5x6 y3.ze4 lsolucionario.net
fdxf==3300xx55yy33zz44, fdy=x+1155x6x6yy2 2z4z,4fdz=y2+02x06xy63yz33z3 dz


Si P(1, 2, 3), df=19440dx+4860dy+432dz

3. a. z =2x+3y, z=0, 1, 2, 3



La gráfica corresponde a cuatro rectas paralelas

b. z=3x―y, z=0, 1, ―2, 3

3x―y=0 3x―y=1 3x―y=―2 3x―y=3
y=3x y=3x―1 y=3x+2 y=3x―3

La gráfica corresponde a cuatro rectas paralelas


c.

663

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La gráfica corresponde a cuatro circunferencias concéntricas centradas en el origen con

radios √7,√12,√15 y 4.
d. z=x2+y2, z=1, 2, 3, 4
La gráfica corresponde a cuatro circunferencias concéntricas centradas en el origen con

radios 1,√2,√3 y 2.
4. f(x, y)=x2―y2+4x+2y+1, fx=2x+4, fy=―2y+2
a. Si



Si


www.elsolucionario.net

b.



Ejercicio 9.3

1.


Como
2.





664

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3.
x es el precio de motos de clase 10 c/u, x=129+5t
y es el precio en centavos por galón c/u, y=80+10√3t

es el diferencial total



Si t=3, x=144 y y=110, luego,



4. Q(x, y)=0.08x2+0.12xy+0.03y2

dQ = fx dx + fy dy + fz dz = (0.16x + 0.12)dx + (0.12x + 0.06y)dy

Tenemos que , luego


dQ = 18.4 + 43.2 = 61.6 adicionales.

5. P(x, y)=(x―30)(70―5x+4y)+(y―40)(80+6x―7y)
P(x, y)=70x―5x2+4xy―2100+150x―120y+80y+6xy―7y2―3200―240x+280y
P(x, y)=―20x―5x2+10xy―5300+240y―7y2

www.elsolucionario.net dP=(―20―10x+10y)dx+(10x+240―14y)dy

Tenemos que x=50, y=52, dx=1, dy=2
dP=0+24=24 se incrementa.

Ejercicio 9.4

1.
2.

665

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Luego

3.
Luego

4.
Luego
5.


6. a.
Luego

b.w ww.elsolucionario.net

Luego

c.
Luego

d.
Luego

e.
Luego

666

www.elsolucionario.net Respuestas

7. a.
Ahora,

b.

Ahora,

8. a.

b.

c.

d.

e.

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f.

9.



Luego
10.


11.
12. a.


667

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b.




c.


d.




e.

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f.



13. a.

De donde

b.

De donde
Luego f no es armónica.
14.



668

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15. 0
16. a.



b.


17. a.



Luego

b.

www.elsolucionario.net18. a. z = x In(x) + yey + 3,

b.

19. a.


b.



20.

669

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Ejercicio 9.5

1. a.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos

hay un mínimo

b.
Resolviendo el sistema:

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Obtenemos x=1 y y=―1. Luego el punto (1, ―1) es crítico.





c.

Resolviendo el sistema:

Obtenemos es crítico.
hay un máximo.



670

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d.

Resolviendo el sistema:

Obtenemos x=0 y y=0 ó x=b y y=b. Luego los puntos (0, 0) y (b, b) son críticos.
fxx= 6x, fyy= 6y, fxy= ―3b
Para (0, 0),
Δ(0, 0)=(0)(0)―(3b)2=―9b2<0. Por tanto en (0, 0) hay un punto de silla.

Para (b, b),
SΔSii(bb0><, 000),, =ffxx(xx<>000)(yy0)bb―ee(ss3uubnn)2mm=áí―nx9iimmb2oo..



e.

Resolviendo el sistema:

www.elsolucionario.net

Obtenemos x=1 y y=2. Luego el punto (1, 2) es crítico.

. Por tanto en (1, 2) hay un punto de silla.


f.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos x=0 y y=0. Luego el punto (0, 0) es crítico.


. Por tanto en (0, 0) hay un punto de silla.

671

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g.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos x=2 y y=1. Luego el punto (2, 1) es crítico.

. Por tanto en (2, 1) hay un minimo.


h.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos ó . Luego los puntos son crí-

www.elsolucionario.netticos.

Para



. Por tanto el criterio no decide.
Para

. Por tanto en hay un mínimo.


i.


672

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Resolviendo el sistema:

Obtenemos es crítico.
hay un máximo.


j.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos son críticos.

Pawra ww.elsolucionario.net


hay un punto de silla.

Para

hay un punto de silla.



k.
Resolviendo el sistema:


Obtenemos x=1 y y=1 ó x=―1 y y=―1. Luego los puntos (1, 1) y (―1, ―1) son críticos.

673

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Para (1, 1),


Δ(1, 1)=(6)(6)―(2)2=32>0. Por tanto en (1, 1) hay un mínimo.
Para (―1, ―1),


Δ(―1, ―1)=(6)(6)―(2)2 = 32>0. Por tanto en (―1, ―1) hay un mínimo.

l.
Resolviendo el sistema:

Obtenemos x=0 y y=0. Luego el punto (0, 0) es crítico.

www.elsolucionario.net


Δ(0, 0)=(0)(0)―(1)2=―1<0. Por tanto en (0, 0) hay un punto de silla.

2. a. f(x, y)=5x2+6y2―xy. Si x+2y=24,
F(x, y, λ)=5x2+6y2―xy―λ(x+2y―24), Fx=10―y―λ, Fy=12y―x―2λ,
Fλ=―x―2y+24,


Resolviendo el sistema

Obtenemos x=6, y=9 y λ=51. Hay un punto crítico en (6, 9)




Δ(6, 9)=(10)(12)―(―1)2 = 119>0. Por tanto en (6, 9) hay un mínimo.

b. f(x, y)=12xy―3y2―x2. Si x+y=16,
F(x, y, λ)=12xy―3y2―x2―λ(x+y―16), Fx=12y―2x―λ, Fy=12x―6y―λ,
Fλ=―x―y+16,


674

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Resolviendo el sistema

Obtenemos x=9, y=7 y λ=66. Hay un punto crítico en (9, 7)




Δ(9, 7)=(―2)(―6)―(12)2 =― 132<0. Por tanto en (9, 7) hay un punto de silla.

c. f(x, y)=x2+y2―2xy. Si x2+y2=50, Fx=2x―2y―2λx, Fy=2y―2x―2λy,
F(x, y, λ)=x2+y2―2xy―λ(x2+y2―50),
Fλ=―x2―y2+50,


Resolviendo el sistema

www.elsolucionario.net Obtenemos x=5, y=5 y λ=0; x=5, y=―5 y λ=2; x=―5, y=5 y λ=2 ó x=―5, y=―5 y λ=0. Luego hay
puntos críticos en (5, 5), (5, ―5), (―5, 5) y (―5, ―5).

d. f(x, y)=x2―10y2. Si x―y=18 Fx=2x―λ,
F(x, y, λ)=x2―10y2―λ(x―y―18), Fy=―20y+λ,
Fλ=―x+y+18,


Resolviendo el sistema

Obtenemos . Reemplazando en la restricción,

Luego x=20 y y=2. Hay un punto crítico en (20, 2)

e. f(x, y)=3x2+4y2―xy. Si 2x+y=21, Fy=8y―x―λ,
F(x, y, λ)=3x2+4y2―xy―λ(2x+y―21), Fx=6x―y―2λ,
Fλ=―2x―y+21


675

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Resolviendo el sistema

Obtenemos . Luego hay un punto crítico en
hay un mínimo.



f.


Resolviendo el sistema

www.elsolucionario.net

Hay puntos criticos en (3, 4) con λ=17, (―3. ―4) con λ=17, (4. ―3) con λ=―8 y (―4, 3) con
λ=―8.

g.


Resolviendo el sistema

Obtenemos . Hay un máximo en .

h.



hay un punto crítico en (0, 0),


Δ(0, 0)=(2)(2)―(0)2 = 4>0. Por tanto en (0, 0) hay un mínimo.

676

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3.



Aquí x=8, y=7 y λ=―1
la máxima producción es f (8, 7) = 74

4. a. Precio=px+qy, Ganancia=Precio―Costo
Luego, G=p(2―2p+4q)+q(22+2p―6q)―8(2―2p+4q)―2(22+2p―6q)
G(p, q)=―2p2―6q2+6pq+14p+2q―60

De donde el punto

um.



es un máximo. La máxima ganancia es

b. www.elsolucionario.net


De donde um.

La máxima ganancia es
c.


Como , la máxima ganancia es:

um

677

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d.

Se descatan los valores negativos.
Si x=2, p=16―(―2)2=12. Si y=1, q=9―(1)2=8
La ganancia máxima es G(2, 1)=25 um.
5. a. f(x, y)=4x2+2y2+5. Si x2+y2―2y = 0
F(x, y, λ)=4x2+2y2+5―λ(x2+y2―2y), Fx= 8x―2λx, Fy=4y―2λy+2λ, Fλ=―x2―y2+2y
Resolviendo el sistema

Obtenemos x=0, y=0 y λ=0 ó x=0, y=2 y λ=4. Hay puntos críticos en (0, 0) y (0, 2).



b. w ww.elsolucionario.net





Resolviendo el sistema en

Obtenemos x=0, y=0 y λ=0 ó x=0, y=4 y λ=2. Hay puntos críticos en (0, 0) y (0, 4).
c.

Resolviendo el sistema

Obtenemos



678

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Hay puntos críticos en

d.



Resolviendo el sistema

Obtenemos




Los puntos críticos son .

e.



www.elsolucionario.net Resolviendo el sistema en

Obtenemos

Hay un punto crítico en

f.


Resolviendo el sistema en

Obtenemos x=0, y=1, z=0 y λ=1 ó x=0, y=―1, z=0 y λ=1.
Hay puntos críticos en (0, ±1, 0).

679

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6.


Si λ=15, p=40, luego q=60. Se deben distribuir en A=40 y B=60.

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680

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681