Modul Matematika (Teorema Phytagoras)

MODUL
MATEMATIKA

Teorema
Phytagoras
Kelas VIII SMP/MTS

Semester 1

Disusun Oleh :
Kelompok 3

Vina Rohmatika (2225190002)
Inayatul Ummah (2225190036)
Messa Dwi Rahmania (2225190043)

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya
sehingga saya dapat menyelesaikan modul pembelajaran matematika mengenai materi
Phytagoras tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan modul ini adalah untuk
memenuhi tugas individu mata kuliah Perencanaan Pembelajaran Matematika. Selain itu,
modul ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang Phytagoras bagi pembaca
dan juga bagi penulis.

Saya mengucapkan terima kasih kepada Ibu Etika Khaerunnisa, M.Pd., selaku dosen
mata kuliah Perencanaan Pembelajaran Matematika yang telah memberikan tugas ini
sehingga dapat menambah pengetahuan dan wawasan saya mengenai Phytagoras. Saya
juga mengucapkan terima kasih kepada pihak yang telah membagikan informasi dan juga
ilmunya sehingga saya dapat menyelesaikan modul ini.Saya menyadari, modul yang saya
tulis ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang
membangun akan saya nantikan demi kesempurnaan modul ini.

Tangerang, 22 Mei 2021

Penulis

i

ii

TEOREMA
PHYTAGORAS

DEFINISI

PEMBUKTIAN TRIPLE JENIS SEGITIGA YANG PENYELESAIAN
TEOREMA PHYTAGORAS PHYTAGORAS TERBENTUK PERMASALAHAN

KONTEKSTUAL

PENGERTIAN CARA MENENTUKAN SIKU-SIKU LANCIP TUMPUL
TRIPLE PHYTAGORAS

PENYELESAIAN
PERMASALAHAN

PENYELESAIAN
PERMASALAHAN

iii

Salah satu materi yang diajarkan disekolah menengah pertama yaitu
Teorema Pythagoras. Dalam Teorema Pythagoras diajarkan bagaimana
mengenali, menemukan rumus Teorema Pythagoras yang didahului dengan
permasalahan kongkrit sebagai jembatan menuju konsep matematika, setelah
pemahaman tentang teorema tersebut baru mencari sisi-sisi sebuah segitiga
siku-siku. Teorema Phytagoras merupakan sebuah aturan matematika yang
bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga
siku-siku. yang perlu diingat dari teorema ini yaitu hanya berlaku untuk
segitiga siku-siku. Maka dari itu tidak dapat digunakan untuk menentukan sisi
dari sebuah segitiga lain yang tidak berbentuk siku-siku.

Pada modul ini saya akan mendeskripsikan materi tentang pythagoras,
adapun materinya antara lain:

1.Pengertian teorema pythagoras
2.Pengertian tripel pythagoras
3.Membuktikan kebenaran teorema Pythagoras
4.Menentukan Triple Phytagoras
5.Membuat suatu jenis segitiga dari sisi yang berbeda
6.Menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan teorema Pythagoras

dan Triple Phytagoras
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa akan memeperoleh

pemahaman tentang teorema pythagoras, kemampuan dasar berfikir logis, dan
krisis, rasa ingin tahu, memecahkan masalah dan keterampilan sosial juga
akan didapat. Selain itu juga diharapkan akan memiliki kemampuan
berkomunikasi, bekerjasama, dan berkompetisi.

iv

1.Menghitung bidang miring
2.Menghitung siku-siku pada tembok
3.Menghitung ketinggian suatu benda
4.Menentukan posisi kapal
5.Menentukan panjang diagonal persegi, menentukan diagonal

ruang kubus dan balok, mencari jarak terdekat, dsb.

3.6 MENJELASKAN DAN MEMBUKTIKAN
TEOREMA PYTHAGORAS DAN TRIPEL
PYTHAGORAS

4.6 MENYELESAIKAN MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN TEOREMA
PYTHAGORAS DAN TRIPEL PYTHAGORAS.

v

3.6.1 MENJELASKAN BUNYI TEOREMA
PHYTAGORAS

3.6.2 MENJELASKAN TRIPLE PHYTAGORAS
3.6.3 MEMBUKTIKAN KEBENARAN

TEOREMA PHYTAGORAS

3.6.4 MENENTUKAN TRIPLE PHYTAGORAS
3.6.5 MEMBUAT JENIS SEGITIGA DENGAN

SISI YANG BERBEDA

4.6.1 MEMECAHKAN MASALAH KONSTEKTUAL
PADA KEHIDUPAN SEHARI-HARI YANG
BERKAITAN DENGAN TEOREMA
PHYTAGORAS DAN TRIPLE PHYTAGORAS

vi

SISWA DAPAT MENJELASKAN 1.
PHYTAGORAS

SISWA DAPAT MENJELASKAN TRIPLE 2.
PHYTAGORAS

SISWA DAPAT MEMBUKTIKAN 3.
KEBENARAN TEOREMA PHYTAGORAS

SISWA DAPAT MENENTUKAN TRIPLE 4.
PHYTAGORAS

SISWA DAPAT MEMBUAT JENIS 5.
SEGITIGA YANG TERBENTUK DARI SISI
YANG BERBEDA

SISWA DAPAT MENYELESAIKAN 6.
MASALAH KONTEKSTUAL
MENGGUNAKAN TEOREMA
PHYTAGORAS DAN TRIPLE
PHYTAGORAS

vii

1. PELAJARI MATERI PADA MODUL DENGAN
SEKSAMA, SESUAI DENGAN MATERI YANG
DIBERIKAN.

2. PELAJARI CONTOH SOAL DAN
PEMBAHASAN.

3. KERJAKAN LATIHAN SOAL DENGAN
BAIK.

4. BACALAH RANGKUMAN YANG ADA DI
AKHIR

5. KERJAKAN EVALUASI AKHIR
6. CEK KUNCI JAWABAN.

viii

TAHUKAH
KAMU?

Teorema Pythagoras memiliki peranan yang
penting dalam berbagai bidang kehidupan. salah
satu diantaranya adalah bidang arsitektur.
seorang tukang yang akan membangun rumah
biasanya akan mengukur lahan yang akan
dibangun, tukang tersebut akan memastikan
bahwa sudut-sudut pondasi bangunan benar-
benar siku siku dengan menggunakan
kombinasi ukuran sisi 60 cm,
80cm, dan 100cm. Barangkali tukang sendiri tidak menyadari mengapa
bilangan itu tepat untuk membentuk sudut siku-siku. perhitungan yang
dilakukan oleh tukang merupakan penerapan dari teorema phytagoras yang
akan dibahas pada modul ini.

Dalam matematika, teorema Pythagorean juga dikenal sebagai teorema
Pythagoras, adalah hubungan mendasar dalam geometri Euclidean di antara
tiga sisi segitiga siku-siku. Teorema Phytagoras merupakan suatu aturan
matematika yang dapat digunakan untuk menentukan panjang salah satu sisi
dari sebuah segitiga siku – siku. Teorema ini hanya berlaku untuk segitiga siku
– siku saja, tidak bisa digunakan untuk menentukan sisi dari sebuah segitiga
lain.

Teorema Phytagoras berbunyi:
Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi
miring/sisi terpanjang yaitu sama dengan hasil

jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.

1

Teorema Phytagoras di samping bisa kita
rumuskan seperti berikut ini:

222

c=a+b

Dimana :
c = panjang sisi miring
a = panjang sisi tinggi
b = panjang sisi alas

Umumnya rumus dari Teorema Phytagoras ini digunakan dalam
mencari panjang sisi miring. Namun, kita juga dapat menggunakan
rumus tersebut untuk mencari panjang sisi alas dan sisi tinggi.
Rumus mencari panjang sisi alas:

2 22 Syarat Berlakunya Teorema
Phytagoras :
b=c-a
1.Teorema Phytagoras hanya berlaku
Rumus mencari panjang untuk segitiga siku-siku
sisi tinggi:
2.Minimal 2 sisi dalam segitiga siku-siku
22 2 tersebut sudah diketahui panjangnya
terlebih dahulu
a=c-b

Panjang t pada segitiga
siku-siku di bawah ini adalah…

2

Luas Persegi Besar = Luas Persegi Putih + Luas 4 Segitiga
(a + b)2= c2+ 4 (½ ab)
a +2 2ab + b =2 c +2 2ab
a +2 2̶ ̶ab̶ ̶ + b2 = c +2 2̶ a̶ ̶b̶
a +2 b2 = c2
Jadi, Terbukti

Pada link berikut adalah contoh atau cara lain untuk membuktikan
teorema Pythagoras
https://youtu.be/7s4PF0xoHUc

Gunakan teorema pythagoras untuk menghitung nilai x pada gambar
berikut.

Jawab :
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................

3

Jika a,b, dan c adalah tiga bilangan asli dan berlaku kuadran bilangan
terbesar sama dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya maka a,b, dan c
disebut tripel pythagoras dan jika 3 bilangan asli a,b,c memenuhi rumus
pythagoras, disebut bilangan tripel pythagoras. Sehingga dapat disimpulkan
tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi
kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.

Perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas merupakan tabel cara mencari tripel Pythagoras. Dari
tabel di atas dapat ditarik kesimpulan untuk mencari tripel Pythagoras
dapat dicari dengan rumus:
(a2– b2), 2ab, (a2+ b2) dengan a > b dan a, b merupakan bilangan bulat
positif.

Contoh Soal : Pembahasan
Selidiki akibat
pasangan bilangan c 2= a2+ b 2
5,12,13 merupakan 13 2= 52 + 122
tipel pytagoras 169 = 25 + 144
169 = 169
Jadi, karena memenuhi rumus pythagoras,
maka pasangan bilangan 5,12,13 adalah
tripel pytagoras.

4

Selidiki pasangan bilangan-bilangan berikut!
apakah merupakan tripel pythagoras?
a. 8,12,14
b. 9,12,15
c. 9,40,41

Jawab:
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
....................................................................

5

Berdasarkan teorema pythagoras, dapat diambil kesimpulan
yaitu jika a,b, dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga,
dengan c> b > a dan
Contoh soal :
Misalkan p = 3, q = 4 dan r = 6, tentukan dan buat jenis segitiga
yang terbentuk!
Pembahasan
Dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi
lainnya, maka diperoleh:
r =2 62
r2 = 36
p +2 q2 = 32 + 42
p +2 q2 = 9 + 16
p +2 q2 = 25
Karena 6 >2 32 + 42, maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-
siku melainkan segitiga tumpul.

6

Dari ketiga bilangan berikut,selidikilah mana yang dapat
membentuk segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga
tumpul ?
a. 9, 6, 11.

b.7, 10, 12.
c.12, 16, 20

Jawab:
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
................................

7

Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan-
permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
teorema Pythagoras. Contoh permasalahan-permasalahan
tersebut antara lainadalah sebagai berikut.
Contoh 1 :

Seorang anak mempunyai tinggi badan 150 cm. Ia berdiri 12 m
dari tiang bendera. Jika jarak antara kepala anak tersebut dengan
puncak tiang bendera adalah 13 m, maka hitunglah tinggi tiang
bendera tersebut!
Penyelesaian :
Pada contoh soal di atas jika kita gambarkan adalah sebagai
berikut

8

Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar pada
pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pohon adalah 3
meter. Hitunglah tinggi pohon yang dapat dicapai oleh
tangga?

Jawab:
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.............................................................................

9

1.Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang
panjangnya 250 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat
berada di bawah layang-layang adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian
layang-layang tersebut.

2.Seorang anak akan mengambil sebuah layang-layang yang tersangkut di
atas sebuah tembok yang berbatasan langsung dengan sebuah kali. Anak
tersebut ingin menggunakan sebuah tangga untuk mengambil layang-
layang tersebut dengan cara meletakan kaki tangga di pinggir kali. Jika
lebar kali tersebut 5 meter dan tinggi tembok 12 meter, hitunglah
panjang tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga bertemu
dengan bagian atas tembok.

3.Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-
masing adalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung
antara ujung tiang tersebut

4.Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang
panjangnya 120 meter. Jarak kaki anak dengan permukaan tanah yang
berada tepat di bawah layang-layang adalah 40 meter. Hitunglah tinggi
layang-layang tersebut jika tinggi tangan yang memegang ujung benang
berada 1,2 meter di atas permukaan tanah! (Benang dianggap lurus)

5.Seorang nakhoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 100
meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar 60 meter, tentukan
jarak nakhoda dari puncak mercusuar tersebut!

10

Dalam menyelesaikan masalah di atas, lakukanlah langkah -
langkah berikut ini:

1.Buatlah kelompok dengan beranggotakan 3 orang
2.Diskusikan bersama teman kelompokmu secara online

untuk menyelesaikan masalah di atas
3.Mintalah kepada guru untuk membimbing kalian apabila

mengalami kesulitan

11

Kuadrat dari sisi miring/sisi terpanjang yaitu sama dengan hasil
jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.
Syarat berlakunya teorema phytagoras :
1.Teorema Phytagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku
2.Minimal 2 sisi dalam segitiga siku-siku tersebut sudah
diketahui panjangnya terlebih dahulu
Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif
yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah
kuadrat dua bilangan lainnya
Untuk mencari tripel Pythagoras dapat dicari dengan rumus:
(2a – b2), 2ab, (a +2b) d2engan a > b dan a, b merupakan bilangan
bulat positif atau dapat mensubtitusi 3 bilangan asli yang
memenuhi teorema2 phy2tagoras
Untuk membuat jenis segitiga berdasarkan sisi yang berbeda,
maka dapat diterapkan konsep phytagoras, dimana

12

Untuk mengasah dan menguji kemampuan berpikir kalian,
coba pilihlah salah satu jawaban yang tepat pada huruf a,b,c,d
lalu kumpulkan pada forum tugas di LMS Edmodo!

1. Perhatikan gambar berikut.

Pernyataan dibawah ini yang benar kecuali ...

2 22

a. q = p + r

2 22

b. p = q - r

22 2

c. r = q - p

22 2

d. p = q + r

2. Segitiga ABC siku-siku di A, panjang AB = 8 cm, panjang AC = 17 cm. Panjang
BC adalah...

a. 9 cm
b.12 cm
c.18 cm
d.25cm

3. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah...

a. 5,24,25
b. 7,12,13
c. 9,12,25
d. 14,48,50

13

4. Perhatikan gambar berikut !

Panjang AB adalah ..

a.21 cm
b.20 cm
c.19 cm
d.18 cm

5. Perhatikan gambar berikut !

Nilai dari x + y adalah...

a.10 cm

b.26 cm

c.34 cm

d.36 cm

6. Perhatikan tigaan bilangan berikut

(i) 3 cm, 5 cm, 6 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 13 cm
(iii) 7 cm, 10 cm, 12 cm
(iv) 7 cm, 9 cm, 10 cm

Ukuran sisi yang membentuk segitigalancip ditunjukkan oleh ...

a. (i) dan (ii)
b. (i) dan (iii)
c. (ii) dan (iii)
d. (iii) dan (iv)

14

7. Perhatikan gambar berikut !

Panjang sisi BC dan AC berturut-turut adalah...

∆8. Gambar di bawah ini menunjukkan PQR siku-siku di P dan QR = 8 cm

Panjang sisi PQ dan PR adalah...

9. Perhatikan gambar berikut !

Seseorang mengamati dua mobil daripuncak menara yang jarak masing-
masingmobil ke pengamat sepertitampak padasketsa gambartersebut, jika
tinggi menara15 m, jarak kedua mobil tersebut adalah ...
a.8 m
b.10 m
c.12 m
d.15 m

15

10. Perhatikan gambar berikut

Panjang sisi BD adalah...
a.13cm
b.15cm
c.14cm
d.12 cm

16

Latihan 1

Penilaian latihan 1
Catatan : Jawaban benar diberi nilai 3,33

Jawaban salah diberi nilai 0
Latihan 2

17

Penilaian latihan 2

Catatan : Jawaban benar diberi nilai 3,33
Jawaban salah diberi nilai 0

Latihan 3

Penilaian latihan 3

Catatan : Jawaban benar diberi nilai 3,33
Jawaban salah diberi nilai 0

Latihan 4 Berdasarkan gambar di samping, tinggi pohon dapat dicari dengan
menggunakan teorema pythagoras.

Jadi, tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga adalah 4 meter.

18

Penilaian latihan 4
Catatan : Jawaban benar diberi nilai 10

Jawaban salah diberi nilai 0

Tugas
1. Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada
di bawah layang-layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi layang-
layang dapat dicari dengan teorema Pythagoras yakni:

Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m
2. Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana XY merupakan jarak kaki tangga dengan bawah tembok (lebar
kali) dan YZ merupakan tinggi tembok, maka panjang tangga (XZ) dapat
dicari dengan teorema Pythagoras yakni:

19

Jadi, panjang tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga
bertemu dengan bagian atas tembok adalah 13 m.

5. Perhatikan gambar berikut:

Dengan menggunakan teorema pythagoras, maka jarak nakhoda dari
puncak mercusuar:

Jadi, jarak nakhoda dari puncak mercusuar tersebut adalah 116,62 meter.

Penilaian Tugas
Catatan : Untuk jawaban benar diberi nilai 2

Untuk jawaban salah diberi nilai 0

20

Tes formatif

1. d
2. b
3. d
4. a
5. d
6. d
7. a
8. b
9. c
10. a

Penilaian Tes Formatif

Catatan : Untuk jawaban benar diberi nilai 1
Untuk jawaban salah diberi nilai 0

21

Abdur Rahman As’ari DKK. Buku Guru. Matematika SMP/MTs . Kelas VIII. Edisi Revisi,
2017. Jakarta. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Rahmania, Messa. Dwi. 2021, 25 April. Pembuktian Teorema Phytagoras dengan
Menggunakan Geogebra [Video]. https://youtu.be/7s4PF0xoHUc

22