เล่มที่ 3

แบบฝกึ ทักษะ เร่ือง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ

วชิ าคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน รหสั วิชา ค31102

ตรงตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขนั้ พื้นฐาน พุทธศักราช 2551

ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4

3เลม่ ที่ อตั ราส่วนตรโี กณมิตขิ องมมุ
30O , 45O และ 60O

นางภคั จริ า กติ ติสิริบณั ฑติ

วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา จงั หวัดกาแพงเพชร
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน

กระทรวงศกึ ษาธิการ

เลมที่ 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30, 45 และ 60 ก

คาํ นาํ

แบบฝก ทักษะ เร่ือง อัตราสวนตรีโกณมิติ วิชาคณิตศาสตรพ ้ืนฐาน รหัสวิชา ค31102
ระดับช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 โรงเรยี นวัชรวิทยา จงั หวัดกําแพงเพชร สาํ นักงานเขตพืน้ ที่การศกึ ษา
มธั ยมศกึ ษา เขต 41 จัดทาํ ข้ึนเพ่อื ใชใ นการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรพืน้ ฐาน มุงเนนใหผูเรียน
มีความรู มที ักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร สามารถแกโจทยป ญหาไดอ ยางถูกตอง พัฒนา
ทกั ษะ กระบวนการคดิ คิดอยา งมีเหตุผลเชือ่ มโยงความรไู ดอยา งสรางสรรค ซึง่ เปนพืน้ ฐาน
การคาํ นวณ และมที ักษะกระบวนการคดิ ในระดบั ชน้ั ทส่ี งู ข้ึนไป แบบฝก ทักษะ เรอ่ื ง อตั ราสว น
ตรีโกณมิติ วิชาคณติ ศาสตรพ ้ืนฐาน รหัสวชิ า ค 31102 ระดับชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 นมี้ ีท้ังหมด
8 เลม ไดแก

เลม ที่ 1 เรื่อง ความรูพ ืน้ ฐานเกี่ยวกับความคลา ยและทฤษฎีบทปทาโกรัส
เลม ที่ 2 เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมิติของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
เลมท่ี 3 เรื่อง อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30, 45 และ 60
เลมท่ี 4 เรือ่ ง อตั ราสวนกลบั ของอตั ราสวนตรีโกณมิติ
เลมท่ี 5 เรือ่ ง การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 0  90 จากตาราง
เลม ที่ 6 เร่ือง ความสมั พนั ธร ะหวา งอัตราสวนตรีโกณมิติ
เลมท่ี 7 เร่อื ง การประยุกตของอัตราสวนตรีโกณมิติเพื่อแกป ญ หาสามเหล่ยี ม
เลมท่ี 8 เรื่อง การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใช

สาํ หรับแบบฝกทกั ษะ เลม ท่ี 3 เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมิติของมมุ 30, 45 และ 60
ประกอบดว ย คําแนะนําในการใชแ บบฝกทักษะ ใบความรู แบบฝกทักษะ แบบทดสอบกอนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน เฉลยแบบฝก ทกั ษะ และเฉลยแบบทดสอบกอนเรยี นและแบบทดสอบ
หลังเรยี น ใชเวลาทัง้ หมด 3 ชั่วโมง

หวังวาแบบฝกทักษะ เรอื่ ง อัตราสว นตรีโกณมติ ิ วิชาคณติ ศาสตรพืน้ ฐาน รหสั วิชา ค31102
ระดับช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 จะเปน ประโยชนกับครผู สู อนวิชาคณติ ศาสตรในการนําไปใชเปน แบบฝก
ทักษะในการเรยี นท้งั ในหองเรียนและนอกหองเรยี นใหก บั นักเรียนตอไป และมสี ว นชวยใหนักเรียน
ไดเ กิดการเรยี นรอู ยางเปนระบบ เหมาะสมกับครูทีจ่ ะนําไปจัดการเรียนการสอนและสอนซอ มเสรมิ ได
เปน อยา งดี เพอ่ื ยกระดบั คณุ ภาพการศึกษาใหม ปี ระสิทธภิ าพย่ิงข้นึ

ภัคจิรา กติ ติสิริบณั ฑติ

เลมท่ี 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ิของมุม 30, 45 และ 60 ข

สารบัญ หนา

เรอื่ ง ก
ข
คาํ นํา ค
สารบัญ ง
คําชี้แจงการใชแ บบฝกทักษะสําหรับครู จ
คําช้แี จงการใชแบบฝกทักษะสาํ หรับนกั เรยี น ฉ
เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทักษะ 1
มาตรฐานการเรียนรู ตัวช้ีวดั และจุดประสงคก ารเรียนรู 4
แบบทดสอบกอนเรียน 5
ใบความรทู ี่ 3.1 6
แบบฝก ทักษะท่ี 3.1.1 9
ใบความรูท ี่ 3.2 12
แบบฝกทกั ษะที่ 3.2.1 15
แบบฝก ทักษะที่ 3.2.2 16
ใบความรูที่ 3.3 18
แบบฝกทักษะที่ 3.3.1 21
แบบทดสอบหลังเรยี น 22
แบบบนั ทกึ คะแนน 23
บรรณานกุ รม 24
ภาคผนวก 24
25
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น 27
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 3.1.1 31
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 3.2.1 33
เฉลยแบบฝกทักษะที่ 3.2.2
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 3.3.1
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

เลมท่ี 3 อตั ราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30, 45 และ 60 ค

คาํ ชแ้ี จงการใชแบบฝก ทักษะสําหรบั ครู

1. ครเู ตรยี มแบบฝก ทักษะ เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ สําหรบั นกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษา
ปท่ี 4 ใหครบตามจาํ นวนนักเรียน

2. ศกึ ษาคมู ือครูการใชแบบฝก ทักษะคณิตศาสตรใหเ ขา ใจ
3. ชี้แจงข้นั ตอนการเรยี นโดยใชแบบฝกทกั ษะคณิตศาสตรนใ้ี หนกั เรยี นเขา ใจ
4. ใหน ักเรียนทําแบบทดสอบกอนเรยี น กอนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู ทาํ แบบฝกทักษะ

และตรวจคาํ ตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะแบบฝกทักษะ
5. ดแู ลนักเรียนใหปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนและใหค ําแนะนาํ เม่ือนกั เรียนพบปญ หา
6. ประเมนิ ผลการเรียนของนกั เรียนอยา งตอเนื่องและใหแรงเสริมในการปฏิบัติกิจกรรม

ของนกั เรยี น
7. ใหน กั เรียนทาํ แบบทดสอบหลงั เรียน เม่ือศึกษาเน้ือหาจากใบความรูและ

ทาํ แบบฝกทกั ษะเสร็จสิ้น
8. บันทกึ ผลการประเมินหลังการจดั การเรียนรโู ดยใชแ บบฝกทักษะทุกครั้ง
9. แบบฝกทกั ษะเลมนี้ สามารถใชก ิจกรรมการเรียนรู หรอื ใชสอนซอมเสริมกับนักเรยี น

ทีเ่ รียนชา หรือเรยี นไมทันเพือ่ น
10. ครอู าจปรบั เปลย่ี นกิจกรรมการเรยี นรูไดตามเหมาะสมกบั นกั เรยี นและสถานการณ

ท่นี ําไปใช

เลม ท่ี 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 ง

คําชีแ้ จงการใชแ บบฝกทกั ษะสําหรับนกั เรยี น

แบบฝกทกั ษะ เร่ือง อัตราสวนตรโี กณมติ ิ สาํ หรับนักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 มีท้ังหมด
8 เลม และเลม น้เี ปนเลมท่ี 3 เร่อื ง อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60
ใชส าํ หรบั ประกอบการเรยี นรูในวิชาคณติ ศาสตรพ้ืนฐาน รหัสวิชา ค31102 นกั เรียนควรศกึ ษาและ
อานคําชี้แจงการใชแ บบฝกทักษะใหเขาใจและปฏิบัติตามข้ันตอนดงั ตอไปน้ี

1. แบบฝกทกั ษะเลมน้ีทาํ ขึ้นเพ่อื ใหนักเรยี นไดพ ฒั นาการเรียนรขู องตนเองเพอื่ แกป ญหา
การเรียนรู เร่อื ง อัตราสวนตรีโกณมิติ

2. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรแ ตล ะเลม ใหนักเรยี นปฏบิ ตั ดิ งั น้ี
2.1 ศึกษาขนั้ ตอนการใชแ บบฝกทักษะใหเขาใจชัดเจน
2.2 นกั เรยี นศึกษาจุดประสงคการเรยี นรใู หเขาใจกอนลงมือปฏิบัติ
2.3 นักเรียนทาํ แบบทดสอบกอนเรียน จาํ นวน 10 ขอ ตามความเขาใจ
ของตนเองดวยความซ่ือสัตย แลวตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอ นเรยี นในภาคผนวกแลวบนั ทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน
2.4 นักเรยี นศึกษาและทําความเขา ใจใบความรูแ ละทาํ แบบฝกทกั ษะดวยตนเอง
และตรวจคาํ ตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละแบบฝกทักษะตามลาํ ดับ
เมอ่ื พบปญหาใหขอคาํ แนะนาํ จากครูทันที
2.5 เม่อื นกั เรียนศกึ ษาและฝก ทํากจิ กรรมเสรจ็ แลว ใหทาํ แบบทดสอบหลงั เรยี น
แลวตรวจคําตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียนในภาคผนวกแลวบันทึก
คะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

3. การประเมินผลการเรียน นักเรยี นจะตองทําถูกรอยละ 80 ขนึ้ ไป ของจํานวนขอ
ทัง้ หมดในแตล ะแบบฝก ทักษะ จึงผานเกณฑการประเมนิ ของแตล ะแบบฝกทักษะ
3.1 ผา นเกณฑการประเมินใหศกึ ษาแบบฝกทักษะชุดตอ ไป
3.2 ไมผ า นเกณฑการประเมินใหย อ นกลับไปศึกษาและทําความเขาใจเน้ือหา
จากใบความรแู ละทําแบบฝก ทกั ษะดวยตนเองใหม

ศกึ ษาแบบฝก ทักษะดวยความตง้ั ใจ
เพ่อื พัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร

ใหดยี ่งิ ขึ้นไป

เลม ที่ 3 อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 จ

เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทักษะ

1. แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลังเรยี น

แบบทดสอบกอนเรยี นและหลงั เรยี น เปน แบบเลอื กตอบ มี 4 ตวั เลือก โดยมเี กณฑ

การใหค ะแนน ดงั นี้

- เลอื กคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถูกตองหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

2. แบบฝกทกั ษะ

แบบฝกทักษะในแตล ะขอมีการใหคะแนนไมเทากันใหเ ลือกใชใหถ ูกตอง ดังน้ี

ระดบั คะแนน เกณฑก ารใหค ะแนน
1
คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธที ําท่ีมีประสิทธภิ าพ
0 โดยแสดงวิธคี ดิ เปนระบบและการคดิ วิเคราะห

คําตอบไมถกู ตอง มกี ารแสดงวธิ ที าํ แตไมสมบรู ณ
หรือแสดงวธิ ที าํ ไมถกู ตอง

ระดับคะแนน เกณฑการใหคะแนน
2 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทาํ ท่ีมปี ระสทิ ธภิ าพ
1 โดยแสดงวิธคี ดิ เปนระบบและการคดิ วิเคราะห
0
คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธีทําแตไ มส มบรู ณ

คําตอบไมถูกตอง มกี ารแสดงวิธีทําแตไมสมบรู ณ
หรือแสดงวธิ ที ําไมถ ูกตอ ง

ระดับคะแนน เกณฑการใหค ะแนน

3 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทําท่ีมปี ระสทิ ธภิ าพ
โดยแสดงวธิ คี ดิ เปน ระบบและการคดิ วเิ คราะห
2
1 คาํ ตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทําแตไมสมบรู ณ

0 คาํ ตอบถูกตอง ไมมกี ารแสดงวิธีทาํ

คําตอบไมถกู ตอง มกี ารแสดงวิธที ําแตไ มส มบรู ณ
หรือแสดงวธิ ีทาํ ไมถ ูกตอง

เลมที่ 3 อตั ราสวนตรีโกณมิติของมมุ 30, 45 และ 60 ฉ

มาตรฐานการเรียนรู ตวั ชี้วัด และจุดประสงคการเรียนรู

มาตรฐานการเรยี นรูและตวั ชีว้ ัด
สาระที่ 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา ใจพื้นฐานเกยี่ วกบั การวดั วัดและคาดคะเนขนาดของ
ส่งิ ที่ตอ งการวดั
ตัวช้ีวดั ม.4-6/1 ใชค วามรูเร่อื ง อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสูง
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเก่ียวกับการวัด
ตวั ช้ีวดั ม.4-6/1 แกโ จทยปญหาเกยี่ วกบั ระยะทางและความสูงโดยใช
อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ

จดุ ประสงคก ารเรยี นรู

ดานความรู (Knowledge)
1. นักเรยี นสามารถหาอตั ราสว นตรโี กณมิตขิ องมุมทีก่ ําหนดใหได

ดา นทักษะกระบวนการ (Process)
1. มคี วามสามารถในการแกป ญหา
2. มีความสามารถในการใหเหตผุ ล
3. มคี วามสามารถในการส่ือสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตรแ ละการนาํ เสนอ

ดา นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (Attitude) พรอ มเรียนแลว คะ
1. ซ่อื สัตยสุจรติ
2. มวี นิ ัย
3. ใฝเรยี นรู
4. มุง มัน่ ในการทาํ งาน

เลม ที่ 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 1

แบบทดสอบกอนเรยี น

คําชี้แจง (1.) ใหน ักเรยี นเลือกขอท่ถี ูกทส่ี ดุ เพียงคาํ ตอบเดยี ว แลว ทําเครอื่ งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอ นเรียน มจี าํ นวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑการใหคะแนน ดังนี้

- เลือกคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถ ูกตองหรือไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. ขอใดเปนคา ของ sin 30

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

2. ขอใดเปนคา ของ cos 60

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

3. ขอใดเปนคา ของ tan 30

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

4. ขอ ใดไมถูกตอง sin 30  1 ข. cos 30  3
ก. 2 2
3
ค. tan 45  1 ง. sin 60  3

5. ขอใดเปน คา ของ sin 30 2 cos 60
1
ก. 2 ข. 1

ค. 2 ง. 3
2 2

เลมท่ี 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 2

6. ขอ ใดเปน คา ของ 4 sin 30 cos 60  2 cos 60  tan45

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

7. ขอใดเปนคา ของ 2 cos2 45  4 sin2 45 8 sin 2 30

ก. 3 ข. 5

ค. 7 ง. 9

8. ขอใดคอื คา ของ sin 30 cos 60 tan 60
sin245  cos245
3
ก. 1 ข. 4

ค. 3 ง. 2
2

9. รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC กําหนดให มุม C เปน มมุ ฉาก มมุ A = 30 องศา และดาน AB ยาว 10 เมตร
ขอใดคือความยาวดา น AC

B

10 เมตร

30 C
Ax

ก. 5 3 เมตร ข. 3 เมตร
ค. 5 เมตร 20
5
ง. 2 เมตร

10. ถา ABC เปน สามเหลีย่ มมมุ ฉากท่ีมี C เปน มุมฉากและ sin A  2 ขอ ใดคอื คาของ cos A และ
5
cos B ตามลาํ ดับ

ก. 21 , 2 ข. 21 , 2
5 5 5 5
2 21 2 21
ค. 5 , 5 ง. 5 , 5

****************************************

เลม ท่ี 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 3

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรยี น

เลมท่ี 3 เรอ่ื ง อัตราสว นตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60

คาํ ชแ้ี จง : (1.) ใหน ักเรียนเลือกขอที่ถกู ทสี่ ดุ เพยี งคําตอบเดียว แลวทําเครอ่ื งหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชอ่ื เลขที่ ช้นั

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทีไ่ ด 10 ลงชื่อ ผูตรวจ

เกณฑก ารประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรุง พอใช ดี ดมี าก
ระดบั คณุ ภาพ

เลม ที่ 3 อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 4

ใบความรูที่ 3.1

ในสมยั กรกี โบราณ ทอเลมี (Ptolemy : ประมาณป ค.ศ. 200) ไดส รางตารางแสดงอัตราสวน
ของความยาวของดา นของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากซงึ่ เปน คา คงตวั ไว ดังน้ี

ตารางที่ 1 แสดงอัตราสวนของความยาวของดานของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากซึ่งเปนคาคงตัว

มุม ไซน โคไซน แทนเจนต

B

A BC AC BC
AB AB AC

AC

B

2 1 30 1 3 1
A 30 3 C 2 2 3

2 B 2 2 1
1 45 2 2 3
A 45 C 3 1
2 2
1 B
3 60
2 C

A 60

1

เลมที่ 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 5

แบบฝกทกั ษะท่ี จุดประสงคก ารเรยี นรู : นักเรียนสามารถหาอัตราสว นตรโี กณมติ ิของมุม
3.1.1 ท่ีกาํ หนดใหได
มุมฉาก

จงเตมิ คา ลงในชองวางใหส มบูรณ ครบถวน (ขอละ 3 คะแนน)+1 คะแนน

1. มุม ไซน โคไซน แทนเจนต
B
2 1
A 30 3 C 30

2. B
1 45
2 C

A 45 B
3 60
1 C

3.

2

A 60

1

เลม ที่ 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 6

ใบความรทู ี่ 3.2

เทคนิคการหาคาอตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30, 45 และ 60 จากฝา มือ

กําหนดมมุ ใหต ําแหนง น้วิ ตาง ๆ ดังรปู ท่ี 4.1 30 456090
- จะหาคา sin ของมุมใด ๆ ใหง อนิว้ ของมุมนน้ั ลงมา 0
แลวนําจํานวนนิ้วทีเ่ หลอื ดา นซา ย ถอด Root อันดับสอง แลวหารดวย 2
- จะหาคา cos ของมุมใด ๆ ใหง อนวิ้ ของมุมน้ันลงมา

แลวนาํ จํานวนนิ้วทีเ่ หลอื ดานขวา ถอด Root อนั ดบั สอง แลวหารดว ย 2 2
- จะหาคา tan งอนิ้วแลวนํา จาํ นวนนว้ิ ทีเ่ หลอื ดานซาย
จํานวนนว้ิ ทเี่ หลือดานขวา

รูปที่ 4.1 ฝา มือ

ถือกฎวา "sin – ซา ย (ออกเสียงคลา ยกนั ) cos – ขวา (ออกเสยี ง /k/ เหมอื นกัน)"

sin   ซา ย
cos  
tan   2
ขวา

2
ซาย

ขวา

ตัวอยางที่ 1 การหาคา sin 30, cos 30 และ tan 30
วิธที ํา งอนิว้ ชี้ (ตําแหนง 30 ) ลงมา

3 ดา นซายเหลือ 1 นว้ิ 1 = 1 (จํานวนนว้ิ ดา นซา ย)
ดา นขวาเหลือ 3 น้วิ 22
30
จะได sin 30 =
1

2 cos 30 = 3 (จํานวนนวิ้ ดานขวา)
2

tan 30 = 1 ( ซาย )
3 ขวา

เลมท่ี 3 อัตราสวนตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 7

ตัวอยางที่ 2 การหาคา sin 45 , cos 45 และ tan 45
วธิ ีทาํ งอน้ิวกลาง (ตําแหนง 45 ) ลงมา

2 45 2 ดา นซา ยเหลือ 2 นวิ้ 2
ดา นขวาเหลือ 2 นิ้ว 2
(จํานวนนิ้วดานซา ย)
จะได sin 45 =

2 cos 45 = 2 (จาํ นวนนวิ้ ดานขวา)
2

tan 45 = 2 =1 ( ซาย )
2 ขวา

ตวั อยางที่ 3 การหาคา sin 60 , cos 60 และ tan 60
วธิ ที ํา งอน้ิวนาง (ตําแหนง 60) ลงมา

31 ดานซา ยเหลอื 3 น้ิว 3 (จาํ นวนน้ิวดา นซา ย)
ดานขวาเหลือ 1 น้ิว 2
60
จะได sin 60 =

2 cos 60 = 1 = 1 (จาํ นวนน้ิวดา นขวา)
22

tan 60 = 3 = 3 ( ซาย )
1 ขวา

มุม 90 จะได sin 90 = 1 , cos 90 = 0
มมุ 180 จะได sin 180 = 0 , cos 180 = - 1
มุม 360 จะได sin 360 = 0 , cos 360 = 1

เลมที่ 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 8

ตัวอยา งท่ี 4 จงหาคา ของ 2 sin 30 cos 30 tan 30

วิธที ํา 2 sin 30 cos 30 tan 30 = 2  1  3  1 
=  2 2 3

1
2

ตวั อยางที่ 5 จงหาคา ของ sin 30 tan 60 tan 30

วธิ ที าํ sin 30 csc 30 tan 30  =  1  3  1 
 2  3

= 1
2

ตวั อยา งที่ 6 จงหาคาของ 3 tan 45 - sin260 - 1 tan230 + 1 cos2 45
วิธที ํา 2 8
45 - sin260 - 1 tan230 + 1 cos2 45
3 tan 2 8

 = 3 1   3 2   1  3 2   1  2 2
 2 2  8  2 


= 3   3    1 3   1  2 
 4  2 8 4

= 3   3    3    1 
 4  2  16 

= 48 -12 - 24 1
16
13
= 16

เขาใจแลว ใชไ หม ไปลองทาํ …..
แบบฝกทักษะกันเลยดีกวา

เลมท่ี 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 9

แบบฝกทกั ษะที่ จดุ ประสงคการเรยี นรู : นักเรียนสามารถหาอัตราสว นตรโี กณมิติของมมุ
3.2.1 ท่กี าํ หนดใหได
มุมฉาก

จงหาคาของจาํ นวนที่กําหนดให ตอไปนี้ (ขอละ 1 คะแนน)

ขอ ที่ 1 cos 60 + sin 30 =
=
=

ขอ ท่ี 2 tan 45 + sin2 60 =
=
=

ขอ ที่ 3 4 cos2 60 + tan2 45 =
=
=

ขอ ที่ 4 4 tan 60 sin 30 cos 60=
=
=

ขอ ที่ 5 sin45  tan45 =
cos45 =
=

ขอ ที่ 6 sin2 60 + cos2 60 =
=
=

เลม ท่ี 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 10

ขอที่ 7 sin2 60 - cos2 30 - tan2 30 + cos2 45
=
=
=

ขอ ท่ี 8 tan 60  tan 30 =
1  tan 60 tan 30

=

=

ขอ ที่ 9 3 tan2 30 + sin245 =
=
=

ขอ ท่ี 10 tan2 60 - tan2 30 =
=
=

เลมที่ 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 11

ตวั อยางที่ 7 จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉากในขอ ตอไปน้ี จงหาคา ของ x = 5
วธิ ีทํา จากรูป จะไดวา tan 30 =
= x
5 1
5
30 x 3
ดังนัน้ x x

53

ตัวอยางท่ี 8 จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากในขอตอไปน้ี จงหาคาของ x = x
วธิ ที ํา จากรูป จะไดว า sin 45
= 2
x2 2 =
x
45 2
ดังนั้น x 2
2

ตัวอยางที่ 9 กําหนดรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ดงั รปู จงหาความยาวของดาน BC และ AC
B

30
10

A 60 C

วิธที าํ สมมติดาน BC ยาว a หนว ย และ ดา น AC ยาว b หนว ย
a
จากรปู sin 60 = 10

จะได 3 = a
2 10
3
a = 2 10

a = 53
b
และ cos 60 = 10

จะได 1 = b
2 10
1
b = 2 10

b =5

ดงั น้ัน ดา น BC และ AC ยาว 5 3 และ 5 หนว ย ตามลาํ ดับ

เลมที่ 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 12

แบบฝกทักษะท่ี จุดประสงคการเรียนรู : นักเรยี นสามารถหาอัตราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ
3.2.2 ท่ีกาํ หนดใหได

จงหาคา ของจํานวนท่ีกําหนดให ตอ ไปนี้ (ขอละ 1 คะแนน)

ขอที่ 1 จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉากในขอ ตอไปนี้ จงหาคา ของ x

x

60

1

ขอ ท่ี 2 จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากในขอตอไปนี้ จงหาคา ของ x

2

x

ขอท่ี 3 จากรปู สามเหล่ยี มมุมฉากในขอตอไปน้ี จงหาคา ของ x

30

14 x

ขอ ท่ี 4 จากรปู สามเหลย่ี มมุมฉากในขอตอไปนี้ จงหาคา ของ x , y

53

60

xy

เลม ที่ 3 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 13

ขอที่ 5 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในขอตอไปน้ี จงหาคาของ x , y และ z

y 8
30
45
z x

ขอท่ี 6 จงหาคา x จากรปู ที่กาํ หนดให
A

46
B 30 x D 45 C

ขอที่ 7 จงหาขนาดของมุม A เมอื่ 0  A  90

22 2

A
ขอที่ 8 จงหาขนาดของมุม A เม่ือ 0  A  90

6

3A

เลมที่ 3 อัตราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 14

ขอท่ี 9 จงหาขนาดของมุม A เมื่อ 0  A  90
22

A2
ขอท่ี 10 จงหาขนาดของมมุ A เม่อื 0  A  90

24
23 A

เลม ที่ 3 อัตราสวนตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 15

ใบความรูที่ 3.3

การแกส มการโดยการใชอตั ราสวนตรีโกณมิติ

1. ใชหลกั การแกส มการเหมือนการแกส มการเชิงเสน ตวั แปรเดียว
2. แทนคา sin A , cos A และ tan A ตามที่โจทยกาํ หนด
3. ดําเนนิ การแกส มการเพื่อหาคําตอบ

ตวั อยางที่ 1 จงหาคา x จากสมการ x sin30 cos60 = 6

วิธที าํ จาก x sin30 cos60 = 6

จะได x  1  1  =6
2 2

x  1  =6
4

x = 64

x = 24

ตัวอยางที่ 2 จงหาคา x จากสมการ x sin60 tan30  1  cos2 45

วธิ ที าํ จาก x sin60 tan30 = 1  cos2 45

จะได x  3  1  = 1   2 2
   3  2
 2 

x  1  = 1  1
2 2

x = 1  2
2
ดังนนั้ x =1

เขา ใจแลว ใชไ หม...ไปทาํ
แบบฝกทกั ษะเพ่ือเพิม่ ความมน่ั ใจกัน

เลยดีกวา...

เลม ที่ 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 16

แบบฝก ทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรยี นรู : นกั เรียนสามารถหาอัตราสวนตรีโกณมติ ิของมมุ
3.3.1 ที่กาํ หนดใหได

จงหาคาของจํานวนท่ีกําหนดให ตอ ไปนี้ (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ ท่ี 1 x sin 30cos 60  4

ขอ ท่ี 2 x sin 45cos 45 tan 2 60  tan245  cos260

ขอ ท่ี 3 3 x tan 30 cos 30  sin260

เลมท่ี 3 อตั ราสว นตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 17

ขอท่ี 4 x sin 60 cos2 30  tan 60sin 30
tan 45cos60

ขอ ท่ี 5 x cos2 45  sin245 tan 45
tan2 30cos60

เลม ที่ 3 อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 18

แบบทดสอบหลงั เรียน

คําชแ้ี จง (1.) ใหนักเรยี นเลือกขอที่ถกู ทส่ี ุดเพียงคําตอบเดียว แลว ทาํ เคร่ืองหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มีจาํ นวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑการใหค ะแนน ดังนี้

- เลือกคาํ ตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถูกตองหรือไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. ขอใดเปนคา ของ sin 30

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

2. ขอใดเปนคา ของ tan 30

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

3. ขอ ใดเปน คา ของ cos 60

ก. 1 ข. 3
2 2
1 3
ค. 3 ง. 3

4. ขอใดไมถูกตอง sin 30  1 ข. cos 30  3
ก. 2 2
3
ค. tan 45  1 ง. sin 60  3

5. ขอ ใดเปน คาของ sin 30 2 cos 60
1
ก. 2 ข. 1

ค. 2 ง. 3
2 2

เลมที่ 3 อตั ราสว นตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 19

6. ขอ ใดเปนคา ของ 2 cos2 45  4 sin2 45 8 sin 2 30

ก. 3 ข. 5

ค. 7 ง. 9

7. ขอใดเปนคา ของ 4 sin 30 cos 60  2 cos 60  tan45

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

8. ขอใดคอื คาของ sin 30 cos 60 tan 60
sin245  cos245
3
ก. 1 ข. 4

ค. 3 ง. 2
2

9. รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC กําหนดให มุม C เปนมุมฉาก มุม A = 30 องศา และดา น AB ยาว 10 เมตร
ขอใดคอื ความยาวดา น AC

B

10 เมตร

30 C
Ax

ก. 5 3 เมตร ข. 3 เมตร
ค. 5 เมตร 20
5
ง. 2 เมตร

10. ถา ABC เปนสามเหลยี่ มมุมฉากที่มี C เปน มุมฉากและ sin A  2 ขอใดคือคาของ cos A และ
5
cos B ตามลาํ ดบั

ก. 21 , 2 ข. 21 , 2
5 5 5 5
2 21 2 21
ค. 5 , 5 ง. 5 , 5

****************************************

เลม ท่ี 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 20

กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลงั เรียน

เลมท่ี 3 เร่อื ง อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องมุม 30, 45 และ 60

คาํ ช้แี จง : (1.) ใหนกั เรยี นเลอื กขอที่ถูกทส่ี ุดเพียงคําตอบเดียว แลวทําเครอ่ื งหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มีจํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ช่อื เลขที่ ช้นั

ขอท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทีไ่ ด 10 ลงช่อื ผูตรวจ

เกณฑการประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดบั คะแนน ควรปรับปรุง พอใช ดี ดีมาก
ระดับคณุ ภาพ

เลม ท่ี 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 21

ชอ่ื – นามสกุล แบบบนั ทึกคะแนน เลขท่ี

ชนั้

คําช้ีแจง 1. ใหนักเรยี นบันทึกผลการเรยี นจากการทําแบบทดสอบกอนเรยี น แบบฝกทักษะ
และแบบทดสอบหลงั เรียน เพอ่ื ดูพัฒนาการเรียนรจู ากการเรยี นดว ยแบบฝกทกั ษะ

2. ใหทาํ เคร่อื งหมาย √ ท่ชี องสรปุ ผล เม่ือนักเรียนผานเกณฑก ารประเมนิ หรือ
ไมผ านเกณฑก ารประเมนิ จากการทําแบบฝกทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรียนและ
หลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน ระดบั สรปุ ผล
เตม็ ท่ไี ด คุณภาพ ผาน ไมผา น
1 แบบทดสอบกอนเรียน 10
2 แบบฝกทักษะที่ 3.1.1
3 แบบฝก ทักษะที่ 3.2.1 10
4 แบบฝก ทกั ษะที่ 3.2.2 10
5 แบบฝก ทกั ษะที่ 3.3.1 10
6 แบบทดสอบหลังเรียน 10
10
รวม
50

เกณฑการประเมนิ

9 – 10 คะแนน ระดับคณุ ภาพ ดีมาก
7 – 8 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดับคณุ ภาพ ควรปรับปรุง

นกั เรียนจะผา นเกณฑก ารประเมนิ เม่ือไดค ะแนนตง้ั แต 7 คะแนนข้ึนไป

เลม ที่ 3 อัตราสวนตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 22

บรรณานุกรม

กวยิ า เนาวประทปี . (2548). เทคนิคการเรยี นคณติ ศาสตร : ตรีโกณมิติ. กรุงเทพฯ :
ฟสกิ สเซ็นเตอร.

กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร โรงเรียนเตรยี มอุดมศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรยี น
คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลขยกกําลังและอัตราสว นตรโี กณมติ .ิ กรงุ เทพฯ :
หจก. โรงพมิ พวัชรินทร พี.พ.ี

เจรญิ ภภู ัทรพงศ และ ศรลี ดั ดา ภูภทั รพงศ. (มปป.). คมู อื คณติ คิดลัดและเทคนคิ ทําโจทยเร็ว
คณติ ศาสตรพ ้นื ฐานเขม ม.4 เลม 2. กรงุ เทพฯ : SCIENCE CENTER.

จกั รนิ ทร วรรณโพธกิ์ ลาง. (มปป.). สุดยอดคํานวณและเทคนคิ คดิ ลัด คมู อื สาระการเรียนรู
พ้ืนฐานคณิตศาสตร ม.4 เลม 2. กรงุ เทพ ฯ : บรษิ ัท สาํ นักพิมพ พ.ศ. พฒั นา จาํ กดั .

นพเกา เฉยี วกุล. (มปป.). แบบฝก ทกั ษะการเรียนรวู ชิ าคณิตศาสตร เร่ือง อัตราสว นตรีโกณมติ ิ
สําหรับนกั เรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 เลมที่ 3 เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิต.ิ ชลบุรี :
โรงเรยี นเทศบาลแหลมฉบัง 3 สงั กดั เทศบาลนครแหลมฉบัง.

พรรณี ศลิ ปะวฒั นานันท. (2549). สาระการเรยี นรพู ้นื ฐาน คณติ ศาสตร 3 เลม 2. กรุงทพ ฯ :
ฟส ิกสเซน็ เตอร.

สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูค ณิตศาสตร
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. พมิ พค รั้งท่ี 3.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพราว.

สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2556). คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูค ณติ ศาสตร
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พิมพคร้งั ท่ี 2.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพราว.

สุเทพ จันทรสมบูรณกลุ . (2548). สอ่ื เสริมทักษะการเรยี นรูพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร ม.3 เลม 2
(ชวงชน้ั ท่ี 3). กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.

เลมที่ 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 23

ภาคผนวก

เลม ที่ 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 24

 เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน (หนา 1) ขอ 6 ค
ขอ 1 ก ขอ 7 ข
ขอ 2 ก ขอ 8 ข
ขอ 3 ค ขอ 9 ก
ขอ 4 ง ขอ 10 ก
ขอ 5 ง

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 3.1.1 (หนา 5)

1. มุม ไซน โคไซน แทนเจนต
B
2 1 1 31
A 30 3 C 30 22 3

2. B
1 45
2 C 22 1
22
45 B
A 3 60
1 C

3.

2 31 3
22
60
A
1

เลมท่ี 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 25

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 3.2.1 (หนา 9) 11
ขอ 1 1 22
วธิ ที าํ cos 60 + sin 30 = 2
2
= 1

=

ขอ 2 7 1   3 2
4  2 
1 3
วธิ ีทํา tan 45 + sin2 60 = 4
7
=
= 4

ขอ 3 2 4 1 2  12
วธิ ีทาํ 4 cos2 60 + tan2 45 = 2

= 4 1   1
= 4

2

ขอ 4 3  43  1  1 
วธิ ีทาํ 4 tan 60 sin 30 cos 60 = 2 2

=3

ขอ 5 2

sin 45 2
cos 45
วธิ ที าํ  tan 45 = 2  1
2

= 2
2

เลม ท่ี 3 อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 26

ขอ 6 1  3 2   1 2
วธิ ที ํา sin2 60 + cos2 60 =  2 2

= 3 1
= 44
= 4

4
1

ขอ 7 1
6
วธิ ีทํา sin2 60 - cos2 30 - tan2 30 + cos2 45 2 2
2 2 2 2 
=  3   3   1  
 2   2   3  

= 3  3  1  2
4 4 3 4
46
= 12

= 2
12

= 1
6

ขอ 8 1
3
1
วธิ ีทํา tan 60  tan 30 = 3 3
1  tan 60 tan 30
1 3  1 
3
3-1

=3
2
= 2 1
32
1
= 3

เลม ท่ี 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 27

ขอ 9 3
2
2 2 2
วธิ ีทํา 3 tan2 30 + sin2 45 = 3 1   2 
3  

= 3 1   2
3 4
= 1 2
4
= 42
4
=6
4
3
= 2

ขอ 10 8
3
2
วิธที ํา tan 260  tan 230 =  3 2   1 
 3

= 3  1
3

= 91
3

= 8
3

เลมที่ 3 อตั ราสว นตรีโกณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 28

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 3.2.2 (หนา 12)

ขอ 1 x= 3
2
x
วิธีทาํ จากรปู จะได sin 60 =
= 1
3 =
2 x

ดงั น้นั x 1
3

2

ขอ 2 x = 2 sin 45 = 2
วธิ ที ํา จากรูปจะได
2 = x
ดังนน้ั 2 =
= 2
x
x 2
x 2
2

2

ขอ 3 x = 7 sin 30 = x
วิธีทาํ จากรปู จะได
1 = 14
ดังนัน้ 2
= x
x =
14
x
1  14
2
7

ขอ 4 x = 10 3 และ y = 15 53
วธิ ที าํ จากรปู จะได cos 60 =
x
ดังนน้ั 1=
2 53
x=
x= x

5 32
10 3

เลมท่ี 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 29

จากรปู จะได tan60 =y
53
3
=y
y 53

ดังนัน้ y = 35 3

= 15

ขอ 5 x = 4 3 และ y = 4 และ z =4
วธิ ที ํา จากรปู จะได cos 30 =
x
ดังนั้น 3=
2 8
x=
x
x=
8
3 8
2

43

จากรูปจะได sin 30 =y
ดงั นั้น 1 8
2 =y
8
y 1
y = 2  8

=4

จากรปู จะได tan 45 = 4

z

1 =4

z

ดังนน้ั z = 4

เลม ที่ 3 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 30

ขอ 6 x = 12

วิธที าํ หาความยาวดา น AD = AD
46
จากรปู จะได sin 45

2 = AD
2 46

AD = 2 4 6
2

ดงั น้ัน AD = 4 3

จากรูปจะได tan 30 = 4 3

x

1 = 43
3
x

x = 4 3 3

ดงั นัน้ x = 12

ขอ 7 A = 30

วิธีทํา จากรปู จะได sin A = 2

22
sin A = 1
2

ดังนนั้ A = 30

ขอ 8 A = 45 cos A = 3
วธิ ที าํ จากรปู จะได 6
1
ดงั นน้ั sin A = 2

=2
2

A = 45

เลม ที่ 3 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 30, 45 และ 60 31

ขอ 9 A = 45 tan A = 2
วิธีทํา จากรปู จะได 2

ดังนั้น tan A = 1

A = 45

ขอ 10 A = 30 tan A = 2
วธิ ที ํา จากรปู จะได
23
ดังนัน้ 1
tan A = 3

A = 30

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 3.3.1 (หนา 16) x sin 30cos 60 = 4
ขอ 1 x = 1 = 4
วธิ ที ํา จากโจทย x  1  1 
จะได 2 2 =
1
ดงั นั้น x  4  = 4
=
x 4   1 
4
1
x

ขอ 2 x = 1
2
วธิ ที าํ จากโจทย x sin 45cos 45 tan 2 60  tan245  cos260
2
 2  2  32 12 1
 จะได x   =   2 
2  2   
 

x  2  3 = 11
4 4
3
x  2  = 4-1
4

เลม ท่ี 3 อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 32

x =  3   2 
4 3
x =1
ดงั น้ัน 2

ขอ 3 x = 1 3x tan 30 cos 30 = sin260
2 2
3x  1  3  =  3
วิธีทํา จากโจทย  3   =  2 
จะได 2 

x  3  3
2 4

x=  3   2 
4 3
1
ดงั นั้น x=
2

ขอ 4 x = 8
3
tan 60sin 30
วิธีทํา จากโจทย x sin 60 cos2 30 =
tan 45cos60

จะได x  3  3 2 =  3  1 
 =  2 
= 1
 2  2  1 2 
  


x  3 3   3
 8 

x  3  8 
 
3 3

ดังนั้น x= 8

3

เลม ท่ี 3 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30, 45 และ 60 33

ขอ 5 x = 6 x cos2 45 = sin245 tan 45
วธิ ีทํา จากโจทย tan2 30cos60

 2 2  2 2 1
  2
จะได x = 2 2

 2   1   1
  3 2

2

x  2  = 1 4 1
4 3 2
  
2

x=  1 4 1   4 
3 2 2


ดังนน้ั x= 6

 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น (หนา 18) ขอ 6 ข
ขอ 1 ก ขอ 7 ค
ขอ 2 ค ขอ 8 ข
ขอ 3 ก ขอ 9 ก
ขอ 4 ง ขอ 10 ก
ขอ 5 ง

แบบฝกึ ทักษะ เรื่อง อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ จานวน 8 เล่ม

นางภคั จริ า กติ ตสิ ิรบิ ณั ฑิต
กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนวชั รวทิ ยา จังหวัดกาแพงเพชร
e-mail : [email protected]