เล่มที่ 1

แบบฝกทกั ษะ เร่ือง อตั ราสว นตรโี กณมิติ

วิชาคณิตศาสตรพน้ื ฐาน รหสั วิชา ค31102

ตรงตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551

ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

1เลมที่ ความรูพนื้ ฐานเก่ียวกับรูปสามเหลย่ี มคลาย

และทฤษฎบี ทปท าโกรัส

Gc F

b aR b
c aS ac
Q
b Pa b

D cE

นางภัคจิรา กติ ตสิ ิรบิ ณั ฑิต

วทิ ยฐานะ ครูชํานาญการ
โรงเรียนวัชรวิทยา จงั หวดั กําแพงเพชร
สาํ นกั งานเขตพ้นื ท่ีการศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 41
สํานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน

กระทรวงศึกษาธิการ

เลม ท่ี 1 ความรพู ื้นฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส ก

คํานํา

แบบฝกทักษะ เร่ือง อัตราสว นตรีโกณมิติ วิชาคณิตศาสตรพ้ืนฐาน รหัสวิชา ค31102
ระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 โรงเรยี นวัชรวทิ ยา จังหวดั กาํ แพงเพชร สํานักงานเขตพื้นทก่ี ารศึกษา
มัธยมศกึ ษา เขต 41 จัดทําข้ึนเพอ่ื ใชใ นการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรพน้ื ฐาน มงุ เนนใหผ เู รียน
มีความรู มที ักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร สามารถแกโจทยปญ หาไดอยางถูกตอง พัฒนา
ทกั ษะ กระบวนการคดิ คดิ อยา งมีเหตผุ ลเชือ่ มโยงความรไู ดอยางสรา งสรรค ซ่งึ เปน พน้ื ฐาน
การคาํ นวณและมีทกั ษะกระบวนการคดิ ในระดบั ชัน้ ที่สูงข้ึนไป แบบฝกทกั ษะ เร่ือง อัตราสว น
ตรโี กณมติ ิ วิชาคณติ ศาสตรพ้ืนฐาน รหัสวิชา ค 31102 ระดับชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 น้มี ีทั้งหมด
8 เลม ไดแก

เลม ที่ 1 เรอ่ื ง ความรูพืน้ ฐานเกย่ี วกับความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส
เลม ที่ 2 เร่ือง อัตราสวนตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก
เลมที่ 3 เรอื่ ง อตั ราสว นตรีโกณมิติของมมุ 30, 45 และ 60
เลมท่ี 4 เรอ่ื ง อตั ราสวนกลับของอตั ราสวนตรโี กณมิติ
เลม ที่ 5 เรือ่ ง การหาคาอัตราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 0  90 จากตาราง
เลมท่ี 6 เร่อื ง ความสัมพนั ธร ะหวา งอตั ราสว นตรีโกณมิติ
เลม ที่ 7 เรอื่ ง การประยกุ ตของอตั ราสวนตรีโกณมิตเิ พ่ือแกปญหาสามเหลยี่ ม
เลมท่ี 8 เรื่อง การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ิไปประยกุ ตใช

สาํ หรับแบบฝก ทักษะ เลม ท่ี 1 เร่อื ง ความรูพ้ืนฐานเกย่ี วกับความคลา ยและทฤษฎี
บทปทาโกรัส ประกอบดวย คําแนะนําในการใชแบบฝกทักษะ ใบความรู แบบฝก ทักษะ
แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลังเรยี น เฉลยแบบฝก ทกั ษะ และเฉลยแบบทดสอบ
กอ นเรยี นและแบบทดสอบหลังเรียน ใชเ วลาทัง้ หมด 2 ชัว่ โมง

หวงั วา แบบฝก ทักษะ เรอ่ื ง อัตราสวนตรโี กณมติ ิ วิชาคณติ ศาสตรพน้ื ฐาน
รหสั วิชา ค31102 ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 จะเปน ประโยชนก ับครูผสู อนวิชาคณิตศาสตร
ในการนาํ ไปใชเ ปนแบบฝก ทักษะในการเรียนใหกบั นักเรียนตอ ไป และมีสวนชวยใหน กั เรียนได
เกิดการเรยี นรูอยา งเปนระบบเพือ่ ยกระดบั คุณภาพการศึกษาใหม ีประสทิ ธภิ าพยงิ่ ขน้ึ

ภคั จิรา กติ ติสริ บิ ัณฑติ

เลม ท่ี 1 ความรูพื้นฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส ข

สารบญั หนา

เรอื่ ง ก
ข
คาํ นาํ ค
สารบัญ ง
คําชแี้ จงการใชแบบฝก ทักษะสําหรับครู จ
คาํ ช้แี จงการใชแบบฝกทักษะสําหรับนกั เรยี น ฉ
เกณฑการใหคะแนนแบบฝก ทกั ษะ 1
มาตรฐานการเรยี นรู ตวั ช้วี ดั และจุดประสงคการเรยี นรู 5
แบบทดสอบกอนเรยี น 8
ใบความรทู ่ี 1.1 10
แบบฝก ทกั ษะที่ 1.1.1 12
แบบฝก ทกั ษะที่ 1.1.2 14
ใบความรทู ี่ 1.2 17
แบบฝกทกั ษะท่ี 1.2.1 18
แบบฝก ทักษะที่ 1.2.2 19
แบบฝก ทกั ษะท่ี 1.2.3 23
แบบทดสอบหลงั เรยี น 24
แบบบันทึกคะแนน 25
บรรณานกุ รม 26
ภาคผนวก 26
27
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น 29
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 1.1.1 29
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 1.1.2 30
เฉลยแบบฝกทักษะที่ 1.2.1 31
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 1.2.2
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 1.2.3
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส ค

คาํ ชแี้ จงการใชแบบฝก ทักษะสาํ หรับครู

1. ครเู ตรียมแบบฝกทกั ษะ เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมติ ิ สําหรับนักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษา
ปที่ 4 ใหครบตามจํานวนนักเรียน

2. ศึกษาคูมือครูการใชแบบฝก ทักษะคณติ ศาสตรใ หเขา ใจ
3. ชีแ้ จงขั้นตอนการเรียนโดยใชแบบฝก ทักษะคณิตศาสตรนี้ใหน ักเรยี นเขา ใจ
4. ใหน กั เรยี นทําแบบทดสอบกอ นเรยี น กอนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู ทําแบบฝกทักษะ

และตรวจคําตอบตามเฉลยในภาคผนวกทีละแบบฝก ทักษะ
5. ดูแลนกั เรียนใหป ฏบิ ัตติ ามข้นั ตอนและใหค ําแนะนาํ เมื่อนกั เรียนพบปญ หา
6. ประเมินผลการเรยี นของนักเรียนอยางตอเน่ืองและใหแ รงเสริมในการปฏิบตั ิกิจกรรม

ของนักเรียน
7. ใหนักเรยี นทําแบบทดสอบหลงั เรียน เมอื่ ศึกษาเน้ือหาจากใบความรูและ

ทาํ แบบฝกทักษะเสรจ็ ส้ิน
8. บนั ทกึ ผลการประเมินหลงั การจัดการเรียนรโู ดยใชแ บบฝกทกั ษะทุกคร้ัง
9. แบบฝก ทักษะเลมน้ี สามารถใชก จิ กรรมการเรียนรู หรือใชส อนซอ มเสรมิ กบั นักเรียน

ท่ีเรียนชา หรอื เรียนไมท นั เพือ่ น
10. ครูอาจปรบั เปล่ยี นกจิ กรรมการเรยี นรูไดตามเหมาะสมกบั นักเรยี นและสถานการณ

ทนี่ ําไปใช

เลม ท่ี 1 ความรูพืน้ ฐานเก่ียวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั ง

คาํ ชี้แจงการใชแบบฝก ทกั ษะสําหรบั นกั เรยี น

แบบฝก ทกั ษะ เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ สาํ หรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 มที ้ังหมด
8 เลม และเลมนเ้ี ปน เลม ท่ี 1 เรอ่ื ง ความรูพน้ื ฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรสั
ใชส าํ หรบั ประกอบการเรียนรูในวิชาคณติ ศาสตรพืน้ ฐาน รหสั วิชา ค31102 นักเรียนควรศกึ ษา
และอา นคําชี้แจงการใชแบบฝกทกั ษะใหเขาใจและปฏิบัติตามขั้นตอนดงั ตอไปน้ี

1. แบบฝกทักษะเลมนี้ทําขนึ้ เพ่ือใหน ักเรยี นไดพัฒนาการเรียนรูของตนเองเพื่อแกปญ หา
การเรียนรู เรือ่ ง อตั ราสว นตรโี กณมติ ิ

2. แบบฝก ทกั ษะคณิตศาสตรแตล ะเลม ใหนักเรยี นปฏบิ ัตดิ ังน้ี
2.1 ศกึ ษาขั้นตอนการใชแ บบฝกทกั ษะใหเ ขา ใจชัดเจน
2.2 นักเรยี นศกึ ษาจุดประสงคก ารเรียนรใู หเ ขาใจกอนลงมือปฏบิ ตั ิ
2.3 นกั เรยี นทาํ แบบทดสอบกอนเรียน จํานวน 10 ขอ ตามความเขา ใจ
ของตนเองดวยความซือ่ สัตย แลวตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอนเรยี นในภาคผนวกแลวบันทกึ คะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน
2.4 นกั เรียนศึกษาและทาํ ความเขาใจใบความรูและทําแบบฝก ทักษะดวยตนเอง
และตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละแบบฝก ทกั ษะตามลําดับ
เม่ือพบปญหาใหขอคาํ แนะนําจากครูทันที
2.5 เมอ่ื นกั เรยี นศกึ ษาและฝก ทาํ กจิ กรรมเสร็จแลว ใหทาํ แบบทดสอบหลงั เรียน
แลวตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นในภาคผนวกแลว บันทึก
คะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

3. การประเมนิ ผลการเรียน นักเรียนจะตองทําถกู รอยละ 80 ข้ึนไป ของจํานวนขอ
ท้ังหมดในแตละแบบฝก ทักษะ จึงผา นเกณฑก ารประเมนิ ของแตล ะแบบฝก ทักษะ
3.1 ผา นเกณฑการประเมินใหศกึ ษาแบบฝก ทักษะชุดตอไป
3.2 ไมผ านเกณฑการประเมินใหยอนกลับไปศึกษาและทําความเขา ใจเน้ือหา
จากใบความรแู ละทําแบบฝกทักษะดวยตนเองใหม

ศึกษาแบบฝก ทักษะดวยความตงั้ ใจ
เพือ่ พฒั นาทกั ษะทางคณิตศาสตร

ใหดยี งิ่ ขนึ้ ไป

เลมที่ 1 ความรูพ ืน้ ฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั จ

เกณฑก ารใหคะแนนแบบฝกทกั ษะ

1. แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน

แบบทดสอบกอ นเรยี นและหลังเรยี น เปน แบบเลอื กตอบ มี 4 ตวั เลือก โดยมีเกณฑ

การใหค ะแนน ดังนี้

- เลอื กคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถ ูกตองหรือไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน

2. แบบฝกทกั ษะ

ระดับคะแนน เกณฑการใหค ะแนน
2
1 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทาํ ท่ีมีประสทิ ธิภาพ
0 โดยแสดงวิธคี ดิ เปนระบบและการคดิ วเิ คราะห

คําตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธที าํ แตไมสมบรู ณ
คาํ ตอบไมถูกตอง มกี ารแสดงวธิ ีทาํ แตไมส มบรู ณ
หรอื แสดงวิธที ําไมถูกตอ ง

เลมที่ 1 ความรูพืน้ ฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส ฉ

มาตรฐานการเรยี นรู ตัวช้ีวดั และจุดประสงคก ารเรยี นรู

มาตรฐานการเรยี นรแู ละตวั ชว้ี ดั
สาระที่ 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา ใจพน้ื ฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของ
สง่ิ ทต่ี อ งการวัด
ตวั ชีว้ ดั ม.4-6/1 ใชความรเู รื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิตขิ องมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสงู
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกยี่ วกับการวดั
ตัวชีว้ ัด ม.4-6/1 แกโ จทยป ญหาเกีย่ วกบั ระยะทางและความสงู โดยใช
อตั ราสว นตรีโกณมิติ

จดุ ประสงคก ารเรียนรู

ดานความรู (Knowledge)
1. นักเรียนมคี วามรู ความเขา ใจเก่ียวกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั
2. นกั เรียนนาํ ความรเู รอ่ื งความคลา ยและทฤษฎบี ทปท าโกรัสมาใชในการแกป ญหาได

ดา นทกั ษะกระบวนการ (Process)
1. มีความสามารถในการแกป ญหา
2. มีความสามารถในการใหเ หตุผล
3. มีความสามารถในการส่ือสาร การสือ่ ความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ

ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (Attitude) พรอมเรียนแลว คะ
1. ซ่อื สัตยสจุ ริต
2. มีวนิ ยั
3. ใฝเ รยี นรู
4. มงุ มนั่ ในการทาํ งาน

เลม ท่ี 1 ความรพู ืน้ ฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรสั 1

แบบทดสอบกอนเรยี น

คาํ ชแ้ี จง (1.) ใหน ักเรียนเลือกขอท่ีถูกทสี่ ดุ เพยี งคาํ ตอบเดยี ว แลว ทําเคร่อื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑการใหคะแนน ดงั นี้

- เลอื กคําตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถ ูกตองหรือไมต อบได ขอ ละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทค่ี ลายกนั มลี ักษณะอยา งไร

ก. มีมุมเทา กนั สามคู ข. มพี ื้นทีเ่ ทากนั

ค. มีความยาวของเสน รอบรูปเทา กัน ง. มคี วามยาวของฐานและความสูงเทากนั

2. ขอใดตอ ไปนี้ถกู ตอง
ก. รปู สามเหล่ียมใด ๆ ทุกรปู คลา ยกัน
ข. รูปส่ีเหลยี่ มดานขนานสองรปู ใด ๆ เปน รปู ท่คี ลายกัน
ค. รปู หกเหล่ยี มดา นเทาสองรูปใด ๆ เปนรูปที่คลา ยกนั
ง. รูปสามเหลี่ยมหนา จว่ั ทมี่ ขี นาดมมุ ยอดเทา กันสองรูปใด ๆ เปน รูปทีค่ ลา ยกัน

3. จากรูปจะกําหนดส่ิงใด จึงจะทําใCห Δ ABC ~ Δ DEC

DE ก. DE // AB

ข. กําหนดขนาดของมุม C
ค. ความยาวดาน AB และ DE
ง. ใหม มุ B เปน มมุ ฉาก

AB

4. กาํ หนด BC // LM ดังรูป ความยาวของ BC มคี า ตรงกบั ขอใด

B ก. 10.50 หนว ย
L ข. 10 หนว ย
56 ค. 9.50 หนวย
ง. 9 หนว ย

A 6 M3 C

เลมที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั 2

5. จากรูปที่กาํ หนดให ถาดาน AE ยาว 7 เมตร ดาน ED ยาว 14 เมตร และ ดาน AB ยาว 50 เมตร

แลว ดา น BCยาวก่เี มตร C

A B ก. 25 เมตร
50 เมตร ข. 50 เมตร
ค. 75 เมตร
7 เมตร ง. 140 เมตร
D 14 เมตร E

6. จากรปู ขอใดถูกตอง x ก. x2 = y2 + z2
ข. y2 = x2 + z2
y ค. z2 = x2 + y2
ง. x2 + y2 + z2 = 1

Z

7. ขอใดกลา วไมถูกตอง
ก. ดา นตรงขามมุมฉากเปน ดานท่ียาวท่ีสุด
ข. สามเหลีย่ มมมุ ฉากมมี มุ มุมหนง่ึ ขนาด 90 องศา
ค. ดา นประกอบมุมฉากสัน้ กวา ดานตรงขา มมุมฉากเสมอ
ง. ความยาวดานของสามเหลยี่ มมมุ ฉากไมม คี วามสัมพนั ธกัน

8. จากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก EFG ทีก่ าํ หนดให ขอใดคือความยาวดา น EF
F 12 G

ก. 1 หนว ย

ข. 4 หนวย
13 ค. 5 หนว ย

ง. 25 หนว ย

E

เลม ที่ 1 ความรูพ ื้นฐานเก่ียวกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรสั 3

9. จากรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก MON ทกี่ ําหนดให ขอใดคือความยาวดาน MO

O1 ก. 2 หนว ย
N
ข. 2 หนว ย
ค. 3 หนว ย

3 ง. 3 หนวย

M

10. รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากรูปหนง่ึ มีดา นประกอบมุมฉาก ยาว 5 หนวย และ 12 หนว ย เสนรอบรปู

ของรปู สามเหลยี่ มมคี วามยาวตรงกบั ขอใด

ก. 25 หนวย ข. 27 หนวย

ค. 28 หนวย ง. 30 หนวย

*************************************

ความพยายามอยทู ่ไี หน
ความสําเร็จอยูที่นั้น

เลม ที่ 1 ความรูพืน้ ฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 4

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรยี น

เลม ท่ี 1 เรื่อง ความรูพ้นื ฐานเกยี่ วกับความคลา ยและทฤษฎบี ทปท าโกรัส

คาํ ชี้แจง : (1.) ใหน กั เรียนเลือกขอที่ถกู ทสี่ ดุ เพยี งคาํ ตอบเดยี ว แลวทําเครอื่ งหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชื่อ เลขท่ี ชน้ั

ขอที่ ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนท่ไี ด 10 ลงชื่อ ผูตรวจ

เกณฑก ารประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดบั คะแนน ควรปรับปรงุ พอใช ดี ดมี าก
ระดบั คุณภาพ

เลมที่ 1 ความรพู ืน้ ฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั 5

ใบความรทู ี่ 1.1

โดยทว่ั ไปถารปู สามเหล่ียมสองรปู มีขนาดเทากันเปนคู ๆ สามคูแลว อตั ราสวนของความยาวของ
ดานทีส่ มนยั กนั ทัง้ สามคูเทากัน นั่นคือ ถา รปู สามเหลี่ยมสองรูปมขี นาดของมุมเทา กันเปน คู ๆ สามคู
เราจะสรปุ ไดวา รปู สามเหล่ยี มสองรปู นนั้ เปน สามเหลี่ยมที่คลา ยกัน โดยไมจ าํ เปนตอ งตรวจสอบ
อัตราสวนของความยาวของดานคูสมนยั กัน

ในทางคณติ ศาสตรจ งึ ใหบ ทนิยามของรูปสามเหลี่ยมท่ีคลา ยกัน ดงั นี้

บทนยิ าม รปู สามเหล่ียมสองรูปคลายกัน กต็ อเมื่อ รูปสามเหลย่ี มสองรปู นั้นมขี นาด
ของมุมเทากนั เปน คู ๆ สามคู

F

C

A BD E

รปู ท่ี 1.1 สามเหลยี่ ม  ABC และ  DEF

ถา รปู  ABC คลายกับ  DEF เขยี นแทนดว ย  ABC ~  DEF แสดงวา
1. รูป  ABC และ  DEF มีมุมเทากนั 3 คู

Aˆ = Dˆ , Cˆ = Fˆ และ Bˆ = Eˆ

2. รูป  ABC และ  DEF มีอัตราสว นของความยาวของดานคทู ่ีอยูตรงขามกับมุมคูทมี่ ี
ขนาดเทา กันจะเทา กันท้ังสามอตั ราสวน

BC  AC  AB
EF DF DE

ขอสังเกต ดานคทู ี่สมนัยกนั จะอยตู รงขามมมุ คูท่มี ขี นาดเทา กัน  ABC ~  DEF

เลม ท่ี 1 ความรูพ ืน้ ฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส 6

เราสามารถนําบทนยิ ามขา งตนนี้ไปใชต รวจสอบวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปเปน รูปสามเหลี่ยม
ที่คลา ยกันหรอื ไม ดงั ตวั อยางตอไปนี้

ตวั อยางท่ี 1 จากรูปจงหาความยาวของดาน x และ y ดังรปู ทีก่ าํ หนดให

C P
x9 10 y

A 12 B R6 Q

วิธีทาํ พิจารณา  ABC และ  PQR
Aˆ + Bˆ + Cˆ = Pˆ + Qˆ + Rˆ = 180 เหตุผล ขนาดของมุมภายในสามเหลย่ี ม
Aˆ = Pˆ
Bˆ = Qˆ เหตุผล โจทยก ําหนดให

จะได Cˆ = Rˆ เหตุผล โจทยกําหนดให

เหตผุ ล สมบตั ิของการเทากัน

ดังนน้ั  ABC ~  PQR BC
จะได AC QR
PR = 9
6
x =

10
6x = 90

ดงั น้ัน x = 15
และจะได AB BC
PQ = QR

12 = 9
6
y

9y = 72

ดังนนั้ y = 8

น่ันคอื x = 15 หนวย และ y = 8 หนวย ตอบ

หมายเหตุ เพ่ือความสะดวกและรวดเรว็ การพิจารณาคมู ุมที่มีขนาดเทากนั เปน คู ๆ สามคู
ควรเร่มิ จากมุมคทู ่ีมขี นาดเล็กที่สดุ ไปหามุมคทู ่ีมีขนาดใหญที่สุดหรอื กลบั กนั

เลมที่ 1 ความรพู ืน้ ฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั 7

ตัวอยา งที่ 2 จากรปู สามเหลยี่ มคลายท่ีกาํ หนดให จงหาความยาวดาน CD
D
B
6

C 15 A 9E

วิธที ํา จากรปู จะได CE = CD
AE AB
24 CD
9 = 6

ดังน้นั CD = 16

น่ันคอื ดาน CD ยาว 16 หนว ย ตอบ

ตวั อยา งที่ 3 จากรปู สามเหลยี่ มคลายท่กี ําหนดให จงหาความยาวดาน AB
R

C

6 15

AB 25 Q

วธิ ีทาํ จากรูปจะได PQ = PQ
AB AC
25 15
AB = 6

ดงั นั้น AB = 10

นัน่ คือ ดาน AB ยาว 10 หนวย ตอบ

เลม ท่ี 1 ความรพู ื้นฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 8

แบบฝก ทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรยี นรู : นักเรยี นมคี วามรู ความเขา ใจเก่ยี วกับความคลา ย
1.1.1 และทฤษฎบี ทปทาโกรสั มมุ ฉาก
มุมฉาก

จงเขียนตอบคําถามตอไปน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ ท่ี 1 จากรูป เปน รปู สามเหลย่ี มคนู ี้คลายกนั หรอื ไม เพราะเหตุใด
A เมอื่ กําหนดให AE // BD

E

BD

C

ขอท่ี 2 จากรูปสามเหลย่ี มคลา ยท่ีกาํ หนดให จงบอกอัตราสวนเทา กนั AE
A E
AB = BE =

BD

C

ขอที่ 3 จากรปู เปน รูปสามเหลีย่ มคนู คี้ ลา ยกันหรอื ไม เพราะเหตุใด
A

D

C EB

เลม ท่ี 1 ความรพู ืน้ ฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 9

ขอที่ 4 จากรูปสามเหลยี่ มคลายที่กําหนดให จงบอกอตั ราสว นเทา กัน
A

D ==

C EB

ขอท่ี 5 จากรูปสามเหล่ยี มคลา ยท่ีกาํ หนดให จงบอกอตั ราสว นเทา กัน
A เมื่อกําหนดให AB // DE
D
B

C ==
E

เลมที่ 1 ความรูพื้นฐานเกยี่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั 10

แบบฝกทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรยี นรู : นกั เรยี นนาํ ความรูเรอ่ื งความคลายและทฤษฎี
1.1.2 บทปทาโกรสั มาใชในการแกป ญหาได
มุมฉาก

จงเขียนตอบคาํ ถามตอไปนี้ (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 จากรปู สามเหลย่ี มคลายที่กาํ หนดให จงหาความยาวดาน EF
E

C 120 F
4

A6 B

ขอ ที่ 2 จากรปู สามเหล่ียมคลายทก่ี ําหนดให จงหาความยาวดา น AB
A

D
2

C 3E B
5 30

ขอที่ 3 จากรปู สามเหล่ยี มคลายที่กําหนดให จงหาความยาวดาน CD
B

5 15

A 12 D C
5

เลมท่ี 1 ความรูพ ื้นฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรสั 11

ขอท่ี 4 กาํ หนดให  ABC ~  PQR และมคี วามยาวแตล ะดา นตามทกี่ ําหนดดงั รปู
จงหาความยาวของดา น QR

A1 C P 1.5 R

2
B

Q

ขอ ที่ 5 จากรปู PQˆS  PRˆS และมีความยาวแตล ะดา นตามทีก่ าํ หนดดงั รปู
จงหาความยาวดาน PQ

Q

13

x 5R

P 10 2

S

เลมที่ 1 ความรพู ืน้ ฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั 12

ใบความรูที่ 1.2

ทฤษฎีบทปทาโกรัส (Pythagorean theorem)
ถา ABC เปน รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ท่มี ีมุม C เปนมุมฉาก ดงั รูปที่ 1.2 กําหนดให
c แทน ความยาวของดานตรงขา มมุมฉาก
b แทน ความยาวของดานตรงขามมุม B
a แทน ความยาวของดานตรงขา มมุม A
จะไดค วามสัมพันธร ะหวา งความยาวของดานท้ังสามของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ดังนี้
B

ca c2 = a2 + b2

A bC
รปู ที่ 1.2 รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC

ความจริงดงั กลาวนเี้ ปน จริงสาํ หรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ ซึ่งปท าโกรสั ไดพสิ จู นใหเห็นจรงิ
แลว ตง้ั เปนทฤษฎบี ทที่เรยี กวา “ทฤษฎบี ทปทาโกรสั ” โดยกลาววา

ในรปู สามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กาํ ลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉากเทากับผลบวก
กําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉาก

และจะไดค วามสัมพันธระหวา งความยาวของดา นทเี่ หลือของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังน้ี

a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2

กาํ หนดให a และ b แทน ความยาวของดานตรงขา มมมุ A และ B ตามลําดับ และ
c แทน ความยาวของดา นตรงขามุมฉาก ดังรปู ที่ 1.3

B ความยาวของดาน c
ac จาก c2 = a2 + b2
ดงั น้นั c = a2  b2

C A
b

รปู ที่ 1.3 ความยาวของดาน c

เลมที่ 1 ความรูพื้นฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรัส 13

ความยาวของดา น a B
จาก c2 = a2 + b2 ac
จะได a2 = c2 – b2
ดงั นนั้ a = c2 b2 C A
b
ความยาวของดาน b
จาก c2 = a2 + b2 รูปท่ี 1.4 ความยาวของดาน a
จะได b2 = c2 – a2 B
ดังนั้น b = c2  a2
ac

Cb A

รปู ท่ี 1.5 ความยาวของดา น b

ขอสงั เกต ถาเราทราบความยาวของดา นสองดานของรูปสามเหลีย่ มมุมฉากเราจะสามารถ
หาความยาวของดานทีส่ ามไดโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส

เลม ที่ 1 ความรพู ืน้ ฐานเกยี่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 14

แบบฝก ทักษะท่ี จดุ ประสงคการเรยี นรู : นักเรียนมีความรู ความเขาใจเก่ยี วกบั ความคลา ย
1.2.1 และทฤษฎบี ทปท าโกรัสมมุ ฉาก

จงเขยี นสมการแสดงความสัมพนั ธระหวา งความยาวของดานท้งั สาม
ของรปู สามเหล่ียมมุมฉากตอไปน้ี (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอ ท่ี 1

x y

ขอ ท่ี 2 Z
c
a

b

ขอ ที่ 3 o

n

m

ขอที่ 4 p
q r

ขอ ท่ี 5 5
3

4

เลมที่ 1 ความรูพืน้ ฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส 15

จากสูตรความสัมพันธ c2 = a2 + b2 เราจะไดช ุดความยาวของดา นที่ประกอบกัน

เปน สามเหลี่ยมมุมฉาก ดังน้ี ab c

34 5

ca 5 12 13
6 8 10

7 24 25

b 8 15 17
รปู ที่ 1.6 รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
9 40 41
11 60 61

12 35 37

13 84 85

16 63 65

20 21 29

28 45 53

33 56 65

48 55 73

(1.) ตวั เลขในแตละแถวจะประกอบกันเปน ดานของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยดาน c เปนดา น
ทีย่ าวท่สี ุด ซ่ึงเปนดา นท่ีอยตู รงกนั ขามกับมุมฉาก ทีเ่ หลือเปนดา นประกอบมุมฉาก

(2.) สมมติวา เราทราบวา รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากรปู หนงึ่ มีความยาวของดานเปนดงั รปู ที่ 1.7
B

5? เรากท็ ราบทนั ทเี ลยวา ดา น BC = 3 หนว ย
โดยทีไ่ มต องเสียเวลาคาํ นวณหาความยาวของ BC
A 4C
รปู ที่ 1.7 รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC

(3.) บรรทัดที่ “แรเงา” ควรจดจําเปน พเิ ศษ เพราะจะพบบอยมาก
N

? 24 ดังนัน้ ความยาวของดาน MN = 25 หนวย

M 7O
รูปที่ 1.8 รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก MON

เลม ที่ 1 ความรพู ืน้ ฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรสั 16

ตัวอยางที่ 1 จากรปู จงหาความยาวของดาน c
A

24 c

B7 C

วิธที าํ จากทฤษฎีบทปทาโกรัสจะได c2 = 242 + 72 ตอบ
= 576 + 49
= 625

c = 25
ดังนัน้ ความยาวของดาน c ยาว 25 หนว ย

ตัวอยา งที่ 2 จากรปู จงหาความยาวของดาน AC

B

17 15

AC

วิธที าํ จากทฤษฎีบทปทาโกรัสจะได AC2 = AB2 – BC2
= 172 – 152

= 289 – 225

= 64

c =8

ดังนั้น ความยาวของดาน AC ยาว 8 หนวย ตอบ

เลม ท่ี 1 ความรพู ื้นฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั 17

แบบฝก ทักษะท่ี จดุ ประสงคก ารเรียนรู : นักเรยี นนาํ ความรูเรอื่ งความคลา ยและทฤษฎี
1.2.2 บทปทาโกรัสมาใชในการแกป ญหาได
มมุ ฉาก

เม่อื x แทนความยาวของดานรปู สามเหล่ยี มมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้

จงหาคา x (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอท่ี 1

x 8

ขอ ท่ี 2 6
5
x

13

ขอท่ี 3 17

8

x

ขอท่ี 4 25
7
x
ขอท่ี 5
29
x 21

เลมที่ 1 ความรพู ื้นฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 18

แบบฝก ทกั ษะท่ี จดุ ประสงคก ารเรียนรู : นักเรียนนาํ ความรูเรอื่ งความคลา ยและทฤษฎี
1.2.3 บทปท าโกรสั มาใชใ นการแกป ญหาได
มุมฉาก

กาํ หนดให a , b และ c แทน ความยาวดา นของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

จงหาความยาวดา นท่ีเหลอื เม่ือกําหนดรูปใหดังน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

c
b

ขอที่ 1 a = 16 , b = 12 , c = a a = 5 , c = 13 , b =
ขอท่ี 2

ขอท่ี 3 b = 40 , c = 41 , a = ขอ ที่ 4 a = 30, c = 34 , b =

ขอที่ 5 a = 80 , b = 60 , c =

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั 19

แบบทดสอบหลังเรยี น

คาํ ช้ีแจง (1.) ใหนกั เรียนเลือกขอที่ถูกที่สุดเพยี งคาํ ตอบเดยี ว แลว ทาํ เคร่อื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มีจํานวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑการใหคะแนน ดังน้ี

- เลือกคาํ ตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถ ูกตองหรอื ไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. รปู สามเหลีย่ มสองรูปทค่ี ลา ยกันมีลกั ษณะอยางไร

ก. มคี วามยาวของเสนรอบรูปเทา กัน ข. มีพ้ืนท่ีเทา กัน

ค. มมี มุ เทากันสามคู ง. มคี วามยาวของฐานและความสงู เทากนั

2. ขอใดตอ ไปนี้ถูกตอง
ก. รปู สามเหลย่ี มใด ๆ ทุกรูปคลา ยกัน
ข. รูปสีเ่ หลีย่ มดา นขนานสองรปู ใด ๆ เปน รปู ท่คี ลา ยกัน
ค. รปู หกเหลี่ยมดา นเทาสองรปู ใด ๆ เปน รูปทค่ี ลายกัน
ง. รปู สามเหลย่ี มหนา จัว่ ทม่ี ีขนาดมุมยอดเทากันสองรปู ใด ๆ เปน รูปท่คี ลายกัน

3. จากรปู จะกําหนดสิ่งใด จงึ จะทําใCห Δ ABC ~ Δ DEC

DE ก. DE // AB

ข. กําหนดขนาดของมมุ C
ค. ความยาวดาน AB และ DE
ง. ใหม ุม B เปนมุมฉาก

AB

4. กําหนด BC // LM ดงั รูป ความยาวของ BC มคี า ตรงกบั ขอใด

B ก. 9 หนว ย
L ข. 9.50 หนว ย
56 ค. 10 หนว ย
ง. 10.50 หนวย

A 6 M3 C

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกีย่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั 20

5. จากรปู ท่กี าํ หนดให ถาดา น AE ยาว 7 เมตร ดาน ED ยาว 14 เมตร และ ดาน AB ยาว 50 เมตร

แลวดาน BCยาวกเี่ มตร C

A B ก. 25 เมตร
50 เมตร ข. 50 เมตร
ค. 75 เมตร
7 เมตร ง. 140 เมตร
D 14 เมตร E

6. จากรปู ขอใดถกู ตอง x ก. x2 = y2 + z2
ข. z2 = x2 + y2
y ค. y2 = x2 + z2
ง. x2 + y2 + z2 = 1

Z

7. ขอใดกลาวไมถูกตอง
ก. ดา นตรงขามมมุ ฉากเปน ดานทีย่ าวทสี่ ุด
ข. ความยาวดา นของสามเหล่ียมมมุ ฉากไมม คี วามสัมพนั ธกัน
ค. ดานประกอบมุมฉากสนั้ กวาดา นตรงขา มมมุ ฉากเสมอ
ง. สามเหล่ียมมุมฉากมมี มุ มุมหน่งึ ขนาด 90 องศา

8. จากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก EFG ที่กาํ หนดให ขอใดคือความยาวดา น EF
F 12 G

ก. 1 หนว ย

ข. 4 หนว ย
13 ค. 5 หนว ย

ง. 25 หนวย

E

เลมท่ี 1 ความรพู ื้นฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส 21

9. จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก MON ทีก่ ําหนดให ขอใดคอื ความยาวดา น MO

O1 ก. 2 หนว ย
N
ข. 2 หนว ย
ค. 3 หนว ย

3 ง. 3 หนว ย

M

10. รปู สามเหล่ียมมุมฉากรูปหน่งึ มีดา นประกอบมมุ ฉาก ยาว 5 หนว ย และ 12 หนว ย เสน รอบรปู

ของรูปสามเหล่ียมมีความยาวตรงกบั ขอใด

ก. 25 หนวย ข. 27 หนวย

ค. 28 หนวย ง. 30 หนว ย

*****************************************

พรอ มหรอื ยังคะที่จะเขาสูเนื้อหา
“อัตราสว นตรีโกณมิต”ิ

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกยี่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส 22

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น

เลม ที่ 1 เรอื่ ง ความรูพ้ืนฐานเก่ียวกับความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั

คาํ ช้แี จง : (1.) ใหน ักเรยี นเลือกขอท่ีถกู ที่สุดเพยี งคาํ ตอบเดียว แลว ทําเครื่องหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลังเรยี น มจี ํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชื่อ เลขท่ี ชั้น

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนท่ีได 10 ลงชื่อ ผตู รวจ

เกณฑการประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรบั ปรุง พอใช ดี ดีมาก
ระดับคุณภาพ

เลมท่ี 1 ความรูพื้นฐานเกยี่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส 23

ชือ่ – นามสกุล แบบบันทึกคะแนน เลขที่

ชน้ั

คาํ ช้ีแจง 1. ใหน ักเรยี นบนั ทกึ ผลการเรียนจากการทาํ แบบทดสอบกอนเรียน แบบฝกทักษะ
และแบบทดสอบหลังเรียน เพอ่ื ดูพฒั นาการเรยี นรจู ากการเรยี นดวยแบบฝกทกั ษะ

2. ใหท าํ เคร่อื งหมาย √ ท่ชี อ งสรุปผล เม่ือนักเรียนผา นเกณฑก ารประเมนิ หรือ
ไมผานเกณฑก ารประเมินจากการทําแบบฝกทักษะ แบบทดสอบกอนเรียนและ
หลงั เรยี น

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน ระดับ สรุปผล
เต็ม ทไ่ี ด คณุ ภาพ ผา น ไมผา น
1 แบบทดสอบกอ นเรียน 10
2 แบบฝกทกั ษะท่ี 1.1.1
3 แบบฝก ทักษะที่ 1.1.2 10
4 แบบฝกทักษะท่ี 1.2.1 10
5 แบบฝก ทกั ษะที่ 1.2.2 10
6 แบบฝก ทักษะที่ 1.2.3 10
7 แบบทดสอบหลงั เรยี น 10
10
รวม
60

เกณฑการประเมิน

9 – 10 คะแนน ระดบั คณุ ภาพ ดมี าก
7 – 8 คะแนน ระดบั คุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดับคณุ ภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดับคุณภาพ ควรปรบั ปรงุ

นักเรียนจะผา นเกณฑการประเมิน เม่ือไดค ะแนนตง้ั แต 7 คะแนนขึน้ ไป

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส 24

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทีป. (2548). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร : ตรีโกณมติ ิ. กรงุ เทพฯ :
ฟส ิกสเซน็ เตอร.

กลุมสาระการเรยี นรูคณิตศาสตร โรงเรยี นเตรยี มอดุ มศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรยี น
คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลขยกกาํ ลังและอตั ราสวนตรีโกณมติ .ิ กรงุ เทพฯ :
หจก. โรงพิมพวัชรินทร พี.พ.ี

เจริญ ภูภทั รพงศ และ ศรีลัดดา ภภู ัทรพงศ. (มปป.). คมู ือคณติ คดิ ลัดและเทคนิคทาํ โจทยเ ร็ว
คณิตศาสตรพ ้นื ฐานเขม ม.4 เลม 2. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER.

นพพร แหยมแสง. (2547). หนงั สือเรยี นสาระการเรยี นรูพ้ืนฐานคณิตศาสตร กลุม สาระ
การเรียนรูคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 2. กรงุ เทพ ฯ : บรษิ ทั พฒั นาคุณภาพ
วชิ าการ (พว.) จํากดั .

ปราณี รวธี นภัทร. (2557). แบบฝก ทักษะคณิตศาสตร เรือ่ ง อัตราสว นตรีโกณมติ ิ
วชิ าคณิตศาสตรพ น้ื ฐาน รหสั วชิ า ค31102 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 เลม ที่ 1
อัตราสวนตรีโกณมิต.ิ นครราชสีมา : โรงเรยี นดานเกวยี นวทิ ยา.

สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 2 กลุม สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพราว.

สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2555). คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน
คณิตศาสตร เลม 1 ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 3 กลุม สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ :
โรงพมิ พ สกสค.ลาดพรา ว.

สันนสิ า สมัยอย.ู (2557). ชดุ กิจกรรมคณติ ศาสตรแบบรว มมือ เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมิติ
รายวชิ าคณติ ศาสตรพ้ืนฐาน รหสั วิชา ค32101 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม ที่ 1
ความรูพื้นฐานเก่ยี วกบั รูปสามเหล่ยี มคลายและทฤษฎีบทพที าโกรสั . สตูล :
โรงเรียนละงูพทิ ยาคม.

เลมที่ 1 ความรูพ ื้นฐานเก่ียวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 25

ภาคผนวก

เลม ที่ 1 ความรพู ื้นฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปท าโกรสั 26

เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน (หนา 1) ขอ 6 ข
ขอ 1 ก ขอ 7 ง
ขอ 2 ง ขอ 8 ค
ขอ 3 ก ขอ 9 ข
ขอ 4 ง ขอ 10 ง
ขอ 5 ก

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 1.1.1 (หนา 8)

ขอ 1  AEB ~  BDC

A E จากรูปจะได มมุ E = มมุ D
มมุ ABE = มุม BCD
มมุ BAE = มุม DBC

B D ดงั น้ัน รูปสามเหลย่ี มสองรูปนี้คลายกนั

C

ขอ 2 AB  BE  AE
BC CD BD

ขอ 3  ABC ~  DEC
A

D จากรูปจะได มุม B = มมุ E
มมุ ACB = มมุ DCE

มุม BAC = มมุ EDC

ดงั นนั้ รูปสามเหลีย่ มสองรูปนี้คลายกัน

C EB

ขอ 4 DC  DE  CE
AC AB BC

ขอ 5 BC  AC  AB
CD CE DE

เลม ท่ี 1 ความรูพ ื้นฐานเก่ยี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรัส 27

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 1.1.2 (หนา 10)

ขอ 1 EF มคี วามยาวเทา กบั 80 หนวย

E วธิ ีทาํ จากรปู จะได EF = CF
BC AB
EF 120
4 = 6

C 120 F EF = 120  4
4 6

ดังนนั้ EF = 80 หนวย

A6 B

ขอ 2 AB มีความยาวเทากบั 20 หนวย

A วธิ ที ํา จากรปู จะได AB = CB
DE CE
D AB 30
2 = 3

2 AB = 30  2
3

C 3E B ดงั นัน้ AB = 20 หนวย
30

ขอ 3 CD มคี วามยาวเทากับ 36 หนวย

B วธิ ีทาํ จากรปู จะได CD = BC
5 AD AB
CD 15
15 12 = 5

C CD = 15 12
ดงั นั้น 5
A 12 D
CD = 36 หนว ย

เลมที่ 1 ความรูพืน้ ฐานเกี่ยวกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรสั 28

ขอ 4 QR มคี วามยาวเทา กับ 3 หนว ย

A1 C P 1.5 R

2
B

Q

วิธที ํา จากรปู จะได QR = PR
BC AC
QR 1.5
2 = 1

QR = 1.52

ดงั นน้ั QR = 3 หนวย

ขอ 5 PQ มีความยาวเทากับ 4 หนว ย

จากรปู PQˆS  PRˆS และมีความยาวแตละดานตามท่ีกําหนดดังรปู
จงหาความยาวดาน PQ

Q
13

P x 5R
วิธที ํา จากรปู จะได
10 2
ดังนั้น S
PQ Px
RS = Rx

PQ = 10
2 5

PQ = 10 2
5

PQ = 4 หนว ย

เลมที่ 1 ความรูพ ื้นฐานเกย่ี วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรสั 29

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 1.2.1 (หนา 14)
ขอ 1 x2 = y2 + z2
ขอ 2 b2 = a2 + c2
ขอ 3 o2 = m2 + n2
ขอ 4 p2 = q2 + r2
ขอ 5 52 = 42 + 32

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 1.2.2 (หนา 17)

ขอ 1 x = 10

x วธิ ีทาํ จากทฤษฎีบทปทาโกรสั จะได
x 2 = 82 + 62
6
8 = 64 + 36
= 100

x = 10

ดงั นนั้ ความยาวของดา น x ยาว 10 หนวย

ขอ 2 x = 12
5 วธิ ที าํ จากทฤษฎบี ทปท าโกรัสจะได
x 2 = 132 – 52
13
x = 169 – 25
= 144

x = 12
ดังน้นั ความยาวของดา น x ยาว 12 หนว ย

ขอ 3 x = 15
17 วิธีทํา จากทฤษฎบี ทปท าโกรัสจะได
x 2 = 172 – 82
x = 289 – 64
= 225

8 x = 15
ดังนน้ั ความยาวของดาน x ยาว 15 หนว ย

เลมที่ 1 ความรูพื้นฐานเกยี่ วกบั ความคลายและทฤษฎบี ทปท าโกรัส 30

ขอ 4 x = 24
7 วธิ ที ํา จากทฤษฎีบทปทาโกรสั จะได
x 2 = 252 – 72

25 = 625 – 49
= 576

x = 24
x ดงั นน้ั ความยาวของดา น x ยาว 24 หนวย

ขอ 5 x = 20

วธิ ที ํา จากทฤษฎีบทปท าโกรัสจะได
x 2 = 292 – 212
x 29
= 841 – 441

= 400

21 x = 20
ดังนนั้ ความยาวของดาน x ยาว 20 หนวย

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 1.2.3 (หนา 18)

ขอ 1 c = 20 วธิ ที ํา จากทฤษฎีบทปทาโกรสั จะได
12 c c2 = 162 + 122
= 256 + 144
16 = 400
c = 20

ดังนัน้ ความยาวของดาน c ยาว 20 หนวย

ขอ 2 b = 12 วิธีทํา จากทฤษฎบี ทปท าโกรัสจะได
b 13 b2 = 132 – 52
= 169 – 25
5 = 144
b = 12

ดังน้นั ความยาวของดาน b ยาว 12 หนวย

เลมที่ 1 ความรพู ื้นฐานเก่ียวกบั ความคลายและทฤษฎีบทปทาโกรัส 31

ขอ 3 a = 9 วธิ ที าํ จากทฤษฎีบทปทาโกรสั จะได
40 41 a2 = 412 – 402
= 1,681 – 1,600
a = 81
a =9

ดังนั้น ความยาวของดา น a ยาว 9 หนว ย

ขอ 4 b = 16 วธิ ีทํา จากทฤษฎบี ทปท าโกรัสจะได
b 34 b2 = 342 – 302
= 1,156 – 900
30 = 256
b = 16

ดงั น้ัน ความยาวของดา น b ยาว 16 หนวย

ขอ 5 c = 100 วธิ ีทํา จากทฤษฎบี ทปท าโกรสั จะได
60 c c2 = 802 + 602
= 6,400 + 3,600
80 = 10,000
c = 100

ดงั น้ัน ความยาวของดาน c ยาว 100 หนว ย

 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น (หนา 19) ขอ 6 ข
ขอ 1 ก ขอ 7 ง
ขอ 2 ง ขอ 8 ค
ขอ 3 ก ขอ 9 ข
ขอ 4 ก ขอ 10 ง
ขอ 5 ก

*****************************************

แบบฝกึ ทักษะ เร่อื ง อัตราส่วนตรีโกณมิติ จานวน 8 เล่ม

นางภคั จริ า กิตติสิรบิ ณั ฑติ
กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรยี นวชั รวิทยา จงั หวดั กาแพงเพชร
e-mail : [email protected]