เล่มที่ 4

แบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ

วิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน รหัสวชิ า ค31102

ตรงตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551

ระดบั ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

4เลม่ ท่ี อัตราสว่ นกลบั ของ
อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ

A

Unit circle  cot

E cos B tan
csc C
 

1
sin



0 sec D

นางภัคจิรา กิตติสริ บิ ณั ฑิต

วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรยี นวชั รวทิ ยา จงั หวัดกาแพงเพชร
สานกั งานเขตพืน้ ที่การศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน

กระทรวงศึกษาธกิ าร

เลมที่ 4 อตั ราสว นกลับของอตั ราสวนตรโี กณมติ ิ ก

คํานํา

แบบฝกทักษะ เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมติ ิ วิชาคณติ ศาสตรพ น้ื ฐาน รหัสวิชา ค31102
ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 โรงเรียนวชั รวทิ ยา จงั หวดั กาํ แพงเพชร สาํ นกั งานเขตพืน้ ท่กี ารศึกษา
มธั ยมศกึ ษา เขต 41 จดั ทาํ ข้ึนเพ่ือใชใ นการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรพื้นฐาน มงุ เนนใหผ เู รียน
มีความรู มที ักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร สามารถแกโจทยป ญหาไดอ ยางถูกตอง พัฒนา
ทกั ษะ กระบวนการคดิ คิดอยา งมเี หตุผลเชอื่ มโยงความรไู ดอยางสรา งสรรค ซง่ึ เปน พ้นื ฐาน
การคาํ นวณและมีทักษะกระบวนการคดิ ในระดับช้นั ท่ีสงู ข้ึนไป แบบฝก ทกั ษะ เรื่อง อัตราสว น
ตรีโกณมติ ิ วชิ าคณิตศาสตรพ ้ืนฐาน รหัสวิชา ค 31102 ระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 4 นี้มีท้ังหมด
8 เลม ไดแ ก

เลมที่ 1 เรื่อง ความรพู ้ืนฐานเกยี่ วกับความคลา ยและทฤษฎีบทปทาโกรสั
เลมท่ี 2 เรอ่ื ง อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก
เลม ท่ี 3 เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60
เลม ที่ 4 เร่อื ง อตั ราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมิติ
เลมที่ 5 เรื่อง การหาคาอตั ราสวนตรโี กณมิตขิ องมมุ 0  90 จากตาราง
เลมท่ี 6 เร่ือง ความสัมพันธระหวา งอัตราสว นตรีโกณมติ ิ
เลมท่ี 7 เรือ่ ง การประยกุ ตของอตั ราสวนตรีโกณมิตเิ พ่ือแกปญหาสามเหล่ียม
เลม ที่ 8 เรอ่ื ง การนําอัตราสวนตรีโกณมิติไปประยกุ ตใช

สาํ หรบั แบบฝกทกั ษะ เลมท่ี 4 เรื่อง อตั ราสว นกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ
ประกอบดวย คําแนะนาํ ในการใชแ บบฝก ทกั ษะ ใบความรู แบบฝกทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน เฉลยแบบฝกทักษะ และเฉลยแบบทดสอบกอ นเรียนและแบบทดสอบ
หลังเรียน ใชเวลาท้งั หมด 2 ชว่ั โมง

หวังวาแบบฝกทกั ษะ เรื่อง อัตราสว นตรีโกณมติ ิ วชิ าคณติ ศาสตรพนื้ ฐาน
รหสั วชิ า ค31102 ระดับช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 จะเปน ประโยชนกบั ครูผูส อนวชิ าคณิตศาสตร
ในการนําไปใชเปน แบบฝก ทักษะในการเรียนใหกับนักเรยี นตอ ไป และมสี วนชว ยใหน ักเรียน
ไดเ กิดการเรยี นรูอยางเปนระบบ เพ่อื ยกระดบั คณุ ภาพการศึกษาใหม ปี ระสทิ ธิภาพย่ิงข้ึน

ภัคจิรา กติ ติสิรบิ ัณฑติ

เลม ที่ 4 อัตราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมิติ ข

สารบญั

เรอื่ ง หนา

คาํ นาํ ก
สารบัญ ข
คาํ ชีแ้ จงการใชแ บบฝก ทักษะสําหรับครู ค
คําชแ้ี จงการใชแ บบฝกทักษะสาํ หรบั นักเรยี น ง
เกณฑการใหคะแนนแบบฝก ทกั ษะ จ
มาตรฐานการเรียนรู ตวั ชีว้ ดั และจดุ ประสงคก ารเรียนรู ฉ
แบบทดสอบกอนเรียน 1
ใบความรทู ี่ 4.1 4
แบบฝก ทักษะที่ 4.1.1 7
ใบความรูที่ 4.2 8
แบบฝกทกั ษะท่ี 4.2.1 10
แบบฝกทกั ษะท่ี 4.2.2 13
แบบฝก ทักษะท่ี 4.2.3 15
แบบฝกทักษะท่ี 4.2.4 19
ใบความรทู ่ี 4.3 22
แบบฝก ทักษะที่ 4.3.1 23
แบบทดสอบหลงั เรียน 25
แบบบนั ทึกคะแนน 28
บรรณานุกรม 29
ภาคผนวก 30
31
เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน 31
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 4.1.1 32
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 4.2.1 33
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 4.2.2 35
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 4.2.3 37
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 4.2.4 40
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 4.3.1 42
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

เลมที่ 4 อัตราสวนกลับของอัตราสว นตรีโกณมิติ ค

คาํ ชีแ้ จงการใชแ บบฝก ทกั ษะสาํ หรับครู

1. ครูเตรียมแบบฝก ทักษะ เร่ือง อัตราสว นตรโี กณมติ ิ สําหรับนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษา
ปที่ 4 ใหครบตามจํานวนนักเรียน

2. ศึกษาคมู ือครกู ารใชแบบฝก ทักษะคณิตศาสตรใหเขาใจ
3. ชีแ้ จงขน้ั ตอนการเรียนโดยใชแ บบฝกทักษะคณิตศาสตรนี้ใหน กั เรียนเขาใจ
4. ใหน ักเรียนทาํ แบบทดสอบกอนเรยี น กอนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู ทาํ แบบฝก ทกั ษะ

และตรวจคาํ ตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะแบบฝก ทักษะ
5. ดแู ลนักเรยี นใหป ฏิบัตติ ามขั้นตอนและใหค ําแนะนําเมื่อนกั เรียนพบปญ หา
6. ประเมนิ ผลการเรยี นของนักเรยี นอยางตอ เน่ืองและใหแรงเสริมในการปฏบิ ัติกิจกรรม

ของนักเรียน
7. ใหน ักเรยี นทําแบบทดสอบหลงั เรียน เมอ่ื ศึกษาเนื้อหาจากใบความรูและ

ทําแบบฝก ทักษะเสรจ็ สน้ิ
8. บันทกึ ผลการประเมินหลังการจัดการเรยี นรโู ดยใชแ บบฝก ทกั ษะทุกครง้ั
9. แบบฝกทกั ษะเลม นี้ สามารถใชก จิ กรรมการเรียนรู หรือใชสอนซอมเสริมกับนักเรยี น

ทเ่ี รียนชา หรือเรยี นไมท ันเพื่อน
10. ครอู าจปรบั เปลยี่ นกิจกรรมการเรยี นรูไดตามเหมาะสมกับนักเรยี นและสถานการณ

ที่นาํ ไปใช

เลมที่ 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสว นตรีโกณมิติ ง

คําชี้แจงการใชแ บบฝกทักษะสาํ หรบั นกั เรยี น

แบบฝก ทกั ษะ เร่ือง อัตราสว นตรโี กณมิติ สําหรบั นกั เรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 4 มีทั้งหมด
8 เลม และเลม นี้เปนเลมท่ี 4 เร่อื ง อตั ราสวนกลับของอัตราสวนตรีโกณมติ ิ ใชสาํ หรับประกอบ
การเรยี นรใู นวิชาคณติ ศาสตรพน้ื ฐาน รหัสวชิ า ค31102 นักเรียนควรศกึ ษาและอา นคําชแ้ี จงการ
ใชแบบฝกทักษะใหเ ขาใจและปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนดังตอไปนี้

1. แบบฝก ทกั ษะเลมนี้ทําข้นึ เพ่อื ใหนักเรยี นไดพฒั นาการเรียนรขู องตนเองเพือ่ แกปญ หา
การเรียนรู เรอื่ ง อัตราสวนตรีโกณมิติ

2. แบบฝก ทกั ษะคณติ ศาสตรแตละเลมใหน ักเรียนปฏิบตั ดิ ังน้ี
2.1 ศึกษาขัน้ ตอนการใชแบบฝก ทักษะใหเ ขาใจชัดเจน
2.2 นักเรียนศึกษาจุดประสงคการเรยี นรูใหเขาใจกอนลงมอื ปฏิบตั ิ
2.3 นักเรยี นทาํ แบบทดสอบกอนเรยี น จํานวน 10 ขอ ตามความเขา ใจ
ของตนเองดว ยความซือ่ สัตย แลวตรวจคําตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอ นเรียนในภาคผนวกแลวบนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
2.4 นกั เรยี นศึกษาและทําความเขา ใจใบความรูและทําแบบฝก ทกั ษะดว ยตนเอง
และตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละแบบฝกทักษะตามลาํ ดับ
เมือ่ พบปญหาใหขอคําแนะนาํ จากครทู นั ที
2.5 เมื่อนกั เรียนศกึ ษาและฝกทาํ กจิ กรรมเสร็จแลว ใหทําแบบทดสอบหลังเรียน
แลว ตรวจคาํ ตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียนในภาคผนวกแลว บนั ทึก
คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

3. การประเมนิ ผลการเรยี น นักเรียนจะตองทาํ ถูกรอยละ 80 ขนึ้ ไป ของจํานวนขอ
ทง้ั หมดในแตละแบบฝกทักษะ จึงผา นเกณฑการประเมนิ ของแตละแบบฝก ทักษะ
3.1 ผานเกณฑก ารประเมนิ ใหศกึ ษาแบบฝกทักษะชุดตอไป
3.2 ไมผา นเกณฑการประเมินใหย อ นกลับไปศึกษาและทําความเขาใจเนื้อหา
จากใบความรูและทําแบบฝก ทักษะดว ยตนเองใหม

ศึกษาแบบฝก ทกั ษะดว ยความตั้งใจ
เพื่อพัฒนาทกั ษะทางคณติ ศาสตร

ใหด ียิ่งขึ้นไป

เลม ท่ี 4 อตั ราสว นกลับของอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ จ

เกณฑก ารใหค ะแนนแบบฝกทกั ษะ

1. แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบกอ นเรยี นและหลงั เรยี น เปนแบบเลือกตอบ มี 4 ตวั เลือก โดยมเี กณฑ

การใหคะแนน ดงั น้ี

- เลอื กคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลอื กคําตอบไมถูกตอ งหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

2. แบบฝกทักษะ

แบบฝก ทักษะในแตละขอมีการใหคะแนนไมเทากันใหเ ลอื กใชใหถ ูกตอ ง ดังนี้

ระดับคะแนน เกณฑการใหคะแนน
1
คาํ ตอบถูกตอง มีการแสดงวิธที ําทีม่ ปี ระสิทธภิ าพ
0 โดยแสดงวิธคี ดิ เปนระบบและการคดิ วิเคราะห

คําตอบไมถูกตอง มกี ารแสดงวิธที ําแตไ มส มบรู ณ
หรอื แสดงวธิ ที าํ ไมถูกตอง

ระดับคะแนน เกณฑการใหคะแนน
2
1 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวธิ ีทาํ ทม่ี ปี ระสิทธภิ าพ
0 โดยแสดงวิธีคดิ เปนระบบและการคดิ วเิ คราะห

คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวิธที าํ แตไ มสมบูรณ
คําตอบไมถกู ตอง มีการแสดงวธิ ที ําแตไ มส มบูรณ
หรอื แสดงวิธที ําไมถกู ตอ ง

ระดับคะแนน เกณฑก ารใหค ะแนน

3 คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวธิ ีทาํ ทม่ี ปี ระสิทธภิ าพ
โดยแสดงวธิ คี ดิ เปน ระบบและการคดิ วเิ คราะห
2
1 คาํ ตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทาํ แตไมสมบรู ณ

0 คําตอบถกู ตอง ไมมกี ารแสดงวธิ ที ํา
คําตอบไมถูกตอง มกี ารแสดงวิธีทําแตไ มสมบรู ณ
หรอื แสดงวธิ ที ําไมถกู ตอง

เลมที่ 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสวนตรโี กณมิติ ฉ

มาตรฐานการเรยี นรู ตัวช้วี ดั และจดุ ประสงคการเรียนรู

มาตรฐานการเรียนรแู ละตวั ช้วี ัด
สาระที่ 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา ใจพนื้ ฐานเกย่ี วกบั การวดั วัดและคาดคะเนขนาดของ
ส่งิ ท่ตี อ งการวัด
ตวั ชวี้ ัด ม.4-6/1 ใชความรเู รื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิติของมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสงู
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกีย่ วกบั การวัด
ตัวชี้วดั ม.4-6/1 แกโจทยปญหาเกี่ยวกบั ระยะทางและความสูงโดยใช
อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ

จดุ ประสงคการเรยี นรู

ดา นความรู (Knowledge)
1. นกั เรยี นสามารถหาอัตราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรโี กณมติ ขิ องมุมทีก่ ําหนดใหไ ด

ดา นทกั ษะกระบวนการ (Process)
1. มีความสามารถในการแกปญหา
2. มคี วามสามารถในการใหเ หตุผล
3. มีความสามารถในการส่ือสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตรแ ละการนําเสนอ

ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (Attitude) พรอ มเรียนแลวคะ
1. ซ่ือสตั ยส จุ รติ
2. มีวนิ ัย
3. ใฝเ รยี นรู
4. มงุ มน่ั ในการทาํ งาน

เลมที่ 4 อัตราสว นกลับของอัตราสวนตรีโกณมิติ 1

แบบทดสอบกอนเรียน

คาํ ชแ้ี จง (1.) ใหนกั เรยี นเลือกขอที่ถูกทีส่ ุดเพียงคําตอบเดียว แลวทําเครอ่ื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มจี าํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑก ารใหคะแนน ดังน้ี

- เลือกคาํ ตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลอื กคําตอบไมถูกตอ งหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. ขอ ใดเปนคา ของ x เมอื่ กาํ หนดสมการ cosec2 30  3x cot245  2 sec260 = 0
3 3
ก. 4 ข.  4

ค. 4 ง.  4
3 3

2. ขอ ใดเปนคา ของ sin 30cosec 30 ข. 1
ง. 3
ก. 0
ค. 2

3. ขอ ใดเปนคา ของ 2sin 30cos 30cot 60 1
2
ก. 0 ข.

ค. 3 ง. 4
2 3

4. คา ของ 4 cot2 45  3cot260 เทากับขอใด ข. 3
ง. 5
ก. 2
ค. 4

5. sin2 A cos2A  tan2A cosec2A sec2A cot2A มีคาเทากับเทาใด

ก. - 1 ข. 0

ค. 1 ง. 2

6. ถา sec A  13 และ 0  A  90 ขอ ใดคอื คา cosec A  cot A
5 cosec A  cot A
2 2
ก. 3 ข. 9

ค. 4 ง. 4
9 81

เลมท่ี 4 อัตราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 2

7. ถา 13cos A  12 แลว sec A  tan A เทา กบั ขอใด
2 2
ก. 3 ข. 9
4
ค. 4 ง. 81
9

8. ขอ ใดคือคา ของ 1 sec 60  1 cosec2 30  2cot245  cot2 30
2 4
ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

9. กําหนดให 5 sin A  3 ขอใดคือคา ของ 3cosec A
9cosec A
1 1
ก. 2 ข. 3
ง. 1
ค. 1 5
4

10. ขอ ใดคอื คา ของ 3tan2 45  sin2 60  1 cot2 30  1 sec2 45
2 8
ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

******************************************

ความพยายามอยทู ่ีไหน
ความสําเร็จอยทู ีน่ นั้

เลมที่ 4 อัตราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 3

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบกอ นเรียน

เลม ที่ 4 เรื่อง อัตราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรโี กณมิติ

คาํ ชแี้ จง : (1.) ใหนกั เรียนเลอื กขอท่ีถูกทสี่ ุดเพียงคาํ ตอบเดยี ว แลว ทําเคร่ืองหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรียน มจี ํานวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ช่ือ เลขท่ี ชนั้

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไี่ ด 10 ลงช่ือ ผตู รวจ

เกณฑการประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดบั คะแนน ควรปรบั ปรุง พอใช ดี ดีมาก
ระดบั คุณภาพ

เลมที่ 4 อตั ราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 4

ใบความรทู ี่ 4.1

นอกจากอัตราสว นตรีโกณมติ ิทไี่ ดกลาวไปแลว ในเลมท่ี 2 เรื่อง อัตราสว นตรีโกณมติ ิของ
สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ยังมีอตั ราสวนตรโี กณมติ อิ ีก 3 อัตราสวน ดงั นี้

1. โคเซแคนตข องมุม A แทนดวย cosecant A หรอื เขียนยอวา cosec A หรอื csc A
คอื สวนกลบั ของ sin A เม่อื sin A  0 นน่ั คอื cosec A = 1 , sin A  0

sin A
2. เซแคนตข องมมุ A แทนดวย secant A หรือเขียนยอวา sec A คอื สวนกลับของ cos A
เมอื่ cos A  0 นน่ั คอื sec A = 1 , cos A  0

cos A
3. โคแทนเจนตของมมุ A แทนดว ย cotangent A หรอื เขยี นยอวา cot A คือ สว นกลับของ
tan A เม่ือ tanA  0 นั่นคอื cot A = 1 , tanA  0

tan A

บทนิยาม กําหนด ABC เปน สามเหลย่ี มมมุ ฉากท่ีมมี มุ C เปน มมุ ฉาก
B

ca

A  C
b

รูปท่ี 4.1 รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC

จากรปู จะไดว า cosec A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
ความยาวของดา นตรงขา มมุม A

sec A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก
ความยาวของดา นประชดิ มุม A

cot A = ความยาวของดา นประชิดมมุ A
ความยาวของดา นตรงขามมุม A

เลมท่ี 4 อตั ราสวนกลับของอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 5

B

ca

A bC = c
รูปที่ 4.2 รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC = a
= c
จากรปู ที่ 4.2 จะไดว า cosec A = ฉาก b
ขา ม b
a
sec A = ฉาก
ชิด

cot A = ชดิ
ขาม

เราสามารถสรุป อตั ราสวนตรีโกณมิติเปนสวนกลบั ของกนั และกนั ไดแก
sin A = 1 และ cosec A = 1
cosec A sin A

cos A = 1 และ sec A = 1
sec A cos A

tan A = 1 และ cot A = 1
cot A tan A

เลม ที่ 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสวนตรโี กณมิติ 6

ตารางท่ี 1 แสดงอตั ราสวนของความยาวของดา นของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากซงึ่ เปน คาคงตัวไว

มุม sin cos tan cosec sec cot

B

A BC AC BC AB AB AC
AB AB AC BC AC BC

AC

2 B 1 31 2 2 3
2 23 3
30 1 30
A C
3

B

2 1 45 2 2 1 2 2 1
2 2 2 2
45
A C
1

2 B 3 1 2 2 1
2 2 33 3
60 3 60
A C
1

วาว ! จํางายขึ้นเยอะเลย
...

เลม ที่ 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสวนตรโี กณมติ ิ 7

แบบฝกทักษะที่ จดุ ประสงคการเรียนรู : นักเรยี นสามารถหาอัตราสวนกลับของอัตราสวน
4.1.1 ตรีโกณมิตขิ องมุมท่กี ําหนดใหได
มุมฉาก

จงเตมิ คาลงในชองวา งใหสมบูรณ ครบถว น (ขอละ 3 คะแนน) + 1 คะแนน

1. มมุ cosec sec cot
B

2 1
A 30 3 C 30

2. B
1 45
2 C

A 45 B
3 60
1 C

3.

2

A 60

1

เลมท่ี 4 อตั ราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 8

ใบความรูท ่ี 4.2

ความสัมพนั ธระหวา งอตั ราสวนตรโี กณมิติและอตั ราสว นกลับของอัตราสวนตรีโกณมิติ

ตวั อยางที่ 1 รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มีความยาวดา นตาง ๆ จงหาอัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมมุ A

ทุกอัตราสว น B

c
a

AC
b

วธิ ีทาํ จากรปู จะได sin A = a
c

cos A = b
c

tan A = a
b

cot A = b
a

sec A = c
b

cosec A = c
a

Note : sin A กบั cosec A มีคา เปน สว นกลบั ซ่ึงกันและกัน

cos A กับ sec A มีคาเปนสวนกลับซึง่ กันและกัน

tan A กบั cot A มีคา เปน สว นกลับซงึ่ กนั และกัน

เลม ท่ี 4 อตั ราสว นกลับของอัตราสว นตรโี กณมิติ 9

ตวั อยางท่ี 2 จากรปู ทกี่ าํ หนดให จงหา
1. sin A , tan A , sec B
2. sin B , cos B , cosec B , tan B

B

5
4

A C
3 tan A = 4
3
วธิ ีทํา 1. sin A , tan A , sec B
จากรปู จะไดว า sin A = 4 cos B = 4
5 5
sec A = 5
3 tan b = 3
4
2. sin B , cos B , cosec B , tan B
จากรูปจะไดวา sin B = 3
5
cosec B = 5
3

เขาใจกันแลวใชไหมคะ
ลองทําแบบฝกทักษะตอกนั เลยดีกวา

เลม ที่ 4 อัตราสวนกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 10

แบบฝกทักษะที่ จดุ ประสงคก ารเรยี นรู : นักเรียนสามารถหาอัตราสว นกลบั ของอตั ราสวน
4.2.1 ตรีโกณมติ ิของมุมท่กี ําหนดใหได
มมุ ฉาก
จงเติมชองวางใหส มบูรณ (จํานวนที่เขียนกาํ กบั ดา นของรปู สามเหลี่ยมแสดง

ความยาวของดา นมีหนว ยเปน หนว ยวัดความยาว) (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 4 (1.) sin A =
5 (2.) cos A =
C A
3 (3.) tan A =
B (4.) cosec A =
(5.) sec A =
(6.) cot A =

ขอท่ี 2 (1.) sin R =
P (2.) cos R =
13
R 12 (3.) tan R =
5

(4.) cosec R =
Q (5.) sec R =

(6.) cot R =

เลมท่ี 4 อัตราสว นกลับของอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 11

ขอที่ 3 (1.) sin N =
(2.) cos N =
O8 N (3.) tan N =
(4.) cosec M =
6 10 (5.) sec M =
M (6.) cot M =

ขอท่ี 4 (1.) sin R =
(2.) cos R =
S 20 (3.) tan R =
15 R (4.) cosec T =
(5.) sec T =
T 25 (6.) cot T =

ขอที่ 5 (1.) sin E =

17 E (2.) cos E =
F 15
8 (3.) tan E =
(4.) cosec F =

G (5.) sec F =

(6.) cot F =

เลมที่ 4 อัตราสวนกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 12

ตวั อยา งที่ 3 จงหาคาของ 2 sin 30 cosec 30 cot 30  2  1 2 3
วิธที าํ 2 sin 30 cosec 30 cot 30 =  2

=
23

ตวั อยางที่ 4 จงหาคา ของ cot 45 tan 60 sec 30  1 3  2 
วธิ ีทาํ cot 45 tan 60 sec 30 = 3

= 2

ตวั อยา งที่ 5 จงหาคาของ 3 tan 45 - sin260 - 1 cot230 + 1 sec2 45
2 8
45 - sin260 - 1 cot230 + 1 sec2 45
วิธที ํา 3 tan 2 8

 = 3 1   3 2   1  32
 2 2

2 2
  1  2 
8

= 3   3    1 3   1  4 
 4  2  8 2

= 3   3    3    1 
 4  2 4

= 12 - 3 - 6 1
4
4
= 4

=1

เขาใจแลว ใชไ หม ไปลองทํา…..
แบบฝก ทกั ษะกันเลยดกี วา

เลมท่ี 4 อัตราสว นกลับของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 13

แบบฝก ทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรียนรู : นักเรียนสามารถหาอัตราสว นกลับของอตั ราสวน
4.2.2 ตรีโกณมติ ขิ องมุมท่กี ําหนดใหได
มุมฉาก

จงหาคา ตอไปน้ี (ขอละ 1 คะแนน)

ขอ ท่ี 1 sin 60 cos 45 cot 45 =
=
=

ขอที่ 2 sec 30 cosec 60 cot 30 =
=
=

ขอ ท่ี 3 sin 45cos 45 cot 45 =
=
=

ขอ ท่ี 4 cosec 30sec 60tan 60 =
=
=

ขอ ที่ 5 2 sec 45cosec 45 tan 45 =
=
=

เลม ท่ี 4 อัตราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ 14

ขอ ที่ 6 3 coesc2 60 8cos2 45  3cot 230 
   

=

=

=

ขอท่ี 7 sec2 45 cosec245 cot2 45
=
=
=

ขอที่ 8 cosec230 sec260 cot 230
=
=
=

ขอ ที่ 9  sin 30  sec 30    cos 60  cosec 60 



=

=

=

ขอที่ 10 cosec2 30 tan245  cot245
=
=
=

เลม ท่ี 4 อัตราสว นกลบั ของอตั ราสวนตรโี กณมิติ 15

แบบฝกทักษะท่ี จุดประสงคก ารเรียนรู : นกั เรยี นสามารถหาอัตราสว นกลับของอตั ราสวน
4.2.3 ตรีโกณมิตขิ องมมุ ทก่ี ําหนดใหได
มมุ ฉาก

จงหาคาตอไปน้ี (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ ที่ 1 1 cosec260 sec245  2cot2 60
วิธีทาํ 2

ขอ ท่ี 2 cosec260 cot245  2sin2 60
วิธที าํ

ขอ ที่ 3 sec 30cot30 2sec245 2cos 60tan45  tan260
วิธีทํา

เลมท่ี 4 อตั ราสวนกลบั ของอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ 16

ขอท่ี 4 3 tan2 30  4 cos2 30  1 sec2 45  1 sin2 60
วธิ ที ํา 3 2 3

ขอท่ี 5 tan2 60 sin32si3n045ccoost42560cos2 60
วธิ ที าํ

เลม ที่ 4 อตั ราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรโี กณมิติ 17

ตวั อยา งท่ี 6 ให ABC เปนสามเหลย่ี มมุมฉาก ซึ่งมุม B เปนมุมฉาก และ tan A = 1
2

จงหา sin A , tan C , cos A และ sin C

วธิ ีทํา จากโจทยจ ะไดรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ดงั น้ี = AB2 + BC2
C = 22 + 12
AC2 = 4+1
15 = 5

B 2 A AC = 5

ดงั น้ัน sin A = 1= 5

55
2=
tan C = 1 2

cos A = 2= 25
5 5

sin C = 2= 25
5 5
จากรปู ถา sin A = 2 แลว จงหาคาอตั ราสวนตรีโกณมิติทง้ั หมดของมุม A และมุม B
ตวั อยา งที่ 7 5B

AC

วิธที ํา จากโจทยร ปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC และ sin A = 2
5
B ดงั นั้น BC = 2 และ AB = 5

และ AC2 = AB2 – BC2
= 52 – 22
52 = 25 – 4

= 21

A 21 C AC = 21

เลม ท่ี 4 อัตราสว นกลับของอตั ราสว นตรโี กณมิติ 18

ดงั นน้ั sin A = 2 และ cosec A = 5
5 2

cos A = 21 และ sec A = 5 = 5 21
5 21 21

tan A = 2 และ cot A = 21
21 2

sin B = 21 = 2 21
5 21

และ cosec B = 5 = 5 21
21 21
cos B = 2 และ sec B = 5
tan B =
5 และ cot B = 2
21 2 = 2 21
21 21
2

พรอ มลยุ ...
แบบฝกทักษะกันตอ ดกี วา คะ

เลมที่ 4 อัตราสวนกลบั ของอัตราสว นตรีโกณมติ ิ 19

แบบฝก ทกั ษะที่ จดุ ประสงคการเรียนรู : นักเรยี นสามารถหาอัตราสวนกลับของอัตราสว น
4.2.4 ตรีโกณมติ ขิ องมมุ ทกี่ าํ หนดใหได
มมุ ฉาก

จงหาคาตอ ไปนี้ (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 จากรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC
C

10 3
A1 B
จงหาคาของ sin2 A + cos2 A + tan2 C

ขอ ที่ 2 กําหนด sin A = 5 คาของ sec A - tan A มคี า่ เทา กบั เทาใด
13 cos A - sin A

เลมที่ 4 อตั ราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 20

ขอที่ 3 ในสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ท่มี มี มุ C เปน มุมฉาก ถา tan A = 3 แลว
4
10 sin A - 6 cos A
คา ของ 4 sin A  3 cos A มีคา่ เทา กบั เทาใด

ขอ ที่ 4 ในสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ท่มี มี มุ B เปน มุมฉาก ถา cos A = 4 แลว
5

คา ของ 5 sin A - tan A มีคาเทา กบั เทา ใด
1 1

cos A

เลม ที่ 4 อตั ราสว นกลับของอัตราสวนตรโี กณมิติ 21

ขอท่ี 5 กาํ หนดรูปสามเหลี่ยม ABC เปน รูปสามเหล่ยี มหนา จั่ว มี BC เปน ฐาน 4 หนวย
และความยาวรอบรูปของรปู สามเหล่ียมเทากบั 10 หนว ย จงหาอตั ราสวน
ตรีโกณมติ ิท้ัง 6 ของมมุ B

คณติ ศาสตรใ หค วามรู
เพอ่ื ตอ สูอุปสรรคนะคะ

เลมท่ี 4 อัตราสว นกลับของอตั ราสวนตรโี กณมิติ 22

ใบความรูท ่ี 4.3

การแกสมการโดยการใชอตั ราสวนกลับของอตั ราสว นตรโี กณมิติ

1. ใชห ลกั การแกส มการเหมือนการแกสมการเชงิ เสน ตวั แปรเดยี ว
2. แทนคา sin A , cos A , tan A , cosec A , sec A และ cot A ตามที่โจทยกาํ หนด
3. ดาํ เนินการแกส มการเพอ่ื หาคําตอบ

ตัวอยางที่ 1 จงหาคา x จากสมการ cosec230  3x cot245  2 sec260

วิธีทํา จาก cosec230  3x cot245 = 2 sec260
22  3x(1)2 = 222
จะได

4 – 3x =8

–3x = 8–4
4
ดังน้ัน x =  3

ตวั อยา งท่ี 2 จงหาคา x จากสมการ x sec60 cot60  1  cos2 45

วธิ ีทํา จาก x sec60 cot60 = 1  cos2 45
2 2
จะได x 2 1  = 1   2 
3  

x  2  = 1
 3  2

x = 1 3
22
3
ดงั น้ัน x = 4

เขาใจแลว ใชไ หม...ไปทาํ
แบบฝก ทักษะเพ่ือเพ่ิมความมนั่ ใจกนั

เลยดกี วา ...

เลมที่ 4 อัตราสวนกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 23

แบบฝก ทักษะที่ จดุ ประสงคการเรยี นรู : นักเรยี นสามารถหาอัตราสว นตรีโกณมติ ิของมุม
4.3.1 ทกี่ าํ หนดใหได

จงหาคา ของจาํ นวนที่กําหนดให ตอ ไปน้ี (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอท่ี 1 cosec230  3xcot245  2sec260

ขอ ที่ 2 tan245  xcot230  sec60  0

ขอ ท่ี 3 2sin30  x cot45  x sec60  6

3 2

เลม ท่ี 4 อตั ราสว นกลับของอัตราสว นตรโี กณมิติ 24

ขอที่ 4 1 x cot260  cos30cosec245

ขอ ที่ 5 x sin 60cos230  cot2 tan60sin 30
30sec2 45cosec60

เลม ท่ี 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสว นตรโี กณมิติ 25

แบบทดสอบหลังเรยี น

คาํ ช้ีแจง (1.) ใหนักเรียนเลอื กขอท่ีถกู ทส่ี ุดเพียงคาํ ตอบเดียว แลวทาํ เครื่องหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑการใหคะแนน ดังนี้

- เลอื กคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลอื กคาํ ตอบไมถูกตอ งหรอื ไมตอบได ขอ ละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. ขอใดเปนคา ของ x เม่ือกําหนดสมการ cosec2 30  3x cot245  2 sec260  0
3 3
ก. 4 ข.  4

ค. 4 ง.  4
3 3

2. ขอ ใดเปน คา ของ sin 30cosec 30 ข. 1
ง. 3
ก. 0
ค. 2

3. คา ของ 4 cot2 45  3cot260 เทา กบั ขอใด ข. 3
ง. 5
ก. 2
ค. 4

4. sin2 A cos2A  tan2A cosec2A sec2A cot2A มีคา เทา กบั เทา ใด

ก. - 1 ข. 0

ค. 1 ง. 2

5. ขอ ใดเปน คา ของ 2sin 30cos 30cot 60 1
2
ก. 0 ข.

ค. 3 ง. 4
2 3

6. ขอใดคอื คาของ 1 sec 60  1 cosec2 30  2cot245  cot2 30
2 4
ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

เลม ที่ 4 อตั ราสว นกลับของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 26

7. ขอ ใดคือคา ของ 3tan2 45  sin2 60  1 cot2 30  1 sec245
2 8
ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง. 3

8. ถา 13cos A  12 แลว sec A  tan A เทา กับขอใด
2 2
ก. 3 ข. 9
4
ค. 4 ง. 81
9

9. กาํ หนดให 5 sin A  3 ขอใดคอื คาของ 3cosec A
9cosec A
1 1
ก. 2 ข. 3
ง. 1
ค. 1 5
4

10. ถา sec A  13 และ 0  A  90 ขอใดคือคา cosec A  cot A
5 cosec A  cot A
2 2
ก. 3 ข. 9

ค. 4 ง. 4
9 81

******************************************

เลมที่ 4 อัตราสว นกลับของอัตราสวนตรีโกณมติ ิ 27

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลังเรียน

เลมที่ 4 เร่ือง อัตราสว นกลบั ของอตั ราสวนตรโี กณมิติ

คาํ ชแี้ จง : (1.) ใหนกั เรียนเลอื กขอท่ีถูกท่ีสุดเพยี งคําตอบเดยี ว แลว ทําเคร่ืองหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มจี ํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชือ่ เลขท่ี ช้นั

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไ่ี ด 10 ลงชื่อ ผตู รวจ

เกณฑการประเมนิ 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรงุ พอใช ดี ดีมาก
ระดับคณุ ภาพ

เลม ท่ี 4 อัตราสว นกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 28

ช่อื – นามสกุล แบบบันทึกคะแนน เลขที่

ช้นั

คําชี้แจง 1. ใหนกั เรยี นบันทึกผลการเรียนจากการทําแบบทดสอบกอนเรียน แบบฝก ทักษะ
และแบบทดสอบหลงั เรียน เพ่ือดูพัฒนาการเรียนรจู ากการเรียนดวยแบบฝก ทักษะ

2. ใหท ําเครอ่ื งหมาย √ ท่ีชองสรุปผล เมอ่ื นักเรยี นผา นเกณฑก ารประเมินหรือ
ไมผ านเกณฑการประเมนิ จากการทําแบบฝกทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรยี นและ
หลังเรยี น

ที่ รายการ คะแนน คะแนน ระดบั สรปุ ผล
เต็ม ท่ไี ด คุณภาพ ผา น ไมผ าน
1 แบบทดสอบกอนเรยี น 10
2 แบบฝกทกั ษะที่ 4.1.1
3 แบบฝก ทกั ษะท่ี 4.2.1 10
4 แบบฝกทักษะท่ี 4.2.2 10
5 แบบฝก ทักษะท่ี 4.2.3 10
6 แบบฝกทักษะที่ 4.2.4 10
7 แบบฝกทักษะท่ี 4.3.1 10
8 แบบทดสอบหลงั เรียน 10
10
รวม
70

เกณฑก ารประเมนิ

9 – 10 คะแนน ระดับคุณภาพ ดมี าก
7 – 8 คะแนน ระดับคุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดับคุณภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดบั คณุ ภาพ ควรปรบั ปรุง

นักเรยี นจะผา นเกณฑการประเมนิ เมื่อไดค ะแนนตั้งแต 7 คะแนนขนึ้ ไป

เลมที่ 4 อตั ราสว นกลับของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 29

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทปี . (2548). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร : ตรโี กณมิติ. กรุงเทพฯ :
ฟสกิ สเ ซ็นเตอร.

กลมุ สาระการเรยี นรูคณิตศาสตร โรงเรยี นเตรียมอดุ มศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรยี น
คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลขยกกําลังและอัตราสวนตรโี กณมิต.ิ กรุงเทพฯ :
หจก. โรงพมิ พวชั รินทร พี.พ.ี

เจรญิ ภภู ทั รพงศ และ ศรีลดั ดา ภภู ทั รพงศ. (มปป.). คูมือคณิตคดิ ลัดและเทคนิคทําโจทยเ ร็ว
คณิตศาสตรพน้ื ฐานเขม ม.4 เลม 2. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER.

จกั รนิ ทร วรรณโพธ์กิ ลาง. (มปป.). สุดยอดคาํ นวณและเทคนคิ คิดลดั คมู อื สาระการเรียนรู
พ้ืนฐานคณติ ศาสตร ม.4 เลม 2. กรุงเทพ ฯ : บริษทั สาํ นักพมิ พ พ.ศ. พัฒนา จาํ กัด.

นพเกา เฉียวกลุ . (มปป.). แบบฝก ทกั ษะการเรยี นรูวชิ าคณติ ศาสตร เรือ่ ง อัตราสว นตรีโกณมติ ิ
สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เลมท่ี 3 เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมติ .ิ ชลบุรี :
โรงเรียนเทศบาลแหลมฉบงั 3 สังกัดเทศบาลนครแหลมฉบัง.

พรรณี ศิลปะวฒั นานนั ท. (2549). สาระการเรยี นรูพ ืน้ ฐาน คณิตศาสตร 3 เลม 2. กรุงทพ ฯ :
ฟส กิ สเซ็นเตอร.

สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน
คณิตศาสตร เลม 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. พมิ พคร้ังท่ี 3.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพรา ว.

สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2556). คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. พมิ พค รงั้ ท่ี 2.
กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ สกสค.ลาดพรา ว.

สุเทพ จันทรส มบูรณกุล. (2548). สอื่ เสริมทกั ษะการเรยี นรูพืน้ ฐาน คณติ ศาสตร ม.3 เลม 2
(ชว งชน้ั ท่ี 3). กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส.

เลมที่ 4 อตั ราสว นกลบั ของอัตราสว นตรีโกณมติ ิ 30

ภาคผนวก

เลม ที่ 4 อัตราสว นกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 31

 เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน (หนา 1) ขอ 6 ค
ขอ 1 ง ขอ 7 ก
ขอ 2 ข ขอ 8 ค
ขอ 3 ข ขอ 9 ข
ขอ 4 ง ขอ 10 ข
ขอ 5 ค

 เฉลยแบบฝกทักษะที่ 4.1.1 (หนา 7) cosec sec cot
3

1
1. มุม
B 1
3
2 1 2 2
A 30 3 C 30 3

2. B
1 45
2 C 22
22
45 B
A 3 60
1 C

3.

2 2 2
3
60
A
1

เลมที่ 4 อตั ราสว นกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 32

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 4.2.1 (หนา 10) 5
3 3
ขอ 1 (1.) 5 (4.)

(2.) 4 (5.) 5
5 4
3 4
(3.) 4 (6.) 3

ขอ 2 (1.) 5 (4.) 13
13 5
12 13
(2.) 13 (5.) 12

(3.) 5 (6.) 12
12 5

ขอ 3 (1.) 3 (4.) 5
5 4
4 5
(2.) 5 (5.) 3

(3.) 3 (6.) 3
4 4

ขอ 4 (1.) 3 (4.) 5
5 4
4 5
(2.) 5 (5.) 3

(3.) 3 (6.) 3
4 4

ขอ 5 (1.) 15 (4.) 17
17 8
8 17
(2.) 17 (5.) 15

(3.) 15 (6.) 15
8 8

เลมท่ี 4 อตั ราสว นกลับของอัตราสว นตรโี กณมิติ 33

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 4.2.2 (หนา 13) 3  2  1
ขอ 1 3  2  2 2 2
2
วธิ ีทํา sin 60 cos 45 cot 45 = 3  2  2
2 2 2
=
3 22
=
2

ขอ 2 3 22 3
3 33
4 3
วิธที าํ sec 30 cosec 60 cot 30 = 3
1
= 3
3
= 3

= 2  2 1
22
ขอ 3 1 1
วธิ ีทาํ sin 45cos 45 cot 45 =

=

ขอ 4 4 3 = 22 3
วธิ ีทํา cosec 30sec 60tan 60 = 43

ขอ 5 4 2  2  2 1
วธิ ที ํา 2 sec 45cosec 45 tan 45 =  2  2

= 4

เลมที่ 4 อัตราสวนกลับของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 34

ขอ 6 – 1
วธิ ที ํา 3 coesc2 60 8cos2 45  3cot 230 
   
2 2
 = 3  2  8 2 - 3 32
 3  2 

= 3  4   8 2  - 33
3 4

= 4+4–9

= –1

ขอ 7 1
วิธีทํา sec2 45 cosec245 cot2 45
2 2
=  2   2  12
 2   2 

=1

ขอ 8 12
วธิ ีทํา cosec230 sec260 cot 230

= 22  22   32

= 4+4+3

= 12

..ขอ 9 0

วธิ ีทํา sin 30  sec 30    cos 60 cosec 60 

 

=  1  2    1  2 
2 3  2 3 

=0

ขอ 10 6
วิธีทํา cosec2 30 tan245  cot245
= 22  12  12
= 4+1+1

เลม ที่ 4 อัตราสว นกลับของอัตราสวนตรีโกณมิติ 35

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 4.2.3 (หนา 15)

ขอ 1 2
วิธที ํา 1 cosec260 sec245  2cot2 60
2
2 2 1 2
= 1  2  2  2  3 
2  3  2  

= 1  4    4   2  1 
2 3 2 3
= 2 2 2
33

=2

ขอ 2 5
วิธีทํา
6
cosec260 cot245  2sin2 60
3 2
=  2 2 12  2  2 
 3 

=  4   1 2  3 
3 4
= 4  1 3
32
= 86 9
6

=5
6

ขอ 3 2
วธิ ที าํ sec 30cot30 2sec245 2cos 60tan45  tan260
2
 =  2  3  2  2  2 1 1  32
 3   2  2

= 2–4+1+3

=2

เลมท่ี 4 อตั ราสวนกลบั ของอัตราสวนตรีโกณมิติ 36

ขอ 4 3 tan2 30 4 cos2 30 1 sec2 45 1 sin2 60
4 3 2 3

วธิ ีทํา 3   

= 3 1 2  4  3 2  1  2 2  1  3 2
3 3  2 2 2 3  2
   

= 1+1–1– 1
4
= 1– 1
4
=3
4
5
ขอ 5 9
วิธีทาํ tan2 60 sin2 30  cot260cos2 60

3sin45 cos45
2 
 = 3 2  1 2   1 1 2
2  3 2

3 2  2 
 2  2 

3 1    1  1 
4 3 4
= 2
3 4 
3 1
= 4 3 12

2
91

= 132

2

= 52
63

=5
9

เลมที่ 4 อตั ราสวนกลับของอัตราสวนตรโี กณมิติ 37

 เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 4.2.4 (หนา 19)
10
ขอ 1 9

วธิ ที าํ จากรูปตามท่ีโจทยกาํ หนดให จะไดวา 2 2 2

sin2 A + cos2 A + tan2 C =  3    1    1
C  10  10 3

=  9    1    1 
10 10 9
10 3 1
= 1 9

A1 B = 10
9

ขอ 2 26
21
วธิ ีทาํ ตามท่โี จทยก ําหนดให sin A = 5
13
C และจากทฤษฎบี ทปท าโกรัส

จะได 132 = 52 + x 2
25 + x 2
13 5 169 = 169 – 25
x2 = 144
12
A x = 12 B = 13 - 5
12 12
x= 12 - 5
13 13
ดงั นน้ั sec A - tan A =
2 13
cos A - sin A 37

= 26

= 21

เลม ที่ 4 อัตราสว นกลบั ของอัตราสวนตรีโกณมิติ 38

ขอ 3 1
4
วธิ ีทํา ตามทโ่ี จทยกาํ หนดใหใ นสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ทีม่ ีมมุ C
เปนมมุ ฉาก ถา tan A = 3
4
B และจากทฤษฎบี ทปทาโกรัส

จะได x 2 = 42 + 32

x =5 3 = 16 + 9
= 25

C x= 5 3 4
ดงั นน้ั 10 sin A - 6 cos A 5 5
A 4 10   6 
 
=  3  4
5 5
4 sin A  3 cos A 4   3 
 
 

6  24
= 12  512

55

= 6  5
5 24

= 1
4

ขอ 4 1

วธิ ที ํา ตามที่โจทยก ําหนดใหในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทม่ี ีมุม B
เปนมมุ ฉาก ถา cos A = 4
C5
และจากทฤษฎีบทปทาโกรสั
จะได 52 = 42 + x 2
5 x =3 x2 =
= 25 – 16
9

A 4B x =3 3
ดังนน้ั 35141 4
5 sin A - tan A = 5 
1 1 
cos A 

5

เลมท่ี 4 อัตราสวนกลบั ของอตั ราสว นตรีโกณมติ ิ 39

= 3 3
1 54

4

= 94
49

=1

ขอ 5 sin B = 5 , cos B = 2 , tan B = 5 ,
3 3 2
3 3 2
cosec B = 5 , sec B = 2 และ cot B = 5

วธิ ีทํา ตามท่ีโจทยกาํ หนดรูปสามเหลย่ี ม ABC เปนรูปสามเหลย่ี มหนา จัว่

มี BC เปน ฐาน 4 หนว ย และความยาวรอบรูปของรปู สามเหล่ยี ม

เทากAบั 10 หนวย วาดรปู ไดด ังนี้
และจากทฤษฎีบทปทาโกรัส
32 = 22 + x 2
3x 3 จะได x2 = 9–4
5
=

B2 2C x= 5

4

ดงั นนั้ sin B = 5
3
2
cos B = 3

tan B = 5
2
3
cosec B = 5

sec B = 3
2
2
cot B = 5

เลมท่ี 4 อตั ราสวนกลบั ของอัตราสว นตรโี กณมิติ 40

 เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 4.3.1 (หนา 23)
4
ขอ 1  3

วธิ ีทาํ cosec230  3xcot245 = 2sec260
22  3x12 = 222
=
4  3x = 8

–3 x = 8–4
4
x  3

ขอ 2 1 0
วธิ ีทาํ tan245  xcot230  sec60 =
12  x 32  2 = 0
0
13x  2 = 0
1
–3 x + 3 =

x=

ขอ 3  15
2
2sin30 x cot45 x sec60
วิธีทาํ   = 6
3 2
1
2 2   x 1  x 2 = 6

3 2
1 x  x
3 = 6

x 3x = 6–1
3
15
x=  2

เลม ที่ 4 อัตราสวนกลับของอัตราสว นตรโี กณมติ ิ 41

ขอ 4 3 3 = cos30cosec245
2

วธิ ที ํา 1 x cot260
1 2 2
1  x  3  =  3  2
  2 2 

1   1  x =  3  4 
3  2 2 

1   1  x =3
3
2x
3 =3

x = 3  3 
2

x = 33
2

ขอ 5 3
3
tan60sin 30
วิธีทํา x sin 60cos230 = cot2 30sec2 45cosec60

 3  3 2    = 3  1 
 2  2  2
x 2 2
2   2 
3 2  3 


3

x  3  3  = 4 2 2 
 2 4 2 3 
3 

x  3 3  = 3 3
 8  2 12
  = 3 8
24 3 3
x

x = 3
3

เลมท่ี 4 อตั ราสวนกลบั ของอตั ราสว นตรโี กณมิติ 42

 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน (หนา 25) ขอ 6 ค
ขอ 1 ง ขอ 7 ข
ขอ 2 ข ขอ 8 ก
ขอ 3 ง ขอ 9 ข
ขอ 4 ค ขอ 10 ค
ขอ 5 ข

แบบฝกึ ทักษะ เรอ่ื ง อัตราสว่ นตรโี กณมิติ จานวน 8 เล่ม

นางภัคจริ า กิตติสิรบิ ณั ฑิต
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนวชั รวิทยา จงั หวัดกาแพงเพชร
e-mail : [email protected]