หน่วยที่90 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

78

เร่ืองที่ การวดั การกระจายข้อมูล
พิสัยและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

เนอ้ื หา

1. การวัดการกระจายโดยใช้พิสัย
2. การวัดการะกระจายโดยใชส้ ่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

ตัวชวี้ ัด

1. หาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ มธั ยฐาน ฐานนยิ ม สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
และเปอร์เซ็นไทลข์ องข้อมูล

2. เลอื กใชค้ า่ กลางท่ีเหมาะสมกับข้อมลู และวัตถุประสงค์

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. อธิบายการวัดการกระจายได้
2. หาพสิ ัยได้
3. หาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานได้

79

1. การวดั การกระจายของขอ้ มลู

ในการสรปุ หรือหรืออธิบายชดุ ข้อมลู โดยใช้สถติ ิ นอกจากการนาเสนอข้อมลู ดว้ ยตาราง

แผนภมู แิ ละแผนภาพแลว้ ยังสามารถสรปุ ได้โดยใชค้ า่ กลางชนดิ ต่าง ๆ ซึง่ ถา้ พิจารณาให้ละเอยี ด

จะเห็นวา่ การทราบแตเ่ พยี งคา่ กลางของข้อมลู ไมเ่ พียงพอที่จะอธิบายการแจกแจงของขอ้ มลู ชดุ

น้นั ได้ คา่ กลางแต่ละชนดิ มไิ ด้บอกให้ทราบว่า คา่ จากการสงั เกตทัง้ หลายในข้อมลู ชดุ น้ันแตกตา่ ง

กันมากนอ้ ยเพยี งใด และคา่ สว่ นใหญร่ วมกลมุ่ กนั หรือกระจายกันออกไป ดงั ตัวอยา่ งจากคะแนน

สอบของนกั เรยี นสองห้องดงั น้ี

ห้องหนงึ่ มคี ะแนนเฉลย่ี = 67 มีคะแนนสงู สดุ 72 คะแนน คะแนนตา่ สุด 62 คะแนน

หอ้ งสอง มีคะแนนเฉลย่ี = 67 มคี ะแนนสงู สุด 97 คะแนน คะแนนตา่ สุด 25 คะแนน

จะเหน็ ว่าทงั้ สองหอ้ งมคี ะแนนเฉลี่ยเทา่ กัน แตจ่ ะพบวา่

หอ้ งหนง่ึ คะแนนสูงสุดกับคะแนนตา่ สดุ ต่างกนั อยู่ 10 คะแนน

ห้องสอง คะแนนสูงสุดกบั คะแนนต่าสดุ ต่างกันอยู่ 72 คะแนน

แสดงว่า คะแนนของห้องสองมีการกระจายของคะแนนสูงกว่าคะแนนของห้องแรกมาก หรืออาจ

กลา่ วได้วา่ นกั เรียนห้องหน่งึ สว่ นใหญม่ คี ะแนนใกลเ้ คยี งกันมาก ส่วนหอ้ งสองมคี ะแนนตา่ งกนั

มาก ดงั น้นั เพอ่ื ให้เห็นลักษณะของข้อมลู ท่ีชดั เจนข้นึ และสามารถไดข้ อ้ สรปุ เกย่ี วกบั ข้อมลู ใหม้ าก

พอท่ีจะนาไปช่วยในการตัดสนิ ใจบางอย่างได้ จึงจาเป็นตอ้ งทราบค่ากลางและการกระจายของ

ข้อมลู ด้วย

การวัดการกระจายของข้อมลู แบ่งออกเปน็ 3 ชนดิ ได้แก่

1) การวดั การกระจายสมั บูรณ์ (Absolute variation) มีวธิ ีหาดงั นี้

1.1 พสิ ยั (Range)

1.2 สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation : Q.D.)

1.3 ส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ีย (Mean Deviation : M.D.)

1.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D. หรือ S )

2) การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ (Relative variation) มวี ธิ ีหาดังน้ี

2.1 สัมประสิทธิข์ องพสิ ัย (Coefficient of range)

2.2 สัมประสิทธข์ิ องส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ (Coefficient of quartile deviation)

2.3 สัมประสทิ ธข์ิ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ย (Coefficient of average deviation)

2.4 สมั ประสทิ ธขิ์ องการแปรผนั (Coefficient of variation)

3) ความแปรปรวน (Variance)

แตใ่ นบทเรียนนจ้ี ะนาเสนอเพยี ง พิสัย (Range) กับ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard

Deviation : S.D. หรือ S ) เทา่ นน้ั

80

1.1 พสิ ัย (Range)

พสิ ยั คอื คา่ ทใี่ ชว้ ัดการกระจายท่ีได้จากผลต่างระหวา่ งขอ้ มลู ท่มี คี ่าสูงสุดกบั ข้อมลู ท่ี
มคี ่าตา่ สดุ
1.1.1 กรณที ข่ี อ้ มลู ยังไม่ได้แจกแจงความถ่ี

พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่าสุด

Range = Xmax - Xmin

1.1. 2 กรณีทข่ี ้อมลู แจกแจงความถีแ่ ลว้

พิสัย = ขอบบนของชั้นสงู สดุ – ขอบลา่ งของชน้ั ต่าสดุ

Range = Xmax - Xmin

การวัดการกระจายโดยใชพ้ ิสัยนี้ เปน็ วิธกี ารวดั การกระจายอย่างครา่ ว ๆ เพราะค่าที่
ได้ หามาจากคา่ ของขอ้ มลู เพียงสองค่าเท่านั้น คา่ อ่นื ๆ ของข้อมลู ไมไ่ ด้นามาใช้ในการคานวณหา
พสิ ัยเลย ดังนั้น ถา้ ค่าของขอ้ มูลค่าใดค่าหน่งึ มีคา่ มากหรือน้อยผิดปกตจิ ากค่าขอ้ มูลตวั อืน่ ๆ เชน่
คา่ สังเกตทไ่ี ด้จากขอ้ มูลชุดหนึ่ง ดังนี้
10 , 70 , 71 , 72 , 73 , 74 , 75 , 76 , 77 , 100
พิสยั ของข้อมูลชุดน้ี คอื 100 – 10 = 90 แตข่ ้อมลู ส่วนใหญม่ ีค่าอยูร่ ะหว่าง 70 – 77 จะเห็นว่า
การวัดการกระจายของข้อมูลชดุ น้อี าจทาให้ตคี วามหมายคลาดเคลื่อน
แต่ขอ้ ดขี องพิสัย คอื คานวณง่าย สามารถหาได้สะดวกและรวดเรว็ และใชไ้ ด้ดสี าหรบั
ข้อมลู ทีม่ คี า่ ใกลเ้ คียงกันทง้ั หมด

ตวั อยา่ งที่ 1 จากขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ จงหาพิสยั
1) 8 , 9 , 3 , 2 , 5 , 7 , 8
2) 12 , 13 , 15 , 19 , 11 , 20 , 12 , 26

วิธที ่า

81

ตัวอย่างที่ 2 จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้ จงหาพิสัย

อนั ตรภาคชั้น ความถี่

3.25 – 4.24 4

4.25 – 5.24 5

5.25 – 6.24 11

6.25 – 7.24 16

7.25 – 8.24 11

8.25 – 9.24 10

9.25 – 10.24 3

1.2 สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นคา่ การวัดการกระจายทีส่ าคัญทางสถติ ิ เพราะเป็นค่าทีใ่ ช้
บอกถึงการกระจายของขอ้ มูลไดด้ กี วา่ คา่ พิสัยและคา่ จากการวัดกระจายแบบอ่ืน

การหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานสามารถหาได้ 2 วิธี

1.2.1 การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D.) ในกรณที ข่ี อ้ มูลยังไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี
1.2.1.1 การหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลของประชากร

ถ้า X1 , X2 , X3 , … , XN เปน็ ขอ้ มูล N จานวนของประชากร และมี
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ เท่ากบั  แล้ว

N ( X  ) 2

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร คอื =  หรือ
= i1

N

N N X 2  ( N X) 2

 
i1 i1

N

สญั ลกั ษณ์  อ่านวา่ “ซกิ มา” และ สญั ลกั ษณ์  อ่านวา่ “มิว”

82

1.2.1.2 การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู ของกลมุ่ ตวั อย่าง
ถ้า X1 , X2 , X3 , … , Xn เปน็ ขอ้ มลู n จานวนของกลมุ่ ตวั อย่าง
และมีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กับ X แลว้

สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง คอื S.D. = n ( X  X )2 หรอื
s=

i1

n 1

n n X 2  ( n X)2

 
i1 i1

n(n 1)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี
7 , 9 , 11 , 15 , 18

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
101 , 115 , 114 , 99 , 106 , 112 , 116

83

แบบฝกึ ทักษะ 10.1

ชอื่ -นามสกลุ .............................................................................ชั้น.......................เลขท.ี่ ...........

1) จงแสดงวธิ กี ารหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี
1.1 2 , 5 , 3 , 7 , 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 20 , 35 , 27 , 31 , 37

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 8 , 21 , 9 , 15 , 6 , 7 , 3 , 14 , 17 , 10

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) จงตรวจสอบดวู า่ ขอ้ มลู ชดุ ใดมกี ารกระจายมากกวา่ กนั
ขอ้ มลู ชดุ แรก 16 23 34 56 78 92 93
ข้อมูลชุดที่สอง 20 27 38 60 82 96 97

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

84

1.2.2 การหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (S.D.) ในกรณีทีข่ ้อมูลแจกแจงความถ่ีแลว้
1.2.2.1 การหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลของประชากร

ถ้า X1 , X2 , X3 , … , XN เป็นข้อมลู N จานวนของประชากร และมี
คา่ เฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั  แล้ว

N f ( X  ) 2

ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร คอื =  หรือ
= i1

N

N N fX 2  ( N fX )2

 
i1 i1

N

1.2.2.2 การหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ของกลุ่มตัวอย่าง
ถา้ X1 , X2 , X3 , … , Xn เปน็ ขอ้ มูล n จานวนของกลุม่ ตัวอยา่ ง
และมีคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากับ X แลว้

n f ( X  X) 2

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของกลุม่ ตัวอยา่ ง คอื S.D. =  หรือ
s= i1

n 1

n n fX 2  ( n fX )2

 
i1 i1

n(n 1)

คุณสมบตั ิของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน

1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน็ การวัดการกระจายในรูปของการเบีย่ งเบนออกจาก

คา่ เฉลยี่

2) สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานมีค่าเป็นบวกเสมอและมหี น่วยเดียวกันกบั ค่าของข้อมลู

3) ถ้าคานวณหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานโดยใชค้ ่ากลางชนิดอื่นที่ไมใ่ ช่

ค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( เช่น มธั ยฐาน ฐานนิยม) คา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานท่ีได้

จะมีคา่ มากกว่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานที่ใช้คา่ เฉลย่ี เลขคณติ เสมอ

4) กาลังสองของสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน เรยี กว่า ความแปรปรวน (Variance)
เขียนแทนดว้ ย 2 สาหรับความแปรปรวนของข้อมลู ประชากร และ s2

สาหรับความแปรปรวนของข้อมูลกล่มุ ตัวอยา่ งและความแปรปรวนไม่มหี นว่ ย

85

ตวั อย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

อนั ตรภาคชน้ั ความถี่ (f)

11 - 20 1

21 – 30 3

31 – 40 6

41 – 50 8

51 – 60 4

61 – 70 5

71 – 80 2

81 – 90 0

91 - 100 1

86

แบบฝกึ ทักษะ 10.2

ช่อื -นามสกลุ .............................................................................ชัน้ .......................เลขท.ี่ ...........

1) จากผลการทดสอบอายกุ ารใชง้ านของแบตเตอรี่รถยนต์ ปรากฏผลดงั นี้

อายุการใช้งาน (ปี) ความถี่

2.0 – 2.4 3

2.5 – 2.9 4

3.0 – 3.4 20

3.5 – 3.9 13

4.0 – 4.4 6

4.5 – 4.9 4

จงหา

1.1 พสิ ยั

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

87

2) ข้อมลู ต่อไปน้ีคะแนนเก็บจากการสอบวิชาภาษาอังกฤษของนกั เรยี น ม.6

คะแนน จ่านวนนกั เรียน

20 - 24 1

25 – 29 4

30 – 34 5

35 – 39 8

40 – 44 12

45 – 49 25

50 – 54 10

55 – 59 8

60 – 64 6

65 – 69 4

70 - 74 2

จงหา

2.1 พสิ ัย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………