Pembahasan soal Kombinatorik di Blog

1. Dari Denpasar ke Jakarta, ada 3 pilihan penerbangan yang
tersedia. Sementara dari Jakarta ke Singapura ada 2
pilihan penerbangan yang tersedia. Dari Singapura ke
Soul 3 pilihan penerbangan yang tersedia. Jika Ketut
Sujaya akan melakukan penerbangan dari Denpasar ke
Soul melalui Jakarta dan Singapura, berapa banyak
alternatif pilihan penerbangan yang dapat dipilihnya?

Pembahasan

Misalkan penerbangan dari Denpasar ke Jakarta adalah A, B,

dan C. Penerbangan dari Jakarta ke Singapura adalah P dan

Q, sedangkan penerbangan dari Singapura ke Soul adalah X,

Y, dan Z.

Maka pilihan penerbangan yang dapat diambil Ketut adalah:

A→P→X B→Q→X C→P→X

A→P→Y B→Q→Y C→P→Y

A→P→Z B→Q→Z C→P→Z

A→Q→X B→P→X C→Q→X

A→Q→Y B→P→Y C→Q→Y

A→Q→Z B→P→Z C→Q→Z

Jadi, ada 18 alternatif penerbangan yang dapat dipilih Ketut.

1

Cara Lain:

Denpasar ke Jakarta ke Singapura ke
Jakarta Singapura Soul
3 3
2
3 × 2 × 3 = 18

Jadi, ada 18 alternatif penerbangan yang dapat dipilih Ketut.

2. Bu Trisna bisa membuat kue donat, molen, bolu, dan sus.
Isian kue yang tersedia adalah cokelat, pisang, dan
keju.Berapa banyak pilihan jenis kue dan isian berbeda
yang dapat dibuat Bu Trisna?

Pembahasan

Pilihan jenis kue dan isian berbeda :

Kue donat isi cokelat Kue bolu isi cokelat
Kue donat isi pisang Kue bolu isi pisang
Kue donat isi keju Kue bolu isi keju
Kue molen isi cokelat Kue sus isi cokelat
Kue molen isi pisang Kue sus isi pisang
Kue molen isi keju Kue sus isi keju

Jadi, ada 12 jenis kue dan isian berbeda yang dapat dibuat bu
Trisna.

2

Cara Lain:

Banyak jenis kue Banyak jenis isian
4 3

4 × 3 = 12

Jadi, ada 12 jenis kue dan isian berbeda yang dapat dibuat bu
Trisna.

3. Ayu memiliki 5 baju yang berbeda model, 3 celana yang
berbeda warna, 2 sepatu yang berbeda merk, dan 2 tas
yang berbeda coraknya. Jika Ayu memadukan baju,
celana, sepatu, dan tas yang dimilikinya, berapa banyak
gaya penampilan berbeda yang dapat dibuat Ayu?

Pembahasan

Banyaknya baju, celana, sepatu, dan tas yang dimiliki Ayu
adalah:

Baju Celana Sepatu Tas
2
53 2

Banyak pilihan: 5 × 3 × 2 × 2 = 60

Jadi, banyak gaya penampilan berbeda yang dapat dibuat Ayu
adalah 60 pilihan.

4. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4 akan dibuat bilangan genap dua
digit. Berapa banyak bilangan yang dapat dibuat?

3

Pembahasan

Bilangan dua digit terdiri atas puluhan dan satuan.

Puluhan Satuan

43

Untuk menempati kotak puluhan, ada 4 cara, yaitu angka 1,2,3

dan 4.

Untuk menempati kotak satuan, ada 3 cara, yaitu angka

0,2,dan 4 (karena harus genap).

Jadi, banyak bilangan genap dua digit yang dapat dibuat

adalah 4 × 3 = 12 bilangan.

5. Diberikan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Berapa banyaknya
bilangan genap tiga digit yang dapat disusun?

Pembahasan

Bilangan tiga digit terdiri atas ratusan, puluhan, dan satuan.

Ratusan Puluhan Satuan

66 3

Untuk menempati kotak ratusan, ada 6 cara, yaitu angka 1, 2,

3, 4, 5, 6.

Untuk menempati kotak puluhan, ada 6 cara, yaitu angka 1, 2,

3, 4, 5, 6.

Untuk menempati kotak satuan, ada 3 cara, yaitu angka 2,4,

dan 6 (karena harus genap).

Jadi, banyak bilangan genap tiga digit yang dapat dibuat

adalah 6 × 6 × 3 = 108 bilangan.

4

1. 8! = ⋯

6!

Pembahasan

8! 8.7.6!
6! = 6!

= 8.7
= 56

2. 4!×6!! = ⋯

5!

Pembahasan

4! × 6!! 4.3.2.1 × 6.5!
5! =
5!

= 4.3.2.1 × 6

= 144

5

3. 6! = ⋯

4!×3!

Pembahasan

6! 6.5.4!
4! × 3! = 4! × 3.2.1

6.5
= 3.2.1

6.5
= 3.2.1
=5

4. 8! = ⋯

5!×3!

Pembahasan

8! 8.7.6.5!
5! × 3! = 5! × 3.2.1

8.7.6
= 3.2.1
= 8.7
= 56

6

5. Sebuah rak buku akan diisi buku yang terdiri dari 5 buku
kimia dan 4 buku otomotif. Jika susunan buku-buku sejenis
harus berkumpul, berapa banyak cara penyusunan buku-
buku dalam rak tersebut?

Pembahasan
Permasalahan ini merupakan masalah terkait faktorial,
dengan 1 = 5 dan 2 = 4.
Banyak cara penyusunan buku kimia dan otomotif adalah:
1! × 2! = 5! × 4!
= 5.4.3.2.1 × 4.3.2.1
= 120 × 24
= 2.880
Jadi, banyak cara penyusunan buku kimia dan otomotif adalah
2.880 cara.

7

1. Hitunglah nilai dari 8 3!

Pembahasan

!
= ( − )!

8!
8 3 = (8 − 3)!

8!
= 5!

8.7.6.5!
= 5!
= 8.7.6

= 336

8

2. Dari huruf a, i, u, e, dan o, akan dibuat susunan 2 huruf.
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat?

Pembahasan
Diketahui : = 5, = 2
Ditanya : 5 2 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )!

5!
5 2 = (5 − 2)!

5!
= 3!

5.4.3!
= 3!
= 5.4
= 20
Jadi, banyak susunan 2 huruf yang dapat dibuat dari huruf a, i,
u, e, dan o adalah 20 susunan.

9

3. Dalam pemilihan ketua dan wakil ketua OSIS, terdapat
enam calon. Jika panitia akan memasangkan keenam calon
tersebut, berapa susunan yang dapat dibuat?

Pembahasan

Diketahui : = 6, = 2
Ditanya : 6 2 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )!

6!
6 2 = (6 − 2)!

6!
= 4!

6.5.4!
= 4!
= 6.5
= 30
Jadi, banyak susunan ketua dan wakil ketua yang dapat dibuat
dari 6 calon adalah 30 susunan.

10

4. Tujuh peserta lomba angkat beban akan memperebutkan
tiga posisi, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyak
susunan juara 1, juara 2, dan juara 3 yang dapat dibuat dari
ketujuh peserta lomba?

Pembahasan

Diketahui : = 7, = 3
Ditanya : 7 3 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )!

7!
7 3 = (7 − 3)!

7!
= 4!

7.6.5.4!
= 4!
= 7.6.5
= 210
Jadi, banyak susunan juara 1, juara 2, dan juara 3 yang dapat
dibuat dari ketujuh peserta lomba adalah 210 susunan.

11

1. Huruf-huruf dari kata "SOSIOLOGI" akan disusun
sebanyak 3 huruf. Berapa banyak susunan berbeda yang
dapat dibuat?

Pembahasan
Diketahui : = 9, = 3, dengan huruf yang sama adalah
= 2, = 3, = 2
Ditanya : 9 3(2,3,2) = ⋯
Jawab :

!
( , , ) = ( − )! ! ! !

9!
9 3(2,3,2) = (9 − 3)! 2! 3! 2!

9!
= 6! 2! 3! 2!

9.8.7.6!
= 6! 2! 3! 2!

12

9.8.7
= 2.1.3.2.1.2.1

9.8.7
= 3.8

9.7
=3

63
=3
= 21
Jadi, banyak susunan 3 huruf yang dapat dibuat dari kata
SOSIOLOGI adalah 21 susunan.

2. Huruf-huruf dari kata "MATEMATIKA" akan disusun
sebanyak 4 huruf. Berapa banyak susunan berbeda yang
dapat dibuat?

Pembahasan
Diketahui : = 10, = 4, dengan huruf yang sama adalah
= 2, = 3, = 2
Ditanya : 10 4(2,3,2) = ⋯
Jawab :

!
( , , ) = ( − )! ! ! !

13

10!
10 4(2,3,2) = (10 − 4)! 2! 3! 2!

10!
= 6! 2! 3! 2!

10.9.8.7.6!
= 6! 2! 3! 2!

10.9.8.7
= 2.1.3.2.1.2.1

10.9.8.7
= 3.8

630
=3
= 210
Jadi, banyak susunan 4 huruf dari kata MATEMATIKA adalah
sebanyak 210 susunan.

3. Berapa banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada
kata "SUSUIBU"?

Pembahasan

Diketahui : = 7, = 7, dengan huruf yang sama adalah
= 2 = 3
Ditanya : 7 7(2,3) = ⋯
Jawab :

14

!
( , ) = ( − )! ! !

7!
7 7(2,3) = (7 − 7)! 2! 3!

7!
= 0! 2! 3!

7.6.5.4.3!
= 1.2! 3!

7.6.5.4
=2

840
=2
= 420
Jadi, banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata
"SUSUIBU" adalah 420 susunan.

15

1. Lima anak bermain kartu, mereka duduk mengelilingi
sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan duduk
kelima anak tersebut?

Pembahasan

Diketahui : = 5

Ditanya : 5 = ⋯
Jawab :

= ( − 1)!
5 = (5 − 1)!

= 4!

= 4.3.2.1
= 24

Jadi, banyak susunan duduk melingkar kelima anak tersebut
adalah 24 susunan.

16

2. Agus, Bayu, Cici, Dewi, dan Erna, duduk dengan posisi
melingkar di taman. Jika Agus dan Cici harus selalu duduk
berdampingan, berapa banyak susunan duduk melingkar
mereka?

Pembahasan

Dalam masalah ini, perhitungan dibedakan menjadi dua, yaitu
menghitung banyak posisi duduk Agus dan Cici, dan
menghitung permutasi siklis.
Banyak posisi duduk berdampingan Agus dan Cici adalah:
2×1=2
Susunan duduk melingkar (permutasi siklis) dengan = 4
(karena Agus dan Cici selalu berdampingan, dianggap satu
objek)
= ( − 1)!
4 = (4 − 1)!

= 3!
= 3.2.1
=6
Jadi, susunan duduk melingkar Agus, Bayu, Cici, Dewi, dan
Erna dengan Agus selalu berdampingan dengan Cici adalah
2 × 6 = 12 susunan.

17

1. Berapakah nilai dari 8 5?

Pembahasan

!
= ( − )! !

8!
8 5 = (8 − 5)! 5!

8!
= 3! 5!

8.7.6.5!
= 3! 5!

8.7.6
= 3.2.1

8.7.6
= 3.2.1
= 8.7

= 56

18

2. Seorang pelukis memiliki 12 warna cat. Ia ingin
mencampurkan tiap 3 warna agar menghasilkan lebih
banyak warna. Berapa warna baru yang dihasilkannya?

Pembahasan
Diketahui : = 12, = 3
Ditanya : 12 3 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )! !

12!
12 3 = (12 − 3)! 3!

12.11.10.9!
= 9! 3!

12.11.10
= 3.2.1

122. 11.10
=6
= 2.11.10
= 220
Jadi, banyak warna baru yang dihasilkan adalah 220 warna.

19

3. Dari 10 peserta ekstrakurikuler Pramuka, akan dipilih 4
orang sebagai peserta Raimuna. Berapa banyak cara
pemilihan peserta Raimuna tersebut?

Pembahasan

Diketahui : = 10, = 4
Ditanya : 10 4 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )! !

10!
10 4 = (10 − 4)! 4!

10.9.8.7.6!
= 6! 4!

10.9.8.7
= 4.3.2.1

10. 93. 8.7
= 4.3.2.1

10.3.8.7
= 4.2.1
= 10.3.7
= 210
Jadi, banyak cara pemilihan 4 orang peserta Raimuna dai 10
pramuka adalah 210 cara.

20

4. Disediakan 8 soal latihan dan siswa wajib mengerjakan 4
soal diantaranya. Berapa banyak cara pemilihan soal yang
dikerjakan siswa?

Pembahasan

Diketahui : = 8, = 4
Ditanya : 8 4 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )! !

8!
8 4 = (8 − 4)! 4!

8.7.6.5.4!
= 4! 4!

8.7.6.5
= 4.3.2.1

8.7. 62. 5
= 4.3.2.1

8.7.2.5
= 4.2.1
= 7.2.5
= 70
Jadi, banyak cara pemilihan 4 soal dari 10 soal adalah 70 cara.

21

5. Rapat wali kelas dihadiri oleh 12 peserta. Jika tiap peserta
saling bersalaman, berapa banyak salaman yang terjadi?

Pembahasan
Diketahui : = 12, = 2 (karena tiap salaman dilakukan
oleh 2 orang)
Ditanya : 12 2 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )! !

12!
12 2 = (12 − 2)! 2!

12.11.10!
= 10! 2!

12.11
= 2.1

126. 11
= 2.1
= 6.11
= 66
Jadi, banyak salaman yang terjadi di antara 12 orang adalah 66
salaman.

22

6. Seorang siswa Tata Boga diminta mengambil dua buah
cangkir dari rak. Ternyata di dalam rak terdapat 7 buah
cangkir. Berapa banyak cara pengambilan cangkir yang
dapat dilakukan?

Pembahasan

Diketahui : = 7, = 2
Ditanya : 7 2 = ⋯
Jawab :

!
= ( − )! !

7!
7 2 = (7 − 2)! 2!

7.6.5!
= 5! 2!

7.6
= 2.1

42
=2
= 21
Jadi, banyak cara pengambilan 2 cangkir dari 7 cangkir adalah
21 cara.

23

7. Yudi diminta mengambil sebuah kunci dan dua buah
obeng di toolbox. Di dalam toolbox terdapat 6 kunci dan
4 obeng. Berapa banyak cara Yudi dapat mengambil
sebuah kunci dan dua buah obeng?

Pembahasan

Diketahui : 1 = 6, 1 = 1, 2 = 4, 2 = 2
Ditanya : 6 1 × 4 2 = ⋯
Jawab :

6! 4!
6 1 × 4 2 = (6 − 1)! 1! × (4 − 2)! 2!

6.5! 4.3.2!
= 5! 1 × 2! 2!

6.5! 4.3.2!
= 5! 1 × 2! 2!

6 4.3
= 1 × 2.1

12
=6× 2
=6×6
= 36
Jadi, banyak cara Yudi dapat mengambil sebuah kunci dan dua
buah obeng adalah 36 cara.

24