3 Bahan Ajar Kombinatorik

BAHAN AJAR

Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan
Kombinasi

KOMPETENSI Kaidah Pencacahan
DASAR
Kaidah Pencacahan Merupakan Cara Menentukan
3.25 Menganalisis kaidah Banyaknya Kejadian Dapat Terjadi.
pencacahan,
permutasi dan Contoh 1.
kombinasi pada
masalah kontekstual Dari Singaraja Menuju Ke Amlapura Ada 2 Alternatif Jalan
Yang Dapat Dilalui. Sementara Dari Amlapura Menuju Ke
4.25 Menyajikan Bangli Ada 3 Jalan Yang Dapat Dilalui. Berapa Alternatif
penyelesaian Jalan Yang Dapat Dilalui Dari Singaraja Menuju Ke Bangli
masalah kontekstual Jika Harus Melalui Amlapura?
berkaitan dengan
kaidah pencacahan, Penyelesaian:
permutasi dan Misalkan Dari Singaraja (S) Menuju Ke Amlapura (A) Dapat
kombinasi Melalui Jalan A Dan B, Dan Dari Amlapura (A) Menuju Ke
Bangli (B) Dapat Melalui X, Y, Dan Z. Sehingga Banyaknya
TUJUAN Alternatif Jalan Yang Dapat Dilalui Dapat Dilihat Pada
Gambar Berikut.
Melalui proses
mengamati, menanya, S B
mengumpulkan a x
informasi/mencoba,
mengasosiasi, dan b y
mengomunikasi, peserta z
didik dapat:
1. Memecahkan masalah A

kontekstual yang Alternatif Jalan:
berkaitan dengan
konsep kaidah Ax Bx Ada 6 alternatif jalan
pencacahan dengan Ay By
cermat
2. Memecahkan masalah Az Bz
kontekstual yang
berkaitan dengan Atau:
permutasi dengan 2 × 3 = 6 Alternatif Jalan.
cermat
3. Memecahkan masalah ■
kontekstual yang
berkaitan dengan 1
kombinasi dengan
cermat

I MADE ADI ISMAYA

Disediakan lembar kerja, Contoh 2.
peserta didik dapat: Tomi Memiliki 3 Baju, 4 Celana, Dan 2 Pasang Sepatu. Jika
1. Menyajikan Dia Ingin Membuat Setelan Baju-Celana-Sepatu, Berapa
Setelan Yang Dapat Dibuatnya?
penyelesaian masalah
kontekstual yang Penyelesaian:
berkaitan dengan Misalkan Baju Yang Dimiliki Adalah:
kaidah pencacahan Baju Putih (Bp), Baju Batik (Bb), Dan Baju Cokelat (Bc)
dengan teliti. Celana Yang Dimiliki Adalah:
2. Menyajikan Celana Abu (Ca), Celana Putih (Cp), Celana Cokelat (Cc)
penyelesaian masalah Dan Celana Biru (Cb)
kontekstual yang Sepatu Yang Dimiliki Adalah:
berkaitan dengan Sepatu Hitam (Sh) Dan Sepatu Putih (Sp)
permutasi. Maka Setelan Yang Dapat Dibuat Adalah:
3. Menyajikan Bp-Ca-Sh
penyelesaian masalah Bp-Ca-Sp
kontekstual yang Bp-Cp-Sh
berkaitan dengan Bp-Cp-Sp
kombinasi. Dan Seterusnya.
Banyaknya Kemungkinan Setelan Yang Dapat Dibuat
TAHUKAH Adalah….
KAMU?
Cara Lain:
Nomor HP terdiri atas 12
digit angka yang unit, Baju Celana Sepatu
dimana satu HP dengan
HP lainnya tidak memiliki 34 2
nomor yang sama.
Bagaimana hal itu dapat Banyaknya Kemungkinan Setelan Yang Dapat Dibuat Adalah
dilakukan?
Berapa banyak nomor HP 3 × 4 × 2 = 24 Setelan.
berlainan yang dapat
dibuat? Pada bagian ■
Kaidah Pencacahan ini
kamu akan Contoh 3.
mempelajarinya.
Diberikan Angka 1, 2, 3, 4, Dan 5. Berapa Banyaknya

Bilangan Ganjil Tiga Digit Yang Dapat Disusun?

Penyelesaian:
Karena Tiga Digit, Berarti Bilangan Terdiri Atas Ratusan,
Puluhan, Dan Satuan.

Ratusan Puluhan Satuan

…… …

Untuk Menempati Kotak Satuan, Ada 3 Cara, Yaitu Angka 1,

3, 5.

Untuk Menempati Kotak Puluhan, Ada 5 Cara, Yaitu Angka

1, 2, 3, 4, 5.

Untuk Menempati Kotak Ratusan, Ada 5 Cara, Yaitu Angka 1,

2, 3, 4, 5.

Banyak Bilangan Ganjil Tiga Digit Yang Dapat Disusun

Adalah 5 × 5 × 3 = 75.

■

2
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

MATEMATIKAWAN Contoh 4.
Diberikan Angka 0, 1, 2, 3, 4, Dan 5. Berapa Banyaknya
Siapa penemu angka nol? Bilangan Genap Empat Digit Yang Dapat Disusun?
Orang-orang India
menggunakan lingkaran Penyelesaian:
kecil saat tempat pada Karena Empat Digit, Berarti Bilangan Terdiri Atas Ribuan,
angka tidak mempunyai Ratusan, Puluhan, Dan Satuan.
nilai, mereka menamai
lingkaran kecil tersebut Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
dengan nama sunya, … … … …
diambil dari bahasa
sansekerta yang berarti Untuk Menempati Kotak Satuan, Ada 3 Cara, Yaitu Angka 0,
”kosong”. Sistem ini telah 2, 4.
berkembang penuh Untuk Menempati Kotak Puluhan, Ada 6 Cara, Yaitu Angka
sekitar tahun 800 Masehi, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
saat sistem ini juga Untuk Menempati Kotak Ratusan, Ada 6 Cara, Yaitu Angka 0,
diadaptasi di Baghdad. 1, 2, 3, 4, 5.
Untuk Menempati Kotak Ribuan, Ada 5 Cara, Yaitu Angka 1,
Orang arab 2, 3, 4, 5.
menggunakan titik Banyak Bilangan Ganjil Tiga Digit Yang Dapat Disusun
sebagai simbol ”kosong”, Adalah 5 × 6 × 6 × 3 = 540.
dan memberi nama
dengan arti yang sama ■
dalam bahasa arab, sifr.
Sekitar dua abad Contoh 5.
kemudian angka India Diberikan Angka 0, 1, 2, 3, 4, Dan 5. Berapa Banyaknya
masuk ke Eropa dalam Bilangan Empat Digit Yang Dapat Disusun Jika Dalam
manuskrip Arab, dan Susunan Itu Tidak Boleh Ada Angka Yang Berulang?
dikenal dengan nama
angka Hindu-Arab. Dan Penyelesaian:
angka Arab sifr berubah
menjadi ”zero” dalam Karena Empat Digit, Berarti Bilangan Terdiri Atas Ribuan,
bahasa Eropa modern.
Ratusan, Puluhan, Dan Satuan.
Al Khawarizmi
memperkenalkan angka Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
nol dan sistem desimal
pada ilmu pengetahuan ……… …
modern di Eropa.
Untuk Menempati Kotak Satuan, Ada 6 Cara, Yaitu Angka 0,
Al Khawarizmi 1, 2, 3, 4, 5.
Source: Untuk Menempati Kotak Puluhan, Ada 5 Cara, Karena 1
Angka Sudah Ditempatkan Pada Satuan.
lostislamichistory.com Untuk Menempati Kotak Ratusan, Ada 4 Cara, Karena 2
Angka Sudah Ditempatkan Pada Satuan Dan Puluhan.
Untuk Menempati Kotak Ribuan, Ada 3 Cara, Karena 3
Angka Sudah Ditempatkan Pada Satuan, Puluhan, Dan
Ratusan.
Banyaknya Bilangan Empat Digit Yang Dapat Disusun Jika
Dalam Susunan Itu Tidak Boleh Ada Angka Yang Berulang
Adalah 3 × 4 × 5 × 6 = 360.

■

3
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

Latihan 1

1. Budi Mempunyai 4 Celana, 6 Baju, 3 Dasi Dan 3 Sepatu.
Tentukan Banyaknya Stelan Baju, Celana, Dasi Dan
Sepatu Yang Berbeda Yang Dimiliki Budi!

2. Dari Kota A Ke Kota B Ada 2 Jalan Yang Berbeda, Dari
Kota B Ke Kota C Ada 3 Jalan, Dan Dari Kota C Ke Kota D
Ada 2 Jalan. Tentukan Banyaknya Jalan Yang Berbeda
Yang Dapat Ditempuh Dari Kota A Ke Kota D Melalui Kota
B Dan C!

3. Suatu Bilangan Terdiri Atas 3 Digit. Jika Angka-Angka
Penyusunnya 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Dan 9, Tentukan Banyak
Bilangan Yang Terjadi, Jika:
a) Angka-Angkanya Boleh Berulang
b) Angka-Angkanya Tidak Boleh Berulang
c) Bilangannya Kurang Dari 500
d) Bilangannya Lebih Dari 400 Dan Angka-Angkanya
Tidak Boleh Berulang
e) Bilangannya Ganjil
f) Bilangannya Genap Dan Tidak Boleh Berulang Angka-
Angkanya

4. Akan Dibuat Nomor-Nomor Undian Yang Terdiri Atas
Suatu Huruf Dan Diikuti Dua Buah Angka Yang Berbeda.
Jika Angka Pertama Bukan 0 Dan Angka Kedua Bilangan
Genap, Tentukan Banyaknya Nomor Undian Yang
Mungkin Terjadi!

5. Nomor Hp Operator Tertentu Menggunakan 12 Digit
Angka, Dimana 6 Digit Angka Paling Depan Adalah Kode,
Misalnya 081 338 Xxx Xxx. Berapa Banyak Nomor Hp
Yang Dapat Dibuat Oleh Operator Seluler Tersebut?

6. Dari Amlapura Ke Klungkung Ada 2 Jalan Yang Bisa
Dilalui. Jika Dari Klungkung Ke Denpasar Paling Tidak
Ada 2 Jalan Yang Dapat Dilalui, Berapa Alternatif Jalan
Dari Amlapura Ke Denpasar Melalui Klungkung?

4
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

TAHUKAH Notasi Faktorial
KAMU?
Definisi:
Berapa banyak cara i. N! (Dibaca: N Faktorial) Adalah Perkalian Bilangan
penempatan unsur-unsur Asli Dari 1 Sampai Dengan N.
dalam posisi tidak
melingkar? Ditulis: ! = × ( − 1) × ( − 2) × … × 3 × 2 × 1
ii. 1! = 1
Hal ini dirumuskan dalam iii. 0! = 1
notasi faktorial.
Contoh 1. ■
Apabila ada tiga bendera 5! = ⋯
yang akan dipasang
dalam posisi segaris, Penyelesaian:
berapa banyak susunan 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
yang dapat dibuat?
Contoh 2.
Banyak susunan yang 7!
dapat dibuat adalah 3 × 5! = ⋯
2 × 1 = 6 susunan.
Penyelesaian:
7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ■
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

5040
= 120 = 42

Atau:
7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 = 42

Latihan 2

1. 6! = ⋯

3!

2. 4!.7! = ⋯
6!

3. 9!.6! = ⋯

7!.5!

4. Dengan Menggunakan Rumus = ! Tunjukkan
( −1)!

Bahwa 0! = 1

5
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

TAHUKAH Permutasi
KAMU?
Permutasi N Unsur Yang Disusun R Unsur
Dalam satu kelas yang
terdiri atas 36 siswa, akan Contoh 1.
dipilih seorang ketua
kelas, sekretaris, dan Dari 4 Calon Pengurus Kelas, Akan Dipilih Ketua Dan
bendahara. Sekretaris. Berapa Banyak Susunan Ketua Dan Sekretaris
Berapa banyak susunan Yang Dapat Dibuat?
pengurus yang dapat
disusun? Penyelesaian:
Untuk menjawab masalah Misalkan Nama-Nama Calon Pengurus Tersebut Adalah A,
tersebut, materi B, C, Dan D, Maka Susunan Pengurus Yang Dapat Dibuat
permutasi harus dikuasai Berturut-Turut Ketua Dan Sekretaris Adalah:
dengan baik. Ab Ba Ca Da
Ac Bc Cb Db
Ad Bd Cd Dc
Jadi Banyaknya Susunan Pengurus Adalah 12 Susunan.

■

Banyaknya Susunan R Unsur Dari N Unsur Dirumuskan
Sebagai Berikut.

= ( !
− )!

Dengan ≤ .

Coba Hitung Penyelesaian Soal Pada Contoh 1 Dengan
Menggunakan Rumus Di Atas!

Contoh 2.
Tentukan Banyak Susunan Panitia Yang Berbeda Yang
Terdiri Dari Ketua, Wakil Ketua, Dan Bendahara Dari 10
Orang Calon!

Penyelesaian:

= 10, = 3
Banyaknya Susunan Ketua, Wakil Ketua, Dan Bendahara

Dari 10 Orang Calon Adalah

130 = 10!
(10 − 3)!

10!
= 7!
10.9.8.7!
= 7!
= 720

6
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

Jadi, Banyaknya Susunan Ketua, Wakil Ketua, Dan
Bendahara Dari 10 Orang Calon Adalah 720 Susunan.

■

TAHUKAH Permutasi Dengan Unsur Sama
KAMU? Contoh 3.
Huruf-Huruf Dari Kata MAMA, Jika Disusun 3 Huruf, Berapa
Banyaknya cara Susunan Berbeda Yang Dapat Dibuat?
penyusunan bendera
negara-negara Asean Penyelesaian: ■
pada gambar di atas Susunan Yang Dapat Dibuat Adalah MAM, AMA, MMA,
dapat dihitung dengan AMM, AAM, dan MAA. Jadi, Ada 6 Susunan Yang Dapat
permutasi. Dibuat.

Cara penentuan Cara Penentuan Permutasi Dengan Unsur Yang Sama
banyaknya posisi tempat Dirumuskan:
duduk melingkar
dihitung dengan !
permutasi siklis. = ( − )! ! ! !

Dengan K, L, Dan M Adalah Unsur-Unsur Yang Sama.

Dengan Rumus Di Atas, Coba Hitung Penyelesaian Soal
Pada Contoh 3.

Permutasi Siklis

Untuk Menyusun Unsur-Unsur Dalam Susunan Melingkar,
Digunakan Permutasi Siklis Sebagai Berikut.

= ( − 1)!

Contoh 4.
Berapa Banyak Susunan Duduk 4 Orang Yang Akan Duduk
Melingkar?

Penyelesaian:

= 4

= ( − 1)!

= (4 − 1)!

= 3!

3×2×1=6

Jadi, Banyak Susunan Duduk 4 Orang Yang Akan Duduk
Melingkar Adalah 6 Susunan.

■

7
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

Latihan 3

1. Dari 12 Orang Siswa Akan Dipilih 3 Orang Masing-
Masing Sebagai Ketua Kelas, Sekretaris, Dan Bendahara.
Ada Berapa Cara Memilih 3 Orang Pengurus Kelas
Tersebut?

2. Tentukan Banyaknya Susunan Duduk 8 Orang Yang Akan
Menduduki 3 Kursi!

3. Berapa Banyak Cara Penyusunan Tiga Unsur Dari Huruf-
Huruf Pada Kata Jakarta?

4. Berapa Banyak Cara Penyusunan Empat Unsur Dari
Huruf-Huruf Pada Kata Borobudur?

5. Ada 10 Bendera, Terdiri Dari 4 Bendera Merah, 3 Kuning
Dan 3 Hijau. Tentukan Banyak Susunan Bendera Secara
Berjajar Yang Berbeda!

6. Lima Siswa Akan Menempati Kursi Yang Mengelilingi
Sebuah Meja Bundar. Berapa Banyak Susunan Duduk
Melingkar Yang Dapat Dibuat?

7. Dari Beberapa Calon Koordinator Pegawai, Akan Dipiih
Satu Orang Sebagai Koordinatordan Satu Orang
Sekretaris. Tentukan Banyaknya Cara Pemilihan
Kepengurusan Pegawai Tersebut!

8
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

TAHUKAH Kombinasi
KAMU?
Contoh 1.
Seorang pelukis memiliki
12 warna cat. Ia ingin Dari Warna Merah, Kuning, Hijau, Dan Putih, Akan
mencampurkan tiap 3 Dicampurkan 2 Warna Agar Memperoleh Warna Baru.
warna agar menghasilkan Berapa Banyaknya Warna Baru Yang Dihasilkan?
lebih banyak warna.
Berapa warna baru yang Penyelesaian:
dihasilkannya? Misalkan Merah = M, Kuning = K, Hijau = H, Dan Putih = P.
Campuran Yang Dibuat:
Untuk menjawab masalah Mk, Mh, Mp, Kh, Kp, Hp.
ini, kamu harus Jadi Ada 6 Warna Baru Yang Dapat Dibuat.
memahami materi
kombinasi. ■

Kombinasi adalah banyaknya cara penyusunan unsur-

unsur tanpa memperhatikan urutannya.
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dihitung sebagai
berikut.

= ( ! !
− )!

Dengan ≤ .

Coba hitung soal pada contoh 1 dengan rumus di atas.

Contoh 2.

Suatu club voli terdiri dari 11 pemain. Ada berapa susunan
pemain yang dapat dibentuk?

Penyelesaian:

n = 11, dipilih r = 6

Banyak susunan pemain yang dapat dibentuk adalah

= ( !
− )! !

161 = (11 11! 6!
− 6)!

11!
= 5! 6!

11!
= 5! 6!

11.10.9.8.7.6!
= 5.4.3.2.1.6!

= 462

Jadi, banyak susunan pemain bola voli yang dapat dibentuk
dari 11 pemain adalah 462 susunan.

9
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA

INFOKOMPUTER ■
Contoh 3.
Permutasi dan Kombinasi
merupakan dasar dari Tentukan banyak cara pengambilan 3 bola yang terdiri dari
Matematika Diskrit, 2 bola merah 1 putih pada suatu kotak yang terdiri dari 4
disamping logika dan bola merah dan 5 bola putih!
teori graf. Matematika
Diskrit adalah dasar Penyelesaian:
semua ilmu informatika
dan komputer. Cara pengambilan 2 bola merah dari 4 bola merah:

Sumber: = ( !
http://feprisaputra.blogs − )! !
pot.co.id/2016/03/hubun
gan-matematika-diskrit- 42 = (4 4! 2!
dengan.html − 2)!

4.3.2!
= 2! 2!

=6

Cara pengambilan 1 bola putih dari 5 bola putih:

= ( !
− )! !

51 = (5 5! 1!
− 1)!

5.4!
= 4! 1!

=5

Banyak cara pengambilan 2 bola merah 1 putih pada suatu

kotak yang terdiri dari 4 bola merah dan 5 bola putih adalah

6 × 5 = 30 cara.

■

Latihan 4

1. Dari 5 warna dasar, akan dicampurkan sebanyak 3
warna. Berapa warna baru yang dihasilkan?

2. Ekstakurikuler pramuka beranggotakan 14 siswa. Berapa
susunan tim cerdar cermat yang beranggota 4 orang
yang dapat dibuat?

3. Dalam sebuah ruangan terdapat 8 orang. Jika mereka
saling bersalaman, berapa salaman yang terjadi?

4. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi
nomor 1 sampai dengan 5 harus dikerjakan. Tentukan
banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut!

5. Dalam tas terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih.
Tentukan banyak cara pengambilan 2 bola merah dan 2
bola putih!

10
KOMBINATORIK-ADI ISMAYA