เซต _ เลขยกกำลัง

เซต&
เลขยกกำลัง



จัดทำโดย
นายนราธิป นิลสาริกา ม.6/5 เลขที่6

เซต(set)

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า
กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันที
ว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต

สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...
สัญลักษณ์

∈ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (EMPTY SET) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทน

ด้วย " { } " หรือ
เซตจำกัด (FINITE SET) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวน
∅สมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (INFINITE SET) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่
สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (TABULAR FORM)

หลักการเขียน
เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
ส ม า ชิ ก ที่ ซ้ำ กั น ใ ห้ เ ขี ย น เ พี ย ง ตั ว เ ดี ย ว
ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิก
อย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3 จุด เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัว
สุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
(SET BUILDER FORM)
หลักการเขียน

เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย L
( L อ่านว่า โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น
ดังรูปแบบ { X L เงื่อนไขของ X }

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (EQUAL SETS) คือ เซตสองเซต
จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทน
ด้วย A = B
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (EQUIVALENT SETS)

คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิก
ของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทน
ด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2.ถ้า A ⟷ B แล้ว
ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

สับเซต (SUBSET)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B
เเล้ว เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B

สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B

⊂เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A

เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A
7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก N ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^N
( 2 ยกกำลัง N ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อ

เมื่อ A B เเละ A ≠ B
ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { A, B,
C } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ
A

∅วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่
, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A,
C}, {B, C}
หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก
N ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมี
ทั้งสิ้น 2^N-1 (2 ยกกำลัง N-1)
สับเซต เราสามารถเขียนความ
สั ม พั น ธ์ ข อ ง สั บ เ ซ ต อ อ ก ม า ใ น รู ป
แผนภาพได้ดังนี้

เพาเวอร์เซต (POWER SET)

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของ
เซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไป
ด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต
A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต
ทั้งหมดของ A}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
∅ ∈ ∅ ⊂P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂ P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
∈ ⊂เเล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน

A P(A) เพราะ A A เสมอ
ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ N(A) คือจำนวนสมชิก
ของA เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2^ N(A) ( 2 ยก
กำลัง N(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (RELATIVE UNIVERSE)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้
เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดย U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
มีข้อตกลงว่า จะกล่าว A = {1, 3, 5, 7}
ถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของ B = {2, 4, 8}
เซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าว
ถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็น ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้
สมาชิกของเซตนี้ โดย
ทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ ∈U = { X N | 1 < X < 20 }
U แทนเซตที่เป็น ∈A = { X N | X = N + 3 เมื่อ
เ อ ก ภ พ สั ม พั ท ธ์
∈N เป็นจำนวนนับคี่ }

B = { X N | X = N + 3 เมื่อ
N เป็นจำนวนนับคู่ }

#นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์
(VENN - EULER DIAGRAM)

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ
แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้อง
ของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียก
เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์สอง
คน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอ
นาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพ
สัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B,
C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือ
วงรีหรือรูปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปปิดใดๆ ที่
แ ท น เ อ ก ภ พ สั ม พั ท ธ์

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }

เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพภพ
สัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (แต่ไม่ทั้งหมด)
แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

⊂ถ้าเซต A B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนินการบนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซต
ต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็นเซตใหม่
ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ

1. ยูเนียน (UNION)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

∪สมาชิกของเซต A หรือ เซต B
เขียนแทนด้วย A B
∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (INTERSECTION)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่

∩ประกอบด้วยสมาชิกของเซต Aเเละเซต B
เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (COMPLEMENT)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วย
สมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็น
สมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้
4. ผลต่างของเซต (DIFFERENCE)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย
สมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ
เซต B
เขียนแทนด้วย A - B
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ

สมบัติการดำเนินการบนเซต

ส ม บั ติ พื้ น ฐ า น C
C
∪ ∅ ∪1. A = A, A U = U
∩ ∅ ∅ ∩A = , A U = A
∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2.A B C = A (B C) = (A B)
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B)
∪ ∩ ∪ ∩ ∪3.A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)
4.(A')' = A
B'
∪ ∩(A B)' = A' B'
∩ ∪(A B)' = A'
∩5.A - B = A B'
เ พิ่ ม เ ติ ม

⊂ ∩∪ ∅ถ้า A
B เเล้ว 1. A - B =
2. A B = A
3. A B = B

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

1. เซตจำกัด 2 เซต B)]

∪ ∩N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B)
∪ ∩N[(A - B) (B - A)] = N(A) + N(B) - 2[N(A

2. เซตจำกัด 3 เซต B) -

∪ ∪ ∩N(A B C) = N(A) + N(B) + N(C)-N(A
∩ ∩ ∩ ∩N(A C) - N(B C)+ N(A B C)

O-NET

1. กำหนดข้อความ 2 ข้อความ ดังนี้
นักเรียนชั้น ม.6 ทุกคนเป็นคนว่ายน้ำเป
คนที่ว่ายน้ำเป็น บางคนก็ขี่จักรยานเป็น บางคนก็ขี่จักรยานไม่
เป็น

ถ้าให้ U แทนเซตของคน
A แทนเซตของนักเรียนชั้น ม.6
B แทนเซตของคนที่ขี่จักรยานเป็น
S แทนเซตของคนที่ว่ายน้ำเป็น

แล้วทั้งสองข้อความที่กำหนดสอดคล้องตามแผนภาพเวนน์ - ออย
เลอร์ในข้อใดต่อไปนี้ (O-NET 59)

ตอบ 3.

exเลขpยoกกnำeลังnt

เลขยกกำลัง

คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของ
เลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของ
มันเองและเมื่อแทน A เป็นจำนวนใด ๆ
และแทน N เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี
A เป็นฐานหรือตัวเลข และ N เป็น
เลขชี้กำลัง(AN) จะได้ว่า A คูณกัน N
ตัว (AXAXAXAXAX…XA)

สมบัติของเลขยกกำลัง

ฐานเดียวกัน กำลังคูณกัน ได้ กำลังบวก

ยกกำลังอยู่ด้านนอกคูณเข้าในได้
ยกกำลังอยู่ด้านนอกคูณเข้าในได้

ยกกำลังอยู่ด้านนอกคูณเข้าในได้
ฐานเดียวกัน หารกัน ได้ยกกำลังลบ
จำนวนยกกำลัง ศูนย์ ได้เท่ากับ 1
จำนวนยกกำลังลบได้เท่ากับ
1 / จำนวนนั้น

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป AX10Nเมื่อ
1≤A<10 และ N เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×107 และ
ทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป
AX10N ได้เช่นเดียวกัน แต่ N จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 =
1.6×10-5

หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป AX10N เมื่อ 1≤A<10 และ N
เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อน
ตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะ
เป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ
เช่น 75000.0=7.5×104

0.000075 = 7.5×10-5
หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา N ตำแหน่ง เลขชี้กำลัง
ของ 10 จะลดลง N ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย N ตำแหน่ง
เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น N

แบบทดสอบ

Thyoaun!k