Matematik_Tingkatan_2 - cutted11

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

ANDA AKAN MEMPELAJARI Masjid Tuanku Mizan Zainal Abidin Ahli matematik Felix Klein (1849-1925)
berpendapat bahawa isometri adalah keseimbangan
11.1 Transformasi dibina pada 5 April 2004. Masjid ini yang dihasilkan oleh pergerakan sesuatu bentuk
11.2 Translasi berdekatan dengan tepian tasik Putrajaya yang sama atau pergerakan oleh sesuatu kumpulan
11.3 Pantulan yang indah dan jernih airnya. Keadaan bentuk yang sama. Isometri dalam sesuatu corak
11.4 Putaran gambar di bawah menunjukkan suatu adalah pergerakan dengan rupa bentuk yang sama.
11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran transformasi berlaku di tasik tersebut. Terdapat empat jenis isometri iaitu translasi, putaran,
Sebagai Isometri Bagaimanakah fenomena ini berlaku? pantulan dan putaran geluncur.
11.6 Simetri Putaran
Untuk maklumat lanjut:
RANGKAI KATA
http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms207
• Objek • Object
MASLAHAT BAB INI
• Imej • Image Ilmu dalam bidang transformasi ini dapat
diaplikasikan, antaranya dalam industri
• Ikut arah jam • Clockwise pembuatan dan rekaan fesyen. Reka bentuk
kenderaan seperti motosikal, kereta dan
• Lawan arah jam • Anticlockwise kapal terbang memerlukan rekaan objek
yang simetri. Pereka fesyen pula akan
• Isometri • Isometry menghasilkan corak-corak yang berlainan
dalam setiap rekaan mereka.
• Kekongruenan • Congruency
207
• Orientasi • Orientation

• Paksi • Axis
BAB 11
BAB 11
• Pusat putaran • Centre of rotation

• Pantulan • Reflection

• Penjelmaan • Transformation

• Translasi • Translation

• Simetri • Symmetry

• Vektor • Vector

• Putaran • Rotation

• Simetri putaran • Rotational symmetry

• Peringkat simetri • Order of rotational
putaran
symmetry

206

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

AKTIVITI KREATIF 3. Ulangi langkah 2 dengan tekapan kedua
dalam keadaan berpusing seperti Rajah C.
Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri transformasi
Bahan: Petikan cerita 4. Pancarkan lampu suluh ke tapak tangan Rajah C
dan perhatikan bayangan yang terhasil
Setiap hari sebelum ke sekolah, Akmal akan menyikat rambutnya di di papan tulis. Gerakkan lampu suluh ke
hadapan cermin dan memastikannya dalam keadaan kemas. Sambil hadapan dan ke belakang untuk melihat
menikmati sarapan pagi, dia akan duduk di bawah kipas siling yang saiz bayangan tangan.
berpusing untuk mengelakkannya berpeluh semasa sarapan. Selesai
bersarapan, Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas untuk Perbincangan:
ke sekolah.
Berdasarkan aktiviti di atas, apakah kesimpulan daripada orientasi
Langkah: pergerakan yang sesuai mengikut pemahaman anda, jika
1. Secara berkumpulan, bincangkan situasi:
(i) kedudukan tangan sebelah-menyebelah. Adakah bayang-bayang
(i) Akmal di hadapan cermin. merupakan imej?
(ii) Kipas siling yang berpusing. (ii) bentuk tangan serupa tetapi kedudukan satu ke atas dan
(iii) Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas. satu lagi ke bawah.
2. Adakah situasi tersebut mengubah rupa bentuk Akmal dan bilah
kipas? Daripada situasi tersebut, apakah yang anda fahami tentang (iii) kedudukan bentuk tangan yang melambai.
pengertian transformasi dalam kehidupan harian Akmal?
(iv) saiz bayangan tangan.
Transformasi merupakan proses mengubah kedudukan, orientasi atau saiz imej suatu objek melalui
translasi, pantulan dan putaran. Imej yang dihasilkan oleh transformasi isometri adalah kongruen. Sebelum transformasi berlaku, bentuk rajah asal dinamakan objek. Selepas D' C'
transformasi, bentuk itu dinamakan imej. Transformasi merupakan C A' B'
padanan suatu titik pada suatu satah. Apabila objek bergerak dalam suatu D

transformasi, setiap titik objek itu mengikut corak pergerakan yang sama. B
A
11.1 Transformasi Transformasi merupakan suatu pergerakan dengan orientasi dan padanan
yang tertentu tanpa mengubah rupa bentuk.

Rajah di sebelah merupakan pergerakan objek ABCD ke imej A'B'C'D'
dengan pergerakan tiga unit ke kanan dan tiga unit ke atas.

11.1.1 Transformasi dalam bentuk, saiz, Memerihalkan perubahan CONTOH 1
kedudukan dan orientasi suatu objek bentuk, saiz, kedudukan
dan orientasi suatu Antara berikut, yang manakah menunjukkan transformasi dan mengapa?
Transformasi melibatkan pemindahan titik pada suatu satah. objek yang melalui
transformasi, dan (a) (b)
Tujuan: Mengenal pasti transformasi melalui kedudukan saiz seterusnya menerangkan
dan rupa bentuk idea padanan satu- A B M
Bahan: Kad manila, cat air dan lampu suluh dengan-satu antara titik- N
Langkah: titik dalam transformasi.
1. Celupkan kedua-dua belah tapak tangan anda ke dalam cat air.
Rajah A
Kemudian, tekapkannya pada kad manila dalam keadaan sebelah-
menyebelah seperti Rajah A.
2. Dalam keadaan tangan kiri berwarna, tekapkan tangan kiri
sebanyak dua kali dalam keadaan sebelah-menyebelah dan ke
bawah sedikit seperti Rajah B.
BAB 11
BAB 11
(c) (d) L K
PQ



Rajah B Penyelesaian:

(a) Transformasi kerana tidak mengubah rupa bentuk.
(b) Transfromasi kerana hanya berubah kedudukan dan tidak berubah bentuk.
(c) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.
(d) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.

208 209

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 2 Alat biasa yang digunakan untuk menentukan kekongruenan ialah pembaris, protraktor, jangka
lukis dan kertas surih. Anda boleh menggunakan alatan ini untuk meneroka sifat kekongruenan.
Rajah di sebelah menunjukkan ABCDEF ialah objek, manakala PQRSTU A BP Q
UT R Perhatikan duit syiling 20 sen dan 10 sen. Dapatkah anda membezakannya dari segi rupa bentuk
ialah imej. Nyatakan imej bagi duit syiling itu? Jika semua duit syiling berbentuk bulat maka duit itu adalah serupa. Adakah
anda setuju dengan pernyataan ini? Semua duit syiling 10 sen adalah kongruen manakala duit
(a) titik C (b) garisan AB (c) ∠ BCD syiling 20 sen dan 10 sen adalah serupa tetapi bukan kongruen.

Penyelesaian: CD

(a) Imej bagi titik C ialah T kerana bentuk yang sama, tetapi kedudukan F ES CONTOH 3

yang berlainan. Antara dua pasangan rajah di bawah, yang manakah kongruen? Orientasi ialah hala
sesuatu. Contohnya,
(b) Imej bagi garisan AB ialah RS kerana imej itu mempunyai ukuran yang sama panjang. Nyatakan sebabnya. arah jam, lawan arah jam,
sebelah kiri dan sebelah
(c) Imej bagi ∠ BCD ialah ∠ STU kerana ∠ BCD mempunyai saiz yang sama dengan ∠ STU. (a) (b) kanan.

11.1.2 Kekongruenan

Tujuan: Mengenal pasti kekongruenan Menerangkan idea Penyelesaian: Kongruen ialah perihal sama
kekongruenan bentuk dan sama saiz.
Bahan: Kertas berwarna biru dan berwarna merah, dalam transformasi. (a) Tidak kongruen kerana saiz yang tidak sama.
pembaris, protraktor dan gunting (b) Kongruen kerana saiz sama walaupun kedudukan dan orientasi
Imbas QR Code atau
Langkah: layari http://rimbunanilmu. tidak sama.
my/mat_t2/ms210
untuk melihat video 11.1
kekongruenan.
1. Antara rajah berikut, yang manakah menunjukkan bukan suatu transformasi?

(a) (b) (c) (d)

1. Dalam kumpulan kecil 4 hingga 5 orang, murid dikehendaki Q
membentuk dua segi tiga.
2. K' ialah imej kepada K di bawah suatu transformasi. B V
2. Murid A dan B akan membentuk segi tiga menggunakan kertas
berwarna biru berukuran sisi 5 cm, 8 cm dan 11 cm. Kenal pasti K H U K'
(a) bucu imej N DS
3. Murid C dan D akan membentuk segi tiga menggunakan R
kertas berwarna merah dengan ukuran yang sama. (b) imej panjang BH (c) imej ∠SDB
T
4. Murid E akan mencantumkan kedua-dua segi tiga untuk
menghasilkan cantuman yang serupa. N

5. Murid akan mengukur sudut pada setiap bucu segi tiga masing- 3. Kenal pasti pasangan yang kongruen dan nyatakan sebabnya.
masing menggunakan protraktor.

Perbincangan:
(i) Berikan sifat yang diperoleh daripada kedua-dua bentuk segi

tiga tersebut.
(ii) Jika kongruen merupakan kesamaan bentuk dan saiz, adakah

segi tiga tersebut memenuhi pengertian kongruen?

Dua objek adalah kongruen jika kedua-duanya mempunyai bentuk
dan saiz yang sama, tanpa mengambil kira orientasi pergerakannya.

210
BAB 11
BAB 11
(a) (b) (c) (d)

Perhatikan objek di atas. 4. Gambar rajah di bawah merupakan dua segi tiga yang kongruen. Lengkapkan jadual di bawah
Adakah kedua-dua objek dengan padanan garis dan sudut yang serupa.
tersebut kongruen? Jika
berat kedua-dua objek Q RC Segi tiga Sisi Sisi Sudut Sudut
tersebut adalah sama,
adakah jumlah bagi PQR QP ∠PQR
syiling yang tersimpan di CBA AB ∠CAB
dalam tabung tersebut
mempunyai nilai yang PA B
sama? Adakah itu yang
dikatakan kongruen?

211

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

11.2 Translasi Mengenal translasi. 11.2.2 Perwakilan translasi dalam bentuk Memerihalkan translasi
11.2.1 Translasi vektor translasi menggunakan pelbagai
Imbas QR Code atau perwakilan termasuk dalam
Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri translasi layari http://rimbunanilmu. Vektor translasi merupakan pergerakan yang mempunyai arah dan bentuk vektor translasi.
Bahan: Perisian geometri dinamik my/mat_t2/ms212 untuk magnitud. Vektor ini juga diwakili dengan anak panah. Penentuan
Langkah: melihat video animasi translasi berdasarkan nilai dan arah suatu vektor.
translasi.
Tujuan: Meneroka translasi daripada vektor translasi y
Bahan: Perisian geometri dinamik P

1. Buka fail MS212 yang telah disediakan. Langkah: Ox
2. Anda boleh meneroka sebarang koordinat bagi A, B dan C. 1. Buka fail MS213 untuk menonton video demonstrasi O→P dikenali sebagai
3. Perhatikan imej berwarna biru yang terhasil setelah titik itu diubah. suatu vektor.
4. Pergerakan imej bergantung pada ketetapan anak panah E yang diberikan. Anda juga boleh translasi vektor. Ikuti cara-cara menentukan imej daripada
vektor yang diberikan. Imbas QR Code atau
menggerakkan penggelongsor biru untuk melihat pergerakan imej. 2. Diberi Vektor 1 dan Vektor 2. Tentukan imej koordinat bagi layari http://rimbunanilmu.
Perbincangan: A, B, C, D dan E. my/mat_t2/ms213 untuk
3. Anda boleh memilih mana-mana vektor untuk menentukan melihat video demonstrasi
(i) Apakah kesimpulan yang boleh dibuat daripada aktiviti penerokaan di atas? imej bagi titik-titik tersebut. translasi vektor.
4. Lengkapkan jadual di bawah.
(ii) Bagaimanakah sifat imej berubah apabila nilai koordinat pada titik objek berubah? Koordinat (x, y). Nilai
x ditulis dahulu diikuti
Translasi merupakan pemindahan semua titik pada suatu satah Koordinat Jumlah Unit Jumlah Unit Bentuk Koordinat nilai y.
mengikut arah yang sama dan melalui jarak yang sama. Objek Pergerakan Pergerakan Vektor Imej
Kanan/Kiri Atas/Bawah
Di bawah suatu translasi, objek dan imej mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama. A( ) � ba � A' ( )
B( ) a b B' ( )
C( ) C' ( )
CONTOH 4 D( ) D' ( )
E( ) E' ( )
BAB 11
BAB 11
Kenal pasti rajah yang menunjukkan translasi. Berikan justifikasi. Perbincangan:

(a) (b) (i) Adakah arah pergerakan objek sama dengan arah pergerakan
anak panah?
Penyelesaian:
(ii) Bagaimanakah penulisan pergerakan unit bagi vektor
(a) Translasi kerana bentuk, saiz dan orientasi sama. translasi Pergerakan dapat dibuat?
(b) Bukan translasi kerana orientasi tidak sama.
kanan / kiri

Pergerakan
atas / bawah

212 213

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

Translasi boleh dihuraikan dengan menyatakan arah dan jarak pergerakan serta vektor, iaitu: CONTOH 7

(a) Arah pergerakan : ke kanan, ke kiri, ke atas, ke bawah. Tentukan translasi bagi rajah berikut.

Jarak pergerakan : bilangan unit.
a
(b) Vektor translasi : b (a) Q' (b) (c)

PR

CONTOH 5 Bdietunltisuksevbeaktgoaritrabans.lasi Q P' R'
a mewakili pergerakan
Tentukan kedudukan titik P dalam rajah P yang selari dengan paksi-x. Penyelesaian: (b) –4 (c) R0
yang diberikan bagi huraian translasi a bernilai positif jika objek (a) Q' –3 −3 −4 −3 −3
dan lukis vektor translasi tersebut. P' bergerak ke kanan dan 4 P −3
(a) Titik P bergerak 2 unit ke kiri dan 3 P' bernilai negatif jika objek 4 R'
bergerak ke kiri. –3 Q P'
unit ke bawah.
(b) Titik P bergerak 5 unit ke kanan dan b mewakili pergerakan 11.2.3 Imej dan objek dalam suatu translasi
yang selari dengan paksi-y.
5 unit ke bawah. b bernilai positif jika objek
(c) Titik P bergerak 6 unit ke bawah. bergerak ke atas dan
(d) Titik P bergerak 3 unit ke kanan. bernilai negatif jika objek
bergerak ke bawah.
Penyelesaian: Oleh itu, translasi bagi imej
yang dihasilkan oleh objek
(a) P (b) p–a32da. rajah di bawah ialah Tujuan: Mengenal pasti imej suatu objek dalam suatu translasi Menentukan imej dan
objek bagi suatu translasi.
P +3

–2 Bahan: Lembaran kerja y

P' Objek Langkah: Translasi Imej 5
4
Imej 1. Perhatikan rajah di sebelah, 3 A
kenal pasti imej bagi objek L 2
(c) P (d) bagi translasi yang diberikan. 2 L3
−1 2
P 2. Lengkapkan jadual berikut. 6 1 C B
–1
2 −4 −3 −2 −−11O D 1 2 3 4 5 x

–3 E −2
–2
P' –5
Perbincangan:

CONTOH 6 (i) Bandingkan ukuran panjang sisi dan nilai sudut bagi objek serta imej.

(ii) Kesimpulan tentang ciri-ciri translasi.
BAB 11
BAB 11
Tentukan vektor translasi OP berdasarkan rajah di bawah.

(a) (b) (c) O a Imej bagi suatu objek dalam suatu translasi akan sentiasa sama dari segi bentuk, saiz dan orientasi.

P P CONTOH 8
b
b A
a b
aP
O
O

Penyelesaian: Lukis imej bagi objek A dalam rajah dengan translasi berikut.

(a) 3 (b) –3 (c) –33 (a) −2 (b) 3
3 3 –4 –1

214 215

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

Penyelesaian: Menentukan vektor translasi jika diberi kedudukan imej dan objek

(a) (b) CONTOH 11
A Diberi P' (3, 6) ialah imej kepada P (2, 9). Tentukan translasi tersebut.
A
A'

A' Penyelesaian:

Menentukan koordinat imej apabila koordinat Vektor translasi = x' − x Diberi objek (x, y) dan
y' − y imej (x', y'). Vektor
translasi ialah x' − x
objek diberikan P'(x + a, y + b) Kaedah alternatif = 3−2
Untuk menentukan imej di bawah translasi � ba � , a x a+x 6−9 y' − y
b y b+y
koordinat objek P(x, y) akan dipetakan + = = 1
P'(x + a, y + b) = P'(x' y' ) −3
+b a − x = a−x
b y b−y

P(x, y) +a Berlaku pertukaran 11.2.4 Penyelesaian masalah

CONTOH 9 bentuk vektor kepada

−5 pasangan tertib. CONTOH 12
2
Tentukan koordinat bagi imej titik Q (3, 1) di bawah translasi . x (x, y) Menyelesaikan masalah
y yang melibatkan translasi.
Agnes menggerakkan buah damnya dari A ke B dan kemudian ke
Penyelesaian: C. Nyatakan pergerakannya dalam bentuk vektor translasi buah dam Anda boleh cuba melontar
bertanda peluru dengan dua gaya
Kaedah 1: Melukis satah Cartes Kaedah 2: Mengira yang berlainan. Adakah
gaya mempengaruhi arah
y i. Q (3, 1) Q' (3 + (−5), 1 + 2) (a) A ke B. lontaran? Bincangkan
perkaitannya dengan
(b) B ke C. A konsep translasi.

Q ' 4 ii. = (−2, 3)

2Q 3 + −5 = −2 B
1 2 3

−4 −2 O x Maka, imej titik Q (3, 1) ialah (−2, 3). C
−2
24

Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberikan Penyelesaian: Merancang strategi Pergerakan translasi
sentiasa bermula dengan
Untuk menentukan objek di bawah translasi � ba �, –a R'(x', y') Memahami masalah (a) 4 unit ke kiri, 2 unit ke ke kiri atau ke kanan,
koordinat objek R'(x', y' ) akan dipetakan –b bawah. kemudian baru ke atas
Pergerakan translasi ke atau ke bawah.
R(x' – a, y' – b) = R, (x y) R(x' – a, y' – b) kiri atau ke kanan, ke atas (b) 3 unit ke kanan, 2 unit ke
atau ke bawah. bawah.
BAB 11
BAB 11
Kaedah alternatif
x
CONTOH 10 (a) y + 3 = –6 Objek Translasi Imej
–2 1

Tentukan koordinat bagi objek titik A jika koordinat imejnya, x = –6 – 3 Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi A (–3, 4) 2
y 1 –2 –3

A' di bawah translasi 3 adalah seperti yang berikut. = –9 (a) Maka, vektor translasi Menggunakan a –4
−2 3 –4 b –5
A ke B ialah –2 . B (7, 9)
(a) (−6, 1) (b) (9, 0) x –4
(b) y + 3 = 9 (a) –2
2 0 (b) Maka, vektor translasi –3
Penyelesaian: 3 2 P'(–5, 2)
x 9 3 3 (b) –2
(a) Koordinat A = [−6 – 3 , 1 − (−2)] (b) Koordinat A = [9 − 3 , 0 − (−2)] y = 0 – –2 B ke C ialah –2 . 0
5
= (−9 , 3) = (6, 2) = 6 Q'(4, 1)
2

216 217

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

11.2 QR CODE

1. Antara pasangan bentuk berikut, yang manakah menunjukkan keadaan translasi? Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri pantulan Imbas QR Code atau
Bahan: Perisian geometri dinamik layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms219 untuk
(a) (b) (c) (d) melihat video demonstrasi
ciri-ciri pantulan.

2. Tentukan koordinat imej bagi objek (5, −3) di bawah translasi

(a) 2 (b) 4 (c) −3 (d) −2
2 6 −1 −5
Langkah:
3. Tentukan koordinat objek bagi imej (−1, −4) di bawah translasi 1. Buka fail MS219 yang telah disediakan.
2. Perhatikan perubahan paksi pantulan apabila titik G dan titik H berubah.
(a) 1 (b) −3 (c) −8 (d) 7 3. Perhatikan perubahan yang berlaku pada imej.
4 5 0 2
Perbincangan:
4. Nyatakan vektor translasi bagi pasangan titik berikut. (i) Apakah yang anda fahami tentang paksi pantulan?

(a) A (1, 2), A' (3, 6) (b) B (5, 7), B' (−1, −1) (ii) Apakah yang akan terjadi kepada imej berwarna kuning apabila paksi garisan GH digerakkan?
(iii) Apakah sifat-sifat simetri yang anda fahami daripada aktiviti tersebut?
(c) C (4, 4), C' (8, 0) (d) D (6, 4), D' (3, −3)

5. Objek L (1, 4) dipetakan kepada kedudukan L'(3, −5) di bawah suatu translasi. Tentukan Di bawah suatu pantulan,
kedudukan imej atau objek dengan translasi yang sama bagi titik di bawah. (i) objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.

(ii) objek dan imejnya mempunyai jarak serenjang yang sama dari paksi pantulan.

(a) A (3, 1) (b) S' (4, −2) (iii) bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek, tetapi orientasinya songsang.
(iv) imej bagi suatu titik yang ada pada paksi pantulan ialah titik itu sendiri.
(c) J' (5, −6) (d) D (−7, −8)
Simetri ialah suatu padanan dari segi saiz dan bentuk di antara satu
6. Dengan menggunakan orientasi yang sama dengan rajah di sebelah, A bahagian atau sisi suatu arah objek. Garis simetri ialah garisan yang Semua titik yang terletak
tentukan koordinat imej bagi titik berikut. A' membahagikan suatu bentuk kepada dua bahagian yang kongruen. pada paksi pantulan tidak
Garis ini ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang berubah kedudukannya
(a) (−1, −4) (b) (5, −5) menyambungkan objek dan imej. Garis simetri ialah paksi pantulan semasa mengalami
bagi imej dan objek. suatu transformasi.

Sifat imej bagi pantulan ialah

(a) sama bentuk dan sama saiz dengan objek.

BAB 11
BAB 11
11.3 Pantulan (b) imej mempunyai orientasi berbeza, bersongsang sisi dan membentuk imej cermin antara satu
sama lain.

11.3.1 Pantulan Mengenal pantulan. CONTOH 13

Antara corak yang berikut, yang manakah menunjukkan orientasi pantulan?

Apabila Preveena melihat cermin sambil menyikat rambutnya, dia akan dapat melihat rupa parasnya (a) (b) (c)
pada cermin tersebut. Imej Preveena dalam cermin ialah hasil pantulan. Pantulan ialah transformasi
yang berlaku apabila semua titik pada satah dibalikkan dalam satah yang sama pada suatu garis. Penyelesaian:
Garis tersebut dinamakan paksi pantulan. (a) Ya

(b) Tidak (c) Ya

218 219

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 14 Langkah 3: Tentukan jarak bucu masing-masing dari L
Lengkapkan lukisan di bawah. paksi pantulan dan tandakan jarak yang sama AB
Penyelesaian: dari paksi di atas garisan yang sama. Lakukan
Objek Transformasi Imej perkara yang sama pada semua bucu.

(3, 4) Pantulan pada C
(–3, –5) paksi-x M
(3, 4)
(–3, –5) Pantulan pada 11.3.4 Penyelesaian masalah
paksi-x
CONTOH 17 y
Pantulan pada Dalam rajah di sebelah, M'
paksi-y ialah imej bagi M di bawah
suatu pantulan. Tentukan
Pantulan pada koordinat P' di bawah paksi
paksi-y pantulan yang sama.

Penyelesaian: 4 Menyelesaikan masalah
P3 yang melibatkan pantulan.
Memahami masalah
11.3.2 Penerangan tentang pantulan 2 M
1
CONTOH 15 Memerihalkan pantulan y
menggunakan
Dalam rajah berikut, segi tiga M' ialah imej kepada segi tiga M pelbagai perwakilan. −4 −3 −2 −−1 1O 1 2M '3 4 5 6 x 5
−2 4 B (1, 4)

di bawah suatu pantulan. Huraikan pantulan tersebut. −3 3
−4
(a) (b) y 2 C (3, 2)
y (–2, 1) A 1
x
–(5–2−,4– 1−)3A −' 2 −−−1 12O 1 2 3 4 5
4 4 C' (3, –2)
3
M 3 2 −3
2 1
−4 B' (1, –4)
–5

1 Merancang strategi Pantulan titik (x, y) pada
paksi-x ialah titik (x, –y)
−4 −3 −2 −1− 1 O 1 2 3 4 5 6 x −4 −3 −2 −1− 1 O 1 2 3 4 5 6 x
M' −2
−3 −2 M' ialah imej bagi M. Tentukan pasangan bucu bagi imej dan objek.
−4 M −3 Tentukan paksi pantulan. Lukis garis serenjang bagi kedua-dua pasangan bucu.

M' Bina atau tentukan pembahagi dua bagi garis serenjang tersebut.

−4

Penyelesaian: (b) Objek M dipantulkan pada paksi-y. Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi
(a) Objek M dipantulkan pada paksi-x.
Dengan paksi pantulan y = 1, Paksi pantulan ditentukan pada y = 1.
Koordinat P' ialah (–3, –1). Gunakan paksi tersebut untuk
mendapatkan P'.
11.3.3 Imej bagi suatu objek

CONTOH 16

Lukis imej bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada
garis LM.
Penyelesaian:
Langkah 1: Pilih mana-mana bucu dan bina garis serenjang

dari bucu tersebut ke garisan LM dan panjangkan
melebihi paksi pantulan tersebut.
Langkah 2: Selarikan garisan tersebut kepada semua bucu
yang lain.

220
BAB 11 y
BAB 11
Menentukan imej dan y
objek bagi suatu pantulan.
P4 M (–5, 2) 5 (1, 3) (5, 2)
L 3 B' (–1, 3) 4 A B
AB 2
1 A'3
C 2
M
1

x –5C−'(4– 4−,3– 1−)2 −−−1 21O 1 2 3 4 5 x
C(4, –1)
Paksi pantulan −4 −P3' −2 −−−−1 231O 1 2(– M 3 ,3'– 1 4) 5 6
y =1 −4 −3

−4

–5

Pantulan titik (x, y) pada
paksi-y ialah titik (–x, y)

221

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

11.3 6. Merujuk kepada satah Cartes di sebelah, huraikan y
pantulan yang memetakan poligon A kepada poligon 8
K
1. Antara berikut, yang manakah menunjukkan pantulan? (a) K b) L (c) M (d) N 6 L
A 2 46
(a) (b) (c) (d) 4

2 x
M 8
−8 − 6 − 4 −2 O
2. Lengkapkan lukisan di bawah.
(a) (b) −2
N

−4

7. Kenal pasti paksi pantulan dan huraikan suatu perwakilan pantulan bagi pasangan titik di bawah.

(a) A (3, 1) dan A' (−3, 1) (b) B (−4, 2) dan B' (−4, −2)

(c) C (5, 6) dan C' (−5, 6) (d) D (2, 2) dan D' (4, 2)

3. Bina imej bagi objek di bawah pantulan garisan PQ. 8. Jika L (4, 1) dipetakan kepada L' (4, 5) di bawah satu pantulan, tentukan
(a) Q (b) (a) koordinat imej bagi (−3, −1) di bawah paksi pantulan yang sama.
(b) koordinat objek bagi (7, 2) di bawah pantulan yang sama.

P

11.4 Putaran

11.4.1 Putaran

Dapatkah anda mengenal pasti pergerakan objek yang berputar Mengenal putaran.

di sekeliling anda seperti jarum jam, kipas siling dan pergerakan

PQ tayar? Jarum jam melakukan putaran penuh setiap dua belas

jam. Namun begitu, putaran tayar bergantung pada arah pergerakan sama ada ke depan atau ke

4. A'B'C'D' ialah imej bagi objek ABCD di bawah suatu y belakang. Semua pergerakan tersebut mempunyai pusat putarannya.
paksi pantulan. Tentukan koordinat imej bagi titik objek
P, Q, R dan S menggunakan paksi pantulan yang sama. S B' 8 B
P
5. Lukis paksi pantulan bagi gambar rajah berikut.
(a) (b) 6

M C' 4 A' C Tujuan: Mengenal putaran QR CODE
A Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah: Imbas QR Code atau
2 Dx 1. Buka fail MS223 untuk menonton layari http://rimbunanilmu.
D' T 2 468 my/mat_t2/ms223 untuk
−8 −6 −4 −2 O video animasi putaran. melihat video animasi
Q putaran.
−2 2. Seret butang hijau dan perhatikan

R −4
BAB 11
BAB 11
animasi putaran.

3. Laraskan butang tersebut untuk

A melihat objek yang diputarkan.

Perbincangan:

M' (i) Dapatkah anda mengenal pasti imej segi tiga yang bergerak apabila sudut putaran
A'
dilaraskan? Apakah kesimpulan yang boleh anda buat terhadap imej segi tiga itu?

(ii) Apakah sifat imej dalam aktiviti di atas?

222 223

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

Sifat imej bagi putaran: CONTOH 19 y
(a) Imej yang dihasilkan mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama dengan objek.
(b) Pusat putaran ialah satu titik pegun. Tentukan imej bagi ∆PQR apabila 6 C
(c) Jarak semua titik imej ke pusat putaran adalah sama dengan jarak objek ke pusat putaran. diputarkan 90° lawan arah jam pada titik M. 5B
M C' 4
P
3 A (1, 1)
B (1, 5)
2 C (4, 5)
A'1 A
B' x

11.4.2 Putaran dalam pelbagai perwakilan Penyelesaian: RQ –5AB''−((4–– 51 −,,311 )) −2 −1−− 12O 1 2 3 4 5
C' (–5, 4) −3
Apabila kita memerihalkan suatu putaran, kita perlu
menyatakan pusat, sudut dan arah putaran yang memetakan −4
objek kepada imej. y

Memerihalkan putaran Kaedah 1 (Menggunakan kertas surih) 5C A (0, 1)
menggunakan B (4, 1)
pelbagai perwakilan. Langkah 1: Lukiskan garisan pada titik M A' (0, –1) 4 C (2, 5)
ke titik P. B' (–4, –1) 3
2

C' (–2, –5) 1A B

M –5B−'4 −3 −2 −−1 1O A ' 1 2 3 4 5 x

−2

−3

Imej yang dihasilkan P −4
melalui putaran 180° ikut C' –5
arah jam adalah sama
dengan putaran 180° y
lawan arah jam.
RQ A (0, 1) 5 C
ikut arah jam B (–1, 4) B4
Langkah 2: Tentukan sudut 90° lawan C (3, 4) A' D B'
A 180° arah jam. D (2, 1) 3
2
A' A1 x

–5A−' 4(1 ,−03) −2 −−1 1O 1 2 3 4 5
B' (4, 1) −2 D'
M C' (4, –3) −3
Ikut arah jam Lawan arah jam 90° D'(1, –2) −4 C'

P –5
lawan arah
CONTOH 18 lawan arah jam Putaran 90°
R Q jam lawan arah
jam pada (x, y) → (–y, x)

Perihalkan putaran bagi rajah di bawah. asalan

(a) A B (b) y Putaran 180° (x, y) → (–x, –y)
pada asalan
Langkah 3: Lukis semula bentuk segi tiga
DC 4 A' PQR di atas kertas surih. Putaran 270° (x, y) → (y, –x)
3 lawan arah
2 A M kertas jam pada
1 S 90° surih
1 23 45 6 asalan
–1–1O P
D' A' x
T

BAB 11
BAB 11
C' B' RQ Objek Transformasi Imej
(5, 2)
Penyelesaian: Putaran 90°
(–3, 4) ikut arah jam
(a) Putaran 90° ikut arah jam pada titik T. Langkah 4: Tekan dengan mata pensel Q' (– 4, 7)
(b) Putaran 90° lawan arah jam pada titik S. pada titik M, putarkan kertas R' pada titik
surih 90° lawan arah jam. kertas (0, 0)
M surih
11.4.3 Menentukan imej dan objek bagi putaran Menentukan imej dan 90° P' Putaran 90°
objek bagi suatu putaran. lawan arah
Kita boleh menggunakan kertas surih, protraktor dan jangka lukis P jam pada titik
untuk menentukan imej atau objek di bawah suatu putaran. RQ
(2, 1)

Putaran 180°
pada titik
(–1, 3)

224 225

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

Kaedah 2 (Menggunakan protraktor) CONTOH 20 Q'
Langkah 1: Bina garisan MP. M
Tentukan objek bagi titik Q' apabila diputarkan
M Objek Transformasi Imej 180° ikut arah jam pada titik M. Jika B ialah pusat putaran,
(–3, 1) maka kedudukan imej B
P Putaran 90° Penyelesaian: Q' tidak akan berubah.
ikut arah jam (3, 2) Langkah 1: Lukis garisan yang menyambungkan
RQ (2, 1) MA
pada titik titik M dan Q' serta panjangkannya
Langkah 2: Dengan menggunakan protraktor, lukis satu garisan MP (–2, 3) dengan jarak yang sama dengan MQ' di Q' C B C'
berukuran 90° lawan arah jam dengan jarak yang sama arah yang bertentangan. M A'
dengan MP'. Putaran 90°
lawan arah Langkah 2: Tandakan titik Q pada garisan yang
jam pada titik dipanjangkan dengan MQ = MQ'.

(1, 3 )

Putaran 180°
pada titik
(–3, 4)

M P' Q

P 11.4.4 Penyelesaian masalah Menyelesaikan masalah
yang melibatkan putaran.
Tahukah anda sekiranya objek dan imej suatu putaran diberi, pusat,
sudut dan arah putaran dapat ditentukan dengan menggunakan
kaedah pembinaan geometri.

RQ Jika soalan menggunakan Menentukan pusat, sudut dan arah putaran
grid segi empat sama,
Langkah 3: Ulangi langkah 2 dengan garisan MR dan MQ. maka putaran 90°, 180°
dan 270° tidak perlu
M Q' menggunakan protraktor. CONTOH 21 B A'
P' R' A C' Imej B'
A'B'C' ialah imej bagi ABC di bawah suatu putaran.
P Tentukan pusat, sudut dan arah putaran itu. Objek A'
C

RQ Penyelesaian: B

Langkah 4: Sambungkan semua titik P', R' dan Q' menjadi sebuah segi tiga yang sama dengan PRQ. Langkah 1: Sambungkan titik A ke A'. Bina pembahagi dua A
sama serenjang bagi tembereng garis AA'.
Q'
M P' R'

P

RQ
226
BAB 11
BAB 11
C C' B'

Langkah 2: Ulangi langkah 1 bagi garis BB' atau CC'. B
A
A'
C C' B'

227

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

Langkah 3: Titik persilangan dua garisan pembahagi dua B 11.4
serenjang itu ialah pusat putaran. Tandakan pusat
putaran itu sebagai D. A A' 1. Perihalkan putaran di bawah yang berpusat di P jika A ialah objek dan B ialah imej.
C' B'
C (a) y (b) y

D 4 B 5 P
B A3 1234 4
Langkah 4: Ukur sudut CDC' menggunakan protraktor. A 3 B
2 2
A' 1 1A
P
Maka, imej di bawah putaran 90° ikut arah jam –6 –5 –4 –3 –2 –1–1O x –2 –1–1O 1 2 3 4 5 6 7 x
pada pusat D.
C C' B'
90°
y y
D (c) (d) 5P
5
Menentukan koordinat imej apabila koordinat objek diberikan
CONTOH 22 44

Tentukan koordinat imej bagi titik A (−3, 2) di bawah suatu putaran 90° ikut arah jam pada asalan O. 3B A 3
2 2B A
Penyelesaian: 1P x 1 x
–2 –1–1O 1 2 3 4 5 6 7
–2 –1–1O 1 2 3 4 5 6 7

Langkah 1: Langkah 2:
Sambung garis OA.
Putar garis OA pada asalan O menggunakan protraktor ikut 2. Perihalkan putaran yang memetakan objek kepada imejnya.
y
arah jam dengan sudut 90°. y (a) (b)
4
3 Daripada rajah, koordinat bagi 4 PQ R
A2 imej A' ialah (2, 3). 3 A' Q'
P
A2 R'

11

–3 –2 –1 O 12 x –3 –2 –1 O 12 x
–1 –1
(c) (d) y

Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberi 4
S2
BAB 11
BAB 11–4 –2 O
CONTOH 23 y T –2 S'
M' M x
Sekiranya K' (−2, −3) ialah imej bagi K di bawah putaran 90° ikut 1
arah jam pada titik L (1, 0), tentukan koordinat K. 3. Lukis imej bagi R di bawah satu putaran. 24
–2 –1–O1 Putaran 90° lawan arah jam pada pusat O.
Penyelesaian: –2 L x
1234 RO
Langkah 1: Terbalikkan arah putaran untuk mencari koordinat K' –3
objek, iaitu titik K. –4 K Putaran 180° pada pusat O.

Langkah 2: Dengan menggunakan protraktor, putar garis K'L RO
pada titik L, 90° lawan arah jam.

Daripada rajah, koordinat bagi titik K ialah (4,−3).

228 229

Bab 11 Transformasi Isometri y 11.5.2 Hubungan isometri dan kekongruenan Bab 11 Transformasi Isometri

4. Tentukan koordinat objek bagi titik berikut di bawah putaran Perhatikan objek yang berwarna ungu. Bolehkah anda nyatakan Menerangkan hubungan
yang diberikan. imej yang kongruen di bawah suatu transformasi pantulan? antara isometri
dengan kekongruenan.
Titik Putaran Koordinat 6 S' Dapatkah anda tentukan paksi pantulan bagi transformasi
5 isometri ini? Dua rajah adalah
P Pusat Sudut Arah 4 12 kongruen jika bentuk dan
Q (−2, 1) P' 3 R' saiz adalah sama.
R (0, 0) 90° ikut arah jam
S (0, −1) 2 BL
(0, 4) 90° lawan arah jam
1
90° lawan arah jam Q' x
–4 –3 –2 –1–1O
90° ikut arah jam
–2

11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran sebagai Isometri A C KM

11.5.1 Hubungan translasi, pantulan dan ABC dan KLM adalah
kongruen di bawah suatu
translasi.

putaran dengan isometri

Paksi Anda telah mempelajari Menyiasat hubungan Tujuan: Mengenal pasti perkaitan antara isometri dengan kekongruenan
pantulan transformasi bagi translasi, antara kesan translasi, Bahan: Kertas surih dan pembaris
pantulan dan putaran bagi pantulan dan putaran
suatu objek. Masing-masing terhadap jarak di antara y
mempunyai sifat tertentu. dua titik pada objek dan
imej, dan seterusnya 5
menerangkan isometri.
4
Objek Perhatikan rajah di sebelah, dapatkah anda mengenali Q3 A

Imej 1 transformasi bagi Imej 1, Imej 2 dan Imej 3? Apakah yang 2 12345
1 B
Imej 3 boleh anda kaitkan dengan jarak di antara objek dengan

Pusat imej? Jika objek dipetakan kepada suatu imej yang sentiasa x
putaran Imej 2
kongruen, maka itu merupakan suatu isometri. Isometri −5 −4 −3 −2 −1−1O

ialah suatu transformasi yang mengekalkan jarak di antara −2
−3
sebarang dua titik pada objek asal. Transformasi isometri C

akan mengekalkan bentuk dan saiz asal objek. −4

CONTOH 24 Langkah:
1. Perhatikan gambar rajah di atas. Q ialah objek kepada suatu imej.
Antara rajah A, B dan C, yang manakah merupakan imej isometri bagi objek yang berlorek di 2. Bersama-sama dengan rakan, kenal pasti imej yang kongruen.
bawah suatu isometri? 3. Kenal pasti juga isometri yang memungkinkan kekongruenan pada imej tersebut.
Perbincangan:
(i) Jika imej A dan C bukan kongruen, adakah imej itu boleh dikatakan suatu isometri?
(ii) Apakah perkaitan antara isometri dengan kekongruenan?
BAB 11
BAB 11

Objek A Penyelesaian:
B
Rajah A ialah imej isometri kerana bentuk dan saiznya sama.
Rajah B bukan imej isometri kerana saiznya tidak sama. Di bawah suatu isometri, objek dan imej adalah sama bentuk dan sama saiz. Oleh itu,
Rajah C bukan isometri kerana bentuk dan saiznya tidak sama. objek dan imej adalah kongruen. Isometri ialah transformasi yang imejnya kongruen
dengan objek.
C

Anda dapat mengenal pasti translasi, pantulan dan putaran ialah isometri.

230 231

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 25 y 11.5

Objek A, B, C dan D adalah kongruen. Nyatakan isometri 8 1. Tentukan sama ada setiap transformasi yang berikut ialah isometri atau bukan.
yang memetakan (a) (b)
(a) objek A kepada objek B. A 7
(b) objek A kepada objek C. 6 (c) (d)
(c) objek A kepada objek D.
5 B
Penyelesaian: C
4
(a) Putaran 123456
(b) Translasi 3
(c) Pantulan
D 2
1

–4 –3 –2 –1O x

11.5.3 Penyelesaian masalah 2. Tentukan sama ada transformasi berikut merupakan suatu isometri.
(a) Suatu pantulan diikuti suatu pantulan.
Apabila menamakan poligon yang kongruen, tertib huruf mesti (b) Suatu translasi.
(c) Suatu putaran secara berturut-turut.
berdasarkan bucu atau sudut yang sepadan. Menyelesaikan masalah
yang melibatkan isometri
A BQ P dan kekongruenan.

D CR S 3. Dalam rajah di sebelah, A, B dan C ialah imej bagi objek P.
Nyatakan jenis transformasinya.
Sisi empat ABCD dan sisi empat SRQP adalah kongruen. Imbas QR Code atau A
layari http://rimbunanilmu. B
my/mat_t2/ms232 untuk P
menonton video animasi
CONTOH 26 S kongruen.

D C P C
50°
Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah
BQ
imej bagi PQCS di bawah suatu

isometri. Diberi DCS ialah garis lurus,

hitung ∠PQC. A 4. Rajah di sebelah menunjukkan beberapa bentuk. Nyatakan bentuk
yang kongruen.
Penyelesaian: K

Memahami masalah Merancang strategi L
ABCD ialah imej bagi PQCS. M
DCS ialah garis lurus. Tentukan N
∠PQC sebahagian daripada
sudut segi empat PQCS.
BAB 11 C S
BAB 11
∠QCS = 180°– 50°
2
130°
= 2 5. Dalam rajah di sebelah, ∆ ABC ialah imej bagi ∆ BCD, di bawah suatu B
transformasi isometri. Hitung nilai x. 15°
Q P = 65°

Membuat kesimpulan Melaksanakan strategi C 35°
Oleh itu, ∠PQC ialah 115°. x
∠PQC = 360° – 90° – 90° – 65° AD
= 115°
233
232

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

11.6 Simetri Putaran CONTOH 27
11.6.1 Simetri putaran Kenal pasti objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran?
(a) (b) (c)
Suatu bentuk mempunyai simetri putaran jika bentuk tersebut tidak
berubah selepas putaran walaupun kurang daripada satu putaran. Menerangkan
simetri putaran.

Tujuan: Mengenal pasti simetri putaran QR CODE Penyelesaian:
Bahan: Perisian geometri dinamik (a) Tidak (b) Ya (c) Tidak
Langkah: Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms234 untuk 11.6.2 Peringkat simetri putaran bagi objek
menonton video animasi
simetri putaran. Bilangan imej yang boleh dihasilkan dalam suatu pusat putaran yang
sama dan menjadi seperti objek asal adalah dinamakan peringkat
simetri putaran. Peringkat simetri putaran sama dengan bilangan Menentukan peringkat
paksi simetri suatu objek. simetri putaran bagi
suatu objek.

Tujuan: Kenal pasti peringkat simetri putaran QR CODE
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah: Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
1. Buka fail MS234 yang telah disediakan. my/mat_t2/ms235 untuk
menonton video tentang
2. Gerakkan butang hijau putaran lawan arah jam dengan sudut aktiviti ini.

120°, 240° dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada Simbol kitar semula
segi tiga berwarna hijau. Gerakkan semula butang tersebut merupakan contoh suatu
kepada kedudukan asal. simetri putaran.

3. Gerakkan butang hijau putaran arah jam dengan sudut 120°, 240°
dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada segi tiga berwarna merah muda.

Perbincangan: 1. Buka fail MS235 yang telah disediakan.
2. Terdapat dua bentuk geometri.
(i) Dapatkah anda kenal pasti simetri putaran bagi poligon tersebut? 3. Gerakkan butang sudut untuk mendapatkan bentuk asal.
4. Hitung bilangan pergerakan putaran untuk mendapatkan bentuk asal objek.
Perbincangan:
(i) Adakah bilangan peringkat simetri putaran sama dengan bilangan paksi simetri?
(ii) Dapatkah anda tentukan bilangan peringkat simetri putaran?

Peringkat simetri putaran ialah bilangan kali sesuatu bentuk menepati dirinya sendiri dalam
satu putaran lengkap. Bilangan paksi simetri adalah sama dengan peringkat simetri putaran.

235
BAB 11
BAB 11
(ii) Jika D ialah pusat putaran, apakah yang anda fahami tentang simetri putaran?

A C Simetri merupakan padanan tepat dari segi saiz dan bentuk
CB antara satu bahagian atau sisi suatu arah atau objek. Bagi
simetri putaran, bentuk atau imej yang diputarkan kurang
daripada 360° pada satu titik tetap, bentuknya masih

B A kelihatan sama.

234

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 28 A 4. Objek tersebut terletak pada satah Cartes. Nyatakan koordinat bagi y
B P di bawah simetri putaran peringkat ketiga. 8
Tentukan peringkat simetri putaran apabila kedudukan A berada di 6 P
kedudukan D dalam rajah di sebelah.
E
Penyelesaian:
4

Dengan menggunakan kertas surih, lukis dan tentukan pergerakan D C 2
peringkat putaran A kepada D.
O 2468 x
C

A→B→C→D B D MENJANA KECEMERLANGAN
A E
Peringkat Peringkat Peringkat 1. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk poligon Q E
pertama kedua ketiga
R IJ
A dipetakan kepada poligon A' di bawah suatu P A A'

pantulan. Kenal pasti padanan titik UT S HG F

(a) imej bagi titik P.

11.6 (b) objek bagi titik G.

1. Antara objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran? 2. Antara rajah berikut, yang manakah translasi dan nyatakan sebabnya.

(a) (b) (c) (d) (a) (b) (c)



2. Tentukan peringkat simetri putaran bagi objek berikut.

(a) (b) (c) (d) 3. Lukis imej bagi objek A di bawah translasi yang diberikan.

(a) −7 (b) 6
4 3

BAB 11 A A
BAB 11
3. Objek simetri berikut diputarkan pada suatu titik. Nyatakan peringkat
simetri putaran jika A

(i) kedudukan A berada di kedudukan C. FB (c) 4 A (d) −5 A
(ii) kedudukan B berada di kedudukan D. –5 –2

(iii) kedudukan C berada di kedudukan B.

EC

D

236 237

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

4. Jika titik K (−2, −2) ialah objek, kenal pasti imej di bawah vektor translasi berikut. (c) (d)

(a) 0 (b) 3 (c) −5 (d) −3 (e) −2 (f) 4
2 –1 4 4 0 –3

5. Lukis imej P' bagi objek P di bawah pantulan pada garis MN.

(a) M (b) (c) (d) M

P M P

P MN P y

N 9. (i) Pada rajah di sebelah, lukis imej bagi M di bawah 6
NN pantulan pada paksi-x. 4
2
6. Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut, di bawah paksi pantulan yang diberikan. (ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik W di bawah M
pantulan yang sama. –4 –2 O x
W –2
y –4 246
P

8

6

4 Titik Paksi pantulan pada Koordinat

C2 DC Paksi-y C' ( )

–10 –8 –6 –4 –2 O 2468 x D Paksi-x D' ( )
–2 E' E' Garisan PQ E( )
F' Garisan PQ F( ) 10. Diberi P' ialah imej bagi P di bawah suatu putaran. Huraikan putaran itu selengkapnya.
F'–4
(a) y (b) y

–6 8 8

–8 7 7
Q
6 6

5 5

7. Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut di bawah suatu putaran yang diberikan. 4 4

y P 3 P 3
2 2
P' P'
6 1 1 123456
Putaran
4K Titik Koordinat –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 6 x –4 –3 –2 –1O x
M' L 2
–8 –6 –4 –2 O 2 4 6 Pusat Sudut Arah

–2 K (0, 0) 90° ikut arah jam K' ( ) (c) y (d) y
x L (0, 2) 180° ikut arah jam L' ( )
N' –4 7 7
M' (0, 0) 90° lawan arah jam M ( )
BAB 11 6 6
BAB 115
N' (–3, −4) 180° ikut arah jam N ( ) 5
4
4 3
2
8. Yang manakah mempunyai simetri putaran? 3 P1

(a) (b) P 2 –4 –3 –2 ––1O1 P'
1 –2 123456
–3
–4 –3 –2 ––1O1 123456 x x
P'
–2
–3

238 239

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

11. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah sebuah segi empat sama. Nyatakan A 14. Rajah di sebelah menunjukkan objek R dan S. y
imej bagi segi tiga OAB di bawah putaran yang berikut. O
(a) Lukis imej R di bawah 5
(i) Putaran 90° ikut arah jam pada titik O. 4
(i) putaran 90° lawan arah jam pada titik R3
(ii) Putaran 180° pada titik O. −3 2 S
(iii) Putaran 270° lawan arah jam pada titik O. D B asalan diikuti translasi 0 . 1 123456

(ii) pantulan pada garis lurus x = 1. –6 –5 –4 –3 –2 –1–O1
–2
(b) Lukis imej S di bawah pantulan pada paksi-x –3 x
−4
C diikuti dengan translasi 1 dan putaran
y 180° pada titik (0, –1).
12. Rajah menunjukkan segi tiga ABC yang mengalami tiga
kali transformasi, iaitu P → Q → R → S. 5A A' Seterusnya, nyatakan nama rajah poligon tersebut.
(a) Huraikan transformasi tersebut.
(b) Sekiranya titik K''' ialah imej bagi titik K, nyatakan 4
koordinat objek K tersebut di bawah transformasi
yang sama. 3P Q 15. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat A dan segi empat B yang
dilukis pada grid segi empat sama.
13. Rajah menunjukkan sebuah peta perairan laut Kejora. 2B C C'A'' B'
y 1 C''' A''' x

–1–1O 1 2S3 4 5 6 7 8 Segi empat A ialah imej bagi segi empat B di bawah suatu A
B''' R transformasi. Huraikan selengkapnya lima transformasi yang B
–2 K''' C'' B'' mungkin.

Q

4 16. Berdasarkan rajah di sebelah y
3
2

1 (a) putarkan objek P sebanyak 180° pada titik (1, 1). 4
3
–3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x Labelkan imej putaran sebagai Q. P2
–2 A −2 1
(b) lakukan translasi –2 terhadap Q dan labelkannya
sebagai R. –4 –3 –2 –1–1O
–2 x
–3 (c) huraikan transformasi lain yang memetakan objek –3 123456
P kepada imej R.
–4
17. Merujuk rajah di bawah, Fauzah dan Zainun masing-masing berkedudukan Tenggara dan Barat
–5 Daya. Jika mereka bercadang untuk berjumpa di suatu kawasan yang terletak di Timur Laut,
nyatakan peringkat simetri putaran yang perlu dilalui oleh mereka berdua.
–6 P

Titik A ialah kedudukan kapal tentera Makdis. Bantu tentera Makdis untuk mengesan lanun
mengikut turutan transformasi berikut.

BAB 11
BAB 11
A (1, –1) BARAT LAUT UTARA
Putaran 90° lawan arah jam
pada titik asalan Pantulan pada Translasi −1 Pantulan
garis PQ 3 pada
Lokasi lanun
paksi-x BARAT TIMUR LAUT

BARAT DAYA TIMUR

Pantulan pada Translasi 4 Putaran 90° lawan arah jam SELATAN TENGGARA
y = –1 0 pada pusat putaran (5, 1)

240 241

Bab 11 Transformasi Isometri Bab 11 Transformasi Isometri

INTI PATI BAB REFLEKSI DIRI
Pada akhir bab ini, saya dapat:

Transformasi Isometri

Pemindahan titik pada suatu satah 1. Mengenal translasi, pantulan dan putaran.

Translasi Pantulan Putaran 2. Menentukan imej dan objek suatu translasi, pantulan dan putaran.
Pemindahan semua Transformasi yang membalikkan Proses transformasi yang
titik pada satu satah titik-titik pada satu satah terhadap berlaku apabila setiap 3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan translasi, putaran dan pantulan.
mengikut arah dan satu garis yang dikenali sebagai paksi titik berputar pada suatu 4. Menyiasat hubungan antara kesan translasi, pantulan dan putaran terhadap
magnitud suatu vektor. pantulan. Sifat pantulan ialah titik tetap melalui sudut
Sifat translasi ialah (i) objek dan imej berada pada tertentu dan mengikut jarak di antara dua titik pada objek dengan imej, dan seterusnya menerangkan
(i) imej tidak berubah. arah yang tertentu. Sifat isometri.
(ii) imej berada pada sebelah yang bertentangan putaran ialah 5. Menerangkan hubungan antara isometri dengan kekongruenan.
dengan paksi pantulan. (i) berputar pada pusat
vektor tertentu dari (ii) objek dan imejnya mempunyai 6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan isometri dan kekongruenan.
objek. jarak serenjang yang sama dari putaran tertentu.
paksi pantulan. (ii) mempunyai sudut 7. Menerangkan simetri putaran.
A (iii) bentuk dan saiz imej adalah
sama dengan objek, tetapi putaran. 8. Menentukan peringkat simetri putaran bagi suatu objek.
A' orientasinya songsang. (iii) imej mengekalkan
(iv) imej bagi suatu titik yang ada
pada paksi pantulan ialah titik rupa bentuk asal
itu sendiri. tetapi kedudukan
berubah.

A y
P'
P 4 Anda diminta untuk mereka bentuk suatu logo kelas anda yang melambangkan ciri-ciri
B kerjasama, perpaduan, bertoleransi, menghormati dan keazaman yang kuat. Ciri-ciri ini
3 hendaklah diterjemahkan dalam bentuk transformasi isometri dengan mempelbagaikan
corak yang bersifat kesederhanaan. Setelah itu, anda perlu memberikan makna yang
2 A mendalam kepada logo tersebut bagi setiap butiran yang anda pilih.
1

O 1234 x

BAB 11
BAB 11
Isometri
Transformasi yang menunjukkan objek asal dan imejnya bersifat kongruen. Dalam
isometri, jarak di antara dua titik pada objek asal sama dengan jarak di antara dua titik

yang sama pada imejnya. Pantulan, putaran dan translasi merupakan isometri.

Kekongruenan
Perihal sama bentuk dan sama saiz.

Simetri Putaran
Bentuk atau imej yang diputarkan kurang daripada 360° pada satu titik

tetap, bentuknya masih kelihatan sama.

242 243