Matematik_Tingkatan_2 - cutted7

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

ANDA AKAN MEMPELAJARI Sistem koordinat ialah satu kaedah untuk Sistem koordinat Cartes telah diperkenal
oleh René Descartes dari Perancis atau lebih
7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes menentukan kedudukan suatu titik atau objek dikenali sebagai Castesius. Ahli matematik
7.2 Titik Tengah dalam Sistem dalam satu dimensi, dua dimensi atau tiga ini telah mencipta satah koordinat yang
Koordinat Cartes dimensi. terdiri daripada dua garisan berserenjang
7.3 Sistem Koordinat Cartes digelar ‘paksi’. Koordinat adalah pasangan
Kedudukan dalam satu dimensi ditentukan nombor yang menunjukkan kedudukan satu
oleh satu titik di atas garisan atau suatu titik dan garis.
nombor. Kedudukan dalam dua dimensi
ditentukan oleh sistem koordinat di atas satah Untuk maklumat lanjut:
atau dua nombor. Kedudukan dalam tiga
dimensi ditentukan oleh tiga nombor. http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms121

BAB 7 MASLAHAT BAB INI
BAB 7Sistem koordinat ini banyak menyumbang
kepada kerjaya yang berkaitan dengan
RANGKAI KATA arkeologi dan geografi.
Seorang ahli arkeologi melakukan pencarian
• Titik tengah • Midpoint dan penggalian melalui sistem koordinat
• Jarak • Distance daripada pemetaan secara digital.
• Kedudukan • Position Pakar astronomi menggunakan sistem
• Koordinat • Coordinate koordinat ini untuk mereka dapat menentukan
• Paksi-x • x-axis kedudukan bintang-bintang.
• Paksi-y • y-axis Lokasi kedudukan ditentukan daripada sistem
• Hipotenus • Hypotenuse koordinat yang membantu ahli geografi
• Asalan • Origin mengenal pasti kawasan dan kedudukan
• Plot • Plot muka bumi.
• Satah Cartes • Cartesan plane
• Skala • Scale 121

120

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

AKTIVITI KREATIF QR CODE Destinasi Perwakilan Jarak Jarak Jumlah jarak perjalanan =
Azri segi tiga mengufuk mencancang jarak mengufuk +
Tujuan: Mengenal pasti kedudukan suatu titik Imbas QR Code atau jarak mencancang
Bahan: Lembaran kerja layari http://rimbunanilmu.
Langkah: my/mat_t2/ms122a untuk Dari sekolah 3 km 4 km 3 km 4 km + 3 km = 7 km
1. Buka fail MS122A yang disediakan dan cetak lembaran kerja. mendapatkan lembaran ke rumah 4 km
2. Dengan menggabungkan jarak mengufuk dan mencancang, kerja di sebelah.
Dari rumah
tentukan kedudukan bagi bandar Batu Pahat, Kluang dan ke padang
Segamat. futsal

Koordinat merupakan pasangan nombor yang dapat menentukan kedudukan suatu titik pada satah Dari masjid
Cartes. Koordinat suatu titik ditentukan berdasarkan jarak dari paksi-x, jarak dari paksi-y dan ke kedai
asalan. Daripada aktiviti di atas, dapatkah anda menentukan jarak di antara dua tempat?
Dari sekolah
ke masjid

Dari sekolah
ke kedai

Perbincangan:

(i) Daripada perwakilan segi tiga bersudut tegak, dapatkah anda kenal pasti jarak paling

7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes hampir yang dilalui oleh Azri ke destinasi yang tertentu?

(ii) Apakah cara yang paling mudah untuk mengira jarak yang terpendek?

7.1.1 Jarak dua titik pada satah Cartes (iii) Apakah yang anda fahami tentang jarak pada satah Cartes?

?Untuk menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes, kaedah TAHUKAH ANDA
BAB 7 Menerangkan maksud
Jarak mencancangjarak di antara dua titik
pada satah Cartes.
BAB 7
Tujuan: Kenal pasti jarak di antara dua titik pada satah Cartes QR CODE perwakilan segi tiga bersudut tegak digunakan. Kaedah ini dapat Satah Cartes mempunyai
Bahan: Lembaran kerja mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi dua titik dua paksi seperti dalam
Langkah: Imbas QR Code atau pada satah Cartes. Jarak ini dapat ditentukan daripada skala pada rajah yang berikut. Garis
layari http://rimbunanilmu. paksi-x dan paksi-y. mengufuk ialah paksi- x dan
my/mat_t2/ms122b untuk garis mencancang ialah
y Rajah menunjukkan pelan mendapatkan lembaran Perjalanan terus dari A ke B tanpa melalui C ialah jarak yang terpendek. paksi-y . Kedua-dua paksi
kedudukan tempat yang kerja di sebelah. tersebut akan bersilang
Padang Masjid sering dilalui oleh Azri. y antara satu sama lain secara
Futsal serenjang. Titik persilangan
tersebut ialah asalan yang
x 7B merupakan permulaan
nombor pada kedua-dua
Rumah Kedai 6 paksi-x dan paksi-y . Nilai
Sekolah nombor akan semakin besar
5 apabila ke kanan dan ke
4 atas, manakala nilai nombor
akan semakin mengecil
1 km 3A C apabila ke kiri dan ke bawah.
1 km 2
y
1 Jarak mengufuk b (a, b)

1. Buka fail MS122B yang telah disediakan dan cetak lembaran kerja. O 12345 x ax
2. Secara berpasangan, kenal pasti pergerakan Azri.
3. Pergerakan Azri hendaklah dilukis dalam bentuk perwakilan segi tiga bersudut tegak. Asalan (0, 0)
4. Hitung jarak mengufuk dan mencancang berdasarkan 1 kotak grid diwakili 1 km dan
Kaedah teorem Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak AB, iaitu
dilabelkan seperti rajah yang diberikan.
5. Jumlahkan jarak perjalanan dan lengkapkan jadual. AB2 = AC 2 + CB 2 Koordinat (x, y). Nilai x
AB = �AC 2 + CB 2 ditulis dahulu diikuti nilai y.

122 123

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

CONTOH 1 7.1.2 Rumus jarak di antara dua titik pada satah

Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes berikut. TAHUKAH ANDA ? Menerbitkan rumus jarak
di antara dua titik pada
(a) y (b) y Apakah itu skala? Skala Tujuan: Menentukan jarak di antara dua titik yang mempunyai satah Cartes.
perlu ditentukan dalam koordinat-x atau koordinat-y yang sama
5 10 sistem koordinat Cartes.
Pada paksi-x, unit yang Bahan: Lembaran kerja
A4 8 boleh ditulis ialah 1, 2, Langkah:
3, −1, −2, −3, ... . Pada
3 P 6 Q paksi-y boleh juga ditulis 1, 1. Bersama-sama rakan anda, kenal pasti kedudukan koordinat pada satah Cartes.
2 4 2, 3, ... dan nilai di bawah
5 10 15 2. Lengkapkan jadual di bawah dengan menentukan koordinat-x atau koordinat-y yang sama.
1 2 x asalan ialah −1, −2, −3, ... . Contoh:

−2 −1−1O 1234 x −15 −10 −5 O Dengan ini, setiap kotak Koordinat Koordinat yang sama Jarak
−2 diwakili suatu unit. Selain
B −2 −4 itu, skala juga boleh ditulis A (2 , 1) B (2 , 4) koordinat-x 4 − 1 = 3 unit
−6 dalam jujukan seperti 2, 4,
−3 6, 8, ... atau 5, 10, 15, ... C (–1, 3) D (7 , 3)
pada kedua-dua paksi.
Keadaan ini berdasarkan E (6 , 5) F (6 , –5)
kesesuaian dalam keadaan
yang tertentu. G (–7, 2) H (1 , 2)

(c) y (d) y Perbincangan:
Bagaimanakah anda dapat menerbitkan suatu rumus mudah bagi menentukan jarak di antara
5 10 F y dua titik yang mempunyai
4 8
3 6 G (i) koordinat-x yang sama?
2 4
2 4 8 12 16 (ii) koordinat-y yang sama?
BAB 71 6
BAB 7−8 −4 O
−2 4
−4
−6 2

−6 −4 −−22O 2 4 6 x Jarak dapat ditentukan sekiranya,
−4 (i) dua titik mempunyai koordinat-y yang sama.
−20 −10 O 10 20 30 40 x x
−1 y
E −6
D −2
Skala pada paksi - x ialah 2 unit. Cuba anda perhatikan segi
−3 Skala pada paksi - y ialah 2 unit. tiga pada satah Cartes di
bawah.
A B
(x1, y1) (x2, y1) y

Penyelesaian: Ox A
Jarak AB = (x2 − x1) unit 5
4
(ii) dua titik mempunyai koordinat-x yang sama.
y 3
C (x1, y2)
(a) Skala pada paksi-x dan paksi-y y 2
ialah 1 unit. 1B C
Jarak AB = 6 × 1 (b) Skala pada paksi-x ialah
= 6 unit Sukuan II Sukuan I O 12 34 5 x
5 unit dan paksi-y ialah 2 unit.
(−x, y) (x, y)
Jarak PQ = 6 × 5 Tapak segi tiga BC selari
Ox dengan paksi-x. Keadaan
= 30 unit Sukuan III Sukuan IV
(−x, −y) (x, −y) ini menjadikan koordinat
(c) Skala pada paksi-x ialah 10 unit bagi y masing-masing
dan paksi-y ialah 1 unit. Jika (x, y) ialah (3, 4) di
(d) Skala pada paksi-x ialah sukuan I. Nyatakan nilai adalah sama. Ini dinamakan
Jarak DE = 4 × 10 4 unit dan paksi-y ialah 2 unit. titik tersebut di sukuan II, O D (x1, y1) x paksi-y sepunya. Begitu
III dan IV. Apakah jenis Jarak CD = (y2 − y1) unit
Jarak FG = 4 × 2 transformasi yang dilalui juga sebaliknya.
oleh titik tersebut?
= 40 unit = 8 unit

124 125

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

CONTOH 2 QR CODE 2. Gerakkan koordinat A dan B pada satah Cartes berpandukan jadual.
3. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi garisan AB.
Hitung jarak di antara pasangan titik berikut. Imbas QR Code atau 4. Bandingkan paparan jawapan yang diberikan dengan jawapan anda menggunakan
(a) (2, –3) dan (4, –3) layari http://rimbunanilmu.
(b) (0, 1) dan (0, –2) my/mat_t2/ms126a untuk rumus jarak di antara dua titik.
permainan Sasaran 5. Lengkapkan jadual di bawah dengan membuktikan jawapan dengan memilih Hint.
Kapal Selam.
Penyelesaian: Titik Perbezaan Jarak Jarak AB
A (1, y)
(a) Jarak di antara titik itu ialah
5 unit
= 4 – 2 Ja rak mengufuk = x2 − x1 A B Mengufuk Mencancang AB = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= 2 un it C (1, 3) 4 unit B (x, 3) x2 – x1 y2 – y1

(b) Jarak di antara titik itu ialah Menentukan jarak di antara (a) (1, 5) (1, 7) 1–1=0 7–5=2
dua titik pada satah Cartes.
= 1 – (–2) Jara k mencancang = y2 − y1 (b) (4, 1) (1, 1)
= 3 unit

CONTOH 3 (c) (8, 2) (0, −4)

Rajah menunjukkan jarak di antara dua titik A dan B. Lengkapkan (d) (6, 7) (2, 4)
koordinat A dan B.
Perbincangan:
Penyelesaian: (i) Apakah yang anda fahami tentang jarak AB?
y – 3 = 5 unit x – 1 = 4 unit
y = 5 + 3 x = 4 + 1 (ii) Apakah perkaitan rumus teorem Pythagoras?
= 5 unit
= 8 unit Maka, koordinat B ialah (5, 3).
Maka, koordinat A ialah (1, 8).
BAB 7
BAB 7
Jarak AB merupakan jarak hipotenus. Rumus teorem Pythagoras digunakan untuk menentukan
jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

7.1.3 Jarak di antara dua titik pada satah Jarak di antara dua titik pada satah Cartes = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Jika garis lurus yang menyambungkan dua titik pada satah Cartes CONTOH 4
tidak selari dengan paksi-x atau paksi-y, maka jarak di antara dua
titik itu dapat ditentukan dengan menggunakan teorem Pythagoras. Hitung jarak di antara titik A dengan titik B pada satah Cartes
dalam rajah di bawah.

Tujuan: Mengenal pasti jarak di antara dua titik QR CODE y ac
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah: Imbas QR Code atau 8 A b
1. Buka fail MS126B yang telah disediakan. layari http://rimbunanilmu. 7
my/mat_t2/ms126b untuk c = �a2 + b2
mengenal pasti jarak di 6
antara dua titik. 5 Apakah rumus ini?
Teorem yang menyatakan
4 bahawa bagi sebarang
segi tiga bersudut 90° dan
3 B kuasa dua hipotenusnya
2 adalah bersamaan dengan
jumlah kuasa dua sisi
1 yang lain.

−−11O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
−2
−3

126 127

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

Penyelesaian: 7.1.4 Penyelesaian masalah

Kaedah 1 A CONTOH 6
Berdasarkan rajah di sebelah, lukis sebuah segi tiga bersudut tegak ACB.
Menyelesaikan masalah
AC = 6 unit, BC = 4 unit
yang melibatkan jarak di

Hitung perimeter bagi sebuah segi tiga sama kaki jika bucu-bucu antara dua titik dalam sistem.

Dengan menggunakan teorem Pythagoras, AB 6 unit bagi segi tiga tersebut ialah A (1, 1), B (3, 4) dan C (5, 1). y
AB2 = BC 2 + AC 2 Penyelesaian: 8

AB2 = 4 2 + 6 2 Memahami masalah 7
6
AB2 = 16 + 36 B
AB = �52 C 4 unit ABC adalah segi tiga sama kaki dengan bucu-bucu A (1, 1), 5 B (3, 4)
= 7.21 unit B (3, 4) dan C (5, 1). 4

3

y Merancang strategi 2 C (5, 1)
x1, y1 567
Kaedah 2 • Lukis segi tiga dan tentukan titik-titik tersebut pada 1 A (1, 1) 4 x
Jarak = �(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 A (1,7) satah Cartes. −3 −2 −1−O1 123

• Perimeter Δ ABC = AB + BC + AC −2
• Tentukan jarak AC dan AB. −3

Jarak AB = �(5 − 1)2 + (1 − 7)2 y2 − y1 Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan
= �42 + (−6)2
= �16 + 36 x2 − x1 Maka, perimeter segi tiga ABC ialah
= �52 O 3.6 + 3.6 + 4 = 11.2 unit.

= 7.21 unit
Maka, jarak AB ialah 7.21 unit.

CONTOH 5
BAB 7
BAB 7
B (x52 ,, y12) Jarak AB = �32 + 22
x = �9 + 4

= �13

Hitung jarak di antara titik P dengan titik Q. = 3.6 unit Jarak di antara dua titik
AB = BC
(a) P (b) y = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
CONTOH 7 Jarak merupakan ukuran
ruang di antara dua titik.

3 cm (–2, 6)P 65 Diberi bahawa jarak AB = 10 unit. Hitung nilai v. y B (6, 9)

4 Penyelesaian: 10 unit
3
Q Memahami masalah Melaksanakan strategi
5 cm

Penyelesaian: 2 Q Menghitung nilai v. AB = �(6 − v)2 + (9 − 3)2 A (v, 3) C
1 (4, 1) O x
1234 x Merancang strategi 10 = �(6 − v)2 + 62
−2 −1O Jarak AB = 10
Rumus jarak 10 = �(6 − v)2 + 36
(a) PQ 2 = 52 + 32 (b) PQ2 = �[4 – (–2)]2 + (1 – 6)2 = �(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 Membuat kesimpulan
= 25 + 9 10 2 = ��(6 − v)2 + 36 �2 Maka, nilai v ialah –2.
PQ = �34 = �62 + (–5)2 10 2 − 36 = (6 − v) 2
= 5.83 cm = �36 + 25
= �61 �64 = 6 − v
Maka, jarak PQ ialah 5.83 cm. 8 = 6 − v
= 7.81 cm
Maka, jarak PQ ialah 7.81 cm. v = 6 − 8
v = –2

128 129

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

JOM CUBA 7.1 4. Diberi jarak mengufuk 4 unit dan jarak mencancang 3 unit bagi dua titik A dan B, hitung nilai
a dan b.

1. Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes di bawah. (a) y (b) y

E y A B (−1, b) B (5, b)
(a) x
(c) 6 C (b) D A (a, 1)
5 B O
−6 −4 4 24 x
F 3 O A (a, 0)
2 (d) y
G 1 (c) (d) y
A (a, 4)
−2 −O1 x
−2 6 8 10 12 O B (2, b) B (0, b) x
−3 A (a, –1) x O
−4 H
−5

2. Hitung jarak AB. B 5. Rajah menunjukkan titik K, L, M, N, P dan Q y
(a) A pada satah Cartes.
(b) K8
Hitung jarak di antara titik yang berikut. 7
(a) KM 6 L
5
(b) ML 4M
(c) PN 3
2
(d) KQ 1N
BAB 7 2 cm
BAB 7
B 1 200 cm

4 cm

A 600 cm

−4 −3 −2 −1−1O 1234 56 x
−2 Q
(c) y (d) y −3

4 B A4 P −4
3 2 4 6 8 10 12 3
2 2 x
A1
1
− 4 −−21O
x −5 −4 −3 −2 −−11O 1234 5 6. Tentukan jarak KL jika K (2, 2) dan L berada pada paksi-x dengan jarak 7 unit ke kanan dari
−2 B paksi-y.
−3
7. Tentukan jarak AB jika masing-masing berada pada paksi-y dengan jarak 5 unit ke atas dan 2 unit
3. Nyatakan jarak di antara pasangan titik berikut. ke bawah dari paksi-x.
(a) (1, 3) dan (1, 7)
(b) (0, −9) dan (0, 9) 8. Hitung jarak di antara KL jika L berada pada asalan dan K berada 3 unit ke kiri dari paksi-y
(c) (5, −2) dan (−2, −2) dan 5 unit ke atas dari paksi-x.
(d) (7, 4) dan (8, 4)
131
130

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

9. Tentukan nilai a dan b berdasarkan maklumat dalam rajah di bawah. Tujuan: Mengenal pasti titik tengah suatu garisan (x2, y2)
y Bahan: Kertas grid, jangka lukis dan pembaris Titik
Langkah: tengah
b 3 unit 1. Murid A akan membina satah Cartes pada kertas grid.
2. Murid B akan memilih dua titik koordinat dan membina suatu
5 unit (x1, y1)
garisan yang menyambungkan titik tersebut.
(5, 2) 3. Murid C akan membina pembahagi dua sama serenjang pada

Oa x garisan tersebut. QR CODE

10. Diberi jarak mencancang dari titik V yang terletak di utara titik W ialah 4 unit. Tentukan Perbincangan: Imbas QR Code atau
koordinat W jika koordinat V ialah Apakah yang anda fahami daripada pembinaan pembahagi dua layari http://rimbunanilmu.
sama serenjang bagi garisan tersebut? my/mat_t2/ms133 untuk
(a) (4, –3) (b) (2, −5) melihat video animasi
Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tentang bagaimana
(c) (5, –2) (d) (0, – 4 ) tembereng garis. menentukan titik tengah
daripada perisian
11. Berdasarkan rajah di bawah, hitung perimeter ABCD. geometri dinamik.
y
CONTOH 8

Tentukan titik tengah bagi garis lurus AB.
BAB 7
BAB 7
8 (a) (b) A D B C
7B
6 A M PQ B
5
4 C Penyelesaian: (b) Titik tengah bagi garis lurus AB ialah D.
3A 56
2 (a) Titik tengah bagi garis lurus AB AD B
1D ialah P.

−4 −3 −2 −1−O1 1 2 3 4 x 4 unit 4 unit B

AM PQ

12. Segi tiga ABC mempunyai bucu A (–2, –1), B (–2, 5) dan C (1, –1). Hitung perimeter bagi segi CONTOH 9 Nyatakan koordinat pusat
tiga itu. bulatan bagi rajah di
P ialah titik tengah bagi garis lurus AB. y bawah. Apakah hubungan
Tentukan koordinat P. antara pusat bulatan
8 dengan titik tengah?
7A
6 y
5
7.2 Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes 4 8
3 6
7.2.1 Titik tengah di antara dua titik Menerangkan maksud titik 2 B 4 2 4x
tengah di antara dua titik 1C 2
Anda telah mempelajari cara menentukan jejari bagi suatu diameter pada satah Cartes.
bulatan. Adakah anda fahami konsep titik tengah? Berbincang O 123456 x −8 −6 −4 −2 O
dengan rakan anda tentang konsep ini. −2

132 133

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

Penyelesaian: Titik Titik tengah bagi jarak: Titik tengah
AB Mengufuk Mencancang x1 + x2 y1 + y2
Langkah 1: Tentukan titik tengah bagi garis lurus AC dan BC. (4 , 5) (2 , 1) � 2 ‚ 2 �
Langkah 2: Lukis pembahagi dua sama serenjang bagi AC dan BC.
Langkah 3: Persilangan di antara pembahagi dua sama serenjang AC dan pembahagi dua sama
serenjang BC merupakan titik tengah bagi garis AB.
Langkah 4: Maka, titik P ialah (3, 4).

y (–1, 5) (3 , 1)

7A Titik tengah (1 , 3) (7 , 1)
(3, 4)
6
5 P
4
(3 , 4) (–5, −1)
3
2 B (1 , 2) (–5, 2)
1C
x
−6 −5 −4 −3 −2 −−11O 1 2 3 4 5 6
Perbincangan:
−2 (i) Adakah titik tengah bagi garis lurus AB terhasil daripada

−3 persilangan titik tengah bagi jarak mengufuk dan jarak QR CODE
mencancang?
−4 (ii) Bina suatu kesimpulan untuk menentukan rumus titik tengah Imbas QR Code atau
berdasarkan aktiviti ini. layari http://rimbunanilmu.
−5 my/mat_t2/ms135 untuk
mendapatkan lembaran
−6 kerja.

7.2.2 Rumus titik tengah
BAB 7
BAB 7
Titik tengah bagi suatu garis yang condong dapat ditentukan
Tujuan: Menerbit rumus titik tengah Menerbitkan rumus titik dengan mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang yang
Bahan: Perisian geometri dinamik tengah di antara dua titik masing-masing dibahagikan kepada dua.
Langkah: pada satah Cartes.
1. Buka fail MS134 yang telah disediakan. Titik tengah = � x1 + x2 , y1 + y2 �
2. Kenal pasti titik A dan B. QR CODE 2 2

Imbas QR Code atau 7.2.3 Koordinat titik tengah di antara dua titik Menentukan koordinat titik
layari http://rimbunanilmu. tengah di antara dua titik
my/mat_t2/ms134 untuk Kedudukan titik tengah dapat ditunjukkan dengan pembinaan pada satah Cartes.
mengenal pasti titik tengah. pembahagi dua sama serenjang. Persilangan di antara pembahagi
dua sama serenjang dengan tembereng garis dapat menentukan
koordinat titik tengah pada satah Cartes.

y

5 B(6, 4) 6 + 2 4+0
4 2 2
M = � , �
3. Ubah kedudukan titik A dan titik B dalam jadual yang diberikan. 3M
4. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang. 2 (4, 2) M = (4 , 2)
5. Buka fail MS135 dan lengkapkan jadual yang diberikan.
6. Hitung titik tengah M dengan suatu pengiraan yang melibatkan jarak mengufuk dan jarak 1 A(2, 0) x
−2 −−11O 1 2 3 4 5 6
mencancang.
−2
134
135

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

CONTOH 10 7.2.4 Penyelesaian masalah

Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus AB dengan A(2, 5) dan B(2, 1). CONTOH 12 y Menyelesaikan masalah yang
melibatkan titik tengah dalam
Penyelesaian: Rajah menunjukkan garis PAQ pada suatu satah
y Cartes. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ. P sistem koordinat Cartes.
Tentukan koordinat P.
A (2, 5) ialah (x1 , y1) dan B (2, 1) ialah (x2 , y2) 7

Titik tengah AB = � x1+ x2 , y1+ y2 � 6 Penyelesaian: 2A
2 2 5 A (2, 5)
Memahami masalah Q
= �2 +2 2 , 5 +2 1 � 4 Diketahui jarak AP = AQ. O x
3 Katakan P = (x, y).
2
2

= �42 , 6 � 1 B (2, 1) Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan
2 −3 −2 −1−1O 1 2345 6
x

= (2 , 3) Jarak AP = AQ, maka Hitung kedudukan mengufuk dan Maka koordinat P
P (x , y) mencancang bermula dengan titik A ialah (−2, 4).
yang masing-masing 2 unit.
Maka, titik tengah AB ialah (2, 3).

BAB 7
2 unit

2 unit
BAB 7
A (0 , 2) Titik tengah, A (0, 2)

CONTOH 11 Q(2 , 0) P(x , y) x+ 2 =0 , y+ 0 = 2
Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus MN. 2 unit Q(2 , 0) 2 2
2 unit
y
x + 2 = 0 , y = 4
7M
x = −2

CONTOH 13

1N 10 x Titik P ialah titik tengah bagi garis lurus KL. Diberi koordinat K ialah (–3, 12) dan koordinat
O4 P ialah (2, 9). Hitung koordinat L.

Penyelesaian: Penyelesaian:

M (10, 7) ialah (x1 , y1) dan N (4, 1) ialah (x2 , y2) Titik tengah ialah titik yang K (–3, 12) ialah (x1 , y1) dan L (x2 , y2)
membahagi dua sama
y1+ y2 suatu tembereng. Titik tengah, P = �−32+ x2 , 12 + y2�
2 2
Titik tengah MN = �x1+2x2 , � y
K(4, 5)
(2, 9) = �−32+ x2 , 12 + y2�
Ox 2
= �102+ 4 , 7 + 1 �
2 L
Jika asalan merupakan titik −3 + x2 12 + y2
tengah bagi garis lurus KL. 2 = 2 , 2 = 9
14 8 Dapatkah anda tentukan Menara KLCC setinggi 88
= � 2 , 2 � koordinat L? −3 + x2 = 4 , 12 + y2 = 18 tingkat. Jarak yang paling
sesuai untuk membina
= (7, 4) x2 = 7 , y2 = 6 skybridge adalah pada
tingkat ke - 4 2 dan 43.
Maka, titik tengah MN ialah (7, 4). Maka, koordinat L ialah (7, 6). Mengapa?

136 137

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

JOM CUBA 7.2 5. Rujuk rajah di bawah. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ dan B ialah titik tengah bagi garis
lurus RQ. Tentukan koordinat P dan R.
1. Dalam setiap rajah yang berikut, tentukan titik tengah bagi garis lurus PQ. y
P
(a) (b) B 2.5 mC 2.5 m Q
P P A
ABC QD

2m 5m 3A
5m

2. Berdasarkan rajah di bawah, nyatakan koordinat titik tengah bagi garis lurus O Qx
4
(a) AB y
(b) CD 8A B –2 B
(c) AD 7
R

6

5

4 6. Titik tengah bagi segi empat tepat dalam rajah di bawah adalah di asalan. Tentukan

3 (a) nilai a dan b.
(b) jarak bagi garis lurus BC.
2D C y B
1 A (–3, a)

−−11O 1 2 3 4 5 6 x (c) koordinat B.

BAB 7
BAB 7
Ox

3. Tentukan koordinat titik tengah bagi garis lurus y
(a) PQ
(b) RS W8 D C (b, – 4)
(c) TU 7
(d) WV P R
S
6 Q 7. Titik asalan ialah titik tengah bagi tinggi segi empat selari. Hitung
5

4 (a) nilai m dan n.

3 T (b) titik tengah bagi garis lurus PQ.
2
(c) titik tengah bagi garis lurus SR.
1
y
−4 −3 −2 −−11O 1 23 4 5 6 x
V −2 U P (– 4, n)
−3 Q

4. Tentukan titik tengah bagi pasangan titik berikut. Ox
S R (m, – 6)
(a) P (–1, 7) dan Q (–1, 1).

(b) R (3, –6) dan S (3, 2).

(c) A (3, 1) dan B (5, 1).

(d) C (5, 0) dan D (1, 0).

138 139

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

8. Diberi garis lurus AB = BD dengan D (–1, 3) dan B (1, 1). Hitung koordinat bagi titik A. JOM CUBA 7.3

1. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi tiga sama kaki dengan y

9. Garisan yang menyambungkan titik (–8, 3) dan (s, 3) mempunyai titik tengah (0, u). Hitung tinggi segi tiga ialah 4 unit. Hitung A
nilai s dan u.
(a) koordinat C.

10. Garis AB selari dengan paksi-x dengan titik A (3, a) dan titik tengah bagi garis lurus AB ialah (5, 1). (b) koordinat A. C B (2, 1)
Hitung (c) koordinat titik tengah bagi garis lurus AB. O x
(d) jarak AC.
(a) nilai a.
(b) koordinat B. 2. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi empat tepat. y
Jarak KL ialah 8 unit dan jarak KN ialah 12 unit. Hitung K L (2, 10)
7.3 Sistem Koordinat Cartes
(a) jarak LN.
7.3.1 Menyelesaikan masalah koordinat Menyelesaikan masalah T
yang melibatkan sistem (b) koordinat titik tengah bagi garis lurus NM.
koordinat Cartes. O
(c) koordinat T. NM

x

CONTOH 14 y

Rajah menunjukkan sebuah segi empat selari. A B (11, 6) 3. Jika garis PQ selari dengan paksi-y dan mempunyai titik tengah, M(4, 0) dengan jarak bagi garis

Diberi jarak di antara titik A dengan B ialah 5 lurus MP ialah 3 unit, hitung

unit. Hitung (a) koordinat P. (b) koordinat Q. (c) jarak PQ.

BAB 7
BAB 7
(a) koordinat A. 4. Jarak AB = KL, iaitu 8 unit dan masing-masing selari dengan paksi-x. Jika titik tengah bagi garis

(b) titik tengah garis lurus AC. 2D C lurus AB ialah (0, 3) dan jarak titik tengah bagi garis lurus AB ke titik tengah bagi garis lurus KL
Penyelesaian:
(a) x ialah 2 unit ke bawah, hitung

Memahami masalah O1 (a) koordinat K dan L.
Tentukan titik A apabila AB selari (b) Memahami masalah
dengan DC. (b) koordinat titik tengah bagi garis lurus KL.

Merancang strategi Garis lurus AC selari dengan paksi-y. Titik 5. Diberi P (4, 0) dan Q berada di paksi-y dengan 6 unit ke atas dari paksi-x, hitung
Garis lurus AB selari dengan paksi-x. A dan titik C mempunyai koordinat-x yang (a) titik tengah bagi garis lurus PQ.
Koordinat-y bagi titik A ialah 6. sama, iaitu 6. (b) jarak di antara titik P dengan titik tengah bagi garis lurus PQ.

Merancang strategi

Rumus titik tengah = � x1 + x2 , y1 + y2 �. MENJANA KECEMERLANGAN
2 2

Melaksanakan strategi Melaksanakan strategi 1. Antara titik yang berikut, yang manakah mewakili y
Jarak AB = 5 unit. (a) (–3, 2)
Koordinat-x = 11 − 5 (b) (0, 5) 8B D
=6 E
A (6x1 ,, y61) C (6x2 ,, y22) (c) (4, –2) 7 C
Membuat kesimpulan (d) (6, 8) 6 F
Maka, koordinat A ialah (6, 6). 6 + 6 , 6 + 2 5A
2 2
140 � � = (6, 4) 4

3 I
K2
Membuat kesimpulan
Maka, titik tengah garis lurus AC ialah (6, 4). 1

−3 −2 −1−1O 123456 x
J −2 HG

141

Bab 7 Koordinat Bab 7 Koordinat

2. Jika titik K berada pada paksi-x dan 4 unit ke kiri pada paksi-y. Tentukan koordinat L yang REFLEKSI DIRI
berada 5 unit ke atas dari titik K.
Pada akhir bab ini, saya dapat:
3. Jika titik P, Q dan R masing-masing bergerak 2 unit ke selatan dan 1 unit ke timur, nyatakan
kedudukan baharu titik-titik itu. Hitung jarak bagi kedudukan baharu PQ dan RQ. 1. Menerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

y P 2. Menerbitkan rumus jarak di antara dua titik pada satah Cartes.
4
R2 3. Menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.
4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem
−4 O2 x
5 koordinat Cartes.
5. Menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.
−2 Q
6. Menerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.
4. ABCD ialah sebuah segi empat sama sisi dengan A berada di (0, 0) dan B (–5, 0). Hitung
perimeter bagi segi empat itu. 7. Menentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.
8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat
5. Jika KLM merupakan sebuah segi tiga bersudut tegak dengan K (1, 0) dan L (5, 0) merupakan
tapak dan ML ialah tinggi bagi segi tiga tersebut. Jarak M ke L ialah 5 unit, hitung luas segi Cartes.
tiga tersebut. 9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes.

6. Titik tengah bagi pepenjuru sebuah segi empat sama berjarak 2 unit daripada bucu segi empat
itu. Hitung luas segi empat sama itu.
BAB 7
INTI PATI BAB
paksi mencancang

BAB 7
Koordinat Hasilkan pelan kedudukan kelas anda di atas kertas grid dengan skala 1 cm kepada 2 meter
pada paksi mengufuk dan paksi mencancang. Jika perlu, anda boleh mengubah skala mengikut
kesesuaian. Anda boleh menentukan kedudukan koordinat tempat rakan anda masing-masing.
Tampal pelan ini di hadapan kelas anda sebagai rujukan.

Paksi−x Paksi−y Asalan Satah Cartes
Paksi yang mengufuk Paksi yang mencancang Titik persilangan paksi Suatu satah Cartes
dan berserenjang dan berserenjang mengufuk dan paksi terdiri daripada
dengan paksi-y dalam dengan paksi-x dalam mencancang. Koordinat satu garis nombor
sistem koordinat Cartes. sistem koordinat Cartes. asalan ialah (0, 0). mengufuk (horizontal)
dan satu garis nombor
Jarak di antara dua titik y mencancang (vertikal)
Ukuran jauh atau ruang di yang bersilang pada
sudut tegak.
antara dua titik.
Titik Tengah
Paksi sepunya �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Ox Titik yang membahagi dua
(y2 − y1) dan (x2 − x1) paksi mengufuk
sama suatu tembereng.

asalan � x1 + x2 y1 + y2
2 2
, �

142 143