By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 1 “ติวฟิต พิชิตไฟนอล ม.6”– แคลคูลัส [Calculus] (Cr.พี่แซ็ก SMP) ➢ ลิมิตของฟังกช์นั ข้อที่ 1. ก ำหนดกรำฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหำ 1) lim →−2− () = 4) lim →2− () = 7) lim →4 () = 2) lim →−2+ () = 5) lim →2+ () = 3) lim →−2 () = 6) lim →2 () = ข้อที่ 2. จงหำ lim →3 √1−3 3 +2 −√+1 ข้อที่ 3. จงหำ lim →−2 +2 3−4 ข้อที่ 4. จงหำ lim →1 2− √+3−2 ข้อที่ 5. จงหำ lim →3− |2−9| 4−12 X Y -4 -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 2 3 4 5 fc-3) = 1 ft2) = -1 f c-1.99) = 2 f(2) =5 :(3 5) qf(2) fc1.99)= -2 fc2.0D= -2 fc2.0 1) lim fcx] = 1 เกือบๆ } 2 """" . เกือบ 2-รแ µ ×→4 - 1 ไม่มีด่1 0 2 -2 limfcx] = ไม่รูวาง y -2 ×→ 4 + ซ้าย ≠ ขวา หามะด้าย ชาย V5 . ขวา C-8) = G2) 3 แทน ✗ะ3 3. 1-9+9 = 3เ -8 +9 = -2+9 T = 7Cไ 11 = 3-2 3- \3+1 = - ±2 C-2)3- 41- 2) = ฏั๋g = อั๋ ° แยกตบ แตก คอน ด จู lim 4×#] ะ • โลปิตา 1in [×+2) ลม diff เศษ1 ส่วน ×→-2 ×เ× ะ - 4) ×→ 1 xcx2) lifh= #- 4) = ยใ18 # ↳ × 2-22 = (×- 2) 1×+2) แทน × = -2 าป→ (✗+2)' (✗3-4×วิ๋หั๋ᵗหั๋ 4 ะวั้(4)วั้ -4 = - - ¥% funy㱻. ☐ ×+3-2 ( ×+3 + 2) = × ง้l รอ3 + 2) =7 lIM (×) ( .TT× +2) ×→ 1 = 1 (2+2) บนลง(น+ลง ะน้า :#ะ บางตา = 40 # * ✗ ≈ 2.99 * ก้-9 = 1✗ - 3) lx-13 ] lim _ µ2.9) -ยาง(✗+3) = - (×+3) = - (1+3) <⊕ 1 ⊖ 1 ⊕ๆ - 3 3 ×→5 41 ×- 3) = 41- ✗- 3) 4 4 2.94 แทน 3 = - ᵈ 4 ะนhไ#
By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 2 ➢ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ฟังก์ชันต่อเนื่อง (Continuous Function) ถ้ำ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = ต้องมีสมบัติครบทั้งสำมข้อดังต่อไปนี้ 1. () หำค่ำได้ 2. lim → () มีค่ำ 3. lim → () = () ใช้ข้อมูลต่อไปนี้ตอบค าถามข้อที่ 6 – 8 ก ำหนดกรำฟของฟังก์ชัน ดังรูป ข้อที่ 6. พิจำรณำว่ำฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ = −3 หรือไม่ โดยพิจำรณำข้อควำมว่ำเป็นจริงหรือเท็จ 1) (−3) หำค่ำได้ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 2) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 2) lim →−3 () มีค่ำ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 3) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 3) lim →−3 () = (−3) เป็นจริง เป็นเท็จ 4) จำกข้อ 1) – 3) สรุปได้ว่ำ ___________________________________________________________________ ข้อที่ 7. พิจำรณำว่ำฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ = −1 หรือไม่ โดยพิจำรณำข้อควำมว่ำเป็นจริงหรือเท็จ 1) (−1) หำค่ำได้ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 2) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 2) lim →−1 () มีค่ำ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 3) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 3) lim →−1 () = (−1) เป็นจริง เป็นเท็จ 4) จำกข้อ 1) – 3) สรุปได้ว่ำ ___________________________________________________________________ ข้อที่ 8. พิจำรณำว่ำฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ = 2 หรือไม่ โดยพิจำรณำข้อควำมว่ำเป็นจริงหรือเท็จ 1) (2) หำค่ำได้ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 2) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 2) lim →2 () มีค่ำ เป็นจริง เป็นเท็จ [ตอบเป็นจริงท ำต่อข้อ 3) ตอบเป็นเท็จข้ำมไปข้อ 4)] 3) lim →2 () = (2) เป็นจริง เป็นเท็จ 4) จำกข้อ 1) – 3) สรุปได้ว่ำ ___________________________________________________________________ X Y -4 -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 2 3 4 Iimfยาว _ _ Iim fm [ ×→ ทั ×→ ผ๋ เ ↳ , d l = -1 ✓ ✓ ✓ ไม่ต่อเนื่องที่จุด ×=-3 (2) ✓ (2) ✓ ต่อเนื่องที่จุด ✗ะ 1 a) ✓ เอา ] ✓ ✓ ฟังก์ชัน g ไม่ต่อเนื่องที่จุด ✗= 2 8.5) fcx) = { × +2 เมีย × ≥3 \ 9 ✗ เมีย ×<3 / (3) "2 = 913) 1-%
By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 3 ➢ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน • อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ เทียบกับ เมื่อ เปลี่ยนจำก เป็น + ℎ คือ (+ℎ)−() ℎ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ เทียบกับ ขณะที่ = คือ lim ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ ข้อที่ 9. ให้ = 22 − 1 จงหำ 1) อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่ำของ เปลี่ยนจำก 3 เป็น 4 2) อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 3 • สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ให้ และ เป็นฟังก์ชันที่หำอนุพันธ์ได้ที่ 1. = 0 เมื่อ เป็นค่ำคงตัว 2. = 1 3. = −1 เมื่อ เป็นจ ำนวนจริง 4. () = ′() เมื่อ เป็นค่ำคงตัว 5. [() ± ()] = ′() ± ′() (ดิฟแจกกำรบวก-ลบได้) 6. [() ∙ ()] = () ∙ ′() + () ∙ ′() (สูตรดิฟผลคูณ) 7. () () =()∙′()−()∙′() (()) 2 (สูตรดิฟผลหำร) 8. ( ∘ )() = ′(()) ∙ ′() (กฎลูกโซ่) ( 2ํา • ตน %) 92% Xzry = %ํา % = 2 ① ✗1 ×2 2 C 9th) - (a) = h nrrnne fcx) a ath f (4) - f(3) = [ 211 6)- 1) - ( 2 (9) - 1) 1 ะ 31-17 = 14 ~ # 4-3 ป / Im f 13th) - f13) = [213th)2-1 ] - [ 2 (3)ํา] h → 0 h h = 2C9 + 6h th2) - 1- 17 = ☒+ 12h + 2h2-18/ = 1 ซู๊+1 0 h h ¥ h≈0 = 12-1☒ = ยไไ 12 # fcx) ะ 2✗2-1 , f ' (X ) = 4 ✗ 1-0 fc ×] ะ 4 (3) ะ 12 # d dx ☐ 㱺 ถูกdiff 1 ✗ ° = 1 ( แยกได้) หน้า diff หลัง fth บากหลัง diff แนว ↳ (V.v) ' = 0บ + W G)' = แuv1 C- ↳ diff กัน คน diff 1 ส์ v2 > ล่าง diffบน - บน diff ล่าง ส่วนด้วย ล่างกําลัง 2 [gcflXD] ' = 9 ' (fcx) ).fcx ) fcx) = (2×+1) 8 f ' (X) = 8 (2×+1)7. (2) = 1 6 12✗+1) 7
By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 4 ข้อที่ 10. จงหำอนุพันธ์ของฟังก์ชัน = (3√ + 2)(√ − 2) ข้อที่ 11. จงหำอนุพันธ์ของฟังก์ชัน = 45−52−3 2 • การประยุกต์ของอนุพันธ์ (ค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟังก์ชัน) ข้อที่ 12. จงหำค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ ค่ำต ่ำสุดสัมพัทธ์ ค่ำสูงสุดสัมบูรณ์ และค่ำต ่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน () = 3 − 32 − 9 + 2 บนช่วงปิด [−4, 4] ( บ .ข ) ' = ย่ข +0ข่ =3× -6โ× +2M -4 yะ 3×-4โ× - 4nrennn โ✗ = ✗{ { -1 = วุ่ ↳ y " =3-4 ( วู่ ×%) =3ศั่-2 ศั่ (ง ศั่ ) # ×12 = หู่ 12ะ = 4 ¥- 5 ¥_ 3 _ ×2 = 4×3-5-3× 2 =y y ' = ¥ = 12×2+6× ํา = 12 ✗ 2 t ¥3 # Cy ) = 7 (g) fเพิ่ม 㱻㱻" "นํา µ โอื๋หื๊โตํ๋หุ๋ 3 ( ✗2- 2× - 3) = 0 31 ✗ - 3) 1✗+1) =0 , × =3, -1 ×=b • v ④ ⊖ ⊕ 㱺 ค. ชัน < i j ≥ • " นางตํ่า สุด max i สัมพันธ์ สูงสุดสัมพัทธ์ L ×= -1 ! • min ณ จุด × นั้นนั้ค . ชันจะเท่า กับ 0 ✗=3 f(a) = f ' (b) = f ' (C)= 0 ค่าสูงสุดสัมพันธ์ 㱺 fc1) = -1-3+9+2 = 7 ✓ ค่าตํ่าสุดสัมพันธ์ 㱺 f(3) = 2#2/7-27+2 = -2s ✓ * สัมบูรณ์ = เอา สัมพันธ์ ไปวัด CVS) กับ ขอบ ✗ = 4 , -4 [-4,4] f C-4) = -64-48+36+2=-1-< ↳ f (4) = 64-48-36+2=-180 กง สูงสุด สัมบูรณ์ yะ 7 ตําสุด " Y = -74
By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 5 ➢ ปริพนัธข์องฟังกช์นั • สูตรการหาปริพนัธไ์ม่จา กดัเขตของฟังกช์นั ก ำหนดให้ และ เป็นค่ำคงตัว 1. ∫ = + 2. ∫ =+1 +1 + เมื่อ เป็นจ ำนวนจริงและ ≠ −1 3. ∫ () = ∫ () 4. ∫ () ± () = ∫ () ± ∫ () (อินทิเกรตแจกกำรบวก-ลบได้) ข้อที่ 13. จงหำ ∫(2 − 1)( − 2) • ปริพนัธจ์า กดัเขต ใช้ข้อมูลต่อไปนี้ตอบค าถามข้อที่ 14 –17 ก ำหนดให้ ∫ () 2 −3 = 2, ∫ () 2 0 = 3, ∫ () 5 2 = −2 ข้อที่ 14. จงหำ ∫ () 5 0 ข้อที่ 15. จงหำ ∫ 3() 2 0 ข้อที่ 16. จงหำ ∫ () 0 −3 dflx) = fk) × 0 am ]flxsdx = fcx) ( ถึงค่าคงตัวได้] ( ) (แจก คุณ 1 หารไม่ได้ง = f (2×2-5×+2) dx = 2 § _ 5 ญู้+2✗ + C = [ 3 × 3- { × 2-12✗ t C 13.5) flx) = 10⇐11 , f ' (× 7 ะ 20✗ ,) ( 20✗ ) dx = ¥ " tc b Fมาก - Fน้อย b ffcx)dx ะ Fcx > = Fcb) -Fca) ฟฺ 1 f a a < 13 อ 2 ง > T ้ -2 = Ifc×า dxtffcx)dx =3-1 C-2) = ②# =3ลู้fc×7dx =3(3) =9 ถามพท . = 13 2 | 2 | %ษู 8 ffcx)dx - ffcx) dx < 1 1 1 > ร้ - - 3 0 2 3 0 • ffcndx = 5 ttrd = ☐-1 # r 1 -1 3 4 • ร์fmdx = -8 o ° 1 111 • 4 ↳ บท ะ10 • %t 1 ×าdx =-3
By P’ปั้น บัญชี มธ., Line :@pan_smartmathpro www.smartmathpro.com P a g e | 6 X Y (0,2) (4,-22) ข้อที่ 17. จงหำพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = −32 + 6 + 2 กับเส้นตรง = −6 + 2 จำก 0 ถึง 4 = −32 + 6 + 2 = −6 + 2 ขอให้สอบ Final คะแนนดีๆกันทุกคนน้า รวมไปถึง มีพลังในการเตรียมสอบเข้าเยอะๆด้วย !! คอรส์พิชิตคณิตประยุกต์ (เพิ่มเติม) เล่ม 1,2 ทดลองเรียนฟรี 2 ชม. y = 9×2+5× +อ พาราโขลง aco กึ hg โ (กราบบน - กราฟ ล่าง ) dx (บทปิดล้อม ระหว่าง 2 กราฟ ) " / 4 4 13× 2 + เ - ×+/ 2) - C-6× + ]dx ๐ 4 4 = d C-3×412× Idx = 7 ญํ๋tญื๋+6 ◦ 㱺 - ×ําห้+ c-_ Fcx) % F (4) - FCOJ = C-64+96 +¢) -10+0 = ①32 #