2. eBook Persamaan Kuadratik

Orang yang berjaya adalah mereka yang berani
memulakan langkahan pertama dalam perjalanan

mengejar cita-citanya.

Objektif Pembelajaran

1. Memahami konsep persamaan kuadratik dan punca-puncanya.
2. Memahami dan menggunakan syarat-syarat untuk persamaan
kuadratik mempunyai

(a) dua punca nyata dan berbeza,
(b) dua punca nyata dan sama,
(c) tiada punca nyata.

2.1 Persamaan Kuadratik dan Punca-puncanya

Hasil Pembelajaran

1. Mengenal pasti persamaan kuadratik dan mengungkapkannya
dalam bentuk am.
2. Menentukan sama ada nilai yang diberi ialah punca suatu

persamaan kuadratik melalui kaedah
(a) penggantian,
(b) pemerinyuan.
3. Menentukan punca-pnca persamaan kuadratik dengan kaedah
cuba jaya.

ax2  bx  c  0 ; a  0

di mana a, b dan c adalah pemalar.

LATIHAN:

1. Tentukan sama ada persamaan di bawah adalah

persamaan kuadtratik atau tidak.
POb. 0  3 x  x2
a. x2  x 1 c.
x d. PO0  x3  2x2  6
1  2  x

2. Tulis persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.
a. x  1 5x2
b. 0  8  7x  4x2

5x2  x 1 0 4x2  7x 8  0

Menentukan punca-punca persamaan kuadratik

Bagi menentukan nilai x yang diberi itu adalah punca bagi persamaan
kuadratik, kita akan gunakan kaedah di bawah:

A. Secara gantian

Kita menggantikan nilai x ke dalam persamaan yang diberi.

Contoh:

Pertimbangkan sama ada x = 1 dan x = 2 adalah punca bagi persamaan kuadratik

x2  x  2  0



2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik

Hasil Pembelajaran

1. Menentukan punca persamaan kuadratik dengan kaedah
(a) pemfaktoran,
(b) penyempurnaan kuasa dua,
(c) mengguna formula.

2. Membentuk persamaan kuadratik dari puncanya.

A. Kaedah pemfaktoran

Jika suatu persamaan kuadratik dapat difaktorkan kepada hasil darab
dua faktor seperti

(x  p)(x  q)  0

(x  p)  0 atau (x  q)  0

x  p atau xq

Maka, p dan q dikatakan punca bagi persamaan tersebut.

Faktorkan dan nyatakan punca bagi persamaan kuadratik x2  x 12  0

A. Kaedah pemfaktoran

Jika suatu persamaan kuadratik dapat difaktorkan kepada hasil darab
dua faktor seperti

(x  p)(x  q)  0

(x  p)  0 atau (x  q)  0

x  p atau xq

Maka, p dan q dikatakan punca bagi persamaan tersebut.

Latihan 5

Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan mengguna
kaedah pemfaktoran.

Dengan Penyempurnaan Kuasa Dua (PKD)

Untuk menjadikan ungkapan kuadratik x2 + bx kepada kuasa dua
 b 2
sempurna, kita menambah sebutan  2  kepada ungkapan tersebut.

Iaitu

Latihan 6

Selesaikan persamaan kuadratik berikut menggunakan kaedah penyempurnaan
kuasa dua

f. x2  5x  20

x2  5x  20  0

x2  5x    5 2  20    5 2
 2   2 

 x  5 2  20  25
 2  4

 105
4

x  5   26.25 x  2.5  5.1235, x  2.5  5.1235
2 x  7.6234 atau x  2.6235

 5.1235

C. Dengan mengguna Formula Kuadratik

Persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengguna
formula kuadratik.

, di mana a  0

Contoh:

Guna formula kuadratik untuk mencari penyelesaian bagi persamaan 10x2  3x  16

Beri jawapan anda tepat kepada empat angka bererti.

Penyelesaian: Panduan:

Sentiasa tulis persamaan dalam
bentuk am sebelum mengguna
formula kuadratik.

Penyelesaian bagi persamaan kuadratik itu ialah 1.124 dan –1.424.

2.2.2 Membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca
yang diberi

Jika diketahui punca-punca suatu persamaan kuadratik adalah

maka x  p dan x  q
x  p  0 dan x  q  0

(x  p)(x  q)  0 Maklumat:
x2  px  qx  pq  0
x2  ( p  q)x  pq  0 (p + q) dikenali sebagai hasil
tambah punca manakala pq
dikenali sebagai hasil darab punca.

Oleh yang demikian, suatu persamaan kuadratik dengan dua punca yang di ketahui
boleh diperoleh dengan:

x2 - (hasil tambah punca)x + (hasil darab punca) = 0

Example 1:

Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2
dan -3.

Slolution

Diberi p = 2 dan q = -3.
maka,
Hasil tambah punca (HTP) = p + q = 2 + (-3) = -1
Hasil darab punca (HDP) = pq = 2(-3) = -6

Oleh yang demikian, persamaan kuadratik yang dikehendaki
adalah
x2 - (hasil tambah punca)x+ (hasil darab punca) = 0
x2 - (-l)x + (-6) = 0
x2 + x - 6 = 0

Contoh 2: Diberi  dan  adalah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 2x - 5 = 0,

bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca ( - 2) dan ( - 2).

Untuk persamaan yang dikehendaki,

2x2 2x5  0 HTP  (  2)  (  2)
  4
5
x2  x  2  0  1 4

 5

x2 (1)x( 52)  0 HDP  (  2)(  2)
   2  2  4

   2(   )  4

  5  2(1)  4
2
HTP      1
7
HDP 5  2
2
    Persamaan yang dikehendaki,

x2  5x  7  0
2

2x2 10x  7  0

Latihan: Diberi h dan k adalah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 - 5x + 2 = 0,

bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca (h + 3) dan (k + 3).

2.3 Jenis Punca Persamaan Kuadratik

Hasil Pembelajaran

1. Menentukan jenis punca persamaan kuadratik daripada nilai

2. b2  4ac b2  4ac dalam

Menyelesaikan masalah yang melibatkan

persamaan kuadratik untuk:

a) mencari suatu nilai yang tidak diketahui; dan

b) menerbitkan suatu hubungan.

Perhatikan penggunaan rumus

Kuantiti D  b2  4ac dikenali sebagai pembezalayan. Nilai

pembezalayan akan menentukan jenis punca bagi suatu
persamaan kuadratik.

AKTIVITI

PerPsearmsaamanaan a ba c b c PuncaP-puunncac-apunca bb2-24-4aacc
0
x2  8x 16  0 1 8 16 x1 = - 4 , x2 = - 4 0
57
6x  x2  9  0 -1 6 -9 x1 = 3 , x2 = 3 60
-11
2x2  5x  4  0 2 -5 -4 x1 = 3.1375 , x2 = -0.6375 -39

2  6x  3x2  0 -3 -6 2 x1 = -2.2910 , x2 = 0.2910
1 -3 5 x1 = 1.5 , x2 = 1.5 (Ri)
x2  3x  5  0 2 5 8 x1 = -1.25 , x2 = -1.25 (Ri)

2x2  5x  8  0

Pertimbangkan persamaan kuadratik ax2  bx  c  0 ;

(a). b2 – 4ac > 0, maka persamaan mempunyai dua punca nyata dan berbeza
(b). b2 – 4ac = 0, maka persamaan mempunyai dua punca nyata dan sama
(c). b2 – 4ac < 0, maka persamaan tiada punca nyata

b2 – 4ac , dikenali sebagai PEMBEZALAYAN

Contoh :

Diberi persamaan 4x2  2 px  3 p  5  0

mempunyai dua punca yang sama, cari nilai yang mungkin bagi pemalar p.

Penyelesaian :

b2  4ac  0 1 -10
(2 p)2  4(4)(3 p  5)  0 1 -2

4 p2  48 p  80  0 p  10
( p 10)( p  2)  0

p  2,

Contoh :

Cari julat nilai k jika persamaan x2  5x  9  k

mempunyai dua punca nyata dan berbeza.

Penyelesaian :

b2  4ac  0

(5)2  4(1)(9  k)  0

25  36  4k  0

11 4k  0

4k  11

k  11
4

Menyelesai masalah yang melibatkan penggunaan pembezalayan

Nilai pembezalayan bagi suatu persamaan kuadratik boleh digunakan untuk mencari
suatu nilai anu atau bagi menerbitkan suatu hubungan.

Contoh :

Di beri persamaan (k + l)x2 - 4x + 9 = 0 mempunyai dua punca yang berbeza.
Tentukan julat bagi nilai k.

Penyelesaian :

Kenal pasti: a = (k+1), b = -4 , c = 9

b2  4ac  0

(4)2  4(k 1)(9)  0

16  4(9k  9)  0

16  36k  36  0

36k  20  0

36k  20

k  20
36

k   5
9