Nota Kuliah Vektor

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

Hasil Pembelajaran

-Pengenalan kepada Vektor.

-Penambahan dan penolakan vektor Addition

-Memahami dan mengguna vektor dalam satah
kartesan.

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.1 Pengenalan Vektor

4.1.1 Konsep Vektor

Takrif Vektor

Vektor ialah suatu kuantiti yang mempunyai magnitud
dan arah.

Berbeza dengan kuantiti skalar yang hanya mempunyai magnitud sahaja.

Menggambarkan suatu Vektor

Vektor AB ditulis sebagai AB atau a atau a

B

aa


A

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.1 Konsep Vektor

Vektor Negatif

Vektor Negatif bagi AB ditulis sebagai  AB atau BA

BB

AA

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.1 Konsep Vektor

Contoh:

(a) (b) (c) B

u v A  AB

Vektor Sifar

Vektor yang mempunyai magnitud 0 dan arah yang tak tentu dikenali sebagai

vektor sifar dan ditulis sebagai 0


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.2 Magnitud vektor

Magnitud vektor AB ditulis sebagai AB

Contoh:

Q Cari magnitud vektor PQ

PQ  32  42

 9 16 Teorem Pitagoras

P c
a
 25

 5 unit b

c2 = a2 + b2

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.1 Pengenalan Vektor
4.1.2 Magnitud bagi suatu vektor

Contoh:

(a) (b)

x  82  02 x  62  62
 64
8  36  36

Arah ke Barat  72
 8.4853

Arah Timur Laut @ P ke Q

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.1 Pengenalan Vektor

4.1.4 Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor adalah sama (secaman) jika hanya jika kedua-duanya
mempunyai magnitud dan arah yang sama.

Nyatakan vektor yang sama dengan vektor a
a  e : magnitud tak sama
e

a a  d : magnitud dan arah sama
d

bc

a  b : arah tak sama a  c : arah dan m agnitud tak sam a

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.5 Pendaraban Vektor Dengan Skalar

Hasil darab vektor a dengan skalar k ≠ 0, iaitu ka ialah suatu
 a dan
vektor yang mempunyai magnitud k kali magnitud 

(a) arah yang sama dengan a , jika k bernilai positif,

(b) arah yang bertentangan dengan a , jika k bernilai negatif.


a 5a
 
5a
3a 


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.5 Pendaraban Vektor Dengan Skalar

Contoh:

(a) Ungkapkan AB dan PQ sebagai hasil darab a

dengan suatu skalar.

(b) Lukiskan vektor  4a

a  Q
 PQ  3a
AB  2a  4a
A
B
P

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.1 Pengenalan Vektor
4.1.6 Keselarian Vektor

Jika suatu vektor adalah gandaan skalar bagi satu vektor
yang lain, maka kedua-dua vektor itu adalah selari.

a  λb dan akasnya juga adalah benar.

a p 5a r  5 a
~ ~
~

b  3a

~~

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.1 Pengenalan Vektor
4.1.6 Keselarian Vektor

Perhatian 1:

Jika AB  k BC dan k ialah suatu skalar, maka

AB dan BC adalah selari.

Oleh kerana B ialah titik sepunya, maka titik A, B, dan

C adalah segaris. aC

2a ~
~
B BC  1 AB
2

AB  2BC AC  3BC

A

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.1 Pengenalan Vektor
4.1.6 Keselarian Vektor

Perhatian 2:

Jika vektor-vektor bukan sifar a dan b tidak selari dan
h a  k b maka h = k = 0, h da~n k ad~alah pemalar.

~~

Contoh:

Diberi vektor-vektor bukan sifar a dan b tidak selari dan
~~
(2h  3) a  (k  5)b
~ ~ 2h  3  0 dan k  5  0

2h  3 k  5

h  3
2

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

Diakhir pelajaran pelajar seharusnya dapat;

1. Menentukan hasil tambah vektor bagi dua vektor selari.

2. Menentukan hasil tambah vektor bagi dua vektor
tidak selari dengan mengguna:
a) hukum segitiga
b) hukum segi empat selari.
3. Menentukan hasil tambah vektor bagi tiga atau lebih
vektor dengan mengguna hukum poligon.

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.2 Penambahan Vektor

4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor selari.

Hari ini kita cuba menentukan vektor paduan
apabila menambah dua vektor yang selari.

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Penambahan Vektor
4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor selar

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.2 Penambahan Vektor

4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor selari

Contoh:  
AB  CD  3uu 2u
 
uB
 D 
 AD
A 2u D

2u
C 

u

A

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.2 Penambahan Vektor

4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor selari

Contoh: 
AB
Diberi  2r 
3 dan CD  4r , cari



(a)  
AB  CD

(b)  
3AB  2CD

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

a) b)

 2 r  4r  3 2 r   2  4r 
3   3   

 14 r  2r  8r
3  10r 
 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

Kita cuba menentukan paduan vektor bila
dua vektor tak selari ditambah.

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Penambahan Vektor
4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor tak selari.

Diberi vektor a dan b adalah dua vektor tak selari
Penambahan vektor a dan b adalah vektor a  b
~~ ~~

a b ab b

~ ~ ~~ ~

a

~

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Penambahan Vektor
4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor tak selari.

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Penambahan Vektor
4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor tak selari.

b ab a
~b
~ b~ ~
~
a ~

~ a

~

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Penambahan Vektor
4.2.1 Menentukan vektor paduan bagi dua vektor tak selari.

d

~

c

~

a b

~

~

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.2 Penambahan Vektor

Latihan

ABCD ialah segiempat selari. D •Q C

P ialah satu titik terletak di atas AB supaya

DAPib=e2riPBAdBan Q ialah titik tengah DC.
6u

Cari, dalam sebutan u
 A • B
P

(a) AP

(b) QC

(c) AP  QC

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

(a) AP  

AP  2PB  
  AP  2PB

AP  PB  6u   1 
 12AP  PB 2 AP
AP 
 6u
 

2AP  AP  12u
 
3AP  12u
 
AP  4u


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

(b) QC D •Q C

Q is a mid point A P• B

AndDC parallel to AB
DC  AB

 6u
 
QC  1 (c) AP  QC
2 DC

1  4u  3u
2  7u 
 6u
 

 3u


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

1. The Triangle Law (very important)
2. The Parallelogram Law
3. The Polygon Law

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Pengungkapan Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor

yang lain.

Pelbagai Contoh:

Diberi OA  a dan OB  b
~ ~

(a) Ungkapkan OP dalam sebutan a dan b
~~

(b) Tandakan titik Q supaya OQ  b 2 a
~~

B A P

b a

~ ~

O

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Menyelesai Masalah Yang Melibatkan Penambahan dan

Penolakan Vektor .

Pelbagai Contoh:

Masalah geometri yang melibatkan penambahan dan penolakan vektor
boleh diselesaikan dengan mengguna hukum segi tiga, hukum segi
empat atau hukum poligon serta pengentahuan tentang vektor selari dan
vektor tidak selari

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Menyelesai Masalah Yang Melibatkan Penambahan dan

Penolakan Vektor .

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.2 Menyelesai Masalah Yang Melibatkan Penambahan dan

Penolakan Vektor .

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

4.3.1 Pengungkapan vektor dalam bentuk x atau xi  yj
   
 y 

y

B Vektor AB boleh ditulis

sebagai  23

Vektor yang ditulis seperti ini
A dikenali sebagai vektor lajur

Ox

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

Vektor unit yang mengikut arah OX (paksi-x) ditandakan sebagai

i dan i  1



Vektor unit yang mengikut arah OY (paksi-y) ditandakan sebagai

j dan j  1 y



j x


i


O

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

4.3.1 Pengungkapan vektor dalam bentuk x atau xi  yj
   
 y 

y B Vektor AB boleh ditulis

A sebagai 3i  2 j
O 

Vektor yang ditulis seperti ini

i , jdikenali sebagai vektor
x 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.4 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

4.3.1 Pengungkapan vektor dalam bentuk x atau xi  yj
   
Latihan  y 

Ungkapkan vektor di bawah sebagai vektor

x atau xi  yj  6
    PQ
 y     dan 6i  (6 j)  6i 6j
     
6

a  2  dan 2i  2 j P R
 2  A
~     a

~

QS

B    4  dan  4i  4 j    3  dan 3i  6 j
AB  4   RS  6  
   

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3.3 Vektor unit dalam arah sesuatu vektor

Jika vektor r diberi sebagai xi  yj
~

 Maka vektor unit dalam arah vektor r diberi sebagai



rˆ  r  1 xi  yj
 r x2  y2  


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

Contoh Diberi r  2i  3 j
 
r
Tentukan vektor unit dalam arah vektor 

r 1
r
22  32
 rˆ 


 2i  3 j



  1 2i  3 j
13  
 2 i  3 j

13  13 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

Latihan

Diberi p  3i  2 j
Tentukan vek tor unit dalam arah vektor p

Penyelesaian

pˆ  p   1 3i  2 j
 p
 32  22  

  1 3i  2 j

 13  
3 i 2 j
13  13 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

Video

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.4 Vektor Dalam Koordinat Kartesan.

4.3.7 Melaksanakan operasi gabungan ke atas beberapa

vektor.

Latihan

Diberi p  i  2 j, q  iara2hj(,ipi)rpq3qi 2r22rj. Cari,

  
(i)
(iii) Vp ekqtor2urnit pada

Penyelesaian

(i) p  q  2r  i  2 j  i  2j  2(3i  2 j)
        

 i  2 j  i  2 j  6i  4 j
    

 4i  4 j


VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
4.3 Vektor Dalam Koordinat Cartesan.

Penyelesaian

(ii) p  q  2r  42  42

 

 32

(iii) Vektor unit pada arah p  q  2r

 

 1
32 4i  4 j


 4 i 4 j
32  32 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3.8 Menyelesai masalah yang melibatkan vektor

dan ADBibderipi aOnjAangkian5kje, 

COBden8gi an3j

AB:BC = 3:1. Nyatakan setiap yang

berikut dalam sebutan i dan j A

  
c. OC B
a. AB b. AC C

O

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

4.3.8 Menyelesai masalah yang melibatkan vektor
OA  i  5 j , OB  8i  3 j
 
 
b. AC
a. AB AC  9i  2 j 
     3  
OA  AB  OB  4  

  
AB  OB  OA
 8i  3 j  (i  5 j)  12i  8 j
 3 

   2j  c. 
9i OC
   
OC  OA  AC

 i  5 j  (12i  8 j)
  3 

 11i  7 j
 3 

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
Intro parallelvector.swf

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
Addition Parallel vector.swf

VEKTOR Pengajar: GC Ahmad Zamri Aziz
Ex1 Add Parallel vector.swf