เรื่อ รื่ ง ความน่าจะเป็น เสนอ อาจารย์ นัน นั ท์น ท์ ภัส ภั ภู่สำภู่ สำอางค์ จัดทำ โดย นายสุรเดช ศรีเปลี่ยนไพโรจน์ ม.4/2 เลขที่ 16 นายกิติพัฒน์ ใจเวช ม.4/2 เลขที่ 3 นายยุทธภูมิ กระแสร์สุข ม.4/2 เลขที่9 นายวันชนะ ปุ๊ดทา ม.4/2 เลขที่ 11 นางสาวเพ็ญนภา ชูดี ม.4/2 เลขที่ 25 กลุ่มลุ่ สาระการเรียรีนรู้ครู้ ณิตศาสตร์ รายวิชวิาคณิตศาสตร์พื้ร์น พื้ ฐาน ค31102
คำ นำ คำ ว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธี การวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อ โยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือ ก้อยเท่ากับ 0.5 ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นใน อนาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อย เปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่า จะเป็นเข้ามาทำ นาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิด ฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7 ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคน เข้าใจได้ไม่ยาก
กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำ งานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำ ได้ n1วิธีวิธี และในแต่ละวิธีวิธี ที่เลือกทำ งานอย่างแรกนี้ มีวิธีวิธี ที่จะทำ งาน อย่างที่สองได้ n2 วิธีวิธี จะทำ งานทั้งสองอย่างนี้ได้ n1 n2 วิธีวิธี กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำ งานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่ง มีวิธีวิธี เลือกทำ ได้ n1วิธีวิธีในแต่ละวิธีวิธี ของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีวิธี เลือกทำ ขั้น ตอนที่สองได้ n2 วิธีวิธีในแต่ละวิธีวิธี ที่เลือกทำ งานขั้นตอนที่หนึ่งและขั้น ตอนที่สองมีวิธีวิธี เลือกทำ ขั้นตอนที่สามได้ n3วิธีวิธี เช่นนี้ เรื่อ รื่ ยไปจนถึง ขั้นตอนสุดท้ายคือ ขั้นตอนที่ k ทำ ได้ nk วิธีวิธี จำ นวนวิธีวิธี ทั้งหมดที่จะ เลือกทำ งาน k อย่าง เท่ากับ n1 n2 n3 … nk วิธีวิธี กฎข้อที่ 3 จำ นวนวิธีวิธี เรีย รี งสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมด เท่ากับ n ! วิธีวิธี กฎข้อที่ 4 จำ นวนวิธีวิธี เรีย รี งสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน ทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง เท่ากับ n! / (n-r)! วิธีวิธี เมื่อ r £ n กฎข้อที่ 5 จำ นวนวิธีวิธี เรีย รี งสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ (n – 1) ! วิธีวิธี กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่งในจำ นวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกัน เป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง มี n3 สิ่งที่ เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สาม… และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ n1 + n2 + n3 … + nk = n แล้ว จำ นวนวิธีวิธี เรีย รี งสับเปลี่ยน ของทั้ง n สิ่ง เท่ากับ n! / n1! n2 ! n3 ! … nk! วิธีวิธี กฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้อง
สารบัญ การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ ความหมายการทดลองสุ่ม 1 ตัวอย่างการทดลองสุ่ม 2-3 แบบตรวจสอบความเข้าใจ 4-6 ความหมายเหตุการณ์ 7 ตัวอย่างของเหตุการณ์ 8-10 แบบตรวจสอบความเข้าใจ 11-13 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความหมายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 14 ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 15 แบบตรวจสอบความเข้าใจ 16-17 ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ความหมายความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ 18 ตัวอย่างความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ 19 แบบตรวจสอบความเข้าใจ 20-22 Exercise ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ 23 เฉลย ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ 24
การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ การโยนเหรียญซึ่งมีผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ 2 แบบ คือ หัวหรือก้อย เมื่อ โยนเหรียญ ให้ดีก็จะไม่สามารถทำ นายผลลัพธ์ล่วงหน้าว่าจะออกหัวหรือ ก้อย การสับไพ่สำ รับหนึ่งซึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ ถ้าดึงออกมาหนึ่งใบจะไม่ สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าไพ่ใบนั้นเป็นไพ่ใบใด การดึงไพ่จากสำ รับจึง เป็นการทดลองสุ่ม โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ หัว หรือ ก้อย โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ในเอเชียพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก นิ้งหยิบได้ลูกแก้วสีขาวจากกล่องที่มีลูกแก้วสีขาวบรรจุอยู่ 3 ลูก น้ำ หนึ่งเลือกซื้อรถจักรยานสีแดงตามที่ตัวเองชอบ การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นอาจจะเป็นอะไร ได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทำ การ ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจากการทดลองจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไป ได้เหล่านั้น เช่น การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง จะมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเสมอและอาจมีได้แตกต่างกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านั้นมีอะไรบ้าง หาได้จากการแจงนับ เช่น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มกรณีใดกรณีหนึ่ง เรียกผลลัพธ์ใน กรณีที่สนใจจากการทดลองสุ่มนั้นว่า เหตุการณ์ ในการทดลองสุ่มนี้สามารถนำ ไปใช้ในการช่วยเลือกตัดสินใจกระทำ สิ่งใดสิ่ง หนึ่ง เพื่อให้เกิดผลที่พึงพอใจต่อตนเองมากที่สุด เหตุการณ์บางเหตุการณ์ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเกิดเพียงเหตุการณ์ เดียวหรือทราบผลที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอนแล้ว เช่น
ตัวอย่างที่ 1 จากการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงตอบคำ ถามต่อไปนี้ 1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7 2) ผลของการทอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1 3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน วิธี วิธี ทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง คือ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7 ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) และ (6, 1) 2) ผลของการทอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1 ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) และ (1, 6) 3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) และ (6, 6)
ตัวอย่างที่ 2 สุ่มหยิบสลาก 2 ใบ จากในกล่องที่บรรจุสลาก 3 ใบ ซึ่ง มีหมาย 1, 2 และ 3 ตามลำ ดับ จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะได้ ผลบวกของสลากสองใบเท่ากับ 5 เมื่อกำ หนดการทดลองสุ่มดังนี้ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน 2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง 3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง วิธีทำ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะ เกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 3 แบบ คือ (1, 2), (1, 3) หรือ (2, 3) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 1 แบบ คือ (2, 3) 2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 6 แบบ คือ (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) หรือ (3, 2) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3, 2) 3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ผลลัพธ์ ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 9 แบบ คือ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) หรือ (3, 3) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3, 2)
แบบตรวจสอบความเข้าใจ 1. โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จงหาผลลัพธ์ ของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ 3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ 4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3 เหรียญ วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน อาจใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้ จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 8 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH หรือ TTT
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 3 แบบ คือ HHT, HTH, และ THH 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ มีผลลัพธ์ 7 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT และ TTH 3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT 4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3 เหรียญ มี ผลลัพธ์ 2 แบบ คือ HHH และ TTT 2. มีอมยิ้มอยู่ 3 สี สีละ 1 ลูก คือ สีเหลือง สีส้ม และสีเขียว ใส่ อมยิ้มทั้งหมดลงในกล่อง แล้วสุ่มหยิบอมยิ้ม 2 ลูก จงหาผลลัพธ์ ของเหตุการณ์ที่จะหยิบได้อมยิ้มสีเดียวกัน เมื่อกำ หนดการทดลอง สุ่มดังนี้ 1) หยิบอมยิ้ม 2 ลูก พร้อมกันโดยไม่ดู 2) หยิบครั้งละ 1 ลูก โดยไม่ใส่คืน วิธีทำ กำ หนดให้ ล แทน อมยิ้มสีเหลือง ส แทน อมยิ้มสีส้ม ข แทน อมยิ้มสีเขียว 1) หยิบอมยิ้ม 2 ลูก พร้อมกันโดยไม่ดู ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 3 แบบ คือ (ส, ล), (ข, ล) และ (ข, ส)
เหตุการณ์ที่จะหยิบได้อมยิ้มสีเดียวกันไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เนื่องจากอมยิ้มมีอยู่ 3 สี สีละ 1 ลูก ไม่สามารถหยิบได้ อมยิ้มสีเดียวกัน 2 ลูก ได้ 2) หยิบครั้งละ 1 ลูก โดยไม่ใส่คืน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 6 แบบ คือ (ล, ส), (ล, ข), (ส, ล), (ส, ข), (ข, ล) และ (ข, ส) เหตุการณ์ที่จะหยิบได้อมยิ้มสีเดียวกันไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เนื่องจากอมยิ้มมีอยู่ 3 สี สีละ 1 ลูก ไม่สามารถหยิบได้ อมยิ้มสีเดียวกัน 2 ลูก ได้
เหตุการณ์ เหตุการณ์ หมายถึง การทดลองสุ่มแต่ละครั้งที่เราสนใจ เช่น ในการ โยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง สนใจที่จะขึ้นหัวทั้ง 2 ครั้ง เป็นดังนี้ ถ้า S แทน แซมเปิลสเปซ E แทน เหตุการณ์ที่สนใจ(ในที่นี้สนใจขึ้น H 2 ครั้ง) จะได้ S = {HH, HT, TH, TT} E = {HH} ซึ่งมีเหตุการณ์เดียว
ตัวอย่างที่ 1 จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะ เป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11 2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่ 3) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่างน้อยหนึ่งลูก วิธีทำ หา S จากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ได้ดังนี้ S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} n(S) = 36 1) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11 อธิบายเพิ่มเติม : ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11 หมายความว่า เมื่อนำ แต้มของลูกเต๋า 2 ลูกมาบวกกัน แล้วได้ ผลลัพธ์เท่ากับ 11 และมากกว่า 11 ให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11 E1 = { (5, 6) , (6, 5 ) , ( 6, 6) } n (E1) = 3 P (E1) =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า หรือเท่ากับ 11 เท่ากับ 2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่ อธิบายเพิ่มเติม : ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่ จะต้องเกิดจากแต้ม คี่ทั้งสองลูกและแต้มคู่ทั้งสองลูก ให้ E2 แทน เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่ E2 = { (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (2,6) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (4,6) , (5,1) ,(5,3) ,(5,5),(6,2) ,(6,4) ,(6,6) } n(E2) = 18 P(E2) = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวน คู่ เท่ากับ 3) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่างน้อยหนึ่งลูก อธิบายเพิ่มเติม : ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่างน้อยหนึ่งลูก หมายความว่า ขึ้นแต้ม 1 หนึ่งลูกหรือสองลูกก็ได้ ให้ E3 แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่างน้อยหนึ่งลูก E3 = { (1,1) ,(1,2) ,((1,3) ,(1,4) ,(1,5) ,(1,6) , (2,1) ,(3,1) ,(4,1) ,(5,1) ,(6,1) } n(E3) = 11 P(E3) =
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่าง น้อยหนึ่งลูก เท่ากับ
1. ครอบครัวครอบครัวหนึ่ง มีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรคนแรกเป็นชาย บุตรคนที่สองเป็นหญิง 2) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นหญิง 1 คน 3) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน 4) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรทั้งสองคนเป็นชายหรือหญิงก็ได้ วิธีทำ ให้ ช แทน บุตรชาย ญ แทน บุตรหญิง S = {(ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ)} n(S) = 4 โดยที่ สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับแสดงผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ของการมีบุตร คนแรก และสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับแสดงผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ของ การมีบุตรคนที่สอง 1) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรคนแรกเป็นชาย บุตรคนที่สองเป็นหญิง ให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรคนแรกเป็นชาย บุตรคนที่สอง เป็นหญิง E1 = {(ช, ญ)} n (E1) = 1 P (E1) = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรคนแรกเป็นชาย บุตรคนที่สองเป็นหญิง เท่ากับ แบบตรวจสอบความเข้าใจ
2) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นหญิง 1 คน ให้ E2 แทน เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นหญิง 1 คน E2 = { (ช, ญ) , (ญ, ช)) } n(E2) = 2 P(E2) = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็น หญิง 1 คน เท่ากับ 3) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน เนื่องจากครอบครัวนี้มีบุตรเพียง 2 คนเท่านั้น เหตุการณ์ที่ ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน จึงเป็น 0 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน เท่ากับ 0 4) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรทั้งสองคนเป็นชายหรือหญิง ก็ได้ ให้ E3 แทน เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรทั้งสองคนเป็นชาย หรือหญิงก็ได้ E3 = {(ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ)} n(E3) = 4 P(E3) = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรทั้งสอง คนเป็นชายหรือหญิงก็ได้เท่ากับ1
2. สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 5 ลูก จง หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 2) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำ เงิน วิธีทำ กำ หนดให้ ข₁, ข₂, ข₃, ข₄ และ ข₅ แทนลูกบอลสีขาวทั้ง 5 ลูก ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่มมี 5 แบบ คือ ข₁, ข₂, ข₃, ข₄ หรือ ข₅ นั่นคือ จำ นวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เท่ากับ 5 หรือ n(S) = 5 1) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว มีผลลัพธ์ คือ ข₁, ข₂, ข₃, ข₄ หรือ ข₅ จะได้ จำ นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์เป็น 5 หรือ n(E) = 5 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว เท่ากับ = 1 หรือ P(E) = 1 2) เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำ เงิน เนื่องจากไม่มีลูกบอลสีน้ำ เงินอยู่ภายในกล่อง จะได้ จำ นวนผลลัพธ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำ เงิน เป็น 0 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีน้ำ เงิน เท่ากับ 0
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ อัตราส่วนระหว่าง จำ นวนเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)) กับจำ นวนแซมเปิลสเปซ (n(S)) ที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้พร้อม ๆ กัน ใช้สัญลักษณ์ “P(E)” แทนความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่ สนใจ โดยที่ n(E) แทน จำ นวนผลลัพธ์ทั้งหมดของเหตุการณ์ที่ เราสนใจ n(S) แทน จำ นวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นได้ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ดังนั้น P(E) =
ตัวอย่าง 1 ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูกเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำ เงิน 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลอย่างสุ่มออกมา 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน 1) หา n(S) คือหาจำ นวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการหยิบ บอล 2 ลูกจาก 10 ลูก จำ นวนวิธีที่จะเกิดได้ = 10 = 10! = 45 วิธี 2 8!×2! 2) หา n(E) E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน กรณีที่ 1 สีแดงทั้งคู่ จำ นวนวิธี = 5 = 5!= 10 วิธี 2 3!×2! กรณีที่ 2 สีน้ำ เงินทั้งคู่ จำ นวนวิธี = 3 = 3! = 3 วิธี 2 1!×2! กรณีที่ 3 สีเขียวทั้งคู่ จำ นวนวิธี = 2 = 2! =1 วิธี 2 0!×2! n(E) จำ นวนวิธีทั้งหมดที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วิธี ความน่าจะเป็นที่ P(E) =
แบบตรวจสอบความเข้าใจ 1. สมชายเตรียมตัวเดินทางไปท่องเที่ยวต่างประเทศ ความน่าจะเป็นที่เขาจะไปเที่ยวประเทศอังกฤษเท่ากับ 0.5 ความน่าจะเป็นที่เขาจะไม่ไปเที่ยวประเทศเยอรมันเท่ากับ 0.8 และความน่าจะเป็นที่เขาจะไปท่องเที่ยวทั้งสองประเทศเท่ากับ 0.6 ความน่าจะเป็นที่เขาจะไม่ไปเที่ยวประเทศอังกฤษและไม่ไปเที่ยว ประเทศเยอรมันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0.4 2. 0.5 3. 0.7 4. 0.9 ให้ A แทนเหตุการณ์ที่สมชายจะเดินทางไปเที่ยวประเทศอังกฤษ
2.
ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ ของเหตุการณ์ คือ แนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซต เพื่อ ที่จะให้ทราบว่า เมื่อเซตหนึ่งสัมพันธ์กับอีกเซต หนึ่ง มีสมาชิกใดบ้างที่อยู่ภายใต้เซตเพียงเซต เดียว แบ่งออกตามการใช้งานเป็น ส่วนเติมเต็ม สัมบูรณ์ (absolute complement) กับ ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ (relative complement) ซึ่งแนวคิดแรกหมายถึงส่วน เติมเต็มที่เกี่ยวข้องกับเอกภพสัมพัทธ์ (universal set) ส่วนแนวคิดหลังเกี่ยวข้อง กับเซตตัวอื่น
แบบตรวจสอบความเข้าใจ 1. นิสาเขียนตัวอักษารจากคำ ว่า "acceptable" ลงในกระดาษ แผ่นละ 1 ตัว จากนั้นสลับกระดาษวางคว่ำ บนโต๊ะ แล้วสุ่มหยิบกระดาษขึ้นมา 1 แผ่น ให้หาความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ 1)เเผ่นตัวอักษร C 2)แผ่นตัวอักษรที่มีพยัญชนะ วิธีทำ เนื่องจากมีแผ่นกระดาษทั้งหมด 10 แผ่น จะได้จำ นวนผลลัพธ์ ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น จากการสุ่มหยิบแผ่นตัวอักษร C เท่ากับ 10 แบบ ดังนั้น n(S) = 10 1) กำ หนด E1 แทนเหตุการณ์ที่นิสาจะหยิบได้ตัวอักษร C เนื่องจากคำ ว่า "acceptable" มีตัวอักษร C อยู่ 2 ตัว จะได้ n(E1) = 2 ดังนั้น P(E1) = n(E1) n(S) = 2 10 = 1 5 นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ตัวอักษร C เท่ากับ 1 5
2) กำ หนด E2 แทนเหตุการณ์ที่นิสาจะหยิบได้ตัวอักษรที่เป็น พยัญชนะเนื่องจากคำ ว่า "acceptable" มีตัวอักษรที่เป็น พยัญชนะอยู่ 6 ตัว ได้แก่ ตัวอักษร C จำ นวน 2 ตัว ตัวอักษร p จำ นวน 1 ตัว ตัวอักษร t จำ นวน 1 ตัว ตัวอักษร b จำ นวน 1 ตัว ตัวอักษร l จำ นวน 1 ตัว จะได้ n(E2) = 6 ดังนั้น P(E2) = n(E2) n(S) = 6 10 = 3 5 นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ตัวอักษรที่พยัญชนะ เท่ากับ 3 5
2. เขียนตัวเลข 1-9 ลงในกระดาษ แผ่นละ 1 ตัวเลข จากนั้นสลับกระดาษคว่ำ บนโต๊ะแล้วสุ่มหยิบกระดาษขึ้นมา 1 แผ่น ให้หาความน่าจะเป็นที่หยิบได้ 1) แผ่นตัวเลขคู่ 2) แผ่นตัยเลขคี่ 3) แผ่นตัวเลขที่การ 2 ลงตัว วิธีทำ เนื่องจากมีแผ่นกระดาษทั้งหมด 9 แผ่น จะได้จำ นวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น จากการสุ่มหยิบแผ่น ตัวเลขที่มีจำ นวนคู่เท่ากับ9 แบบ ดังนั้น n(S) = 9 1) กำ หนด E1 แทนเหตุการณ์ที่จะหยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวนคู่ เนื่องจาก1-9 มีตัวเลขที่มีจำ นวนคู่ 4ตัว คือ S={2,4,6,8} จะได้ n(E1) = 4 จาก P(E1 ) = n(E1) n(S) = 4 9 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวนคู่ เท่ากับ 4 9 2) กำ หนด E2 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวนคี่ เนื่องจาก1-9 มีตัวเลขที่มีจำ นวนคี่อยู่ 5 ตัว S={1,3,5,7,9} จะได้ n(E2) = 5 จาก P(E2 ) = n(E2) n(S) = 5 9 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวนคี่ เท่ากับ 5 9 3) กำ หนด E3 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวน ที่2หารลงตัว เนื่องจาก1-9 มีเลขที่2หารลงตัวอยู่ 4 ตัว S={2,4,6,8} จะได้ n(E2) = 4 จาก P(E2 ) = n(E2) n(S) = 4 9 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นิสาจะหยิบได้ตัวเลขที่มีจำ นวน ที่2หารลงตัว เท่ากับ 4 9
Exercise
เฉลย