ความน่าจะเป็น นาย ภูมิภัทร พะชะ น.ส วิภาวัน จั่นทับทิม น.ส.วิไลรักษ์ อ่อนไทย น.ส. พัชรา วันเวียน ม.4/1 จัดทำ โดย เสนอ ครู นันท์นภัส ภู่สำ อางค์ E-book ฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค31102 โรงเรียนบางปะอิน
การเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ที่มุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ ในวิชาคณิตศาสตร์จากการเรียนในห้องเรียนเพียงอย่างเดียว ทำ ให้ นักเรียนมีความคิดเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ว่า วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เน้นทฤษฏี หลักการ และเนื้อหาเท่านั้น ซึ่ง มีผลทำ ให้นักเรียนไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ในการจัดทำ E-book นี้เป็นการใช้คณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานในการทำ โครงงานเป็นการผสมผสานวิชาคณิตศาสตร์ กระบวนการคิด การ จัดการอย่างสมดุลกับหลักการอื่นๆเข้าด้วยกัน ทำ ให้เกิดสิ่งแปลกใหม่ น่าสนใจและน่าศึกษาค้นคว้าตลอดจนนำ สิ่ง รอบตัวมาประยุกต์เข้ากับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งE-bookนี้ จัดทำ ขึ้นโดยอาศัยหลักความน่าจะเป็นที่เกิดในชีวิตประจำ วันของเรา จึงเกิดความรู้ ได้รับประสบการณ์ที่แปลกใหม่ และสอดคล้องกับ ความสนใจของผู้จัดทำ คณะผู้จัดทำ คำ นำ
สารบัญ ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ การทดลองสุ่ม ตัวอย่างการทดลองสุ่ม แบบตรวจสอบความเข้าใจการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ ตัวอย่างเหตุการณ์ หน้า 1 2 3 4 5 6 7
สารบัญ แบบตรวจสอบความเข้าใจเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แบบตรวจสอบความเข้าใจความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของ เหตุการณ์ หน้า 8 9 10 11 12 13 14 ตัวอย่างความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ ของเหตุการณ์ แบบตรวจสอบความเข้าใจความน่าจะเป็นของ คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์
สารบัญ EXERCISE เฉลย หน้า 15-17 18-20
ความน่าจะเป็น คือการวัดหรือการประมาณความ เป็นไปได้ว่า บางสิ่งบางอย่างจะเกิดขึ้นหรือ ถ้อยแถลงหนึ่ง ๆ จะเป็นจริงมากเท่าใด ความน่า จะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 (โอกาส 0% หรือ จะไม่เกิดขึ้น) ไปจนถึง 100 (โอกาส 100% หรือ จะเกิดขึ้น) ระดับ ของความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น คือความเป็นไปได้มาก ขึ้นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิด หรือถ้ามองจากเงื่อน เวลาของการสุ่มตัวอย่าง คือจำ นวนครั้งมากขึ้นที่ เหตุการณ์เช่นนั้นคาดหวังว่าจะเกิด ความหมาย ความน่าจะเป็น 1
ในชีวิตประจำ วัน มีเหตุการณ์ต่าง ๆ เกิดขึ้นมากมายซึ่ง มีทั้งเหตุการณ์ที่สามารถคาดเดาได้และไม่สามารถ คาดเดาได้ เช่น ถ้าวันนี้นักเรียนเห็นท้องฟ้ามืดครึ้ม อาจกล่าวได้ว่าวันนี้ฝนอาจจะตก ซึ่งนักเรียนไม่มั่นใจว่า ฝนจะตกจริงเพียงแต่คาดการณ์ไว้ว่า โอกาสที่ฝนจะ ตกมีมากกว่าฝนไม่ตก การคาดการณ์ล่วงหน้าของ เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่จะเกิดขึ้นนั้น ส่วนใหญ่จะอาศัย ข้อมูลหรือประสบการณ์ที่เคยพบเห็นเหตุการณีใน ทำ นองเดียวกันมาประกอบการพิจารณา และเหตุการณ์ การทดลองสุ่ม 2 ความหมาย
การทดลองสุ่ม จะเรียกเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่มว่า ปริภูมิ ตัวอย่าง (Sample Space) จากตารางจะเห็นว่า ปริภูมิตัวอย่างในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง คือ หัวและก้อย ซึ่งสามารถเขียนแสดงผลโดยใช้สัญลักษณ์ S = { H, T } โดยที่ H แทน ผลที่เหรียญจะขึ้นหัว และ T แทน ผลที่เหรียญจะขึ้นก้อย นักเรียนคิดว่า อะไรคือปริภูมิตัวอย่างในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง S แทนเซตของปริภูมิตัวอย่างในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จะได้ S = {1,2, 3, 4, 5, 6,} เมื่อนักเรียนทำ การทดลองทางวิทยาศาสตร์ นักเรียนจะได้ผลการ ทดลองหรือผลลัพธ์ที่แน่นอนแต่ในเรื่องความน่าจะเป็นนั้น ผลการ ทดลองหรือผลลัพธ์ที่ได้นั้นไม่แน่นอนขึ้นอยู่กับโอกาส ซึ่งเรียกการ ทดลองหรือการกระทำ ใดที่ทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้างแต่ไม่ สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งของการทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในผลลัพธ์เหล่านั้นว่า การทดลองสุ่ม 3
ตัวอย่างการทดลองสุ่ม ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนแซมเปิลสเปซ และหา จำ นวนของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ จากการ ทดลองสุ่มต่อไปนี้ 1) การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 2 ครั้ง S={ HH, HT, TH, TT} จำ นวนของแซมเปิลสเปซหรือผลลัพธ์ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ n(s)= 4 4
แบบตรวจสอบความเข้าใจ เรื่อง การทดลองสุ่ม ให้เขียนปริภูมิตัวอย่างของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1.) การโยนเหรียญ 2เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง วิธีทำ เหรียญ 1 เหรียญ มี หัว,ก้อย บนหน้าเหรียญ กำ หนด S แทนเซตของปริภูมิตัวอย่างในการโยนเหรียญ 2เหรียญ 1 ครั้ง ถ้า ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ผลของการโยนเหรียญทั้งสองเหรียญ จะได้ S ={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 2.)การโยนลูกเต๋า2ลูก 1ครั้ง วิธีทำ ลูกเต๋า 1 ลูก มีแต้ม 1,2, 3, 4, 5 และ 6 บนหน้าลูกเต๋า กำ หนด S แทนเซตของปริภูมิตัวอย่างในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูก จะได้ S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,5), (5,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6, 6)} 5
เหตุการณ์ ในการทดลองเรามักจะสนใจเกี่ยวกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ มากกว่าสนใจในสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ เช่น เมื่อทอด ลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เราสนใจในเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์ A คือ การทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มเป็นจำ นวนคู่ เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้น เมื่อผลลัพธ์เป็นสมาชิกของเซต A = {2, 4, 6} ซึ่งเป็นสับเซตของ แซมเปิลสเปซ S = {1 ,2, 3 , 4 , 5 , 6 } เหตุการณ์ (Events) คือ เซตของผลลัพธ์ที่ได้จากการ ทดลองสุ่มที่เราสนใจพิจารณา ซึ่งเหตุการณ์เป็นสับเซตของ ปริภูมิตัวอย่าง 6
ตัวอย่าง เหตุการณ์ ตัวอย่างที่ 2 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้า ผลลัพธ์ที่สนใจคือ แต้มที่ได้ วิธีทำ จะได้ S = {1,2,3,4,5,6 } ถ้าให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหาร ด้วย 3 ลงตัว จะได้ E1 = {3,6 } E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 2 จะได้ E2 = {3,4,5,6 } จะได้ว่า n(S) = 6 , n(E1) = 2 และ n(E2) = 4 7
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ แบบตรวจสอบความเข้าใจ เหตุการณ์ โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 8 วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจาก การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน อาจใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้ จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 8 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH หรือ TTT 1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2เหรียญ S={ HHT, HTH, THH} 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ S={ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT , TTH}
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำ นวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วน ของจำ นวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำ นวนผลลัพธ์ ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำ นวณดังนี้ ในการทดลองสุ่มที่แต่ละผลลัพธ์ของการทดลองมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน สามารถคำ นวณหาโอกาสของการเกิดเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้จากอัตราส่วนระหว่าง จำ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ต่อจำ นวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง และเรียก โอกาสของการเกิดเหตุการณ์นั้นว่า ความน่าจะเป็นดังบทนิยาม สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละ ตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กันกำ หนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ n แทน จำ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ N แทน จำ นวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 9
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตัวอย่าง 10
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แบบตรวจสอบความเข้าใจ โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1.) เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวมากกว่าออกก้อย วิธีทำ 2.) เหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยติดต่อกัน วิธีทำ 11
ความน่าจะเป็นของคอมพลี เมนต์ของเหตุการณ์ ถ้า s เป็นแซมเปิลสเปซและ E เป็นเหตุการณ์แล้ว คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ E คือเหตุการณ์ที่ประกอบ ด้วยผลลัพธ์ใน s แต่ไม่เป็นผลลัพธ์ใน E คอมพลีเมนต์ของ E เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E’ 12
ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 4 13
ความน่าจะเป็นของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ แบบตรวจสอบความเข้าใจ วิธีทำ 14
จงเขียนแซมเปิลสเปซ และหาจำ นวนของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ จาก การทดลองสุ่มต่อไปนี้ EXERCISE 1) การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง 2) แต้มของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง 3) ผลการแข่งขันฟุตบอลทีมก-ข 15
EXERCISE 16
EXERCISE 17
จงเขียนแซมเปิลสเปซ และหาจำ นวนของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ จาก การทดลองสุ่มต่อไปนี้ เฉลย 1) ตอบ S={ H,T} 3) ตอบ S = { แพ้,ชนะ ,เสมอ} 2) ตอบ S = {1,2,3,4,5,6} 18
19
20
- END -