PROBABILITY EXERCISE by teacher nannaphat poosam-ang บทที่3 ความน่าจะเป็นชั้น ชั้ มัธยมศึก ศึ ษาปีที่4
สารบัญ บั รายละเอีย อี ดแบบฝึก ฝึ หัด หั ประกอบด้ว ด้ ย Exercise 3.4.1.1 เรื่อ รื่ งการทดลองสุ่ม (random Experiment Exercise 3.4.1.2 เรื่อ รื่ งเหตุการณ์ (event) Exercise 3.4.2 เรื่อ รื่ ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probability of Event) Exercise 3.4.3 เรื่อ รื่ งความน่าจะเป็น ป็ ของ คอมพลีเ ลี มนต์ของเหตุการณ์ (Probability of Complement of Event) หลักการนับเบื้องต้น หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น
เรื่อ รื่ งการทดลองสุ่ม เนื้อหา การทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรไดบ้าง แต่ไม่สามารถ บอกได้ อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละคร้ังที่ทดลอง ผลที่เกิดข้ึนจะเป็นอะไรในบรรดาผลลพัธ์ที่อาจ เป็นไดเ้หล่า นั้น แซมเปิลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ที่ อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด จากการทดลองสุ่ม และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ S ซึ่งในการทดลองสุ่มเดียวกัน สามารถ เขียนแซมเปิลสเปซได้มากกว่าหนึ่งแบบ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจ
ตัวอย่างที่1 จงหาผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองต่อไปนี้ 1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ 2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย 3. การนำ 2 ไปบวกกับ 3 4. การเล่นเป่ายิ้งฉุบ 5. การนำ จำ นวนคู่คูณกับจำ นวนคี่ 6. การหาผลคูณของจำ นวน 2 จำ นวน เฉลย 1. {หัว,ก้อย} 2. {1,2,3,4,5,6} 3. 5 4. {แพ้,ชนะ} 5. จำ นวนคู่ 6. ไม่ทราบผลลัพธ์
ตัวอย่างที่2 ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ทั้งหมด ตอบ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือหัวหรือก้อย ตัวอย่างที่ 4 การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาแต้มที่เกิดขึ้น ทั้งหมด ตอบ แต้มที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6
กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จงหา 1. แซมเปิลสเปซของสีลูกบอลที่ หยิบได้ 2. แซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบได้ วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่ หยิบได้ และสีของลูกบอลมี 2 สี คือ สีแดงและสี ขาว ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่ หยิบได้คือ S = {สีแดง,สีขาว} 2. เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่หยิบได้ และลูกบอลมีทั้งหมด 3 ลูก สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1 ดังนั้นแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบได้คือ S = {แดง1,แดง2, ขาว1} ตัวอย่างที่3
เหตุการณ์ (Event) คือผลลัพธ์ของการทดลอง สุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิล สเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะ เกิดอะไร ข้อสังเกตุ : เนื่องจาก เหตุการณ์เป็นสับเซตของ แซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซต ว่าง ก็ถือเป็น เหตุการณ์ๆ หนึ่งด้วยครับ เรื่อ รื่ งเหตุการณ์ เนื้อหา
มีบัตรอยู่ 10 ใบซึ่งแต่ละใบมีหมายเลข 1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10 ตามลำ ดับ สุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบพร้อมกันจงหาเหตุการณ์ที่ ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบเป็น จำ นวนคู่ วิธีทำ คำ ว่าสุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบ หมายถึง หยิบโดยไม่ ดู หรือไม่เห็นว่าแต่ละใบหมายเลขอะไร ซึ่งลักษณะการหยิบโดยสุ่มแบบนี้ เราถือว่าเป็นการ ทดลองสุ่มเพราะเราไม่ทราบผลลัพธ์ล่วงหน้า เนื่องจากโจทย์ต้องการให้หาผลรวมของหมายเลขบนบัตร ดังนั้นแซมเปิลสเปซก็ต้องประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมด นักเรียนจะพบว่าผลรวม ของหมายเลขจะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อได้บัตร หมายเลข 1 และ 2 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 3 และผลรวมจะมีค่ามากที่สุดเมื่อได้บัตรหมายเลข 9 และ 10 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 19 แสดงว่าแซมเปิลสเปซ S จะมีลักษณะดังนี้ S = {3, 4, 5, 6,…,17, 18, 19} สมมติให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของหมายเลขบน บัตรทั้ง 2 ใบเป็นจำ นวนคู่ A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ตัวอย่างที่1
ตัวอย่างที่2 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลูก จงหา 1.แซมเปิลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณ์ ที่จะได้ลูกบอลสีขาว 2.แซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได้ และ เหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลเป็นสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก วิธีทำ 1.เนื่องจากเราสนใจเกี่ยวกับสีของลูกบอล และ ลูกบอลมีอยู่สองสีคือสีขาวและสีแดง ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S={ขาว, แดง} สมมติให้ B เป็นเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว ดังนั้น B = {ขาว} 2.เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกบอลแต่ละ ลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา ดังนั้นแซมเปิลสเปซ S คือ S= {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3 ด2,ด1ด2} ให้ C เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกบอลสีขาว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก ดังนั้น เหตุการณ์ C คือ C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง
ตัวอย่างที่3 โยนเหรีย รี ญบาท 3 เหรีย รี ญ 1 ครั้ง พร้อม กัน จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ 3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ 4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3เหรียญ วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยน เหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 8 แบบคือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH หรือ TTT 1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 3 แบบ คือ HHT, HTH, และ THH 2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ มีผลลัพธ์ 7 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT และ TTH3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ มี ผลลัพธ์ 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT 4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3เหรียญ มีผลลัพธ์ 2 แบบ คือ HHH และ TTT
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เนื้อหา ความน่า น่ จะเป็น ป็ ของเหตุก ตุ ารณ์ คือ คื จำ นวนที่แ ที่ สดง ให้ท ห้ ราบว่า ว่ เหตุก ตุ ารณ์ใณ์ ดเหตุก ตุ ารณ์ห ณ์ นึ่ง นึ่ มีโมี อกาสเกิดกิ ขึ้น ขึ้ มากหรือ รื น้อ น้ ยเพีย พี งใด ความน่า น่ จะเป็น ป็ ของ เหตุก ตุ ารณ์ใณ์ ด ๆ เท่า ท่ กับ กั อัต อั ราส่ว ส่ นของจำ นวน เหตุก ตุ ารณ์ที่ ณ์ เ ที่ ราสนใจ (จะให้เ ห้ กิด กิ ขึ้น ขึ้ หรือ รื ไม่เ ม่ กิด กิ ขึ้น ขึ้ ก็ไก็ ด้)ด้ ต่อ ต่ จำ นวนผลลัพ ลั ธ์ทั้ ธ์ ง ทั้ หมดที่อ ที่ าจจะเกิด กิ ขึ้น ขึ้ ได้ เมื่อ มื่ ผลทั้ง ทั้ หมดที่อ ที่ าจจะเกิดกิขึ้น ขึ้ จากการทดลองสุ่ม สุ่ แต่ล ต่ ะตัว ตั มี โอกาสเกิดกิขึ้น ขึ้ ได้เ ด้ ท่า ท่ ๆ กัน กั กำ หนดให้ E แทน เหตุก ตุ ารณ์ที่ ณ์ เ ที่ ราสนใจ P(E) แทน ความน่า น่ จะเป็น ป็ ของเหตุก ตุ ารณ์ n(E) แทน จำ นวนสมาชิกชิของเหตุก ตุ ารณ์ S แทน ผลลัพ ลั ธ์ทั้ ธ์ ง ทั้ หมดที่อ ที่ าจจะเกิดกิขึ้น ขึ้ ได้ n(S) แทน จำ นวนสมาชิกชิของผลลัพ ลั ธ์ทั้ ธ์ ง ทั้ หมดที่อ ที่ าจจะเกิดกิ ขึ้น ขึ้ ได้
ตัวอย่างที่1 จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่า จะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือ เท่ากับ 112) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่3) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่าง น้อยหนึ่งลูก วิธีวิทำ ธี ทำ หา S จากการทอดลูก ลู เต๋า ต๋ 2 ลูก ลู 1 ครั้ง รั้ ได้ดั ด้ ง ดั นี้ S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4,6(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} n(S) = 36 ให้ E1 แทน เหตุก ตุ ารณ์ที่ ณ์ ไที่ ด้ผ ด้ ลรวมของแต้ม ต้ มากกว่า ว่ หรือ รื เท่า ท่ กับ กั 11
2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำ นวนคู่ ให้ E2 แทน เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของ แต้มเป็นจำ นวนคู่ E2 = { (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (2,6) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (4,6) ,(5,1) ,(5,3) ,(5,5),(6,2) ,(6,4) ,(6,6)} ให้ E3 แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 อย่าง น้อยหนึ่งลูก
ตัวอย่างที่2 ครอบครัวครอบครัวหนึ่ง มีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรคนแรกเป็นชาย บุตรคน ที่สองเป็นหญิง 2) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นหญิง 1 คน 3) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน 4) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรทั้งสองคนเป็นชายหรือ หญิงก็ได้ วิธีทำ ให้ ช แทน บุตรชาย ญ แทน บุตรหญิง S = {(ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ)} n(S) = 4
3) เหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน เนื่องจากครอบครัวนี้มีบุตรเพียง 2 คนเท่านั้น เหตุการณ์ที่ ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็นชาย 3 คน จึงเป็น 0 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ครอบครัวนี้จะมีบุตรเป็น ชาย 3 คน เท่ากับ 0
เรื่อ รื่ งความน่าจะเป้นของคอมพลีเมนต์ของ เหตุการณ์ เนื่อหา
ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง S = { HH,HT, TH,TT } ถ้า E เป็นเหตุการณ์ที่ ขึ้นหัวทั้งสองเหรียญ E = { HH } ดังนั้น E' = { HT, TH,TT } ตัวอย่างที่1
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง
หลัก ลั การนับ นั เบื้อ บื้ งต้น ต้ เนื้อหา
ตัวอย่างที่1
หลัก ลั การนับ นั เบื้อ บื้ งต้น ต้ และความน่า น่ จะเป็น ป็ เนื้อหา
ตัวอย่างที่1
ตัวอย่างที่2
สมาชิก นายธีร ธี ภัท ภั ร ทิวทิาลัย ลั 4/1 เลขที่ 10 นายธีร ธี ภาพ รัก รั ขติวติงษ์ ม.4/1 เลขที่ 13 นายรพีภั พี ท ภั ร ต่ว ต่ นเครือ รื ม.4/1 เลขที่1ที่ 5