สรุปสูตรคณิต ม.4-ม.6

Present By
กุลปริยา อดลุ วิริยการณ์ ม.6/3 เลขที่ 20
สุปรยี า ปยิ รกั ษว์ ฒั นชยั ม.6/6 เลขที่ 34

คานา

หนงั สอื E-bookเลม่ น้ี เป็นสว่ นหนง่ึ ของรายวชิ าชุมนุม My Math ของ
กลุม่ สาระการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ จัดทาข้ึนไวส้ าหรับผทู้ ่ีจะอยากศึกษา
ความรูท้ างคณติ ศาสตร์ตง้ั แต่ ม.4-6 โดยผ่านชอ่ งทางผ่านสอื่ เทคโนโลยี
ในการเรยี นในระดบั ช้นั เรยี นหรอื สอบเขา้ ต่อในระดับอุดมศึกษา ท้ังนีท้ างผู้
จัดได้ทาขึ้นเพอื่ เปน็ การทบทวนบทเรียนอีกดว้ ย

หวงั วา่ หนังสือE-bookเลม่ นี้ จะเปน็ ประโยชน์และสามารถนาความรู้ใน
ส่วนน้ีไปพฒั นาต่อตนเองหรอื นาไปตอ่ ยอดในด้านอื่นๆ หากผดิ พลาด
ประการใด ก็ขออภัยไว้ ณ ทีน่ ี้ดว้ ย

คณะผ้จู ดั ทา

ขอใหส้ นุก
กบั การอา่ นนะ

ม.4

เซต(set)

เซต หมายถงึ กล่มุ ของส่งิ ตา่ งๆ ท่เี ราสามารถกาหนดสมาชิกไดช้ ดั เจน

การเขยี นเซต

1.แบบแจกแจงสมาชกิ >> เขียนสมาชิกในเซต Ex. A = {1,2,3,4,5}
2.แบบบอกเงอ่ื นไข >> บรรยายลักษณะเงือ่ นไข Ex. A = { x | x เปน็ จานวนคู่ }

ชนิดของเซต

1.เซตจากัด : เซตที่สามารถบอกได้วา่ มีสมาชิกทงั้ หมดกต่ี วั
2.เซตอนนั ต์ : เซตที่ไม่สามารถบอกได้วา่ มสี มาชิกทง้ั หมดกีต่ ัว
3.เซตวา่ ง(∅) : ไมม่ จี านวนสมาชิกในเซต
เอกภพสัมพทั ธ์ ( ) คอื เซตทก่ี าหนดขอบเขตส่ิงท่เี รากาลังจะพิจารณา

สับเซต/เซตยอ่ ย

เซตทีเ่ ล็กกว่าหรือเทา่ กนั กับเซตทีก่ าหนด โดยตอ้ งใชส้ มาชกิ ร่วมกับ
เซตทีก่ าหนดเท่านัน้
สัญลกั ษณ์ ⊂ | ถา้ ไม่ไดเ้ ป็นสบั เซต = ⊄ | สับเซตไม่แท้ คือ A=B
สมบตั ิ 1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตัวมันเอง)

2) A ⊂ U (เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของเอกภพสมั พัทธ์)
3) ∅ ⊂ A (เซตว่างเปน็ สับเซตของทุกๆ เซต)
4) ถ้า A ⊂ ∅ แล้ว A = ∅
5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C (สมบัตกิ ารถา่ ยทอด)
6) A = B ก็ตอ่ เมอ่ื A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถา้ A มจี านวนสมาชกิ n ตวั สับเซตของเซตจะมีท้ังส้นิ 2n สบั เซต

ม.4

เพาเวอรเ์ ซต

เพาเวอร์เซตของ A คอื เซตทีร่ วมสมาชิกทเี่ ปน็ สบั เซตของ A ท้ังหมดเอาไว้
ใชส้ ญั ลักษณ์ P(A)
สมบตั ิ : กาหนดให้ A และ B เปน็ เซตใดๆ

1.) ∅ ∈ P(A) เพราะ ∅ ⊂ A เสมอ
2.) ∅ ⊂ P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทกุ เซต แล้ว P(A) กเ็ ปน็ เซตเช่นกัน
3.) A ∈ P(A) เพราะ A ⊂ Aเสมอ
4.) ถา้ A เปน็ เซตจากัด และ n(A) คอื จานวนสมาชกิ ของ A

แล้ว P(A) จะมสี มาชิก2n(A) ตัว (เทา่ กับจานวนสับเซตของ A)
5.) A ⊂ B กต็ อ่ เมื่อ P(A) ⊂ P(B)
6.) P(A)∩P(B) = P(A∩B)
7.) P(A)∪P(B) = P(A∪B)
8.) P(A) ≠ ∅

การดาเนินการของเซต

AB A B



ยูเนยี น (U) อนิ เตอรเ์ ซคชัน (∩)
เอาทั้ง A และ B เอาเฉพาะตวั ซ้าของ A และ B

AB AB



ผลต่าง (-) คอมพลีเมนต์ ( ‘ )
เอาตัวหนา้ ไม่เอาตวั หลัง เอาเฉพาะนอก A และ B ( )

ม.4

ตรรกศาสตร์

การแจกแจงค่าความจริง

จรงิ >> T || เทจ็ >> F

การหาจานวนวิธีการแจกแจง = 2n โดย n คือจานวนประพจน์
Ex. หา 2 ประพจน์ = 22 >> 4 แบบ

หา 4 ประพจน์ = 24 >> 16 แบบ

การเช่อื มประพจนแ์ ละนเิ สธของประพจน์

1.และ(∧) : T และ T = T ทีเ่ หลอื F
2.หรือ(V) : F หรอื F = F ท่ีเหลอื T
3.ถา้ ..แลว้ (→) : ถา้ T แล้ว F = F ที่เหลอื T
4.กต็ อ่ เมื่อ(↔) : T กต็ ่อเมอื่ T = T 2ตัวเหมือนกัน = T

}F กต็ ่อเมอ่ื F = T 2ตัวตา่ งกนั = F

5.นิเสธ(~) : หากอยู่หน้าประพจนไ์ หน จะมคี า่ ตรงขา้ มเสมอ

1. ↔ มากความสาคญั เวลาหาค่าความจริง

2. → จาก.. ไป...นอ้ ย
3. V, ∧
4. ~ *ให้ความสาคัญวงเล็บเปน็
the first

ม.4

ประพจน์ทส่ี มมูลกัน

สัจนริ ันดร์และการอา้ งเหตผุ ล

หาคา่ ความจรงิ ของประโยคย่อย ถ้า...
ขัดแยง้ กนั = สังนริ นั ดร์ >> สมเหตสุ มผล
ไมข่ ัดแย้ง/หาเหตผุ ลไมไ่ ด้ = ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์ >> ไม่สมเหตุสมผล

ม.4

จานวนจรงิ

จานวนเชิงซ้อน

จานวนจรงิ จานวนจนิ ตภาพ

จานวนตกรรยะ จานวนอตกรรยะ

จานวนเตม็ จานวนตรรกยะทไี่ ม่ใช่จานวนเตม็

จานวนลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนบวก/จานวนนบั

จานวนตรรกยะ คือ จานวนทเ่ี ขยี นเป็นเศษสว่ นของจานวนเตม็ ได้, ทศนยิ ม
ซ้า, รากทีถ่ อดได้ลงตวั

จานวนอตรรกยะ คอื จานวนทเ่ี ขยี นเป็นเศษสว่ นของจานวนเตม็ ไม่ได้,
ทศนิยมท่ีไมซ่ า้ , รากทถ่ี อดไดไ้ มล่ งตัว, ค่าพเิ ศษ เชน่ π,e

ระบบจานวนเตม็ จานวนเต็มยังสามารถแบง่ ได้อกี เป็น 3 ประเภทด้วยกนั
1.จานวนเต็มลบ หมายถึง จานวนท่ีเปน็ สมาชิกของเซต I-

โดยท่ี I- = {..., -4, -3, -2, -1}เม่ือ I - เปน็ เซตของจานวนเตม็ ลบ
2.จานวนเตม็ ศูนย์ (0)
3.จานวนเตม็ บวก หมายถึง จานวนท่ีเป็นสมาชิกของเซต I+

โดยท่ี I+ = {1, 2, 3, 4, ...}เมอ่ื I+ เป็นเซตของจานวนเต็มบวก

ม.4

การแกส้ มการกาลงั สอง

ax2+bx+c=0

การเขยี นจานวนจรงิ บนเสน้ จานวน

เคร่อื งหมาย =, ≥, ≤ และ วงเล็บ [,] จุดทึบ
เครอ่ื งหมาย ≠, >, < และ วงเล็บ (,) จดุ โปร่ง

ค่าสัมบรู ณ์

1. | - x | = | x |

2. | xy | = | x || y |

3. l x / y l = l x l / l y l (เมื่อ y ≠ 0)
4. | x - y | = | y - x |
5. | x | 2 = x2 10. | x | = 0 กต็ ่อเมือ่ x = 0
11. | x - y | = 0 ก็ต่อเม่ือ x = y
6. | x | = √x2 12. เม่ือ x เป็นจานวนจริงบวก
7. | x + y | ≤ | x | +| y |
8. | x | > 0 ก็ต่อเมอ่ื | x | = x | x | ≤ y กต็ อ่ เมอื่ - y ≤ x ≤ y
9. x < 0 กต็ อ่ เม่อื | x | = - x | x | ≥ y ก็ต่อเมอ่ื x ≤ -y หรอื x ≥ y

ม.4

ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ความสมั พนั ธ์

ค่อู นั ดับ คือ การนาสง่ิ สองส่ิง มาเขยี นคูก่ นั โดยคานึงถึงลาดบั ดว้ ย
คอู่ ันดับ a,b เขียนแทนด้วย (a,b) โดยเรยี ก a ว่า
สมาชิกตัวหนา้ ของคู่อันดับ และเรียก b วา่ สมาชกิ ตวั หลงั ของคู่อนั ดับ

ความสมั พนั ธ์ คือ เซตที่มสี มาชกิ ทุกตวั เปน็ ค่อู ันดบั โดยท่คี ูอ่ ันดับแตล่ ะคู่
เกดิ จากการจบั คกู่ นั ของสมาชิกจากเซตสองเซต

ผลคูณคารท์ เี ซยี น
เปน็ การกระทากนั ระหวา่ งเซต 2 เซต โดยผลคูณคารท์ เี ชียนระหวา่ งเซต A และ

B เขยี นแทนดว้ ย A x B คือ เซตของคูอ่ ันดบั (a,b) ทัง้ หมด โดยที่ a เป็นสมาชกิ ของ
เซต A และ b เปน็ สมาชิกของเซต B เขยี นอยใู่ นรูปแบบดงั น้ี

A x B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์
(x,y) ให้ x แทนเปน็ โดเมน คอื สมาชิกตวั หนา้ , Dr
ให้ y แทนเปน็ เรนจ์ คอื สมาชิกตัวหลงั , Rr

การหาโดเมน เรนจ์
1.แบบแจกแจงสมาชิก
Ex. r = {(1,2),(3,4)} จะได้ Dr = {1,3} และ Rr = {2,4}
2.แบบบอกเงือ่ นไข
หาโดเมนโดย จัด y ในรูป x แลว้ พจิ ารณาคา่ x ทงั้ หมดทีห่ าคา่ y ได้
หาเรนจโ์ ดย จัด x ในรูป y แล้วพิจารณาคา่ y ทงั้ หมดท่หี าค่า x ได้

ม.4

อนิ เวอร์ของความสัมพนั ธ์
ความสัมพนั ธ์ทส่ี ลบั ทส่ี มาชกิ ตัวหน้ากบั ตวั หลงั เขียนแทนดว้ ย r-1
นัน้ คือ r-1 = {(y,x) | (x,y) ∈ r}

ฟังกช์ ัน

ฟังก์ชัน คอื ความสัมพนั ธร์ ปู แบบหนึง่ ทส่ี มาชิกในโดเมนแตล่ ะตัวจบั คกู่ บั สมาชกิ
ในเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ เพยี งตวั เดยี วเทา่ น้ัน

ข้อสงั เกต
-ถา้ สมาชิกตวั หนา้ ของแต่ละคอู่ นั ดบั ไม่ซา้ กนั จะเป็นฟังกช์ ัน
-ถ้ามสี มาชกิ ตวั หนา้ คอู่ ันดับซา้ กัน อย่างนอ้ ย 1 คู่อนั ดับ จะไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั
-ความสัมพันธท์ ม่ี ี y ยกกาลงั เปน็ เลขคู่ หรือ y อยใู่ นเครื่องหมาย
คา่ สมั บูรณ์ จะไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน

รูปแบบฟังกช์ ัน

ฟังกช์ ันจาก A ไป B
f เปน็ ฟังกช์ นั จาก A ไป B เขียนแทนดว้ ย f:A→B
หมายความวา่ ทุกสมาชกิ ใน A ตอ้ งมคี ่กู บั สมาชกิ ใน B

ฟงั ก์ชนั จาก A ไปทัว่ ถงึ B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง B เขยี นแทนดว้ ย f:A onto→ B

หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A และ B ต้องมีคู่

ม.4

ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหน่งึ จาก A ไป B
f เปน็ ฟังกช์ นั หนงึ่ ต่อหนง่ึ จาก A ไป B

เขยี นแทนดว้ ย f:A 1-1→ B
หมายความวา่ ทุกสมาชิกใน A ตอ้ งมคี ู่กบั สมาชิกใน B

และคไู่ มซ่ า้

ฟงั กช์ ันหน่งึ ต่อหน่งึ จาก A ไปทัว่ ถึง B
ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งตอ่ หนงึ่ จาก A ไป B และ f

เปน็ ฟงั ก์ชันจาก A ไปท่ัวถงึ B แล้ว f
เปน็ ฟังกช์ นั หนึ่งต่อหนงึ่ จาก A ไปทว่ั ถึง B
เขียนแทนดว้ ย f:A 1-1 onto→ B

ชนดิ ของฟงั กช์ ัน

ม.4

ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พแนนเชียลและลอการิทึม

ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล คือ

= (x,y) ∈ R x R+ | y=ax , a>o , a≠1

กรณรี ูปทั่วไปจะมีสมบตั ดิ ังนี้ : รูปทั่วไปคือ y = ax

1. f(x) = 1x เปน็ ฟังกช์ นั คงตวั ไมใ่ ช่เอกซ์โพเนนเชยี ล เพราะ 1x = 1
2. โดเมน(Df) คอื R และ เรนจ์(Rf) คอื R+
3. ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียลเปน็ ฟังกช์ ัน 1-1 จาก R ไปทว่ั ถึง R+
4. กราฟ y = ax ไมต่ ดั แกน x นั่นคือ ไม่ตัดเส้นกราฟ y = 0
5. จุดกาเนดิ ของกราฟ คอื (0,0) และกราฟจะผ่านจุด (0,1) เสมอ เพราะ a0 = 1

รปู แบบของกราฟ y = ax

a > 1 = ฟังกช์ นั เพมิ่ 0 < a < 1 = ฟังกช์ ันลด
(0,1) (0,1)

กรณรี ปู แบบของกราฟ คือ y–k = ax-h จดุ กาเนดิ : (h,k) | ผา่ นจดุ : (h,k+1) | ไม่ตดั y=k

สมการเอกซโ์ พเนนเชียล หลกั การ : ทฤษฎีบท : กาหนด a>0 , a≠ 1 และ x,y ∈ R จะได้วา่

1. ทาใหฐ้ านของเลขยกกาลงั ทง้ั สองข้าง ax = ay ก็ตอ่ เมือ่ x = y
สมการมีคา่ เท่ากัน
นนั่ คอื ถ้าเลขยกกาลังมฐี านเดียวกนั มคี า่ เท่ากนั
2. ใส่ log หนา้ เลขยกกาลังท้งั สองข้าง “เลขช้ีกาลงั เท่ากนั ”
สมการ(กรณีไมส่ ามารถทาแบบ 1 ได)้

ม.4

อสมการเอกซโ์ พเนนเชียล การเปรียบเทยี บฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล : y = ax

กรณี a > 1 เป็นฟงั กช์ ันเพ่ิม จะได้วา่ x > y ก็ตอ่ เมื่อ ax > ay
x < y กต็ อ่ เม่อื ax < ay

กรณี o < a < 1 เปน็ ฟงั ก์ชันลด จะไดว้ ่า x > y ก็ต่อเมื่อ ax < ay
x < y กต็ ่อเม่ือ ax > ay

พืน้ ฐานฟงั ก์ชันลอการทิ ึม

จากฟงั ก์ชันเอกซโ์ พแนนเชียล y=ax
ฟงั ก์ชันลอการิทมึ เป็นฟังก์ชันผกผนั ของฟงั กช์ นั เอกซ์โพแนนเชยี ล
(ฟงั ก์ชนั ผกผัน x กบั y สลับกัน)
ดังน้นั ฟงั กช์ ันลอการิทมึ เขียนได้เปน็ x=ay ซึ่งนยิ มเขียนเปน็ y=logax

การแก้สมการและอสมการลอการิทมึ

หลักการ คือ ทาให้ฐานของlogใหเ้ ทา่ กันกอ่ น หลงั จากแกส้ มการหรืออสมการกอ่ นจะสรปุ
ตอบตอ้ งนาคา่ ที่ได้ไปตรวจสอบโดย ค่าหลังlog ตอ้ งเป็นคา่ บวก ค่าฐานlog ต้องเปน็ บวก
และไม่เท่ากบั 1

ม.4

เรขาคณติ วเิ คราะหแ์ ละภาคตัดกรวย

การหาความชนั

1.หาจากจุดผ่าน 2 จุด

ถ้าเส้นตรง I ผ่านจุด (x1,y1) และจุด (x2,y2)
ความชนั m = y2-y1

x2-x1

2.หาจากสมการเสน้ ตรง

รปู สมการ y = mx+c จะได้ ความชนั เท่ากบั m และมรี ะยะตัดแกน y เท่ากับ c

รปู สมการ Ax+By+C = 0 ความชัน m = -A

สตู รระยะห่าง B

ม.4

ภาคตัดกรวย
1.วงกลม

2.วงรี

ม.4

3.พาราโบลา

4.ไฮเปอร์โพลา

เมทริกซ์

เมทรกิ ซ์ หมายถึง กลมุ่ ของจานวนจริงทนี่ ามาจดั เรยี งกันให้เป็นแถว แต่ละ
แถวมจี านวนทเ่ี ทา่ ๆกัน โดยมีวงเล็บเลก็ ( ) หรอื วงเลบ็บ [ ] ปดิ ล้อมไว้ เชน่

แนวนอนของสมาชกิ เรียกว่า แถว
แนวตั้งของสมาชิก เรยี กว่า หลัก

Determinant ใช้หลักการคูณลงลบคูณขึ้น

Transpose การสลบั แถวกับหลัก

Minor - สัญลกั ษณ์ Mij(A) คือ ค่าดเี ทอร์มแิ นนต์
ตัดแถวที่ i และหลักที่ j ออก

การบวกและลบของเมทริกซ์ นาสมาชิกท่ีแถวและหลกั เดยี วกัน มาบวกลบกนั เทา่ นน้ั
การคูณเมทรกิ ซ์ด้วยจานวนจรงิ

สมบตั ิการคณู เมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
1.(cd)A = c(dA) = d(cA)
2.c(A + B) = cA + cB
3.(c + d)A = cA + dA

4.1(A) = A และ -1(A) = -A

เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์

ตวั ผกผันการคณู
ด้วยเมทรกิ ซ์

ความนา่ จะเปน็

กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเกยี่ วกับการนับ วธิ เี รียงสบั เปลีย่ น

หลักการคูณ จดั เรยี งสงิ่ ของ เน้นตาแหนง่ สาคัญสุด

Ex. แฟกทอเรียล
ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก
อยากใส่เสอ้ื กับกระโปรงโดยท่ีไม่ซ้ากนั จะมี แฟกทอเรียล n คือ n·(n-1)·…·3·2·1
ทั้งหมดกี่วิธี เขียนแทนด้วย n!
กาหนดให้ 0! = 1
เสื้อ 3 ตัว ∴ 3 · 2 = 6 วิธี

กระโปรง 2ตัว

หลกั การบวก กรณีสิ่งของแตกต่างกันท้ังหมด

Ex. เมื่อใส่ r ส่ิง (1 ≤ r ≤ n)
n!
จดั นร.ชาย 2 คน และนร.หญงิ 2คน Pn1r = (n-r)!
เขา้ แถวไดก้ ว่ี ธิ ี ถ้า...
ข.)ไมม่ ขี ้อกาหนดเพ่ิมเติม
ก.)ชายยนื สลับกับหญงิ
∴ สามารถเข้าแถวได้
กรณี 1 ชายเปน็ หวั แถว กรณี 2 หญงิ เป็นหวั แถว 4·3·2·1 = 24 วิธี
2·2·1·1 = 4 วิธี 2·2·1·1 = 4 วธิ ี
แทน นกั เรียนชาย
∴ สามารถเขา้ แถวได้ แทน นกั เรยี นหญงิ
4+4 = 8 วธิ ี

ไม่เป็นระเบียบ เป็นระเบียบ

เลน่ เกมครง้ั หนึ่ง เล่นได้ไมเ่ กนิ 5 ครั้ง มีเงนิ แค่ 1 จงหาจานวนวิธีท่ีเหรียญจะแสดงหน้าที่เป็นไป
บ. เมอ่ื เรม่ิ เล่นและเลิกเล่น เมื่อมกี าไร 2 บ.หรือ ได้จากการโยนเหรียญ 2 เหรียญหน่งึ ครง้ั โดย
หมดเงนิ จะมีวธิ ีการเลน่ ไดก้ วี่ ธิ ี (ชนะ+1 & แพ้-1) การใช้แผนผงั ต้นไม้
H แทนด้วยหวั

ช+ ช+ พช+0 ช+ 1 ชพ+01 ช แทนด้วยชนะ H H (H,H) T แทนด้วยก้อย
พ0 พ พ พ แทนด้วยแพ้ T HTT (H,T) 1เหรียญ 2คร้งั
(T,H)
(T,T) 2เหรยี ญ 1ครงั้

S = {พ,(ช,ช),(ช,พ,ช),(ช,พ,ช,ช), H TH (H,H)
(ช,พ,ช,พ,ช),(ช,พ,ช,พ,พ)} (H,T)
H ((TT,,HT))
T T

∴ N(s) = 6 วธิ ี ∴ N(s) = 4 วธิ ี

Love หลกั การคณู #วิธจี าแบบง่ายๆ#
แทนขน้ั ตอน = n

k = n1· n2· n3 … nk

หลักการบวก #วิธีจาแบบงา่ ยๆ#

Math! นาข้นั ตอนทั้งหมดมาคณู กัน=วธิ ที างาน
จากนั้นนาวิธีทางานทง้ั หมดมาบวกกนั

วธิ เี รยี งสับเปลี่ยน #เชิงเส้นตรง#

สิ่งของต่างกันเรยี งสบั เปลีย่ นทั้ง n ส่งิ

n! วธิ ี

สิ่งของต่างกันเรียงสบั เปล่ียนคราวละ r สง่ิ (r ≤ n)

Pn,r = n! วิธี
(n-r)!

มบี างส่ิงซา้ กนั เปน็ กล่มุ ๆ

n! วิธี
n1! n2! n3!

การจัดหมู่ Cn,r / nCr /


ของ n สิ่งทีแ่ ตกต่าง แบ่งของ n ส่ิง
(แตกตา่ งกัน) k เทา่ กนั
n! r<n
(n-r)!r! n!
(n1! n2! n3!...nk!)k!
ลักษณะที่ 1 แบ่งของ n สงิ่
ไมเ่ ทา่ กัน n1=n2=n3=nk
n!

n1! n2! n3!...nk!

n1≠n2≠n3≠ nk

ตรโี กณมติ ิ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

สตู รผลบวกและผลต่าง
เอกลกั ษณต์ รีโกณมิติ

องศากับเรเดียน

องศาหากมมุ ภายในวงกลมทงั้ หมดเป็น θ = 2π เมอ่ื เทยี บกับหนว่ ย
องศา จะเท่ากับ 360 องศา ดงั นนั้ π = 180 องศา

มุม sin cos tan

เวกเตอร์

เวกเตอร์ คอื ปรมิ าณทมี่ ขี นาดและทศิ ทาง ส่วนปรมิ าณทม่ี แี ต่ขนาด ไมม่ ีทศิ ทาง
จะเรยี กวา่ ปรมิ าณสเกลาร์

นิเสธของเวกเตอร์

การหาผลลัพธข์ อง u+v สามารถทาได้ 2 วธิ ี ดงั นี้

การบวกและการลบเวกเตอร์
การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์

ลาดับและอนุกรม

ลาดบั

บทนยิ าม มักถามว่า…

ฟงั ก์ชันท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก จงหาพจน์ที่…และจงหา
Rang ของฟงั ก์ชนั ที่มี Domain เป็น I+ พจน์ที่…

สังเกต จงเขียนพจน์ทว่ั ไปของ
อันดบั ต่อไปนี้

f(n) = an หมายถงึ a เป็นพจนท์ ่ี n
a1 = พจนท์ ่ี 1 | a2 = พจน์ท่ี 2 | a3 = พจนท์ ่ี 3

ตัวอยา่ ง

กาหนดพจนท์ ี่ n ของอันดบั คอื an = 2n+1 จงหาพจนท์ ี่ 4 และพจน์ท่ี 9
หาพจน์ท่ี 4
หาพจนท์ ่ี 9
an = 2n+1
an = 2n+1 a9 = 2(9)+1
a4 = 2(4)+1 a4 = 19
a4 = 9

ลาดับเลขคณติ (A.P.)

รปู แบบทวั่ ไป an = a1+(n+1)d

ตัวกลางเลขคณติ (A.M.)

สูตร x = b+a
2

ลาดบั เรขาคณิต

รูปท่ัวไป an = a1rn-1

ตัวกลางเรขาคณิต

สตู ร b = ± ac

อนุกรม

ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลาดับ... n
ai
เเรมยีอ่ื กa1a,1a+2a,2a+3,a…3+…,an+เaปn น็ วลา่ า”ดอับนจุการกมัดจากัด” i=1 ∞ ai
i=1
เเรมียื่อกa1a,1a+2a,2a+3,a…3+…,an+,…an+…เป็นวล่าาด”อบั นอกุ นรนั มตอ์นนั ต”์

สมบตั บิ างประการเก่ียวกับการใช้

1. n c = c+c+ncจ+าcน+ว…น +c = cn ; c เป็นคา่ คงท่ี n
i=1 c

i=1

n 1+2+3+4+…+n #ไมค่ งที่
Ex.1 i

i=1

50 8+8+580+ค8ร+้งั …+8 = (8)(50) = 400
Ex.2 8

i=1

2. n cai = c n = ai ; c เปน็ คา่ คงท่ี
i=1 i=1

Ex. จงหาคา่ ของ 5
j=1
= 3(1+2+3+4+5)
5 5 = 3(15)
3j 3j
j=1 j=1 = 45

3. n n n ai
i=1(ai ± bi) = i=1 ± bi
i=1

Ex. จงหาค่าของ 4 (2ak-1b)
k=1

4 - 4 = [2(1)-1]+[2(2)-1]+[2(3)-1]+[2(4)-1]
2k 1
k=1 k=1 = (2-1)+(4-1)+(6-1)+(8-1)
= 1+3+5+7
= 16

ผลบวกของอนกุ รม

1. n เมอื่ แทน i=1 | 1+2+3+4+…+n = 2n (n+1)
i

i=1

2. n เมอ่ื แทน i=1 | 12+22+32+42+…+n2 = n(n+1)(2n+1)
i2 6

i=1

3. n เม่ือแทน i=1 | 13+23+33+43+…+n3 = …n(…n+1…) 2
i3 32

i=1

ตวั อยา่ ง 1

จงหาคา่ ของ 1+2+3+4+...+200
200
2n (n+1) แทนคา่ = 100 x 201
n = 20100
n=1 = 2020 (200+1)

ตวั อยา่ ง 2
20
จงหาคา่ ของ k(k2-2)= (k3-2k)

k=1

= 20 20 = n(n+1) 2- 2 2n (n+1) = 2103–2(210)
2 = 44100-420
k3 - 2k = 43680
k=1 k=1

20 20 = 2010(20+1) 2- 2 2201(020+1)

= k3 - 2 k 2

k=1 k=1

อนกุ รมเลขคณิต

บทนิยาม

ถ้าa1a+1a,2a+2,aa33+,……+,aann เปน็ ลาดบั เลขคณติ แล้ว
เป็นอนุกรมเลขคณติ

สตู ร Sn = 2n 2an+(n-1)d

หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตโดยใชส้ ูตร Sn = n 2an+(n-1)d
2

1. Sn = n2 (a1 + an) สตู ร 1 ...

เมือ่ ทราบค่า n , a1 , an

จากความสมั พนั ธ์ นา an = a1+(n-1)d แทนสูตร 1

2. Sn = n2 a1 + a1(n-1)d สตู ร 2 ...

เSมnอ่ื ท=ร2nาบ2คaา่ 1(nn-,1a)1d, d , an=? จากสตู ร 2//
//นา a1+a1

บทนิยาม อนกุ รมเรขาคณิต

ถ้าa1a+1a,2a+2,aa33+,……+,aann เปน็ ลาดับเรขาคณติ แลว้
เป็นอนกุ รมเรขาคณติ

สูตร

Sn = a1(rr-n-11) ; r > 1 Sn = a1(11--rrn) ; r < 1
Sn = a11--arnr ; r ≠ 1

ตัวอย่าง

จงหาผลบวกแปดพจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 1+2+4+8+...
a1 = 1 | r = 2 | Sn = ?

Sn = a1(rr-n-11) Sn = 1(256-1)
1
Sn = 1(255)
Sn = 1(28-1)
2-1
Sn = 255

จานวนเชงิ ซ้อน

การเขยี นจานวนเชงิ ซอ้ น a = สว่ นจริง Re(z)
b = สว่ นจินตภาพ Im(z)
จนิ ตภาพ bi = จานวนจินตภาพ โดย a=0

จริง

a,b ∈ R | z = a+bi or (a,b)

การเทา่ กันของจานวนเชงิ ซ้อน Ex. z=2+xi | w=y+6i Ans : x=6 , y=2
z=(a,b) w=(c,d) ถา้ z=w x,y=?
z=w ; a=c and b=d

ค่าที่ควรจา

i = -1 เรียกว่า หน่วยจนิ ตภาพ
in นา n ไปหาร เศษ0=1 | เศษ1=i | เศษ2=-1 | เศษ3=-i

การบวก ลบ คณู หาร

บวก&ลบ จานวนจริง±จานวนจรงิ | จินตภาพ±จินตภาพ
คณู คูณกระจายเข้าไปอีกวงเลบ็

หาร Conjugate(สังยคุ )

สมบัติสงั ยคุ และคา่ สมั บรู ณ์

จานวนเชิงซ้อนรปู เชิงขว้ั

จะไดว้ า่

ม.6

สถิติศาสตร์

สถิติ คือ ตวั เลขที่ใช้แทนข้อเทจ็ จริงหรือข้อมลู ทเี่ ปล่ยี นแปลงไป ซง่ึ จะต้องเป็น
ตวั เลขรวบยอดทปี่ ระมวลมาได้จากข้อมลู เบอ้ื งต้นโดยการวเิ คราะห์คานวณ โดยสถิติน้ันจะ
ครอบคลมุ ตั้งแตก่ ารเกบ็ รวบรวมข้อมลู การนาเสนอข้อมูล การวิเคราะหข์ ้อมูล และการ
ตคี วามหมายขอ้ มูล

ขอ้ มูลสถิติหรือขอ้ มูล หมายถึง ขอ้ เทจ็ จรงิ ทเ่ี ป็นตัวเลขซึ่งเก่ียวกบั เร่ืองทเี่ ราสนใจ
ศกึ ษา โดยขอ้ มลู น้ันจะแบง่ ออกเป็น 2 ประเภทหลัก ๆ คอื ข้อมลู สถติ หิ รือขอ้ มลู หมายถงึ
ขอ้ เท็จจรงิ ท่ีเปน็ ตัวเลขซง่ึ เกย่ี วกบั เร่อื งทเี่ ราสนใจศึกษา โดยข้อมูลน้นั จะแบ่งออกเปน็ 2
ประเภทหลกั ๆ คือ ข้อมูลปฐมภมู ิ และ ขอ้ มูลทุติยภมู ิ สามารถจาแนกได้ 4 กลุ่ม คอื
ขอ้ มูลเชงิ คณุ ภาพ ข้อมลู เชงิ ปรมิ าณ ขอ้ มูลตามกาลเวลา และขอ้ มลู ตามสภาพภูมิศาสตร์

การวัดคา่ กลางของขอ้ มลู

1. ค่าเฉลีย่ เลขคณติ (Mean) คอื ผลรวมของคา่ ของขอ้ มลู ทงั้ หมด หารดว้ ยจานวนของข้อมลู

ม.6

2. มธั ยฐาน (Median) คือ ค่าทีอ่ ยู่ตาแหนง่ ตรงกลางของขอ้ มูลทง้ั หมดท่เี รียงลาดบั จาก
นอ้ ยไปมาก หรอื มากไปน้อย

3. ฐานนิยม (Mode) คอื คา่ ของขอ้ มลู ท่ีมคี วามถี่สงู สดุ

ม.6

ม.6

ม.6

แคลคลู สั

ลมิ ิตของฟงั กช์ นั

อนพุ นั ธ์

ม.6

การหาอนพุ ันธ์

ปฎกิ รยิ านพุ นั ธ์

ม.6

อินทิเกรตไม่จากดั เขต

อนิ ทิเกรตจากดั เขต(ไม่ต้องมี+c)

บรรณานุกรม

ความสมั พนั ธ์ และฟงั กช์ นั . (ออนไลน์). (2565). แหล่งทีม่ า
https://panyasociety.com/pages/summary-math-402-relation-function/

ติวเลขดอทคอม เว็บตวิ คณติ ศาสตร์ ม.ปลาย. (ออนไลน์). (2565). แหล่งทม่ี า
http://www.tewlek.com/

สถติ .ิ (ออนไลน์). (2565). แหล่งทีม่ า https://www.chulatutor.com