หน่วยที่ 1 ใหม่

ระบบตัวเลข

ระบบตัวเลข

ระบบจำนวนเลข คือ รหสั ใชแ้ ทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์เพอ่ื

ใชส้ ำหรับกำรอำ้ งอิงจำนวนขอ้ มลู

ระบบจำนวนเลขท่ีใชง้ ำนในชีวิตประจำวนั คือ
ระบบจำนวนเลขฐำนสิบ (Decimal Number)

ใชส้ ญั ลกั ษณ์ตวั เลข
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

เรียกระบบเลขน้ีวำ่ ระบบฐำนสิบ (Base Ten System)

ระบบเลขฐานสบิ

ในระบบเลขฐานสิบจานวนเลขที่แสดงออกมา จะแสดงเป็นค่าตาแหน่งและ
น้าหนกั ของตวั เลขนนั้ ๆ โดยมีลาดบั ความสาคญั แตกตา่ งกันไป

นอกจากจะแสดงค่าออกมาในลักษณะปกติแล้ว ยังสามารถแสดงค่าออกมา
ในรูปแบบของเลขยกกาลังของ 10 เขียนในรูป 10n ได้ (ค่า n แทนจานวนหลัก
ของเลขคา่ นน้ั ๆ)

หลักหมื่น หลกั พัน หลกั ร้อย หลกั สิบ หลักหน่วย ทศนิยมที่ ๑ ทศนยิ มที่ ๒ ทศนยิ มที่ ๓

10,000 1,000 100 10 1 0.1 0.01 0.001

104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3

ตัวอย่างที่ 1 จานวนเลขฐานสิบมีค่า 47,26810 และ 8,23910
เขยี นออกมาเป็นค่านา้ หนกั ในรปู ธรรมดาและรปู เลขยกกาลัง

ระบบเลขฐานสอง

ระบบจานวนเลขฐานสอง (Binary Number)

ใชส้ ัญลักษณ์เปน็ ตวั เลข 2 ตวั

0, 1

เรยี กระบบเลขนี้วา่ ระบบฐานสอง (Base Two System)

การทางานของอปุ กรณ์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนกิ ส์ มีลกั ษณะ
การทางานตามสภาวะเลขฐานสอง จึงทาใหร้ ะบบเลขฐานสองมี
บทบาทสาคญั ต่อการทางาน ตอ่ การใช้งานเปน็ อยา่ งมาก

ระบบเลขฐานสอง

เลขยกกาลัง 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
ค่าท่ไี ด้ 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

ตวั อยา่ งที่ 2 จานวนเลขฐานสองมีคา่ 100112 และ 0.11012
เขยี นออกมาเป็นเลขฐานสิบมคี ่าเทา่ ไร

ระบบเลขฐานสอง

เลขฐานสอง เลขฐานสบิ
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9

ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลขฐานแปดเป็นระบบตัวเลขท่ีมีความสาคัญอีกระบบหน่ึง
เมื่อนามาใช้แทนเลขฐานสองจะชว่ ยให้จานวนตัวเลขที่แสดงค่าออกมาส้ัน
ลง เกิดความสะดวกในการแสดงคา่ ลดความผดิ พลาดในการทางานลงได้

ระบบเลขฐานแปด ใชส้ ญั ลักษณต์ ัวเลข 8 ตัว คอื

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

ระบบเลขฐานแปด

เปรยี บเทยี บเลขฐานแปด เลขฐานสองและเลขฐานสบิ

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง เลขฐานแปด
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 10
9 1001 11

ระบบเลขฐานแปด

สามารถเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบไดโ้ ดยใช้เลขยกกาลงั
ของ 8 เพื่อหาค่าจานวนเลขฐานสบิ ทีถ่ ูกเขยี นไว้ในรูปของเลขฐานแปด

เลขยกกาลัง 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3

ค่าทีไ่ ด้ 512 64 8 1 0.125 0.015625 0.0019531

ตัวอยา่ งที่ 3 จานวนเลขฐานแปดมีค่า 7218 และ 0.5678
เขียนออกมาเปน็ เลขฐานสบิ มีค่าเทา่ ไร

ระบบเลขฐานสบิ หก

เปน็ ระบบเลขที่นยิ มใชง้ านและมีความสาคญั ไม่นอ้ ยไปกวา่
เลขฐานสองและเลขฐานแปด

ขอ้ มูลทีเ่ กบ็ ในระบบเลขฐานสบิ หก ผู้ใชเ้ ครื่องสามารถเขียนและ
พิมพ์คาสงั่ เข้าเครอื่ งไดง้ ่ายข้ึน เกิดความผิดพลาดในการเขยี นคาสงั่ และ
พิมพ์คาส่งั น้อยลง

ระบบเลขฐานสิบหก ใช้สญั ลกั ษณ์ 16 ตวั คือ

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

ระบบเลขฐานสิบหก

สามารถเปลย่ี นเลขฐานสบิ หกเปน็ เลขฐานสิบได้โดยใชเ้ ลขยกกาลัง

ของ 16 เพื่อหาค่าจานวนเลขฐานสิบทถ่ี กู เขียนไว้ในรูปของเลขฐานสิบ

หกได้

เลขยกกาลงั 163 162 161 160 16-1 16-2 16-3

คา่ ที่ได้ 4096 256 16 1 0.0625 0.003906 0.0002441

ตวั อย่างท่ี 4 จานวนเลขฐานสบิ หกมีค่า 5AE16 และ 0.6C16
เขียนออกมาเปน็ เลขฐานสบิ มีคา่ เทา่ ไร

ฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสบิ หก
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

การแปลงเลขฐาน

ในการศึกษาระบบจานวนตัวเลขในระบบดิจติ อล บางกรณี
จะใช้เลขฐานต่างๆ แต่ในชีวิตประจาวันเราจะใช้เลขฐานสิบ
ดงั น้ันควรทราบวธิ ีการแปลงเลขฐานสบิ ไปเปน็ เลขฐานตา่ งๆได้

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง
เลขฐานสบิ เลขฐานสอง
เลขฐานสบิ เลขฐานสอง

การแปลงเลขฐานสบิ เป็นเลขฐานอนื่ ๆ

การแปลงเลขฐานสบิ เป็นเลขฐานสอง

หลกั การ
1. ให้นาเลขฐานสบิ เป็นตวั ต้ังและนา 2 มาหาร ได้เศษเท่าไร

จะเปน็ คา่ บติ ที่มีนัยสาคญั นอ้ ยที่สดุ (LSB)
2. นาผลลัพธ์ที่ได้จากข้อที่ 1 มาต้ังหารด้วย 2 อีกคร้ัง

เศษท่ไี ดจ้ ะเปน็ บติ ถัดไปของเลขฐานสอง
3. ทาเหมอื นข้อ 2 ไปเร่ือยๆ จนได้ผลลพั ธ์เป็นศูนย์ เศษที่ได้

จะเป็นบิตเลขฐานสองท่ีมีนัยสาคัญมากที่สดุ (MSB)

ตวั อย่างท่ี 5 จงเปล่ียน (78)10 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานสอง(กรณเี ป็นทศนยิ ม)

หลกั การ
1. ให้นาเลขจดุ ทศนิยมมาตั้งแล้วคูณด้วย 2 ผลคูณมีค่าน้อย

กว่า 1 จะได้ค่าเลขฐานสองเป็น 0 หากผลคูณมีค่ามากกว่า 1
หรือเท่ากบั 1 จะได้ค่าเลขฐานสองเปน็ 1

2. ให้นาเลขจุดทศนิยมท่ีได้จากผลการคูณในข้อ 1 มาตั้ง
แ ล ะ คู ณ ด้ ว ย 2 แ ล ะ พิ จ า ร ณ า ผ ล ลั พ ธ์ เ ช่ น เ ดี ย ว กั บ
ข้อ 1 และกระบวนการนี้จะทาต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าผลคูณจะมี
คา่ เทา่ กบั 1 หรือไดค้ ่าทแี่ ม่นยาเพียงพอแล้ว

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงเปลีย่ น (0.55)10 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานแปด

หลกั การ
1. ให้นาเลขฐานสิบเป็นตัวตั้งและนา 8 มาหาร ได้เศษ

เท่าไรจะเปน็ คา่ บติ ทมี่ ีนัยสาคัญนอ้ ยที่สุด (LSB)
2. นาผลลัพธ์ที่ได้จากข้อที่ 1 มาต้ังหารด้วย 8 อีกคร้ัง

เศษทไ่ี ด้จะเปน็ บิตถัดไปของเลขฐานแปด
3. ทาเหมือนข้อ 2 ไปเร่ือยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์

เศษทไี่ ด้จะเปน็ บติ เลขฐานแปดท่ีมนี ัยสาคัญมากที่สดุ (MSB)

ตัวอยา่ งที่ 7 จงเปลีย่ นเลขฐานสบิ ใหเ้ ปน็ เลขฐานแปด
ก. (78)10

การแปลงเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานสบิ เป็นเลขฐานแปด(กรณีเป็นทศนยิ ม)

หลักการเปลีย่ นทศนยิ มเลขฐานสิบเป็นเลขฐานแปด
1. ให้เปลีย่ นเลขจานวนเต็มหน้าจดุ ทศนิยมดว้ ยวิธที กี่ ลา่ วมาแล้ว
2. ให้นาเลขจดุ ทศนยิ มมาตั้งแล้วคูณดว้ ย 8 ผลคณู มคี า่ มากกว่า 7 จะได้

คา่ เลขฐานแปดเปน็ ตัวเลขหลงั ทศนิยม
3. ใหน้ าเลขจดุ ทศนยิ มท่ีได้จากผลการคูณในข้อ 2 มาตั้งและคูณด้วย 8

และพิจารณาผลลัพธ์เช่นเดียวกับข้อ 2 และกระบวนการน้ีจะทาต่อไปเรื่อย
ๆ จนกวา่ ผลคณู จะมีเลขทศนิยมเป็น 0.0000

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงเปลย่ี น (0.55)10 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานสิบหก

หลกั การ
1. ให้นาเลขฐานสิบเป็นตัวต้ังและนา 16 มาหาร ได้เศษเท่าไรจะ

เปน็ คา่ บติ ทีม่ นี ยั สาคญั น้อยทส่ี ดุ (LSB)
2. นาผลลัพธ์ท่ีได้จากข้อที่ 1 มาตั้งหารด้วย 16 อีกครั้ง เศษที่ได้จะ

เปน็ บิตถดั ไปของเลขฐานสบิ หก
3. ทาเหมือนข้อ 2 ไปเรื่อยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เศษที่ได้จะเป็น

บติ เลขฐานสบิ หกทม่ี นี ัยสาคญั มากท่สี ดุ (MSB)

ตวั อยา่ งที่ 9 จงเปลี่ยนเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสบิ หก
ก. (305)10 ข. (260)10

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอนื่ ๆ

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสบิ หก(กรณีเป็นทศนิยม)

หลักการ
๑. ใหเ้ ปลย่ี นเลขจานวนเตม็ หน้าจุดทศนิยมดว้ ยวธิ ที ี่กลา่ วมาแลว้
๒. ให้นาเลขจุดทศนิยมมาต้ังแล้วคูณด้วย 16 ผลคูณมีค่ามากกว่า

15 จะไดค้ า่ เลขฐานสบิ หกเปน็ ตวั เลขหลงั ทศนยิ ม
๓. ใหน้ าเลขจุดทศนิยมที่ได้จากผลการคูณในข้อ ๒ มาต้ังและคูณ

ด้วย 16 และพิจารณาผลลัพธ์เช่นเดียวกับข้อ ๒ และกระบวนการนี้
จะทาต่อไปเรือ่ ย ๆ จนกว่าผลคูณจะมีเลขทศนยิ มเปน็ 0.0000

ตัวอยา่ งที่ 10 จงเปล่ียน (0.594)10 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ หก

การแปลงเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานอืน่ ๆ

การแปลงเลขฐานสองเปน็ เลขฐานสบิ

หลักการ

1. นาคา่ นาหนกั (Weight) ของเลขฐานสองคณู ดว้ ยเลขประจาหลกั แลว้ นาผลทไ่ี ด้ทกุ
หลักมารวมกัน
2. กาหนดคา่ นาหนกั : Weight ตามตารางที่ 6.1

27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0312 0.0156

ตวั อย่างที่ 11 จงเปล่ยี น (1011010.1011)2 ให้เปน็ เลขฐานสบิ

การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสบิ

หน้าทศนิยม 86 85 84 83 82 81 80

262,144 32,768 4,096 512 64 8 1

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6
หลัง 0.125 0.015 0.00195 0.000244 0.00003 0.0000038
ทศนยิ ม
หรอื หรอื หรือ หรือ

1.953m 0.244m 30.517µ 3.815n

ตัวอย่างท่ี 12 จงเปล่ยี น(134.63)8 ให้เป็นเลขฐานสิบ

การแปลงเลขฐานสิบเปน็ เลขฐานอน่ื ๆ

การแปลงเลขฐานสิบหกเปน็ เลขฐานสบิ

หลกั การ
1. นาค่าน้าหนัก (Weight) ของเลขฐานสิบหกคูณด้วยเลขประจาหลักแล้ว

นาผลที่ได้ทกุ หลกั มารวมกนั
2. กาหนดคา่ น้าหนัก : Weight …164 163 162 161 160 16-1 16-2 16-3…

ตวั อย่างท่ี 13 จงเปล่ยี น (D3C.2F)16 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ

การแปลงเลขฐานสองเปน็ เลขฐานแปด และเลขฐานแปดเปน็ เลขฐานสอง

หลักการ
เลขฐานแปด 1 ตวั สามารถแทนได้ด้วยเลข Binary 3 bit

ดังนัน การเปล่ียนเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดและเลขฐานแปด
เปน็ เลขฐานสองทาได้โดยการแทนค่า ต่าง ๆ ตามตารางที่ 6.3

เลขฐานแปด เลขฐานสอง ตัวอย่างที่ 14 จงเปล่ียนเลขฐานสองเป็น
0 000 เลขฐานแปดและเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง
1 001 ดังนี้
2 010
3 011 ก. (11010)2 ข. (346)8
4 100
5 101
6 110
7 111

การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสบิ หก และเลขฐานสิบหกเปน็ ฐานสอง

เลขฐานสบิ หก เลขฐานสอง ตัวอย่างท่ี 15 จงเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐาน
0 0000 สิบหกและเลขฐานสบิ หกเปน็ เลขฐานสอง ดังน้ี
1 0001
2 0010 ก. (111001)2 ข. (A90)16
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

การแปลงเลขฐานระหวา่ งฐานแปดกับฐานสิบหก

ทาไดโ้ ดยเขียนแทนเลขฐานแปด หรือเลขฐานสิบหกด้วยเลขฐานสอง

เลขฐานแปด 1 ตวั เขยี นแทนด้วยเลขฐานสอง 3 บิต
เลขฐานสบิ หก 1 ตวั เขียนแทนดว้ ยเลขฐานสอง 4 บติ

และนามาจัดกลมุ่ ใหม่เพ่ือเปล่ยี นไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ตามตอ้ งการ

ตวั อยา่ งท่ี 16 จงเปลี่ยน (4721.345)8 ให้เป็นเลขฐานสิบหก
และเปล่ียน (9AB.3E)16ให้เป็นเลขฐานแปด

การคานวณเลขฐาน

การคานวณเลขฐานสอง

การบวกเลขฐานสองทาเช่นเดียวกับการบวกเลขฐานสิบท่ีใช้ใน
ชีวิตประจาวัน แต่ค่าตัวเลขแต่ละหลักจะไม่เกินเลข 1 หากเกินให้ทดไปยังหลัก
ท่มี ีคา่ มากกวา่ กฎการบวกเลขฐานสอง

0+0 = 0 ทด 0
0+1 = 1 ทด 0
1+0 = 1 ทด 0
1+1 = 1 ทด 1

ตัวอย่างที่ 17 จงหาผลลพั ธ์ตอ่ ไปน้ีกกก. (10111)2 + (10110)2
กกข. (10111)2 + (11000)2

การคานวณเลขฐาน

การคานวณเลขฐานสอง

การลบเลขฐานสอง ในกรณที ีต่ วั ตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ ให้ใช้วิธีเดียวกับ
การลบเลขฐานสิบ

กฎการลบเลขฐานสอง
0-0 = 0
0-1 = 1 ยมื หลกั ทม่ี ีคา่ มากกว่า 1
1-0 = 1
1-1 = 1

ตวั อยา่ งที่ 19 จงหาผลลัพธ์ตอ่ ไปน้ีกกก. (100110)2 - (1011)2
กกข. (10011)2 - (1010)2

การคานวณเลขฐาน

การคานวณเลขฐานสอง

ในกรณีตวั ตัง้ เลขฐานสอง มีค่าน้อยกวา่ ตัวลบ เชน่ (1011)2-(1100)2
จะหาค่าไดย้ าก จงึ ตอ้ งใชเ้ ทคนิคการลบด้วยวิธีการบวก

1. การลบแบบวิธี 1’s complement มีข้นั ตอนดังนี้
1) สารวจบิตของตัวลบ ถา้ มจี านวนบติ น้อยกว่าตวั ต้ังใหเ้ พ่ิมเลข 0

ด้านหน้าตวั ลบ
2) ทา 1’S Complement ตวั ลบ โดยการเปลยี่ นตวั ลบเป็นเลขตรงขา้ ม
จาก 0 เปน็ 1 หรอื จาก 1 เปน็ 0
3) นาตวั ตั้งมาบวกกับตัวลบทท่ี า 1’s complement แลว้

การคานวณเลขฐาน

4) พจิ ารณาผลลัพธ์
- ถา้ ไม่มีตวั ทด ใหน้ าผลลพั ธน์ ้นั มาทา 1’S Complementอกี คร้งั ผล

จากการทา 1’S complement น้คี ือคาตอบ แตม่ ีคา่ เปน็ ลบ
- ถา้ มีตวั ทด ใหน้ าตวั ทดไปบวกเข้ากับบติ ขวามอื สดุ อีกคร้งั ผลลัพธ์ทไ่ี ด้

คือ คาตอบ และมคี ่าเปน็ บวก

ตัวอย่างท่ี 19 จงหาผลลพั ธต์ ่อไปน้ี (110110)2 – (100101)2
โดยวธิ ี 1’s complement

การคานวณเลขฐาน

การคานวณเลขฐานสอง

ในกรณตี ัวตั้งเลขฐานสอง มีค่าน้อยกว่าตัวลบ เชน่ (1011)2-(1100)2
จะหาค่าได้ยาก จงึ ตอ้ งใช้เทคนิคการลบด้วยวิธีการบวก

2. การลบแบบวิธี 2’s complement มขี ัน้ ตอนดงั น้ี
1) สารวจบติ ของตัวลบ ถา้ มจี านวนบิตนอ้ ยกวา่ ตัวตั้งให้เพ่มิ เลข 0

ด้านหน้าตวั ลบ
2) ทา 2’S Complement ตวั ลบ โดยการเปล่ยี นตวั ลบเป็นเลขตรงขา้ ม
จาก 0 เปน็ 1 หรอื จาก 1 เป็น 0 แลว้ บวกดว้ ย 1
3) นาตวั ตงั้ มาบวกกบั ตัวลบที่ทา 2’s complement แลว้

การคานวณเลขฐาน

4) พจิ ารณาผลลัพธ์
- ถา้ ไม่มีตวั ทด ใหน้ าผลลพั ธน์ ้นั มาทา 2’S Complementอกี คร้งั ผล

จากการทา 2’S complement น้คี ือคาตอบ แตม่ ีคา่ เปน็ ลบ
- ถา้ มีตวั ทด ใหน้ าตวั ทดไปบวกเข้ากับบติ ขวามอื สดุ อีกคร้งั ผลลัพธ์ทไ่ี ด้

คือ คาตอบ และมคี ่าเปน็ บวก

ตัวอย่างท่ี 20 จงหาผลลพั ธต์ ่อไปน้ี (110110)2 – (100101)2
โดยวธิ ี 2’s complement

การคานวณเลขฐาน

การคานวณเลขฐานสอง

การคูณและการหารเลขฐานสองใช้หลกั การเดยี วกันกับการคูณ และการหาร
เลขฐานสิบเพียงแต่เลขฐานสองมีเพียงสองเลขคือ 0 กับ 1 ผลลัพธ์ก็มีเพียงสองเลข
คอื 0 กบั 1

ตวั อย่างท่ี 20 จงหาผลลัพธต์ อ่ ไปน้ี ก. (110)2 x (110)2
ข. (1000)2 ÷ (10)2

การคานวณเลขฐาน

การบวกและการลบของเลขฐานสบิ หก

การบวกและการลบเลขฐานสิบหกมีวิธกี ารเช่นเดยี วกับการบวก และการลบ
เลขฐานสองแต่มีข้อแตกต่างกันท่ีการลืมเลขจากหลักท่ีสูงกว่าแต่ละครั้งนั้นจะมีค่า
เท่ากับ 16

ตัวอยา่ งท่ี 22 จงหาผลลัพธต์ ่อไปนี้ ก. (9A5C)16 + (6D89)16
ข. (E7B7)16 - (CA5F)16