เอกสารประกอบการเรียน

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 93

เส้ นขนานและมุมภายใน

ใหน้ กั เรียนยกตวั อยา่ งของสิงทีมีลกั ษณะของเส้นขนานมา 3 สิง

การขนานกนั ของเส้นตรงมีบทนิยามดงั นี

บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นทีอยบู่ นระนาบเดียวกนั ขนานกนั ก็ตอ่ เมือ เส้นตรงทงั สองเส้นนนั
ไมต่ ดั กนั

A B เมือ AB และ CD ขนานกนั อาจกล่าววา่
AB ขนานกนั CD หรือ CD ขนานกนั AB

C D อาจเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ AB // CD หรือ
CD // AB

เอกสารประกอบการเรียนเราสามารถกล่าววา่ ส่วนของเส้นตรงหรือรังสีขนานกนั เมือส่วนของเส้นตรงหรือรังสีนนั เป็น
ส่วนหน1.ึงของเสนตรงทีขนานกเQนั รเืช่่นอSง เส้น2. ขนKาน
L

P MN
R
4. T Y
PQ // RS S
3. D X ่

B

AC

ในการเขียนรูปเส้นตรง ส่วนของเส้นตรง หรือรังสีทีขนานกนั อาจใชล้ ูกศรแสดงเส้นทีขนาน

กนั ดงั ตวั อยา่ งในรูป D
B

แสดงวา่ AB // CD

A CE และ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

ฉ็

mhthtyronaosnsnsnanxosoot t aooosnsaassntst tหน่วยการเรียนรู้ที9เส้นขนาน 93

เส้นขนานและมมุ ภายใน

ใหน้ กั เรียนยกตวั อยา่ งของสิงทีมีลกั ษณะของเส้นขนานมา 3 สิง

การขนานกนั ของเส้นตรงมีบทนิยามดงั นี

บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นทีอยบู่ นระนาบเดียวกนั ขนานกนั ก็ต่อเมือ เส้นตรงทงั สองเส้นนนั
ไมต่ ดั กนั

A B เมือ AB และ CD ขนานกนั อาจกล่าววา่
AB ขนานกนั CD หรือ CD ขนานกนั AB

C D อาจเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ AB // CD หรือ
CD // AB

เราสามารถกล่าววา่ ส่วนของเส้นตรงหรือรังสีขนานกนั เมือส่วนของเส้นตรงหรือรังสีนนั เป็น

ส่วนหนึงของเสนตรงทีขนานกนั เช่น
Q L
1. S 2. K

P MN
R
4. T Y
PQ // RS S
3. D X

B

AC

ในการเขียนรูปเส้นตรง ส่วนของเส้นตรง หรือรังสีทีขนานกนั อาจใชล้ ูกศรแสดงเส้นทีขนาน

กนั ดงั ตวั อยา่ งในรูป D
B

แสดงวา่ AB // CD

A CE และ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

aeoos94 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ระยะห่ างระหว่างเส้ นขนาน XB

พิจารณารูปต่อไปนี

AE

CF Y D
กาํ หนดให้ AB และ CD อยบู่ นระนาบเดียวกนั E และ X เป็นจุดทีแตกตา่ งกนั บน AB
ลาก EF ตงั ฉากกบั CD ทีจุด F และลาก XY ตงั ฉากกบั CD ทีจุด Y
เรียก EF วา่ ระยะห่างระหว่าง AB และ CD ทีวดั จากจุด E
และ เรียก XY วา่ ระยะห่างระหว่าง AB และ CD ทีวดั จากจุด X
ในกรณีที AB และ CD ไมข่ นานกนั จะไดว้ า่ EF XY นนั คือระยะห่างระหว่ าง AB
และ CD ทีวดั จากจุดทีแตกต่างกนั บน AB จะไมเ่ ท่ากนั

ในกรณีที AB ขนานกนั CD จะไดว้ า่ EF = XY นนั คือระยะห่างระหว่าง AB และ CD
ทีวดั จากจุดทีแตกตา่ งกนั บน AB จะเท่ากนั เสมอ

AE XB

CF YD

ในกรณีทวั ไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นันจะเท่ากนั เสมอ
และในทางกลบั กนั ถ้าเส้นตรงสองเส้นมรี ะยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากนั เสมอ แล้วเส้นตรงคู่นันจะ

ขนานกนั
ในทางปฏิบตั ิ เมือตอ้ งการตรวจสอบวา่ เส้นตรงสองเส้นทีกาํ หนดใหข้ นานกนั หรือไม่ อาจ

ตรวจสอบระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงทงั สองทีวดั จาดจุดทีแตกต่างกนั อยา่ งนอ้ ยสองจุดบนเส้นตรง
หนึงก็เพียงพอ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 95

สํารวจ ตรวจสอบ เส้นขนาน

จากรูปทีกาํ หนด ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาวา่ เส้นตรงคูใ่ ดบา้ งทีขนานกนั

1. Q S 2. L
K N
P
R M

................................................................. .................................................................

3. D C 4. T
B SY
X
A

................................................................. .................................................................

มมุ ภายในทอี ยู่บนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั N
Q
M uB x
vy

PA

จากรูป AB เรียกวา่ เส้นตดั AB
เรียก x และ y วา่ มุมภายในทอี ย่บู นข้างเดยี วกนั ของเส้นตดั AB และ
เรียก u และ v วา่ มุมภายในทอี ยู่บนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั AB ดว้ ย
ในการเขียนรูปเส้นตดั AB อาจใช้ AB หรือ AB แทน AB กไ็ ด้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

96 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

สํารวจ ตรวจสอบ มุมภายใน

ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี ใหน้ กั เรียนบอกมุมคูท่ ีเป็นมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั

1. A aP b B 2. A pMrq B
s
C cd C ND
Q D

a กบั c และ p กบั q และ

3. A x M 4. MB D
C y c ba N
B d

a b A
N
D C

สํารวจ ตรวจสอบ เส้นขนานและมุมภายใน

1. ในแต่ละขอ้ กาํ หนดให้ AB และ CD ไมข่ นานกนั มี XY เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ ขนาดของ

มุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา หรือไม่

1) 2)

A XB A XB

CY D C
YD

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 97

2. ในแต่ละขอ้ กาํ หนดให้ AB และ CD ขนานกนั มี XY เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ ขนาดของมุม

ภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา หรือไม่

1) A X B 2) A XB

CY D CY D

3. กาํ หนดให้ AB และ CD มี XY เป็นเส้นตดั และมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั
รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา จงสาํ รวจวา่ AB และ CD ขนานกนั หรือไม่

A XB
135

C Y45 D

จากคาํ ตอบทีไดจ้ ากขอ้ 1, 2 และขอ้ 3 ไดผ้ ลสรุปทีเป็นไปตามสมบตั ิของเส้นขนานดงั นี

เมอื เส้นตรงเส้นหนึงตัดเส้นตรงคู่หนึง เส้นตรงคู่นันขนานกนั กต็ ่อเมือ ขนาดของมุม
ภายในทอี ย่บู นข้างเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา

นําไปใช้ A EB

1+ 2 =180o 13
3+ 4 =180o
3+ 4 =180o

24 D

CF

AB จะขนานกบั CD กต็ ่อเมือ
1. 1+2 =180o หรือ
2. 3+ 4 =180o

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

98 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ตัวอย่างที 1 AB และ CD ในแตล่ ะขอ้ ขนานกนั หรือไม่ เพราะเหตุใด
1) 2)

วธิ ีทาํ 1) AB // CD
ตัวอย่างที 2 เพราะวา่ ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั
124 + 56 = 180 องศา

2) AB และ CD ไม่ขนานกนั
เพราะวา่ ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั
94 + 90 = 184 องศา ซึงไมเ่ ทา่ กบั 180 องศา

กาํ หนดให้ AB // CD จงหาคา่ x ในแตล่ ะขอ้
1) 2)

วธิ ีทาํ 1) เนืองจาก AB // CD จะได้ x + 136 = 180
(ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา)
นนั คือ x =
ดงั นนั x =

2) เนืองจาก AB // CD จะได้ x + 10 + 72 = 180
(ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา)

นนั คือ x + 82 = 180
x=

ดงั นนั x =

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 99
ตวั อย่างที 3 จากรูป กาํ หนดให้ PQ // RS จงพสิ ูจน์วา่ 1 = 3

กาํ หนดให้ PQ // RS มี PR เป็นเส้นตดั
ต้องการพสิ ูจน์ว่า
พสิ ูจน์ 1=3
PQ // RS มี PR เป็นเส้นตดั (กาํ หนดให)้
ตวั อย่างที 4 2 + 3 = ............

2+1 =............ (ขนาดของมุมตรงขา้ ม)

จะได้ 2+1 = 2+3 (สมบตั ิการเท่ากนั )

ดงั นนั ........................ (นาํ 2 มาลบทงั สองขา้ งของสมการ)

กาํ หนดให้ AB // CD และ CD // EF ดงั รูป จงพสิ ูจน์วา่ AB // EF

กาํ หนดให้ AB // CD และ CD // EF
ต้องการพสิ ูจน์ว่า
พสิ ูจน์ AB // EF

ลาก PQ ใหต้ ดั AB, CD และ EF ดงั รูป

AB // CD และมี PQ เป็นเส้นตดั (กาํ หนดให้)

1+2 =............ (ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของ

เส้นตดั รวมกนั เทา่ กบั 180 องศา)

CD // EF และมี PQ เป็นเส้นตดั (กาํ หนดให้)

3+4 =............ (ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้น

ตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

100 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

1+2+3+4 =180o +180o (สมบตั ิของการเท่ากนั )

แต่ 2+3=............

จะได้ 1+4 =180o (สมบตั ิของการเทา่ กนั )

ดงั นนั AB // EF (ถา้ เส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคูห่ นึง ทาํ ใหข้ นาดของ

มุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั

180 องศา แลว้ เส้นตรงคูน่ นั ขนานกนั )

ในทาํ นองเดียวกนั ถา้ กาํ หนดให้ AB // CD และ CD // EF ดงั รูป จะสามารถพิสูจน์ไดว้ า่

AB // EF

AB

EF

CD

จากตวั อย่างที 4 ถา้ AB // CD และ CD // EF แลว้ AB // EF กล่าววา่ การขนานกนั
ของเส้นตรงมสี มบตั ถิ ่ายทอด

กจิ กรรมที 9.1 : ทกั ษะการให้เหตุผล การสือสาร สือความหมาย
และการนําเสนอ

1. ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาวา่ เส้นตรงแต่ละคูต่ อ่ ไปนีขนานกนั หรือไม่ขนานกนั เพราะเหตุใด

1) 2)
114

76 89

ไม่ขนานกนั เพราะวา่
76 + 114 180

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

104 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

เส้นขนานและมมุ แย้ง

เส้นตรงสองเส้น ถา้ มีเส้นตรงตดั นอกจากจะเกิดมุมภายในทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของ

เส้นตดั แลว้ ยงั มีมุมภายในทีเรียกวา่ มุมแยง้ อีกสองคู่

ถา้ AB และ CD เป็นเส้นตรงสองเส้น โดยมี PQ เป็นเส้นตดั

A P B
12

43
C QD
จากรูป 1 และ 3 เรียกวา่ มุมแย้ง เป็นมุมแยง้ ระหวา่ ง AB และ CD
และ 2 และ 4 เรียกวา่ มุมแย้ง เป็นมุมแยง้ ระหวา่ ง AB และ CD

สํารวจ ตรวจสอบ มุมแย้ง

1. ในแตล่ ะรูป กาํ หนดให้ AB และ CD มี EF เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ มุมคู่ใดเป็นมุมแยง้

1) A E B 2) A C
E F

CF D BD

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 105

2. ในแต่ละรูป กาํ หนดให้ AB // CD มี EF เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ มุมแยง้ คูใ่ ดมีขนาดเท่ากนั

1) C 2) A E B
A

EF CF D
BD

จากกิจกรรมขา้ งตน้ สรุปไดว้ า่ ถา้ AB // CD และมี EF เป็นเส้นตดั แลว้

ซึงเป็นไปตามทฤษฎีบทดงั ตอ่ ไปนี
ทฤษฎบี ท ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตดั แลว้ มุมแยง้ มีขนาดเทา่ กนั

A 1P2 B

C 4 Q3 D

กาํ หนดให้ AB // CD มี PQ เป็นเส้นตดั AB และ CD ทีจุด P และ Q ตามลาํ ดบั

ต้องการพสิ ูจน์ว่า 1 = 3 และ 2 = 4

พสิ ูจน์ เนืองจาก 1+2 =............

และ 2 + 3 = ............ (ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ ง

เดียวกนั ของเส้นตดั เส้นขนาน

รวมกนั เทา่ กบั 180o )

ดงั นนั 1+ 2 = 2 + 3 (สมบตั ิของการเท่ากนั )

จะได้ ........................ (นาํ 2 มาลบทงั สองขา้ งของสมการ)

ในทาํ นองเดียวกนั สามารถพิสูจน์ไดว้ า่ 2 = 4

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

106 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ในการตรวจสอบวา่ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั หรือไม่ นอกจากจะพจิ ารณาจากขนาดของ
มุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั เส้นตรงทงั สองแลว้ ยงั สามารถพจิ ารณาจากขนาดของ
มุมแยง้ ได้ ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปนี

ทฤษฎบี ท ถา้ เส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคูห่ นึง ทาํ ใหม้ ุมแยง้ มีขนาดเทา่ กนั แลว้
เส้นตรงคู่นนั ขนานกนั

A 1P B

C Q3 D

กาํ หนดให้ PQ ตดั AB และ CD ทีจุด P และ Q ตามลาํ ดบั ทาํ ให้ 1 = 3
ต้องการพสิ ูจน์ว่า AB // CD
พสิ ูจน์ เนืองจาก 1+2 =............

1 = 3 (กาํ หนดให้)
........................ (แทน 1 ดว้ ย 3 )
แต่ 2 และ 3 เป็นมุมภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั PQ
ดงั นนั AB // CD (ถา้ เส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคู่หนึง

ทาํ ใหข้ นาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ ง
เดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั 180๐
แลว้ เส้นตรงคู่นนั ขนานกนั )

จากทงั สองทฤษฎีบทขา้ งตน้ สามารถสรุปไดว้ า่

ทฤษฎบี ท เมือเส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคู่หนึง เส้นตรงคูน่ นั ขนานกนั ก็ตอ่ เมือ
มุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 107

ตัวอย่างที 1 กาํ หนดให้ AB // CD และมี EF เป็นเส้นตดั ดงั รูป จงอธิบายวา่ มุมคู่ใดมีขนาด
วธิ ทาํ
เท่ากนั บา้ ง E

A 1 3 24 B

C 5768 D

F
เนืองจาก AB // CD มี EF เป็นเส้นตดั จะไดว้ า่
นนั คือ
เนืองจาก EF ตดั กบั AB และ CD จะไดว้ า่
นนั คือ
โดยสมบตั ิของการเทา่ กนั สรุปไดว้ า่ มีมุมทีมีขนาดเทา่ กนั อยู่ 2 ชุด ดงั นี

ตัวอย่างที 2 จากรูป กาํ หนดให้ MB B// TN และ MO = NON จงพสิ ูจนว์ า่ MB = NT

กาํ หนดให้ O
ต้องการพสิ ูจน์ว่า
พสิ ูจน์ MT
MB // TN และ MO = NO
MB = NT
MB // TN และมี MN
BMO =..................

MO = NO
MOB =..................

ดงั นนั ABC CDE
จะได้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 113

เส้นขนานและมุมภายนอกกบั มุมภายใน

พจิ ารณารูปต่อไปนี

1 2 4
3

5 6 8
7

จากรูป เรียก 1 , 2 , 7 และ 8 วา่ มุมภายนอก
เรียก 3 , 4 , 5 และ 6 วา่ มุมภายใน

เรียก 1 และ 5 วา่ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในทอี ยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั
ในทาํ นองเดียวกนั จะเรียก 2 และ 6 , 7 และ 3 , 8 และ 4 แต่ละคู่วา่ เป็นมุมภายนอก
และมุมภายในทอี ยู่ตรงข้ามบนข้างเดยี วกนั ของเส้นตดั

สํารวจ ตรวจสอบ มมุ ภายนอกและมุมภายใน

1. ในแต่ละรูป กาํ หนดให้ AB และ CD มี EF เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ มุมคูใ่ ด เป็นมุมภายนอก
และมุมภายในทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั

1) AE B 2) A C
E F

CF D BD

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

114 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

2. ในแตล่ ะรูป กาํ หนดให้ AB // CD มี EF เป็นเส้นตดั จงสาํ รวจวา่ มุมภายนอกและมุมภายใน
ทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั คู่ใดทีมีขนาดเท่ากนั

1) A C 2) A E B

EF

BD CF D

จากกิจกรรมขา้ งตน้ สรุปไดว้ า่ ถา้ AB // CD และมี EF เป็นเส้นตดั แลว้

ซึงเป็นไปตามทฤษฎีบทดงั ตอ่ ไปนี

ทฤษฎบี ท ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตดั แลว้ มุมภายนอกและมุมภายในทีอยู่
ตรงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กนั

E
AX B

Y D
CF

กาํ หนดให้ AB // CD มี EF เป็นเส้นตดั

ต้องการพสิ ูจน์ว่า AXE = CYX, BXE = DYX,CYF = AXY และ DYF = BXY
พสิ ูจน์
AB // CD (กาํ หนดให)้

BXY = CYX

AXE =................. (ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กนั แลว้
ดงั นนั ........................ มุมตรงกนั ขา้ มมีขนาดเทา่ กนั )
(สมบตั ิของการเทา่ กนั )

ในทาํ นองเดียวกนั เราสามารถพิสูจนไ์ ดว้ า่ BXE = DYX,CYF = AXY และ DYF = BXY

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 115

ในการตรวจสอบวา่ เส้นตรงคูห่ นึงขนานกนั หรือไม่ สามารถพิจารณาจากขนาดของมุม
ภายนอกและมุมภายในทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปนี

ทฤษฎบี ท ถา้ เส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคู่หนึง ทาํ ใหม้ ุมภายนอกและมุมภายในทีอยู่
ตรงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กนั แลว้ เส้นตรงคูน่ นั ขนานกนั

E
AX B

Y D
CF

กาํ หนดให้ EF ตดั AB และ CD ทาํ ให้ AXE = CYX
ต้องการพสิ ูจน์ว่า AB // CD

พสิ ูจน์ AXE+AXY =...............

AXE = CYX (กาํ หนดให้)

..............+AXY =180o (แทน AXE ดว้ ย CYX )

เนืองจาก CYX และ AXY เป็นภายในทีอยบู่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั EF

ดงั นนั AB // CD (ถา้ เส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคู่หนึง

ทาํ ใหข้ นาดของมุมภายในทีอยบู่ นขา้ ง

เดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กบั 180๐

แลว้ เส้นตรงคูน่ นั ขนานกนั )

ในการพิสูจนว์ า่ AB // CD อาจนาํ ทฤษฎีบทเกียวกบั มุมแยง้ มาใชก้ ็ได้ โดยพสิ ูจนว์ า่
AXY = DYX หรือ BXY = CYX

จากทงั สองทฤษฎีบทขา้ งตน้ สามารถสรุปไดว้ า่

ทฤษฎบี ท เมือเส้นตรงเส้นหนึงตดั เส้นตรงคูห่ นึง เส้นตรงคู่นนั เส้นขนานกนั ก็ต่อเมือ
มุมภายนอกและภายในทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

116 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ตัวอย่างที 1 กาํ หนดให้ PQ // RS และมี AB เป็นเส้นตดั ดงั รูป จงหาคา่ x

B Q
P (2x+3)o S

R 65o
A

วธิ ีทาํ เนืองจาก PQ // RS และมี AB เป็นเส้นตดั

จะได้ BPQ =............... (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตดั แลว้ มุม

ภายนอกและมุมภายในทีอยตู่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั

ของเส้นตดั มีขนาดเท่ากนั )

ดงั นนั 2x + 3 = 65 (แทน BPQ ดว้ ย 2x + 3 และแทน PRS ดว้ ย 65)

2x

ตัวอย่างที 2 นนั คือ
จากรูป กาํ หนดให้ AB // CD , AB = CD และ AC = CE จงพิสูจน์วา่ BC // DE

BD

กาํ หนดให้ AC E
ต้องการพสิ ูจน์ว่า AB // CD , AB = CD และ AC = CE
พสิ ูจน์
BC // DE

พิจารณา ABC และ CDE
AB = CD
BAC = DCE (กาํ หนดให้)

AC = CE CDE
ดงั นนั ABC

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 117
จะได้ ACB = CED
นนั คือ BC // DE

)

กจิ กรรมที 9.3 : ทกั ษะการคดิ วเิ คราะห์ ให้เหตุผล และแก้ปัญหา

1. กาํ หนดให้ CD // EF และมี AB เป็นเส้นตดั
จงหามุมทุกคู่ทีมีขนาดเทา่ กนั พร้อมทงั เหตุผล

DF

A B เหตุผล
C E

................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................

2. กาํ หนดให้ CD // EF ถา้ AXD = 118 และ

DYF = 66 จงหาขนาดของ XYFD
D

A 118 66 เหตุผล
X YB

CE
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

122 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

เส้นขนานและรูปสามเหลยี ม

นกั เรียนทราบหรือไมว่ า่ ขนาดของมุมภายในทงั สามมุมของรู ปสามเหลียมรวมกนั เทา่ กบั กี

องศา ตอบ ขอ้ ความนีเป็นทฤษฎีบททีสาํ คญั ทฤษฎีบทหนึงทางเรขาคณิต ซึง

สามารถพิสูจน์ไดด้ งั นี

ทฤษฎบี ท ขนาดของมุมภายในทงั สามมุมของรูปสามเหลียมรวมกนั เท่ากบั 180 องศา

DC E

AB

กาํ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมใด ๆ
ต้องการพสิ ูจน์ว่า CAB+ABC+BCA =180o
พสิ ูจน์ สร้าง DE ผา่ นจุด C ให้ DE // AB

เนืองจาก AC เป็นเส้นตดั DE และ AB

DCA =.............. (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเส้นตดั

แลว้ มุมแยง้ มีขนาดเทา่ กนั )

ECB = ABC (

)

DCA+BCA+ECB =180o (

CAB+BCA+ABC=180o (แทน DCA ดว้ ย CAB และ ECB )

ดงั นนั CAB+ABC+BCA =180o (สมบตั ิของการเทา่ กนั )

ทฤษฎีบทขา้ งตน้ สามารถนาํ มาใชพ้ สิ ูจน์ทฤษฎีบทเกียวกบั ขนาดของมุมภายนอกและขนาด
ของมุมภายในของรูปสามเหลียมได้ ดงั ต่อไปนี

A C จากรูป กาํ หนด ABC และตอ่ BC ออกไป
B
ทางจุด C ถึงจุด D เรียก ACD วา่ มุมภายนอกของ

D ABC เรียก ACB และ ACD วา่ เป็น มุมประชิด
หรืออาจกล่าววา่ ACB เป็นมุมประชิดของ ACD

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 123

ทฤษฎบี ท ถา้ ต่อดา้ นใดดา้ นหนึงของรูปสามเหลียมออกไป มุมภายนอกทีเกิดขึนจะมีขนาด
เท่ากบั ผลบวกของขนาดของมุมภายในทีไมใ่ ช่มุมประชิดของมุมภายนอกนนั

A

BC D

กาํ หนดให้ ABC มี ACD เป็นมุมภายนอกทีไดจ้ ากการต่อ BC ออกไปทางจุด C
ต้องการพสิ ูจน์ว่า
พสิ ูจน์ ACD= ABC+CAB

เนืองจาก ACD+.......... =180o (ขนาดของมุมตรง)

และ ABC+BCA +CAB=180o (

)

จะได้ ACD+BCA = ABC+BCA +CAB )

ดงั นนั ACD= ABC +CAB ( )

นําไปใช้

A 3 D
2 C
1
B

จากรูป ABC มี ACD เป็นมุมภายนอกทีไดจ้ ากการตอ่ BC ออกไปทางจุด C จะไดว้ า่
3= 1+ 2 หรือ 1+ 2 = 3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

124 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ทฤษฎบี ท ถา้ รูปสามเหลียมสองรูปมีมุมทีมีขนาดเทา่ กนั สองคู่ และดา้ นคู่ทีอยตู่ รงกขบั า้ มุมคู่
ทีมีขนาดเทา่ กนั ยาวเท่ากนั หนึงคู่ แลว้ รูปสามเหลียมสองรูปนนั เทา่ กนั ปทรุกะการ

กาํ หนดให้ ABC และ DEF มี CAB= FDE, ABC= DEF และ BC = EF

ต้องการพสิ ูจน์ว่า ABC DEF
พสิ ูจน์ เนืองจาก CAB= FDE และ CAB= FDE, ABC= DEF (กาํ หนดให)้

CAB +ABC+BCA =180o (

)

FDE+.......... +EFD=.......... (ขนาดของมุมภายในทงั สามมุมของ

รูปสามเหลียมรวมกนั เท่ากบั 180 องศา

จะได้ CAB+ABC+BCA = FDE+DEF +EFD

)

ดงั นนั BCA = EFD )

และเนืองจาก BC = EF )

ดงั นนั ABC DEF )

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

หน่วยการเรียนรู้ที 9 เส้นขนาน 125

ตัวอย่างที 1 จากรูป กาํ หนดให้ AB // CD มี AC ตดั BD ทีจุด O , AOD =120o และ
OCD = 36o จงหาค่า x

Bx O 36 C
A 120 D

วธิ ีทาํ เนืองจาก AB // CD มี AC เป็นเส้นตดั (กาํ หนดให)้

จะได้ BAO =.......... = 36o (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมี
เนืองจาก AOD เป็นมุมภายนอกของ เส้นตดั แลว้ มุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั )
ดงั นนั AOD= DCO+CDO COD
(ถา้ ต่อดา้ นใดดา้ นหนึงของ
จะได้ รูปสามเหลียมออกไป มุมภายนอกที
CDO =120-36 เกิดขึนจะมีขนาดเทา่ กบั ผลบวกของ
ขนาดของมุมภายในทีไ ม่ใช่มุมประชิด
ของมุมภายนอกนนั )
(แทน AOD ดว้ ย 120 และแทน DCO
ดว้ ย 36)
(สมบตั ิของการเท่ากนั )

เนืองจาก x +CDO =180o (ขนาดของมุมภายในทีอยบู่ น
ขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั เส้นขนาน
จะได้ รวมกนั เทา่ กบั 180o )
ดงั นนั (แทน CDO ดว้ ย 84)
(สมบตั ิของการเทา่ กนั )

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15

126 สือเสริมสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์พนื ฐาน ม.2

ตวั อย่างที 2 F B จากรูป กาํ หนดให้ ABC และ DCF เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก
A E
มี AEB และ DFC เป็นมุมฉาก AB // CD และ AB = CD
C
กาํ หนดให้ D จงพสิ ูจนว์ า่ AE = DF

ABC และ DEF เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก

AEB= DFC= 90o , AB // CD และ AB = CD

ต้องการพสิ ูจน์ว่า AE = DF
พสิ ูจน์
เนืองจาก AB // CD ( )

จะได้ ABE = DCF (

)

AEB= DFC= 90o ( )

AB = CD ( )

ดงั นนั ABC DCF ( )

นนั คือ AE = DF (

)

กจิ กรรมที 9.4 : ทกั ษะการคดิ วเิ คราะห์ แก้ปัญหา สือสาร

สือความหมาย และการเชือมโยง

จงหาค่า x และ y จากรูปทีกาํ หนด

1. y x=
120 x 40 y=

2. x x=
130 y y=

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนจนั ทร์ประภสั สร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15