MODUL AJAR STATISTIKA Disusun oleh Yusuf Abdulah (2398011227) Pembelajaran Sosial Emosional (PSE) X SMKPPG PRAJABATAN UNNES GELOMBANG 1 TAHUN 2023
GLOSARIUM Histogram : Diagram batang tegak, dimana di antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak Poligon :grafik garis yang menghubungkan setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan pada histogram. Mean : Rerata (Rataan, Rata-rata) hitung Modus : Nilai yang paling sering muncul Median : Nilai tengah dari sekumpulan data terurut Kuartil : Ukuran letak yang membagi data terurut menjadi empat bagian sama banyak Desil : Ukuran letak yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian sama banyak Persentil : Ukuran letak yang membagi data terurut menjadi seratus bagian sama banyak.
PETA KONSEP Statistika Penyajian Data Tebel Distribusi frekuensi Histogram Ukuran Pemusatan Data Mean Median Modus Ukuran Letak Data Kuartil Persentil Desil Ukuran Penyebaran Data Jangkauan Interkuartil Simpangan ratarata Varian dan Simpangan Baku
PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Kelas : X Alokasi Waktu : 3 JP x 8 pertemuan Materi : Statistika B. Capaian Pembelajaran Di akhir Fase E peserta didik dapat merepresentasikan dan menginterpretasi data dengan cara menentukan jangkauan kuartil dan interkuartil. Mereka dapat membuat dan menginterpretasi box plot (box-and-whisker plot) dan menggunakannya untuk membandingkan himpunan data. Mereka dapat menggunakan dari box plot, histogram dan dot plot sesuai dengan natur data dan kebutuhan. Mereka dapat menggunakan diagram pencar untuk menyelidiki dan menjelaskan hubungan antara dua variabel numerik (termasuk salah satunya variabel bebas berupa waktu). Mereka dapat mengevaluasi laporan statistika di media berdasarkan tampilan, statistika dan representasi data. C. Tujuan Pembelajaran Melalui model pembelajaran Problem Based Learning (PBL) menggunakan pendekatan Teaching at The Right Level (TaRL) secara berkelompok dengan benar peserta didik mampu: 1. Merepresentasikan penyajian data menggunakan tampilan data kelompok yang sesuai tabel distribusi frekuensi dan histogram 2. Menentukan ukuran pemusatan data (mean) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 3. Menentukan ukuran pemusatan data (median) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 4. Menentukan ukuran pemusatan data (modus) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 5. Menentukan ukuran letak data (kuartil) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 6. Menentukan ukuran letak data (desil) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 7. Menentukan ukuran letak data (persentil) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 8. Menentukan ukuran penyebaran data (jangkauan) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 9. Menentukan ukuran penyebaran data (simpangan kuartil) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 10. Menentukan ukuran penyebaran data (simpangan rata-rata) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok. 11. Menentukan ukuran penyebaran data (ragam dan simpangan baku) dari kumpulan data pada data tunggal dan data kelompok.
D. Deskripsi Singkat Materi Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (fisika, astronomi dan biologi), ilmu-ilmu sosial (sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis (ekonomi dan industri).Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan, misalnya sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal, seperti ditunjukkan pada diagram batang berikut. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Secara umum statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Dengan kata lain, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. E. Petunjuk Penggunaan Modul Modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut. 1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini. 2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali. 4. Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada. 5. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran. 6. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.
PENYAJIAN DATA Secara garis besar, penyajian data dibagi menjadi dua cara yang sering digunakan, yaitu dalam bentuk table /(daftar) dan grafik (diagram). Sementara itu, secara khusus data dapat disajikan ke dalam bentuk diagram garis, diagram batang, diagram lingkaran, pictogram, histogram, polygon frekuesni, atau tabel distribusi frekuensi. A. Tabel Distribusi Frekuensi Data pertama yang diperoleh pada suatu observasi disebut dengan data mentah (raw data). Data ini belum tersusun secara numerik. Sebagai contoh data mengenai tinggi badan siswa yang penyajiannya masih dalam bentuk presensi kehadiran yang biasanya hanya diurutkan berdasarkan alphabet nama siswa. Terkadang data mentah disajikan berdasarkan urutan naik (ascending) atau urutan turun (descending). Bentuk penyajian seperti ini disebut array. Selisih antara nilai data terbesar dan terkecil disebut rentang (range). Dalam bekerja dengan jumlah data yang cukup besar, biasanya lebih menguntungkan jika data ini disajikan dalam kelas-kelas atau kategori tertentu bersamaan dengan frekuensi yang bersesuaian. Frekuensi yang dimaksud adalah banyaknya kejadian yang ada pada kelaskelas tertentu. Suatu tabel yang menyajikan kelas-kelas data beserta frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Tabel Tinggi 100 siswa SMK Merdeka Tinggi badan Frekuensi 60–62 5 63–65 18 66–68 42 69–71 27 72–74 8 Beberapa Istilah pada Tabel Distribusi Frekuensi 1. Interval kelas adalah interval yang diberikan untuk menetapkan kelas-kelas dalam distribusi. Pada table diatas, interval kelasnya adalah 60-62, 63-65, 66-68, 69-71 dan 72-74. Interval kelas 66-68 secara matematis merupakan interval tertutup [66, 68], ia memuat semua bilangan dari 66 sampai dengan 68. Bilangan 60 dan 62 pada interval 60-62 disebut limit kelas, Dimana angka 60 disebut limit kelas bawah dan angka 62 disebut limit kelas atas. 2. Batas kelas adalah bilangan terkecil dan terbesar sesungguhnya yang masuk dalam kelas interval tertentu. Misalnya jika dalam pengukuran tinggi badan di atas dilakukan dengan ketelitian 0.5 in maka tinggi badan 59.5 in dan 62.5 in dimasukkan ke dalam kelas 60 – 62. Bilangan 59.5 dan 62.5 ini disebut batas kelas atau limit kelas sesungguhnya, dimana bilangan 59.5 disebut batas kelas bawah dan 62.5 disebut batas kelas atas. Pada prakteknya batas kelas interval ini ditentukan berdasarkan rata-rata limit kelas atas suatu interval kelas dan limit kelas bawah interval kelas berikutnya. Misalnya batas kelas 62.5 diperoleh dari 62+63 2 . Pemahaman yang sama untuk interval kelas lainnya. 3. Lebar interval kelas atau panjang kelas adalah selisih antara batas atas dan batas bawah batas kelas. Misalnya lebar interval kelas 60-62 adalah 62.5–59.5 = 3. 4. Tanda kelas atau nilai tengah adalah titik tengah interval kelas. Ia diperoleh dengan cara membagi dua jumlah dari limit bawah dan limit atas suatu interval kelas. Contoh tanda kelas untuk kelas interval 66-68 adalah 66+68 2 = 67
Berikut langkah-langkah untuk membuat tabel distribusi frekuensi: 1. Menentukan data terbesar dan data terkecil, kemudian tentukan range atau jangkauan. (J = Xmaks – Xmin) 2. Menentukan banyaknya kelas (k = 1+ 3,3 log n ) 3. Menentukan panjang kelas atau lebar interval kelas! ( = ) 4. Menentukan kelas intervalnya. 5. Membuat table distribusi frekuensi data kelompok. Contoh Soal Kepala sekolah SMA kreatif ingin mengevaluasi hasil belajar siswa dan meminta guru untuk memberikan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap siswa kelas XI dinyatakan sebagai berikut. 90 81 75 73 69 65 65 69 72 75 81 89 88 79 74 72 69 64 64 69 72 74 77 87 85 82 82 82 81 81 75 75 76 76 77 77 74 74 73 73 73 73 72 72 71 70 70 70 66 67 67 68 68 68 62 62 62 61 60 59 Guru berencana menyederhanakan data Tunggal tersebut menjadi bentuk data berinterval dan membuat statistiknya. Hal ini dilakukan untuk mengefisienkan laporan evaluasi hasil belajar siswa. Bantulah guru tersebut untuk menyusun laporannya! Alternatif Penyelesaian. 1. Menentukan data terbesar dan data terkecil, kemudian tentukan range atau jangkauan. Data terbesarnya adalah 90 dan data terkecilnya adalah 59 J = Xmaks – Xmin = 90-59 = 31 2. Banyak kelas: k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 60 = 1+ 3,3(1,7782) = 6,8681 ≈ 7 3. Panjang kelas: = = 31 7 = 4,43 ≈ 5 4. Kelas intervalnya dapat dinyatakan sebagai berikut. Kelas 1: 59-63 Kelas 2: 64-68 Kelas 3: 69-73 Kelas 4: 74-78 Kelas 5: 79-83 Kelas 6: 84-88 Kelas 7: 89-93 5. Dari hail pengolahan data diatas dapat dinyatakan dalam bentuk table berikut. Nilai Frekuensi 59-63 6 64-68 10 69-73 18 74-78 13 79-83 8 84-88 3 89-93 2 60 B. Histogram Dan Poligon Histogram dan poligon frekuensi merupakan representasi grafik untuk distribusi frekuensi. Histogram berupa sekumpulan persegi panjang dengan: 1. Alas pada sumbu X, pusat alasnya adalah tanda kelas dan lebar alasnya adalah lebar kelas interval. 2. Tinggi merupakan frekuensi pada kelas yang bersangkutan.
Poligon frekuensi grafik garis yang mengaitkan frekuensi kelas dengan tanda kelas. Ia dapat digambarkan dengan menghubungkan garis lurus yang melalui titik-titik pasangan frekuensi kelas dan titik tengah (tanda) interval kelas. Contoh Soal Diketahui data nilai matematika kelas XI SMK Merdeka. Ubahlah tabel distribusi frekuesni tersebut menjadi bentuk histogram dan poligon. Nilai Frekuensi 59-63 6 64-68 10 69-73 18 74-78 13 79-83 8 84-88 3 89-93 2 60 Jawaban UKURAN PEMUSATAN DATA Dalam pembicaraan sehari-hari kita sering mendengar teman kita atau orang lain mengatakan kalimat-kalimat pernyataan seperti: • Anak sekolah rata-rata masuk sekolah sebelum pukul 07.00 WIB. • Rata-rata orang menonton sinetron pada jam 8 sesudah makan malam. • Rata-rata peserta didik lebih menyukai pelajaran olahraga. Pertanyaan kemudian adalah apakah memang benar yang dimaksud “rata-rata” pada kalimatkalimat itu menunjukkan arti “rata-rata” yang dimaksud dalam ilmu statistika?. Bukankah “rata-rata” dalam kalimat itu bisa diganti dengan kata “kebanyakan”?. Kata “kebanyakan” yang dalam ketiga pernyataan tersebut dikatakan “rata-rata” diartikan sebagai “modus” yang dalam statistika merupakan data yang paling sering muncul. Pernyataan-pernyataan di atas walaupun tidak menggunakan istilah yang benar dalam statistika, namun sudah sangat familiar dituturkan oleh masyarakat. Hal ini menunjukkan bahwa ukuran pemusatan data sangat banyak aplikasinya dalam kehidupan nyata kita seharihari. Pengertian Ukuran Pemusatan Data 0 5 10 15 20 59-63 64-68 69-73 74-78 79-83 84-88 89-93 Histogram 0 5 10 15 20 59-63 64-68 69-73 74-78 79-83 84-88 89-93 Poligon
Ukuran pemusatan dari sekumpulan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut. Suatu kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi pada suatu nilai pemusatan. Ada tiga ukuran pemusatan data yang biasa digunakan, yaitu rataan (mean), median, dan modus. A. Mean (Rata-rata) Mean dari sebuah kumpulan data adalah bilangan yang diperoleh dengan mendistribusikan secara merata ke seluruh anggota dari kumpulan data. Menghitung Mean yaitu dengan cara menambahkan seluruh nilai data dan membagi dengan total banyaknya data. 1. Mean Data Tunggal Jika ada data 1, 2, 3, … … , , maka rata-rata data tersebut adalah: ̅= 1+2+ 3+ ……+ Atau ̅ = ∑ Dimana: x̅ adalah , dibaca x bar ∑ x menyatakan jumlah total data n menunjukkan banyaknya data Contoh Soal Tentukan rata-rata dari data 4, 7, 3, 8, 5, 9, 5 Alternatif Penyelesaian. Diketahui : n = 7 data : 4, 7, 3, 8, 5, 9, 5 Ditanya : x̅? Dijawab : ̅= ∑ ̅= 4+7+3+8+5+9+5 7 ̅= 41 7 ̅= 5, 86 Jadi, rataan hitung data tersebut adalah 5, 86 2. Mean Data Kelompok Rata-rata hitung untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut. ̅= ∑ ∑ ; = 1, 2, 3, . . . Keterangan: x̅ = rataan hitung atau rata − rata xi = nilai tengah kelas ke − i fi = frekuensi kelas ke − i Langkah-langkah menentukan rataan hitung data berkelompok menggunakan nilai tengah interval: 1) Tentukan nilai tengah xi xi = 1 2 (batas bawah interval kelas ke − i + batas atas interval kelas ke − i) 2) Tentukan
3) Tentukan ∑ 4) Tentukan ∑ 5) Hitung rataan data dengan rumus: ̅= ∑ ∑ Contoh Soal Diberikan data skor siswa suatu kelas sebagai berikut: Skor Banyak Siswa 40-49 1 50-59 4 60-69 8 70-79 14 80-89 10 90-99 3 Rataan hitung dari data tersebut adalah … Alternatif Penyelesaian. Skor Banyak Siswa xi 40-49 1 44,5 44,5 50-59 4 54,5 218 60-69 8 64,5 516 70-79 14 74,5 1043 80-89 10 84,5 845 90-99 3 94,5 283,5 ∑ 40 2950 ̅= ∑ ∑ = 2950 40 = 73,75 Jadi, rataan skor siswa adalah 73,75 Selain cara diatas ada cara lain untuk menghitung rata-rata yaitu dengan menggunakan rata-rata sementara. rumus rata-rata dengan rataan sementara adalah: ̅= + ∑ =1 ∑ =1 Keterangan : xs = rata − rata sementara di = deviasi atau simpangan terhadap rata − rata fi = frekuensi interval kelas ke − i xi = nilai tengan interval kelas ke − i Contoh Soal Diberikan data skor siswa suatu kelas sebagai berikut: Skor Banyak Siswa 40-49 1 50-59 4 60-69 8 70-79 14 80-89 10 90-99 3
Rataan hitung dari data tersebut adalah … Alternatif Penyelesaian. Rataan hitung dari data tersebut adalah … Penyelesaian Skor Frekuensi ( ) = − =74,5 40-49 1 44,5 -30 -30 50-59 4 54,5 -20 -80 60-69 8 64,5 -10 -80 70-79 14 74,5 0 0 80-89 10 84,5 10 100 90-99 3 94,5 20 60 ∑ 40 -30 ̅= + ∑ =1 ∑ =1 = 74,5 + (−30) 40 = 74,5 − 0,75 = 73.5 Jadi, rataan skor siswa adalah 73,75 B. Modus Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi. 1. Modus Data Tunggal Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan memeriksa atau mencari mana diantara data yang ada yang memiliki frekuensi yang paling banyak. Sekelompok data Tunggal yang telah diurutkan: 20 20 20 30 30 30 30 30 40 40 50 50 50 60 60 70 70, mempunyai modus 30 karena 30 muncul 5 kali, sedangkan yang lain kurang dari 5 kali. 2. Modus Data Kelompok Modus untuk data berkelompok atau data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat dihitung dengan rumus berikut: Mo = Tb + d1 d1 + d2 . p Keterangan: Tb = Tepi bawah kelas modus d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya p = panjang kelas interval Contoh Soal Tentukan modus dari data berat badan 50 orang siswa SMK Merdeka pada tabel berikut. Nilai Frekuensi 31-35 4 36-40 6 41-45 9 46-50 14 51-55 10 56-60 5 61-65 2
Alternatif Penyelesaian Letak Modus pada kelas interval : 46-50 Tepi bawah kelas modus: Tb = 46 - 0,5 = 45,5 Panjang kelas : 5 d1 = 14 − 9 = 5 d2 = 14 − 10 = 4 Sehingga diperoleh modus adalah: Mo = Tb + d1 d1+d2 . p Mo = 45,5 + 5 5 + 4 . 5 Mo = 45,5 + 5 9 . 5 Mo = 45,5 + 2,78 Mo = 48,28 Jadi, modus berat badan siswa SMK Merdeka adalah 48,28 kg C. Median Median adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar. 1. Median Data Tunggal Misalkan terdapat data 1, 2, 3, … … , dengan 1 < 2 < 3 <. . . < maka media data tersebut adalah: = +1 2 ; = 1 2 ( 2 + 2 +1 ) ; Contoh Soal Tentukan median dari data: 2, 4, 3, 3, 7, 2, 6, 12, 8 Alternatif Penyelesaian Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar yaitu: 2, 2, 3, 3, 4, 6, 7, 8, 12 n = 9 (ganjil) Me = X9+1 2 Me = X5 Me = Data ke − 5 Me = 4 2. Median Data Kelompok Median untuk data berkelompk dirumuskan sebagai berikut. = + ( 1 2 − ). Keterangan: Tb = Tepi bawah kelas median fk= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median fm = frekuensi kelas yang memuat median p = panjang kelas interval Contoh Soal
Tentukan median dari data berat badan 50 orang siswa SMK Merdeka pada tabel berikut. Nilai Frekuensi Frekuensi kumulatif 31-35 4 4 36-40 6 10 41-45 9 19 46-50 14 33 51-55 10 43 56-60 5 48 61-65 2 50 Alternatif Penyelesaian Banyak data: n = 50 Letak Median: 2 = 50 2 = 25 Kelas interval yang memuat median = 46 – 50 Frekuensi kumulatif sebelum kelas median: fk = 19 Tepi bawah kelas median: Tb = 46 − 0,5 = 45,5 p = 5 frekuensi kelas median: fm= 14 Me = 45,5 + ( 1 2 .50−19 14 ) . 5 Me = 45,5 + ( 25 −19 14 ) . 5 Me = 45,5 + ( 6 14) . 5 Me = 45,5 + 2,14 Me = 47,64 UKURAN LETAK DATA Selain ukuran pemusatan data, ada juga ukuran letak data yang masih merupakan salah satu pengukuran data dalam statiska. Jika pada ukuran pemusatan data terdapat median, mean dan modus. Pada ukuran letak data terdapat kuartil, desil dan persentil. Untuk menentukan nilai ukuran letak data, data harus kita urutkan terlebih dahulu dari data nilai yang paling kecil ke data yang lebih besar. A. Kuartil Kuartil adalah titik atau ekor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar ( 1 4 ). Kuartil dilambangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). 1. Kuartil Data Tunggal Langkah-langkah menentukan kuartil data Tunggal 1. Urutkan data dari terkecil sampai data terbesar. 2. Menentukan letak kuartil 3. Menentukan nilai kuartil Rumus menentukan letak kuartil ke-i (Qi) data tunggal ganjil: = 4 ( + 1) Rumus menentukan letak kuartil ke-i (Qi) data tunggal genap: = 1 4 (. + 2) Keterangan: = (1, 2, 3) = 1, 2, 3 = Note: Jika letak kuartil ke-i yang diperoleh bukan nilai asli, maka untuk menentukan nilai diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika kuartil terletak pada urutan k dan k+1 dimana d adalah bagian desimal dari nilai urutan tersebut maka nilai kuartilnya adalah:
Rumus menentukan nilai kuartil ke-i (Qi) data tunggal: = + (+1 − ) Contoh Soal kuartil data tunggal n ganjil Diketahui Nilai ulangan matematika 15 siswa sebagai berikut: 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5 Tentukan letak dan nilai kuartil Q1, Q2, Q3 ! Alternatif Penyelesaian Langkah pertama mengurutkan data 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9 n = 15 4 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Menentukan letak Q1 , Q2, Q3 dan Menentukan nilai Q1 , Q2, Q3 a. 1 = 1 4 (15 + 1) = 16 4 = 4 1 = 4 = 5 b. 2 = 2 4 (15 + 1) = 32 4 = 8 2 = 8 = 6 c. 3 = 3 4 (15 + 1) = 48 4 = 12 3 = 12 = 8 Contoh Soal kuartil data tunggal n genap: Diketahui data: 2, 3, 5, 10, 7, 2, 2, 8 Tentukan letak dan nilai kuartil Q1, Q2, Q3 ! Alternatif Penyelesaian Langkah pertama mengurutkan data 2, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 10 n = 8 2 2 2 3 5 7 8 10 2 3 4 5 6 7 8 Menentukan letak Q1 , Q2, Q3 dan Menentukan nilai Q1 , Q2, Q3 a. 1 = 1 4 (1(8) + 2) = 10 4 = 2,25 1 = + (+1 − ) b. 2 = 1 4 (2(8) + 2) = 32 4 = 8 2 = 8 = 6 c. 3 = 1 4 (3(8) + 2) = 48 4 = 12 3 = 12 = 8 2. Kuartil Data Kelompok Rumus = + 4 − × p Keterangan: Qi = Kuartil ke-i dengan i = 1, 2, 3 Tb = Tepi bawah kelas yang memuat Qi fkQi= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat Qi
fQi = frekuensi kelas yang memuat Qi p = panjang kelas interval Seperti halnya median, sebelum menggunakan rumus tentukan dahulu kelas yang memuat Qi yaitu kelas yang memuat data ke- ( 4 ) Contoh Soal Tentukan Q1, Q2,Q3 dari data berikut! Nilai Frekuensi Frekuensi kumulatif 57-59 2 2 60-62 7 9 63-55 10 19 66-68 12 31 69-71 8 39 72-74 3 42 75-77 2 44 Alternatif Penyelesaian Banyak data: n = 44 Q1 = 1 4 = 1 4 . 44 = 11 Q1 ℎ − 11 63 − 65 1 = + 1 4 −1 1 × p 1 = 62,5 + 11−9 10 × 3 1 = 62,5 + 0,6 = 63,1 Jadi, nilai 1 adalah 63,1 Q2 = 2 4 = 2 4 . 44 = 22 Q2 ℎ − 22 66 − 68 2 = + 2 4 −2 2 × p 2 = 65,5 + 22−19 12 × 3 2 = 65,5 + 0,75 = 66,25 Jadi, nilai 2 adalah 66,25 Q3 = 3 4 = 3 4 . 44 = 33 Q3 ℎ − 33 69 − 71 3 = + 3 4 −3 3 × p 3 = 68,5 + 33−31 8 × 3 2 = 68,5 + 0,75 = 69,25 Jadi, nilai 3 adalah 69,2 B. Desil Desil membagi data yang berurutan dari data terkecil sampai data terbedar menjadi 10 bagian yang sama banyak, sehingga diperoleh sembilan pembagi dan setiap pembagi dinamakan desil, yaitu 1,2, 3, … … ,9 . Menentukan desil dari data yang terurut prosedurnya sama seperti menentukan kuartil, hanya saja 4 diganti dengan 10 . 1. Desil Data Tunggal = 10 ( + 1) Jika letak desil ke-i yang diperoleh bukan nilai asli, maka untuk menentukan nilai diperlukan pendekatan interpolasi linear.
Jika desil terletak pada urutan k dan k+1 dimana d adalah bagian desimal dari nilai urutan tersebut maka nilai desilnya adalah: Rumus menentukan nilai desil ke-i (Di) data tunggal: = + (+1 − ) Contoh Soal Tentukan 7 dari data: 6, 5, 8, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 7, 8, 5, 8, 4, 5 Alternatif Penyelesaian Mengurutkan data: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9 Letak Di = i 10 (n + 1) Letak D7 = 7 10 (15 + 1) = 112 10 = 11,2 Nilai Di = Xk + d(XK+1 − Xk) Nilai D7 = X11 + 0,2 (X12 − X11) Nilai D7 = 8 + 0,2 (8 − 8) = 8 2. Desil Data Kelompok Desil untuk data kelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut. = + 10 − × p Keterangan: Di = Desil ke-i dengan i = 1, 2, 3, …., 9 Tb = Tepi bawah kelas yang memuat Di fkDi= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat Di fDi = frekuensi kelas yang memuat Di p = panjang kelas interval Contoh Soal Tentukan D4 dari data berikut! Nilai Frekuensi Frekuensi kumulatif 86-92 3 3 93-99 7 10 100- 106 14 24 107- 113 10 34 114- 120 6 40 Alternatif Penyelesaian Banyak data: n = 40 D4 = 10 = 4 10 . 40 = 16 D4 ℎ − 16 100 − 106 4 = + 1 10 −4 4 × p 4 = 99,5 + 16−10 14 × 7 4 = 99,5 + 3 = 102,5 Jadi, nilai 4 adalah 102,5 C. Persentil Persentil membagi data yang berurutan dari data terkecil sampai data terbedar menjadi 100 bagian yang sama banyak, sehingga diperoleh sembilan pembagi dan setiap pembagi
dinamakan persentil, yaitu P1, P2, P3, … … , P99 . Menentukan persentil dari data yang terurut prosedurnya sama seperti menentukan kuartil, hanya saja 4 diganti dengan 100 . 1. Persentil Data Tunggal = 4 ( + 1) Jika letak persentil ke-i yang diperoleh bukan nilai asli, maka untuk menentukan nilai diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika persentil terletak pada urutan k dan k+1 dimana d adalah bagian desimal dari nilai urutantersebut maka nilai persentilnya adalah: Rumus menentukan nilai persentil ke-i (Pi) data tunggal: = + (+1 − ) Contoh Soal Tentukan 7 dari data: 6, 5, 8, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 7, 8, 5, 8, 4, 5 Alternatif Penyelesaian Mengurutkan data: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9 Letak Pi = i 100 (n + 1) Letak P7 = 7 100 (15 + 1) = 112 1o0 = 1,12 Nilai Pi = Xk + d(XK+1 − Xk) Nilai P7 = X1 + 0,12 (X2 − X1) Nilai P7 = 4 + 0,12 (4 − 4) = 4 2. Persentil Data Kelompok Persentil untuk data kelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut. = + 100 − × p Keterangan: Pi = Desil ke-i dengan i = 1, 2, 3, …., 99 Tb = Tepi bawah kelas yang memuat Di fkPi= frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat Pi fPi = frekuensi kelas yang memuat Pi p = panjang kelas interval Contoh Soal Tentukan P19 dari data berikut! Nilai Frekuensi 23-27 3 28-32 10 33-37 16 38-42 30 43-47 20 48-52 16 53-57 5 Alternatif Penyelesaian Banyak data: n = 100 P19 = 100 = 19 100 . 100 = 19 P19 ℎ − 19 33 − 37 19 = + 1 100 −19 19 × p 19 = 32,5 + 19−13 16 × 5
19 = 32,5 + 1,875 = 34,375 Jadi, nilai 19 adalah 34,375 UKURAN PENYEBARAN DATA Ukuran penyebaran menunjukkan perbedaan antara data yang satu dan data yang lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. A. Rentang Data atau Jangkauan Jangkauan merupakan ukuran penyebaran data yang paling mudah ditentukan. Caranya yaitu dengan mengurangi nilai data terkecil terhadap data terbesar. Untuk data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai Tengah kelas tertinggi dan data terendah diambil dari nilai Tengah kelas yang terendah. Jangkauan dapat dirumuskan sebagai berikut. R = Xmaks − Xmin B. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil merupakan ukuran penyebaran data yang ditentukan dengan melihat penyebaran dari kuartil data tersebut. Rumus dari simpangan kuartil adalah sebagai berikut. Simpangan kuartil: Qd = 1 2 (Q3 − Q1) C. Simpangan Rata-Rata Simpangan rata-rata adalah ukuran penyebaran yang mengukur penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai meannya. 1. Simpangan Rata-Rata Data Tunggal 2. Simpangan rata-rata untuk data tunggal dihitung dengan menggunakan rumus. SR = ∑ |xi − x̅| n i=1 n Contoh Soal Tentukan simpangan rata-rata dari data: 2,1,4,2,6 Alternatif Penyelesaian Menentukan rata-rata terlebih dahulu. ̅ = ∑ ̅ = 2 + 1 + 4 + 2 + 6 5 ̅ = 15 5 = 3 SR = ∑ |xi − x̅| n i=1 n SR = |2−3|+|1−3|+|4−3|+|2−3|+|6−3| 5 SR = 1 + 2 + 1 + 1 + 3 5 SR = 8 5 SR = 1,6 3. Simpangan Rata-Rata Data Kelompok Simpangan rata-rata untuk data kelompok dihitung dengan menggunakan rumus. = ∑ | − ̅| ∑ Keterangan: xi = nilai tengah kelas i
fi = frekuensi data kelas i x̅ = mean (rata − rata) ∑fi = banyak data Contoh Soal Tentukan simpangan rata-rata data berikut! Nilai Frekuensi 48-52 1 53-57 2 58-62 5 63-67 6 68-72 4 73-77 2 Alternatif Penyelesaian Nilai | − ̅| | − ̅| 48-52 1 50 50 14 14 53-57 2 55 110 9 18 58-62 5 60 300 4 20 63-67 6 65 390 1 6 68-72 4 70 280 6 24 73-77 2 75 150 11 22 20 1280 104 Mencari nilai rata-rata ̅ = ∑ ∑ = 1280 20 = 64 Mencari nilai simpangan rata-rata = ∑ |−̅| ∑ = 104 20 = 5,2 D. Ragam/Varian dan Simpangan Baku 1. Ragam dan Simpangan Baku Data Tunggal Ragam: S 2 = ∑ (xi−x̅) n 2 i=1 n Simpangan baku:S = √S 2 = √ ∑n (xi−x̅)2 i=1 n Contoh Soal Tentukan ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13 Alternatif Penyelesaian Banyak data: n = 8 Mencari nilai rata-rata: ̅ = ∑ ̅ = 1+3+4+5+8+10+12+13 8 ̅ = 56 8 = 7 Mencari nilai ragam: S 2 = ∑ (xi − x̅) n 2 i=1 n S 2 = (1−7) 2+(3−7) 2+(4−7) 2+(5−7) 2+ (8−7) 2+(10−7) 2+(12−7) 2+(13−7) 2 8 S 2 = 36+16+9+1+9+25 8 S 2 = 136 8 = 17 Mencari nilai simpangan baku: S = √S 2 = √17 = 4,12
2. Ragam/Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok Ragam dari data berdistribusi dirumuskan sebagai berikut. S 2 = ∑ ( − ̅) 2 n Simpangan baku merupakan akar dari ragam dirumuskan sebagai berikut. = √S 2 = ∑ ( − ̅) 2 n Contoh Soal Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut. Nilai Frekuensi 52-56 5 57-61 8 62-66 13 67-71 10 72-76 4 Alternatif Penyelesaian Nilai Frekuensi Titik Tengah − ̅ ( − ̅) 2 ( − ̅) 2 52-56 5 54 270 -10 100 500 57-61 8 59 472 -5 25 200 62-66 13 64 832 0 0 0 67-71 10 69 690 5 25 250 72-76 4 74 296 10 100 400 jumlah 40 2560 1350 Rata-rata: ̅ = ∑ ∑ = 2560 40 = 64 Ragam: S 2 = ∑ (−̅) 2 n = 1350 40 = 33,75 Simpangan baku: = √33,75 = 5,81