Domaain

ความสมั พนั ธแ์ ละฟงก์ชนั

โดเมน และ เรนจ์

Domain and Range

คาํ นาํ

หนังสอื อเิ ลก็ ทรอนิกส(E-BOOK) นจ้ี ัดทําขนึ้ เพ่ือประกอบ
การเรยี นการสอนในรายวิชาคณติ ศาสตร เรอ่ื งโดเมนและ
เรนจของความสัมพันธ ผูจ ดั ทาํ ไดรวบรวมเนือ้ หาและ
ตวั อยางโจทยเ พื่อใหผ อู า นไดม คี วามรูแ ละความเขา ใจใน
เรือ่ งโดเมนและเรนจม ากยงิ่ ขน้ึ นาํ เสนอในรปู แบบทน่ี า
สนใจเพอื่ ประกอบการเรยี นรูไดด ยี ิง่ ขน้ึ

ผจู ัดทาํ หวงั อยางย่ิงวาจะเปน ประโยชนแ กผ ูอา นและผู
สนใจไดไ มม ากก็นอย

ผจู ดั ทาํ
น.ส.ภทั รนนั ท นาคราชา

สารบญั 1

บทนิยามโดเมนจและเรนจ 3
4
การหาโดเมนและเรนจ 6
การหาโดเมน 9
การหาเรนจ 9
10
ตวั อยา งโจทย 11
ตวั อยางท่ี1 12
ตัวอยา งท2่ี 13
ตวั อยา งที่3 14
ตวั อยางท่4ี 16
ตวั อยา งที่5 17
ตัวอยา งที่6 18
ตวั อยา งท7่ี
ตัวอยางที่8
ตวั อยา งที่9

โดเมนกับเรนจ์
คืออะไร

การหาโดเมนและเรนจของฟง กชัน สามารถหาได
โดยนยิ ามของโดเมนและเรนจของฟง กช ันน้ัน และ
การพจิ ารณาคาของตวั แปร x กบั ตวั แปร y ในฟงกชนั

บทนิยาม โดเมนของฟง กชนั คือเซตของสมาชิก
ตวั หนาในคูอนั ดับของฟง กช ัน fเขียนแทนดว ย Df

เรนจข องฟง กช นั คอื เซตของสมาชิกตัวหลังในคู
อนั ดับของฟงกชนั f เขียนแทนดวย Rf

1

ตัวอยางที่ 1
กาํ หนด f = {(2, 7), (4, 9), (6, 11), (8, 13)}

จงหาโดเมนและเรนจของฟง กชัน f
วิธีทํา จาก f = {(2, 7), (4, 9), (6, 11), (8, 13)}
จะได Df = {2, 4, 6, 8} Rf = {7, 9, 11, 13}

2

การหาโดเมนและ
เรนจ์ของฟงก์ชนั

1.การหาโดเมนและเรนจของฟงกช ัน เม่ือกาํ หนด
ฟง กชนั แบบแจกแจงสมาชิก การหาโดเมนและเรนจ
ของฟงกชัน จะอาศยั บทนิยามดงั ตวั อยางที่ 1

2.การหาโดเมนและเรนจของฟงกช ัน เม่อื กําหนด
ฟงกช นั แบบบอกเงอื่ นไข

3

การหาโดเมน

2.1 การหาโดเมน
การหาโดเมนเพือ่ ความสะดวกเราควรเขยี นฟง กช นั

ใหอ ยใู นรูปของ y = เทอมของ x
เชน เปนตน

หลังจากน้ัน ใหพิจารณาดวู า ภายในเซตท่ีกําหนด
ใหx มคี าอะไรไดบางทที่ าํ ใหหาคา y ได โดยท่yี นน้ั ตอ ง
อยูภายในเซตทีก่ ําหนดใหค า x ของ x เหลานั้นจะเปน
สมาชิกของโดเมน

4

∈ตัวอยา งท่ี 2

กาํ หนดให f = {(x, y) R x R | y = 2x + 1} จงหา
โดเมนของ f

วธิ ที าํ จาก y = 2x + 1 พบวาทุก ๆ คา ของ x ที่
เปนจํานวนจรงิ เราสามารถหาคาของ y ทเ่ี ปน

∴ ∈จาํ นวนจริงและสอดคลอ งกับ f ไดเ สมอ
Df = {x | x R} = R

5

การหาเรนจ์

2.2 การหาเรนจ
การหาเรนจมีหลักการเชนเดยี วกบั การหาโดเมน ตา ง
กัน ทีว่ า แทนทเี่ ราจะหาคา xก็เปลี่ยนมาเปน คา y และ
พจิ ารณาวา y มคี าเปนอะไรไดบ างทสี่ อดคลอ งกับ
เง่อื นไขทีก่ าํ หนดใหดงั น้ัน เราจงึ ควรเขยี นเงื่อนไขดงั
กลาวใหอยใู นรปู x = เทอมของ yแลว พิจารณาคา y
โดยใชห ลกั การเชนเดียวกบั การหาโดเมน

6

∈ตัวอยางท่ี 3

กาํ หนดให f = {(x, y) R x R | y = 2x + 1}
วธิ ที าํ จากเงอื่ นไขที่กาํ หนดใหต องทําใหอ ยูในรูป

x = เทอมของ y
จาก y = 2x + 1

2x = y – 1
X=

แลว พิจารณาคา y จะพบวา ทุก ๆ คา ของ y ท่ีเปน
จริงสามารถหาคา x ท่ีเปน จํานวนจริงและสอดคลอ ง

∈กบั สมการดงั กลาวไดเ สมอน่นั คอื

Rf = {y | y R} = R

7

∈ตวั อยา งที่ 4

กําหนด f = {(x, y) R x R | y = 4 – x 2 } จงหา
โดเมนและเรนจข อง f
วิธที ํา โดเมน ; จาก y = 4 – x2
พบวา ทกุ ๆ คา ของ x ท่ีเปน จํานวนจรงิ เราสามารถ
หาคาของ y ทเ่ี ปน จาํ นวนจริง และ สอดคลองกับ f ได

∴ ∈เสมอ
Df = {x | x R} = R
เรนจ; จาก y = 4 – x2 เขยี นใหอยูในรูป x = เทอม
ของ y ไดดงั นี้
จาก y = 4 – x2

X2 = 4 – y

8

ตวั อย่างโจทย์

ตัวอยางท่ี 1
ให จงหา Dm และ Rm
วิธที ํา จากโจทยเซต m เปนการเขยี นเซตในรูปแบบการ
บอกเง่อื นไขเพอื่ ความชดั เจน เราตอ งเปล่ียนรปู แบบของ
เซตใหมโดยเปลยี่ นจากแบบเง่อื นไข ใหอ ยใู นรูปแบบ
แจกแจงสมาชกิ จงึ ไดวา
m={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),...} ดงั นน้ั จงึ ไดวา
Dm={1,2,3,4,5,6,7,8,....}
Rm={1,2,3,4,5,6,7,8,...}

9

ตวั อยางที่ 2

∈ ∈ให n={(x,y) I×I |y=x2}N={(x,y) I+×I+ |y=x2}

จงหาDN และ RN
วธิ ีทาํ จากโจทยเซต N เปนเซตท่ีเขียนในรปู แบบบอก
เง่ือนไข เพ่ือความชัดเจน เราตองเขียนเซตน้ีใหม โดย
เขียนใหอยูในรปู แบบแจกแจงสมาชิก ดจู ากเง่อื นไขใน
เซต(เอ็กซเทา กับวายยกกาํ ลังสอง)
จึงไดว า
n={(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),
(8,64),...}
Dn={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
Rn={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...}

10

∈ตวั อยางที่3

ให L={(x,y) {0,1,2,3,}×{1,2,3,4}|y=x−1} จงหา
DL และ RL
วิธีทาํ {0,1,2,3}×{1,2,3,4}={(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),
(3,2),(3,3),(3,4)}
ตอไปกด็ ูวา คอู ันดับตัวไหนทเ่ี ปน ไปตามเง่อื นไข y=x−1
บางก็จะมี(2,1),(3,2)
ดงั นัน้ จงึ ไดว าL={(2,1),(3,2)}
ดังนัน้ DL={2,3} RL={1,2}

11

ตัวอยางท่ี4

∈ใหA ={−3,−2,−1,0,1,2,3}และกาํ หนดใหค วามสัมพนั ธ

r ใน A คือ {(x,y) A×A |y=x2} จงหาโดเมนและ
เรนจของความสมั พันธนี้
วธิ ีทาํ วิเคราะหโ จทยก อ น เขาใหห าความสัมพนั ธ r ใน
A โดยท่สี มาชิกในr นน้ั ตองมีสมบตั เิ ปน ดังน้คี ือ y=x2
ความหมายกค็ อื เอาเอก็ ซยกกาํ ลงั สองแลว ไดเทากับ
วาย จะเห็นวาถา มีคอู นั ดับ (0,0) จะเหน็ วา x=0 และ
y=0 เชนกนั เอก็ ซย กกําลังสองจะเทากับวาย เพราะ
0=02หรือถามคี ูอันดับ (-1,1) จะเหน็ วา x=-1 และ

∈y= 1 เอก็ ซก าํ ลังสองจะเทา กับวาย เพราะ 1=(−1)2
r={(x,y) A×A| } r={(0,0),(−1,1),(1,1)}
นค้ี ือสมาชิกในความสมั พนั ธ r
ดงั น้นั หาโดเมนและเรนจข อง r คอื
Dr={0,−1,1} Rr={0,1}

12

ตัวอยางท5ี่

กาํ หนดให จงหาโดเมนและเรนจข อง s

วิธที าํ วิเคราะหโจทย จากเงอื่ นไขทใ่ี หม าคอื

โดเมนหาจากคา ของ x จะเหน็ วา x ตดิ อยขู า งในรทู ซึง่ ขา งในรทู ติดลบไมได

ดังนั้นเราจะไดว า คือตองมากกวาเทากับ 0

หามติดลบ อะไรกําลงั สองแลว มคี า นอ ยกวา เทา กบั 16

∈ดังนน้ั x [−4,4] ดงั นัน้ Ds={x|−4≤x≤4}=[−4,4]เรนจ กค็ อื หาคา y

การหาคา y เอาคา x ทเี่ ราไดมาไปแทนในเงอ่ื นไขน้ี y=

แทน x=-4 y=0

แทน x=4 y=0

แทน x=0 y=4

แทน x=1 y=3.8

แทน x=3 y=2.4

จากตรงน้ีสังเกตใหเหน็ วา ไมวาเราจะเอา x ท่ไี ดมาจากการหาโดเมนมาแทน

จะไดค า เรนจอยูในชว งน้ีคือ 0≤y≤4 เสมอดงั นน้ั Rs={y|0≤y≤4}= [0,4]

13

ตวั อยา งท่6ี
จงหาโดเมนและเรนจข องความสมั พนั ธ r={(x,y)|y=
วธิ ที าํ วิเคราะหโจทยจ ะเห็นวาเง่ือนไขท่ใี หมาคอื
เปน เศษสวนตัวสว นหามเปน 0เดด็ ขาด ดังน้นั เราจงึ
ไดวา x−2≠0 สว นตองไมเ ทา กับ 0
x≠2 จากตรงน้เี ราจงึ ไดว า Dr={x|x≠2} ก็คือโดเมน
เปนจาํ นวนจรงิ เลขอะไรกไ็ ดทีไ่ มใชเลข 2

หาเรนจกค็ อื หา y วิธกี ารหาของเรนจทีน่ ยิ มทาํ กันก็
คอื จัดรูปเงอื่ นไขสมการท่โี จทยใหมาใหอยูในรปู ของ x
เทากบั เทอมyจากเง่อื นไข

14

สมการเงือ่ นไขอยใู นรูป x เทากบั เทอมyแลวตอ ไปก็หา
วา แทน y ดว ยเลขอะไรไดบางจงึ ทาํ ใหคา คํานวณหาคา
x ออกมาได จะเหน็ วา y เปนอะไรกไ็ ดยกเวน 0
เพราะสว นเปน 0 ไมไดดงั นั้นเรนจค ือจํานวนจริงใดๆ
ยกเวนเลข 0
Rr=R−{0}

15

ตัวอยา งที7่
จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพนั ธ r={(x,y)|y=|x|}
วิธีทาํ ขอน้ีจะเหน็ วาเง่ือนไขตดิ คา สัมบรู ณ ซง่ึ
คาสมั บรู ณ จะมีคามากกวาหรือเทากบั ศนู ยเ สมอ ไม
ติดลบ

โดเมนของ r โดเมนก็คือ x จะเห็นวา x เปน ตวั
อะไรกไ็ ดด ังน้นั โดเมนของเซต r นีก้ ค็ ือจาํ นวนจริงใดๆ
นน่ั คอื Dr=R

สวนเรนจก ็คือคา y จะเหน็ วาถาเราใสตวั เลขลง
ไปใน x คาท่ไี ดออกมาจะมคี า เปนศนู ยหรอื ไมก็เปน
เลขบวกเสมอเพราะวาอยูขางในคา สมั บูรณ ดงั น้ัน คา
y หรือวาเรนจน ้ีจะมีคามากกวา เทากับศนู ยเสมอ น่ัน
คือRr=[0,∞)

16

ตัวอยา งท8ี่
จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ

วธิ ที าํ จากโจทยจ ะเหน็ วา มี x2 อยูดว ยซง่ึ เราจะเห็นได
วา x2≥0 เสมอก็คอื มีคา เปน ศูนยหรอื ไมก็บวก ไมมีทาง
ติดลบหาโดเมน โดเมนก็คอื คาของ x จะเหน็ ไดว า x เปน
ตัวเลขอะไรก็ได เปน ศนู ย เปน จํานวนจรงิ ลบ เปน
จาํ นวนจริงบวกอะไรก็ได ดงั นนั้ Dr=R
ตอ ไปหาคา ของเรนจห รือวา หาคาของy
พจิ ารณาจากทเ่ี รารู
X2≥0 เสมอ
X2+1≥0+1
X2+1≥1

∈y=x2+1≥1 จากบรรทดั นจ้ี ะเหน็ วา y มคี า มากกวา

เทา กับ 1 เสมอ หรือก็คอื y [1,∞)
ดงั น้นั Rr=[1,∞)

17

ตัวอยา งที่9

จงหาโดเมนและเรนจค วามสัมพนั ธของ

r={(x,y)| }

วิธีทํา วเิ คราะหโ จทยข อนี้จะเหน็ วา มรี ูท ดงั นน้ั ตัวท่อี ยู

ในรูทตอ งหา มติดลบนั่นคอื x2−4≥0x2−22≥0(x−2)

∈ ∪(x+2)≥0x (∞,−2) [2,∞)
∪ดังนัน้ Dr=(∞,−2) [2,∞)

ตอไปหาเรนจ จากที่เรารูวา

ดงั นัน้ ไดแลว คา y มคี ามากกวา เทากบั 0
ดงั นั้น Rr=[0,∞)

18