E-book Kelompok 1B

MATEMATIKA untuk SMK kelas X

Berdasarkan Kurikulum 2013 KI-KD 2017

Disusun oleh :

1. Aulia Nur Ramadhani
2. Azzahra Putri Agis Rahayu Puspita
3. Dela Yulianti
4. Fika Maulida Widianto
5. Frieza Amanda Virginia
6. Hilda Fikriyyah

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah senantiasa kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas ini
guna memenuhi laporan tugas kelompok untuk mata pelajaran SIMKOMDIG,
dengan judul "MATEMATIKA"

Materi pada buku ini disusun dan disesuaikan berdasarkan kurikulum 2013 KI-KD
2017 dengan menggunkan Bahasa yang komunikatif sehingga memudahkan untuk
dipahami oleh peserta didik. selain itu pada buku ini terdapat masalah-masalah
aplikatif yang disesuaikan dengan aplikasi dari materi yang dibahas dibuku ini
sehingga secara tidak langsung, peserta didik diharapkan dapat meningkatkan
pemahaman nya terhadap konsep-konsep matematika dan kemampuan serta
keterampilan dalam menyelesaikan suatu masalah.

Kami menyadari bahwa dalam penulisan laporan tugas ini tidak terlepas dari
bantuan banyak pihak yang telah memberikan saran, kritik sehingga tugas ini dapat
diselesaikan.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa tugas ini masih jauh dari sempurna dikarenakan
terbatasnya pengalaman dan pengetahuan yang kami miliki. Oleh karena itu kami
membutuhkan segala bentuk saran serta masukkan bahkan kritik yang membangun
dari berbagai pihak. Akhirnya kami berharap semoga laporan tugas ini dapat
memberikan manfaat bagi perkembangan dunia pendidikan.

Jakarta, Oktober 2021

Penulis

PENDAHULUAN

Matematika merupakan ilmu yang selalu diidentikan dengan segala sesuatu
yang bersifat abstrak, perhitungan, penalaran, menghafal rumus, keaktifan berfikir,
dan pemahaman pemahaman teorema yang digunakan sebagai dasar mata
pelajaran eskak lainnya. Di Sisi lain matematika merupakan bidang studi yang
dipelajari siswa dari SD sehingga jenjang perguruan tinggi dan matematika juga
digunakan sebagai bekal untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi.
Militer menjelaskan Matematika merupakan daerah kurikuler penting yang
mempengaruhi semua aspek dalam kehidupan individu termasuk pendidikan,
pekerjaan, kegiatan rekreasi, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Matematika
tidak hanya menjadi suatu pelajaran yang hanya dijumpai didalam proses
pembelajaran di sekolah dimana disitu siswa hanya menghafal rumus rumus yang
telah disediakan atau menemukan nilai dari suatu soal yang diberikan, namun
matematika dapat juga dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dimana matematika
memiliki peranan yang sangat penting didalam menyelesaikan suatu permasalahan
dalam kehidupannya sehari-hari misalnya saat membeli beberapa jumlah barang
dengan harga yang berbeda dibutuhkan perhitungan matematika untuk
menghitungnya, kemudian untuk menentukan waktu dibutuhkan jam dimana jam
terdiri dari angka angka dalam matematika. Dari sini terlihat bahwa matematika
memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………………………………………………………………………………………………………………………

PENDAHULUAN………………………………………………………………………………………………………………………….

DAFTAR ISI………………………………………………………………………………………………………………………………….

BAB 1 PERPANGKAT……………………………………………………………………………………………………………………

A. BILANGAN PBERPANGKAT………………………………………………………………………………………..
B. RUMUS-RUMUS PERPANGKATAN…………………………………………………………………………….

BAB II BENTUK AKAR…………………………………………………………………………………………………………………..

A. BENTUK AKAR…………………………………………………………………………………………………………..
B. AKAR PANGKAT DAN SUATU BILANGAN……………………………………………………………………
C. SIFAT – SIFAT BENTUK AKAR……………………………………………………………………………………..
D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR…………………………………………………………………………
E. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK AKAR……………………………………………………………………..
F. MERASIONALKAN BENTUK AKAR……………………………………………………………………………….

BAB III ALOGARITMA……………………………………………………………………………………………………………………

A. TUJUAN PEMBELAJARAN……………………………………………………………………………………………
B. PENGERTIAN ALOGARITMA……………………………………………………………………………………….
C. URAIAN MATERI…………………………………………………………………………………………………………
D. BENTUK UMUM ALOGARITMA…………………………………………………………………………………..
E. INDEX ALOGARITMA…………………………………………………………………………………………………..
F. SIFA-SIFAT ALOGARITMA……………………………………………………………………………………………
G. CONTOH SOAL ALOGARITMA…………………………………………………………………………………….
H. TABEL ALOGARITMA………………………………………………………………………………………………….

BAB IV BARIS DAN DERET…………………………………………………………………………………………………………….

A. PENGERTIAN BARIS DAN DERET………………………………………………………………………………….
B. POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN…………………………………………………………………
C. BARISAN DAN DERET…………………………………………………………………………………………………..
D. DERET GEOMETRI TAK HINGGA………………………………………………………………………………….

PENUTUPAN………………………………………………………………………………………………………………………………….

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………………………………………………………………..

BAB 1 PERPANGKATAN

A. Bilangan Berpangkat

Perpangkatan dalam matematika bisa diartikan sebagai pengulangan dari bilangan itu
sendiri. Jadi, bilangan berpangkat dua (kuadrat) adalah nilai perkalian sebuah bilangan dengan
bilangan dirinya sendiri. Bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika terdiri
dari: bilangan dengan pangkat bulat positif (bilangan asli), pangkat bulat negatif, pangkat nol,
pangkat rasional dan pangkat riil. Notasi pangkat digunakan untuk menuliskan hasil kali suatu
bilangan berulang dalam bentuk yang lebih sederhana. Seperti misalnya, kita memiliki tiga faktor
a yang sama, sehingga dapat menggunakan lambang a3 untuk menyatakan (a x a x a), dengan 3
dituliskan di sebelah kanan atas a yang dinamakan pangkat dari a dan menyatakan banyaknya
faktor a yang terulang, dapat ditulis a3 = a x a x a

B. Rumus-Rumus perpangkatan

1. Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang mempunyai pangkat/eksponen

positif. Bilangan berpangkat positif memiliki sifat-sifat tertentu, di mana terdiri dari a, b, bilangan
real m, n, yang merupakan bilangan bulat positif. Sifat-sifat bilangan berpangkat positif sebagai
berikut:

Contoh Soal :
Tentukan nilai dari pemangkatan berikut ini:
a. 34
b. (⅖)3
c. (-1)7
Jawaban:
a. 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
b. (⅖)3 = ⅖ x ⅖ x ⅖ = 8/125
c. (-1)7 = (-1) x (-1) x (-1) x (-1) x (-1) x (-1) x (-1) = -1

2. Bilangan Berpangkat Negatif
Tidak semua bilangan berpangkat bernilai positif, beberapa pangkat adalah bilangan bulat

negatif. Untuk bilangan berpangkat negatif berlaku sifat sebagai berikut:
Jika a ∈ R, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat negatif. Jika bilangan berpangkat bulat positif
memiliki pangkat yang merupakan positif, maka bilangan berpangkat negatif memiliki pangkat
yang negatif.
Jika a bilangan real, a ≠ 0, dan n bilangan bulat positif, maka

Contoh Soal :
Nyatakan bilangan berpangkat bulat negatif berikut ke bilangan berpangkat bulat positif.
Kemudian tentukan hasil pemangkatannya.
a. (-2)-5
b. 1/4-3
Jawaban :

3. Bilangan Berpangkat Nol
Selain bilangan berpangkat positif dan bilangan negatif, dalam matematika juga ada

bilangan berpangkat nol. Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa . Berdasarkan sifat

pembagian bilangan berpangkat positif dapat diperoleh . Sehingga sifat
untuk bilangan berpangkat nol adalah:

Jika a bilangan riil dan a tidak sama dengan 0, maka

Contoh Soal :
Jawaban :

BAB II BENTUK AKAR

A. Bentuk Akar

bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan termasuk ke dalam
bilangan rasional (Bilangan yang meliputi bilangan cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan
lain yang terkait) atau bilangan irasional (yakni bilangan yang hasil baginya tidak pernah
berhenti).

Bilangan rasional merupakan bilangan yang bukan bentuk akar.
Contoh : √4, √9 , √16, √25, ..

bilangan irasional merupakan bilangan yang merupakan bentuk akar.
Contoh : √2, √5, √3, √6, …

B. Akar Pangkat dan Suatu Bilangan

Bentuk akar dapat ditulis dalam bentuk… √ [ dibaca “akar pangkat n dari a”]
Dengan :

√ disebut bentuk akar( radikal )
√ disebut lambang bentuk akar
n disebut indeks ( pangkat akar )
a disebut radikan ( bilangan di bawah tanda akar ), dengan a bilangan riil positif
untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan rill negatif.

C. Sifat-sifat Bentuk Akar

Adapun beberapa sifat operasi bentuk akar seperti di bawah ini:

1. √a2=a, dengan a adalah bilangan real positif.
2. √a x √b = √ab, di mana a dan b merupakan bilangan real positif.
3. √a/ √b = √a/b, dengan a ≥ 0 dan b > 0.
4. a√c + b√c = (a + b)√c dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
5. a√c – b√c = (a – b)√c dengan a, b, c merupakan bilagan real, serta c ≥ 0.
6. a√c x b√d = (ab) √cd, dengan a,b, c, d, merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.
7. c√a/ d√b = c/d√a/b dengan a, b, c merupakan bilangan real, serta a, b ≥ 0.

D. Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar maka berlaku persamaan untuk

setiap a dan b merupakan bilangan positif, dan salah satunya dapat dinyatakan dalam bentuk

kuadrat murni.

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk akar berikut:

Penyelesaian:

E. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurungan pada bentuk akar hanya bisa dilakukan apabila akarnya

mempunyai bilangan pokok dan indeks yang sama. Secara umum rumus penjumlahan dan

pengurangan bentuk akar sebagai berikut: dengan a, p,

dan dan .

Bentuk Penulisan :

Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

Penyelesaian:

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar memiliki sifat yang sama dengan perkalian dan
pembagian eksponesial yaitu langsung dapat dikalikan.

Bentuk Penulisan :

Contoh
1.

2.

2.

F. Merasionalkan Bentuk Akar

Dalam suatu bentuk operasi bilangan, adanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk
akar, seperti :

1 3 , 2√3
,
√5 √3 + 1 2√5 − √3

Bentuk-bentuk bilangan tersebut dengan cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan
tersebut. Yang pada intinya bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih
sederhana.

Suatu bentuk pecahan dalam bilangan bentuk akar dikatakan sederhana jika dipenuhi :

1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan

2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.

Cara merasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana :

➢ Merasionalkan Bentuk

Untuk menyelesaikan bentuk dengan mengalikan dengan Jika diuraikan maka dapat
dijabarkan sebagai berikut:

(Perlu diingat bahwa , yaitu hasil bilangan itu sendiri )
Contoh :

➢ Merasionalkan bentuk dan

Sebelum kita merasionalkan bentuk akar maka ada baiknya kita mengingat kembali sifat perkalian

bentuk sekawan (juga berlaku hukum komutatif)

dan

Jadi untuk mempermudah, perhatikan uraian berikut:

Dari uraian di atas dengan mudah kita dapat merasionalkan bentuk berikut:

Contoh:
Sederhanakanlah bentuk berikut.

Penyelesaian:

➢ Menyederhanakan Bentuk
perhatikan uraian berikut:

1.
jika masing-masing ruas diakarkan atau dipangkatkan dengan ½ maka diperoleh :

2.
dengan cara yang sama diperoleh :



BAB III ALOGARITMA

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 4 ini diharapkan peserta didik dapat mendeskripsikan
persamaan dan pertidaksamaan logaritma, menentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan logaritma, dan menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
logaritma.

B. Pengertian Logaritma

Dalam ilmu matematika, logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen atau
pemangkatan. Dalam fungsinya, logaritma tidak hanya digunakan dalam ilmu matematika,
namun juga digunakan dalam pelajaran ilmu kimia untuk menentukan orde reaksi, pelajaran
akustik untuk menentukan koefisien serap bunyi dan lain sebagainya. Logaritma juga memiliki
sifat sendiri.

Secara umum, logaritma merupakan sebuah invers atau kebalikan dari pemangkatan (eksponen)
yang dipakai dalam menentukan besar pangkat dari sebuah bilangan pokok. Sehingga, pada
intinya dengan mempelajari logaritma maka kita dapat mencari besar pangkat dari sebuah
bilangan yang diketahui hasil pangkatnya.

Jika ac = b, dengan b adalah bilangan positif dan a adalah bilangan positif yang tidak sama
dengan 1, maka c adalah logaritma b dengan bilangan pokok a atau ditulis c = 8logb. Jika a > 0, a
≠ 1, dan b > 0, maka bentuk umum logaritma dapat dituliskan sebagai berikut : alog b = c jika dan
hanya jika ac = b

keterangan :

a = bilangan pokok atau basis logaritma (a > 0, a ≠ 1)

b = bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)

c = hasil logaritma

Dapat disimpulkan bahwa logaritma merupakan suatu operasi kebalikan dari perpangkatan, yaitu
mencari nilai yang menjadi pangkat dari suatu bilangan

C. Uraian Materi

1. Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel dan tidak
menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel. Contoh persamaan
logaritma:
a. 2log (x – 2) + 2log (x – 3) = 1
b. log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2)
c. xlog (x + 2) + xlog (x – 3) + xlog 2 = xlog 12
contoh (a) dan (b) adalah contoh persamaan logaritma yang numerusnya mengandung
variabel x, sedangkan contoh (c) adalah contoh persamaan logaritma yang numerus
dan bilangan pokoknya mengandung variabel.

2. Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung
variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung
variabel.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita dapat menggunakan sifat fungsi
logaritma yaitu monoton naik dan monoton turun. Sifat-sifat tersebut dapat kita
deskripsikan sebagai berikut.

D. Bentuk Umum Logaritma

Secara umum bentuk logaritma terdiri dari tiga bagian yaitu:
1. Basis (bilangan pokok) ,
2. Numerus, dan
3. Hasil logaritma.

E. Index Logaritma

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus
atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a
sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan
pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya
ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c
menjadi:

ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

Perpangkatan Contoh Logaritma
21 = 2 2log 2 = 1
20 = 1 2log 1 = 0
23 = 8 2log 8 = 3
2-3 = 8 2log = – 3

103 = 1000 9log
log 1000 = 3

F. Sifat – Sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-
nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

dengan syarat a > 0, alog p.q = alog p + alog q
, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan
nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai
bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut
model sifat logaritma nya:

alog b x blog c = alog c

dengan syarat a > 0, .

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-
nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.

dengan syarat a > 0, alog = alog p – alog q
, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik
Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok
dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

alog b =

dengan syarat a > 0, .

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan
pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

dengan syarat a > 0, alog = – alog
, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan

logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

alog bp = p. alog b

dengan syarat a > 0, ,b>0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat
dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut
modelnya:

dengan syarat a > 0, .

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai
bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut
model sifat logaritma nya:

alog ap = p

dengan syarat a > 0 dan .

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai
numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

dengan syarat a > 0, , m > 0.

10. Mengubah basis logaritma
Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

dengan syarat a > 0, , p > 0, q > 0

G. Contoh Latihan Soal Logaritma

1. ²log16 =...

Pembahasan
---> ²log16=²log2⁴
---> 4.²log2
---> 4.1 =4
2. ⁵log100-⁵log4 =...

Pembahasan

---> ⁵log100-⁵log4 = ⁵log 100/4
---> ⁵log25
---> ⁵log5²
---> 2.⁵log5
---> 2.1 =2

3. ²log3.³log4.⁴log2 =...

Pembahasan
---> ²log3.³log4.⁴log2 =²log2
---> 1

4. ³log2 =a, maka ³log6 =...

Pembahasan
---> ³log6 = ³log(2.3)
---> ³log2+³log3
---> a+1

5. ⁴log64 =...

Pembahasan
---> ²log46/²log4
---> 6/2
---> 3

G. Tabel Logaritma

Seorang ilmuwan bernama John Napier berhasil menyusun suatu tabel yang berisi nilai logaritma
basis 10. Tabel itu dikenal sebagai tabel logaritma. Latar belakang penyusunan tabel ini adalah
bagaimana cara mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan, mengingat penjumlahan
dirasa lebih mudah daripada perkalian.

Adapun contoh tabel logaritma adalah sebagai berikut.



BAB IV BARIS DAN DERET

A. Pengertian Barisan dan Deret

Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek
pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga
dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un.
Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek
tersebut sampai n suku dinamakan deret.

B. Pola Bilangan dan Barisan Bilangan
1. Pola Bilangan Asli

Pola bilangan asli yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan asli. Sedangkan
bilangan asli mempunyai arti bilangan yang di mulai dari 1 dan bertambah 1.
Barisan bilangan : 1, 2, 3, 4, 5, …
Rumus pola bilangan : n , n bilangan asli

2. Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan ganjil. Sedangkan
bilangan ganjil mempunyai arti suatu bilangan yang tidak habis dibagi 2.
Barisan bilangan : 1, 3, 5, 7, 9, …
Rumus pola bilangan : 2n – 1, n bilangan asli

3. Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan genap. Sedangkan
bilangan genap mempunyai arti suatu bilangan yang habis dibagi 2.
Barisan bilangan : 2, 4, 6, 8, 10, …
Rumus pola bilangan : 2n, n bilangan asli

4. Pola Bilangan Persegi

Simak pada gambar di samping maka penjelasana dari Pola bilangan persegi yaitu pola
bilangan yang membentuk persegi.
Barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, 25, …
Deret Bilangan : 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + …
Rumus pola bilangan : n2, n bilangan asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
Dengan adanya penjelasan secara terperinci seperti berikut akan memudahkan anda
untuk memahami dan mahir dalam mengerjakan semua soal matematika.

5. Pola Bilangan Persegi Panjang

Selanjutnya akan di jelaskan juga Pola bilangan persegi pajang yaitu pola bilangan yang
membentuk persegi panjang.
Barisan bilangan : 2, 6, 12, 20, 30, …
Deret bilangan : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …
Rumus pola bilangan : n ( n + 1 ), n bilangan asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Perhatikan di setiap penjelasan agar nantinya anda berhasil memahami semua yang di
maksud dari setiap penjelasan yang ada. Hal ini sangat cocok bagi anda yang ingin
mengajarkan matematika kepada anak atau adik anda.

6. Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga yaitu pola bilangan yang membentuk segitiga.
Barisan bilangan : 1, 3, 6, 10, 15, …
Deret bilangan : 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + …
Rumus pola bilangan : 1/2 n (n + 1), n bilangan asli
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
Sangat mudah di pahami dengan adanya gambar dan rumus, jika anda benar
memperhatikan dan memahami maka hanya membutuhkan waktu beberapa menit saja
untuk mahir dalam materi ini.

7. Pola Bilangan Fibonacci

Pola bilangan fibonacci yaitu pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya adalah
hasil dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya.
Barisan bilangan : 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Rumus pola bilangan : (n – 1) + (n – 2), n bilangan asli

8. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Barisan bilangan : 1, 2, 4, 8, 16, …
Rumus pola bilangan : n2-1 , n bilangan asli

C. Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan dari kiri ke kanan yang tersusun dengan pola tertentu.
Bilangan yang ada pada barisan disebut suku. Sedangkan deret adalah urutan bilangan
dari penjumlahan suku-suku dari suatu barisan.

1. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika yaitu barisan dengan pola penjumlahan yang memiliki beda tetap.
Suku barisan aritmetika : U1 , U2, U3, ……, Un
Selisih disebut beda (b) : b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1
Rumus suku ke-n : Un = a + (n – 1) b

Keterangan : Un = suku ke n, dengan n = 1, 2, 3, ….
a = suku pertama
b = beda (selisih)

Contoh :

Tentukan suku ke 12 dari barisan 2, 5, 8, 11,….
Jawab:
Un = a + (n – 1) b
U12 = 2 + (12 – 1) 3
U12 = 2 + 33
U12 = 35

Deret Aritmetika

Deret aritmetika yaitu jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.
Bentuk umum deret aritmetika : a + (a + b) + (a + 2b) +…+ (a + (n – 1)b )
Jumlah suku ke-n : Sn = n/2 (2a + (n – 1) b) atai Sn = n/2 (a + Un)

Contoh :
Suatu deret aritmetika 5, 10, 15, 20, 25, …
Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika diatas?
Jawab:
Sn = n/2 (2a + (n – 1) b) atai Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (2.5 + ( 10 – 1) 5)
S10 = 5 (10 + (9).5 )
S10 = 5 ( 10 + 45)
S10 = 275

2. Barisan dan Deret Geometri

9. Barisan Geometri

Barisan geometri yaitu barisan dengan pola perkalian yang mempunyai rasio tetap.
Suku barisan geometri : U1 , U2, U3, ……, Un atau a, ar2, ar3 , ….. , arn-1
Rasio (r) :

Rumus suku ke-n : Un = a . rn-1

Keterangan :
Un = suku ke n, dengan n = 1, 2, 3, ….

a = suku pertama
r = rasio
Contoh:
Tentukan suku ke 8 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32,…
Jawab:
Un = a . rn-1
U10 = 2 . 28-1
U10 = 2 . 27
U10 = 256

Deret Geometri
Deret geometri yaitu jumlah suku-suku pada barisan geometri.
Bentuk umum deret aritmetika : a + ar2 + ar3 + ….. + arn-1
Jumlah suku ke-n :

Contoh:
Suatu deret aritmetika 3, 9, 27, …
Berapa jumlah 6 suku pertama dari deret aritmetika diatas ?
Jawab:

karena r > 1, maka menggunakan rumus

D. Deret Geometri Tak Hingga

1. Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga adalah suatu barisan geometri yang memiliki tak hingga
banyaknya suku-suku. Berikut adalah penjelasan lengkap tentang materi barisan
geometri tak hingga yang meliputi konvergen dan divergen, Untuk lebih jelasnya simak
pembahasan dibawah ini

Barisan geometri tak hingga dikatakan konvergen andai suku ke tak hingga dari barisan
itu menuju ke suatu nilai tertentu. Syaratnya adalah nilai rasio terletak antara -1 dan 1.

Bentuk umum dari deret geometri tak hingga yaitu :’

a + ar + ar2 + ar3 + ( … )

Keterangan
a adalah suku pertama dan r yaitu rasio.

Tanda titik tiga (…) tersebut menandakan bahwa penjumlahan dilanjutkan hingga terus
menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.

Ada dua istilah yang sering dipakai menyangkut barisan atau deret tak hingga, yaitu:

1. Konvergen
2. Divergen.

Konvergen yaitu memusat atau menuju kepada suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen
memiliki arti tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, dan mungkin konstan, yang
pasti tak menuju ke suatu titik tertentu.

Pada deret geometri, kekonvergenan bisa dilihat dari rasio deret tersebut. :
10. Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan memiliki jumlah jika dan
hanya jika |r| < 1.
11. Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak
memiliki jumlah

Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
Dari barisan dan deret tersebut, bisa dilihat antara suku pertama dengan suku kedua,
antara suku kedua dan suku ketiga juga seterusnya selalu punya pengali yang sama. Agar
lebih mudah, harus mengetahui dahulu (a) nya atau suku pertama. Selain suku pertama,
juga harus tahu rasionya (r).

2.Rumus mencari Rasio dan Un
❖ Rumus Mencari Rasio

Jika sudah mengetahui a dan r nya, sekarang pelajari rumus suku ke – n (Un) dan juga
rumus jumlah n suku yang pertama (Sn)

❖ Rumus Mencari Un
Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, bisa memakai rumus
berikut ini

Contoh
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan cara mengamati rasionya!
a. 3 + 6 + 12 + 24 + ( … )

b. 2 + 2 + 2 + 2 + ( … )

c. 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ( … )

d. 3 – 1 + 1 / 3 – 1 / 9 + ( … )

e. -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ( … )

f. 2 – 6 + 18 – 54 + ( … )

Jawab :

(a) 3 + 6 + 12 + 24 + … = divergen
|r| = |2| ≥ 1

(b) 2 + 2 + 2 + 2 + … = divergen
|r| = |1| ≥ 1

(c) 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + … = konvergen
|r| = |1/2| < 1

(d) 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + … = konvergen
|r| = |-1/3| < 1

(e) -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = divergen
|r| = |-1| ≥ 1

(f) 2 – 6 + 18 – 54 + … = divergen
|r| = |-3| ≥ 1

3. Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga
Contoh Soal 1

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan Un = 2-n. Tentukanlah jumlah tak
hingga suku-suku dari barisan itu

Jawab :
Diket : Un = 3-n.
U1 = 3-1.= 1/3
U2 = 3-2 = 1/9

Didapatkan
a = 1/3
r = 1/91/3
= 1/3

Jumlah tak hingga suku-sukunya yaitu
S=a1−r⇒S=1/31−1/3=1/2
Contoh Soal 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga yaitu sama dengan tiga kali suku pertamanya,
maka rasio deret itu ialah …
Jawab :
Diketahui : S = 3a
S=a1−r⇔3a=a1−r1−r=a3a1−r=13r=23
Maka, rasio deret adalah 2/3.

Contoh Soal 3
Misalnya suku pertama deret geometri tak hingga yaitu a. Tentukanlah batas-batas nilai a
supaya deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.
Jawab :
Dikethaui S = 2
S=a1−r⇔2=a1−ra=2(1−r)a=2−2r2r=2−ar=2−a2

Deret geometri yang dimaksud konvergen, yaitu -1 < r < 1
−1<2−a2<1(kali2)−2<2−a<2(kurang2)−4<−a<0(kali(−1))4>a>00<a<4
Maka, deret akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4

Contoh Soal 4
Tentukan x supaya jumlah tak hingga dari deret geometri berikut = 1
3(x+3)+6(x+3)2+12(x+3)3+…
Jawab :
Suku pertama deret adalah a = 3(x+3)
Rasio dari deret tersebut yaitu r = U2U1 = 2x+3

Diketahui S = 1
S =a1−r⇔1=a1−r1−r=a1 = a+r1 =3x+3+2x+31 = 5x+3x+3=5x = 2

.

PENUTUPAN

Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi barisan dan deret,
disajikan sebagai berikut.

1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli dan daerah
hasilnya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
2. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki bola dua suku berurutan selalu tetap.
3. Deret aritmatika adalah jumlah suku suku barisan aritmatika.
4. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil dua suku berurutan adalah tetap.
Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.
5. Deret geometri adalah jumlah suku suku geometri.
6. Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang yang lebih tinggi, seperti
barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan fibbonaci, dan lain sebagainya. Kamu dapat
menggunakan sumber bacaan lain untuk lebih mendalami sifat sifat barisan dan deret.
Sekian dari kami, Kami menyadari bahwa dalam penulisan laporan tugas ini tidak terlepas dari
bantuan banyak pihak yang telah memberikan saran, kritik sehingga tugas ini dapat diselesaikan.
Terima kasih.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.ruangguru.com/blog/bilangan-berpangkat-pengertian-dan-sifatnya
https://www.detik.com/edu/edutainment/d-5640647/contoh-soal-bilangan-berpangkat-bulat-positif-
negatif-lengkap-dengan-jawabannya
https://mathematics4us.com/bentuk-akar/
https://sc.syekhnurjati.ac.id/esscamp/files_dosen/modul/Pertemuan_3MAT2020338.pdf
https://soalfismat.com/contoh-soal-persamaan-logaritma-dan-pembahasannya/
https://www.zenius.net/blog/contoh-sifat-persamaan-logaritma-rumus
materi barisan dan deret kelas x | Materi Matematika Kurikulum 2013
(materimatematikapdf.blogspot.com)