UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN a través de la FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS / FÍSICA / C.COMPUTACIONALES / MULTIMEDIA Y ANIMACIÓN DIGITAL / AÑO 1 VOL.I
ACTUARÍA / SEGURIDAD EN TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN
ENERO - JUNIO 2013
Una publicación de la Universidad Autónoma de Nuevo León
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Celerinet, Año 1, Vol. 1, enero-junio 2013.
Fecha de publicación: 3 de junio de 2013.
Es una publicación semestral, editada por la Universidad Autónoma de Nuevo León, a través de la Facultad de Ciencias
Físico Matemáticas. Domicilio de la publicación: Ave. Universidad S/N. Cd. Universitaria. San Nicolás de los Garza, Nuevo
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2013.
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Índice
Editorial 5 30 REPORTAJE
Investigación OLIMPIADAS
Uso de un algoritmo Stackelberg-Evolutivo para 6 DEL CONOCIMIENTO
resolver el problema de fijación de cuotas en
una red de transporte
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la 14
Mimosa pudica L.
Absorción de un polímero doble atado a una 22
superficie
reportaje 30
Participación de la energía hidroeléctrica en 32 45 ESPECIAL
México para el 2013 38
Vulnerabilidades de seguridad en las empresas 3ER. FORO
entrevista 43
Especial 3er. foro 45
Procesos aleatorios de Riemann y Weierstrass 46
Un algoritmo para resolver el problema binivel 52 Fenómenos físicos de las nanopartículas de oro 97
con parámetros en el objetivo del nivel inferior
La materia en condiciones extremas de 104
densidad y temperatura
Un modelo para enviar, recibir y distribuir ayuda 57
en especie después de haber ocurrido un Seguridad Física, prevención y detección 110
desastre natural
Métodos y modelado matemático para el análisis 64 Técnicas efectivas de presentación 114
de procesos complejos en las organizaciones
Reconocimientos 119
Seguridad en Voz sobre Redes de Datos 70 Noticias 120
Síntesis y caracterización de películas delgadas 75
semiconductoras
Modelo estocástico para la traducciónde 82
proteínas
Nanoestructuras de carbono con diferentes 89
grupos funcionales
Mensaje de la directora
La Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL) a través de la Facultad
de Ciencias Físico Matemáticas (FCFM) cumple con la Visión UANL 2020,
estableciendo proyectos de desarrollo científico, tecnológico, humanístico y
cultural que contribuyan al avance del conocimiento, las ciencias, la tecnología
y la cultura. Uno de estos proyectos es la divulgación de las investigaciones
que llevan a cabo sus profesores, investigadores y estudiantes, mediante la
publicación de su producción científica en la Revista Electrónica Celerinet.
En el marco del 80 aniversario de la UANL y del 60 Aniversario de la FCFM, la
publicación del primer número de la Revista Electrónica Celerinet se suma a los
proyectos que tiene la FCFM para cumplir con aspectos fundamentales de su
Misión y su Visión, entre los que se destaca la formación integral de profesionales
capaces de generar, difundir y aplicar el conocimiento, así como el alto nivel
de formación y reconocimiento de su personal académico e investigador para
responder a las demandas del desarrollo científico, tecnológico, económico y
social de la región y del país en el contexto internacional.
Agradezco la colaboración de cada una de las personas que apoyaron a la
realización de esta revista, así como al Dr. Jesús Ancer Rodríguez, Rector de
nuestra Máxima Casa de Estudios, por su constante apoyo para impulsar los
proyectos de la facultad.
Patricia Martínez Moreno
Directora
Editorial
El ser humano constantemente se encuentra en busca de nuevos conocimientos.
Desde épocas remotas, su naturaleza lo ha impulsado a experimentar, observar
y descubrir. Hoy día, existen grandes pensadores e investigadores que dedican
su vida a la ciencia mediante la experimentación y la enseñanza en busca
de la creación de nuevo conocimiento que sirva a sus contemporáneos y a
generaciones futuras, de modo que cada día se encuentre una pieza más de
los misterios del universo en el que vivimos. De este impulso de constante
descubrimiento y creación, surge Celerinet, la revista de la Facultad de Ciencias
Físico Matemáticas.
En este primer número de la revista, se exponen temas diversos de Matemáticas,
Física, Ciencias Computacionales, Actuaría, Multimedia y Animación Digital y
Seguridad en Tecnologías de Información. Dichos temas atañen al interés del
público científico en general e invitan al lector a conocer un poco más acerca de
los temas que alumnos, docentes e investigadores de la Facultad han compartido
con la comunidad; estudios a los cuales dedican su pasión y esfuerzo diario.
Invitamos al lector a conocer el trabajo de los miembros de la FCFM y
agradecemos la colaboración de cada uno de los participantes en la elaboración
de esta revista, así como a quienes hicieron posible que este proyecto se hiciera
realidad.
Alma Patricia Calderón Martínez
Editora
6
Uso de un algoritmo
Stackelberg-
Evolutivo
para resolver el problema de
fijación de cuotas en una red
de transporte
Pamela Jocelyn Palomo Martínez
Co autor: José Fernando Camacho Vallejo
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
El problema de fijación de cuotas en una red de transporte de bienes
múltiples TOP (por sus siglas en inglés, Toll Optimization Problem)
se modela como una problema binivel en el cual el líder busca
determinar un conjunto de tarifas que se asignan a determinados arcos
de dicha red y el seguidor debe elegir por cuáles arcos transportar los
bienes, sabiendo que debe pagar las cuotas establecidas por el líder. El
siguiente trabajo presenta un algoritmo Stackelberg-Evolutivo para
resolver el TOP que estudia la interacción entre el líder y el seguidor
como un juego de Stackelberg; asímismo, explota los principios de la
computación evolutiva, en la cual se realizan cambios aleatorios entre
los individuos de una población de soluciones factibles del problema,
seleccionando individuos que contribuyen en mayor medida a mejorar
la utilidad de los agentes del juego de Stackelberg. Dicha selección
permite que en cada iteración las mejores soluciones tengan mayor
probabilidad de sobrevivir, permitiendo que las utilidades del líder y
del seguidor vayan mejorando su calidad.
Palabras claves:
optimización de cuotas, algoritmos evolutivos, programación binivel
INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS CELERINET ENERO-JUNIO 2013 7
Introducción símplex de Nelder-Mead [9].
El problema de fijación de cuotas óptimas en una red de Por el lado de los métodos heurísticos, se desarrolla
transporte involucra a dos agentes: el líder, quien es el y se aplica a redes que transportan un único bien un
dueño de la red y cuyo objetivo consiste en maximizar la heurístico primal-dual basándose en penalizaciones de la
ganancia que obtendrá al cobrar tarifas a los usuarios de función objetivo del nivel superior [10]. Posteriormente,
la red por utilizar un subconjunto de los arcos de ella; y, extienden el algoritmo a redes de múltiples bienes y se
por otro lado, el seguidor, papel tomado por los usuarios aplica a instancias pequeñas [11]. Se desarrolló también
que buscarán minimizar el costo de transportar bienes a un heurístico que busca la convergencia a óptimos
través de la red. Se supone que entre cada par de nodos globales [12 y un algoritmo genético buscando también
entre los cuales los usuarios desean transportar bienes, óptimos globales [13]; además de un algoritmo de
llamados par origen-destino, existe un camino formado búsqueda directa que logró convergencia a resultados
por arcos libres de cuota; además, el líder no podrá similares que el genético, pero en menor tiempo [14].
establecer cuotas negativas a los arcos. Así, el problema Por último, se desarrolla un algoritmo de búsqueda tabú
reside en que el líder debe seleccionar las tarifas de modo que resultó eficiente en instancias grandes [15].
que asegure que los usuarios de la red utilizarán los arcos
a los que se les asignó cuota y no el camino libre. Modelo matemático
La modelación original del TOP aparece por primera Sea N un conjunto de nodos, A un conjunto de arcos y
vez en 1998 [1], desde entonces han surgido numerosos
estudios acerca de la complejidad del problema, se han sea G(N,A) un grafo conformado por los conjuntos N
hecho reformulaciones del mismo y se han estudiado
métodos de solución exactos y heurísticos. Por el lado y A, que representará a la red de transporte de bienes
de la complejidad del TOP, se ha demostrado que el TOP amrcúoltsipalelso.sCqouneseidl elrídemerolsesAa1 s⊂igAnacroámuonaeltacroifnajuyntaoAd2e⊂loAs
es un problema NP-hard [1]. Posteriormente, se llegó a como el conjunto de los arcos libres de cuota; además,
la conclusión de que el TOP es un problema fuertemente
NP-hard [2][3]. Con respecto a las reformulaciones del cada arco es libre o se le asigna tarifa y no existen arcos
TOP, se han encontrado nuevas desigualdades válidas de cuota, es decir A1⋃A2=A y
[4]. Por otro lado, se realizó una remodelación de la que sean libres y a la vez A tiene un costo fijo asociado
red basándose en caminos más cortos [5]. Además, se A1∩A2=∅. Cada arco a∈
ha reformulado el TOP como un programa matemático
con restricciones de equilibrio MPEC (por sus siglas por utilizarlo ca ; aarscíomiasm∈o,At1a será el costo que el líder
en inglés, Mathematical Program with Equilibrium asignará a cada y denotaremos como xak
Constraints) al considerar el flujo dinámico del tráfico
en la red [6]. Por otro lado, el TOP se puede reformular al flujo de transporte en el arco a asociado con el bien
como un problema entero mixto MIP (por sus siglas k ∈ K, donde K es el conjunto de bienes que se desean
en inglés, Mixed Integer Program) si se linealizan las
condiciones de holgura complementaria; de este modo, transportar. Por otra parte, al considerar a nk como la
el problema puede ser resuelto por métodos tradicionales
para los MIP. demanda entre el nodo origen o(k) y el nodo destino
d(k), podemos asociar a cada nodo i ∈ N con el bien
En el campo de los métodos exactos, se ha analizado k ∈ K y con nk de la siguiente manera:
al TOP como un problema combinatorio al considerar
que maximizar la utilidad del líder es compatible con una Por último, consideremos como i^+ al conjunto de arcos
solución determinada del seguidor, la cual será uno de de A que tienen al nodo i como cabeza e i^- será el
los caminos que puede elegir; logrando llegar al óptimo conjunto de arcos que tienen al nodo i como cola.
de instancias medianas y aproximándose al óptimo
de instancias grandes [7]. Bajo el mismo enfoque, se La modelación matemática del TOP será la
desarrolló un generador de caminos eficiente, logrando siguiente:
obtener cotas superiores para la función objetivo del
líder [8]. Por otro lado, se implementó un algoritmo de (1)
función de penalización, un algoritmo quasi-Newton,
un algoritmo basado en aproximación de gradiente y
algoritmo de búsqueda directa haciendo uso del método
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
8 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / MATAMÁTICAS
sujeto a: (2) Proceso Algoritmo Stackelberg-Evolutivo
Leer Generaciones;
(3) Generar la población inicial T;
Evaluación de Stackelberg de T;
sujeto a: (4) Para i←1 Hasta Generaciones Hacer
Realizar torneos;
(5) Seleccionar a la población de padres T’;
Cruza de T’ generando los hijos T’’;
La expresión (1) indica la función objetivo del líder, la Mutación de los hijos generando T’’’;
cual es la ganancia que obtiene al cobrar a los usuarios Evaluación de Stackelberg de T’’’;
las tarifas que fije. La expresión (2) muestra que las Selección de T de la generación i+1;
tarifas no pueden ser negativas y que, además, no FinPara
pueden exceder a un olíbmjeitteivmo ádxeilmseogtuamidaxo.rP, olar otro lado, FinProceso
(3) indica la función cual es su
costo de transporte. La expresión (4) es una ecuación de Figura 1. Pseudocódigo del Algoritmo Stackelberg-
conservación de flujo en la red. Por último, (5) indica Evolutivo.
que no existen flujos negativos.
Algoritmo Stackelberg-Evolutivo
Al resolver un modelo binivel, el objetivo es optimizar entre k(i,1) y k(i,2) y d2 la distancia del camino más largo
la función objetivo del líder, pero esta no solo depende libre de cuota entre k(i,1) y k(i,2). Entonces, una cota t(i)
de sus variables de decisión, sino también de las estará dada por (6).
variables de decisión del seguidor. Es posible evaluar a
una población de soluciones factibles si analizamos la (6)
interacción entre el líder y el seguidor como un juego de
Stackelberg. Consideremos a cada una de los individuos Finalmente, la cota t max estará dada por la
de una población como un conjunto de estrategias del
líder, entonces el seguidor tendrá su función de reacción ecuación (7). a
que consiste en elegir las variables de decisión que
minimicen su función objetivo dada la solución del nivel (7)
superior. El líder será capaz de anticipar las reacciones
del seguidor para cada una de sus estrategias, entonces Después de ello se procede a realizar los pasos
es posible que elija la solución que maximice su función. siguientes:
El objetivo entonces, será buscar un equilibrio de
Stackelberg entre el líder y el seguidor. En la Figura 1
se muestra el pseudocódigo del algoritmo Stackelberg-
Evolutivo.
Primero es necesario determinar un número de Generar la población inicial T: En el caso del
generaciones y la cantidad de elementos que existirán
en la población inicial T. Por otro lado, es necesario TOP, las soluciones del líder son tarifas que debe fijar al
determinar el valor de tamax, si es que este no está
predeterminado. Una forma sencilla de encontrar esta conjunto A1 de arcos, por ello la representación elegida
cota es la siguiente: sea k una matriz de dimensiones n×2, para los individuos de la población inicial T será un vector
donde n es el número de bienes que se desean transportar
en la red y sea k(i,1) el nodo de origen de transporte del de | A1 | componentes continuas entre 0 y tamax; de este
bien i y el nodo destino será k(i,2), con i=1,…,n. Se modo, cada componente representará la cuota asignada
procede a buscar d_1 la distancia del camino más corto ∈
a cada arco a A1 y los límites 0 y t max asegurarán la
a
factibilidad de la solución. Una vez establecida la forma
de los individuos de T se generan aleatoriamente tantos
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS CELERINET ENERO-JUNIO 2013 9
vectores de cuotas como se haya decidido. Se puede notar un proceso determinista. En el algoritmo diseñado para
el presente artículo se realizaron cinco torneos.
que la cota t max encontrada no es una cota para los arcos,
a
sino para cada uno de los caminos entre los pares origen-
Seleccionar a la población de padres T': Para realizar
destino. En consecuencia, se eligió una distribución de la selección de los individuos de T que se convertirán
en padres T ', se procede a ordenar en una lista a los
probabilidad triangular que favorezca la aparición de individuos de T en orden descendiente según el número
de victorias que hayan obtenido. Los individuos que
cantidades más cercanas al límite aproximado para cada se encuentren en las primeras | T | posiciones serán los
arco que a t max para generar a la población inicial. La 2
a individuos que formarán parte de la población T'.
distribución triangular tiene la moda que se muestra en
la ecuación (8) con i=1,…,n.
(8) Cruza de T' generando los hijos T'': Para cada
individuo t'j ∈ T ' con j = 1,…,| T ' | se selecciona
en donde: de manera aleatoria a otro individuo t'k donde k es un
entero procedente de una distribución uniforme tal que
(9) 1 ≤ k ≤ |T'| y, además, j ≠ k. Adicionalmente, se elige
un entero aleatorio l procedente de una distribución
uniforme tal que 1 ≤ l ≤ |A1| al cual llamaremos punta
dcreeacrruazau.nLhoisjoint'd'ji∈vidTu''ods otn'jdye t'k se reproducirán para
En donde camino1 es el camino más corto con cuota T'' será la población de
entre k (i,1) y k (i,2).
hijos de T'. Las componentes 1,…, l del hijo t''j serán
las componentes 1,…, l de t'j, del mismo modo, las
Evaluación de Stackelberg de T: Sea tj un vector componentes l + 1,…, |A1| del vector t''j serán las mismas
de cuotas perteneciente a la población T, con j=1,…,|T|. que las del vector t'k .
Para realizar la evaluación de Stackelberg del individuo
tj debe resolverse el problema de programación que Mutación de los hijos generando T''': En el algoritmo
consiste en (3) - (5), es decir, el problema del seguidor. desarrollado para el presente artículo, una mutación
consistirá en una alteración de una componente de un
Al ser conocidos los costos fijos ca y las tarifas asignadas individuo de T’’ y para ello se utilizó una probabilidad
por el líder, el problema del seguidor se convierte en de mutación de 0.1. Para llevar a cabo el proceso de
la mutación, para cada individuo t''j ∈ T'' se selecciona
un problema de programación lineal cuyas variables de un número aleatorio l procedente de una distribución
uniforme continua tal que 0 ≤ l ≤ 1. Si l > 0.1, el individuo
decisión son los flujos xak. Posteriormente, al conocer los t''j pasará a formar parte de la población T’’’ sin sufrir
valores de xak , se calcula el valor de la función objetivo modificaciones y se denotará como t '''j ; por el contrario
del líder dada por (1) a la cual denotaremos por lider(j). si l ≤ 0.1, el individuo t''j sufrirá una mutación, la cual
se realiza generando un entero aleatorio m procedente de
La evaluación de Stackelberg debe realizarse para cada una distribución uniforme tal que 1 ≤ m ≤ | A1 |; de modo
uno de los individuos tj∈T. que la componente m de t''j será la que mutará.
Realizar torneos: Al inicio de los torneos, cada uno
de los individuos de T cuenta con cero victorias; es
decir, victoriasj=0 para j=1,…,|T|. Para cada individuo
∈ se elije para competir con él a otro individuo
tj ∈ T donde k es un entero aleatorio procedente de una El primer paso para la mutación de la componente m
tk T, de t''j es elegir aleatoriamente si se sumará o restará una
cantidad a dicha componente. Posteriormente, se elige
distribución uniforme tal que 1 ≤ k ≤ |T| y, además, una cantidad aleatoria procedente de una distribución
uniforme continua que será sumada o restada a la
j ≠ k. A continuación, se comparan los valores de lider(j) componente según se haya decidido; dicha cantidad
debe estar entre 0 y un tamaño máximo de mutación.
y lider(k), si lider (j) ≥ lider (k), entonces tj obtendrá Para este artículo, el tamaño máximo de la mutación,
una victoria, es decir, victorias(j)=victorias(j)+1; en denotado por tam_mutacion, fue seleccionado de modo
que una mutación permita explorar una nueva región del
el caso contrario, si lider(j)<lider(k), tendremos que espacio factible del problema y está dado por (10).
victorias(k)=victorias(k)+1. El proceso se repite por el
número de torneos deseado, no es conveniente realizar
una gran cantidad de ellos, ya que entre más repeticiones
haya del proceso, cada individuo tenderá a competir la
misma cantidad de veces debido a la ley de los grandes
números; consecuentemente, los individuos que hayan
tenido los mayores valores en la función objetivo serán (10)
los que ganen más torneos convirtiendo a la selección en
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
10 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / MATAMÁTICAS
Al individuo resultante de la mutación lo G=25,50. Asímismo, para las instancias medianas, los
denotaremos por t'''j y pasará a formar parte de la parámetros utilizados fueron I=150,200,250 y G=50,75.
población T'''. Para cada tamaño de instancia se experimentó con cinco
ejemplos distintos, entre los cuales varía el costo fijo
Evaluación de Stackelberg de T''': La evaluación de ca de los arcos. La Tabla 1 corresponde a los valores
Stackelberg de la población T''' se realiza del mismo promedio encontrados de la función objetivo del líder
modo que se realizó la evaluación de Stackelberg de la con el algoritmo Stackelberg-Evolutivo. De la columna
población T, el valor de la función objetivo del líder dada 2 a la 5 se hallan los resultados para las instancias
en (1) se llamará lider''' (k) con k = 1,…,T'''. chicas; y de la columna 6 a la 9, los de las instancias
medianas. El primer número de cada casilla corresponde
Selección de T de la generación i+1: Para seleccionar a al promedio de la función objetivo del líder encontrado
la población inicial T de la generación i + 1 se ordena en en la experimentación y el número entre paréntesis
una lista a los individuos de T∪T''' en orden descendiente corresponde al promedio del tiempo de ejecución en
según el valor de lider(j) y lider^''' (k). Los individuos segundos.
que conformarán la nueva población inicial T serán los
primeros |T| individuos en la lista, donde |T| es el número El desempeño del algoritmo Stackelberg-Evolutivo
de individuos en la población inicial que se eligió al con I individuos en la población inicial y con G
comenzar el algoritmo. generaciones (G,I) se comparó contra el algoritmo de
función de penalización P, el algoritmo quasi-Newton
Resultados numéricos QN, el algoritmo basado en aproximación de gradiente
G y el algoritmo de búsqueda directa haciendo uso
El algoritmo Stackelberg-Evolutivo se codificó y se del método símplex de Nelder-Mead NM de [9]. Para
probó en lenguaje M en el entorno de experimentación realizar estas comparaciones, se realizaron pruebas
del software Matlab 7.5 en una computadora Acer Aspire estadísticas en las que se encontró que no existen
5250 con un procesador AMD E-300 APU con Radeon diferencias significativas en el promedio de las funciones
HD Graphics 1.30 Ghz y con una memoria RAM de 2 Gb objetivo del líder entre las distintas combinaciones de
con el sistema operativo Windows 7 Starter. Además, se los parámetros G e I, tanto para las instancias pequeñas
probó en instancias pequeñas con 7 nodos, 12 arcos y 2 como para las medianas; por otro lado, se encontró que
bienes, y en instancias medianas con 25 nodos, 40 arcos para las instancias pequeñas, el tiempo de ejecución
y 3 bienes tomadas de [9]. del algoritmo es menor con los parámetros (25,50) y
(25,100). Del mismo modo, el tiempo de ejecución
Los parámetros que se variaron para la para las instancias medianas es significativamente
experimentación, fueron el número de individuos de la menor o igual con los parámetros (50,150) y (50,200).
población inicial I y el número de generaciones G. Para Por tanto, se eligieron los resultados obtenidos con los
las instancias pequeñas, los tamaños de población inicial
utilizados fueron I=50,100 y el número de generaciones
Tabla 1: Promedios de la función objetivo del líder
Instancias pequeñas Instancias medianas
Ejemplo (25,50) (25,100) (50,50) (50,100) (50,150) (50,200) (75,150) (75,200)
1 157.23 161.09 161.70 162.18 1856.93 1886.87 1849.42 1903.01
2 (71.18) (133.04) (143.77) (276.49) (423.71) (622.13) (639.92) (829.07)
3 259.82 266.42 266.88 272.91 2695.91 2695.41 2702.10 2724.35
4 (66.25) (131.19) (133.60) (279.12) (429.26) (634.47) (596.87) (796.36)
189.77 196.42 193.75 198.84 3860.28 3869.79 3792.46 3922.36
5 (75.40) (143.65) (147.06) (282.98) (423.30) (522.68) (641.70) (784.60)
154.45 155.73 155.19 156.31 2333.86 2344.00 2330.57 2358.11
(82.05) (192.87) (147.89) (373.39) (382.15) (544.74) (582.56) (755.59)
130.92 134.67 123.14 134.94 6908.20 6743.55 6827.44 6815.35
(85.18) (124.74) (164.30) (259.19) (360.18) (453.09) (550.02) (716.13)
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS CELERINET ENERO-JUNIO 2013 11
parámetros anteriormente mencionados para realizar las en donde α(G,I)= Mejor valor conocido - Valor
comparaciones. obtenido con el SE(G,I) , con G=25 e I=50, 100. Por
otra parte, el número que se encuentra entre paréntesis
El desempeño del algoritmo Stackelberg-Evolutivo indica el gap del tiempo de ejecución calculado con
(de aquí en adelante: SE) con I individuos en la población (11), con G=25 e I=50, 100. Por ello, un gap negativo
inicial y con G generaciones, (G,I). Se hicieron para los resultados de la función objetivo, indicará que
comparaciones contra los algoritmos de penalización P, el algoritmo SE obtuvo un mejor resultado, lo mismo
quasi-Newton QN, basado en aproximación de gradiente indicará un gap positivo para los tiempos de ejecución.
G y de búsqueda directa haciendo uso del método símplex Análogamente, para las instancias medianas, los hacen
de Nelder-Mead NM descritos en [9]. Para realizar estas las columnas 5 y 6, calculando los gaps con (11) y con
comparaciones, se realizaron pruebas estadísticas en las G=50 e I=150, 200. La columnas 4 y 7 indican el mejor
que se encontró que no existen diferencias significativas valor conocido de la función valor objetivo del líder
en el promedio de las funciones objetivo del líder entre para las instancias chicas y medianas, respectivamente,
las distintas combinaciones de los parámetros G e I, tanto que es el primer número de la celda acompañado por el
para las instancias pequeñas como para las medianas; por algoritmo que alcanzó dicho valor. Además, el segundo
otro lado, se encontró que para las instancias pequeñas, número indica el mejor valor encontrado para los
el tiempo de ejecución del algoritmo es menor con los tiempos de ejecución. Al realizar un análisis estadístico
parámetros (25,50) y (25,100). De manera análoga, para de los resultados obtenidos, se encontró que para las
las instancias medianas consideramos los parámetros instancias chicas no existen diferencias significativas
(50,150) y (50,200) para realizar las comparaciones. entre los promedios de las funciones objetivo del líder
encontradas por el algoritmo SE con G=25 e I=50, 100
La Tabla 2 resume las comparaciones entre los con respecto al mejor valor conocido encontrado por los
distintos algoritmos. Las columnas 2 y 3 corresponden algoritmos P, QN, G o NM. Sin embargo, se encontró
a las instancias pequeñas y muestran los gaps en que los tiempos de ejecución del algoritmo propuesto
porcentaje de los resultados obtenidos con el algoritmo son significativamente mayores, lo cual concuerda con
SE con los parámetros (25,50) y (25,100) reportados en el hecho de que los algoritmos evolutivos son poco
la Tabla 1 con respecto al mejor resultado conocido de prácticos para ser utilizados en problemas sencillos.
entre los algoritmos P, QN, G y NM. El primer número Por otra parte, en las instancias medianas, se encontró
de cada celda indica el gap de la función objetivo del también que no hay diferencias significativas entre los
líder calculado de la siguiente forma: valores de la función objetivo del líder para los distintos
algoritmos; sin embargo, los tiempos de ejecución del
(11) algoritmo SE son significativamente menores o iguales
y, además, en algunos de los ejemplos logró acercarse al
Tabla 2: Comparaciones entre los algoritmos
Instancias pequeñas Instancias medianas
Ejemplo (25,50) (25,100) Mejor valor (50,150) (50,200) Mejor valor
1 conocido conocido
2 3.527 1.154 162.975 (G) -5.270 -6.968
3 (-5576.7) (-10509.8) 1.254 (G) (50.385) (27.151) 1763.962 (QN)
4 274.986 (G) 854 (NM)
5 5.514 3.115 1.571 (QN) 2.284 2.302
(-4118.0) (-8252.28) 109.931 (G) (-4.698) (-54.749) 2758.923 (QN)
-72.624 0.991 (QN) 7.891 410 (QN)
(-7507.1) -78.672 156.987 (P,G) (13.436) 7.664
(-14392.5) 1.751 (G) 1.434 (-6.888) 4190.971 (QN)
1.615 136.953 (QN) (20.052) 1.006 489 (G)
(-4586.2) 0.801 -13.381 (-13.962)
(-10916.3) 0.908 (QN) (64.757) -10.678 2367.820 (QN)
4.405 (55.666) 478 (QN)
(-9284.3) 1.666
(-13642.3) 6092.925 (QN)
1022 (QN)
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
12 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / MATAMÁTICAS
óptimo global del problema, no así los algoritmos contra
los que se comparó.
Conclusiones
El algoritmo propuesto en este artículo mostró tener
un buen desempeño al mostrar valores para la función
objetivo del líder similares a los encontrados en la
literatura pero en tiempos de ejecución menores o
iguales en instancias medianas. En instancias pequeñas
obtuvo resultados similares para la función objetivo pero
en tiempos mucho mayores; sin embargo, este resultado
se esperaba debido a que la computación evolutiva ha
sido diseñada para la solución de problemas complejos.
Debido a lo anterior, se espera que el algoritmo SE llegue
a mostrar buenos resultados en la solución de instancias
grandes del TOP. Por otro lado, es posible que, al realizar
un estudio más detallado de la afinación de los parámetros
del algoritmo y de las distribuciones de probabilidad
utilizadas, se puedan encontrar resultados mejores que
los reportados para las instancias medianas. Además,
cabe agregar que al realizar una apropiada codificación
de las soluciones del nivel superior, es posible extender
el uso de este algoritmo a otros problemas que puedan
formularse como un problema binivel, como lo son
la solución de problemas ambientales, de logística
humanitaria, de diseño de redes, de transporte, de
localización, etcétera.
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
INVESTIGACIÓN / MATEMÁTICAS CELERINET ENERO-JUNIO 2013 13
Referencias Datos de los Autores:
Pamela Jocelyn Palomo Martínez
[1] Labbé, M., Marcotte, P., Savard, G. "A bilevel model of taxation
and its application to optimal highway pricing". Management Cursó sus estudios en Licenciatura en Matemáticas en la
Science. Vol 44, pp. 595-607. 1998 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Nuevo León. En la actualidad, se encuentra
[2] Roch, S., Savard, G., Marcotte, P. "An approximation algorithm estudiando la Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas
for Stackelberg network pricing". Networks. Vol. 46, pp. 57-67. en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la
2005. Universidad Autónoma de Nuevo León. Las líneas de interés
son la aplicación de la investigación de operaciones en la
[3] Grigoriev, G., van Hoesel, S., van der Kraaij, A., Uetz, M., modelación y optimización de procesos industriales, así como
Bouhtou, M. "Pricing bridges to cross a river". Naval Research la resolución de modelos de optimización con metaheurísticas.
Logistics. Vol. 54, pp. 411-420. 2007.
Dirección del autor: Ciudad Universitaria, S/N. C.P. 66451,
Dewez, S., Labbé, M., Marcotte, P., Savard, G. "New formulations San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México.
and valid inequalities for a bilevel pricing problem". Operations Email: [email protected]
[4] Research Letters. Vol. 36, pp.141-149. 2008.
José Fernando Camacho Vallejo
Bouhtou, M., van Hoesel, S., van der Kraaij, A., Lutton, J.L.
"Tariff optimization in networks". INFORMS Journal on El Dr. Camacho tiene Licenciatura en Matemáticas por la
[5] Computing. Vol. 19, pp.458-469. 2007. Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Nuevo León, Maestría en Ciencias en Ingeniería
Joksimovic D, Bliemer MCJ, Boby PHL. "Optimal Toll Design con especialidad en Ingeniería Industrial por Arizona State
Problem in Dynamic Traffic Networks – with Joint Route and University y Doctorado en Ciencias de la Ingeniería con
[6] Departure Time Choice". Transportation Research Record: especialidad en Ingeniería Industrial otorgado por el ITESM
Journal of the Transportation Research Board. Pp. 61-72. 2005. campus Monterrey. Actualmente, se encuentra laborando
como profesor-investigador exclusivo y de tiempo completo
Dibi-Biha, M., Marcotte, P., Savard, G. "Path-based formulations en CICFIM y como coordinador del Posgrado en Ciencias con
of a bilevel toll setting problem". Optimization with multivalued Orientación en Matemáticas de la FCFM en la UANL. Las
[7] mappings theory: theory, applications and algorithms. Pp. 29- líneas de investigación de interés son resolución de problemas
50. 2006. de investigación de operaciones, en particular sobre teoría y
aplicaciones de programación binivel, diseño de métodos
Brotcorne, L., Cirinei, F., Marcotte, P., Savard, G. "An numéricos y técnicas heurísticas para resolver problemas de
exact algorithm for the network princing problem". Discrete programación binivel.
[8] Optimization. Vol. 35, pp. 1-14. 2011.
Dirección del autor: Ciudad Universitaria, S/N, C.P. 66451,
Kalashnikov, V., Camacho, F., Askin, R., Kalashnykova, N. San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México.
"Comparison of algorithms for solving a bi-level toll setting
[9] problem". International Journal of Innovative Computing, Email: [email protected]
Information and Control. Vol. 6, Nu.8. pp.1-14. 2010.
Brotcorne, L., Labbé, M., Marcotte, P., Savard, G. "A bilevel
model and solution algorithm for a freight tariff setting problem".
[10] Transportation Sc. Vol. 34 pp.289-302. 2000.
Brotcorne, L., Labbé, M., Marcotte, P., Savard, G. "A bilevel
model for toll optimization on a multi-commodity transportation
[11] network". Transportation Science. Nu. 35, pp.1-14. 2001.
Lotito, P.A., Mancinelli, E.M., Quadrat, J.P., Wynter, L. "A
global descent heuristic for bilevel network pricing".
[12] http://www-rocq.inria.fr/metalau/quadrat/bpalgocomplet.pdf
2004.
Dimitriou, L., Tsekeris, T., Stathopoulos, A. "Genetic
computation of a road network design and pricing Stackelberg
[13] games with multi-class users". Applications of Evolutionary
Computing. Pp. 669-678. 2008.
Dimitriou, L., Tsekeris, T. "Elastic multi-user stochastic
equilibrium toll design with direct search meta-heuristics".
[14] Proceedings of the 8th EU/MEeeting on Metaheuristics in the
Service Industry. Pp. 9-16. 2007.
Brotcorne, L., Cirinei, F., Marcotte, P., Savard, G. "A tabu search
algorithm for the network pricing problem". Computers and
[15] operations research. Vol. 39, pp.2603-2611. 2011.
USO DE UN ALGORITMO Stackelberg - Evolutivo para resolver el problema de fijación
de cuotas en una red de transporte POR: PAMELA PALOMO Y JOSÉ CAMACHO
Circuito eléctrico
equivalente del
pulvínulo de la
Mimosa pudica L.
Luis Giordano Ramos Traslosheros López
Co Autor: Francisco Hernández Cabrera
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
Aquí se presenta el análisis de la planta Mimosa pudica Lynn por
medio de espectroscopía de impedancia eléctrica, que resulta en
un circuito equivalente con un comportamiento similar. Todos los
espectros de impedancia mostraron el mismo comportamiento,
difusivo a bajas frecuencias y capacitivo a altas frecuencias, lo que
indica que el tipo de proceso subyacente es invariante en el tiempo,
incluso en presencia de estímulos externos. Se propuso un circuito
equivalente y se ajustaron los datos experimentales por medio del
método de mínimos cuadrados no lineales complejos. El circuito
modelo presenta elementos difusivos, relacionados con procesos de
difusión semi-infinita de los iones encargados de propagar el impulso
eléctrico por la planta. La transición entre un estado difusivo y uno
capacitivo es de interés para determinar una frecuencia de corte para
diseñar un estimulador magnético para la planta, que permita estudiar
los efectos del magnetismo en su fisiología.
Palabras claves:
Mimosa pudica, espectroscopía de impedancia eléctrica, potencial de
acción, electrofisiología de plantas, circuito equivalente, difusión.
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 15
Introducción general que engloba las mediciones de señal pequeña
de la respuesta eléctrica lineal de un material de interés
La planta Mimosa pudica es una planta sismonástica (incluyendo los efectos de los electrodos) y el análisis
[1], lo que significa que responde a la estimulación táctil subsecuente de la respuesta para obtener información
realizando movimientos contráctiles de sus hojas y ramas útil sobre las propiedades fisicoquímicas del sistema.
debido al desplazamiento de fluidos que produce cambios
de presión sobre las paredes intracelulares de los órganos En especial, la espectroscopía de impedancia
vegetales involucrados, lo cual se denomina turgencia. eléctrica permite realizar análisis celulares en tejidos
Estos movimientos en la Mimosa se observan con el vegetales, por lo cual se espera que pueda brindar
cierre de las hojas y la caída del peciolo dependientes de información acerca de los cambios fisiológicos en las
ATP, lo que gasta niveles energéticos de la planta. Esta plantas. Lo anterior se basa en entender los cambios
sensibilidad a factores como la temperatura, iluminación, en los parámetros de impedancia durante el proceso de
vibraciones y humedad, ha sido motivo para el extenso interés [2].
estudio de las propiedades eléctricas y fisiológicas de
la planta [1], [3], [4-6]. Ya que el estímulo se traduce Si existe un modelo para describir el proceso bajo
en una señal eléctrica que se propaga por la planta, la escrutinio, éste se usa para ajustar los datos experimentales
espectroscopía de impedancia eléctrica es adecuada para y obtener los parámetros que caracterizan al sistema. En
el estudio de sus propiedades eléctricas [2]. nuestro caso no existen modelos definidos que describan
la generación y propagación del potencial de acción. En
Los movimientos sismonásticos de esta familia este caso se propone un circuito equivalente que muestre
de planta son adaptaciones evolutivas a respuestas de un comportamiento similar al de los datos experimentales
defensa (protección ante un depredador) u ofensivas y se realiza el ajuste utilizando el método de mínimos
(atrapar a una presa). También el cierre de las hojas cuadrados no lineales complejos para obtener los valores
impide la saturación de humedad, el crecimiento de las impedancias de los componentes del circuito. La
bacteriano y epifítico, estos factores impactan las Figura 1 resume el proceso anterior.
capacidades fotosintéticas desfavorablemente. En épocas
secas, el pliegue de las hojas disminuye la pérdida de El efecto de los electrodos tiene que ser tomado
agua; mientras que en presencia de viento fuerte, el en cuenta al analizar las mediciones, sin embargo en la
cambio estructural reduce el área de la planta expuesta
al viento. Otro tipo de movimientos en estas plantas son Sistema
nictinastias, que ocurren por la noche en respuesta al Planta + Electrodos
ritmo circadiano vegetal regulado por la luz [3].
Medición del Espectro de
Las respuestas de la planta a los estímulos externos Impedancia Eléctrica
son reguladas internamente, determinadas por procesos
químicos que involucran procesos de difusión de iones Circuito Equivalente
en forma de potenciales de acción que se propagan de
célula a célula en analogía con la propagación de los Ajuste de la Curva
impulsos nerviosos a lo largo de las neuronas [4-5].
Caracterización
Debido al distintivo comportamiento de la planta y a del Sistema
que sus respuestas fisiológicas son observables a la vista,
esta planta ha sido investigada desde hace más de 100 Figura 1. Diagrama de flujo del experimento de
años [6]. En este trabajo se utiliza la Espectroscopía de espectroscopía de impedancia eléctrica con plantas
Impedancia Eléctrica (EIS) [7] para establecer un modelo
del pulvínulo mediante un circuito eléctrico equivalente
así como los parámetros de la respuesta a estímulos
mecánicos. La comprensión de este comportamiento nos
permite plantear nuevas hipótesis y describir estrategias
en el estudio de los tejidos vegetales.
Métodos
Espectroscopía de impedancia eléctrica
La espectroscopía de impedancia eléctrica es un término
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
16 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / FÍSICA
literatura (véase [2]) se reporta que se puede minimizar Fig. 3 Ejemplo de un diagrama de Nyquist
la impedancia de la polarización de los electrodos de nuestro experimento
haciendo un barrido de frecuencias altas (mayores a 4
kHz). Esto es de vital importancia en las mediciones representativa de ejemplo a partir de las mediciones
de impedancia eléctrica donde se usa la configuración sobre un pulvínulo de nuestra Mimosa púdica se puede
de dos electrodos conectados en serie con la muestra, apreciar en la Figura 3.
así el comportamiento a altas frecuencias del sistema
electrodo-material (electrolito) es solamente capacitivo. Circuito equivalente: Debido a que el proceso que se
Para observar el comportamiento del sistema a estudió es la conducción eléctrica de la planta, la difusión
partir de los datos se utilizan representaciones especiales, de iones, especialmente de Cl- y K+ [5], se espera que el
tales como las gráficas de Bode y Nyquist, descritas a
continuación. circuito equivalente para modelar el proceso contenga
Análisis de datos elementos difusivos (de Warburg) y elementos de fase
constante, para considerar los efectos capacitivos del
Gráficas de Bode: Para observar el comportamiento del tejido vegetal, como la polarización de las membranas
sistema en función de la frecuencia se usan las gráficas
de Bode. Como la impedancia es una magnitud compleja, de las células de la planta. Un circuito equivalente
puede ser determinada completamente por medio de
su magnitud y su ángulo de fase. De lo anterior, es de contiene diversos elementos (N), cada uno de los cuales
esperar que exista un diagrama de Bode para la magnitud
y otro para la fase. El primero se realiza graficando el es caracterizado por su impedancia Zi, y para encontrar la
logaritmo base 10 de la magnitud de la impedancia impedancia total se requiere sumar impedancias en serie
contra el logaritmo base 10 de la frecuencia, mientras y en paralelo. La suma de n impedancias en serie es
que el segundo es la gráfica de la fase contra el logaritmo
base 10 de la frecuencia. La Figura 2 muestra varios Z eq = ∑in Z i , (1)
diagramas de magnitud de Bode del experimento.
mientras que la suma de m impedancias en paralelo es
Gráficas de Nyquist: Es una representación en el plano
complejo del negativo de la componente imaginaria de la Z e-q1 = ∑jm ( Zj-1). (2)
impedancia contra la parte imaginaria de la misma (-Z^’’
vs.Z’). El signo menos de la parte imaginaria es una
convención utilizada, cuando ésta toma valores negativos
como en nuestro caso, debido al comportamiento
capacitivo del sistema. Aquí la frecuencia no es
perceptible a simple vista, pero la frecuencia aumenta
de derecha a izquierda en las gráficas. Una gráfica
Ahora ya se tiene la manera de encontrar la impedancia
del circuito, y con ello podemos su magnitud, que es
|Z|=√(Z* Z), (3)
donde Z* es el complejo conjugado de Z. Al tener la
magnitud, en función de la frecuencia, se puede pasar
al ajuste de los datos experimentales, usando el método
descrito enseguida.
Figura 2 . Ejemplo de un diagrama de Mínimos cuadrados no lineales complejos: Los
Bode de nuestro experimento mínimos cuadrados no lineales complejos o CNLS por
sus siglas en inglés, es el método más común para ajustar
la parte real e imaginaria de los la impedancia su magnitud
y fase, a la función o circuito equivalente deseado. Su
utilidad es mayor cuando el modelo propuesto tiene
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 17
más de 10 parámetros libres. El método de CNLS es los electrodos al electrómetro, la planta sufrió un
muy sensible al número correcto de parámetros libres, pequeño estrés, porque se esperó hasta que se relajara.
los valores iniciales de los mismos y la posibilidad de La Figura 4 muestra el arreglo en su totalidad, mientras
convergencia a un mínimo local (el mínimo global es la que la Figura 5 muestra el contacto entre los electrodos
mejor solución). En general la suma ponderada de los y el pulvínulo.
cuadrados es minimizada [8]:
Se midió el espectro de impedancia de cinco pulvínulos
∑{ [ ( )] [ diferentes de la planta, cada medición duró en promedio
( ()4]) } 80 s. Los detalles de las 27 mediciones se muestran en
los Resultados, cada gráfica contiene las mediciones
)] [ ( )] } hechas en un mismo pulvínulo.
donde N es el número de puntos y P es el conjunto de
parámetros del modelo. Si se ajustan las partes real e
imaginaria, entonces los superíndices a y b corresponden
a las partes real e imaginaria, respectivamente. En caso
de que se ajusten la magnitud y fase de la impedancia
entonces a representa a la primera, y b a la segunda;
mientras que los subíndices exp y teo, etiquetan a los
datos experimentales y teóricos, respectivamente. El
factor de dpeodnadteorsacaibóanrcwa iav,ba, rieoss importante cuando el
conjunto órdenes de magnitud,
como en este experimento, ya que cubre un amplio rango
de frecuencias. Uno de los factores que se recomienda
utilizar, para evitar que los datos más grandes del
conjunto dominen el ajuste y dificulten la convergencia,
es wloi s= vZai-l2o. rSeisninemicibaalregsololas elección de la ponderación y
de hará el software ZSimDemo
3.30d®.
Arreglo experimental
Para las mediciones de espectroscopía de impedancia Figura 4. Arreglo experimental: planta conectada al
eléctrica se utilizó el equipo Precision LCR Meter electrómetro. Luis Ramos T.
(Agilent® E489A) 20Hz-2MHz, conocido como
electrómetro (mostrado en la figura de abajo). El equipo Electrodos
se configuró para medir el módulo de la impedancia de platino
|Z| y el ángulo de fase θ para un barrido logarítmico de
frecuencias cubierto por 201 frecuencias desde 20 Hz
hasta 2 MHz. El voltaje de prueba fue de 20 mV a menos
que se indique lo contrario y la corriente de prueba fue
de 2 mA. El contacto eléctrico entre el aparato y la
planta se hizo con dos electrodos de platino en forma de
alambre. La planta analizada fue una Mimosa pudica de
aproximadamente 6 meses, que fue regada cada tres días
y expuesta a la luz solar por medio día y el otro medio
puesta en oscuridad a diario.
La planta fue colocada sobre una silla para que Pulvínulo
estuviera al alcance del aparato, cuidando que no hubiera
contacto entre la planta y los objetos a su alrededor, con Figura 5. Conexión de los electrodos de platino al
especial atención a las ramas donde se realizaron las pulvínulo. Luis Ramos T.
mediciones. Se insertaron los electrodos a la planta y se
dejó reposar por un día para poder medir la impedancia
de la planta en estado relajado, sin embargo al conectar
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
18 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / FÍSICA
Resultados se observa que la respuesta fue invariante aún ante un
Los resultados de las 27 mediciones realizadas en los 5 estímulo mecánico (véase Figura 7). El tercer pulvínulo
pulvínulos fueron procesados en el software Matlab®, mostró la respuesta eléctrica de la Figura 8, pero ningún
para hacer el análisis gráfico. Se realizaron las siguientes movimiento de la planta observable. Debido a eso, se
gráficas de Nyquist para todos los pulvínulos y una realizaron mediciones a 100 mV, 1.5 V y 2V, sin observar
última de Bode para el pulvínulo final. Cabe recordar movimientos de la planta ni cambios significativos en el
que para los diagramas de Nyquist, la frecuencia de los comportamiento del espectro. El diagrama de Nyquist
datos aumenta de derecha a izquierda. es el de la Figura 9. El cuarto pulvínulo se escogió
casi completamente estresado, y su espectro es el de la
El primer pulvínulo estaba casi relajado por Figura 10. En el último pulvínulo se realizaron nueve
completo, se midió, se repitió la medición y luego mediciones resumidas en la gráfica de la Figura 11.
se le estimuló por contacto al comienzo de la última También es importante observar el comportamiento de
medición. Los diagramas de Nyquist de la medición se la gráfica de Bode (Figura 12), ya que nos muestra que
muestran en la Figura 6 (la línea amarilla es la medición después de varias mediciones, el comportamiento de la
con el estímulo). Como el segundo pulvínulo se escogió planta tiende asintóticamente a un valor estable.
el más cercano al anterior, para ver si fue afectado por
la estimulación mecánica del primero; sin embargo, Conclusiones
Figura 6. Diagrama de Nyquist de los espectros del primer Todas las mediciones de los pulvínulos presentan un
pulvínulo comportamiento de respuesta similar como lo muestran
los diagramas de Nyquist; cabe destacar que la señal
puede interpretarse en dos partes, una que corresponde a
una impedancia grande a bajas frecuencias que decrece
hasta un mínimo local en su parte imaginaria, la segunda
parte de la respuesta es la respuesta clásica de un modelo
Cole-Cole mostrando una curva que inicia con valores
bajos de la contribución imaginaria que aumenta y
después se hace cero a frecuencias altas. Estos estados
Figura 7. Diagrama de Nyquist de los espectros del Figura 9. Diagrama de Nyquist de los espectros del tercer
segundo pulvínulo pulvínulo a 100mV, 1.5 V y 2 V.
Figura 8. Diagrama de Nyquist de los espectros del tercer Figura 10. Diagrama de Nyquist de los espectros del
pulvínulo a 20 mV. cuarto pulvínulo
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 19
Figura 11. Diagrama de Nyquist de los espectros del quinto Figura 13. Diagrama del circuito equivalente para un
pulvínulo pulvínulo de la Mimosa púdica
Figura 12. Diagrama de magnitud de Bode de los Figura 14. Diagrama de magnitud de Bode de un elemento
espectros del quinto pulvínulo de Warburg. La pendiente inicial es de -1/2
sugieren que existe una transición en la contribución distancia al electrodo. Es un elemento de fase constante
de las corrientes de conducción y de desplazamiento de 45° independiente de la frecuencia. La impedancia
durante o en ausencia del movimiento de las hojas de la del elemento de Warburg es
Mimosa púdica.
√( ) (2)
Tanto las gráficas de Nyquist como de Bode
indican la transición de fase del sistema; sin embargo, donde σ es la constante de Warburg y j es la unidad
las primeras muestran esto de forma más clara y por eso imaginaria. La gráfica de Bode para el elemento de
se usaron para realizar el ajuste a un circuito equivalente, Warburg tiene la forma que se muestra en la Figura 14.
el comportamiento difusivo a bajas frecuencias y
capacitivo a altas frecuencias (debido a la impedancia Comparando esta gráfica con la parte inicial
de polarización de los electrodos), fue ajustado de buena de la gráfica de Bode para el pulvínulo 5, se ve que a
forma con el circuito equivalente mostrado en la Figura frecuencias bajas, la pendiente es similar a la de la
13. gráfica de Bode de Warburg, lo cual justifica la inclusión
de este componente en el circuito equivalente.
En el circuito las Ri y Ci son resistencias y
capacitancias normales, Q es un elemento de fase Las impedancias reactiva y capacitiva son dadas
constante (CPE por sus siglas en inglés), caracterizado por (3) y (4), respectivamente.
por una constante capacitiva y un exponente n. El
componente representado por la W es el elemento de ZR = R (5)
difusión de Warburg, es el circuito de difusión más ZC = 1 (6)
sencillo, puede ser usado para modelar procesos de
difusión lineal semi-infinita, es decir, difusión libre jωC
hacia un electrodo plano grande, donde solo importa la
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
20 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / FÍSICA
El ajuste se realizó con ayuda del software Figura 15. Gráfica del ajuste del circuito equivalente para
ZSimDemo 3.30d. Se tomó la porción de baja frecuencia el primer pulvínulo
donde la difusión es el proceso dominante. En la Figura
15 se muestran los datos experimentales (rojo) y los del función se puede calcular la frecuencia de corte, que es
ajuste (verde), se observa que el ajuste es bueno y se la frecuencia a la cual el sistema sufre esta transición de
realiza para frecuencias mayores a 1 kHz para minimizar fase, por debajo de ella el comportamiento dominante
el efecto de la polarización de los electrodos. Los valores es el difusivo, mientras que para frecuencias mayores,
de los parámetros del circuito equivalente se muestran el comportamiento capacitivo es el predominante. Esto
en la Tabla 1, los valores están listados en el orden en el abre las puertas al diseño de estimuladores magnéticos
que aparecen en el circuito. para la planta, que permitirían estudiar la sensibilidad de
la Mimosa púdica a los pulsos de inducción magnética.
La prueba de χ2=2.241∙10-5 nos dice que el ajuste Sin embargo por sí solo nos brinda información acerca
fue bueno y que el circuito propuesto describe de de los procesos difusivos que ocurren en la planta, así
buena manera el proceso de la conducción de estímulos como de la resistencia y capacitancia del tejido vegetal,
eléctricos en la Mimosa púdica. proveyendo un circuito equivalente que, aunque existe
la posibilidad de que no sea el único que se ajuste a los
Un paso posterior es encontrar la función de datos (cosa común en la espectroscopia de impedancia
transferencia del circuito equivalente por medio de la eléctrica), es compatible con las propiedades esperadas
suma de las impedancias en serie y paralelo, como se para el sistema. El uso de cuatro electrodos en vez de
explicó en la sección de métodos. Encontrando esta dos ayudaría a eliminar en mayor medida los efectos de
la impedancia de polarización de los electrodos y así el
Tabla. 1 Valores para los elementos del circuito análisis se centraría en las propiedades intrínsecas del
equivalente de la Figura 13 sistema. Otros factores como vibraciones, humedad
y el viento, no afectaron las mediciones ya que los
Parámetro Magnitud diagramas de Nyquist mostraron una forma invariante;
por eso se concluye que los resultados son, de hecho,
Resistencia 1(ohm) 2.61E4 característicos del sistema y la información derivada de
Capacitancia 1 (F) 3.557E-9 los mismos tiene validez justificada.
Resistencia 2 (ohm) 9527
CPE, Yo (S-sec^n) 2.859E-7
Frecuencia , n (0<n<1) 0.6989
Resistencia 3(ohm) 2.693E15
Warburg, Yo (S-sec^5) 7896
Capacitancia 2(F) 3.418E-7
Resistencia 4 (ohm) 2946
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 21
Referencias Luis Giordano Ramos Traslosheros López
[ 1 ] Volkov, A. G., et. al. “Mimosa pudica: Electrical and Lic. en Física, UANL, Georg-August-Universität Göttingen.
mechanical stimulation of plant movements”. Plant, Cell & Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization.
Environment. Volume 33, Issue 2, pp. 163–173. 2010. Departamento de Dinámica No-lineal. Göttingen 37077,
Alemania. Intereses: Neurociencia teórica y computacional,
[ 2 ] Liu, X. Electrical Impedance Spectroscopy Applied in Plant biofísica y física de sistemas complejos.
Physiology Studies. RMIT University. 2006.
Francisco Hernández Cabrera, Dr.
[ 3 ] Roblin, G. “Movements and Bioelectrical Events Induced by
Photostimulation in the Primary Pulvinus of Mimosa pudica”. Lic. en Física, UANL, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Zeitschrift für Pflanzenphysiologie. Volume 106, Issue 4, April UANL; Cd. Universitaria N. L. C. P. 66450. Intereses:
1982, Pages 299-303. http://www.sciencedirect.com/science/ Biofísica y Biomedicina.
article/pii/S0044328X82801086).
Email: [email protected].
[ 4 ] Fromm J, Lautner S. “Electrical signals and their physiological
significance in plants”. Plant Cell Environ. 2007 Mar;
30(3):249-57. 2007.
[ 5 ] Kumon, K. and Suda, S. “Ionic Fluxes from Pulvinar Cells
during the Rapid Movement of Mimosa pudica L”. Plant Cell
Physiol. 25(6): 975-979. 1984.
[ 6 ] Linsbatjer, K. 1908. Über Reizleitungsgeschwindigkeit und
Latenzzeit bei Mimosa pudica. Wiesner Festschrift 396 — 411.
1908.
[ 7 ] Macdonald, J.R. “Impedance Spectroscopy”. Annals of
Biomedical Engineering. 20, 289-305. 1992.
[ 8 ] Latham, R. A. Algorithm Development for Electrochemical
Impedance Spectroscopy Diagnostics in PEM Fuel Cells.
University of Victoria. Canada. 2004.
Circuito eléctrico equivalente del pulvínulo de la Mimosa pudica L.
POR: Luis Ramos y Francisco Hernández
Absorción
de un polímero
doble atado a una
superficie
Armando Rodulfo Reyes
Co Autor: Omar González Amezcua
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
Utilizando simulaciones por el método de dinámica molecular, se
caracterizaron los diferentes estados de absorción de un polímero
compuesto de dos extremos y un monómero interior fijado a una
superficie plana rígida, polímero en forma de U. Los monómeros
del polímero interaccionan con la superficie de forma atractiva. Se
determinó la transición del polímero, entre un estado libre y uno
ligado a la superficie, en función de parámetros como: el tamaño
del polímero, su constante de rigidez, la temperatura y la magnitud
de interacción con la superficie. Los resultados permiten establecer
los criterios para los cuales se logra la absorción de polímeros y
sus diferentes configuraciones de equilibrio, y permite extender los
resultados teóricos que se conocen para el caso de un polímero libre y
con solo un extremo ligado a la superficie.
Palabras claves:
polímero, dinámica molecular, absorción y estados de transición
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 23
Introducción interacciones del orden de piconewton, y la escala de
masa es del orden de la masa atómica del carbono.
La interacción atractiva entre una cadena polimérica y
una superficie es importante para estabilizar partículas en Lo trascendente de estos números es que los
suspensión acuosa [1, 2, 3]. Se ha estudiado, por ejemplo, científicos cuentan con las herramientas experimentales
que para lograr que una pintura se fije y perdure sobre que permiten verificar modelos teóricos y analíticos en
una superficie se pueden añadir una pequeña cantidad de el mundo de lo muy pequeño. Por otra parte, con el gran
polímeros, los cuales generan una mejor adherencia de avance que han tenido las computadoras en los últimos
los colorantes sobre la superficie. años, se puede enfocar el estudio de estos sistemas
desde una perspectiva de cálculo numérico, donde la
En la misma dirección, la industria cosmética máquina permite encontrar la solución a las ecuaciones
agrega diferentes clases de polímeros con la intención de de movimiento para sistemas compuestos de entre
estabilizar sus productos [3]; en medicina se han estado 100 a un millón de partículas [10,11,19,20]. Con esta
estudiando desde hace algunas décadas terapias génicas, información es posible calcular propiedades importantes
donde usando como vehículo liposoma, se reemplaza del sistema y compararlos ya sea con modelos teóricos o
el gen dañado de una célula por uno que funciona con resultados experimentales.
correctamente. El problema de este procedimiento es
que es muy poco eficiente dado que el liposoma no es En este trabajo se adopta esta estrategia para
capaz de reconocer la célula dañada; es por eso que se estudiar la absorción de un polímero sobre una superficie,
está intentando dotar al liposoma de cadenas poliméricas se resuelven iterativamente ecuaciones de movimiento
que sean capaces de reconocer e interactuar solamente de Newton y a partir del análisis de su trayectoria, se
con la superficie de las células dañadas [4]. calculan parámetros representativos del equilibrio del
polímero.
Los ejemplos anteriores son una muestra de
donde los efectos de interacción entre un polímero y Parte de los resultados pueden ser comparados
una superficie son importantes [5, 6]. Por consiguiente, con un modelo teórico que considera el polímero
es relevante contar con los conocimientos físicos y como un sistema ideal, el cual, no toma en cuenta los
químicos que nos permitan una correcta descripción de efectos de correlación entre sus distintos componentes
los diferentes fenómenos que se llevan a cabo entre los y donde la interacción de exclusión de volumen es nula
distintos elementos del sistema en estudio. (es decir, se trabaja con partículas puntuales); además,
la superficie se modela solo mediante un potencial
Se cuenta ahora con una gran variedad de técnicas repulsivo en el contacto [5]. Por lo tanto es de esperar
experimentales que permiten entender y caracterizar lo que la correspondencia entre la simulación y el modelo
que ocurre a las escalas donde las interacciones entre: teórico solo sea cualitativa, pero es un punto de partida
polímeros, superficies y partículas son importantes. Por para establecer modelos más complicados y elaborados
ejemplo, con el microscopio de fuerza atómica AFM de sistemas multi-componentes.
(por sus siglas en ingles) se puede determinar qué tan
rugosa es una superficie y se pueden medir variaciones Marco Teórico
con longitudes del orden de nanómetros [8]. Por otra
parte, una herramienta experimental que permite medir Modelo de simulación: Se ha empleado el método de
el tamaño de las fuerzas, es denominada pinza óptica, dinámica molecular para realizar la simulación del
con la cual se ha podido determinar la constante de polímero y su interacción con la superficie; ver Figura
elasticidad de distintos polímeros [9]. 1 (a). El elemento central de la simulación depende de
la fuerza que ejercen entre sí los diferentes elementos
Otras técnicas experimentales usadas son la del sistema; por ejemplo, la fuerza entre un monómero y
fluorescencia, la electroforesis y marcaje radiactivo, las la superficie, o entre dos monómeros, la cual se calcula
cuales permiten calcular propiedades como: el coeficiente por medio de los potenciales de interacción [12, 13]. Los
de difusión, el peso molecular, longitudes características monómeros de la cadena polimérica se mantienen unidos
de configuración, densidades, etc [3, 9]. Con lo anterior mediante la utilización de potenciales de interacción
ha sido posible determinar las escalas que resultan atractivos y repulsivos; ver Figura 1 (b). Se modela el
importantes en el estudio de este tipo de sistemas; por efecto de exclusión de volumen entre dos monómeros
ejemplo, se trata con sistemas del orden de entre 10 a al contacto por medio de un potencial repulsivo de
50 nanómetros, en cuanto a unidades de energía se Lennard-Jones (LJ) entre el monómero fijo Ni y cada
manejan interacciones del orden de 1 KBT a entre 10 KBT,
para la fuerza entre los distintos componentes tenemos
Absorción de un polímero doble atado a una superficie
POR: Armando reyes y omar gonzález
24 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / FÍSICA
uno de los Nj monómeros restantes de la cadena, con la (a)
ecuación:
N 1 12 6 1 rij 21/6
4 i1 rij rij rij 21/6
(rijVLJ) LJ 4 ((11)
0
donde rij = | ri-rj | es la distancia de interacción entre (b)
e(emplloosmnVVtiesóLFoLtnJ(me(ncramrió,iiejja)m)raclo.oesanr,o4teyrca12LNtƐcJiktvLNiiFiJiv1y1Ndifoia1j2)Ndarijrrjl,eiajaes10σ2n02etsLdrdceneeartitelj1eadrrm6odmseirrinia14njeamand2oeaernlgópírrmtaoiiajjsrrrmeii,,arjj22aom11uñs//66ertroaaidlliiidzogeaard(dl(2eoo1e)n)ssl
potencial FENE [11] (por sus siglas en inglés), el cual
esta dado por:
Vsur (z) FW 12iNk1FN1i1012 rrziaj i 21L0 n141 zirriaj42 ri, j ra (3)
((22)
VF (ri, j )
ri, j ra
0
donde rij= | ri-rj+1 | es la distancia de interacción entre ri (t t) ri (t ) t vi t t ,
ƐlmdaoLáJsm,xVVeimassmuulgrrop((nanzaie))tórunámdtmrF1e4edeWrklteoorbiseoNsin1nmNaritade11o21yr0d(nacaeócoctcmszeeiirnóemitn1re0oisn1sy)a,d214feeiljalsatzddpái aiosdlc4tíaaomdnnaecerielaon(v,d4amk)elFosúrdeldetpietaperr(lrao3am=c)si2iódn.0nea 2
eσesnettanrebllaeVdscLoJiem(sruiuj n)mlaaocdni4óiósnmtLaJ[en1Nirc21o1i]as. Ldrsijeauc1se2ueqsmuivialroiijdbser6ieoesn14ptoaesrladoplasroijpliínomtt2eee1r/nr6aocc.icailLóenas(1) rVlRáeíFeinnFFnpdóEnieggNdrepavvrEeuluiiat(iicisNl(irirrnomatVVa)eos11tttsrn(LFjeia1rameJet(irs(carad(lr1ouriau,etice22njljnl))a)apttca)úurGcicriismógneiiruóónrusiáeiópn4neaf(rvvdniet.onlcii212ee)LrLtae)J(fsdak,LeaittnNciedFe�neltd1iae1Nrlenlmitaiel1psc1nv=222dcosutdoitta�reeainnionrsjrrnódiactitstj2fncoei.m1-o0g2Jtimm(2vaerbmmueomLaro2attr)rndialntnoaneSFFeemcrdcsónisuiicj1ier,om(tóamieVte7óttd6bnefe))Laneer.sJr..imrl(rroondcaiera14jsr)ieoidncnb(no2ccileaiaodi,ocealsuoenuldnulsspape((rrpaseocii55oejjlalcirt))dsalpóideíu,nmiojnhnsa22toli1t1.ceív1p//am66Lirgro)anaoaoreslyrc,iesarsilsoaa (1)
una0 gráfica para esritja s2u1/6ma de (2)
Figura 1 (b) muestra
pmoítneVFinsmiucro(iapl)easr,a14dirk(ob=renn)1dNi.e1120(sc3eoσsp.ui ed1(e)62)ver aproxim(4a)damente un
Por otra parte, para lograr que el polímero se ri, j ra
msedaunbeopscdoieRimirrngfbfiVtiaceacFardi(aaedreci,o,lNjclea)aidl1óscesnu1uuLpapJelae12,retrfirNkfdsiai1FcecmciNfiiteieio1nr2v,cedimodsezrriaoljn>aeresd02inoc0oLt2el,rnapsedmao1arredlioomnosterriepianjdompcir2ola:ourd(nia8reó)lumaunnrrerii,,erppjj ogoosittórreeaannnyccpiiolaaarll(2)
constaRnF2teinNdbica una superfic0ie neutra.
Fi i (r) (6) el traFNbRinag12jaolmqNeun6ete,rbesaelizinacleulyópou(lní9m)peorotenccuiaanl dpoaraseinddoibcalar
udsoRenbF rpfaloeitxVeu1innsbruciraili(1iazdcl)aroiddne,FfiWgeinuliNtr1eacrcua1i1acó0lcnióezncisu1dr0cveaaldct14r(uae7,ls)azdilcloau4meprapodoros potencial
Vsur (z) FW N 1 10 1 4 medio (d3e)
i 1 zi (3) donde se
10 4 zi
define un ángulo θ por la apertura generada entre tres
monómeros consecutivos, mediante:
RF2 Nb
Edf[v9uoale]ln.orpRdzUrageagnVrázrdasuamiersen(uesidNntple)rat1eoedrdrf1ei1a4iFsccFtkwicaeb=wieniNnóp,2c1Nnilm9iaa1Ɛ2enir(eeLncacJnmntotrtfsdrerueaerelisiutarentq2re1smumm)ue2pioenuennanrótfeimvlcaaaieetlrromoayr(ca8ypteg)iellvna(q4amisut)uuueoptdñnieloóirdzmfdieaceeuirllenoaa.
Rg2 N b (9) ri (t
6 krbie(ntN)i12 (ctovsiit1)22t
1
Vris(urt() t) 4 , (4) (4)
(5)
t t t t. vi t
2 2 m
vi t vi t Fi
Absorción de un polímero doble atado a una superficie
POR: Armando reyes y omar gonzález
F Ni 1 i (r) (6) N 1
RF
ri
INVESTIGACIÓN / FÍSICA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 25
La constante de dobladura kben limita los posibles Existen otros parámetros que se utilizan en la literatura
valores del ángulo θi a valores cercanos a la posición de para caracterizar los estados de equilibrio del polímero,
equilibrio lθa0s=im0u, ylaecsióunn[o11d]e. los parámetros libres que se por ejemplo: la longitud de persistencia y las funciones
varían en de distribución, etc [13-15]. Las cantidades anteriores
El algoritmo de simulación consiste básicamente se pueden calcular teóricamente; por ejemplo, para un
en resolver la ecuación diferencial de Newton de forma modelo de cadena gausiana, en el cual se desprecian las
numérica, lo cual implica discretizar el tiempo en interacciones de exclusión de volumen, de temperatura y
unidades de paso h, de forma tal que se tiene tiempos de flexibilidad del polímero, se encuentran determinadas
sucesivos dados ppoerr:mtii+t1e=ctio+nδot.cLera solución a la ecuación por:
de movimiento la dependencia en el
tiempo de la posición y la velocidad para cada tiempo ti, (9)
se utilizó el método de Verlet [19, 20] para el cálculo de
estas cantidades:
(5) donde b es la distancia entre dos monómeros consecutivos
en el polímero [16- 18].
donde δt es el valor del incremento en cada paso del
tiempo. En la ecuación, el valor de la fuerza Fi(t) es Resultados
calculado por medio del potencial:
El sistema de estudio consistió de un polímero con uno
(6) de sus monómeros interiores fijo a la superficie, lo cual
genera dos cadenas poliméricas que pueden interactuar
donde ϕ(r) es la suma de los potenciales de interacción entre sí y con la superficie; la Figura 1 (a) muestra un
presente en el sistema, en nuestro sistema de estudio la esquema del sistema. La longitud de estas cadenas es
suma de las ecuaciones (1) a (4). variable y depende de la posición de atado del monómero
fijo, pero la longitud total de sistema N=n1+n2 permanece
Las ecuaciones anteriores permiten calcular de sin cambio. En todas las simulaciones se utilizo un
forma iterativa las posiciones ( r1 , r2 , r3 … rn ) y las valor N=200 y los monómeros del polímero no pueden
velocidades ( v1 , v2 , v3 … vn ) del sistema en función del deformar la superficie de absorción.
tiempo ( t1 , t2 , t3 … tn ). Con esta información se pueden
calcular propiedades que identifiquen el equilibrio del Para incluir el efecto de la temperatura se consideró
sistema; por ejemplo, la distancia comprendida entre el un termostato de Anderson, el cual ajusta el cálculo de
primer monómero y el último, es definida por: la velocidad en cada fracción de iteración, a partir de
considerar una distribución gausiana de velocidades. Los
(7) parámetros utilizados para correr la simulación fueron,
el incremento de paso en cada iteración del tiempo δt
la cual nos permite caracterizar la longitud “lineal” del =0.0075, el número total de iteraciones fue: Nciclos=
polímero. Una medida de qué tanto se curva el polímero 6*106, el cálculo de los valores promedio se realizó
sobre sí mismo, es definida por medio del radio de sobre los últimos cuatro millones de iteraciones, una vez
curvatura: que el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico.
(8) La magnitud de todas las energías está escalada
donde rcm define el centro de masa del polímero [7]. con el valor de la constante del potencial de Lennard-
Jones, fijada como: εLJ = 0.84kBT. Todas las variables de
la simulación fueron dimensionadas por los siguientes
factores: σ (diámetro del monómero) para las unidades
de distancias, εLJ para las unidades de energías, t = (m σ2/
εLJ )1/2 para los tiempos, σεLJ para las unidades de fuerzas.
En todas las simulaciones realizadas se partió de
una configuración inicial donde el polímero se encuentra
alineado en forma de “V” a la superficie, con la misma
distancia entre los monómeros, como se muestra en
la Figura (a). Con todo lo antes mencionado, se tiene
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que los parámetros libre del sistema son el número constante, el valor de la cadena n2 pasa en un estado
de monómeros en cada cadena n1, y n2, la contante de libre para n1= 20 a un estado ligado, para n1=100. Esto
interacción del potencial superficie Fw, y la temperatura indica que los estados de absorción son fuertemente
T. dependientes de la asimetría de las longitudes de la
cadena; cadenas pequeñas se encuentran ligadas a la
En la Figura 2 se muestra la dependencia del superficie, mientras que cadenas grandes se encuentran
número de monómeros absorbidos sobre la superficie libres. El punto importante es que el sistema es capaz de
(normalizada sobre el número total N) en función de la evolucionar de forma distinta al variar la longitud de las
longitud del extremo 1 (línea negra) y la longitud del cadenas, de forma tal que la absorción de las cadenas
extremo 2 (línea roja). detecta variaciones entre la longitud de las cadenas. Este
efecto es de especial interés para entender la difusión de
La distancia de absorción h, es definida como la un polímero sobre el poro de una membrana, fenómeno
cantidad de monómeros que se encuentran por debajo de llamado traslocación de polímeros [8, 18].
cierta distancia de referencia (ver Figura 1 (a)), la figura
muestra los resultados para un corte de h=2σ (usado En Figura 3 (a) mostramos el número de
para todas la gráficas) resultados semejantes se obtienen monómeros absorbidos en el extremo 1 de la cadena
para otros valores de corte. Notamos cómo cuando las polimérica en función de su interacción atractiva con la
dos cadenas tienen la misma longitud n1=n2=100, los superficie. Se puede apreciar fácilmente cómo cuando
valores de absorción son iguales dependiendo solamente Fw es mayor que 1.5 el valor de absorción es cercano
de la magnitud de interacción con la superficie Fw. Una a la unidad, es decir la cadena se encuentra ligada a
absorción mayor se presenta cuando la superficie tiene la superficie; mientras que, para valores menores que
un potencial de atracción intenso (valores Fw grandes); Fw< 0.7 pocos monómeros se encuentran ligados a la
esta tendencia se muestra en la gráfica para los valores superficie y la cadena se encuentra libre.
de Fw= 0.4 (líneas con círculos) y Fw= 0.8 (líneas con
cuadros). Estos resultados muestran cómo el sistema sufre
una transición entre estados ligados y estados libres
Otro aspecto a destacar en la gráfica es la falta de a la superficie [17, 18]. Utilizando modelos teóricos
asimetría en la absorción que muestran las dos cadenas, que escalan parámetros típicos entre el polímero y
mientras que el valor de n1 permanece aproximadamente la superficie, se ha determinado que esta transición
se presenta para un valor crítico de interacción con la
Figura 2 Gráfica del número de monómeros absorbidos superficie igual a Fwc=0.5, valor que corresponde bien
sobre la superficie en función de la longitud del extremo con el rango en el que se observan la transición de
1 del polímero, con parámetros N=200, T=0.4 y kben=0.1. nuestro sistema, (resultados análogos se encuentran para
Línea negra indica el extremo 1 del polímero y línea roja el extremo 2 del polímero).
extremo 2. Se muestran los resultados para dos valores
de interacción con la superficie, una fuertemente atractiva La gráfica también muestra cómo para superficies
Fw=0.8 (líneas con cuadros) y una ligeramente atractiva fuertemente atractivas, los efectos de temperatura
no son significativamente importantes para el rango
Fw=0.4 (líneas con círculos). Fw>Fwc, mostrando solo una diferencia importante en
superficies poco atractivas, Fw<Fwc. Es decir, el efecto
de las fluctuaciones térmicas es menor cuando la energía
de interacción con la superficie es mayor que la energía
térmica del medio.
La Grafica 3 (b) muestra la dependencia de la
distancia principio-fin en función de la longitud del
extremo 1, para tres valores de interacción con la
superficie Fw. Se puede notar una dependencia lineal que
no es afectada por el valor de Fw que se use, el valor del
exponente calculado por ajuste de mínimos cuadrados
es de γ=1.20, el calculado teóricamente para una cadena
con una de sus extremos atado a la superficie es de
γ =3/4, que difiere del polímero libre ecuación (9),
γ =1/2.
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Figura 3 (a) Gráfica del número de monómeros absorbidos entonces presentar claramente dos tendencias y marcar
sobre la superficie en función de la fuerza de interacción el punto en que esto se presenta. En la figura 4 (b) se
puede apreciar como la derivada de n1 con respecto a la
con la superficie Fw. La línea roja corresponde a una temperatura T, para el caso de Fw=0.7, marca el punto
temperatura de T=0.4 menor que la temperatura ambiente, cercano a Tc ≈ 0.7 como un valor crítico que separa dos
comportamientos en el valor de la pendiente; una situación
y la negra para T=0.64 mayor que la temperatura similar se presenta para caso de Fw=0.4 (no mostrada)
ambiente. (b) Gráfica de la distancia principio fin dF en con una temperatura crítica Tc ≈ 0.35. Para el caso en
función del número de monómeros en la cadena n1, para que T>Tc, donde el sistema muestra una dependencia
tres diferentes valores de la fuerza de interacción con la lineal, se calculó el valor de la pendiente por el método
superficie Fw . Se muestra la aproximación lineal con un de mínimos cuadrados; los valores que se obtienen son:
m= -0.759 para Fw = 0.4 y de m = -0.391 para Fw=0.7,
valor � � � =1.20. es decir el valor de la pendiente permite caracterizar la
magnitud de interacción entre la superficie y el polímero.
Por consiguiente, notamos que la absorción de Esto puede ser importante para caracterizar el efecto de
polímero sobre la superficie y su interacción con el la temperatura en el recubrimiento de superficies con
otro extremo del polímero, incrementa la longitud del soluciones polímericas.
polímero y por consiguiente el valor de su exponente Conclusiones
γ. Es decir, el sistema pierde entropía al quedar Utilizando dinámica molecular se han podido caracterizar
aproximadamente extendido sobre la superficie. configuraciones de equilibrio de un polímero formado
por dos extremos y un monómero atado a la superficie.
Finalmente la Figura 4 (a) muestra el cambio en En función de la longitud de la cadena del polímero
el número de monómeros absorbido en función de la se determinó un valor crítico Fwc≈ 0.5, que coincide
temperatura de equilibrio del sistema, para dos valores aproximadamente con el valor teórico calculado [16], el
fijos del potencial de interacción con la superficie Fw=0.4 cual marca la transición entre un sistema ligado y libre a
(línea negra) y Fw=0.7 (línea roja).
Figura 4 Figura 4 (a) Gráfica del número de monómeros
De la gráfica se puede observar que cuando la absorbidos sobre la superficie en función de la
temperatura del sistema es menor que el valor de
interacción con la superficie T < Fw, la fuerza de temperatura del termostato T. La línea roja corresponde
atracción del plano domina sobre los efectos entrópicos a el caso de una fuerza de interacción con la superficie
de las cadenas del polímero y este se absorbe sobre la Fw=0.7, mientras que la línea negra es para una fuerza de
superficie; mientras que, para temperaturas mayores Fw=0.4. Los parámetros de la simulación son los mismos
que T > Fw la cadena se encuentra libre, mostrando una de la figura 2. (b) Muestra gráficamente la derivada del
dependencia linear con la temperatura. La temperatura número de monómeros con respecto a la temperatura para
crítica de esta transición se presenta cuando T es del
mismo orden que la Fw usada; es decir, los efectos el caso de una fuerza de Fw=0.7.
energéticos son comparable entre sí.
Para verificar este hecho se tomó la derivada de
la función con respecto a la temperatura, la cual debe
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la superficie. Para el caso en que se permite la variación
con la temperatura se tiene nuevamente otro valor crítico
para la transición de estados libre-ligado, cercano a:
Tc ≈ Fw, para valores donde T < Tc la fuerza de atracción
Fw domina sobre los efectos entrópicos de las cadenas
del polímero generando su absorción.
Se determinó una relación lineal para la distancia
principio fin que escala de forma distinta al caso libre
y con solo un extremo atado. Estos resultados pueden
llegar a ser de fundamental importancia en el estudio
de diversos procesos en los que se presenta la relación
entre un polímero y una superficie, por ejemplo: la
estabilización de coloides en agregados poliméricos
[1,6], en el plegamiento de proteínas sobre paredes
celulares [8, 9], o en la traslocación de polímeros sobre
canales iónicos.
Finalmente, extensiones de este trabajo a sistemas
con más extremos libres en el polímero se encuentra
en desarrollo [21]. El trabajo a futuro es desarrollar
algoritmos que nos permitan estudiar sistemas con un
grado de complejidad mayor, por ejemplo: sistemas
multi-componentes, geometrías más elaboradas, efectos
de interacción hidrodinámica y de la influencia que red
atómica de la superficie tiene sobre el polímero.
Los autores agradecen el apoyo brindado por el
programa: Apoyo A La Incorporación De Nuevos PTC
número: F-PROMEP-38/Rev-03.
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Referencias Datos de los Autores:
Armando Rodulfo Reyes
[1] Fleer, G. J., Stuart M. C., Sheutjens, Cosgrove T., Vincent, B.
“Polymer at interfaces”. Chapman and Hall; London, 1993. Armando Rodulfo Reyes es egresado de la Facultad de
Ciencias Físico Matemáticas de la UANL, en la generación
[2] Gennes P. G; “Scaling Concepts in Polymer Physics”. 2nd ed.; 2012 y actualmente se está preparando para ingresar a un
Cornell University Press: Ithaca and London. 1985. programa de posgrado.
[3] Lipowsky R.; Sackmann E.. “Structure and Dynamics of Omar González Amezcua
Membrane”. Elsevier, Amsterdam. 1995.
Omar González Amezcua es profesor de Tiempo Completo en
[4] González-Amezcua, O. and M. Hernández-Contreras. “Structural la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas en la Universidad
thermodynamics of lamellar cationic lipid-DAN complex: DNA Autónoma De Nuevo León. Licenciado en Física por la
compressibility modulus”. J. Chem. Phys, Vol. 123, pp. 224906. Universidad de Guadalajara, con estudios de Maestría
2005. y Doctorado realizados en el CINVESTAV. Cuenta con
dos estancias de investigación, una en la UNAM y otra en
[5] Baulin, V. A., Joner, A. and C. M. Marques. “Sliding Grafted POSTECH. Sus líneas de investigación se desarrollan en
Polymer Layers”. Macromolecules. Vol. 38, pp. 1434-1441. tópicos relacionados con Sistemas Complejos, por ejemplo:
2005. teoría y simulación de sistema muti-compontes (polímeros,
moléculas y membranas), teoría de coloides, y estudio de
[6] Doi. M. and Edwards, S. F. The theory of polymer dynamics. sistemas estocásticos.
Clarendon Press: Oxford. 1986.
Email: [email protected]
[7] Doi, M. Introduction to Polymer Physics. Clarendon Press:
Oxford. 1995.
[8] R. Phillps and S. R. Quake. “The biological frontier of physics”.
Phys. Today. May 2006, pp. 38. 2006. Y sus referencias
[9] T. Strick, J. Rancois, A. Vincent and D. Bensimon. ”The
manipulation of single biomolecules”. Phys. Today. October
2001, pp. 46. 2001. Y sus referencias.
[10] M. I. Hoopes, M. Deserno, M. L. Longo and R. Faller. “Coarse-
grained modeling of interactions of lipid bilayers with supports”.
J. Chem. Phys. Vol. 129, pp. 175102. 2008.
[11] N. Bagatella-Flores, Schiessel, H., and W. M. Gelbar. "Static and
Dynamic of polymer-wrapped colloids". J. Phys. Chem. Vol.109,
pp.21305–21312. 2005.
[12] E. Eisenriegler, Kremer, K., and K. Binder. "Adsorption of
polymer chains at surface: scaling and Monte Carlo analyses". J.
Chem. Phys. Vol. 77(12), pp.6296–6320. 1982.
[13] M. Moddel, Bachmann, M., and W. Janke. "Conformational
Mechanics of polymer adsorption transitions at attractive
substrates". J. Phys. Chem. B. Vol. 113(11), pp.3314–3323. 2009.
[14] F. Varnik and Binder. K. "Multiscale modeling of polymer at
interfaces". Int. J. Mater. Res. Vol. 100, pp.1494–1502. 2009.
[15] J. Dzubiella, Moreira, A. G. and P. A. Pincus. "Polyelectrolyte
colloid complexes: Polarizability and effective interaction".
Macromolecule. Vol. 32, pp.1741–1752. 2003.
[16] A. Milchev, Rostianshvili, V., Bhattacharya, S. and T. Vilgis.
"Polymer chain adsorption on a solid surface: Scaling arguments
and computer simulation". Nanophenomena at surfaces,
Springer series in surface sciences. Vol. 47, pp.185–204. 2011.
[17] S. Zhao, Wu, J., Gao, d. and J. Wu. "Gaussian fluctuation in
tethered DNA chains". J. Chem. Phys. Vol. 135, pp.065103.
2011.
[18] J. Odenheimer, Brill, M., and D. W. Heermann. "Force by and on
a polymer grafted to a repulsive wall". Int. J. Mod. Phys. C. Vol.
16(10), pp.1561-1576. 2005.
[19] C. Forrey and M. Muthukumar. "Langevin Dynamics simulations
of genome packing in bacteriophage", Biophys. J. Vol. 91(1),
pp.25-41. 2006.
[20] Allen, M. P. and D. J. Tildesley. Computer Simulation of Liquids.
Clarendon Pres, Oxford. 1987.
[21] Artículo en preparación para su publicación.
Absorción de un polímero doble atado a una superficie
POR: Armando reyes y omar gonzález
30 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 REPORTAJE
Destaca labor de la
FCFM en Olimpiadas
del conocimiento
La Facultad de Ciencias Físico Matemáticas felicita a sus docentes
y alumnos por la colaboración y participación en las Olimpiadas de
Matemáticas, Física, Informática y Robótica 2012.
En el año 2012, profesores y alumnos de la FCFM de julio. Dos Olimpiadas más en las que buscan participar
participaron en la preparación de estudiantes de dichos alumnos son la Iberoamericana y la de la Cuenca
educación básica, media y media superior, para del Pacífico.
desarrollar sus habilidades en las áreas de Matemáticas,
Física, Informática y Robótica; de modo que lograran "Nuevo León ha desarrollado un buen papel",
destacar en las Olimpiadas Nacionales e Internacionales menciona el Dr. Héctor Flores, "el año pasado y ante
de cada una de ellas. pasado, el Estado logró el 2do lugar a nivel nacional".
Luego comentó: "Es la primera vez en la historia de
Olimpiadas de Matemáticas Nuevo León que sacan medalla de oro tres alumnos".
Dichos estudiantes son: Raúl Hernández, Kevin Dubshot
La Olimpiada Internacional de Matemáticas es un Castellanos y Diego Roque Montoya. El M.C. Alfredo
concurso al que los alumnos más destacados acuden Alanís aseveró que Diego Roque obtuvo medalla de oro
después de una ardua preparación. El M.C. Alfredo Alanís en la LIII Olimpiada Internacional de Matemáticas, en Río
Durán, Delegado Estatal, en compañía del Dr. Héctor de la Plata, Argentina.
Raymundo Flores Cantú, Co-Delegado, ambos docentes
de la FCFM de la UANL, se encargan de la organización Con el fin de brindar un apoyo a más estudiantes
de las Olimpiada de Matemáticas en el Estado de Nuevo que quieran desarrollar sus habilidades y tener más
León, para la cual, ofrecen en las instalaciones de la posibilidades de ser seleccionados, se ha cambiado un
Facultad, los ejercicios y prácticas que los alumnos de poco la mecánica de la preparación. Según comenta el
educación básica, media y media superior tendrán que Dr. Héctor Flores "el nuevo proceso es mantener un grupo
realizar, previo a la primera selección, de donde se busca que trabaje todo el año" en dicho año se atiende a un
elegir a los 15 mejores alumnos del Estado. grupo de avanzados y otros de formación. "Actualmente
sigue habiendo exámenes selectivos para elegir, de la
México participa en las Olimpiadas de Matemáticas manera más transparente, al equipo representativo",
desde 1985, según comenta el M.C. Alfredo Alanís. Con afirmó.
el fin de hacer un buen papel, la Sociedad Matemática
Mexicana lleva a cabo el concurso de selección de El grupo avanzado actualmente cuenta con
los alumnos que representarán al país. Estos últimos, alrededor de 12 a 15 alumnos. Al final, "…compiten 3 ó 4
salen del concurso de la Olimpiada Nacional, para en concursos internacionales. Hay 2 que están buscando
posteriormente, participar en la Internacional en el mes lugar en la Olimpiada Internacional y la Iberoamericana
y hay otros 2 que están buscando lugar la competencia
internacional de Matemáticas" señaló el Co-Delegado.
REPORTAJE CELERINET ENERO-JUNIO 2013 31
Olimpiadas de Física Cabe señalar la importancia de la preparación que
además reciben los alumnos dentro de las instalaciones
Alejandro Lara Neave, catedrático de la FCFM, funge de nivel medio superior de la UANL, puesto que, entre los
desde 1999 como Coordinador de la Olimpiada de Física ganadores, destacaron estudiantes de sus preparatorias,
ante la UANL y como Delegado Estatal de las Olimpiadas siendo un ejemplo para sus compañeros de esfuerzo,
de Física a nombre de la Sociedad Mexicana de la dedicación y excelencia.
misma área del conocimiento. Él comenta que su función
como Delegado es organizar el concurso a nivel estatal, El primer lugar nacional lo obtuvo Diego Roque
para lo que convoca a todas las prepas del estado de Montoya, quien recibió una medalla oro por su
Nuevo León, de modo que participen en el concurso de participación. El Ing. Gilberto Reyes comenta que parte
preselección y, posteriormente, ingresen al entrenamiento fundamental de la preparación de los muchachos consiste
que comienza en junio. en la implementación de la herramienta didáctica
denominada Robot Karel.
Dicha preparación requiere de mucha dedicación
por parte de los alumnos puesto que, además del tiempo Ángel Domínguez (de la Preparatoria 9) obtuvo
invertido en ella, "la Olimpiada está dirigida a un nivel medalla de plata y Yan Villarreal (del CIDEB) junto con
medio superior, pero lo sobrepasa, el nivel es realmente Sergio Fuentes, fueron merecedores del bronce.
de licenciatura", aseveró el Delegado. Agregó: "la
participación estatal es en promedio de 300 estudiantes; Olimpiadas de Robótica
entre esos, se seleccionan 30". Finalmente solo acuden 4
alumnos que van a la Olimpiada Nacional, en donde se La Facultad de Ciencias Físico Matemáticas ha
enfrentarán un total de 107 estudiantes de todo México. incursionado recientemente en la participación en el
"Una vez que compiten en México, se busca que queden Torneo Mundial de Robótica. El encargado de preparar a
los mejores 9 estudiantes después de 3 etapas. De esos los estudiantes es Aurelio Ramírez Granados, Profesor de
9, 4 se van a la Olimpiada Iberoamericana de Física y los Ciencias Computacionales junto con los estudiantes Isaac
siguientes 5 a las Olimpiadas Internacionales", comentó. Alexandro Toledo Flores y Lizeth Rodríguez Murguía.
En el 2012, el alumno neolonés Ismael Mendoza De acuerdo con el Profesor Aurelio Ramírez, al
Serrano logró pasar a la XVII Olimpiada Iberoamericana aprender a programar a los robots, los alumnos de
de Física que tuvo lugar en Granada, España; secundaria que participan en el torneo trabajan en
competencia que busca tener el mismo nivel que la equipo, se divierten y desarrollan su creatividad, mientras
Olimpiada Internacional. aprenden sobre Robótica, Matemáticas y Física.
Las alicientes de las Olimpiadas son el aprendizaje, Las competencias son llamativas por los robots y
la experiencia y el reconocimiento de sus esfuerzos, las actividades que se les programan. Actualmente ha
coronados con la obtención de una medalla de oro, plata llevado a los estudiantes de Nuevo León a ser Campeones
o bronce, o bien, de una mención honorífica, con base en Nacionales en la categoría de Soccer. De acuerdo con el
los resultados obtenidos. estudiante Isaac Toledo, en esta última se utilizan robots
con un sensor y con llantas omnidireccionales para que
Olimpiadas de Informática este siga una bola. Además, el robot cuenta con un
compás para ubicar la portería. Dos categorías más son
Cuatro estudiantes de Nuevo León participaron en la XVII las de Rescue y Dance.
Olimpiada Mexicana de Informática en el 2012. Después
de un año de teoría, prácticas y ejercicios, los alumnos Entre las ganadoras, estuvieron las alumnas Alma
estuvieron listos para acudir a la prueba final. Guadalupe Arriaga Cruz y Salma Teresa Cuéllar Valles,
ambas de la Secundaria 85 ubicada en Juárez, Nuevo
El Ing. Gilberto Reyes Barrera, docente de la León.
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, lleva más
de cuarenta años de trayectoria. Él se ha encargado
de preparar a los alumnos que acuden a la Olimpiada
Mexicana de Informática. En el 2012, se encargó
de preparar a los participantes de la XVII Olimpiada
Mexicana de Informática, cuya sede fue en Hermosillo,
Sonora. Junto con Emmanuel Lozano, estudiante de la
FCFM, el Delegado ha apoyado a los jóvenes que desean
destacar en el concurso.
32
Participación
de la energía
hidroeléctrica
en México para el 2013
Jesús Alberto Loredo González, Virginia Mendoza Ramírez,
Karla María Salgado Banda, Perla Segovia Salazar, Laura
Nohemí Vargas de la Rosa, Roberto Abraham Zamudio Morán,
Co autor: Ubaldo Martínez
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
El estudio de energías alternas es importante pues, en la actualidad, se
busca reducir el alto consumo de fuentes energéticas de tipo fósil con
el fin de controlar el impacto ambiental ocasionado por la generación
de esta. La energía hidroeléctrica es un área de oportunidad que
México debe aprovechar, esta depende de la meteorología de cada
región así como de los meses con mayor precipitación pluvial. La
producción de electricidad por medios hídricos ha presentado una
tendencia creciente desde 1987 hasta 2012. Entre los años 2001 y
2012 la participación de la energía hidroeléctrica para satisfacer
el consumo total de energía del país varía entre 13% y 41%. Si se
incrementa la inversión en este tipo de energía alterna se bajarían los
costos de producción y habría un menor impacto ambiental.
Palabras claves:
energía hidroeléctrica, sustentabilidad, fuentes renovables, agua,
modelo estadístico, energías alternas
INVESTIGACIÓN / ACTUARÍA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 33
Introducción Largo tiempo de vida
Históricamente el desarrollo de la sociedad humana se Baja contribución al efecto invernadero
ha basado en el aprovechamiento de fuentes energéticas
de tipo fósil [1]. Actualmente vivimos un serio problema El impacto ambiental: la hidroeléctrica es una de
ambiental y se vuelve inminente una crisis energética las energías alternas menos dañinas al ambiente,
si no se desarrollan fuentes alternas que sean factibles pues solo se “daña” la zona donde se construirá
técnicamente y atractivas económicamente. la planta.
Diversos países utilizan sus recursos hídricos como Desarrollo del modelo estadístico para la
fuentes de energía, tal es el caso de Canadá y Austria por producción de energía hidroeléctrica
encima del 60% de la capacidad total, Brasil con cerca
del 90% y Noruega y Zambia cercanos al 100% [1]. Fuente de Información
Desde nuestro punto de vista, en México es necesaria
la inversión en la producción de hidroelectricidad, para Se obtuvieron los datos de la producción de energía
darle una mayor participación en la producción total de hidroeléctrica y del consumo doméstico e industrial en
energía del país. Se cuenta con el potencial para una el Banco de Información Económica (BIE) del portal de
mayor producción; sin embargo, aún no se explotan los internet del Instituto Nacional de Estadística y Geografía
recursos adecuadamente. (INEGI).
Objetivo Manejo de los datos
Difundir los beneficios que implica la generación de Se analizaron los datos de los últimos once años, a partir
energía a través de plantas hidroeléctricas; a su vez, del año 2001 y hasta agosto 2012, con periodicidad
modelar y pronosticar la producción de hidroelectricidad mensual, medidos en miles de millones de watts/hora.
en el país para compararla con los niveles de consumo
esperados de electricidad y decidir buscar o no fuentes Aún cuando el INEGI cuenta con datos de fechas
de energía alternativas para cubrir un posible déficit en anteriores a 2001, se consideró que estos no representan
la producción. las condiciones actuales de la producción de energía
hidroeléctrica en el país; lo anterior, principalmente a que
Beneficios de la Energía Hidroeléctrica como durante los años posteriores a 1997 se dejaron de construir
fuente alterna plantas para la generación de energía hidroeléctrica, a
excepción de la planta Leonardo Rodríguez Alcaine (El
La energía hidroeléctrica es una de las opciones con Cajón) que entró en operaciones el 1 de Marzo de 2007
mayor perspectiva de crecimiento; presenta los costos de y cuenta con una capacidad efectiva instalada de 750
operación más bajos, además de un largo ciclo de vida, (MW), en Santa María del Oro, Nayarit [6] y algunas
que va desde los 50 años en adelante [2]. otras relativamente pequeñas que no significarían un
cambio considerable en los niveles de producción.
Si se invierte más en este tipo de energía, se
lograría un mayor aprovechamiento de los recursos De acuerdo con publicaciones de la Comisión
hídricos del país y una menor dependencia de energías Nacional del Agua [7] los meses que presentan mayor
no renovables. Actualmente, la producción de energía precipitación pluvial son Julio, Agosto y Septiembre;
por métodos alternativos representa el 24.1% del total debido a esto, se decidió analizar los promedios por
de la producción de energía eléctrica en México [3], de trimestre de la producción hidroeléctrica, iniciando
los cuales la energía hidroeléctrica constituye un 95% por el trimestre Enero-Marzo 2001 y finalizando con
de la generación de energías alternas o renovables en el promedio de Julio y Agosto 2012 debido a que la
el país [4]; estando por encima de la media mundial de información proporcionada solamente está actualizada
producción que es del 10% [1]. hasta esa fecha.
Pinguelli [5] lista las siguientes ventajas de la En la Gráfica 1 se muestra la manera en que se
energía hidroeléctrica: comportaron los datos una vez aplicado el promedio.
Los datos presentan una tendencia creciente y es posible
La construcción o ampliación de plantas de definir un ciclo anual. En el primer trimestre de cada año
energía hidroeléctrica genera una gran cantidad existe una caída en la producción de energía eléctrica; se
de empleos. presenta un aumento considerable en el tercer trimestre
del año.
Bajos costos de mantenimiento y operación
Participación de la energía hidroeléctrica en México para el 2013
POR: LOREDO et al
34 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / ACTUARÍA
6000 Gráfica 1. Producción de energía hidroeléctrica promedio por trimestres
5000
4000 Promedio
3000 trimestral
2000 de la
1000 producción
Miles de millones de watts/hora
0 ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Tabla 1. Índice de variación estacional Modelo
Trimestre Índice Índice % Cambio El modelo estadístico utilizado para el análisis de la
Ene-Mar 0.7770 78% -22% producción de energía hidroeléctrica fue el Método
Abr-Jun 0.9470 95% -5% de Índice Estacional; este método puede ser aplicado
Jul-Sept 1.2457 125% 25% cuando se desea hacer un pronóstico con datos que llevan
Oct-Dic 0.9730 97% -3% de manera muy evidente el efecto de la estación, en este
caso determinado por la temporada de lluvias.
R2 (ajustado): 25.7%
En la Tabla 1 se puede apreciar el porcentaje de
Tabla 2. Pronósticos de producción en miles cambio de la producción, generándose un aumento
de millones de watts/hora considerable en los meses de Julio a Septiembre. Esta
tabla nos dice, para cada trimestre, cuánto sube o baja
Año Trimestre Pronóstico la producción, con respecto al 100%. Así, en el primer
2012 Oct-Dic 2927.3 trimestre la producción baja 22%, en el segundo baja
2013 Ene-Mar 2355.2 5%, en el tercero sube 25% y en el último baja 3%.
Abr-Jun 2891.9
Jul-Sept 3832.0 Los índices presentados en la Tabla 1 fueron
Oct-Dic 3015.2 utilizados para “eliminar” el efecto de la estación y
transformar en línea recta la serie con respecto al tiempo
para utilizar la ecuación de línea recta para el pronóstico;
es decir, una regresión lineal simple.
En la regresión lineal simple utilizada para
pronosticar, la R2 ajustada es el coeficiente de
determinación, que nos dice qué tanto se ajustan los
datos de la regresión a los reales.
Resultados
En la Tabla 2 se muestran los pronósticos para la
producción de hidroelectricidad obtenidos en el modelo.
Participación de la energía hidroeléctrica en México para el 2013
POR: LOREDO et al
INVESTIGACIÓN / ACTUARÍA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 35
El MAPE (Error Porcentual Medio Absoluto), Tabla 3. Predictores del modelo de Regresión
mide el grado de error generado por las diferencias entre Trigonométrico para el consumo de hidroelectricidad
los ajustes del modelo y las observaciones. Cuando
se presenta un menor MAPE, menor es la diferencia Predictor Coeficiente Valor-p
entre los datos reales y los ajustados. El modelo de 9202.7 0.000
Índice Estacional generó un MAPE de 17%, el cual se Constante 55.571 0.000
consideró aceptable. -608.55 0.000
Orden (t)
Análisis del consumo de energía Eléctrica sen 2πt -174.49 0.029
Se consideró el análisis por trimestre de los niveles de L
consumo de energía eléctrica en el país, para lo cual se cos 2πt
sumó el consumo del sector doméstico y el industrial,
quedando pendientes, por falta de datos, los sectores L
agrícola, comercial y de servicios.
R2 (ajustado): 85.6% MAPE: 2.68%
El modelo utilizado para realizar los pronósticos fue
un Modelo de Regresión Trigonométrico con variación Tabla 4. Participación esperada de la energía hidroeléctrica
estacional constante, útil para modelar series temporales por trimestre
regulares.
La ecuación (1) nos muestra la ecuación del Modelo
de Regresión Trigonométrico:
Año Trimestre Producción Consumo Participación
() () (1) 2012 Oct-Dic 2,927 11,696 25%
2013 Ene-Mar 2,355 11.317 21%
Donde t es el orden, L son los periodos del ciclo y Abr-Jun 2,892 12,156 24%
εt es un error. En la Tabla 3 se apreciarán los predictores
considerados en el modelo. Jul-Sep 3,832 12,645 30%
Interpretación de los resultados y conclusiones Oct-Dic 3,015 11,918 25%
Los pronósticos brindados por el modelo de índice presenta sus déficits o aumentos, para usar otros métodos
estacional muestran que los niveles de producción de de generación auxiliares. Por ejemplo, se debería usar la
energía hidroeléctrica continuarán con un ciclo similar energía hidroeléctrica en meses de temporada de lluvias,
durante el año 2013 y, a su vez, los índices del modelo como Julio, Agosto y Septiembre; y los demás meses,
muestran el efecto de la temporada de lluvia. cuando la lluvia baja y por lo tanto la producción de
hidroeléctrica, usar otras fuentes de energía como la
Observando la Tabla 4, la participación de la solar o eólica.
energía hidroeléctrica disminuye su producción en
los meses Enero, Febrero y Marzo y llega a su punto Limitaciones del estudio
máximo en los meses de Julio, Agosto y Septiembre.
La limitación que se presentó en el desarrollo de los
A la vez, se espera que la participación de la modelos es una falta de datos del consumo de energía
hidroeléctrica para satisfacer la demanda en el país eléctrica en los sectores: agrícola, comercial y de
permanezca constante respecto a años anteriores. servicios; por lo que se tuvo que tomar únicamente la
suma de los datos de la doméstica e industrial como el
Pronosticando para el trimestre que queda de 2012 total de consumo.
y para todo el 2013 se observa, en la Gráfica 2, que la
producción en la energía hidroeléctrica no bajará, sino Otra limitante fue identificar cómo otras variables,
que se mantendrá siguiendo los efectos de las estaciones. como los ciclos económicos, afectan a la producción
y consumo de hidroeléctrica para agregarlas al modelo.
Se propone como plan a futuro que la producción
de energía esté “calendarizada”, de acuerdo a las
temporadas en las que la producción de hidroelectricidad
Participación de la energía hidroeléctrica en México para el 2013
POR: LOREDO et al
36 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN / ACTUARÍA
Gráfica 2. Producción promedio trimestral vs ajustes generados por el modelo de índice estacional
Promedio de la producción por trimestre Ajustes para la producción por trimestre
6000Producción de energía hidroeléctrica.
5000Miles de millones de watts/hora
4000 ENE-MAR
3000 JUL-SEP
2000 ENE-MAR
1000 JUL-SEP
ENE-MAR
0 JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Gráfica 3. Consumo promedio trimestral vs ajustes generados mediante el modelo de regresión trigonométrico
Promedio del consumo por trimestre Ajustes del modelo
Consumo de energía eléctrica. Miles14000
de millones de watts/hora13000
12000
ENE-MAR11000
JUL-SEP10000
ENE-MAR
JUL-SEP9000
ENE-MAR8000
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
ENE-MAR
JUL-SEP
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Participación de la energía hidroeléctrica en México para el 2013
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INVESTIGACIÓN / ACTUARÍA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 37
Referencias Datos de los autores
Jesús Alberto Loredo González
[1] Posso, F. "Energía y ambiente: pasado, presente y futuro.
Parte dos: sistema energético basado en energías alternativas". Email: [email protected]
GEOENSEÑANZA. Vol. 7, pp. 54-73. 2002.
Virginia Mendoza Ramírez
[2] "SEMARNAT", [En línea]. Available: http://sinat.semarnat.gob.
mx/dgiraDocs/documentos/gro/estudios/2004/12GE2004E0020. Email: [email protected]
pdf. [Último acceso: septiembre 2012].
Karla María Salgado Banda
[3] Comisión Federal de Electricidad. (CFE), [En línea]. Available:
h t t p : / / w w w. c f e . g o b . m x / C o n o c e CF E / 1 _ A c e r c a d e CF E / Email: [email protected]
Estadisticas/Paginas/Clientes.aspx. [Último acceso: 01 octubre
2012]. Perla Segovia Salazar
[4] Instituto Nacional de Estadística y Geografía INEGI. «http:// Email: [email protected]
www.inegi.org.mx/» 01 octubre 2012. [En línea]. Available:
http://www.inegi.org.mx/sistemas/bie/. Laura Nohemí Vargas de la Rosa
[5] Pinguelli, L. "Hydroelectric, thermal and nuclear generation". Email: [email protected]
ESTUDOS AVANÇADOS 21, p. 59. 2007.
Roberto Abraham Zamudio Morán
[6] Energy Resources de México S.A. de C.V., "Guía Sector Eléctrico
Modalidad Particular - Central hidroeléctrica Palos Altos". 2009. Email: [email protected]
[7] Comisión Nacional del Agua. Atlas del agua en México 2011. Maestro Asesor:
2011.
M. C. Ubaldo Martínez, Profesor de Estadística Aplicada
(Academia de Actuaría).
Participación de la energía hidroeléctrica en México para el 2013
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38
Vulnerabilidades
de seguridad
en las empresas
Julio César González Cervantes
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
En este artículo se presenta el problema de la falta de conocimiento
sobre el concepto del hacking, desde el punto de vista de las empresas,
y sus posibilidades de solución; empezando por los inconvenientes
en materia de seguridad y el riesgo que representan para todas ellas.
Palabras claves:
hacker, información, seguridad, empresas, ataques, prevención
INVESTIGACIÓN/ SEGURIDAD EN TI CELERINET ENERO-JUNIO 2013 39
Introducción empresa no es tan sencillo como implementar medidas
y protocolos de seguridad (ya sean antivirus, firewalls,
La estructura en que se manejan los datos, así como los etc.) sino que se inicia una carrera de conocimiento
protocolos de Internet son exactamente iguales desde contra todos los posibles atacantes, ya que todos los
que se crearon a partir de 1970; desde entonces solo se ha días se descubren cientas de vulnerabilidades nuevas
ido parchando para corregir los problemas de seguridad. y técnicas que pueden volver muy sencillo obtener los
Cualquier tipo de ataque, redunda en importantes pérdidas datos de una empresa. Por eso, las empresas necesitan
económicas para las empresas, además de crear una mala tener a personas únicamente enfocadas a realizar esta
imagen ante los inversionistas y administrativos. Aquí tarea.
existe el problema de que muchas empresas y compañías
completas se encuentran en una gran disyuntiva de entre Hacking empresarial
mantener abiertas y al alcance muchas aplicaciones para
que los empleados puedan trabajar, y a la vez, evitar que Los sistemas informáticos han creado otros patrones
la información sea modificada por la persona indicada de delincuencia, así que como ingenieros de sistemas,
sin sufrir ningún cambio. técnicos, empresas, trabajadores de la misma y usuarios,
tomemos conciencia y seriedad frente a los problemas
En el siguiente artículo mencionaré diferentes que pueden llegar a afectar no solo nuestro empleo, sino
términos y es importante una pequeña introducción a a nuestra información en cualquier momento.
estos:
Técnicas de hacking
Hacker: se refiere a una persona con la pasión por la
resolución de problemas, por lo general con un amplio Tratar de enumerar todas las ramas en que se dividen
conocimiento técnico en su rama de especialización. los distintos ataques que se pueden hacer, es tan extenso
como hablar de todas las ramas en que se dividen los
Cracker: se les conoce a las personas que buscan formas sistemas informáticos; no obstante, mencionaré las más
de penetrar en sistemas sin haber sido autorizados y que comunes y sencillas.
roban información para obtener un beneficio económico.
Ingeniería Social: Es un método basado en engaño y
White Hat Hacker: son los hackers que se dedican a la persuasión para obtener información importante o lograr
protección de sistemas contra ataques dentro de sistemas que la víctima realice un determinado acto; como por
empresariales y se conducen bajo un tipo de ética donde ejemplo, hacer que la víctima ejecute un archivo que le
se dedican a proteger la información confidencial. llegó por correo electrónico.
Black Hat Hacker: También conocidos como Crackers Este método se puede llevar a cabo a través de
son los hackers que se dedican al robo de información canales tecnológicos (impersonal a través de Internet o
para beneficio propio. teléfono) o bien, en persona: cara a cara.
Actualmente, las empresas están expuestas a una Esta técnica es por mucho la más sencilla de llevar
gran cantidad de diferentes ataques externos e internos a cabo y la más eficiente, ya que no involucra ninguna
que pueden crear pérdidas muy grandes de información especialización en sistemas informáticos; básicamente,
y afectar económicamente a la empresa; de allí la es poder obtener información confidencial directamente
importancia de mantener la seguridad de los sistemas, de las personas que laboran dentro de una empresa
puesto que las consecuencias de un ataque informático mediante diferentes técnicas de presión social. De
pueden poner en riesgo la integridad de la información. acuerdo con el hacker Kevin Mitnick en su libro “El
El problema principal no es siempre técnico, sino arte de la decepción”, este tipo de ataques se realiza
del conocimiento de todos los peligros potenciales aprovechándose del contacto social en el que vivimos,
en la transmisión de información confidencial y la partiendo de 3 reglas básicas:
falta de cultura sobre las distintas técnicas de hacking
empresarial. 1. Todos los seres humanos quieren ayudar.
La información es uno de los pilares más 2. El primer movimiento es siempre de confianza
trascendentales a la hora de la toma de decisiones en una hacia el otro.
entidad; de allí la importancia que tiene para estos entes
la protección y prevención del manejo de información 3. No nos gusta decir no.
y datos.
Sabiendo esto como punto de partida, para una
VULNERABILIDADES DE SEGURIDAD EN LAS EMPRESAS
POR: JULIO CESÁR GONZÁLEZ CERVANTES
40 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN/ SEGURIDAD EN TI
4. A todos nos gusta que nos alaben. a la red muy vigilados, evitando el protocolo de redes
inalámbricas WEP y siempre usando redes WAP con
5. Todos tenemos algo de ingenuos. encriptación de 128 bits y evitar lo más posible conectar
dispositivos moviles a una red WAP segura, ya que estos
Además de estos postulados, la técnica de también son una vulnerabilidad dentro del ambiente.
ingeniería social fue ampliada por el Dr. Robert Cialdini
así como por sus libros sobre persuasión, entre muchas Respecto a la técnica de Sniffing la forma más
otras técnicas psicológicas, para manejar a las personas eficiente de usarse es mediante una técnica llamada Man
dependiendo de su personalidad. in the middle, esta técnica consiste en mediante el uso
de algunas herramientas intervenir la informacion que
Por más increíble que parezca, esta es la técnica se maneja dentro de una red, realizando un ataque a las
más sencilla y efectiva para hacerse de información tablas ARP (Address Resolution Protocol). Estas tablas
confidencial dentro de las empresas y es de la que son las que se encargan de la vinculación entre una mac
menos se protegen. Como más claro ejemplo, podemos address y una IP de los equipos de los que se requiere
encontrar al hacker Kevin Mitnick, quien tuvo acceso a obtener la información.
North American Air Defense Command siendo menor de
edad y además robó información importante del Security Primero, el atacante con el uso de herramientas,
Pacific Bank. obtiene la mac address y la IP del equipo a atacar;
luego, genera una tarjeta de red virtual con estos mismos
La forma de estar seguro de esto es la concientización datos y trata de engañar a la otra máquina o al router
del personal sobre la información confidencial y la haciéndose pasar por la víctima y la información que
creación de HoneyPots tanto en los sistemas aplicativos, recibe la reenvía a la víctima para pasar inadvertido.
bases de datos e incluso archiveros, esto significa crear
información falsa y dejarla como muy importante; así, Hijacking: El Hijacking consiste en el robo de una sesión
en caso de que alguien se haga del acceso, se lleve dentro de una página web y también es un derivado de la
información equivocada. técnica de Man in the middle.
Scanning y sniffing: El Scanning consiste en el escaneo Básicamente mediante un software de sniffing
de IPs dentro de una red, se realiza mediante herramientas el atacante intercepta los paquetes entre la víctima
que realiza pings a un rango de IPs proporcionadas por el y el servidor y al tener los datos de las cookies y las
atacante; después de los equipos encontrados, se procede sesiones, se adelanta a la víctima y se adelanta al usuario
a conocer el sistema operativo así como su versión, autorizado.
además de los puertos abiertos y que aplicaciones tiene
instaladas para poder encontrar una vulnerabilidad La única manera de evitar esto es siempre
específica así como saber dónde están los servidores que autentificarse en sitios que sean HTTPS sin dejar a un
manejan la información importante. lado el firewall y el antispyware.
Con el Sniffing se permite saber y analizar toda la Aportes
información que se mueve dentro de una red; para hacer
esto se utilizan analizadores de protocolos. Las técnicas de hacking empresarial son el conjunto de
procedimientos utilizados por una persona que posee
Las aplicaciones que sirven para usar el Sniffing una gran cantidad de conocimientos técnicos en por lo
dentro de una red, decifran la información que se menos: redes, sistemas operativos, bases de datos y pro-
transmite y se almacena para un posterior estudio; gramación.
entre toda la información se encuentran: contraseñas,
mensajes de correo electrónico, datos bancarios y otros Las técnicas de cracking se dividen en cuatro
datos confidenciales del usuario. grupos principales: monitoreo, validación, denegación
de servicio y modificación; cada una con una forma de
Es muy difícil lograr evitar efectivamente que se ataque diferente y una forma de prevención.
utilice esta técnica, solo se logra con ciertos routers
empresariales muy especializados; lo más recomendado El grupo de monitoreo se compone por: escaneo de
es que toda la información viaje de manera encriptada puertos, enumeración y Sniffing.
dentro de la red y nunca poner informacion confidencial
en paginas que no tengan el protocolo HTTPS. Los La validación se compone de ataques de fuerza
clientes de mensajería y correo electrónico son muy bruta, spoofing, Hijacking e ingeniería social.
propensos a ser intervenidos y mantener los accesos
En el grupo de denegación de servicio, las técnicas
VULNERABILIDADES DE SEGURIDAD EN LAS EMPRESAS
POR: JULIO CESÁR GONZÁLEZ CERVANTES
INVESTIGACIÓN/ SEGURIDAD EN TI CELERINET ENERO-JUNIO 2013 41
que se utilizan son: Jamming (interferencia de servicio), Recomendaciones
Syn flooding y además IP Flood.
Si este artículo fue de tu interés y además trabajas/
Por último, en la parte de modificación está el estudias en cualquier rama de la carreras informáticas,
borrado de huellas o Zapping. es importante que te adentres a investigar y profundizar
en los alcances de estas técnicas y cómo evitarlas, ya que
En los dos primeros grupos es donde se centran gran parte del éxito que han tenido los crackers es en que
todas las bases para cualquier ataque informático. en general, las empresas en verdad no creen que puedan
ser atacadas por personas externas; por lo que tiene que
Análisis de riego existir una cultura de seguridad de la información.
Frente a la gran cantidad de áreas de oportunidad que Con respecto a las cuestiones técnicas, además de
existen referentes a la seguridad de la información conocer las diferentes técnicas de ataques que se pueden
dentro de las empresas, se han desarrollado muchos recibir, también hay que conocer las herramientas de
estándares abiertos enfocados en la protección de datos, detección y prevención de estos ataques además de saber
que son los más utilizados por las empresas de auditoría a profundidad cómo funcionan los passwords cifrados,
para validar la seguridad de los servidores y el manejo firewalls y proxis, para así poder hacer frente a los
de la información. intrusos que intentan perjudicar a la empresa.
Debido a la gran complejidad, cantidad de variables También existen muchas aplicaciones de libre
e importancia de la información, es importante que descarga así como distribuciones de Linux que incluyen
los análisis de riesgo se realicen por un especialista en un compilado de las más populares, como lo es BackTrack
seguridad informática ya que, si bien existen muchos Linux o GameOver Linux; este último más recomendado
estándares, procedimientos, guías y software para por incluir tutoriales además de instrucciones de cómo
realizar este tipo de estudios, hay que tener claro que crear una máquina virtual para hacer las pruebas de
cada empresa es diferente y son muchas las variables que penetración al sistema.
pueden existir y siempre cabe la posibilidad de pérdida
de continuidad en los procesos de la misma.
El estándar de auditoría de aplicaciones web más
conocido se llama OWASP (Open Web Application
Security Project)
Conclusiones
El objetivo de escribir este artículo es dar a conocer las
técnicas de trabajo que manejan los hackers Black Hat,
que se dedican al robo de información, conociendo las
técnicas que se utilizan normalmente; nos sirve para
conocer las formas de defensa y protección dentro de
una empresa, sin tener que crear más burocracia en los
sistemas informáticos. Además nos sirve para crear una
concientización en las personas para crear una cultura de
seguridad de la información y para tener una idea de la
importancia de personas enfocadas a la seguridad dentro
de nuestras empresas.
Ahora está en manos de los directivos de las
organizaciones el aprender que mientras más tecnología
se utiliza para gestionar los servicios de la misma,
también hay que aprender a tomar las mejores decisiones
para proteger al máximo la información confidencial de
la empresa y los mecanismos de protección contra robo
de información y fraudes.
VULNERABILIDADES DE SEGURIDAD EN LAS EMPRESAS
POR: JULIO CESÁR GONZÁLEZ CERVANTES
42 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 INVESTIGACIÓN/ SEGURIDAD EN TI
Referencias Datos del Autor:
Ing. Julio Cesár González Cervantes
[1] Mitnick, K. Takedown: The Pursuit and Capture of Kevin
Mitnick, America’s Most Wanted Computer Outlaw. - By the Man Dirección del autor o de los autores: Lázaro Cárdenas
Who Did It. ISBN – 0786889136. 2006.
#1212 colonia Las Puentes 14vo Sector, San Nicolás de los
[2] Mitnick, K. The Art of Deception: Controlling the Human
Element of Security. ISBN - 076454280X. 2003. Garza C.P. 66460 .
[3] Mitnick, K. No Tech Hacking: A Guide to Social Engineering, Email: [email protected]
Dumpster Diving, and Shoulder Surfing. ISBN – 1597492159.
2006.
[4] GameOver Linux. SourceForge. 2013.
http://sourceforge.net/p/null-gameover/wiki/Home/
[5] Backtrack.
http://www.backtrack-linux.org/downloads/
VULNERABILIDADES DE SEGURIDAD EN LAS EMPRESAS
POR: JULIO CESÁR GONZÁLEZ CERVANTES
ENTREVISTA CELERINET ENERO-JUNIO 2013 43
ENTREVISTA CON
Carmen de la Fuente
Por: Alma Calderón Mtz.
En el marco del 60 aniversario de la Facultad de Ciencias mejor de sí misma y cumplir objetivos diariamente con
Físico Matemáticas y del 80 aniversario de la Universidad responsabilidad, puesto que "la responsabilidad unida a
Autónoma de Nuevo León, se decidió entrevistar a la la honestidad y al compromiso son los que te van a llevar
M.A. Carmen del Rosario de la Fuente García, quien ha a lograr cosas realmente", aseveró.
dejado huella en su trayectoria como profesionista por su
trabajo y compromiso con su alma mater. Al conversar Trayectoria profesional
con ella, nos compartió información relacionada con su
vida y trabajo que se presenta a continuación. Ha trabajado en diferentes lugares, tales como Vitro
Corporativo (1981-1991), la Universidad de Tamaulipas
Retrato (1988-1993) y en la UANL. En esta última, dirigiendo
la Secretaría de Relaciones Públicas (Jun. 1992 - Nov.
Carmen de la Fuente nació en Tampico, Tamaulipas el 19 1995) y la Secretaría Administrativa (Nov. 1995 - Nov.
de febrero de 1960. Realizó sus estudios de primaria en 2001) en la FCFM; además de tener el cargo de Directora
el Colegio Sor Juana Inés de la Cruz, los primeros cuatro de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas (Nov.
años, y posteriormente, en la escuela José Jesús Martínez. 2001 - Nov. 2007).
Sus estudios de secundaria los llevó a cabo en la escuela
Vicente Guerrero. Cursó el bachillerato en la Preparatoria En la actualidad, tiene a su cargo la Secretaría de
7, la Licenciatura en Ciencias Computacionales en la Vinculación y Desarrollo Económico de la UANL, en
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, y la Maestría en donde trabaja en apoyo al señor Rector Jesús Ancer.
Administración en el EGAII de la Universidad Autónoma De su área, dependen el Centro de Desarrollo de
de Nuevo León. Agronegocios, el World Trade Center Nuevo León UANL,
el Centro de Incubadora de Empresas y Transferencia de
La M.A. Carmen de la Fuente es considerada por Tecnología, el Centro para el Desarrollo de la Industria del
quienes la conocen como una persona líder, abierta Software; así como la Dirección de Fomento Económico,
y muy unida a su familia, así que le pedimos que nos la Dirección de Procesos y Control Interno, y la Dirección
comentara cómo se describiría ella en el ámbito personal de Alianzas y Soluciones Estratégicas, entre otras.
y profesional. A esto nos respondió que era una persona
comprometida con su trabajo y familia y nos compartió "Lo que busca esta Secretaría es la vinculación de
que cuando iba a comenzar a trabajar, su padre le dijo todas las facultades y de todos los centros que dispone la
que tendría un cambio de vida y le aconsejó dar lo Universidad; es decir, se propone impulsar la vinculación
logrando que cada una de las facultades, con base
44 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ENTREVISTA
en todas sus áreas de conocimiento, se desarrollen y y ubicarla en otro plano y generar recursos… la escuela
que, de acuerdo con su especialidad, transformen el ha podido crecer muchísimo gracias a esa generación
conocimiento en un servicio o un producto que podamos de ingresos". Aunado a lo anterior, comparte su alegría
ofrecer a la comunidad", comentó. porque la FCFM es la facultad más vinculada de toda la
Universidad.
La primera Directora de la FCFM
Importancia de la familia
Enfocándonos en su experiencia como Directora de la
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, le solicitamos Carmen de la Fuente resalta que la unión familiar ha sido
que nos platicara acerca de ellos, a lo cual respondió de suma importancia para ella y asevera: "Con todo lo que
que para ella fue muy importante ser Directora de la he podido hacer y que me da mucho gusto, lo hubiera
institución puesto que podía decidir sobre el rumbo que eliminado si no hubiera tenido el respaldo familiar. Para
esta seguía, de modo que tenía la oportunidad de apoyar mí, lo más valioso que tengo es mi familia. Mis hermanos,
a la escuela de varias maneras, tales como contribuir en la mi marido y mi hijo nunca se han limitado para ayudarme
formación de los estudiantes. Señaló: "Ser la responsable y han respetado mis tiempos, mis momentos, mis
final de toda una formación que viven los estudiantes, dificultades, mis vicisitudes".
da una satisfacción muy grande; estar consciente de
la responsabilidad de formar jóvenes y brindarles una Además, comentó que para llegar al éxito, el apoyo
educación para que puedan lograr enfrentarse a la vida de su familia ha sido crucial: "El tener un respaldo y un
es una satisfacción". Agregó que apoyar a la escuela sustento familiar importante es muy valioso; por ejemplo,
en infraestructura también le fue muy grato; así como para mí, el impulso que mis padres nos dieron para
trabajar con los maestros y en conjunto, transformar la tratar de buscar ser mejores y apoyarnos durante todo el
escuela. tiempo en nuestra educación, fue muy valioso. A mí me
queda claro que cuando tú tienes un ambiente familiar
La clave del éxito sano, puedes lograr muchas cosas". También resaltó la
importancia que ha tenido el apoyo de su marido y de su
De lo anterior, surge la curiosidad de entender cuál es la hijo en su trayectoria como profesionista esposa y madre.
clave de su éxito, a lo que respondió:
"Cuando yo me casé, una de las cuestiones que se
"Yo creo que la clave de mi éxito son varias cosas; habló previas al matrimonio fue que, a mí me gustaba
amén del apoyo familiar. Primeramente, mi nivel de trabajar y yo quería aportar, y tuve todo el apoyo de mi
compromiso: yo cuando decido hacer algo y me marido desde el principio para hacerlo, con todos los
comprometo, lo llevo hasta el final cueste lo que cueste, inconvenientes que podía tener el puesto porque a mí
busco lograr el resultado. Pero el amor y la identificación me tocó viajar mucho. Para mí fue muy valioso tener ese
con la institución en donde estés trabajando, es lo que apoyo y que él entendiera".
también te lleva a querer hacer siempre más".
Futuro
Agregó que la UANL ha sido un hogar para ella y
se ha comprometido con la misma puesto que ya quería Finalmente, pedimos a nuestra entrevistada que nos
alcanzar resultados desde que fue representante de compartiera qué planes tenía a futuro; a lo cual comentó:
alumnos. Añadió: "Yo creo que esa parte es importante "Seguir sirviendo a la Universidad. Mi plan es seguir
y otra muy importante es que estés convencido y sepas apoyando al Dr. Ancer hasta que termine su periodo.
que cada uno de los logros que tú alcances no fuiste solo, Definitivamente, el proyecto de vinculación es algo que
fuiste con tu gente… eso es darle su lugar a cada quién. nació conmigo, entonces en la medida que yo pueda
La capacidad de liderazgo se ve en encontrar gente que aportar algo lo voy a seguir haciendo". Señala que su
sienta el mismo nivel de compromiso que tú, que quieran compromiso con la UANL es hasta el 2019, pero que
llegar al mismo resultado... Siempre he tenido muy claro estará contribuyendo hasta donde la Universidad le
que sola puedo alcanzar algunas cosas, pero con mi solicite. En cuanto a metas a corto plazo, agrega que está
gente puedo alcanzar todo". la incorporación de todas las escuelas y los centros para
que creen su unidad de vinculación y puedan desarrollar
A continuación, le pedimos que nos compartiera proyectos.
algún logro en especial del que se sintiera muy
satisfecha; a lo que dijo: "La aportación mayor que le Agradecemos a la M.A. Carmen del Rosario de la
hice a la facultad en los 6 años que estuve fue empezar Fuente García por su colaboración y por compartir con
la vinculación con el gobierno federal, porque eso nosotros su experiencia, compromiso y entusiasmo para
permitió darle oportunidades de trabajo a gente de la con la FCFM y la UANL.
FCFM; permitió también dar a conocer nuestra escuela
ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 45
ESPECIAL
El 3er Foro de Divulgación Científica y Tecnológica
es el espacio que da a conocer los productos
de los trabajos desarrollados por los profesores
e investigadores del Centro de Investigación
en Ciencias Físico Matemáticas (CICFIM). El
propósito del Foro es el de fortalecer sus líneas
de investigación y generar la vinculación con los
sectores académico y productivo.
46 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO
Procesos
aleatorios
de Riemann y
Weierstrass
Francisco Javier Almaguer Martínez
Homero de la Fuente García
UANL-FCFM
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México
Resumen:
En este trabajo se presentan algunas de las propiedades
de la caminata aleatoria de Riemann y los resultados
numéricos-visuales de su implementación en lenguaje
de programación R. La caminata de Riemann es una
extensión simple de la distribución Zipf, empleada
originalmente en la clasificación y descripción estadística
de la frecuencia del uso de las palabras en un idioma. Al
revisar trozos de textos, Zipf encontró que la frecuencia
relativa f de las palabras en diversos manuscritos, en
muchos idiomas, sigue aproximadamente una ley de
potencias del tipo f(k)=k ;-(1+α) donde k = 1, 2, •••, con α
> 0 parámetro característico de cada idioma. Un valor
específico de k representa la posición jerárquica de una
determinada palabra en un idioma particular; esto es,
la posición 1 corresponde a la palabra más utilizada, la
posición 2 a la segunda más utilizada y así sucesivamente.
Existe un límite asintótico donde las propiedades de
la caminata de Riemann son muy parecidas a las de
la caminata de Weierstrass; esta última, un proceso
aleatorio de importancia en el estudio de sistemas que
poseen dinámicas de difusión anómalas y transiciones de
fase orden-desorden.
Palabras claves: Distribución Zipf, función ζ de
Riemann, caminata de Weierstrass, ley de potencias,
número armónico, difusión anómala
ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 47
Introducción (2)
La distribución Zipf, conocida también como ley La función zeta de Riemann diverge, ζ (s)→∞,
de Zipf [1], aparece en el análisis de las frecuencias cuando (s)→1 y se aproxima asintóticamente a 1,
de las palabras en muchos lenguajes. Establece que ζ (s)→1, cuando (s)→ ∞ .
la frecuencia relativa Nk con la que se presenta una
palabra en un texto, en un idioma determinado, sigue Una caminata aleatoria de Riemann es un conjunto
una ley de potencias de la forma Nk ~ k ,-(1+α) siendo contable R, donde: R={X / X sigue la distribución de
k la posición jerárquica de la palabra en el idioma en probabilidad de Riemann}.
cuestión, es decir, k = 1 representa la palabra más usada,
k = 2 la segunda más empleada y así sucesivamente. Los dos primeros momentos momentos de (1) son,
En un contexto más general, si se permite que k pueda respectivamente,
tomar cualquier valor entero entonces es posible definir
una caminata de Riemann. La distribución de Riemann (3)
asociada a esa caminata debe su nombre al hecho de que
la constante de normalización es el inverso de la función (4)
zeta de Riemann ζ (s), con s > 1. Cuando se considera
el dominio de la función zeta como el subconjunto de Si el espacio de probabilidad de la caminata fuera
los números complejos {w = a + bi | a,b Є R}, con Ω = ℕ, la función de distribución acumulada de (1) es
Re(w) = 1/2, aparece una relación que, se rumora entre simplemente la distribución Zipf [3]
los matemáticos de todo el mundo, tiene que ver con la
manera en la cual se distribuyen los números primos [2]. (5)
En el presente artículo se establece la distribución donde Hx,r es el numero armónico generalizado definido
de probabilidad de Riemann, la caminata aleatoria de por
Riemann y algunas de sus propiedades más importantes.
Los resultados de las simulaciones muestran la existencia (6)
de cierta similitud entre la caminata de Riemann y la
caminata de Weierstrass [2], una caminata utilizada en Luego, para generar variables aleatorias x ϵ R,
la modelación de difusión anómala. Se pueden usar donde R={X / X ϵ Ω=ℤ-{0}, X sigue una distribución
estas caminatas aleatorias para el estudio de sistemas de Riemann}, se usa (5) para generar una variable
complejos si se logra determinar o aproximar una aleatoria X que sigue una distribución como la descrita
función que controle la varianza de estos procesos. en (1), pero en el espacio Ω = ℕ. Por otro lado, la
Dicha función representaría las correlaciones entre los propiedad isotrópica de la red unidimensional implica
individuos o agentes del sistema. que P(X) = P(-X); entonces se procede a generar una
variable aleatoria uniforme continua U1 en el intervalo
Caminata de Riemann (0,1). Si U1 < 0.5, Xζ = (-X) y si U1 > 0.5, entonces
Xζ = X. Completado el procedimiento anterior Xζ sigue
En esta sección se introduce la caminata de Riemann y una distribución de probabilidad de Riemann en el
algunas de sus propiedades más importantes. espacio Ω = ℤ-{0}.
Distribución de Riemann
La distribución de probabilidad de Riemann es una
distribución para una variable aleatoria discreta y se
define para x ϵ Ω = ℤ-{0} como
(1)
donde α es real > 1 y la función zeta de Riemann ζ(s) es
dada por [2]
Procesos aleatorios de Riemann y Weierstrass
POR: FRANCISCO ALMAGUER Y HOMERO DE LA FUENTE
48 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO
Generación de números de Riemann Figura 1. Caminata de 10,000 pasos en el plano XY, donde
Xt , Yt son variables aleatorias independientes que siguen
Dado que la función de Riemann es una serie p infinita una distribución de probabilidad de Riemann, ambas con
[2] para un cierto valor s, una manera computacional de
evaluar el valor de ζ(s) es truncar la serie hasta un número α = 50 y, de acuerdo con (4) , varianzas finitas.
m natural lo suficientemente grande de acuerdo con el
poder de cómputo disponible. Una vez que se conozca Figura 2. Caminata de 10,000 pasos en el plano XY, donde
el valor aproximado de ζ(s), se evalúa la acumulada (5) Xt , Yt son variables aleatorias independientes que siguen
para un conjunto finito (nuevamente, lo suficientemente una distribución de probabilidad de Riemann, ambas con
grande de acuerdo con el poder de cómputo disponible)
de valores enteros de x, hasta algún valor máximo m. α = 1.
En este caso, al evaluar (4) las varianzas de Xt, Yt , son
Finalmente se genera un número aleatorio U con
distribución uniforme entre (0,1) y se da un paso de infinitas.
tamaño x = k cuando se cumpla que Hk-1,α+1 < U*ζ(s) ≤
Hk,α+1. Para extender la caminata a todo el eje y obtener la
caminata de Riemann, simplemente se genera un nuevo
número aleatorio V con distribución uniforme en (0,1) y
se procede a dar un salto de tamaño x = k, a la derecha si
V > 0.5, o a la izquierda si V < 0.5.
La figura 1 muestra una caminata de Riemann
en el plano XY, con parámetro de truncamiento
m = 20. Se usaron dos caminatas aleatorias de Riemann
independientes {Xt} y {Yt} , generando el proceso
conjunto {Xt , Yt}. Dicho proceso no realiza movimientos
simultáneos; esto quiere decir que si Xt ≠ 0, entonces Yt
= 0, y viceversa; puede imaginar una partícula que se
desplaza entre los nodos de una red bidimensional.
La figura 2 muestra una caminata de Riemann en el
plano XY donde { Xt } y { Yt } son procesos independientes
con varianzas infinitas.
La figura 3 muestra una caminata de Riemann en el
plano XY donde {Xt} y {Yt} son procesos independientes,
pero {Xt} tiene varianza infinita y {Yt} tiene varianza
finita.
La figura 4 muestra una caminata de Riemann en el
plano XY donde {Xt}y {Yt} son procesos independientes,
pero {Xt}tiene varianza finita y {Yt} tiene varianza
infinita.
La figura 5 muestra una caminata de Riemann
en el plano XYZ donde {Xt}, {Yt}, {Zt}, son procesos
independientes, los tres procesos tienen varianza finita.
La figura 6 muestra una caminata de Riemann
en el plano XYZ donde {Xt}, {Yt}, {Zt}, son procesos
independientes, con varianza infinita.
Procesos aleatorios de Riemann y Weierstrass
POR: FRANCISCO ALMAGUER Y HOMERO DE LA FUENTE
ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 49
Figura 3. Caminata de 10,000 pasos en el plano XY, donde Figura 5. Caminata de 10,000 pasos en el plano XYZ,
Xt, Yt son variables aleatorias independientes que siguen donde Xt , Yt , Zt , son variables aleatorias independientes
una distribución de probabilidad de Riemann, pero Xt con que siguen una distribución de probabilidad de Riemann,
α = 1 y Yt con α = 50. Según (4) la varianza de Xt es infinita,
Xt con α = 50, Yt con α = 50 y Zt con α = 50 . Por (4) la
mientras que la varianza de Yt , es finita. varianza de los tres procesos son finitas.
Figura 4. Caminata de 10,000 pasos en el plano XY, donde Figura 6. Caminata de 10,000 pasos en el plano XYZ,
Xt , Yt son variables aleatorias independientes que siguen donde Xt , Yt , Zt , son variables aleatorias independientes
una distribución de probabilidad de Riemann, pero Xt con que siguen una distribución de probabilidad de Riemann,
Xt con α=1, Yt con α=1 y Z t con α=1 . Por (4) la varianza de
α=50 y Yt con α=1. Por (4) la varianza de Xt es finita, la
varianza de Yt , es infinita. Xt , Yt y Z t es infinita.
Procesos aleatorios de Riemann y Weierstrass
POR: FRANCISCO ALMAGUER Y HOMERO DE LA FUENTE
50 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO
Se puede simular análogamente una caminata
aleatoria de Weierstrass simétrica [4] generando números
aleatorios que sigan una distribución de probabilidad
de Weierstrass. En esta caminata, definida por los
parámetros z y , la probabilidad de dar un paso de
tamaño L=zj se define como [5]
(7)
con j = 0, 1, 2, ...
La varianza es dada por el segundo momento, ya
que, por simetría, la media es cero, 〈L= 0〉 ,
Figura 7. Una caminata de Weierstrass con z2 = 100 y (8)
β = 250, varianza finita; junto a una caminata de Riemann
(color rojo) con α = 50 tanto para el proceso en X como el donde y z , son números reales mayores que 1. Si
≤ z2 la varianza diverge, si ˃ z2 la varianza tiene
proceso en Y, la varianza es finita. un valor finito. Una comparación de las dos caminatas
en términos de comportamiento en el plano se presenta
Figura 8. Una caminata de Weierstrass (color verde) con en las siguientes figuras 7 y 8. La figura 7 muestra una
z2=640 y β=150 , varianza infinita, junto a una caminata de superposición de dos caminatas aleatorias en el plano XY,
Riemann (color celeste) con α = 1 tanto para el proceso en una caminata de Riemann y una caminata de Weierstrass,
ambas con varianzas finitas.
X como el proceso en Y, varianza infinita.
La figura 8 muestra una superposición de dos
caminatas aleatorias en el plano XY, una caminata de
Riemann y una caminata de Weierstrass, ambas con
varianzas infinitas.
Se puede notar como en la figura 7 no hay cúmulos y
como en la figura 8 sí aparecen, esta es una característica
particular de caminatas aleatorias con varianzas infinitas.
Se dice que la caminata explora el espacio mediante una
búsqueda invariante de escala o libre escala.
Conclusiones
La obtención de números aleatorios que sigan una
distribución aproximada de Riemann y Weierstrass
es relativamente fácil de implementar mediante la
distribución acúmula. Es claro que cuanto mayor
sea el poder de cómputo numérico disponible, el
patrón aleatorio generado representara mucho mejor
las distribuciones teóricas. El hecho de que ambos
modelos presenten, para ciertos valores críticos de los
parámetros, fluctuaciones libres de escala los vuelve
atractivos para estudiar el comportamiento colectivo de
sistemas complejos; donde, en determinadas situaciones,
se presentan correlaciones entre los agentes a todas las
escala.
Procesos aleatorios de Riemann y Weierstrass
POR: FRANCISCO ALMAGUER Y HOMERO DE LA FUENTE
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