Buku Panduan Praktikum

1|Page

LEMBAR PENGESAHAN

Judul : Buku Panduan Praktikum Metode Numerik Berbasis Case Method
dengan Bantuan Microsoft Excel dan Maple pada Jurusan
Pendidikan Matematika Universitas Musamus

Penyusun : Dessy Rizki Suryani, S.Pd., M.Si.

Program Studi : Pendidikan Matematika

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Penulis

Dessy Rizki Suryani, S.Pd., M.Si.
NIP. 198912072022032011

Ketua Jurusan Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Matematika Pendidikan

Sadrack Luden Pagiling, S.Pd. M.Pd Drs. Lay Riwu, M.Hum.
NIP. 198903152019031006 NIP. 19659071994031007

Mengetahui
Ketua LP3M Universitas Musamus

Dirwan Muchlis, S.Pt. M.P.
NIPPPK. 1970004192021211003

ii | P a g e

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia serta nikmat

yang telah

diberikan, sehingga Buku Panduan Praktikum Metode Numerik Berbasis Case

Method dengan Bantuan Microsoft Excel dan Maple pada Jurusan Pendidikan

Matematika Universitas Musamus dapat diselesaikan. Buku panduan praktikum ini

dimaksudkan secara

khusus untuk memandu mahasiswa dalam pelaksanaan praktikum pada mata kuliah

metode numerik bagi mahasiswa di Jurusan Pendidikan Matematika, dan secara

umum dapat juga digunakan bagi mahasiswa jurusan lain yang memiliki mata kuliah

metode numerik. Diharapkan buku panduan praktikum ini dapat bermanfaat bagi

mahasiswa sehingga dapat dengan mudah dalam melaksanakan praktikum dengan

menggunakan software yang mempermudah perhitungan metode numerik dan dapat

memahami materi yang diberikan dengan mudah.

Kritik dan saran terbuka bagi semua pengguna buku panduan praktikum ini
untuk penyempurnaan buku panduan praktikum metode numerik. Semoga buku
panduan praktikum ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang menggunakannya.

Merauke, Oktober 2022
Penulis

Dessy Rizki Suryani, S.Pd.,
M.Si.

iii | P a g e

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN......................................................................................................ii
KATA PENGANTAR ............................................................................................................iii
DAFTAR ISI..........................................................................................................................iv
PRAKTIKUM 1 ..................................................................................................................... 1
PRAKTIKUM 2 ................................................................................................................... 17

iv | P a g e

PRAKTIKUM 1

A. Pertemuan ke : 4

B. Peralatan : Komputer, Infocus, Whiteboard

C. Software : Microsoft Excel dan Maple

D. Tujuan
➢ Dapat memahami penyelesaian persamaan ( ) = 0 dan mencari akar-akar

persamaannya dengan metode penggambaran/grafis, bisection, dan

regulafalsi/posisi palsu
➢ Dapat menggunakan Microsoft Excel dan Maple untuk mencari akar-akar

persamaan ( ) = 0 dengan metode bisection, dan regulafalsi/posisi palsu

E. Teori Dasar
Pada pertemuan ini fokus dalam menentukan solusi numerik dari

persamaan variabel tunggal dengan bentuk umum ( ) = 0. Secara grafis,
solusi (atau akar) dari f(x) = 0 mengacu pada titik potong f(x) dengan sumbu x.
Oleh karena itu, tergantung pada sifat grafik f(x) dalam kaitannya dengan sumbu
x, ( ) = 0 mungkin memiliki solusi unik, solusi ganda, atau tidak ada solusi.
Akar persamaan terkadang dapat ditentukan secara analitik yang menghasilkan
solusi eksak dalam bentuk tertutup. Misalnya, persamaan e3x - 2 = 0 dapat
diselesaikan secara analitik untuk mendapatkan solusi unik x = 1/3 ln 2. Namun,
dalam kebanyakan kasus akarnya tidak dapat ditentukan secara analitik, namun
harus secara numerik. Sebagai contoh, perhatikan persamaan 2 − + =
0. Gambar 1 menunjukkan bahwa persamaan ini hanya memiliki satu solusi,
yang dapat didekati dengan akurasi yang diinginkan dengan bantuan metode
numerik.

1. Metode Grafis
Metode sederhana untuk mendapatkan taksiran akar persamaan ( ) = 0
adalah dengan membuat plot fungsi dan mengamati di mana nilai ( )
memotong sumbu x. Titik ini yang mewakili nilai x yang memenuhi ( ) = 0.
Metode grafis ini memberikan perkiraan kasar dari akar.

1|Page

Gambar 1. Solusi Aproksimasi untuk persamaan 2 − + = 0

Contoh 1:

Gunakan metode grafis untuk menentukan koefisien penurunan parasut c

yang turun dengan massa m = 68.1 kg, kecepatan v = 40m/s, pada waktu

turun t = 10 detik. Gravitasi bumi adalah g = 9.8 m/detik2.

= gm 1 − e−(c / m)t
c
( )( )Persamaan:fc −v

( )
4 34,115
8 17,653
12 6,067
16 -2,269
20 -8.401

Gambar 2. Solusi dengan Metode Grafis
2|Page

Akar persamaan didapatkan c = 14,75.

Cara mengecek kebenaran dari estimasi grafis di atas adalah dengan
menggantikan nilai c = 14,75 tersebut ke dalam persamaannya.

( )f (14.75) = 667.38 1 − e−0.146843(1475) − 40 = 0.059
14.75
Selain itu, dapat juga mengecek validasinya dengan mencari harga
kecepatannya.

( )v = 9.8(68.1) 1 − e−(14.75/ 68.1)10 = 40.059
14.75
Nilai kecepatan yang didapat mendekati kecepatan jatuh parasut v =
40m/detik.

Metode grafis memiliki nilai praktis yang terbatas karena tidak presisi. Namun,
metode grafis dapat digunakan untuk mendapatkan perkiraan kasar dari akar.
Estimasi ini dapat digunakan sebagai tebakan awal untuk metode numerik
yang akan dibahas selanjutnya.

2. Metode Bagi Dua (Bisection)

Secara umum jika ( ) adalah berharga real dan kontinu pada interval −
dan harga-harga ( ) dan ( ) mempunyai tanda yang berbeda, maka
berlaku persamaan ( ) × ( ) < 0. Dan paling tidak akan ada satu
persamaan yang berharga diantara − .
Mencari akar-akar persamaan dengan metode bisection adalah dengan

membagi dua interval − kemudian mencari akar-akar pada tiap-tiap
interval, lalu membagi dua kembali interval yang memuat akar-akar

persamaannya. Step-step algoritma dari metode bisection adalah sebagai

berikut.

• Pilih harga rendah dan harga tinggi dimana akar-akar
persamaannya akan termuat diantaranya.

• Tentukan estimasi akar persamaan xr = xl + xu .
2

• Evaluasi hasilnya dengan cara sebagai berikut:

3|Page

a. Jika ( ) × ( ) < 0, maka akar persamaan yang dicari ada pada
interval bawah (akar berada di antara dan ). Maka set =
dan kembali ke step 2.

b. Jika ( ) × ( ) > 0, maka akar persamaan yang dicari ada pada
interval atas (akar berada di antara dan ). Maka set = dan
kembali ke step 2.

c. Jika ( ) × ( ) = 0, maka akar persamaan yang dicari adalah .

Gambar 3. Simulasi Penggunaan Metode Bisection secara Grafis

3. Metode Posisi Palsu (Regulafalsi)
Metode biseksi dapat diperbaiki apabila proses penentuan interval tidak

perlu setengah dari interval sebelumnya. Jika bisa dicari interval yang lebih
baik maka proses penyelesaian akan memakan waktu yang lebih cepat
dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit. Metode Regula Falsi titik
ditentukan dari perpotongan garis linear ( ) yang menghubungkan ( )
dan ( ) dengan = 0.

4|Page

Perhatikan grafik berikut:

Gambar 4. Simulasi Penggunaan Metode Regulafalsi secara Grafis

dicari dengan persamaan:

= − ( ) −
( ) − ( )

Sama dengan metode biseksi jika ( ) × ( ) < 0, maka = . Jika

( ) × ( ) > 0, maka = .

Dengan bertambahnya iterasi, maka nilai akan konvergen ke akar

persamaan. Proses iterasi berhenti jika selisih nilai pada suatu iterasi

deangan pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai toleransi error yang

diberikan.

Metode posisi palsu atau metode regulafalsi ini dibuat untuk

memperbaiki metode bagidua yaitu untuk mempercepat kekonvergenan

metode bagidua. Prosedur metode posisi palsu mulai dengan memilih dua

tebakan awal yaitu 0 dan 1 di mana nilai fungsinya pada kedua tebakan
awal ini berbeda tanda. Hubungkan kedua titik yaitu ( 0 , ( 0)) dan
( 1 , ( 1)) dengan garis lurus, dan tentukan titik perpotongan garis ini
dengan sumbu X. Sebut absis titik perpotongan dengan 2.

Jika ( 1) dan ( 0) berlawanan tanda maka gantikan 1 dengan 2 .
Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik

( 0 , ( 0)) dengan ( 2 , ( 2)) untuk menentukan titik perpotongan yang baru.
Tetapi jika ( 2) dan , ( 0) tidak berbeda tanda maka gantikan 0 dengan 2 .
Kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.

5|Page

Misalkan tan  merupakan kemiringan garis yang menghubungkan
( 0 , ( 0)) dan ( 1 , ( 1)) sehingga diperoleh persamaan berikut.

tan  = ( 1) − ( 0)

1 − 0

Dari sifat sudut-sudut sehadap maka: tan  = ( 1) − ( 2) atau tan  = ( 1)
1 − 2 1 − 2

Sehingga diperoleh : 2 = 0 ( 1) − 1 ( 0)
( 1) − ( 0)

F. Algoritma

1. Algoritma Metode Bagidua :

Masukan : ( ), 0, 1,

Keluaran : akar ( 2)

Langkah :

1. 2 = ( 0+ 1)

2

2. Jika ( 0) ∙ ( 1) > 0 maka cetak proses gagal tebakan awal tidak cocok.

Selesai

3. Jika ( 0) ∙ ( 2) < 0 maka 1 ← 2 , jika tidak 0 ← 2

4. Jika | 1− 0| ≤ maka akar = 2. Selesai

1

5. Ulangi kembali langkah 1

Sehingga pseudocode untuk metode bagi dua adalah sebagai berikut:

Diberikan selang sebagai tebakan awal [ , ] yang memenuhi ( ). ( ) < 0

while − >
2
+
= 2
if ( ) = 0, stop, end

if ( ). ( ) < 0

=

else

=

end

end

Selang [ , ] terakhir yang diperoleh memuat akar dengan aproksimasi akar

+
= 2

6|Page

a. Microsoft Excel
Langkah pertama adalah menginput nilai pada sel B2, dan nilai

pada sel B3 secara manual. Selanjutnya hitung nilai ( ) pada sel D2 dan
nilai ( ) pada sel D3. Kolom E untuk ( ) dan kolom H untuk ( ) diisi
dengan formula fungsi pada persamaan. Formula untuk masing-masing
kolom diinput hingga iterasi 2. Kemudian formula pada semua kolom pada
iterasi 2 dicopy dan selanjutnya dipaste ke baris-baris dibawahnya untuk
iterasi 3 dan seterusnya hingga kolom berjudul “Lanjutkan iterasi atau
berhenti” menyatakan “BERHENTI”. Solusi numerik berada pada kolom
pada baris dimana kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” menyatakan
“BERHENTI”.

Kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” dapat digunakan sebagai
petunjuk apakah iterasi harus dilanjutkan atau boleh berhenti. Ketika
kolom ini memberikan output kata “BERHENTI” pada suatu iterasi, maka
solusi aproksimasi berada pada iterasi tersebut.

Gambar 5. Template Metode Bagi Dua dengan Microsoft Excel

Contoh 2:
Diberikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya adalah ( ) =
3 − 7 2 + 14 − 6 dengan tebakan awal = 2,7 dan = 3,2. Gunakan
galat toleransi = 10−2. Gunakan template di atas untuk menentukan
akar dari persamaan tersebut.

b. Maple
Perintah “Bisection” secara numerik mendekati akar fungsi aljabar f
menggunakan algoritma pencarian biner sederhana. Diberikan ekspresi f
dan tebakan awal a dan b, perintah “Bisection” menghitung aproksimasi
ke akar f sampai iterasi ke n, n adalah jumlah iterasi yang diambil untuk

7|Page

mencapai kriteria berhenti. Barisan ini dijamin konvergen secara linier
menuju akar eksak, asalkan f adalah fungsi kontinu dan pasangan
aproksimasi awal berada dalam selang yang diberikan. Perintah
“Bisection” adalah jalan pintas untuk memanggil perintah “Roots” dengan
pilihan method=bisection.

Perintah yang digunakan adalah:
Bisection(f, x=[a, b], opts)
Bisection(f, [a, b], opts)

Dengan variabel yang digunakan sebagai berikut:

f = algebraic; ekspresi dalam variabel x yang mewakili fungsi
kontinu

x = name; variabel bebas dari f

a = numeric; tebakan awal ke akar sebagai batas bawah

b = numeric; tebakan awal ke akar sebagai batas atas

opts = (optional) equation(s); bentuk keyword=value, dimana
keyword adalah salah satu dari functionoptions, lineoptions,
maxiterations, output, pointoptions, showfunction,
showlines, showpoints, stoppingcriterion, tickmarks,
caption, tolerance, verticallineoptions, view; merupakan
pilihan untuk menunjukkan aproksimasi akar dari f

Pilihan perintah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:
➢ functionoptions = list

Daftar pilihan untuk plot fungsi f. Secara default, f diplot sebagai garis
merah solid.
➢ lineoptions = list

Daftar pilihan untuk garis pada plot. Secara default garis putus-putus
biru
➢ maxiterations = posint

Jumlah maksimum iterasi yang harus dilakukan. Nilai default dari
maxiterations tergantung pada jenis output yang dipilih:

- output = value: default maxiterations = 100
- output = sequence: default maxiterations = 10
- output = information: default maxiterations = 10
- output = plot: default maxiterations = 5

8|Page

- output = animation: default maxiterations = 10
➢ output = value, sequence, plot, animation, or information

Nilai kembali dari fungsi. Standarnya adalah value.
- output = value memberikan aproksimasi numerik akhir dari
akar.
- output = sequence memberikan barisan , = yang

konvergen ke akar eksak untuk fungsi yang berperilaku cukup
baik dan aproksimasi awal.
- output = plot memberikan plot f dengan setiap iterasi
ditampilkan dan informasi yang relevan tentang aproksimasi
numerik ditampilkan dalam keterangan plot.
- output = animation memberikan animasi yang menunjukkan
iterasi dari proses aproksimasi akar.
- output = information memberikan informasi rinci tentang
pendekatan iteratif dari akar f.
➢ plotoptions = list

Pilihan plot terakhir ketika output = plot atau output = animation.
➢ pointoptions = list

Daftar pilihan untuk titik-titik di plot. Secara default, titik-titik diplot
sebagai lingkaran hijau.
➢ showfunction = truefalse

Apakah akan menampilkan f pada plot atau tidak. Secara default,
pilihan ini diatur ke true.
➢ showlines = truefalse

Apakah akan menampilkan garis yang menonjolkan pada setiap
aproksimasi iterasi saat output = plot. Secara default, pilihan ini
disetel ke true
➢ showpoints = truefalse

Apakah akan menampilkan titik yang menonjolkan pada setiap
aproksimasi iterasi saat output = plot. Secara default, pilihan ini
disetel ke true
➢ stoppingcriterion = relative, absolute, or function_value

Kriteria yang harus dipenuhi oleh aproksimasi sebelum menghentikan
iterasi. Berikut ini menjelaskan masing-masing kriteria:

- relative : < tolerance

- absolute : < tolerance

9|Page

- function_value : < tolerance

secara default, stoppingcriterion = relative.
➢ tickmarks = list

Tanda centang ketika output = plot atau output = animation.
Secara default, tanda centang ditempatkan pada tebakan awal dan
akhir dengan label (atau a dan b untuk dua tebakan awal) dan ,

di mana adalah jumlah total iterasi yang digunakan untuk mencapai
aproksimasi akhir
➢ caption = string

Sebuah keterangan untuk plot. Teks default berisi informasi umum
tentang perkiraan.
➢ tolerance = positive

Toleransi kesalahan dari aproksimasi. Nilai defaultnya adalah .

➢ verticallineoptions = list
Daftar pilihan untuk garis vertikal di plot. Secara default, garis putus-
putus dan biru.

➢ view = [realcons..realcons, realcons..realcons]
Tampilan plot ketika output = plot.

Contoh 3:
Diberikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya adalah ( ) =
3 − 7 2 + 14 − 6 dengan tebakan awal = 2,7 dan = 3,2. Gunakan
galat toleransi = 10−2.

Dengan menggunakan Maple, dapat ditentukan akar dari persamaan
tersebut dengan menggunakan perintah “Bisection”.

Gambar 6. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Bagi Dua
10 | P a g e

Untuk memainkan animasi, klik plot untuk menampilkan menu konteks,
pilih Animasi > Putar.

Gambar 7. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = animation
Untuk melihat proses aproksimasinya dalam bentuk grafis dapat
menggunakan pilihan output = plot, seperti pada contoh berikut.

Gambar 8. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = plot
11 | P a g e

2. Algoritma Metode Posisi Palsu
Masukan : ( ), 0, 1,
Keluaran : akar ( 2)
Langkah :
1. 0 = ( 0); 1 = ( 1)

2. 2 = ( 0 1− 1 0)
( 1 0)

3. 2 = ( 2)

4. Jika | 2| ≤ maka akar = 2 . Selesai

5. Jika 2 ∙ 0 < 0 maka 1 ← 2 , 1 ← 2 , jika tidak 0 ← 2 , 0 ← 2

6. Ulangi langkah 2.

a. Microsoft Excel
Metode Regula Falsi merupakan metode tertutup seperti halnya

metode bisection. Langkah awal untuk metode ini serupa dengan pada
metode Bisection. Kolom D untuk ( ),
kolom E untuk ( ) dan kolom H untuk ( ) diisi dengan formula fungsi
pada persamaan. Formula untuk masing-masing kolom diinput hingga
iterasi 2. Kemudian formula pada semua kolom pada iterasi 2 dicopy dan
selanjutnya dipaste ke baris-baris dibawahnya untuk mengisi iterasi 3 dan
seterusnya hingga kolom berjudul “Lanjutkan iterasi atau berhenti”
menyatakan “BERHENTI”. Solusi numerik berada pada kolom pada
baris dimana kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” menyatakan
“BERHENTI”.

Gambar 9. Template Metode Regulafalsi dengan Microsoft Excel
12 | P a g e

Kerjakan contoh 2 dengan metode regulafalsi menggunakan bantuan
Microsoft Excel seperti template di atas.
b. Maple
Perintah “FalsePosition” secara numerik mendekati akar fungsi aljabar f
menggunakan teknik yang mirip dengan metode Secant, tetapi prosesnya
menggunakan selang. Diberikan ekspresi f serta tebakan awal a dan b,
perintah “FalsePosition” menghitung urutan aproksimasi akar sampai
iterasi ke n. Perintah “FalsePosition” adalah jalan pintas untuk memanggil
perintah “Roots” dengan pilihan method=falseposition.
Perintah yang digunakan adalah

FalsePosition(f, x=[a, b], opts)
FalsePosition(f, [a, b], opts)

Dengan variabel yang digunakan dan pilihan perintah yang digunakan
sama seperti pada perintah “Bisection” di atas.
Kerjakan contoh 2 menggunakan bantuan Maple dengan perintah
“FalsePosition”

Gambar 10. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Regulafalsi
Untuk memainkan animasi, klik plot untuk menampilkan menu konteks,
pilih Animasi > Putar.

13 | P a g e

Gambar 11. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = animation

G. Kasus
1. Tentukan akar dari persamaan ( ) = − 7 + 15cos ( ) dengan galat



toleransi = 10−5, dan pada selang (0,4; 1) menggunakan metode bagi dua
dan regulafalsi.
2. Frekuensi alami dari getaran bebas(free vibration) balok uniform yang terjepit
pada salah satu ujungnya dan bebas pada ujung yang lain dapat dicari dari
persamaan:

cos( ) . cosh( ) = −1

Balok
jepit

L

14 | P a g e

Dengan:

= √


2 = .
.

= Panjang elemen balok = 2 meter

= berat jenis elemen balok

= frekuensi alami balok (rad/dt)

= kekakuan lentur balok

Tetapkan nilai dari persamaan di atas, untuk 3 mode yang pertama (n = 1,
2, dan 3) kemudian gunakan nilai untuk menentukan frekuensi alami balok.
Gunakan metode bagi dua untuk menyelesaikannya.

3. Sebuah palung dengan panjang L memiliki penampang berbentuk setengah

lingkaran dengan jari-jari r (seperti ditunjukan pada gambar). Ketika diisi

dengan air sampai jarak h dari puncak, volume v air adalah

= [0,5 2 − 2 ℎ − ℎ( 2 − 1
( )
ℎ2)2]

Misalkan = 10 , = 1 , dan =12,4 3. Carilah kedalaman air di palung
hingga 0,01m.

H. Daftar Pustaka
1. Chapra. 2010. Numerical Methods for Engineers, Sixth Edition. McGraw-
Hill

15 | P a g e

2. Richard L. Burden, Douglas J. Faires, Annette M. Burden. 2016. Numerical
Analysis Tenth Edition. Cengage Learning

3. James F. Epperson. 2013. An Introduction to Numerical Methods And
Analysis Second Edition. John Wiley & Sons, Inc.

4. Timothy sauer. 2012. Numerical Analysis SECOND EDITION. Pearson
Education, Inc.

5. Agus Setiawan. 2006. Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta: Penerbit
ANDI

16 | P a g e

PRAKTIKUM 2

A. Pertemuan ke :5

B. Peralatan : Komputer, Infocus, Whiteboard

C. Software : Microsoft Excel dan Maple

D. Tujuan
➢ Dapat memahami penyelesaian persamaan ( ) = 0 dan mencari akar-akar

persamaannya dengan metode iterasi titik tetap, Newton-Raphson, dan

secant
➢ Dapat menggunakan Microsoft Excel dan Maple untuk mencari akar-akar

persamaan ( ) = 0 dengan metode iterasi titik tetap, Newton-Raphson, dan

secant

E. Teori Dasar
1. Metode Iterasi Titik Tetap
Metode titik-tetap adalah metode terbuka untuk menemukan akar dari
f(x) = 0. Idenya adalah untuk menulis ulang f(x) = 0 sebagai x = g(x) untuk
g(x) yang sesuai, yang disebut fungsi iterasi. Titik potong y = g(x) dan y = x
disebut titik tetap dari g(x). Titik tetap dari g(x) juga merupakan akar dari
persamaan asli f(x) = 0. Sebagai contoh, perhatikan e−x/2 - x = 0 dan akarnya
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 12. Persamaan ditulis ulang sebagai x
= e−x/2 sehingga g(x) = e−x/2 adalah fungsi iterasi. Perhatikan bahwa g(x)
hanya memiliki satu titik tetap, yang merupakan satu-satunya akar asalnya
persamaan. Perlu dicatat bahwa untuk persamaan yang diberikan f(x) = 0
biasanya terdapat lebih dari satu fungsi iterasi. Misalnya, e−x/2 - x = 0 juga
dapat ditulis ulang sebagai x = - 2 ln x sehingga g(x) = - 2 ln x.
Titik tetap g(x) ditemukan secara numerik melalui iterasi titik tetap:
+1 = ( ), = 1,2,3, …, dengan 1 = tebakan awal.
Prosedur dimulai dengan tebakan awal x1 di dekat titik tetap. Titik
berikutnya x2 ditemukan sebagai x2 = g(x1), selanjutnya x3 = g(x2), dan
seterusnya. Ini berlanjut sampai konvergensi diamati, yaitu, sampai dua titik
berturut-turut berada dalam jarak yang ditentukan satu lain, atau memenuhi
| +1 − | < .

17 | P a g e

Gambar 12. Akar persamaan yang ditafsirkan sebagai titik tetap dari fungsi
iterasi

Kekonvergenan metode ini bergantung pada kenyataan bahwa di sekitar akar,
kurva g(x) kurang curamnya daripada garis lurus y = x atau kondisi g(x)  1
merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan.

2. Metode Newton-Rapshon

Prosedur metode Newton-Rapshon (metode N-R) mulai dari sebarang titik 0

yang cukup dekat dengan akar.

Langkah 1 : tentukan kemiringan fungsi = ( ) pada = 0. Namakan

′( 0).

Langkah 2 : tentukan hampiran akar yaitu 1 denga menggunakan

persamaan ′( 0) = ( 0) atau 1 = 0 − ′( ) .
0− 1 ( )

Secara umum untuk memperoleh hampiran akar ke ( +1) digunakna rumus

+1 = − ′( ) .
( )

18 | P a g e

Langkah 3 : hentikan iterasi jika dua hampiran akar yang beruruta cukup

dekat. Metode scant menghampiri turunan pertama fungsi ( ) pada masalah

penentuan hampiran akar persamaan ( ) = 0, dengan : ′ ( ) = ( )− ( −1)
− −1

Dimana dan −1 adalah dua hampiran akar untuk iterasi ke- dan iterasi ke

ke- − 1.

Nilai hampiran akar pada iterasi ke + 1 diperoleh dari dua nilai hampiran

akar sebelumnya yaitu −1 dan yang diterapkan pada persamaan tersebut

−1 = −1 ( ) − ( −1)
( ) − ( −1)

Dengan 1− adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan

dua titik yaitu ( 1− , ( 1− )) dengan ( , ( )).

Metode ini menggunakan fungsi derivative sebagai fungsi garis

singgung. Algoritma dari metode ini adalah:

1. Memilih harga pendekatan awal 1.

2. Menentukan harga x2 = x1 − f (x1 ) .
f (x1 )

3. Jika | ( 2)| ≤ toleransi, maka harga 2 adalah harga yang dicari, bila

tidak dilanjutkan ke tahap 4.

4. Menentukan harga 1baru = 2, dan kembali ke tahap 2.

Gambar 13. Proses Iterasi Metode Newton-Raphson
19 | P a g e

3. Metode Secant

Metode ini juga pengembangan dari metode Interpolasi Linear. Metode

ini dapat disebut metode Estrapolasi Linear. Pada metode ini fungsi ( 1)
tidak perlu berlawanan tanda dengan ( 2), namun dipilih dua harga yang
dekat dengan akar sebenarnya yang ditunjukkan oleh fungsi dari kedua titik

tersebut. Algoritma dari metode ini adalah:

1. Memilih harga pendekatan awal 1 adan 2.

2. Menentukan harga x3 = x2 − (x2 − x1 )  ( f f (x2 ) .
(x2 ) − f (x1 ))

3. Jika | ( 3)| ≤ toleransi, maka harga 3 adalah harga yang dicari, bila tidak

dilanjutkan ke tahap 4.

4. Jika | ( 1)| ≤ | ( 2)|, maka 1baru = 2, jika tidak maka 1baru = 1. Kemudian
menentukan harga 2baru = 3, dan kembali ke tahap 2.

Gambar 14. Proses Iterasi Metode Secant

F. Algoritma

1. Metode Iterasi Titik Tetap

Masukan : ( ), 0, ,
Keluaran : akar
Langkah :

20 | P a g e

1. Iterasi = 1
2. 1 = ( 0)
3. Jika |( 1 − 0)/ 1| ≤ maka akar = 1. Selesai
4. 1 → 0
5. Iterasi = iterasi + 1
6. Jika iterasi < n, Kembali ke Langkah 2

a. Microsoft Excel
Berdasarkan algoritma metode iterasi titik tetap, maka kolom-kolom

yang dibutuhkan pada template metode iterasi titik tetap adalah
sebagaimana yang ditampilkan pada Gambar 15. Untuk memulai iterasi,
sebuah nilai awal 0 diisi secara manual pada sel B2. kolom C untuk g(a)
diisi dengan formula fungsi pada persamaan ( ).

Kemudian formula atau rumus untuk masing-masing kolom diinput
hingga iterasi 2. Selanjutnya formula pada semua kolom pada iterasi 2
dicopy untuk dipaste ke baris-baris dibawahnya untuk mengisi iterasi 3
dan seterusnya hingga kolom berjudul “Lanjutkan iterasi atau berhenti”
menyatakan “BERHENTI”. Solusi numerik berada pada kolom a pada
baris dimana kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” menyatakan
“BERHENTI”

Gambar 15. Template Metode Iterasi Titik Tetap

Contoh 3:
Diberikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya adalah ( ) =
− dengan tebakan awal = 1 dan = 0. Gunakan galat toleransi
= 10−2. Gunakan template di atas untuk menentukan akar dari
persamaan tersebut.

21 | P a g e

b. Maple
Perintah FixedPointIteration secara numerik mendekati akar fungsi

aljabar, f dengan mengubah masalah menjadi masalah titik tetap.
Diberikan ekspresi f dan tebakan awal a, perintah FixedPointIteration
menghitung barisan , = 0. . dari aproksimasi ke akar f, di mana n
adalah jumlah iterasi yang diambil untuk mencapai kriteria berhenti.
Argumen pertama f dapat diganti dengan opsi bentuk fixedpointiterator
= fpexpr. Perintah FixedPointIteration adalah jalan pintas untuk
memanggil perintah Roots dengan opsi method=fixedpointiteration.

Prosedur ini pertama-tama mengubah masalah menemukan akar ke
persamaan f(x) = 0 menjadi masalah menemukan titik tetap untuk fungsi
g(x), di mana g(x) = x - f(x) dan f(x) ditentukan oleh f dan x. Pengguna
dapat menentukan fungsi iterator khusus g(x) dengan menghilangkan
argumen pertama f dan menyediakan opsi fixedpointiterator = g.
Ekspresi sisi kanan g menentukan fungsi g(x), dan prosedur ini bertujuan
untuk menemukan akar dari f(x) = x - g(x) = 0 dengan cara memecahkan
masalah titik tetap g(x) = x.

Ketika output = plot atau output = animasi ditentukan, fungsi f(x)
dan fungsi iterator titik tetap g(x) keduanya akan diplot dan diberi label
yang sesuai. Opsi tolerance, Ketika stoppingcriterion =
function_value, berlaku untuk fungsi f(x) dalam bentuk pencarian akar
masalah.

Perintah yang digunakan adalah:
FixedPointIteration(f, x=a, opts)
FixedPointIteration(f, a, opts)

Dengan variabel yang digunakan dan Pilihan perintah yang dapat
digunakan sama seperti pada metode bagi dua dan regulafalsi.
Dengan menggunakan perintah fixedpointiterator = algebraic (opsional),
maka ekspresi di sisi kanan akan digunakan untuk menghasilkan urutan
iterasi titik tetap. Jika opsi ini ditentukan, argumen pertama, f, harus
dihilangkan.

22 | P a g e

Kerjakan contoh 3 menggunakan bantuan Maple dengan perintah
“FixedPointIteration”
Gambar 16. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Iterasi Titik Tetap

Gambar 17. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = plot
23 | P a g e

Gambar 18. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = animation
Untuk menemukan akar dari ( ) = 2 − 2 – 3 menggunakan fungsi
iterator titik tetap ( ) = √2 + 3, gunakan opsi fixedpointiterator = g.

Gambar 19. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Iterasi Titik Tetap

24 | P a g e

Gambar 20. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = plot

2. Metode Newton-Rapshon

Masukan : ( ), ′( ), 0, , ,
Keluaran : akar
Langkah :

1. Iterasi = 1
2. Jika | 0′| ≤ maka kemiringan terlalu kecil. Selesai.
3. 1 = 0 − ( 0 / 0′)
4. Jika |( 1 − 0)/ 1| ≤ maka akar = 1. Selesai.
5. 0 ← 1
6. Iterasi = Iterasi + 1

7. Jika iterasi < n, Kembali ke Langkah ke 2

a. Microsoft Excel

25 | P a g e

Berdasarkan algoritma metode Newton, maka kolom-kolom yang
dibutuhkan pada template metode Newton adalah sebagaimana yang
ditampilkan pada Gambar 3. Untuk memulai iterasi, sebuah nilai awal 0
diisi secara manual pada sel B2. Kolom C untuk ( 0), kolom D untuk
′( 0) dan kolom F untuk ( ) diisi dengan formula fungsi pada
persamaan.

Kemudian formula atau rumus untuk masing-masing kolom diinput
hingga iterasi 2. Selanjutnya formula pada semua kolom pada iterasi 2
dicopy untuk dipaste ke baris-baris dibawahnya untuk mengisi iterasi 3
dan seterusnya hingga kolom berjudul “Lanjutkan iterasi atau berhenti”
menyatakan “BERHENTI”. Solusi numerik berada pada kolom pada
baris dimana kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” menyatakan
“BERHENTI”

Gambar 21. Template Metode Newton- Rapshon

Contoh 4:
Diberikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya adalah ( ) =
+ 2− + 2 − 6 dengan tebakan awal = 2 dan = 0. Gunakan
galat toleransi = 10−2. Gunakan template di atas untuk menentukan
akar dari persamaan tersebut.

b. Maple
Perintah Newton secara numerik mendekati akar fungsi aljabar, f,

menggunakan metode Newton-Raphson klasik. Diberikan ekspresi f dan
tebakan awal a, perintah Newton menghitung barisan , = 0. . dari
aproksimasi ke akar f, di mana n adalah jumlah iterasi yang diambil untuk
mencapai kriteria berhenti. Untuk fungsi yang berperilaku cukup baik dan
pendekatan awal yang cukup baik, konvergensi dari menuju akar yang

26 | P a g e

tepat adalah kuadrat. Perintah Newton adalah jalan pintas untuk
memanggil perintah Roots dengan opsi method=newton.

Metode Newton akan gagal jika

( −1) = 0

Perintah yang digunakan adalah:
Newton(f, x=a, opts)
Newton(f, a, opts)

Dengan variabel yang digunakan dan Pilihan perintah yang dapat
digunakan sama seperti pada metode – metode sebelumnya.
Kerjakan contoh 4 menggunakan bantuan Maple dengan perintah
“Newton”.

Gambar 22. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Newton - Rapshon

27 | P a g e

Gambar 23. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = plot
Untuk memutar animasi berikut di halaman bantuan ini, klik kanan plot
untuk menampilkan menu, pilih Animation > Play.

28 | P a g e

Gambar 24. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = animation

3. Metode Secant

Masukan : ( ), 0, 1, , ,
Keluaran : akar
Langkah :

1. Iterasi = 1

2. Jika | 1 − 0| ≤ maka | 1 − 0| terlalu kecil. Selesai.
3. 2 = ( 0 1 − 1 0 ) − ( 1 / 0)
4. Jika | 2 | ≤ maka akar = 2. Selesai.
5. 0 ← 1
6. 1 ← 2
7. 0 ← 1
8. 1 ← 2
9. Iterasi = Iterasi + 1

10. Jika iterasi < n, Kembali ke Langkah ke 2

a. Microsoft Excel

29 | P a g e

Metode ini membutuhkan dua nilai awal yang tidak dikurung dalam
interval. Berdasarkan algoritma metode Secant, maka kolom-kolom yang
dibutuhkan pada templatenya adalah sebagaimana yang ditampilkan
pada Gambar 4. Untuk memulai iterasi dengan metode ini, maka nilai
awal 0 pada sel C2 dan 1 pada sel C2 diisi secara manual. Kolom D
untuk ( 0), kolom E untuk ( 1) dan kolom G untuk ( ) diisi dengan
formula fungsi pada persamaan.

Kemudian formula atau rumus untuk masing-masing kolom diinput
hingga iterasi 2. Selanjutnya formula pada semua kolom pada iterasi 2
dicopy untuk dipaste ke baris-baris dibawahnya untuk mengisi iterasi 3
dan seterusnya hingga kolom berjudul “Lanjutkan iterasi atau berhenti”
menyatakan “BERHENTI”. Solusi numerik berada pada kolom pada
baris dimana kolom “Lanjutkan iterasi atau berhenti” menyatakan
“BERHENTI”.

Gambar 25. Template Metode Secant

Contoh 5:
Diberikan persamaan tak linier yang akan dicari akarnya adalah ( ) =
3 − 7 2 + 14 − 6 dengan tebakan awal = 2,7 dan = 3,2. Gunakan
galat toleransi = 10−2. Gunakan template di atas untuk menentukan
akar dari persamaan tersebut.

b. Maple
Perintah Secant secara numerik mendekati akar fungsi aljabar, f,

menggunakan teknik yang mirip dengan metode Newton tetapi tanpa
perlu mengevaluasi turunan dari f. Diberikan ekspresi f dan tebakan awal
a, perintah Secant menghitung barisan , = 0. . dari aproksimasi ke
akar f, di mana n adalah jumlah iterasi yang diambil untuk mencapai

30 | P a g e

kriteria berhenti. Perintah Secant adalah jalan pintas untuk memanggil
perintah Roots dengan opsi method=secant.

Metode secant memiliki keterbatasan yang mungkin menyimpang
ketika tebakan awal a dan b tidak cukup dekat dengan akar.
Perintah yang digunakan adalah:

Secant(f, x=[a, b], opts)
Secant(f, [a, b], opts)

Dengan variabel yang digunakan dan pilihan perintah yang dapat
digunakan sama seperti pada metode – metode sebelumnya.
Kerjakan contoh 5 menggunakan bantuan Maple dengan perintah
“Secant”.

Gambar 26. Contoh Penggunaan Maple dengan Metode Secant

31 | P a g e

Gambar 27. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = plot
Untuk memutar animasi berikut di halaman bantuan ini, klik kanan plot
untuk menampilkan menu, pilih Animation > Play.

Gambar 28. Contoh Penggunaan Pilihan Perintah output = animation
G. Kasus
32 | P a g e

1. Tentukan akar dari persamaan ( ) = 2 − 4 + 2 dengan galat toleransi =

10−3, dan pada selang (3; 4) menggunakan metode iterasi titik tetap, metode

Newton – Raphson, dan metode Secant.

2. Hubungan antara debit air Q penampang saluran terbuka berbentuk

trapezium terhadap parameter geometri penampang adalah

= 1 [ ( + ) 2/3 1/2( + )
+ 2 √1 +
]


Dengan:

b = lebar dasar penampang

y = ketinggian air

z = kemiringan dinding

S = kemiringan saluran

n = angka Manning
Jika = 0,009, = 0,025, = 0,15, = 50 , dan = 0,83 3/
Tentukan ketinggian air y menggunakan metode iterasi titik tetap.

3. Untuk menghitung kedalaman pemancang dinding turap baja dapat

digunakan rumus:

3 − ( + )3 = 0

Dengan:

= koefisien tegangan aktif tanah = 2(45° − /2)
= koefisien tegangan pasif tanah = 2(45° + /2)

H = tinggi dinding turap

D = kedalaman pemancang

= sudut geser dalam tanah

Dengan menggunakan metode Newton Raphson dan metode Secant,

hitunglah kesalaman pemancang dinding turap jika diketahui H = 10m dan

= 28°.

H = 10m

33 | P a g e D=…m

H. Daftar Pustaka
1. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. 2010. Numerical Methods for
Engineers, Sixth Edition. McGraw-Hill
2. Ramin S. Esfandiari. 2017. Numerical Methods for Engineers and
Scientists Using MATLAB® Second Edition. CRC Press Taylor & Francis
Group, LLC
3. Agus Setiawan. 2006. Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta: Penerbit
ANDI

34 | P a g e