Modul Pembelajaran Pribadi

D. Rumus–Rumus dalam Segitiga

(1) Aturan sinus :

a = b = c = 2r
sin A sin B sin C

Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:

c ca
 

1) Dua sudut dan 1 sisi diketahui 2) Dua sisi dan satu sudut diketahui

(2) Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

ca c a

1) Jika ketiga sbisinya diketahui 3) Dua sisi dan satu sudut diketahui
(3) Luas Segitiga

L = 1 ab sin C L = a2 sin B sin C
2
2sin ( B + C )
= 1 ac sin B
2

= 1 bc sin A
2

L = s (s − a)(s − b)(s − c); s = 1 (a + b + c) = keliling segitiga

2

E. Persamaan Trigonometri

1. sin xº = sin p

x1 = p + 360k
x2 = (180 – p) + 360k

2. cos xº= cos p

x1 = p + 360k
x2 = – p + 360k

3. tan xº = tan p

x1 = p + 180k

x2 = (180 + p) + 180k
4. Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat

44

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Trigonometri

1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke Pembahasan :

pelabuhan B dengan jurusan tiga angka 1200 Dengan menggunakan aturan 600 40 km
sejauh 40 km ,kemudian berlayar menuju ke Kosinus diperoleh :
pelabuhan C dengan jurusan 2400 sejauh 80 AC = 402 + 802 − 2.40.80.cos600 A

km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah... 1
2
A. 20 3 km A 1200 AC = 1600 + 6400 − 6400   600
B. 40 km   600 B2400

C. 40 3 km

D. 40 5 km C 80 km
E. 40 7 km B 2400 AC = 8000 − 3200 = 4800 = 40 3 km

C KUNCI : C

2. Himpunan penyelesaian persamaan Pembahasan :

4sin2 x − 5sin x − 2 = 2cos2 x untuk 4sin2 x − 5sin x − 2 = 2cos2 x
0  x  2 adalah ....
( ) 4sin2 x − 5sin x − 2 = 2 1− sin2 x

A.  , 5    6sin2 x − 5sin x − 4 − 0
 6 6 
  (3sin x − 4)(2sin x +1) = 0

B.  , 7    sin x = 4 ( tdk memenuhi ) atau sin x = − 1
 6  32
 6 

C. 5  , 7   7  + k.2
 6 6  + k.2
 7  6 
6  6
 5  , 11    sin x = sin   x =
 6 6 
D. −

E.  7  , 11  Untuk : k = 0  x = −  ; 7 
 6 6  66
 

k = 1  x = 19 ;11
66

Karen daerah asal 0  x  2 maka yang

memenuhi adalah 7  , 11  KUNCI : E
 6 6 


45

3. Pembahasan : 1500
B
B 1500 1500

300 600

300 A
A C

Kapal bergerak dari A ke B selama 4 jam maka

Jarak A ke B = 4 x 50 = 200 mil dan dari B ke C

C selama 8 jam maka jarak dari B ke C = 8 x 50 =
400 mil jadi dgn menggunakan aturan kosinus

Sebuah kapal milai bergerak dari pelabuhan A diperoleh : AC = 2002 + 4002 − 2.200.400 cos 600
Pada pukul 07.00 dengan arah 0300 dan tiba di
− 160.000  1 
Pelabuhan B setelah 4 jam bergerak . Pukul  AC = 40.000 + 160.000 2 
12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan

B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan  AC = 200.000 − 80.000 = 120.000
1500 dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00.
 AC = 40.000.3 = 200 3 mil
Kecepatan rata-rata kapal 50 mil / jam .Jarak

tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan KUNCI : B
A adalah ....

A. 200 2 mil

B. 200 3 mil

C. 200 6 mil

D. 200 7 mil

E. 600 mil

4. Perhatikan grafik berikut ! Pembahasan :
Y
1 Dengan mengsubstitusi data pada gambar

13 diperoleh :
2
y = sin (2x + 600 )

Untuk x = 0  y = sin 600 = 1 3 sesuai
X2
0 150 600 1500 1950 x = 150  y = sin 90 = 1 sesuai

x = 600  y = sin180 = 0 sesuai

−1 x = 1500  y = sin 3600 = 0 sesuai

Persamaan grafik fungsi trigonometrinya x =1950  y = sin 4500 = sin (90 + 360) = sin 900 =1
adalah .....
( )Jadi yang benar adalah y = sin 2x + 600
( )A. y = − cos 2x − 600
( )B. y = sin 2x + 600 KUNCI : B

( )C. y = cos 2x + 600

( )D. y = sin 2x − 600

( )E. y = − sin 2x + 600

46

5. Perhatikan segiempat ABCD berikut ! Pembahasan :
B Dengan menggunakan Aturan sinus didapat:
6 2 cm
A AC = 6  AC = 6 1
sin 300 sin 450 12 2
600
2
6 cm
 AC = 6 = 3 2 dan dengan menggunakan
450 2

D 300 Aturan kosinus didapat:
Panjanga BC adalah .....
A. 2 3 cm 22

B. 3 2 cm 6 2 + 3 2 − 2.6 2.3 2 cos 600
C. 3 3 cm ( ) ( )C
D. 3 6 cm AC =
E. 6 6 cm
= 72 + 18 − 72  1  = 90 − 36
 2 

= 54 = 3 6 cm

KUNCI : D

6. Himpunan penyelesaian dari persamaan Pembahasan :
cos 2x0 − 3cos x0 + 2 = 0 dalam interval cos 2x0 − 3cos x0 + 2 = 0
00  x  3600 adalah ....  2cos2 x0 −1− 3cos x0 + 2 = 0
 2cos2 x0 − 3cos x0 +1 = 0
 A. 00, 600,1200
 B. 600,1200,1800  (2 cos x0 −1)(cos x0 −1) = 0
 C. 600,1800,3600
 D. 00, 600,1200,1800  cos x0 = 1 atau cos x0 = 1
 E. 00, 600,3000,3600 2

Untuk :  cos x0 = 1  cos x0 = cos 600
2

 x =  600 + k.3600 , k  B
−600 + k.3600

Untuk cos x0 = 1  cos x0 = cos 00

 x = 00 + k.3600

Jadi untuk :

k = 0  x = 00 , 600

k = 1  x = 3000,3600

 Jadi HP = 00, 600,3000,3600 KUNCI : E

7. Perhatikan gambar ! Pembahasan :
D 8cm C Dengan aturan sinus diperoleh :
600
6 6 cm AC = 66  AC = 6 6 1 2
600 450 sin 450 sin 600 1 32
A
Panjang AD adalah .... B 2

 AC = 6 3.2 = 12 cm dan dengan aturan
3

47

A. 2 21 cm kosinus diperoleh :
B. 2 19 cm AD = 122 + 82 − 2.12.8cos 600
C. 2 13 cm AD = 144 + 64 − 96 = 112 = 16.7 = 4 7 cm
D. 4 7 cm
E. 4 10 cm KUNCI : D

8. Himpunan penyelesaian persamaan Pembahasan :
1− 2sin2 x − cos x = 0 untuk 00  x  3600
adalah ..... 1− 2sin2 x − cos x = 0

 A. 1200, 2400 ( ) 1− 2 1− cos2 x − cos x = 0  −1+ 2cos2 x − cos x = 0
 B. 00,1200, 2400
 C. 1200, 2400,3600  2cos2 x − cos x −1 = 0
 D. 00,1800,3600
 E. 00,1200, 2400,3600  (2cos x +1)(cos x −1) = 0

 cos x = − 1  cos x = 1
2

Untuk :

cos x = − 1  cos x = cos1200  x =  1200 + k.3600 , k  B
2 −1200 + k.3600

cos x = 1  cos x = cos 00  x = k.3600

Jika k = 0  x = 00;1200

k = 1  x = 2400;3600

 Jadi HP = 00,1200, 2400,3600 KUNCI : E

9. Panjang BC dari D Pembahasan :
Segi – 4 pada gambar B Dari gambar diketahui bahwa segitiga BCD siku-
siku sama kaki jadi :
adalah .... 6 cm C Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh
BD = 42 + 62 − 2.4.6 cos 600
A. 14 cm

B. 12 cm 600  BD = 16 + 36 − 24 = 52 − 24 = 28 = 2 7
C. 3 cm A 4 cm Misalkan BC= x maka dengan Pytagoras didapat
BD2 = BC2 + CD2  28 = 2x2
D. 2 2 cm
E. 2 cm

 x2 =14  x = 14 KUNCI : A

Pembahasan : C
10. Sebuah segitiga ABC mempunyai panjang sisi Dengan menggunakan
b = 5 cm , c = 8 cm , dan cos A = 73 , panjangAturan kosinus didapat: 5 cm a cm
80 B

sisi a = .... A
A. 3 cm 8 cm
B. 4 cm
C. 9 cm a = 82 + 52 − 2.8.5cos A

D. 12 cm a= 64 + 25 − 80  73  = 89 − 73
E. 13 cm 80 

a = 16 = 4 cm KUNCI : B

48

TAMBAHAN Pembahasan:

1. Nilai x yang memenuhi

pertidaksamaan 3x + 5  2 adalah …. x  a  −a  x  a jadi
4−x
 −2  3x + 5  2
A. −14  x  2 4−x
5
I.  3x + 5  −2  3x + 5 + 2  0
B. −13  x  3 4−x 4−x
5
 3x + 5 + 2(4 − x)  0
C. −12  x  5
3 4−x
 x +13  0 pembuat nol :
D. x  −13 atau x  3
2 4−x
x = −13 x = 4

E. x  −13 atau x  5
3

−13 4

II.  3x + 5  2  3x + 5 − 2  0
4−x 4−x

 3x + 5 − 2(4 − x)  0

4−x
 5x − 3  0 pembuat nol :

4−x

x = 3x=4
5

3 4

5
Irisan kedua syarat adalah :

−13 3

5

Jadi : HP =  x / −13  x  3
 
 5 

KUNCI : B

49

2. Nilai x yang memenuhi −x2 + 2x − 2  2 Pembahasan :

adalah …. x  a  −a  x  a

A. x  2 −2  −x2 + 2x − 2  2

B. x  0 I. −x2 + 2x − 2  −2  −x2 + 2x  0

C. −2  x  0  x2 − 2x  0  x ( x − 2)  0 Pembuat
D. 0  x  2
E. −2  x  2 nol : x = 0  x = 2

02
II. −x2 + 2x − 2  2  −x2 + 2x − 4  0

 x2 − 2x + 4  0 karena D  0 maka
tdk ada akar real yg memenuhi.

Jadi HP = x / 0  x  2 KUNCI : D

3. Tiga buah bilangan membentuk deret Pembahasan :
aritmetika,jumlah ketiga bilangan itu Misal bilangan itu adalah :
75.Sedang selisih kuadrat bilangan
ketiga dan kuadrat bilangan pertama a ,(a + b),(a + 2b) maka :
adalah 700, maka ketiga bilangan
tersebut adalah …. a + (a + b) + (a + 2b) = 75  3a + 3b = 75
A. 20, 25, 30
B. 10, 25, 40  a + b = 25  b = 25 − a ……………….(1)

C. 5, 25, 45 Dan (a + 2b)2 − a2 = 700
D. 0, 25, 50
E. 18, 25, 32  a2 + 4ab + 4b2 − a2 = 700

 4ab + 4b2 = 700
 ab + b2 = 175 …………………………..(2)
Dari (1) dan (2) didapat :

 a (25 − a) + (25 − a)2 = 175

 a (25 − a) + (25 − a)2 = 175

 (25 − a) a + (25 − a) = 175

 (25 − a) 25 = 175  25 − a = 7  a = 18  b = 7

Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah :

18 , 25 , 32 KUNCI : E

4. Dalam suatu kelas yang terdiri dari Pembahasan :
20 putri dan 28 putra,nilai rata-rata Misal nilai rata-rata klp putra x ,maka
metematika yang dicapai adalah 6,2
206,8 + 28 x = 6, 2
Jika nilai rata-rata kelompok putri 48
6,8 ,maka nilai rata-rata kelompok
 136 + 28x = 297, 6  28x = 161, 6
putra adalah ….
A. 5,67 x = 161,6 = 5,77
B. 5,77 28

C. 6,02 Jadi nilai rata-rata klp Putra = 5,77
D. 6,54 KUNCI : B
E. 7,45

50

5. x0 adalah rata-rata dari data Pembahasan :
x1, x2,..., x10 . Jika data berubah
 1 x1 + 2  +  1 x2 + 4  +  1 x3 + 6  + ... +  1 x10 + 20 
 2   2   2   2 
mengikuti pola 1 1 1
2 x1 + 2, 2 x2 + 4, 2 x3 + 6 1 ( ) (2 20)
2
,dan seterusnya ,maka nilai rata- = x1 + x2 + x3 + ... + x10 + + 4 + 6 + ... +

ratanya menjadi …. = 1 x0 + S10 ( krn merupakan barisan
2
A. x0 +11
B. x0 +12 aritmetika dgn U1 = 2 &Un = 20 ) maka

C. 1 +11 Nilai rata-ratanya menjadi :
2
x0  10 (U1 + U10 ) 

D. 1 x0 +12 = 1 x0 +  2 10 
2 2  


E. 1 +
2 x0 20 1 1  5(2 + 20)  1 1  1 
2 2   2 2  2 
= x0 +  10  = x0 + ( 22)

= 1 x0 +11
2

KUNCI : C

6. Ukuran sisi sebuah segitiga siku-siku Pembahasan : c
membetuk suatu barisan aritmetika. Karena membentuk b

Jika luas segitiga itu 54 ,maka Barisan aritmetika maka: a

kelilingnya sama dengan …. I. 1 ab = 54  ab = 108  b = 108 …..(1)
2a
A. 32
B. 36

C. 40 II. c2 = a2 + b2 ……………………….(2)

D. 44 III. b − a = c − b  2b − a = c ………..(3)

E. 48 Dari (2) dan (3) didapat:

 (2b − a)2 = a2 + b2

 4b2 − 4ab + a2 = a2 + b2

3b2 − 4ab = 0  3b − 4a = 0 ……………..(4)
Dari (1) dan (4) didapat :

3  108  − 4a = 0  324 − 4a = 0
 a  a

 324 − 4a2 = 0  4a2 = 324

a2 = 324 = 81  a = 9  b = 108 = 12
49

 c = 2(12) − 9 = 24 − 9 = 15 Jadi keliling

segitiga adalah : a + b + c = 9 +12 +15 = 36
KUNCI : B

51

7. Suatu barisan aritmetika dengan Pembahasan :
suku-suku positif U1,U2,U3,...
U1 +U2 +U3 = 45
diketahui U1 +U2 +U3 = 45 dan
 a + (a + b) + (a + 2b) = 45
U12 = U3 −10 ,maka S4 = ....
 3a + 3b = 45  a + b =15  b =15 − a …..(1)
A. 100
B. 92 U12 = U3 −10  a2 = a + 2b −10
C. 82  a2 − a − 2b +10 = 0 ………………………..(2)
D. 80 Dari (1) dan (2) didapat :
E. 78
a2 − a − 2(15 − a) +10 = 0

 a2 − a − 30 + 2a +10 = 0  a2 + a − 20 = 0

 (a + 5)(a − 4) = 0  a = −5  a = 4 karena

suku-sukunya positif maka a = 4
Jadi b =15 − 4 =11 Jadi :

S4 = 4 (2(4) + 3(11)) = 2(8 + 33)
2

= 2(41) = 82

8. Diketahui Un adalah suku ke-n suatu Pembahasan :
barisan aritmetika .Jika untuk setiap Un −Un−2 = 3U1

bilangan asli n , nilai Un −Un−2 sama  a + (n −1)b − a + ((n − 2) −1)b = 3a
dengan tiga kali suku pertama dan
 a + nb − b − a + (n − 3)b = 3a
U3 + U11 = U1 +U3 . Maka U10 = ....  a + nb − b − (a − nb − 3b) = 3a
U9 −U5 3

A. 87  a + nb − b − a + nb + 3b = 3a  2b = 3a
10
b= 3a ….(1)
B. 19 2
3
U3 + U11 = U1 + U3
C. 21 U9 −U5 3
D. 29
E. 32  a + 2b + a +10b = a + a+ 2b
3
a + 8b − (a + 4b)

 2a +12b = 2a + 2b
a + 8b − a − 4b 3 …………………(2)

 2a +12b = 2a + 2b
4b 3

Dari (1) dan (2) didapat :

2a + 12  3 a  2a + 2  3 a  2a + 18a 2a + 3a
 2   2 
=  =
 3  3 6a 3
4  2 a 

 20a = 5a  10 = 5a  a = 2  b = 3
6a 3 3 3

Jadi U10 = a + 9b = 2 + 93 = 2 + 27 = 29

52 KUNCI : D

9. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku Pembahasan :

membentuk barisan aritmetika .Jika Dari gbr diketahui : y r

sisi siku-siku terpanjang 16 cm. Makabahwa :

sisi miring sama dengan ….

A. 18 cm 16
B. 20 cm

C. 22 cm 16 − y = r −16  r = 32 − y …………….(1)

D. 24 cm r2 = 162 + y2 ( Pytagoras ) …………..(2)
E. 32 cm Dari (1) dan (2) didapat :

(32 − y )2 = 162 + y2

 1024 − 64 y + y2 = 256 + y2

 64y = 1024 − 256 = 768  y = 768  y = 12
64

Jadi sisi miringnya adalah r = 32 −12 = 20
KUNCI : B

10. Pada gambar suatu elevasi terhadap Pembahasan :
puncak menara T dilihat dari titik A Misal : jarak B ke tiang menara = x dan

adalah 300 dan dari titik B adalah 600 .tinggi menara = t maka :

Jika jarak A dan B 120 m ,tinggi tan 300 = t  t = 1 3 (120 + x) ……..(1)
menara adalah …. 120 + x 3

A. 120 3 m T tan 600 = t  t = x 3 ………………………(2)
B. 120 2 m x
C. 90 3 m
D. 60 3 m Dari (1) dan (2) didapat :
E. 60 2 m
1 3 (120 + x) = x 3 120 + x = 3x

3
 2x =120  x = 60

Jadi tinggi menara adalah x 3 = 60 3 m

300 600 KUNCI : D

AB

11. Pada gambar suatu tongkat T Pembahasan :
diseberang sungai dilihat dari titik P Misal: lebar sungai = t dan jarak Q ke grs

membentuk sudut 300 dan dari titk Q tegak lurus tongkat x , maka :
tan 300 = t  t = 1 3 (48 + x) ……..(1)
adalah 600 . Jarak antara P dan Q 48 + x

adalah 48 m, lebar sungai adalah …. 3

A. 48 3 m T tan 600 = t  t = x 3
x
B. 48 2 m Dari (1) dan (2) didapat :
C. 36 3 m
D. 24 3 m 1 3 (48 + x) = x 3  48 + x = 3x

3
 2x = 48  x = 24 . Jadi lebar sungai
E. 24 2 m
600 adalah t = x 3  t = 24 3 m
KUNCI : D
Q

300 53
P

12. Jika diketahui p = 8 ; q = 27 dan Pembahasan:
125
−1
2 2 −1 −1  
 q3 +r5   
r = 32 ,maka nilai   adalah …. 2 2   2 2 
A. 5 −2   q3 +r5 =  
52   (27)3 + (32)5 
p3 −2 
8 −2
p3  125
3


B. 25 ( ) ( )33 2 25 2 −1  32 + 22 −1
52 5    2 −2 
 3+ −2    5  
C. 13   =  
52 = 2 3 3   
   5     
D. 52    
25  


E. 68  −1   1
25    
 9+4   13−1  13 1 25 25
=  =   2 2  = 4 = 13 4 = 52
 −2    5  
  2     25
  5

KUNCI : D

13. Jika x  0 dan y  0 maka Pembahasan :

9 − log2 x3 y3 = .... 9 − log2 x3 y3 = ....
6 + 2 log x12 y6 − log x30 y18 6 + 2 log x12 y6 − log x30 y18

A. log10xy ( )( )3 − log x3 y3 3 + log x3 y3
( )=
B. 3 log10xy 6 + log 2 − log x30 y18
2 x12 y6

C. 9 + log10xy = ( )( )3 − log x3 y3 3 + log x3 y3
2
6 + log x24 y12
D. 3 + log10xy x30 y18
2
( )( )3 − log x3 y3 3 + log x3 y3
E. 3 + log10xy
= 6 + log x−6 y−6

= (3 − 3log xy)(3 + 3log xy)

6 − 6log xy

= 3(1 − log xy)3(1+ log xy ) = 9 (1 + log xy )
6(1− log xy 6
)

= 3 (log10 + log xy) = 3 (log10xy)

22
KUNCI : B

54

14. Pada suatu deret geometri diketahui Pembahasan :

Sn = 150 , Sn+1 = 155 ,dan Sn+2 = 157 1 . Ingat : Un = Sn − Sn−1 dan Un = arn−1 ini
2 berarti :
Suku pertama deret geometri itu
Un+1 = Sn+1 − S(n+1)−1 = Sn+1 − Sn
adalah ….
 ar(n+1)−1 =155 −150  arn = 5 ………(1) dan
A. 70

B. 74 Un+2 = Sn+2 − S(n+2)−1 = Sn+2 − Sn+1

C. 80  ar(n+2)−1 = 157 1 −155  arn+1 = 5 …..(2)
D. 82 22
E. 90
Dari (1) dan (2) didapat :

arn+1 = 5  arn.r = 5  5r = 5  r = 1
2 2 22

Maka

ar n =5 a  1 n =5 a =5 a = 5.2n
 2  2n

( )Karena
0  r 1 maka : Sn = a 1− rn
1− r

5.2n   1 n 
1−  2  
( )
1− 1 = 150  10.2n 1− 2−n = 150

2

( ) 2n 1− 2−n = 15  2n − 20 = 15

 2n −1 = 15  2n = 16  2n = 24  n = 4
Jadi suku pertama deret geometri
tersebut adalah :

 a = 5.2n  a = 5.24  a = 5.16 = 80
KUNCI : C

15. Diketahui deret aritmetika Pembahasan :

1+ 6 +11+ ... + (5n − 4) 171 Pembilang dan penyebutnya sama-sama
2 + 5 + 8 + ... + (3n −1) 111
= . Maka nilai barisan aritmetika dgn masing-masing :

dari n adalah …. Pembilang : U1 = 1 dan Un = 5n − 4

A. 8 Penyebut : U1 = 2 dan Un = 3n −1 maka :
B. 10
1+ 6 +11+ ... + (5n − 4) = 171
C. 12 2+5+8+ ... + (3n −1) 111
D. 13
n (1+ 5n − 4)
E. 15  = 171  5n − 3 = 171
2

n (2 + 3n −1) 111 3n +1 111
2

 555n − 333 = 513n +171  42n = 504

 n = 504 = 12 KUNCI : C
42

55

 1 2− x Pembahasan :
 32 
16. Jika 3 8x+2 = maka nilai 8x − x2  1 2− x x+2
 32 
adalah …. 3 8x+2 = 8 3 = 2−5(2−x)

A. 7  2x+2 = 2−10+5x  x + 2 = −10 + 5x
B. 12
 4x =12  x = 3
C. 15 Jadi 8x − x2 = 24 − 9 = 15
D. 16
KUNCI : C
E. 33

UMPTN 94

17. 3x−2y = 1 dan 2x−y −16 = 0 ,maka nilai Pembahasan :
81 3x−2 y = 1  3x−2 y = 3−4
x + y = .... 81

A. 21  x − 2y = −4 …………………………(1)
B. 20
C. 18 2x−y −16 = 0  2x−y = 24
D. 16  x − y = 4 ……………………………(2)
E. 14 Dari (1) dan (2) diperoleh :

x −2y = −4  y =8  x = 12
 = 4
 x− y

UMPTN 95 Jadi x + y = 12 + 8 = 20 KUNCI : B

18. Penyelesaian persamaan Pembahasan :

( )2 25 x+1 + 5x+2 − 3 = 0 adalah x = .... 2 (25)x+1 + 5x+2 − 3 = 0

A. 1−2 log 5 ( ) 2 52 x+1 + 25.5x − 3 = 0

B. −1−5 log 2 ( ) 2 25.52x + 25.5x − 3 = 0

C. −1+5 log 2 50.52x + 25.5x − 3 = 0
D. −1−5 log 2
 (10.5x −1)(5.5x + 3) = 0

E. 1+5 log 2  5x = 1 atau 5x = −3 ( tdk memenuhi )
10 5

2 log 5x =2 log 1  x.2 log 5 = −1.2 log10
10
 x = −2 log10 = −
( ) ( )UMPTN 95
2 log 5.2 − 2 log 5 +2 log 2
=
2 log 5 2 log 5 2 log 5

 x = −2 log 5 − 1 = −1− 1
2 log 5 2 log 5 1

5 log 2

 x = −1−5 log 2 KUNCI : B

19. Jika x  0 dan x  1 memenuhi Pembahasan :

3 x x = x p , p bilangan rasional ,maka 3 x x xx
x x x3
= xp  = x3p
p = ....
 x x = x3p+3  x3 = x6 p+6

A. − 1  3 = 6 p + 6  6 p = −3  p = − 1
2 2

B. − 1 KUNCI : A
3
SPMB 2002
C. 1
3

D. 1
2

E. 2
3

20. Nilai x yang memenuhi persamaan Pembahasan :

1( x−3)  9  1 ( x−3)
0, 092 2
0, 33x+1 = 1 adalah …. 1( x−3)
 100 
0, 092 =1 =1
A. – 2 0, 33x+1  3 3x+1
B. – 1
 10 
C. 0
D. 1  3 x−3
 10  x−3 3 x +1
E. 2   3 3x+1 =1 3  = 3 
 10  10
 10 
SPMB 2004

 x − 3 = 3x +1  2x = −4  x = −2
KUNCI : A

21. Nilai x dan y memenuhi system Pembahasan :
persamaan 2x+1 − 3y = 7 dan
−2x−1 + 3y+1 = 1 maka nilai x + y adalah  2x+1 − 3y = 7  2.2x − 3y = 7
… 
A. 0 −2x−1 1 .2x
B. 2 + 3 y +1 =1 2 + 3.3y =1
C. 3
D. 4  2.2x − 3y = 7
E. 5  = −1  2.2x −12.3y
  1
SPMB 2004  2 .2x − 3.3y = −4

Dari (1) dan (2)

 11.3y = 11  3y = 1  3y = 30  y = 0

Untuk y = 0  2.2x −12.30 = −4  2.2x = 8

 2x = 4  x = 2
Jadi x + y = 2

KUNCI : B

22. Jika n bilangan bulat maka Pembahasan :

2n+2.6n−4 = .... 2n+2.6n−4 4.2n.6n. 1
12n−1 12n−1 64
=
12n. 1
A. 1 12
27
4
B. 1 64 .12n 4  12 = 2.2.2.2.3 = 1
16
= =
1 .12n 64 1 6.6.6.6 27
C. 1 12
9
KUNCI : A
D. 1
8

E. 1 SPMB 2004
3

23.  dan  adalah akar-akar dari Pembahasan :

x3log x = x6 . Jika    maka  −  = .... x 3 log x = x6  x 3 log x = x6
243 243 35

3log x3logx =3 log x6 3 log x.3 log x =3 log x6 −3 log 35
A. 84 35

B. 108 3 log2 x = 6.3 log x − 5 3 log2 x − 6.3 log x + 5 = 0

C. 240  ( 3log x − 5)( 3log x −1) = 0
D. 243
3 log x = 5 atau 3log x = 1
E. 246
Untuk :

UMPTN 2000 3log x = 5  x = 35

3log x = 1  x = 31 karena   

Maka  = 35 dan  = 3

( )Jadi  −  = 35 − 3 = 3 34 −1 = 3(80) = 240

KUNCI : C

24. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan Pembahasan :

2 log ( )x 1+2log x = 2 maka nilai x1 + x2 = .... ( )2 log x(1+2logx) = 2  1+2 log x 2 log x = 2

A. 2 1 2 log x +2 log2 x − 2 = 0
4 2 log2 x +2 log x − 2 = 0

B. 2 1  ( 2 log x + 2)( 2 log x −1) = 0
2

C. 4 1 2 log x = −2  x = 2−2  x1 = 1 atau
4 4

D. 4 1 2 log x = 1  x = 21  x2 = 2
2
Jadi x1 + x2 = 1 + 2 = 2 1
E. 6 1 4 4
4 KUNCI : A

UMPTN 2000

25. Jika u = x2 dan x log10 =u log (5u − 40) Pembahasan :
u = x2  x = u maka :
maka nilai u adalah ….
A. 25 x log10 =u log (5u − 40)  u log10 =u log (5u − 40)
B. 26
C. 27  log10 =u log (5u − 40)
D. 28
E. 30 1 log u
SPMB 2004 2

 2.u log10 =u log (5u − 40) u log102 =u log (5u − 40)

100 = 5u − 40  5u =140 KUNCI : D
 u = 140 = 28

5

26. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan Pembahasan :
1
(2 log x −1). 1 = log10 maka x1.x2 = .... ( 2 log x −1). x log10 = log10
log10
x

A. 5 10  (2log x −1). 1 =1
B. 4 10 1

C. 3 10 10 log x

D. 2 10 (2log x −1)log x = 1  2log2 x − log x −1 = 0
E. 10
 (2log x +1)(log x −1) = 0

 log x = − 1 atau log x = 1
UMPTN 2000 2

−1 atau x2 = 101

 x1 = 10 2

Jadi −1 10 = 10
10
x1.x2 = 10 2.10 =

KUNCI : E

27. Jika 2 log x2 −16 = 2 , maka x log 2 = .... Pembahasan :

A. 1 2 log x2 −16 = 2  x2 −16 = 22
5
 x2 −16 = 4  x2 −16 = 16
B. 2
5  x2 = 32  x = 32 = 4 2

C. 3 Jadi x log 2 =4 2 log 2 = log 2 = log 2
5 log 4 2
5
D. 4
5 log 22

E. 5 = log 2 = 1 = 2 KUNCI : C
5 log 2 5 5
22

UMPTN 2001

28. Dari deret aritmetika diketahui Pembahasan :
U6 +U9 +U12 +U15 = 20 , maka S20 = ....
A. 50 U6 +U9 +U12 +U15 = 20
B. 80
C. 100  (a + 5b) + (a + 8b) + (a +11b) + (a +14b) = 20
D. 200
E. 400  4a + 38b = 20  2a +19b =10 ………..(1)
UMPTN 1999
Jadi S20 = 20 (2a + (20 −1)b)
29. Jika U1 +U3 +U5 +U7 +U9 +U11 = 72
,maka U1 +U6 +U11 = .... 2
A. 12
B. 18  S20 = 10(2a +19b) …………………….(2)
C. 36
D. 48 Dari (1) dan (2) didapat :
E. 54
UMPTN 1999 S20 = 10(10) = 100 KUNCI : C

Pembahasan :

U1 +U3 +U5 +U7 +U9 +U11 = 72

 a + (a + 2b) + (a + 4b) + (a + 6b) + (a + 8b) + (a +10b) = 72

 6a + 30b = 72  3a +15b = 36 ………(1)

Jadi U1 +U6 +U11 = a + (a + 5b) + (a +10b)

= 3a +15b ………………………….(2)

Dari (1) dan (2) didapat:

U1 +U6 +U11 = 36 KUNCI : C

30. Jumlah n suku pertama dari suatu Pembahasan :
deret aritmetika adalah Sn = 2n2 +10n. Un = Sn − Sn−1
Nilai dari U5 +U6 +U7 +U8 = ....
A. 96 ( )Un = 2n2 +10n − 2(n −1)2 +10(n −1)
B. 136
C. 140 ( )( )= 2n2 +10n − 2 n2 − 2n +1 +10n −10
D. 156
E. 170 ( )= 2n2 +10n − 2n2 − 4n + 2 +10n −10

SPMB 2002 Un = 2n2 +10n − 2n2 − 6n + 8 = 4n + 8
Jadi U5 = 4.5 + 8 = 28

U6 = 4.6 + 8 = 32

U7 = 4.7 + 8 = 36

U8 = 4.8 + 8 = 40

U5 +U6 +U7 +U8 = 28 + 32 + 36 + 40 = 136
KUNCI : B

31. Jika jumlah n suku dari suatu deret Pembahasan :

geometri yang rasionya r adalah Sn ( ) ( )Sn
a rn −1 , maka a r6n −1 dan
maka S6n = .... = r −1 S6n = r −1
S3n
( )a r3n −1 ( )a r6n −1
A. r3n ( )jadi S6n = r −1
B. r 2n S3n = r −1
C. r3n + 1 S3n a r3n −1
D. r2n +1
E. r2n −1 r −1

( ) ( )( )a

=
r6n −1 = r6n −1 = r3n −1 r3n +1

SPMB 2004 ( )a r3n −1 r3n −1 r3n −1

= r3n +1 KUNCI : C

32. Jumlah suatu deret aritmetika adalah Pembahasan :

20 .Suku pertama deret tersebut Sn = 20  n (2a + (n −1)b) = 20 karena a=8
adalah 8 dan bedanya – 2 . Jika
2
banyaknya suku n ,maka n = .... dan b = −2 maka :

A. 4 atau 5 n (16 + (n −1)(−2)) = 20  n(16 − 2n + 2) = 40

B. 4 atau 6 2
C. 4 atau 7
D. 3 atau 6  n (18 − 2n) = 40  18n − 2n2 − 40 = 0

E. 5 atau 7  n2 − 9n + 20 = 0  (n − 4)(n − 5) = 0

SPMB 2004  n = 5 atau n = 4 KUNCI : A

33. Diketahui suatu barisan geometri Pembahasan :
U1 +U3 = p dan U2 +U4 = q , maka U1 +U3 = p  a + ar2 = p …………….(1)
U4 = ....
A. p3 U2 +U4 = q  ar + ar3 = q ……………(2)
p2 + q2 Dari (1) dan (2) didapat
B. q3
p2 + q2 ( )ar + ar3 = q  r a + ar2 = q
C. p3 + q3
p2 + q2  rp = q  r = q maka
D. q2 p
q2 + p2
E. p2 + p3 ( )a + ar2 = p  a 1+ r2 = p
p2 + q2
 a =p =p 2 =p q2
UMPTN 1996 1+ r2  p2
1+  q  1+
34. Sebuah kain berbentuk persegi  p
panjang memiliki panjang x meter 

dan lebar (14 − x) meter. Luas a= p = p3
p2 + q2 p2 + q2
maksimum kain tersebut adalah ….
A. 25 meter2 p2
B. 36 meter2
C. 49 meter 2 * Jadi U4 = ar3 =  p3  q3  = q3
D. 64 meter 2  p2 + q2  p3  p2 + q2
E. 81 meter 2   

( USBN 2018 soal dari Pusat ) KUNCI : B

Pembahasan :

14 − x

x

L ( x) = x (14 − x)  L ( x) = 14x − x2

Syarat Maksimum L1 ( x) = 0

14 − 2x = 0  x = 7

L ( x) maksimu =14(7) − 72 = 98 − 49 = 49

Jadi Luas maksimum = 49

KUNCI : C

( )35. Nilai lim x2 + 6x + 2 − ( x − 5) adalah Pembahasan :
x→
…. ( )lim x2 + 6x + 2 − ( x − 5)
A. – 8
B. – 7 x→
C. 0
( )= lim x2 + 6x + 2 − x2 −10x + 25
D. 7 x→

E. 8 * = 6 +10 = 16 = 8
21 2

KUNCI : E

( USBN 2018 soal dari Pusat )

36. Diketahui segitiga ABC dengan Pembahasan : A
panjang AB = AC = 13 cm dan
12 − y
panjang BC = 10 cm. Di dalam

segitiga tersebut akan dibuat sebuah 13 13

persegi panjang . Luas maksimum x 10 − 2x y
B 10 x
persegi panjang tersebut adalah ….
A. 60 cm2 C
B. 48 cm2
Dari gambar terlihat bahwa :
C. 40 cm2

D. 30 cm2* Tinggi segitiga ABC adalah :

E. 28 cm2

( USBN 2018 Soal dari Pusat ) = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12
Jadi Luas segitiga ABC adalah
L ABC = L +2L bawah+ L atas

 1 1012 = (10 − 2x) y + 2 1 xy + 1 (10 − 2x)(12 − y)

2 22

 60 =10y − 2xy + xy + 1 (120 −10y − 24x + 2xy)

2
 60 = 10y − xy + 60 − 5y −12x + xy

 5y −12x = 0  y = 12 x
5

Jadi Luas persegi panjang adalah:

L( x) = (10 − 2x)12 x  L( x) = 24x − 24 x2

55

Syarat maksimum L1 ( x) = 0

 24 − 48 x = 0  120 − 48x = 0  x = 120
5 48

 x = 5 jadi luas maksimum persegi
2

panjang adalah

24  5  − 24  5 2 = 60 − 30 = 30
2  5  2 

KUNCI : D

37. Diketahui PQR dengan sisi PQ Pembahasan : P
= 6 2 cm , besar sudut R = 300 dan
sudut Q = 450 . Panjang sisi PR 62
adalah ….
A. 8 2 cm 300 450 Q
B. 12 cm * R
C. 12 2 cm
D. 16 cm Dengan menggunakan aturan sinus
E. 16 2 cm didapat :

( USBN 2018 Soal dari Pusat ) PR = 62  PR = 62 1 2
sin 450 sin 300 1 2 KUNCI : B

2

PR = 12

38. Kubus ABCD.EFGH mempunyai Pembahasan : G

panjang rusuk 10 cm . Jarak titik B B

ke garis AG adalah …. H 10 B110 3
D 10 2
A. 10 2 cm G
3
E F B1  A B 
B. 10 3 cm B A
2
10
C. 10 6 cm * Dari segitiga ABG didapat :
3
C

D. 16 3 cm A sin = 10 2 = 2 = 1 6 ………………(1)
3 10 3 3 3

E. 16 6 cm Dari segitiga ABB1 didapat :
3
sin = BB1  BB1 = 10sin …………….(2)
10

( USBN 2018 Soal dari Pusat ) Karena sin = 1 6 maka jarak titik B ke
3

garis AG adalah BB1 = 10 1 6 = 10 6 cm
33
KUNCI : C

39. Modus yang disajikan pada table Pembahasan :
disamping adalah …. Dik Kelas modus : 71 – 80 berarti:
Tb = 71− 0,5 = 70,5 ; d1 = 14 −10 = 4 ;
A. 73,83 Nilai Frekuensi
d2 = 14 − 6 = 8 dan c = 10 jadi modusnya
41 - 50 2

B. 74,33 51 - 60 5 adalah : Mod = Tb +  d1 d1  c
C. 74,83 61 - 70 10  + d2 
71 - 80 14  

D. 75,33 81 - 90 6 Mod = +  4 10 = + 10
 12 3
E. 75,83 91 - 100 3 70, 5 70, 5

Mod = 70,5 + 3,33 = 73,83

( USBN 2018 Soal dari Pusat ) KUNCI : A

40. Dalam sebuah pertandingan sepak Pembahasan :

bola Ponaryo Astaman mendapat 5 Karena 5 kali dilakukan tendangan

kali melakukan tendangan penalty . berarti dan diharapkan 2 kali gold an 3

Peluang tendangan Ponaryo kali gagal sedangkan peluang gol 2 maka
menghasilkan gol adalah 2 . Peluang 5

5 peluang gagal adalah 1− 2 = 3 jadi
tendangan Ponaryo menghasilkan 2 55

gol adalah …. peluang untuk menghasilkan 2 gol

A. 144 * adalah:
625
P(2Gol,3Gagal ) = C35  2 3  3 2 = 5!  8  9 
B. 162  5   5  2!.3!  125   25 
625
= 5.4  8   9  = 2  8   9  = 144
C. 180 2.1  125   25  25   25  626
625
KUNCI : A
D. 216
625

E. 432
625

( USBN 2018 Soal dari Pusat )

41. Jika 2 log 5 = a dan 5 log 7 = b, maka Pembahasan :
nilai 35 log100 adalah …. 2 log 5 = a  log 5 = a log 2  log 2 = 1 log 5

a

A. 2a + 2 * 5log 7 = b  log 7 = blog 5  log 5 = 1 log 7
a(b +1) b

B. 2a +1 Jadi 35 log100 = log100 = log 25 + log 4
a(b +1) log 35 log 7 + log 5

C. 2a +1 2 log 5+ 2 log 2 2log 5 + 1 log 5
b +1 a
= =
D. 2a + b log 7 + log 5 b log 5 + log 5
a(b +1)
 2 + 1  log 5 2a +1 2a +1
E. 2b +1  a 
a(b +1) = = a = a (b +1)
(b +1) log 5 b +1

KUNCI : B

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat )

42. Sebuah kain berbentuk persegi Pembahasan : (24 − x)
panjang ,memiliki panjang x meter
 L ( x) = x (24 − x)
dan lebar (24 − 2x) meter. Luas
 L ( x) = 24x − x2 x
maksimum kain tersebut adalah ….
A. 64 meter2 Sayarat Maksimum L1 = 0

B. 72 meter2  24 − 2x = 0  x = 12
Jadi Luas maksimum adalah :
C. 96 meter2
L (12) = 24(12) −122
D. 144 meter2 *
= 288- 144 = 144
E. 164 meter2
( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat ) KUNCI : D

( )43. Nilai lim 9x2 − 6x + 8 − (3x + 2) adalah Pembahasan :
x→

( )….
lim 9x2 − 6x + 8 − (3x + 2)

x→

A. – 4 ( )= lim 9x2 − 6x + 8 − 9x2 +12x + 4
B. – 3 * x→

C. 0 = −6 −12 = −18 = −3
D. 3 29 6

E. 4 KUNCI : B

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat )

44. Pada segitiga sama kaki ABC dengan Pembahasan : A
panjang AC = BC = 15 cm dan
12 − y
panjang AB = 18 cm akan dibuat 15

persegi panjang dalam segitiga ABC . 15 y
Luas maksimum persegi panjang 18 − 2x

tersebut adalah …. x

A. 135 cm2

B. 108 cm2 x

C. 96 cm2 Dari gaBmbar terliha1t8 bahwa : C
D. 72 cm2 Tinggi segitiga ABC adalah :
E. 54 cm2 *
= 152 − 92 = 225 − 81 = 144 = 12

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat ) Jadi Luas segitiga ABC adalah
L ABC = L +2L bawah+ L atas

 1 1812 = (18− 2x) y + 2 1 xy + 1 (18− 2x)(12 − y)

2 22

108 =18y − 2xy + xy + 1 (216 −18y − 24x + 2xy)

2

 108 = 18y − xy +108 − 9y −12x + xy

 9y −12x = 0  y = 4 x
3

Jadi Luas persegi panjang adalah:

L( x) = (18 − 2x) 4 x  L( x) = 24x − 8 x2

33

Syarat maksimum L1 ( x) = 0

 24 − 16 x = 0  72 −16x = 0  x = 72
3 16

 x = 9 jadi luas maksimum persegi
2

panjang adalah

24  9  − 8  9 2 = 108 − 54 = 54
 2  3  2 

KUNCI : E

45. Diketahui DEF dengan panjang sisi Pembahasan :
DE = 8 6 cm ,besar sudut D = 450 ,
dan sudut F = 600 . Panjang sisi EF E
pada segitiga DEF adalah ….
A. 16 cm * 86

B. 16 2 cm 450 600
D F
C. 1616 3 cm
D. 24 cm Dengan menggunakan aturan sinus

E. 24 2 cm didapat :

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat ) EF = 86  EF = 8 6 1 2
sin 450 sin 600 1 32

2

EF = 8 6. 2 = 8 3. 2. 2 = 16 KUNCI : A
33

EF =16

46. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan Pembahasan : G
panjang rusuk 12 cm . Jarak titik B B 12 2

ke diagonal ruang AG adalah …. 12 B
H G B1
A. 2 6 cm 12 3

B. 3 6 cm E F 
C. 4 6 cm* 12
D. 6 6 cm A B1

D C

A

E. 4 4 12 cm A B

Dari segitiga ABG didapat :

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat ) sin = 12 2 = 2 = 1 6 ………………(1)
12 3 3 3

Dari segitiga ABB1 didapat :

sin = BB1  BB1 = 12sin …………….(2)
12

Karena sin = 1 6 maka jarak titik B ke
3

garis AG adalah BB1 = 12 1 6 = 4 6 cm
3
KUNCI : C

22. Modus data yang disajikan pada table Pembelajaran:

disamping adalah… Kelas Modus : 156 – 160

Tinggi Tb = 156 − 0,5 = 155,5
Badan
A. 155,50 (Cm) Frekuensi d1 = 15 − 8 = 7 d2 = 15 − 4 = 11 c=5
B. 156,94 3
C. 157,44* 141 - 145 Mod = Tb +  d1 d1 
 + d2 c
 

D. 162,44 146 - 150 6 Mod = 155,5 + 7 5
151 - 155 8 18

E. 162,94 156 - 160 15 = 155,5 + 35
161 - 165 4 18
166 - 170 3
= 155,5 +1,94

= 157,44

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat ) KUNCI : C

23. Kiper keseblasan nasional berpeluang Karena 5 kali dilakukan tendangan dan
mampu menggagalkan tendangan diharapkan 2 kali gol dan 3 kali gagal

penalti pemain lawan sebesar 3 . Jikasedangkan peluang gagal 3 maka
55

dalam suatu perandingan terjadi 5 peluang gol adalah 1− 3 = 2 jadi peluang
kali tendangan penalti, Peluang 55
terjadi 2 gol pada gawang kipper untuk menghasilkan 2 gol adalah:

kesebelasan nasional itu adalah …. P(2Gol,3Gagal ) = C35  2 3  3 2 = 5!  8  9 
A. 144 *  5   5  2!.3!  125   25 
625
B. 162 = 5.4  8   9  = 2  8   9  = 144
2.1  125   25  25   25  626

625

C. 160 KUNCI : A
625

D. 216
625

E. 432
625

( USBN 2018 Soal Susulan dari Pusat )

Tinggi Frekuensi
Badan (Cm)
3
141 - 145 6
146 - 150 8
151 - 155 15
156 - 160 4
161 - 165 3
166 - 170