แผนผังโครงสร้างของระบบจำนวนจริง

แผนผงั โครงสรา้ งของระบบจำนวนจรงิ

จากรูปแผนผังข้างบนจะเห็นได้ว่า นอกจากจำนวนจรงิ แลว้ ยังมจี ำนวนจนิ ตภาพ ซึ่งเราจะไม่สนใจศึกษาใน
บทเรยี นนี้ นอกจากน้ี เราจะเหน็ ไดว้ ่า จำนวนจริงประกอบดว้ ย จำนวนอตรรกยะ และ จำนวนตรรกยะ ซึ่งเราจะ
พิจารณาในรายละเอียดได้ดังน้ี

• จำนวนอตรรกยะ คอื จำนวนที่ไมส่ ามารถเขยี นให้อยู่ในรปู เศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ำได้
ยกตวั อยา่ งเช่น√2, √3,√5 หรอื ค่า¶ เป็นตน้

• จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขยี นให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนยิ มซำ้ ได้
ยกตวั อยา่ งเชน่ 1/2, 1/3, 2/5 เป็นต้น

จากแผนภาพอกี เชน่ เคย จะเหน็ ไดว้ ่า จำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยสองสว่ นคือ จำนวนเต็ม และ จำนวน
ตรรกยะท่ีไม่ใชจ่ ำนวนเตม็

• จำนวนเตม็ คือจำนวนทเี่ ปน็ ตัวเลขเตม็ ๆ หรอื ตัวเลขที่ไมม่ ีทศนิยมน่นั เอง นนั่ คือ ตวั เลขทเ่ี ราใชน้ ับ
นัน่ เอง ยกตัวอยา่ งเชน่ 1, 2, 3, 4 ... ทัง้ นท้ี ้ังนัน้ รวมไปจนถึงค่าท่ีติบลบของจำนวนนับน้ีและศนู ย์ดว้ ย
เชน่ 0, -1, -2, -3, -4 ....

• จำนวนตรรกยะท่ีไม่ใชจ่ ำนวนเตม็ ความหมายของจำนวนนี้ก็ตามความหมายของช่ือเลยครบั น่ันคือ
ตัวเลขเขยี นในรูปของทศนยิ มซำ้ ไดโ้ ดยท่ีไม่ไดเ้ ป็นเลขจำนวนเตม็ นน่ั เอง อย่างเชน่ 1/2=0.5 หรือ 1/3
= 0.333... (สามซำ้ )

ยง่ิ ไปกวา่ นนั้ จำนวนเต็มยังแบ่งยอ่ ยไดอ้ ีกสามหมวดคือ จำนวนเตม็ ลบ จำนวนเต็มบวก และ จำนวนเตม็ ศูนย์

สมบตั ขิ องจำนวนจรงิ

เน่ืองจากวา่ สมบัติของจำนวนจริงมเี ยอะมาก ในท่ีนจ้ี ะนำเสนอเฉพาะที่คิดวา่ สำคัญแลว้ กนั นะครับ
ถ้าให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ แล้ว จะได้วา่ จำนวนจรงิ จะมสี มบัตดิ ังตอ่ ไปน้ี
1. สมบัตปิ ดิ การบวก: a+ b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ
2. สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูข่ องการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c
3. สมบัติการมีเอกลกั ษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยทเี่ ราเรยี ก 0 ว่าเอกลกั ษณ์ของการบวก
4. สมบัติการมอี ินเวอร์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยท่ี (-a) เปน็ อินเวอร์สการบวกของ a
5. สมบัตปิ ดิ ของการคูณ: a คณู b หรือ ab จะต้องมีผลลัพธเ์ ป็นจำนวนจริงเสมอ
6. สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c
7. สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยทเี่ ราเรยี ก 1 ว่าเอกลักษณ์ของการคูณ
8. สมบัตกิ ารมอี ินเวอร์สของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยท่ี a-1 เป็นอนิ เวอร์สการคูณของ a
9. สมบตั กิ ารแจกแจงทางซา้ ย: a(b + c) = ab + ac

นอกจากสมบตั ขิ องจำนวนจริงแล้ว เรายงั มีทฤษฎบี ทเบอ้ื งต้นสำหรบั จำนวนจรงิ ด้วย ในทำนองเดียวกบั
สมบตั ิของจำนวนจริง จะขอนำเสนอเฉพาะส่วนท่ีคิดวา่ สำคัญเทา่ นน้ั นะครบั

ถา้ ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ จะไดว้ ่า
1. ถา้ a+c = b+c แล้ว a = b
2. ถ้า c ไมเ่ ท่ากับศนู ย์ และ ac =ab แลว้ a = b
3. เมื่อ c > 0 แลว้ จะไดว้ ่า

(1) ถา้ a > b แลว้ ac > bc
(2) ถา้ a < b แล้ว ac < bc
(3) ถา้ ac > bc แลว้ a > b
(4) ถา้ ac < bc แล้ว a < b

4. เมือ่ c < 0 แล้วจะไดว้ ่า
(1) ถ้า a > b แล้ว ac < bc
(2) ถ้า a < b แลว้ ac > bc
(3) ถ้า ac > bc แล้ว a < b
(4) ถา้ ac < bc แลว้ a > b

5. ถ้า ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0
6. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c

ระบบจำนวนจรงิ

พีชคณิตเปน็ คณิตศาสตร์ท่ศี กึ ษาเกยี่ วกับระบบโครงสร้างกับการดำเนนิ การของวัตถุเชงิ คณติ ศาสตร์ ใน
บทเรียนนี้จึงเป็นการศกึ ษาพีชคณิตระบบจำนวนจริงในระบบมธั ยมศึกษาตอนตน้ ประกอบดว้ ย 1) วัตถุหรือ
สัญลักษณ์ในระบบซง่ึ กค็ ือจำนวนจริง 2) นิพจนเ์ ชงิ พีชคณิตซง่ึ เปน็ กลุ่มกอ้ นของสมาชกิ ในระบบ 3) การแยกตัว
ประกอบเสมือนการจำแนกองคป์ ระกอบของนิพจน์ 4) ความสมั พันธ์เสน้ ตรงเชิงเปรียบเทียบในรปู ของประโยค
สัญลักษณ์สมการและอสมการเส้นตรง และ 5) ความสมั พันธก์ ำลงั สองเชงิ เปรียบเทียบในรปู ของประโยค
สัญลักษณส์ มการและอสมการกำลังสอง และ 6) ความสัมพนั ธ์เชิงสดั สว่ น ซงึ่ เป็นพื้นฐานทีส่ ำคัญมากต่อ
การศกึ ษาคณิตศาสตร์ขั้นสงู

ภาพที่ 1 ระบบจำนวนจริง
ดดั แปลงจาก College mathematics and calculus with applications to management, life and

social sciences, หน้า 7
ท่ีมา วีระ ยคุ ณุ ธร

1.1 จำนวนจรงิ

ตวั เลขเปน็ สัญลกั ษณท์ ม่ี นษุ ยใ์ ช้แทนปรมิ าณต่างที่มีอยู่ในธรรมชาติ ในยุคเริ่มแรกเรารจู้ กั จำนวนที่มี
ลักษณะเต็มหนว่ ยที่เป็นปริมาณเชงิ ประจกั ษใ์ นธรรมชาติ ชุดจำนวนเหลา่ นีถ้ ูกนำมารวมกันเป็นเซตเรยี กวา่ เซต
จำนวนนับ (Natural numbers) ตอ่ มามีการกำหนดเลขศนู ย์ และจำนวนตรงกนั ข้ามกับจำนวนนบั จึงเรียก
จำนวนสามกลุ่มนี้ใหม่วา่ จำนวนเตม็ บวก จำนวนเต็มศนู ย์ และจำนวนเตม็ ลบ เกิดเป็นเซตจำนวนเตม็ ตอ่ มามี
การศกึ ษาปริมาณเชงิ สดั ส่วน (Ratio) ทเี่ กิดจากการแบง่ ในลกั ษณะการหารกันระหวา่ งจำนวนเต็ม รวมถงึ การ
การหาผลหารทอ่ี ยรู่ ูปทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รจู้ บชนิดทศนิยมซ้ำ เมอ่ื ผนวกกับระบบจำนวนทมี่ ีก่อนหนา้ เรา
เรียกเซตจำนวนกลมุ่ นว้ี ่าเซตจำนวนตรรกยะ (Rational numbers) สำหรบั จำนวนทีอ่ ยู่นอกเหนือจากจำนวน
ตรรกยะเรยี กว่าเซตจำนวนอตรรกยะ ผลผนวกสดุ ท้ายทำใหเ้ ราได้เซตจำนวนทีเ่ รยี กว่าเซตจำนวนจรงิ ระบบ
จำนวนจรงิ นีส้ ามารถอธบิ ายเป็นภาพดว้ ยเสน้ จำนวนแสดงการจดั เรยี งอนั ดับ และการวัดระยะระหว่างตำแหนง่
สองตำแหน่งเม่ือเราแทนตำแหนง่ ดว้ ยจุดบนเสน้ จำนวน

1.1.1 เซตจำนวนจรงิ

จากทก่ี ล่าวมาข้างตน้ เซตจำนวนนับเป็นชดุ ตวั เลขชุดแรกสุดทม่ี นุษยส์ ัมผัสได้ การมอี ยขู่ องจำนวนนบั จึง
เปน็ สัจพจน์ เรียกวา่ สจั พจนข์ องเปอาโนว่าด้วยการมีอยู่ของยูนิตแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 และพจนต์ ามของ 1 (1*)
แทนด้วย 2 ซงึ่ มเี พียงพจนเ์ ดียว โดยการอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตรท์ ำให้ได้ 3, 4, 5,… เกิดเป็นเซตจำนวนนบั นัน้ คือ

เซตของจำนวนนับ N = { 1, 2, 3, … }

หากเราพจิ ารณาการบวกด้วย 1 จะพบวา่

a + 1 = a* และ a + 1* = a + 1 + 1 = (a + 1)*

พจิ ารณา

3 + 2 = 3 + 1* = (3+1)* = 4* = 5

การบวกดว้ ย 2 จึงเปน็ การเพิ่มทล่ี ะ 1 จำนวนสองคร้งั เปน็ ท่ีทราบกนั ดีวา่ การเพิ่มทำใหป้ รมิ าณเพ่ิมขึน้
และการลดทำให้ปรมิ าณลดลง คำถามท่นี า่ สนใจคือการเพ่ิมท่ที ำใหป้ ริมาณยังคงเท่าเดิม และการเพ่มิ ท่ีทำให้
ปรมิ าณมีค่านอ้ ยลงคือจำนวนใดในเซตของจำนวนนบั { 1, 2, 3, … } ซง่ึ พบวา่ เซตดังกล่าวไมม่ ีเพยี งตอ่ การตอบ
คำถามวา่ 1 + x = 1 แลว้ x คอื จำนวนใด จงึ มีการเพ่ิมจำนวนศนู ย์ { 0 } ซงึ่ ใชอ้ ธิบายตวั บวกท่ที ำใหผ้ ลบวก
ยังคงมีค่าเท่าเดิมเรยี กวา่ เอกลักษณ์การบวก เม่ือรวม 0 เข้าในไปเซตจำนวนนบั จะได้จำนวนทง้ั หมด

W = {0,1,2,…}

สำหรับตวั เพมิ่ ท่ีทำให้มคี ่าลดลงเป็นศูนย์คือถา้ 1 + x = 0 แลว้ x เป็นจำนวนใดเราจงึ สรา้ ง (-1) เมื่อ
ตอบคำถามท่วี ่า 1 + (-1) = 0 ในทำนองเดียวกัน 2 + x = 0 จึงมี -2 ดงั นัน้ สำหรบั {1,2,3,…} จะต้องสร้างกลุ่ม
จำนวน

{-1,-2,-3, ….} เปน็ เซตของจำนวนตรงกนั ขา้ มกับ {1,2,3,…}

เมื่อนำชุดตวั เลขมารวมกันจะได้ {…,-2,-1,0,1,2,…} เปน็ เซตจำนวนเตม็ จำแนกเป็น 3 กลมุ่ ไดแ้ ก่

เซตจำนวนเต็ม Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

เซตจำนวนเตม็ บวก Z+ = {1,2,3,…}

เซตจำนวนเตม็ ศูนย์ Z0 = {0}

เซตจำนวนเต็มลบ Z- = {-1,-2,-3,…}

สำหรบั การคณู ในเซตจำนวนเตม็ จะเห็นวา่ ไมว่ ่านำจำนวนใดก็ตามสองจำนวนมาคูณกัน ผลคณู จะยงั คง
อยใู่ นเซต แตส่ ำหรบั การหารเราแบ่งพิจารณาเปน็ การหารด้วยศูนย์ การหารดว้ ย 1 และ -1 และ การหารดว้ ย
จำนวนทีเ่ หลอื

การหารดว้ ยศนู ย์ไม่สามารถกำหนดค่าผลหารหรอื นิยามความหมายได้ดังนน้ั การหารด้วยศูนยจ์ งึ ไม่
นิยาม ในระบบพชี คณติ เราจะเรียกพจน์ท่ีมกี ารหารด้วย 0 ว่า พจนท์ ไ่ี มน่ ิยาม (undefined term)

การหารด้วยหนงึ่ จะทำใหจ้ ำนวนเดิมดังนัน้ ชดุ จำนวน {…,-2,-1,0,1,2,…} เพยี งพอสำหรบั การหาผลหาร
ดว้ ย 1 รวมไปถึง -1 ดว้ ยซง่ึ จะทำให้เกดิ ผลลัพธ์เปน็ จำนวนตรงกันขา้ ม

การหารดว้ ยจำนวนอน่ื ๆ ทไ่ี ม่ใช่ -1, 0 และ 1 จะทำให้เกิดจำนวนชนิดใหมท่ ไี่ ม่ใช่จำนวนเตม็ นิยามเขียนแทน
ด้วยเศษสว่ นเช่น 1/2 , 5/3, -7/6 เป็นต้น หากเราใชว้ ธิ กี ารต้ังหารยาวเปลย่ี นเศษส่วนเป็นทศนิยมจะพบวา่
ผลหารจะอยู่ในรปู ของทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่ร้จู บชนดิ ทศนยิ มซ้ำ

จะเหน็ ว่า Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} สามารถเขยี นไดใ้ นรูปเศษด้วยโดยการหารดว้ ย 1 เมอ่ื ผนวกเข้าเศษสว่ นที่เกิด
จากการนำจำนวนเต็มหารจำนวนเต็มเราจะได้ชุดจำนวนทแ่ี สดงสดั สว่ นเรียกวา่ จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ Q = { a/b , a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยท่ี b ไม่เป็นศูนย์ }

ขอ้ สังเกตของจำนวนตรรกยะคอื จำนวนทีม่ ีค่าเท่ากับ 1/2 มไี ดห้ ลายคา่ เชน่ 2/4, -3/6 เป็นตน้ แต่อย่างไรก็ตาม
หากพจิ ารณาเศษสว่ นอย่างต่ำนั้นจะเขยี นไดเ้ พียงแบบเดยี วนน้ั คอื a/b จะเป็นเศษส่วนอยา่ งต่ำเม่อื ตวั หารร่วม
มากของ a และ b มคี ่าเท่ากับ 1

อย่างไรกต็ ามยงั มีจำนวนอื่น ๆ ท่อี ยู่น้องเหนอื จากจำนวนตรรกยะเช่นในทฤษฎีพธิ ากอรัสถ้าเราวาด
สามเหล่ยี มมุมฉากท่ีมีด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละหนึ่งหน่วยเมือ่ วดั ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉากเราไม่
สามารถระบุขนาดท่ีแจ่มชัดได้ อีกนัยนึงสังเกตได้วา่ หากเราพิจารณา

x2 = 0 เราจะพบว่า x = 0

x2 = 1 เราจะพบวา่ x = -1 หรือ x = 1

x2 = 2 เราจะพบว่า ดว้ ยระบบจำนวนตรรกยะไมส่ ามารถตอบคำถามน้ีได้

x2 = 3 เราจะพบว่า ด้วยระบบจำนวนตรรกยะไมส่ ามารถตอบคำถามน้ีไดเ้ ชน่ กนั
x2 = 4 เราจะพบวา่ x = -2 หรือ x = 2
พบวา่ ถ้า x2 = 0, 1, 4, 9, 16, … จะมจี ำนวนตรรกยะทเี่ ป็นคำตอบของ x แตห่ ากพิจารณา x2 = 2, 3, 5
เป็นตน้ เราจะต้องสรา้ งจำนวนเรียกวา่ กรณฑ์ ซ่ึงเทา่ กบั เป็นจำนวนสำหรบั ตอบคำถาม x2 = 2 นอกจากนยี้ ังมี
ปรมิ าณอ่นื เช่น คา่ พาย และ ค่า e ซ่ึงเป็นชดุ ตัวเลขนอกเหนอื จากจำนวนตรรกยะเรียกว่า อตรรกยะเขยี นแทน
ดว้ ย Qc

เราจึงรวมเซตของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะเข้าด้วยกนั เรียกว่าจำนวนจรงิ ( R )
1.1.2 การเปรยี บเทยี บระหวา่ งจำนวน

ในระบบจำนวนจริงหากเราใช้ 0 เปน็ จำนวนเปรยี บเทียบกับจำนวนจรงิ ท่ีเหลือจะแบ่งไดเ้ ปน็ 2 กลุม่ คือ
จำนวนจริงบวกซ่ึงเปน็ จำนวนจรงิ ทม่ี ากกว่า 0 และ จำนวนจรงิ ลบหมายถึงจำนวนจริงทนี่ ้อยกว่า 0 จะพบว่า
จำนวนจรงิ ลบ < 0 < จำนวนจรงิ บวก
นน้ั คอื จำนวนจริงบวกมีค่ามากกว่าจำนวนจริงลบทุกจำนวน

การเปรยี บเทียบจำนวนจรงิ บวกกบั จำนวนจรงิ บวก จำนวนจริงบวกทอ่ี ยู่หา่ งจากศนู ยม์ ากกวา่ จะมคี ่ามา
กว่าเช่น 4 อยูห่ ่าง จาก 0 มากกว่า 3 ดังน้ัน 4 > 3 เม่ือพิจารณาผลลบจะเหน็ พบวา่

4 > 3 แลว้ 4 – 3 > 0
3 < 4 แลว้ 3 – 4 < 0
กรณีเปรียบเทยี บจำนวนจรงิ ลบกบั จำนวนจรงิ ลบจะได้ผลในทศิ ทางตรงกันขา้ มกล่าวคือ จำนวนจรงิ ลบทีห่ า่ งจาก
ศูนยม์ ากกว่าจะมีคา่ น้อยกว่าเช่น (-4) อย่หู า่ ง จาก 0 มากกว่า (-3) ดังน้นั -4 < -3 เม่ือพิจารณาผลลบจะเห็น
พบวา่
(-4) < (-3) แลว้ -4 – (-3) = (-4) + 3 < 0
(-3) > (-4) แล้ว -3 – (-4) = (-3) + 4 > 0

นอกจากนหี้ ากเราพจิ ารณาจำนวนสองจำนวนท่ีเท่ากันเราจะพบว่าผลลบมีคา่ เทา่ กับ 0 นั้นคอื
4 = 4 พบว่า 4 – 4 = 0

การเปรยี บเทียบจำนวนระหว่างสองจำนวนจึงสามารถเปรยี บเทยี บโดยใช้ผลลบได้ดงั น้ี
a < b แลว้ a – b < 0
a > b แล้ว a – b > 0
a = b แลว้ a – b = 0

สรปุ ไดต้ ามกฏ trichotomy ที่กลา่ วไว้ว่า เมื่อเปรยี บเทยี บจำนวนจรงิ ใด ๆ 2 จำนวน a และ b แลว้ ผลการ
เปรยี บเทียบเป็นไปไดว้ ่า a < b หรอื a > b หรือ a = b อยา่ งใดอย่างหนง่ึ ดงั นัน้ ในกรณีทพ่ี จิ ารณาจำนวนที่ไม่
มากกวา่ จงึ เป็นไปได้ 2 อยา่ งคือ น้อยกว่า หรอื เทา่ กนั
1.1.3 เสน้ จำนวน

การสร้างตวั แทนเซตจำนวนจริงนั้นอาจใช้เสน้ จำนวนแสดงเซตจำนวนจริงท้ังหมดโดยที่มี 0 เปน็ สมาชิก
แบ่งก้ันจำนวนจรงิ บวกและจำนวนจรงิ ลบ

เส้นจำนวนที่ใชแ้ ทนจำนวนเต็มแสดงได้ดงั รปู ท่ี 3 มีการจัดเรยี งลำดบั จากน้อยไปมากและระยะหา่ ง
ระหว่างจำนวนท่ีอยู่ตดิ กันมีค่า 1 หน่วย

รูปท่ี 3 จำนวนเตม็ บนเส้นจำนวนจรงิ
ที่มา วีระ ยคุ ุณธร

รูปท่ี 4 จำนวนตรรกยะ 3/4 แสดงได้โดยการแบง่ ระยะห่างระหว่าง 0 และ 1 ออกเปน็ 4 สว่ นและค่าในตำแหน่ง
ท่ี 3 มีค่าเท่ากบั 3/4 รปู ท่ี 5 เป็นการระบตุ ำแหนง่ ของจำนวน -1.875 = -1 - 7/8 นนั้ คอื แบ่งระยะระหว่าง -2
และ -1 ออกเป็น 8 ส่วนคา่ ในตำแหน่งที่ 7 ท่ีห่างจาก -1 จะมีค่าเท่ากับ -1.875 ดังท่ีแสดงไวใ้ นรปู ท่ี 5

รูปที่ 4 ตำแหนง่ จำนวนตรรกยะ 3/4 บนเส้นจำนวนจริง
ทมี่ า วรี ะ ยุคุณธร

รูปที่ 5 ตำแหนง่ -1 7/8 บนเส้นจำนวนจริง
ท่ีมา วีระ ยุคณุ ธร

สำหรับจำนวนอตรรกยะทีเ่ ป็นค่ากรณฑส์ ามารถแสดงโดยใชท้ ฤษฎีบทพิธากอรสั ดังรปู ที่ 6 ตัวอย่างเชน่
กรณฑ์ของ 2 สามารถระบุตำแหนง่ ไดจ้ ากการสร้างสามเหลย่ี มมุมฉากท่ีมีด้านประกอบมุมฉากยาวดา้ นละ 1
หนว่ ย จากนั้นสรา้ งสว่ นโค้งวงกลมที่มรี ัศมเี ท่ากบั ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากตัดกับเส้นจำนวนจริง ระยะจาก
ศูนย์ไปยังจดุ ตัดจะมีคา่ เท่ากับความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากคือกรณฑ์ของ 2

รูปท่ี 6 ตำแหน่ง กรณฑข์ อง 2 บนเสน้ จำนวนจรงิ
ท่ีมา วีระ ยคุ ณุ ธร

อยา่ งไรกต็ ามการวดั ระยะทางบนเส้นจำนวนจรงิ น้นั ระยะทางมีค่าเปน็ บวกเสมอ นั้นคือหากเราวัด
ระยะทางระหวา่ ง 3 และ 5 จะมคี ่าเท่ากับ ระยะทางระหว่าง 5 และ 3 แม้ว่าผลลบจะได้ -2 และ 2 ตามลำดบั
เราจึงนยิ ามขนาดระยะทางด้วยสัญลักษณ์คา่ สมั บรู ณ์ โดยนยิ ามวา่ คา่ สมั บูรณ์ของ a เขียนแทนดว้ ย |a| คือ
ระยะทางระหว่าง 0 และ a อาจเขยี นได้ว่า
|a| = |a – 0| = |0 – a| = |-a|

สอดคลอ้ งกบั ความเป็นจรงิ ทว่ี ่าระยะหา่ งระหวา่ ง a กบั 0 เทา่ กนั กบั ระยะห่างระหว่าง –a และ 0
พจิ ารณาขอ้ สงั เกตุเกีย่ วกับค่าสมั บูรณเ์ พ่ือนำไปสูน่ ยิ ามเขิงพชี คณติ

ขอั สงั เกตท่ี 1 ถา้ a เป็นจำนวนบวก (a > 0) จะไดว้ ่า |a| เปน็ คา่ บวก น้ันคอื |a|ร = a

ข้อสงั เกตท่ี 2 ถ้า a เป็นจำนวนลบ (a < 0) จะได้วา่ |a| ยงั คงเปน็ คา่ บวกที่ตรงข้ามกบั a ดังนั้น |a| = -a
จากข้อสังเกตทัง้ สองขอ้ เราสรุปเปน็ นิยามไดด้ ังน้ี

|a| = a ถ้า a > 0 และ |a| = -a ถา้ a < 0
หากใชน้ ิยามขา้ งต้นขยายนิยามเปน็ ระยะทางระหว่างจุด a และ b จะไดว้ า่

|a - b| = a – b ถา้ a - b > 0 และ |a – b| = - (a - b) ถ้า a - b < 0
เพ่ือความสะดวกในการประยกุ ต์ใชเ้ ราควรเรียบเรียงข้อสังเกตใหม่ดังน้ี

|a - b| = a – b ถ้า a > b และ | a – b | = b - a ถ้า b > a

นพิ จนเ์ ชงิ พชี คณติ

เราจะศกึ ษาพีชคณติ ที่ถูกสร้างข้นึ บนเซตจำนวนจรงิ ก่อนอ่นื เราตอ้ งทำความเข้าใจเกี่ยวกบั คำศัพท์ซึง่
เปน็ ข้อตกลงเพื่อให้ทุกคนทีศ่ ึกษาพชี คณิตเข้าใจตรงกัน เมื่อกลา่ วถึง นพิ จนเ์ ชิงพชี คณติ หมายถึง กลุ่มของตัว
แปรและค่าคงท่ีท่ดี ำเนนิ การด้วยการบวก ลบ การคูณ การหารดว้ ยตวั หารท่ไี ม่เปน็ ศูนย์ การยกกำลงั กรณฑ์
เปน็ ตน้ โดยท่ี คา่ คงที่ แทนปรมิ าณทแี่ ทนได้ดว้ ยจำนวนจริงเพยี งค่าเดยี ว และเรานยิ ามศัพท์คำว่า ตวั แปร แทน
จำนวนจรงิ ทีเ่ ป็นไปไดซ้ ง่ึ มีเพียงค่าเดียวหรือหลายค่าก็ได้ นิพจนท์ ีเ่ ขียนในรูปการบวกมากกว่า 1 พจน์โดยจำนวน
พจน์นั้นขนึ้ กับการบวก นิพจนท์ ี่อย่ใู นรปู การคูณของตวั แปรหรอื ค่าคงท่ีหรือนิพจน์ย่อยเราเรยี กส่วนประกอบ
ของนิพจนน์ ้ีวา่ ตัวประกอบ

ที่มา ดดั แปลงจาก https://pixabay.com, geralt

1.2.1 ตวั อยา่ งการวเิ คราะหน์ ยิ ามศัพท์
คา่ คงที่ หมายถึงปรมิ าณทแ่ี ทนด้วยจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวเช่น 2, -3, e, pi, 1.7 เปน็ ต้น
ตวั แปร หมายถึงปริมาณท่ีสามารถแทนไดด้ ว้ ยจำนวนจรงิ มากกวา่ หรอื เทา่ กับ 1 คา่ เชน่
กำหนดให้ x แทนจำนวนเต็มคู่ที่ซึ่งมากกวา่ 0 นัน้ คือ x = { 2, 4, 6, … }
กำหนดให้ y แทนจำนวนจริงท่มี ากวา่ -3 แต่ น้อยกวา่ 7 นั้นคอื -3 < y < 7
กำหนดให้ z เปน็ จำนวนท่บี วกกับ 3 แล้วเท่ากับ 7

จำนวนพจน์ นพิ จน์นนั้ เขยี นในรูปผลคณู ของคา่ คงทห่ี รือตวั แปรหรอื นิพจน์จะถูกนบั เพียงพจน์เดียวและเรียกตัว
คูณแต่ละตัววา่ ตวั ประกอบเช่น

นิพจน์ 2ab นับเป็น 1 พจน์มี 2 , a และ b เปน็ ตวั ประกอบ
นิพจน์ 2a(a+b) นบั เป็น 1 พจน์มี 2, a และ (a+b) เป็นตัวประกอบ
นิพจน์ (a+b)(a-b) นับเป็น 1 พจนม์ ี (a+b) และ (a-b) เปน็ ตัวประกอบ
นิพจน์ 2aa+b นบั เป็น 2 พจนค์ อื 2aa และ b
นพิ จน์ a2-b2 นับเป็น 2 พจนค์ ือ a2 และ b2
ดังนนั้ เมือ่ เราพจิ ารณาการคำนวณ
ตวั อยา่ งที่ 1 5 + 12/4 + 4/2x2 + 1x3
นับเป็น 4 พจน์ได้แก่ 5, 12/4 = 3, 4/2x2 = 4 และ 1x3 = 3 จะได้
5 + 12/4 + 4/2x2 + 1x3 = 5 + 3 + 4 + 3 = 15
ตวั อยา่ งท่ี 2 5 + 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2]
นบั เปน็ 2 พจนค์ ือ 5 และ 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2]
พิจารณานิพจน์ 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2] มี 2 ตัวประกอบคือ 2 และ 1 - 2(3 - 5) - 12/2
พจิ ารณานิพจน์ 1 - 2(3 - 5) - 12/2 นับเป็น 3 พจน์คือ 1, -2(3-5) และ -12/2
เมอ่ื คำนวณยอ้ นกลับจะได้

5 + 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2] = 5 + 2[1 - 2(-2) - 6] = 5 + 2[1 + 4 - 6] = 5 + 2[-1] 5 + (-2) = 3

1.2.2 ตวั ดำเนนิ การบวกและคณู ตวั ดำเนนิ การในระบบพีชคณิตนั้นเรากำหนดไวเ้ พยี งตัวดำเนินการบวกเพ่ือใช้
นับจำนวนพจน์ และตวั ดำเนินการคูณไวส้ ำหรบั ดูตัวประกอบ ซงึ่ การลบนน้ั ถกู นยิ ามเป็นการบวกดว้ ยจำนวนลบ
ในขณะเดยี วกบั การหารถูกนิยามเป็นการคณู ด้วยตวั ส่วนผกผนั เชน่ 2 – 5 = 2 + (-5) และ 2/5 = 2 x (1/5)
เป็นต้น

หลักการของการบวกในระบบพีชคณติ คอื พจนท์ ่สี ามารถนำมาบวกหรือลบกนั ได้พจน์นนั้ จะต้องเป็นพจน์
ทคี่ ลา้ ยกนั ซึ่งถูกนิยามศัพท์ไวว้ ่า เป็นพจน์ที่มชี ดุ ตัวแปรเหมือนกันตวั อย่างเช่น

2x + 3x นิพจนน์ ้ปี ระกอบดว้ ยพจน์ 2 พจน์ที่มีตวั แปร x เหมือนกนั ดงั น้ัน 2x และ 3x เปน็ พจน์ที่
คลา้ ยกันเขยี นเป็นรปู แบบอย่างง่ายไดด้ ังน้ี

2x + 3x = 5x

2x + 3y นพิ จนน์ ้ปี ระกอบด้วยพจน์ 2 พจนท์ ี่มตี ัวแปร x และ พจน์ทีม่ ตี วั แปร y ดงั นั้น 2x และ 3y ไม่
เปน็ พจน์ที่คลา้ ยกนั ไม่สามารถรวมพจน์ได้

x2 + 3y - 3x2 + 7y + 4 นพิ จนน์ ้ีประกอบดว้ ยพจน์ 5 พจนโ์ ดยทม่ี พี จน์ทค่ี ลา้ ยกัน 2 คู่คือ x2, -
3x2 และ 3y, 7y สามารถรวมพจน์ในรปู อยา่ งง่ายไดด้ ังนี้

x2 + 3y - 3x2 + 7y + 4 = -2x2 + 10y + 4

1.2.3 พหุนามตวั แปรเดยี ว

พหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รี n หมายถึงนิพจน์ท่ีเขยี นในรปู ของผลบวกของชดุ ตัวแปร {1, x, x2, x3, …, xn}
โดยท่ีมีค่าสมั ประสทิ ธ์ิ a0, a1, a2, …, an เปน็ ค่าคงทห่ี นา้ ตวั แปร โดยที่ an ไมเ่ ปน็ ศนู ย์

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

ตวั อยา่ ง

พหนุ ามดีกรี 1 := x – 5

แยกชดุ สมั ประสทิ ธ์ิ (1, -5) ออกจาก ชดุ ตวั แปร (x, 1)

พหุนามดีกรี 2 := y2 + 8y – 9

แยกชุดสัมประสทิ ธ์ิ (1, 8, – 9) ออกจากชดุ ตัวแปร (y2, y, 1)

พหุนามดีกรี 3 := a3 - 2a + 1

แยกชดุ (1, 0, -2, 1) ออกจากชุดตวั แปร (a3, a2, a, 1)

การบวกและลบพหนุ าม สมมตใิ ห้ p เปน็ พหนุ ามดกี รี m และ q เปน็ พหุนามดีกรี n แลว้

deg(p+q) น้อยกว่าหรือเท่ากับ max{ deg(p), deg(q) }

ตวั อยา่ งท่ี 3 เชน่ (4x2 + 2x + 3) + (5x3 - 7x + 8) จะเห็นวา่ ผลบวกมีดีกรไี มเ่ กิน 3 ชุดแยกสมั ประสิทธิอ์ อก
จากชดุ ตวั แปร (x3, x2, x, 1) จะได้

ดงั นน้ั (4x2 + 2x + 3) + (5x3 - 7x + 8) = 5x3 + 4x2 - 5x + 11

ตวั อยา่ งท่ี 4 (4x2 + 2x + 3) - (5x3 - 7x + 8)

ดังน้นั (4x2 + 2x + 3) - (5x3 - 7x + 8) = -5x3 + 4x2 + 9x – 5

การคณู พหนุ าม สมมติให้ p เป็นพหนุ ามดีกรี m และ q เป็นพหนุ ามดีกรี n แลว้

deg(pq) เท่ากบั deg(p) + deg(q)

ตวั อยา่ งที่ 5 (4x2 + 2x + 3)(5x3 - 7x + 8) จะเห็นว่าผลคูณมีดีกรี 2+3 = 5 ชดุ ตัวแปรของคำตอบคือ (x5, x4,
x3, x2, x, 1) จะได้

ดังนัน้ (4x2 + 2x + 3)(5x3 - 7x + 8) = 20x5+10x4 -13x3+18x2-5x+24

การแยกตวั ประกอบ

1.1 การแยกตวั ประกอบอยา่ งงา่ ย

ในการคำนวณทางพีชคณติ มีนิพจน์ผลบวกหรอื ผลตา่ งบางนิพจน์ที่สามารถเขียนให้อย่ใู นรปู ผลคูณทำให้
ไดน้ พิ จน์ทม่ี ีเพียงพจนเ์ ดยี วซ่งึ อยใู่ นรูปทงี่ ่ายกว่าย่งิ ไปกวา่ นั้นอาจจำนวนครั้งในการคำนวณลดนอ้ ยลงเช่น

ax + bx + cx = (a + b + c)x

จำนวนคร้ังในการคำนวณลดลง 5 – 3 = 2

a3 + 3a2 + 3a +1 = (a+1)3

จำนวนคร้ังในการคำนวณลดลง 8 – 3 = 5

ในบทเรียนนีน้ ำเสนอวิธีการแยกตัวประกอบสามวิธไี ด้แก่วธิ ีดึงตวั รว่ ม วธิ ีผลต่างกำลังสอง และ วิธีแยกตวั
ประกอบพหุนามกำลังสองท่ีมีสามพจน์

1.3.1 วธิ ดี งึ ตวั รว่ ม หลกั การคอื จะต้องหาตัวหารร่วมมากของพจน์ในนิพจนโ์ ดยพิจารณาจากค่าคงทแ่ี ละตัวแปร
แต่ละตวั แปร
ตวั อยา่ งท่ี 6 10x2y2 + 6xy2 - 8x2y3 นพิ จน์มจี ำนวน 3 พจน์ 10x2y2, 6xy2 และ -8x2y3
หา หรม.

แยกตัวประกอบไดด้ ังน้ี 10x2y2 + 6xy2 - 8x2y3 = 2xy2(5x + 3 - 4xy)
ตวั อยา่ งท่ี 7 2x(a + 2b) – (a + 2b)7y นิพจนม์ ีจำนวน 2 พจนค์ ือ 2x(a+2b), – (a+2b)7y

หรม. คอื
แยกตัวประกอบไดด้ งั นี้ (a + 2b) (2x – 7y)
1.3.2 แยกตวั ประกอบดว้ ยผลตา่ งกำลงั สอง หลักการนี้จะใชไ้ ดก้ ต็ ่อเม่ือในนิพจน์มี 2 พจน์ทอี่ ยู่ในรูปของผลต่าง
จากน้ันเขยี นแต่ละพจน์ใหอ้ ยู่ในรูปกำลงั สองเพ่ือใช้สูตร x2 - y2=(x - y)(x + y)
ตวั อยา่ งท่ี 8 25a2 – 16b2 นิพจน์มจี ำนวน 2 พจนค์ ือ 25a2 และ 16b2 เขยี นในรูปกำลังสองได้เปน็ (5a)2 และ
(4b)2 แยกตัวประกอบได้ดังน้ี
25a2 – 16b2 = (5a)2 - (4b)2 = (5a - 4b)(5a + 4b)
ตวั อยา่ งที่ 9 81a4 – 1 นิพจน์มีจำนวน 2 พจนค์ ือ 81a4 และ 1 เขียนในรูปกำลงั สองได้เป็น (9a2)2 และ
(1)2 แยกตวั ประกอบได้ดังน้ี
81a4 – 1 = (9a2)2 - (1)2 = (9a2 - 1)( 9a2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1) ( 9a2 + 1)
1.3.3 ตวั ประกอบพหนุ ามกำลงั สองตวั แปรเดยี ว ในบทเรยี นน้ีจะใหว้ ธิ ีการคาดการณ์ตวั เลขซึ่งจะใช้กบั นิพจน์
บางรปู แบบเท่านัน้ ก่อนอืน่ เราพิจารณา พหนุ ามกำลงั สองตวั แปรเดยี วในรปู ท่วั ไปน้ันคือ ax2 + bx + c โดยท่ี a
ไม่เปน็ ศนู ย์ พจิ ารณา
ax2 + bx + c = ax2 + (p+q)x +c
= g1x(ax/g1 + p/g1) + g2(qx/g2 +c/g2)

โดยท่ี g1 = หรม.(a,p) และ g2 = หรม.(q,c)
ถ้ากำหนดให้ a/g1=q/g2 และ p/g1=c/g2 จะไดว้ ่า pq = ac ทำใหเ้ ราสามารถดึงตัวรว่ มได้ ดงั น้นั
ax2 + bx + c = (g1x + g2)(ax/g1 + p/g1)

สรุปไดเ้ ปน็ ทฤษฎดี ังนี้
ถ้า pq = ac และ p+q = -b แล้ว ax2 + bx + c = (g1x + g2)(ax/g1 + p/g1)
เมอ่ื g1 = หรม.(a,p) และ g2 = หรม.(q,c)

ตวั อยา่ งการประยกุ ตใ์ ช้
ตวั อยา่ งที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 3x2 + 10x – 25
จากทฤษฎีจะได้ pq = -75 และ p+q = -10 จะได้วา่ p = -15 และ q = 5

3x2 + 10x – 25 = 3x2 - 15x + 5x – 25
= 3x(x - 5) + 5(x - 5)
= (3x + 5)(x - 5)

ตวั อยา่ งที่ 11 จงแยกตวั ประกอบ 9x2 - 43x – 10
จากทฤษฎจี ะได้ pq = -90 และ p+q = 43 จะได้ว่า p = 45 และ q = -2

9x2 - 43x – 10 = 9x2 + 45x -2x – 10
= 9x(x + 5) -2(x + 5)
= (9x - 2)(x + 5)

สมการเชงิ เส้นและอสมการเชงิ เส้น

ข้อความทแ่ี สดงความสมั พันธก์ ารเปรียบเทียบเชิงปริมาณในคณติ ศาสตร์ไดแ้ กก่ ารเทา่ กัน ( = ) และ
การไมเ่ ท่ากนั (≠) ในกรณที ่ไี ม่เท่ากันนนั้ เรายังสามารถเปรียบเทียบไดว้ ่าปรมิ าณแรกน้ันมากกว่า ( > ) หรอื น้อย
กวา่ (<) ปริมาณทสี่ อง เม่ือพิจารณานเิ สธกล่าวถงึ ปริมาณทไี่ ม่มากกว่าจะหมายถึงปรมิ าณทีม่ ีค่านอ้ ยกวา่ หรือ
ปรมิ าณท่ีมคี า่ เท่ากัน เรยี กวา่ นอ้ ยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ในทำนองเดยี วกันปริมาณท่ไี ม่น้อยแทนได้ด้วยมากว่า
หรอื เท่ากับ (≥) ในกรณที ขี่ ้อความของเรามตี ัวแปรไมท่ ราบคา่ หนึ่งตัวแปรแสดงการเทา่ กันเม่อื เขียนเปน็ ประโยค
สญั ลกั ษณเ์ ราจะเรียกประโยคสญั ลักษณช์ นิดนีว้ า่ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว แตห่ ากเปน็ การแสดงการไม่เท่ากนั
ไม่วา่ จะเป็น ไมเ่ ท่ากับ มากกวา่ น้อยกว่า มากกว่าหรือเท่ากับ นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากับ เราจะเรยี กวา่ อสมการเชงิ
เส้นตวั แปรเดยี ว

1.4.1 หลกั การแกส้ มการและอสมการ

สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียวคอื สมการท่ีอยู่ในรปู ax + b = 0 โดยท่ี a และ b เป็นคา่ คงท่ี เรียก x วา่ ตัว
แปร หากเราเขยี นสมการให้อยู่ในรูปข้างต้น เราจะสรปุ ไดว้ ่า x = -b/a เปน็ คำตอบของสมการเน่ืองจากเม่อื นำ –
b/a ไปแทนค่าในสมการแลว้ ทำให้สมการเป็นจริง

หลักการแก้สมการตั้งอยูบ่ นรากฐานความจรงิ ทว่ี า่ หากเรามตี าช่ังแขวนที่เดมิ มวี ตั ถสุ องขา้ งทห่ี นักเท่ากัน
อยู่ เมอ่ื เราเพิ่มวตั ถชุ ้ินทสี่ ามท่มี ปี รมิ าณเทา่ กันลงไปท้งั สองข้าง ตาชงั่ จะยังคงสมดุลเหมือนเดิม ถา้ เราสมมติให้
วัตถสุ องชน้ิ แรกคอื a และ b ให้ c เป็นวตั ถุช้นิ ที่สามแลว้ จะไดว้ ่า

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

ในทำนองเดยี วกันหากเราเอาปรมิ าณช้นิ ทีห่ นึ่งออก c หน่วย และเอาปริมาณชิน้ ที่สองออก c หน่วยเชน่ กัน
แน่นอนว่าตาช่งั ของเราจะยงั คงสมดุลนั้นคือ

ถา้ a = b แล้ว a - c = b - c

พิจารณาการดำเนินการต่อมา เนอ่ื งจาก a และ b มขี นาดเท่ากนั ถ้าเรานำ a เพ่ิมทางซา้ ย และ b เพิ่มทางขวา
จำนวน k คร้งั ตาช่งั ของเราจะยังคงสมดลุ

ถ้า a = b แล้ว ka = kb

ยงั รวมไปถึงการพจิ ารณาในเชิงสัดส่วนหรอื การหารโดยที่ตัวหารตอ้ งไมเ่ ปน็ ศนู ยน์ ั้นคอื

ถ้า a = b แลว้ a/k = b/k

สำหรับอสมการ อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียวอาจอยู่ในรปู ax + b ≠ 0 น้ันคือ ax + b < 0 หรือ ax + b > 0
รวมถงึ ax + b ≤ 0 และ ax + b ≥ 0 สำหรบั การบวกหรอื ลบท้ังสองข้างของอสมการด้วยจำนวนทเี่ ทา่ กันจะ
เป็นแบบเดียวกนั กบั สมการนั้นคอื เม่ือเพ่ิมเขา้ หรือ นำออกเท่ากับท้ังสองข้างตาชัง่ จะยังคงอยู่ในสภาพเดิม

ถ้า a < b แลว้ a + c < b + c

ถ้า a < b แล้ว a - c < b - c
แต่สำหรบั การคูณ และการหารเราจำเปน็ ต้องแยกเป็นสองกรณีคือ กรณีที่ตวั คูณเป็นจำนวนบวก และกรณีทต่ี วั
คณู เป็นจำนวนลบ ซึง่ กรณที ่ีตัวคณู เปน็ จำนวนบวก ตัว 2 > 3 เมอ่ื คูณด้วย 5 ทง้ั สองขา้ งจะได้ 10 > 15 แต่หาก
เปน็ การคูณดว้ ยจำนวนลบจะได้ -10 < -15 พบวา่ เคร่ืองหมายอสมการจะกลบั ข้าง

ถา้ a < b และ k<0 แล้ว ka < kb
ถา้ a < b และ k>0 แล้ว ka > kb
1.4.2 วธิ แี กส้ มการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
วิธีการแกส้ มการนน้ั ให้หลักการบวก (ลบ) หรือ คณู (หาร) เข้าไปท้ังสองข้างของสมการ
สมการทอี่ ยใู่ นรปู ax + b = 0
ขน้ั ตอนท่ี 1 กำจัดพจน์ทไ่ี ม่มีตวั แปรคือ b โดยการบวกด้วยจำนวนตรงกันขา้ มคอื –b
ax + b + (-b) = 0 + (-b)
ax = -b
ข้ันตอนที่ 2 กำจดั สมั ประสิทธ์ิทค่ี ณู อยู่กับตัวแปรคือ a โดยการคูณดว้ ยตวั ผกผันของ a คอื 1/a
(1/a)ax = (1/a)(-b)
x = -b/a
จะเห็นวา่ สมการ ax + b = 0 จะมี x = -b/a เปน็ คำตอบ
ตวั อยา่ งท่ี 12 4x + 6 = 0 จะได้ x = -6/4 = -3/2
ตวั อยา่ งที่ 13 4x – 6 = 0 จะได้ x = -(-6)/4 = 6/4 = 3/2
ตวั อยา่ งที่ 14 -4x + 6 = 0 จะได้ x = -6/(-4) = 6/4 = 3/2
ตวั อยา่ งท่ี 15 -4x – 6 = 0 จะได้ x = -(-6)/(-4) = -6/4 = -3/2

สมการทอี่ ยใู่ นรปู ax + b = c
ข้นั ตอนที่ 1 กำจดั พจนท์ ไ่ี มม่ ีตวั แปรคอื b โดยการบวกด้วยจำนวนตรงกันข้ามคือ –b
ax + b + (-b) = c + (-b)

ax = c - b
ข้นั ตอนท่ี 2 กำจัดสมั ประสิทธท์ิ ่ีคูณอยู่กับตวั แปรคือ a โดยการคณู ด้วยตวั ผกผันของ a คือ 1/a
(1/a)ax = (1/a)(c - b)

x = (c - b)/a
จะเหน็ ว่าสมการ ax + b = c จะมี x = (c - b)/a เปน็ คำตอบ
ตวั อยา่ งท่ี 16 4x + 6 = 10 จะได้ x = (10 - 6)/4 = 4/4 = 1
ตวั อยา่ งที่ 17 4x – 6 = 10 จะได้ x = (10 + 6)/4 = 16/4 = 4
ตวั อยา่ งที่ 18 -4x + 6 = 10 จะได้ x = (10 - 6)/(-4) = 4/(-4) = -1
ตวั อยา่ งท่ี 19 -4x – 6 = 10 จะได้ x = (10 + 6)/(-4) = 16/(-4) = -4
สมการทอ่ี ยใู่ นรปู ax + b = cx
ขน้ั ตอนท่ี 1 กำจดั พจนท์ ่ีมีตวั แปร x ใหเ้ หลอื เพยี งพจนเ์ ดียวโดยการบวกด้วย –cx ท้ังสองขา้ ง
ax + b + (-cx) = cx + (-cx)

(a - c)x + b = 0
ขนั้ ตอนที่ 2 เรารู้วา่ ax + b = 0 จะมคี ำตอบในรปู x = -b/a ดงั นัน้ (a - c)x + b = 0 จะมคี ำตอบในรูป

x = -b/(a – c)
จะเหน็ ว่าสมการ ax + b = cx จะมี x = -b/(a - c) เปน็ คำตอบ
ตวั อยา่ งที่ 20 4x + 6 = 10x จะได้ x = -6/(4 - 10) = (-6)/(-6) = 1
ตวั อยา่ งท่ี 21 4x - 6 = 10x จะได้ x = 6/(4 - 10) = 6/(-6) = -1
ตวั อยา่ งท่ี 22 -4x + 6 = 10x จะได้ x = -6/(-4 - 10) = 6/14 = 3/7

ตวั อยา่ งท่ี 23 -4x - 6 = 10x จะได้ x = 6/(-4 - 10) = 6/(-14) = - 3/7
สมการทอ่ี ยใู่ นรปู ax + b = cx + d
ขน้ั ตอนท่ี 1 กำจัดพจน์ที่มตี วั แปร x ให้เหลือเพยี งพจนเ์ ดยี วโดยการบวกด้วย –cx ทัง้ สองขา้ ง พร้อมกำจดั
สัมประสิทธิ์ b ด้วยการบวกด้วย –b ทั้งสองข้างจะได้
(-cx) + ax + b + (-b) = (-cx) + cx + d + (-b)

(a - c)x = d - b
ขน้ั ตอนท่ี 2 กำจัดสัมประสิทธิท์ ี่คูณอยู่กับตัวแปรโดยการคูณดว้ ยตวั ผกผันของ (a – c) คือ 1/(a – c)
(1/(a - c)) (a - c)x = (1/(a-c)) (c - b)

x = (c - b)/(a - c)
จะเหน็ วา่ สมการ ax + b = cx + d จะมี x = (d-b)/(a-c) เป็นคำตอบ
ตวั อยา่ งที่ 24 4x + 6 = 10x + 12 จะได้ x = (12 – 6)/(4 - 10) = (6)/(-6) = -1
ตวั อยา่ งที่ 25 4x - 6 = -10x + 12 จะได้ x = (12 + 6)/(4 + 10) = 18/14 = 9/7
ตวั อยา่ งที่ 26 4x - 6 = 10x - 12 จะได้ x = (-12 + 6)/(-4 + 10) = (-6)/(-6) = -1
ตวั อยา่ งที่ 27 -4x - 6 = -10x + 12 จะได้ x = (12+6)/(-4 + 10) = 18/(-14) = - 9/7

สมการกำลงั สองและอสมการกำลงั สอง

1.4.3 วธิ แี กอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
ในทำนองเดียวกนั สำหรับอสมการ
อสมการทอี่ ยใู่ นรปู ax + b < 0
กรณีที่ a > 0 จะได้ x < -b/a เช่น 2x – 6 < 0 จะได้ x < 6/2 = 3
กรณที ี่ a < 0 จะได้ x > -b/a เชน่ -2x - 6 < 0 จะได้ x > 6/2 = 3
อสมการทอี่ ยใู่ นรปู ax + b < c

กรณที ่ี a > 0 จะได้ x < (c - b)/a เชน่ 2x + 6 < 8 จะได้ x < (8 – 6)/2 = 1
กรณที ี่ a < 0 จะได้ x > (c – b)/a เชน่ -2x + 6 < 8 จะได้ x > (8 – 6)/2 = 1
อสมการทอ่ี ยใู่ นรปู ax + b < cx + d
กรณที ่ี a - c > 0 (a > c) จะได้ x < (d - b)/(a – c) เชน่ 3x + 6 < 2x - 4 จะได้ x < (-4 – 6)/(3-2) = -10
กรณีท่ี a - c < 0 (a < c) จะได้ x > (d – b)/(a – c) เช่น -3x + 6 < 2x - 4 จะได้ x > (-4 – 6)/(-3 – 2) = 2

• สมการและอสมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว
สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี วคอื สมการท่ีอย่ใู นรูป ax2 + bx + c = 0 เม่อื a, b และ c เป็นคา่ คงท่ี สำหรบั
อสมการสมกำลงั สองตวั แปรเดยี วจะอยู่ในรปู ax2 + bx + c 0 รวมถงึ < , > , , อย่างไรก็ตามโดยหลักการพหุ
นามกำลงั สองจะมคี ่ารากสองรากเสมอน้นั คอื
P(x) = ax2 + bx + c = (px + q)(rx + s)
1.5.1 หลกั การแกส้ มการและอสมการ

หลักการแก้สมการและอสมการกำลงั สองนั้นมหี ลักการพื้นฐานจากทฤษฎีบทต่อไปน้ี
ทฤษฎีบท ถ้า ab = 0 แลว้ a = 0 และ b = 0
ทฤษฎบี ท ถ้า ab < 0 แลว้ โดยไมเ่ สยี นยั ยะทว่ั ไป a > 0 และ b < 0
ทฤษฎบี ท ถ้า ab > 0 แลว้ (a < 0 และ b < 0) หรือ (a > 0 และ b > 0)
1.5.2 วธิ แี กส้ มการกำลังสองตวั แปรเดยี ว
พิจารณาคำตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 สมการดังกล่าวอาจมคี ำตอบเปน็ จำนวนจรงิ สองคำตอบ มีเพยี ง
คำตอบเดียว หรือ ไม่มีคำตอบทีเ่ ปน็ จำนวนจรงิ กไ็ ด้ เราสามารถพจิ ารณาไดค้ า่ discriminant
จาก ax2 + bx + c = 0 นำ a หารตลอดสมการและเขยี นนิพจนท์ างซ้ายมือในรปู กำลังสองสมบรู ณ์
x2 + (b/a)x + c/a = 0
(x + b/2a)2 = b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)
สงั เกตว่านพิ จน์ทางซ้ายมือถูกยกกำลงั สองมคี ่ามากกว่า หรือ เท่ากับศูนย์
กรณที ี่ b2 – 4ac < 0 สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจรงิ

กรณีที่ b2 – 4ac = 0 สมการมีคำตอบเป็นจำนวนจรงิ เพียงคำตอบเดียวคอื -b/2a

กรณที ี่ b2 – 4ac > 0 สมการมคี ำตอบเปน็ จำนวนจรงิ สองคำตอบคือ

(–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a)

ตวั อยา่ งท่ี 28 จงหาคำตอบทเ่ี ปน็ จำนวนจรงิ สำหรับสมการ 2x2 – 3x + 5 = 0

พจิ ารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = -36 < 0 ดงั นน้ั สมการน้ีไม่มคี ำตอบทเ่ี ปน็ จำนวนจรงิ

ตวั อยา่ งที่ 29 จงหาคำตอบทีเ่ ปน็ จำนวนจรงิ สำหรับสมการ 2x2 – 4x + 2= 0

พจิ ารณา discriminant = (-4)2 – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0 < 0 ดังนัน้ สมการคำตอบเป็นจำนวนจริงเพียง
คำตอบเดียวซึ่ง x = -(-4)/(2x2) = 1 เปน็ คำตอบของสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 30 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจรงิ สำหรบั สมการ 2x2 – 3x – 5 = 0

พิจารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 ดงั นั้นสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงสอง
คำตอบคือ (3+7)/(2x2) และ (3-7)/(2x2) ดังนน้ั {5/2, -1} เป็นคำตอบท่เี ป็นจำนวนจริงของสมการ

1.5.3 วธิ แี กอ้ สมการกำลงั สองตวั แปรเดยี ว

ในการพจิ ารณาคำตอบของอสมการในท่ีนผ้ี เู้ ขียนจะศึกษาเพียงสองกรณีเป็นตวั อย่างได้แก่ ax2 + bx + c < 0
และ ax2 + bx + c > 0 สำหรับกรณีอื่นน้ันสามารถพจิ ารณาไดใ้ นทำนองเดียวกัน นอกจากน้ีการจัดรปู อสมการ
จะกลา่ วถึงกรณที ี่ a > 0 เทา่ นน้ั เราสามารถจดั รูปตามเงือ่ นไขได้ก่อนแก้สมการเสมอ

จาก ax2 + bx + c < 0 นำ a > 0 หารตลอดอสมการและเขียนนพิ จนท์ างซา้ ยมือในรปู กำลังสองสมบูรณ์

x2 + (b/a)x + c/a < 0

(x + b/2a)2 < b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)

ถา้ discriminant < 0 แลว้ (x + b/2a)2 - (b2 – 4ac)/(4a2) < 0 ไม่มคี ่า x ที่เป็นจำนวนจริงสอดคลอ้ งกบั
อสมการดังน้ันอสมการน้ีไม่มีคำตอบ ( จำนวนบวก + จำนวนบวก ผลลัพธ์เปน็ จำนวนบวก )

ถ้า discriminant = 0 จะได้ (x + b/2a)2 < 0 จะเห็นไดว้ า่ ไมม่ ีคำตอบที่เปน็ จำนวนจริงเช่นเดยี วกนั กบั กรณี
ข้างต้น

ถา้ discriminant > 0 สมมติให้ r = (–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ s = (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a) จะได้วา่ (x
- r)(x - s) < 0 แต่ r < s น้ันคอื x – r > 0 แต่ x – s < 0 สรปุ ได้วา่ r < x < s เปน็ คำตอบของ
อสมการ หมายเหตุ กรณี x – r < 0 และ x – s > 0 เปน็ ไปไม่ได้เพราะ s < x < r เกิดขอ้ ขดั แยง้ กับ r < s

ตวั อยา่ งท่ี 31 จงหาคำตอบท่ีเป็นจำนวนจรงิ สำหรับสมการ 2x2 – 3x – 5 < 0

พจิ ารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 จะไดค้ า่ r = (3-7)/(2x2) = -1 และ s =
(3+7)/(2x2) = 5/2 และ ดงั นนั้ คำตอบของอสมการคือ { จำนวนจรงิ x, -1 < x < 5/2 }

จาก ax2 + bx + c > 0 นำ a > 0 หารตลอดอสมการและเขียนนิพจนท์ างซา้ ยมือในรปู กำลงั สองสมบูรณ์

x2 + (b/a)x + c/a > 0

(x + b/2a)2 > b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)

ถ้า discriminant < 0 แลว้ (x + b/2a)2 - (b2 – 4ac)/(4a2) > 0 ไม่ว่า x เป็นจำนวนจริงใด ๆยอ่ มสอดคล้อง
กับอสมการเสมอดังน้นั อสมการน้ีมคี ำตอบเปน็ เซตของจำนวนจรงิ ( จำนวนบวก + จำนวนบวก ผลลัพธ์เปน็
จำนวนบวก )

ถา้ discriminant = 0 จะได้ (x + b/2a)2 > 0 จะเห็นได้วา่ เซตจำนวนจรงิ ใดที่ไม่ใช่ –b/2a อาจกล่าวไดว้ า่ x ≠
-b/2a เป็นคำตอบของอสมการ

ถ้า discriminant > 0 สมมติให้ r = (–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ s = (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a) จะไดว้ า่ (x
- r)(x - s) > 0 และ r < s น้นั คือ

(x – r < 0 และ x – s < 0) หรือ (x – r > 0 และ x – s > 0)

( x < r และ x < s) หรอื ( x > s และ x > r )

(x < r) หรอื (x > s)

สรปุ ไดว้ า่ x < r หรือ x > s เปน็ คำตอบของอสมการ

ตวั อยา่ งที่ 32 จงหาคำตอบท่ีเปน็ จำนวนจรงิ สำหรับสมการ 2x2 – 3x – 5 > 0

พจิ ารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 จะไดค้ ่า r = (3-7)/(2x2) = -1 และ s =
(3+7)/(2x2) = 5/2 และ ดังน้นั คำตอบของอสมการคือ { จำนวนจริง x, x < -1 หรือ x > 5/2 }

นพิ จนเ์ ชงิ สดั สว่ น

1.6.2 คณุ สมบตั ินพิ จน์เชงิ สดั สว่ น
สมมติให้ A, B, C, D และ E เป็นพหุนามใด ๆทีเ่ มื่อถูกเขียนเป็นตวั สว่ นแล้วมีค่าไมเ่ ท่ากับศูนย์แลว้
สมบตั ขิ อ้ ท่ี 1 สมบัตกิ ารเทา่ กัน
A/B = C/D ก็ต่อเม่ือ AD = BC
ตวั อยา่ งที่ 35
(x + y)/(x – y) = 2/3 โดยที่ x ไมเ่ ท่ากบั y
จากสมบัติการเทา่ กันจะได้
3(x + y) = 2(x – y)
สรุปได้ว่า x = -5y
สมบตั ขิ อ้ ที่ 2 สมบัติการลดรูปอยา่ งงา่ ย
PK/QK = P/Q
สอดคลอ้ งกบั ตัวอยา่ งท่ี 34
สมบตั ขิ อ้ ที่ 3 สมบตั ิการบวกและการลบ
P/Q + R/S = (PS + QR)/(QS)
P/Q – R/S = (PS – QR)/(QS)
ตวั อยา่ งท่ี 36

5/(x + y) + (x + 2)/(x – y) = [5(x – y) + (x + y)(x + 2)]/[(x – y)(x + y)]
= [5x – 5y + x2 + 2x +xy + 2y]/[x2 – y2]
= [x2 + xy + 7x – 3y]/[x2 – y2]

ตวั อยา่ งที่ 37
5/(x + y) – (x + 2)/(x – y) = [5(x – y) + (x + y)(x – 2)]/[(x – y)(x + y)]
= [5x – 5y + x2 – 2x +xy – 2y]/[x2 – y2]
= [x2 + xy + 3x – 7y]/[x2 – y2]

สมบตั ขิ อ้ ท่ี 4 สมบตั ิการคูณและการหาร
(P/Q)(R/S) = (PR)/(QS)
(P/Q)/(R/S) = (PS)/(QR)
ตวั อยา่ งท่ี 38

[(x – y)/(x + y)][(x – 1)/(x + 1)] = [(x – y)(x – 1)]/[(x + y)(x + 1)]
= [x2 – xy – x + y]/[x2 + xy + x + y]

ตวั อยา่ งที่ 39
[(x – y)/(x + y)]/[(x – 1)/(x + 1)] = [(x – y)(x + 1)]/[(x + y)(x – 1)]
= [x2 – xy + x – y]/[x2 + xy – x – y]