Barisan & Deret Geometri Matematika Wajib Semester 4, T.P. 2021/2022 SMAN 1 Tempel Brigita Wahyu M.,S.Pd.
Kompetensi Dasar 3.3 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri. 4.4 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas).
Melalui pembelajaran dengan pendekatan saintifik dan model pembelajaran discovery learning, peserta didik mampu menggeneralisasi pola barisan geometri dan menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan barisan dan deret geometri dengan tepat. Tujuan Pembelajaran
04 01 03 02 Barisan Geometri Deret Geometri Rumus suku ke-n barisan geometri Uraian Materi Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
Barisan Geometri
Cermati pola perkembangbiakan bakteri berikut! Setelah 1 menit Setelah 2 menit Setelah 3 menit Susunan barisan bilangannya : 1, 2, 4, 8, . . . Pola barisan bilangan seperti itu disebut barisan geometri. 2 2 2
Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang hasil bagi dua suku yang berurutan selalu tetap (sama). Hasil bagi dua suku yang berurutan disebut rasio (r) Contoh:
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Keterangan: r = rasio U1 U2 U3 U4 U5 . . . Un a ar a.r2 ar3 ar4 . . . 2 3 1 2 U U r U U = = ( 1) n U ar n − = Jika suku pertama dari barisan geometri U1 = a dan rasio = r, maka barisan geometri tersebut adalah Keterangan: Un = Suku ke-n a = suku pertama r = rasio ar(n-1)
1 Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, …. Tentukan suku ke-10 ! Contoh soal dan pembahasan:
Suatu barisan geometri diketahui U3= 144 dan U7= 9. Tentukan U6 ! 2 U6 =18 U6 =18
Deret Geometri
Deret Geometri Deret geometri adalah jumlah dari semua suku-suku pada barisan geometri. Jika barisan geometrinya U1 , U2 , U3 , …., Un maka deret geometrinya U1+ U2+ U3+ ….+ Un dan dilambangkan dengan Sn. Contoh: 1. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …. 2. 1000 + 500 + 250 + 125 + …
Rumus jumlah n suku pertama deret Geometri
Sn = U1 + U2 + U3 + ………………………………+ Un Apabila r < 1 Sn = a + ar + ar2 + ar3+………………… + ar(n – 2) + ar(n – 1) r.Sn = ar + ar2 + ar3+ … + ar(n – 2) + ar(n – 1) + arn Sn – r.Sn = a - arn Sn(1 – r ) = a (1 – r n ) (1 ) (1 ) n a r Sn r − = − ( 1) ( 1) n a r Sn r − = − Apabila r > 1 Keterangan: Sn = Jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio
Tentukan jumlah 10 suku pertama deret 3 + 6 + 12 + …. 3 Contoh soal dan pembahasan: n=10 =3.069
Suatu deret geometri 1 + 3 + 9 + 27 + … tentukan : a) r dan U8 b) Jumlah 8 suku yang pertama (S8 ) 4 =2.187
Suku pertama suatu deret geometri adalah 160 dan rasionya , tentukan n jika S 5 n = 2110! 3 2 3 211 32 2 32 32 n = +
Produksi sebuah pabrik roti pada bulan pertama adalah 500 buah, jika produksi pada bulan bulan berikutnya menurun dari produksi bulan sebelumnya, tentukan : a) Jumlah produksi pada bulan ke-5 b) Jumlah produksi selama 5 bulan pertama 6 1 5
Diketahui:
Rumus lain Barisan & Deret Geometri Keterangan : Uk = suku tengah U2k-1 = suku terakhir 1 2 1 . U U U k k = − 1 ' k r r + = Rumus suku tengah Barisan Geometri Rumus Sisipan pada Barisan Geometri Keterangan : r = rasio sebelum disisipi r’ = rasio yang baru setelah disisipi k = banyak bilangan yang disisipkan
Diketahui barisan geometri , , 1, ... , 256. Banyak suku pada barisan tersebut adalah ganjil. Tentukan : a. Suku tengahnya b. Suku ke berapakah suku tengah tersebut? 7 Contoh soal dan pembahasan: 1 4 1 2 Pembahasan: 1 2 1 . U U U k k = − Diketahui: U1 = , r = , U2k-1 = 256 1 4 1 2 1 = 2 1 .256 4 Uk == 64 =8 ( 1) n U ar n − = 1 ( 1) 8 .2 4 n− = ( 1) 8.4 2 = n− ( 1) 32 2 = n− 5 ( 1) 2 2 = n− 5 1 = −n = n 6 Suku tengahnya adalah 8 dan suku tengah tersebut merupakan suku ke-6.
Di antara bilangan 2 dan 486 disisipi 4 bilangan hingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio barisan geometri yang baru! 8 Pembahasan: Diketahui: r = , k = 4 486 243 2 = 4 1 r' 143 + = 5 = 27 9 5 3 2 = 3 3 Rasionya barisan geometri yang baru adalah 3. 1 ' k r r + = 5 5 = 3 = 3
Deret Geometri Tak Hingga • Deret Geometri Konvergen • Deret Geometri Divergen
Deret geometri takhingga adalah deret geometri dengan banyak suku takberhingga. Deret Konvergen Deret Divergen 0 < r < 1 | r | > 1 Contoh: 1 1 1 1 ... 2 4 8 + + + + Contoh: 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32, . . . Rumus Keterangan : S∞ = Deret geometri tak hingga a = Suku pertama r = rasio 1 2 1 1 2 r = = Rumus S = 2 2 1 r = =
Tentukan deret geometri tak hingga berikut ini! a . b. 9 Pembahasan: a. Diketahui: r = (konvergen) a = 1 1 2 1 1 = − 1 1 1 1 ... 2 4 8 + + + + 1+2+ 4+ 8+ 16+ 32+ . . . 1 2 1 1 2 = 1 2 1 = 2 1 1 = = 2 Pembahasan: b. Diketahui: r = (divergen) a = 1 2 2 1 = S =
Sebuah bola bekel dijatuhkan dari ketinggian 5m, dan memantul Kembali dengan ketinggian dari tinggi sebelumnya, berapakah Panjang lintasan bola sampai berhenti? 10 Pembahasan: Diketahui: r = (konvergen) a = 5 ilustrasi: 2 1 a a r = − − 3 5 3 5 a = 5 2S a Panjang lintasan : − 2S a − 3 5 5 2 5 1 = − − 5 3 5 5 5 2 5 = − − 2 5 5 2 5 = − 5 2 5 5 2 = − = − 25 5 = 20 Panjang lintasan sampai bola berhenti adalah 20 m.
Sebuah bola basket dilemparkan ke atas mencapai ketinggian 6m, bola tersebut jatuh dan memantul k embali dengan ketinggian dari tinggi sebelumnya, berapakah Panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti? 11 Pembahasan: Diketahui: r = (konvergen) a = 6 ilustrasi: 2 1 a r = − 1 2 1 2 a = 6 2S Panjang lintasan : 2S 1 2 6 2 1 = − 1 2 6 2 = = 2.12 = 24 Panjang lintasan sampai bola basket berhenti adalah 24 m.
KUIS Kerjakan kuis berikut ini secara berkelompok: https://quizizz.com/join?gc=249371
Rangkuman Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang hasil bagi dua suku yang berurutan selalu tetap (sama). Hasil bagi dua suku yang berurutan disebut rasio (r) 2 3 1 2 U U r U U = = ( 1) n U ar n − Rumus = suku ke-n barisan geometri adalah Deret geometri adalah jumlah dari semua suku-suku pada barisan geometri dan dilambangkan dengan Sn. (1 ) (1 ) n a r Sn r − = − ( 1) ( 1) n a r Sn r − = − Apabila r < 1 Apabila r > 1 Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan banyak suku takberhingga. Deret konvergen (0 < r <1): Deret divergen ( |r | > 1) S =