INVESTIGACIÓN OPERACIONES I

Programación lineal

La programación lineal se aplica a modelos
de optimización en los que las funciones
objetivo y
restricciones son estrictamente lineales.

Programación lineal

El modelo de programación lineal, tiene tres
componentes básicos:
1) Las variables de decisión que se trata de

determinar.
2) El objetivo (la meta) que se trata de

optimizar.
3) Las restricciones que se deben satisfacer.

Max o Min Función objetivo
Sujeto a: Restricciones

Programación lineal

Definición:
Dado un conjunto de m inecuaciones lineales ó
ecuaciones lineales, con n variables, se requiere
hallar valores no negativos de éstas variables que
satisfagan las restricciones y maximicen o
minimicen alguna función lineal de las variables
llamada Función Objetivo.

Programación lineal

Características de la Programación Lineal:
1) Linealidad asume que no pueden haber

términos así:

Programación lineal

Características de la Programación Lineal:
2) Asume las propiedades aditivas y

multiplicativas.

• Si una unidad tipo A necesita 3 horas en la máquina
y una unidad tipo B necesita 2½ horas, entonces
ambas necesitan 5½ horas.
• Si una unidad tipo A necesita 2 hora en la máquina,

entonces 10 unidades tipo A necesitan 20 horas.

Programación lineal

Características de la Programación Lineal:
3) La función que se va a optimizar (maximizar o

minimizar) se llama Función Objetivo; fíjese que
no aparece ningún término independiente o
constante. Los valores de las son
independientes de cualquier constante. Si la
función objetivo tiene una constante como por
ejemplo: = 10 + 3 1 + 2 2 (aquí la constante
es 10), ella se ignora y se procede a optimizar:
= 3 1 + 2 2, una vez conocido el valor de ,
entonces = 10 +

Programación lineal

Características de la Programación Lineal:
4) Cuando se dice que el problema tiene m

restricciones, el valor de m no incluye las
restricciones de no negatividad.

5) Cualquier conjunto de que satisface las m
restricciones y la condición de no negatividad Xj ≥ 0;
∀j se llama una solución factible al problema, de lo
contrario es una solución no factible.

Programación lineal

Características de la Programación Lineal:
6) Una solución factible que optimiza la función

objetivo se llama una solución factible óptima.

7) Usualmente hay un número infinito de
soluciones factibles al problema, de todas
estas, tiene que hallarse una óptima.

Max o Min Función objetivo a) Definición de las variables.
Sujeto a: Restricciones

b) Definición de la Función objetivo.

c) Definición de las restricciones.

d) Condición de no negatividad

e) Solución.

f) Interpretación de la solución.

Etapas de solución para
la Programación lineal

¿Qué se nos está a) Definición de las variables.
pidiendo? ¿cuál es b) Definición de la Función objetivo.

la variable de
decisión?

Considerar que las Considerar que las c) Definición de las restricciones. ≤
unidades deben unidades deben d) Condición de no negatividad =
ser homogéneas ser homogéneas e) Solución. ≥
en miembro izq. f) Interpretación de la solución.
como der. de la
Inecuación

Etapas de solución para
la Programación lineal

Etapas de solución para
la Programación lineal

Programación lineal

Problema 1) Un taller tiene tres máquinas: A, B y C en las que puede
fabricar dos productos: 1 y 2; Todos los productos deben ir a cada máquina y
cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la máquina
B y por último a la máquina C. En la tabla a continuación se muestran los
siguientes datos:
• Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto.
• Las horas totales disponibles de cada máquina, por semana.
• La ganancia por unidad vendida de cada producto.

¿Qué cantidad de cada
producto (1, 2) se debe
manufacturar cada
semana, para obtener
la máxima ganancia?
Formule el Problema.

Programación lineal

Problema 2) La empresa lechera El Trébol del Tolima produce dos
productos: Leche entera y leche descremada, empacadas en bolsas de
litro. Cada bolsa de leche entera contiene 3 centímetros cúbicos de
materia prima 1 y 5 centímetros cúbicos de materia prima 2, la bolsa se
vende a $1.500 y tiene un costo de producción de $1.300. Cada bolsa de
leche descremada contiene 5 centímetros cúbicos de materia prima 1 y
3 centímetros cúbicos de materia prima 2, la bolsa se vende a $1.800 y
tiene un costo de producción de $1.600. La fábrica dispone diariamente
de 15.000 centímetros cúbicos de materia prima 1 y 15.000 centímetros
cúbicos de materia prima 2 para producir leche entera y leche
descremada. Debido a la capacidad instalada en la planta de
producción, como máximo se pueden producir 1.000 bolsas diarias de
leche entera. ¿Cuántas bolsas diarias se deben producir de cada tipo de
leche para maximizar la utilidad diaria? Formule el problema de
programación lineal.

Programación lineal

Problema 3) Una joyería produce dos tipos de joyas: La tipo 1 y la
tipo 2. Cada joya tipo 1 contiene 2 rubíes y 4 diamantes y se vende
a $10/Unidad y tiene un costo de producción de $5/Unidad. Cada
joya tipo 2 contiene 1 rubí y 1 diamante, se vende a $6/Unidad y
tiene un costo de producción de $4/Unidad. La joyería dispone de
30 rubíes y 40 diamantes para producir las joyas. Por la situación
del mercado, se deben producir al menos 10 joyas del tipo 2.
a. Formule el problema de programación lineal para maximizar la
utilidad neta de la joyería (ventas-costos).
b. ¿Cuántas joyas de cada tipo se deben producir, para maximizar
la utilidad neta?
c. ¿Cuál es la máxima utilidad neta?
d. ¿Cuántos rubíes y diamantes sobran?

Programación lineal

Max o Min Función objetivo
Sujeto a: Restricciones

Solución MPL – Método gráfico

Max o Min Función objetivo
Sujeto a: Restricciones

Solución MPL – Método gráfico

Una vez se tenga el problema formulado se debe:
Para las restricciones:
1) Graficar cada inecuación como si fuera ecuación.
2) Verificar con un punto de prueba para cada recta para

determinar el área que encierra (el punto de prueba
debe encontrarse a la derecha o izquierda de la
recta, que no ∈ a la recta).

Solución MPL – Método gráfico

Para la función objetivo:
1) La función objetivo tiene la estructura: aX+bY = c.

Graficamos aparte la función objetivo dándonos
diferentes valores de z para conocer hacia que lado
aumenta o disminuye, dependiendo de si queremos
maximizar o minimizar.

Solución MPL – Método gráfico

Metodología para una buena gráfica:
1) En un plano cartesiano se grafican todas las

restricciones.
2) Se determina el área de soluciones factibles

(polígono de soluciones factibles).
3) Graficar z con un valor arbitrario de z (Se sugiere

z=a*b).

Solución MPL – Método gráfico

Procedimiento para determinar la solución óptima factible:
Primer camino:
1) Evaluar la función objetivo Z en cada una de las

esquinas del área de soluciones factibles.
Lo engorroso es cuando hay muchas restricciones y
por ende muchas esquinas.

Solución MPL – Método gráfico

Procedimiento para determinar la solución óptima factible:
Segundo camino:
1) Usar la función objetivo para determinar la esquina del

área de soluciones factible que la optimiza.
La debilidad de este procedimiento se presenta cuando la
función objetiva es aproximadamente paralela a uno de los
lados del área de soluciones factible, originando la duda visual
sobre la gráfica, de cuál de los dos extremos (esquinas) es el
que hace que la función objetivo se optimice.

MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte clásico, se define como una
técnica que determina la logística del envío de productos
o mercancías desde unas fuentes hasta unos destinos, al
menor costo posible.

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Es un caso del problema de Programación Lineal, en el
que todas las variables en las restricciones tienen
coeficiente uno (1), esto es:

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Gráficamente:

En donde:
Xij: Unidades para transportar desde la fuente i-ésima
(i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n)

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Gráficamente:

En donde:
Cij: Costo del transporte de una unidad desde la fuente i-
ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n)

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Gráficamente:

En donde:
ai = Disponibilidad (oferta) en unidades, de la fuente i-ésima (i=1,...,m)
bj = Requerimiento (demanda) en unidades, del destino j-ésimo
(j=1,...,n)

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:

Gráficamente:

El algoritmo que se ilustrará, exige que el modelo cumpla
con:

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Matemáticamente:

MODELO DE TRANSPORTE

Modelo general del problema clásico de transporte:
Matemáticamente (continuación):

MODELO DE TRANSPORTE

Metodología general:

MODELO DE TRANSPORTE

Metodología de solución:

MODELO DE TRANSPORTE

Solución básica factible:
Cuando hallamos una solución básica factible, lo que
hallamos son valores para las que satisfacen todas las
restricciones incluyendo la de no negatividad. Ello implica
satisfacer la oferta y la demanda con valores que pertenecen
a los números reales positivos.

MODELO DE TRANSPORTE:
Método de la esquina Noroeste

Características:
• Sencillo y fácil de hacer las asignaciones.
• No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones.
• Generalmente nos deja lejos de la solución óptima.

MODELO DE TRANSPORTE:
Método de la esquina Noroeste

Algoritmo:
1. Construya una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas
(requerimientos).
2. Empiece por la esquina noroeste.
3. Asigne lo máximo posible (lo menor entre la oferta y la demanda).
4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros el resto de
casillas (filas o columnas) en donde la oferta ó la demanda haya
quedado satisfecha.
5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según haya quedado
disponibilidad para asignar.
6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina
inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo.