Pewarnaan -dinamis adalah pewarnaan tepat sedemikian sehingga setiap titik berderajat minimal dua pada graf memiliki lebih dari satu warna yang berbeda pada setiap titik yang bertetangga (Fierera & Sugeng, 2022). Pewarnaan -dinamis dari sebuah graf merupakan pewarnaan sedemikian sehingga setiap titik pada graf menerima setidaknya {, ()} warna untuk setiap titik yang saling bertetangga (Kristiana, Utoyo, et al., 2022). Montgomery mendefinisikan bilangan kromatik pewarnaan -dinamis sebagai minimum warna sedemikian hingga graf memiliki -coloring -dinamis (Riba’Ah et al., 2022). Bilangan kromatik 1-dinamis pada graf sama dengan bilangan kromatik pewarnaan graf pada umumnya. Montgomery menyatakan bahwa bilangan kromatik 2-dinamis dari graf dapat diketahui sebagai bilangan kromatik dinamis (Mohanapriya et al., 2022). Definisi 1 Pewarnaan -dinamis didefinisikan sebagai :() → {1,2,3, …, } sedemikian sehingga memenuhi kondisi berikut : a. Jika ∈ (), maka () ≠ (), dan b. ∀ ∈ (), |(())| ≥ {, ()}, (Liowardani et al., 2020). Notasi () pada sebuah graf dapat diartikan sebagai persekitaran titik , sedangkan |(())| adalah banyaknya fungsi pewarnaan pada persekitaran titik . Pewarnaan -dinamis haruslah memenuhi |(())| ≥ {, ()}, dimana {, ()} merupakan minimal antara dengan derajat titik . Fungsi yang memetakan titik pada graf ke himpunan warna {1,2,3, . . , } dalam pewarnaan -dinamis dapat dinotasikan sebagai (). Titik yang saling terhubung pada graf harus memiliki warna yang berbeda. Tujuan dari pewarnaan -dinamis adalah untuk mencari bilangan kromatik paling minimum dari pewarnaan graf dengan parameter yang tidak terbatas. Pewarnaan -dinamis akan dibuktikan dengan observasi dan teorema berikut . Observasi 1. Selalu (G G G G G ) = 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ... ( ) . Jika ≥ ∆(), maka r (G G ) = ( ) (Liowardani et al., 2020). Pewarnaan -Dinamis 1
Lemma 1. Diketahui = (, ) adalah sebuah graf dan adalah subgraf dari graf , maka r r (G H ) ( ) (Mohanapriya et al., 2022). Jumlah warna minimum yang digunakan untuk melakukan pewarnaan -dinamis pada suatu graf disebut dengan bilangan kromatik pewarnaan -dinamis, atau biasa dinotasikan dengan ( ) r G . Terdapat beberapa graf yang merupakan elemen penyusun graf unicyclic, diantaranya yaitu graf lingkaran, graf bintang, dan graf lintasan. Berikut merupakan pewarnaan titik -dinamis pada graf lingkaran, graf bintang, dan graf lintasan: 1. Pewarnaan Titik -Dinamis Graf Lingkaran Graf unicyclic dapat didefinisikan sebagai graf yang memiliki tepat satu lingkaran. Dengan kata lain, dalam graf unicyclic terdapat graf lingkaran yang menjadi salah satu penyusun grafnya. Montgromery telah menemukan bilangan kromatik titik -dinamis pada graf lingkaran adalah sebagai berikut; ( ) 5, jika 5 3, jika 0 mod 3 4, jika lainnya r n n C n n = = = 2. Pewarnaan Titik -Dinamis Graf Bintang Graf flowerpot merupakan salah satu graf unicyclic yang tersusun dari dua graf yaitu graf bintang dan graf lingkaran. Berikut merupakan bilangan kromatik titik -dinamis dari graf bintang (Fierera & Sugeng, 2022); r n (S r n r n ) = + min , 1; 1, 3 ( ) 3. Pewarnaan Titik -Dinamis Graf Lintasan Graf cricket merupakan graf unicyclic yang disusun dari graf lingkaran serta dua graf lintasan. Berikut adalah pewarnaan -dinamis pada graf lintasan; ( ) 2, untuk 1 3, untuk 2 r n r P r = = 2
Teorema 1. Ditentukan graf cricket (, ) dengan syarat ≥ 3 dan ≥ 2, bilangan kromatik -dinamis adalah: ( , ) 3, untuk 1, 2 dan 0 mod 3 4, untuk 3 dan 0 mod 3 4, untuk 1, 2,3 dan 1 mod 3 r n m r n r n Cr r n = = = = 4, untuk 1, 2,3 dan 2 mod 3 dengan syarat 5 5, untuk lainnya dan lainnya r n n r n = Langkah-langkah menentukan bilangan kromatik -dinamis pada graf cricket 1. Menentukan graf cricket (8,5 ) sebagai graf yang akan dilakukan pewarnaan. 2. Sebelum melakukan pewarnaan -dinamis kita tentukan terlebih dahulu kardinalitas dari graf cricket (8,5 ) untuk memudahkan dalam menentukan pewarnaan (, ) = { ,1 ≤ ≤ } ∪ {1 , 1 ≤ ≤ } ∪ {2 , 1 ≤ ≤ } (, ) = {+1 ,1 ≤ ≤ − 1} ∪ {1 } ∪ {111} ∪ {121 } ∪ {1,1,+1 , 1 ≤ ≤ − 1} ∪ {2,2,+1 , 1 ≤ ≤ − 1} |(, )| = + 2 |(, )| = + 2 Karena kita menggunakan graf cricket (8,5 ) maka dapat diketahui bahwa: = 8 = 5 Sehingga didapat |(8,5 )| = 8 + 2.5 = 8 + 10 = 18 |(8,5 )| = 8 + 2.5 = 8 + 10 = 18 3. Selanjutnya menentukan batas bawah pewarnaan -dinamis graf cricket (8,5 ) Karena graf cricket (8,5 ) terdiri dari graf lingkaran, maka berdasarkan Lemma 1 didapat r n m r n (Cr C , ) ( ) . Jumlah titik graf lingkaran pada graf cricket (8,5 ) adalah sebanyak delapan, maka perlu diperhatikan bilangan kromatik r-dinamis graf lingkaran dengan jumlah titik yang sama yaitu delapan. Didapatkan bahwa ( 8,5 8 ) ( ) 4 r r Cr C = . Teorema dan Langkah Pewarnaan 3
4. Kemudian menentukan batas atas pewarnaan -dinamis graf cricket (8,5 ) adalah ( 8,5 ) 4 r Cr dengan menggunakan fungsi pewarnaan. Pertama-tama tentukan fungsi pewarnaan pada graf lingkaran, diketahui bahwa pemetaannya adalah : (8,5 ) → {1,2,3,4}. ( ) = { 3, ≡ ;0 3,1 ≤ ≤ 1, ≡ − 2; 1 3,1 ≤ ≤ 2, ≡ − 3; 2 3,1 ≤ ≤ 4, ≡ − 1; − 4,1 ≤ ≤ Gambar 1 Pewarnaan -Dinamis Graf Lingkaran 8 Selanjutnya lakukan pewarnaan pada dua graf lintasan yang berada pada titik 1 . Dapat diketahui bahwa label warna titik pada 1 adalah 1 sedangkan warna titik yang bertetangga dengan 1 adalah 2 dan 3, maka label warna untuk titik 11 dan 12 haruslah selain 1,2, dan 3. Hal ini bertujuan agar pewarnaan yang dilakukan dapat optimal, maksudnya tidak ada titik yang bertetangga memiliki label warna yag sama. (1, ) = { 1, ≡ 0 4,1 ≤ ≤ 4, ≡ 1 4,1 ≤ ≤ 3, ≡ 2 4,1 ≤ ≤ 2, ≡ 3 4,1 ≤ ≤ (2, ) = { 1, ≡ 0 4,1 ≤ ≤ 4, ≡ 1 4,1 ≤ ≤ 3, ≡ 2 4,1 ≤ ≤ 2, ≡ 3 4,1 ≤ ≤ Gambar 2 Pewarnaan -Dinamis Graf Cricket (8,5 ) 4
5. Membuktikan batas atas pewarnaan -dinamis dibantu dengan tabel. Jika sudah memenuhi Definisi dari pewarnaan -dinamis. ( ) |(( ))| ( ) {, ( )} |(( ))|≥ {, ( )} 1 1 3 1,2,3,4 4 1,2,3,4 YA, YA, YA,TIDAK 2 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 3 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 4 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 5 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 6 1 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 7 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 8 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 11 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 12 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 13 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 21 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 22 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 23 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA Dapat dilihat pada tabel di atas terdapat satu pewarnaan yang tidak memenuhi Definisi 1 yaitu pada saat = 4 di titik 1 sehingga dapat dikatakan bahwa terbukti ( 8,5 ) 4 r Cr untuk < 4. 6. Menarik kesimpulan dan menentukan bilangan kromatik -dinamis Karena ( 8,5 ) 4 r Cr dan ( 8,5 ) 4 r Cr untuk < 4 maka dapat diketahui bahwa ( 8,5 ) 4 r Cr = untuk < 4. Teorema 2. Ditentukan graf peach ( ) dengan syarat ≥ 3 dan ≥ 2 maka bilangan kromatik -dinamis adalah: ( ) 3, untuk 1,2 dan 0 mod 3 5, untuk 1,2,3,4 dan 5 4, untuk 1,2,3 dan 1 mod 3 m r n r m r m C r m = = = = = 4, untuk 1,2,3 dan 2 mod 3 dengan syarat 5 min , 2 1, untuk lainnya dan lainnya r m m r n r m = + + Langkah-langkah menentukan bilangan kromatik -dinamis pada graf peach 1. Menentukan graf peach (7 8 ) sebagai graf yang akan dilakukan pewarnaan. 2. Sebelum melakukan pewarnaan -dinamis kita tentukan terlebih dahulu kardinalitas dari graf peach (7 8 ) untuk memudahkan dalam menentukan pewarnaan ( ) = { ,1 ≤ ≤ }∪ { ,1 ≤ ≤ } ( ) = {+1,1 ≤ ≤ − 1} ∪ {1}∪ {1 ,1 ≤ ≤ } |(, )| = + |(, )| = + Karena kita menggunakan graf peach (7 8 ) maka dapat diketahui bahwa: 5
= 8 = 7 Sehingga didapat |(7 8 )| = 8 + 7 = 15 |(7 8 )| = 8 + 7 = 15 3. Selanjutnya menentukan batas bawah pewarnaan -dinamis graf peach (7 8 ) Karena graf peach (7 8 ) terdiri dari graf lingkaran, maka berdasarkan Lemma.1 didapat ( ) ( ) m r n r n C C . Jumlah titik graf lingkaran pada graf peach (7 8 ) adalah sebanyak delapan, maka perlu diperhatikan bilangan kromatik r-dinamis graf lingkaran dengan jumlah titik yang sama yaitu delapan. Dapat diketahui bahwa ( ) ( ) 8 7 8 4 r r C C = . 4. Selanjutnya menentukan batas atas pewarnaan -dinamis graf cricket (7 8 ) bahwa ( ) 8 7 4 r C dengan menggunakan fungsi pewarnaan. Pertama-tama tentukan fungsi pewarnaan pada graf lingkaran, diketahui bahwa pemetaannya adalah : (7 8 ) → {1,2,3,4}. ( ) = { 3, ≡ ; 0 3,1 ≤ ≤ 1, ≡ − 2; 1 3,1 ≤ ≤ 2, ≡ − 3; 2 3,1 ≤ ≤ 4, ≡ − 1; − 4,1 ≤ ≤ Gambar 3 Pewarnaan -Dinamis Graf Lingkaran 8 Selanjutnya lakukan pewarnaan pada pendant vertex yang berada pada titik 1 . Dapat diketahui bahwa label warna titik pada 1 adalah 1 sedangkan warna titik yang bertetangga dengan 1 adalah 2 dan 3, maka label warna untuk titik dengan 1 ≤ ≤ haruslah selain 1,2, dan 3. Hal ini bertujuan agar pewarnaan yang dilakukan dapat optimal, maksudnya tidak ada titik yang bertetangga memiliki label warna yag sama. Didapat label pewarnaannya adalah. ( ) = 4, 1 ≤ ≤ 6
Gambar 4 Pewarnaan -Dinamis Graf Peach (7 8 ) Membuktikan batas atas pewarnaan -dinamis dibantu dengan tabel. Jika sudah memenuhi Definisi dari pewarnaan -dinamis. ( ) |(( ))| ( ) {, ( )} |(( ))|≥ {, ( )} 1 1 3 1,2,3,4 8 1,2,3,4 YA, YA, YA, TIDAK 2 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 3 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 4 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 5 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 6 1 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 7 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 8 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 1 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 2 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 3 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 4 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 5 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 6 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA Dapat dilihat pada tabel di atas terdapat satu pewarnaan yang tidak memenuhi Definisi 1 yaitu pada saat = 4 di titik 1 sehingga dapat dikatakan bahwa terbukti ( ) 8 7 4 r C untuk < 4. 5. Menarik kesimpulan dan menentukan bilangan kromatik -dinamis Karena ( ) 8 7 4 r C dan ( ) 8 7 4 r C untuk < 4 maka dapat diketahui bahwa ( ) 8 7 4 r C = untuk < 4. Teorema 3. Ditentukan graf flowerpot () dengan syarat ≥ 3 dan ≥ 3 maka bilangan kromatik -dinamis adalah. 7
( ) 3, untuk 1,2 dan 0 mod 3 4, untuk 3 dan 0 mod 3 5, untuk 1,2,3,4 dan 5 4, untuk 1,2,3 dan r m n r n r n r n C S r n = = = = = = 1 mod 3 4, untuk 1,2,3 dan 2 mod 3 dengan syarat 5 min , 1 1, untuk lainnya dan lainnya r n n r m r n = + + Langkah-ngkah menentukan bilangan kromatik -dinamis pada graf flowepor () 1. Menentukan graf flowerpot (45 ) sebagai graf yang akan dilakukan pewarnaan. 2. Sebelum melakukan pewarnaan -dinamis kita tentukan terlebih dahulu kardinalitas dari graf flowerpot (45 ) untuk memudahkan dalam menentukan pewarnaan () = { ,1 ≤ ≤ } ∪ { ,1 ≤ ≤ } ∪ {} () = {+1,1 ≤ ≤ − 1} ∪ {1 }∪ {1} ∪ { , 1 ≤ ≤ } |(, )| = + + 1 |(, )| = + + 1 Karena kita menggunakan graf flowerpot (45 ) maka dapat diketahui bahwa: = 4 = 5 Sehingga didapat |(45 )| = 4 + 5 + 1 = 10 |(45 )| = 4 + 5 + 1 = 10 3. Selanjutnya menentukan batas bawah pewarnaan -dinamis graf flowerpot (45 ) Karena graf flowerpot (45 ) terdiri dari graf lingkaran, maka berdasarkan Lemma 1 didapat r n m r n (C S C ) ( ) . Jumlah titik graf lingkaran pada graf flowerpot (45 ) adalah sebanyak empat, maka perlu diperhatikan bilangan kromatik r-dinamis graf lingkaran dengan jumlah titik yang sama yaitu empat. Dapat diketahui bahwa ( 4 5 4 ) ( ) 4 r r C S C = . 4. Selanjutnya menentukan batas atas pewarnaan -dinamis graf flowerpot (45 ) bahwa ( ) 4 5 4 r C S dengan menggunakan fungsi pewarnaan. Pertama-tama tentukan fungsi pewarnaan pada graf lingkaran, diketahui bahwa pemetaannya adalah : (45 ) → {1,2,3,4}. 8
( ) = { 3, ≡ 0 3,1 ≤ ≤ 1, ≡ 1 3,1 ≤ ≤ 2, ≡ 2 3,1 ≤ ≤ 4, ≡ ,1 ≤ ≤ Gambar 5 Pewarnaan -Dinamis Graf Lingkaran 4 Selanjutnya lakukan pewarnaan pada titik yang bertetangga dengan titik 1 . Dapat diketahui bahwa label warna titik pada 1 adalah 1 sedangkan warna titik yang bertetangga dengan 1 adalah 2 dan 4, maka label warna untuk titik haruslah selain 1,2, dan 4. Hal ini bertujuan agar pewarnaan yang dilakukan dapat optimal, maksudnya tidak ada titik yang bertetangga memiliki label warna yag sama. Didapat label pewarnaan untuk titik adalah. () = 3 Gambar 6 Pewarnaan -Dinamis pada Titik yang Menghubungkan Graf Lingkaran dan Graf Bintang Selanjutnya lakukan pewarnaan pada pendant vertex yang bertetangga dengan titik . Sebelumnya, titik memiliki label warna yaitu 3, selain itu dapat diketahui bahwa titik bertetangga dengan titik 1 yang memiliki label warna 1. Dalam mewarnai pendant vertex maka haruslah selain label warna 1 dan 3, sehingga didapat label warnanya yaitu: ( ) = { 2, ≡ ,1 ≤ ≤ 4, ≡ ,1 ≤ ≤ 8
Gambar 7 Pewarnaan -Dinamis Graf Flowerpot (45 ) 5. Membuktikan batas atas pewarnaan -dinamis dibantu dengan tabel. Jika sudah memenuhi Definisi dari pewarnaan -dinamis. ( ) |(( ))| ( ) {, ( )} |(( ))|≥ {, ( )} 1 1 3 1,2,3,4 3 1,2,3,3 YA, YA, YA,YA 2 2 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 3 3 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA 4 4 2 1,2,3,4 2 1,2,2,2 YA, YA, YA,YA a 3 3 1,2,3,4 7 1,2,3,4 YA, YA, YA, TIDAK 1 2 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 2 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 3 2 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 4 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 5 2 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA 6 4 1 1,2,3,4 1 1,1,1,1 YA, YA, YA,YA Dapat dilihat pada tabel di atas terdapat satu pewarnaan yang tidak memenuhi Definisi 1 yaitu pada saat = 4 di titik sehingga dapat dikatakan bahwa terbukti ( ) 5 4 4 r C S untuk < 4. 6. Menarik kesimpulan dan menentukan bilangan kromatik -dinamis Karena ( ) 5 4 4 r C S dan ( ) 5 4 4 r C S untuk < 4 maka dapat diketahui bahwa ( ) 5 4 4 r C S = untuk < 4. 10
Alfarisi, R., Dafik., Adawiyah, R., Prihandini, R.M., Albirri, E.R., Agutin, I.H. (2019). Super Domination Number Of Unicyclic Graphs. IOP Conf. Series: Earth and Environtmental Science. 1-9. Falcón, R. M., Venkatachalam, M., Gowri, S., & Nandini, G. (2021). On the r-dynamic coloring of some fan graph families. Analele Stiintifice Ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, 29(3), 151–181. Fierera, A., & Sugeng, K. A. (2022). PEWARNAAN SIMPUL r-DINAMIS PADA GRAF TERATAI T_n. Pattimura Proceeding: Conference of Science and Technology, 165–170. Kristiana, A. I., Dafik., A'yun, Q., Adawiyah, R., Alfarisi, R. (2023). On Irregular Colorings of Unicyclic Graph Family. CAUCHYP-Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi, 7(4), 503-512. Kristiana, A. I., Utoyo, M. I., Dafik, D., Alfarisi, R., & Waluyo, E. (2022). On the r-Dynamic Chromatic Number of Corona Product of Star Graph. Thai Journal of Mathematics, 20(3), 1389–1397. Liowardani, A. P., Dafik, D., & Fatahillah, A. (2020). Pewarnaan Titik r-Dinamis pada Graf Hasil Operasi Edge Corona. Cgant Journal of Mathematics and Applications, 1(2), 14– 26. Mohanapriya, N., Kalaiselvi, K., Aparna, V., Dafik, & Agustin, I. H. (2022). On r-dynamic coloring of central vertex join of path, cycle with certain graphs. Journal of Physics: Conference Series, 2157(1), 0–16. Nandini, G., Venkatachalam, M., & Falcon, R. M. (2020). On the r -dynamic coloring of subdivision-edge coronas of a path. 5(5), 4546–4562. Riba’Ah, R. Z., Dafik, Kristiana, A. I., Maylisa, I. N., & Slamin. (2022). On the r-dynamic chromatic number of subdivision of wheel graph. Journal of Physics: Conference Series, 2157(1). Zhu, J., & Bu, Y. (2019). List r-dynamic coloring of graphs with small maximum average degree. Discrete Applied Mathematics, 258(11771403), 254–263. Referensi 11