The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Savalas Publications, 2021-03-01 06:16:01

21051

21051

Πρόλογος

Φίλοι µαθητές, αγαπητοί συνάδελφοι!

Με τη νέα στροφή που παρατηρείται στα θέµατα των Πανελλαδικών Εξετάσεων τα τε-
λευταία χρόνια, γίνεται αναγκαία η βαθιά γνώση των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου, ο
εµπλουτισµός τους µε συµπληρωµατικά ερωτήµατα και η σύνθεση ορισµένων σηµαντικών
ιδεών που εµπεριέχονται σε διάφορα σηµεία της ύλης ή των συµπληρωµατικών οδηγιών.
Είναι επίσης σηµαντική η κατανόηση των πιο σπουδαίων ενοτήτων από τα Μαθηµατικά
των προηγούµενων ετών, κυρίως του λυκείου, και η αξιοποίησή τους στα θέµατα της Γ΄
Λυκείου. Οι προαπαιτούµενες αυτές γνώσεις αφορούν τόσο στην άλγεβρα, όσο και τη γε-
ωµετρία ή την τριγωνοµετρία.

Το παρόν βιβλίο αποτελεί ουσιαστικά µια πιο λεπτοµερή και σε βάθος αξιοποίηση των
ασκήσεων που περιέχονται στο σχολικό εγχειρίδιο, διανθισµένες µε κατάλληλα ερωτήµα-
τα, ώστε να γίνει η απαραίτητη σύνθεση όλης της εξεταστέας ύλης και ο µαθητής να εξοι-
κειωθεί µε ασκήσεις που έχουν περίπου τη δοµή, την έκταση και τη δυσκολία των θεµάτων
που θα συναντήσει στις εξετάσεις του.

Στην πρώτη ενότητα του βιβλίου αναλύεται µε λεπτοµέρεια η δοµή του 1ου θέµατος
των εξετάσεων, ώστε ο µαθητής να µην αιφνιδιαστεί µε ερωτήσεις, νέας για αυτόν µορφής,
που δε γνωρίζει τον τρόπο αντιµετώπισής τους. Στις ενότητες 2 – 7 που ακολουθούν πα-
ρουσιάζονται ανά ευρεία θεµατική ενότητα περίπου 200 θέµατα που, όπως έχουµε τονίσει,
έχουν αφετηρία µια άσκηση ή µια ιδέα από το σχολικό βιβλίο. Τα θέµατα αυτά, κυρίως
υπολογιστικά, καλύπτουν όλα τα επίπεδα δυσκολίας. Μια ενότητα είναι επίσης αφιερωµέ-
νη στα προβλήµατα, είτε αυτά αφορούν διαγράµµατα είτε ρυθµό µεταβολής είτε την εύρε-
ση ακροτάτων.

Σε µια ξεχωριστή ενότητα περιέχονται, προσαρµοσµένα και διατυπωµένα στην τρέ-
χουσα εξεταστέα ύλη, όλα τα θέµατα των Πανελλαδικών Εξετάσεων, υπολογιστικά ή θεω-
ρητικά, ώστε µε τη µελέτη τους ο υποψήφιος να γνωρίσει το πραγµατικό περιεχόµενο των
εξετάσεων, να συγκρίνει τη δυσκολία των θεµάτων διάφορων ετών αλλά και να αποκτήσει
πιο µεγάλη δεξιότητα στην αντιµετώπιση δύσκολων ερωτηµάτων.

Ακολουθούν δύο ενότητες, οι 8 και 9, που αφορούν κυρίως τον καθηγητή και που πε-
ριγράφουν τόσο τον τρόπο οργάνωσης της γενικής επανάληψης, όσο και τον τρόπο που
πιθανόν να συντάσσεται ένα καλό διαγώνισµα, κοντά στο πνεύµα των εξετάσεων. Η µελέ-
τη ωστόσο των λυµένων θεµάτων που παρουσιάζονται θα βοηθήσει σηµαντικά και τον

υποψήφιο. Στο τέλος του βιβλίου δίνονται αναλυτικές λύσεις σε όλα τα προτεινόµενα θέ-
µατα, ώστε το βιβλίο να µπορεί να αξιοποιηθεί µε επιτυχία από τον µέσο υποψήφιο που
επιδιώκει µια σχολή µε σχετικά υψηλότερη βάση.

Για τον αναγνώστη που επιθυµεί να µελετήσει διεξοδικά τη θεωρία, µε τους ορισµούς,
τις αποδείξεις των θεωρηµάτων και άλλες θεωρητικές προτάσεις καθώς και να λύσει α-
σκήσεις ή θέµατα µε θεωρητικό περιεχόµενο ή µεγαλύτερο βαθµό δυσκολίας, παραπέ-
µπουµε στα βιβλία µας Μαθηµατικών Γ′ Λυκείου Γ1 και Γ2, Εκδόσεις Σαββάλας, τόσο για
την επανάληψη ανά ενότητα, όσο και για τη γενική µελέτη στο τελευταίο στάδιο της προε-
τοιµασίας.

Κλείνοντας αυτόν τον πρόλογο, θέλουµε να ευχαριστήσουµε τους πολλούς συναδέλ-
φους που βοήθησαν ποικιλοτρόπως στη φάση δηµιουργίας του βιβλίου, είτε µε τον έλεγχο
των λύσεων είτε µε προσθήκες και προτάσεις. Ειδικότερα πρέπει να ευχαριστήσουµε τον
Τάκη Χρονόπουλο, τη Φωτεινή Καλδή, τη Μυρτώ Λιάπη, τον Λάµπρο Κατσάπα, την Κα-
τερίνα ∆εµερούτη, τη Αρετή ∆εσίπρη, τον Γιάννη Καρεκλά, τον Φάνη Μαργαρώνη και τη
Νίκη Σπανδάγου, που, µε ιδιαίτερη φροντίδα, επιµελήθηκε τη µορφή του βιβλίου.

Ευχόµαστε καλή επιτυχία στους υποψήφιους και εµπνευσµένη διδασκαλία στους συνα-
δέλφους!

Οι συγγραφείς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Ενότητα 1: Το 1ο θέµα
Α. Τα είδη των ερωτήσεων...............................................................................................7
Β. Ερωτήσεις Σ – Λ µε αιτιολόγηση ..............................................................................21
Γ. Ερωτήσεις στο 1ο θέµα ..............................................................................................26
∆. Προσοµοίωση: Το Θέµα Α ........................................................................................40
Η θεωρία συγκεντρωτικά................................................................................................46

Ενότητα 2 – 7: Θέµατα για τις εξετάσεις
Θέµατα στη µελέτη - γραφική παράσταση .....................................................................52
Θέµατα µε χρήση των ορισµών ......................................................................................60
Θέµατα στην εφαπτοµένη...............................................................................................65
Προβλήµατα ...................................................................................................................74
Θέµατα στην εύρεση συνάρτησης ..................................................................................93
Γενικά Θέµατα..............................................................................................................101

Ενότητα 8:
Α. Τα θέµατα και η νέα τάση .......................................................................................127
Β. Η οργάνωση των επαναλήψεων...............................................................................128

Ενότητα 9:
∆οµή και κατασκευή των θεµάτων...............................................................................132

Ενότητα 10: Θέµατα Πανελλαδικών Εξετάσεων .....................................................172

Υποδείξεις – Λύσεις των προτεινόµενων ασκήσεων................................................273

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Ενότητα 1

Το 1ο θέµα

Στο πρώτο θέµα που αποτελείται από ερωτήσεις θεωρίας µπορεί να δούµε στις εξετάσεις
τα παρακάτω είδη ερωτήσεων. Μερικά είδη δεν έχουν παρουσιαστεί µέχρι τώρα, όµως καλό
είναι να τα έχουµε υπόψη, διότι δεν έχουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία. Για να µην υπάρξει
κάποιος αιφνιδιασµός, προτείνουµε στους µαθητές να διαβάσουν µια φορά τα ερωτήµατα
αυτά, για να αντιληφθούν τον τρόπο που τα αντιµετωπίζουµε.

Α. Τα είδη των ερωτήσεων

Α1. ΟΡΙΣΜΟI

Η απάντηση σε ερωτήµατα ορισµών βρίσκεται εξολοκλήρου µέσα στο σχολικό βιβλίο και
πρέπει να απαντήσουµε ακριβώς σύµφωνα µε αυτό. Πρέπει να προσέξουµε ότι ο ορισµός δεν
µπορεί να αντικατασταθεί από τη διατύπωση ενός θεωρήµατος, έστω και αν αυτό είναι ισο-
δύναµο µε τον ορισµό. Για παράδειγµα, στο ερώτηµα:

"Πότε µια συνάρτηση f : A → ℝ λέγεται 1–1" δεν πρέπει να δώσουµε την απάντηση:
"….. όταν για κάθε x1 , x2 ∈ A µε f(x1 ) = f(x2 ) ισχύει ότι x1 = x2 ",

Ο λόγος είναι γιατί, αν και η απάντηση αυτή είναι λογικά ισοδύναµη µε τον ορισµό, το βιβλίο
την αναφέρει ως πρόταση και όχι ως ορισµό.

Σηµειώνουµε επίσης ότι οι ορισµοί µπορεί να εξεταστούν και µε άλλα είδη ερωτήσεων,
όπως πχ. Σωστό-Λάθος, Συµπλήρωση κενού, Αντιστοίχιση κ.λπ.

Να τονίσουµε ακόµα ότι συναφές ερώτηµα µε τους ορισµούς είναι η διατύπωση µερικών
χαρακτηριστικών θεωρηµάτων ή και της γεωµετρικής τους ερµηνείας, όπως πχ. του Rolle,
της Μέσης Τιµής, του Bolzano, του Fermat ή του ΘΕΤ.

Παραδείγµατα

α) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ο-

ρισµού της;

β) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της;

γ) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστηµα ∆;

Οι ορισµοί, τους οποίους πρέπει να γνωρίζουµε, βρίσκονται τόσο στο κύριο µέρος του
βιβλίου αυτού σε µορφή ερώτησης – απάντησης, όσο και συγκεντρωτικά σε µορφή αυτοα-
ξιολόγησης, κάτι που θα βοηθήσει σηµαντικά στην τελική επανάληψη.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α2. ΑΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ (Προτάσεων ή τύπων)

Στο ερώτηµα αυτό δίνεται διατυπωµένο όπως υπάρχει στο βιβλίο ένα θεώρηµα και ζητεί-
ται η απόδειξή του. Η απόδειξη που θα γίνει από το µαθητή είναι προτιµότερο να ακολουθεί
τη δοµή του βιβλίου, µπορεί όµως και να αποκλίνει ελαφρά από αυτό. Κάθε άλλη απόδειξη
είναι επίσης ορθή, αρκεί να βασίζεται σε προτάσεις του βιβλίου ή να µην δηµιουργεί φαύλο
κύκλο. Το φαινόµενο του «φαύλου κύκλου» είναι αρκετά συχνό, ιδιαίτερα σε γραπτά ικανών
µαθητών, οι οποίοι αγνοούν την απόδειξη του σχολικού βιβλίου και επιχειρούν να επινοή-
σουν µια δική τους, αντιµετωπίζοντας το θεώρηµα ως άσκηση. Στην πορεία όµως χρησιµο-
ποιούν είτε άµεσα είτε έµµεσα, χωρίς να το αντιλαµβάνονται, το θεώρηµα που επιχειρούν να
αποδείξουν. Αυτό κυρίως συµβαίνει όταν τα χρησιµοποιούµενα θεωρήµατα έπονται στο σχο-
λικό βιβλίο του προς απόδειξη θεωρήµατος.

Παραδείγµατα
1. Αν α > 0 , να αποδείξετε ότι (αx )′ = αx ln α , x ∈ ℝ .
2. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α, β], f(α) ≠ f(β) και n ένας αριθµός ανάµεσα στα
f(α), f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) τέτοιος, ώστε
f(x0) = n .
3. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα ∆ µε f ′(x) = 0 , για κάθε εσωτερικό ση-
µείο x ∈ ∆. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο ∆.
4. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα ∆ µε f ′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο
x του ∆. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆.
5. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα ∆, παρουσιάζει στο εσωτερικό ση-
µείο x0 του ∆ τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιµη στο x0 , να αποδείξετε ότι
f ′(x0 ) = 0 .

Παρατήρηση

Σε ορισµένες προτάσεις µπορεί για γίνει διαφορετική απόδειξη από αυτή που έχει το
σχολικό ή µε ελαφρά τροποποίηση. Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι οι εξής:

Παράδειγµα 1ο

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο x0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι πα-
ραγωγίσιµη στο x0 και ισχύει:

(f + g)′(x0 ) = f ′(x0 ) + g′(x0 )

8 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α3. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ

Πρόκειται για ερωτήσεις που δεν τίθεται συχνά στις εξετάσεις, έχουν όµως ιδιαίτερη αξι-
ολογική σηµασία, ιδιαίτερα σε κάποια σηµεία της ύλης. Με τέτοιες ερωτήσεις µπορεί να εξε-
ταστούν όχι µόνο ορισµοί, τύποι ή προτάσεις αλλά και οι αποδείξεις τους. Μερικές φορές, σε
κάποιο κενό, ίσως να µην υπάρχει µονοσήµαντη απάντηση και αυτό πρέπει να το προσέξει
εκείνος που κατασκευάζει την ερώτηση. Ο µαθητής πρέπει να επιλέξει τις λέξεις ή τις σχέσεις
που υπάρχουν σε αντίστοιχες προτάσεις στο σχολικό του βιβλίο και µε κριτήριο αυτό που
προκύπτει τελικά να είναι µια γνωστή και ορθή µαθηµατική πρόταση.

Παραδείγµατα

α) Αν lim f (x) = +∞ , τότε lim 1 = .......
x→x0 x→x0 f (x)

β) Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύµπτωτη της Cf στο +∞ , όταν ……………

γ) Αν 0 < α < 1 , τότε lim αx = .............

x→ −∞

δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] µε f (α)f (β) < 0 , τότε υπάρχει ένα του-

λάχιστον x0 ∈ (α, β) µε .....................
ε) Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα ∆ µε f ′(x) = g′(x) σε κάθε εσωτερικό

σηµείο x ∈ ∆ . Υπάρχει τότε σταθερά c τέτοια, ώστε …………………., για κάθε x ∈ ∆ .
στ) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α, β] , τότε, σύµφωνα µε

∫τον τύπο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, είναι β f (x)g′(x)dx = ......................
α

ζ) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [α, β] και G είναι µια παράγουσα της f

στο [α, β] , τότε ∫β f (t)dt = ......................
α

Οι σωστές απαντήσεις είναι:

α) 0, β) lim (f (x) − (λx + β)) = 0 , γ) +∞ , δ) f(x0) = 0 , ε) f (x) = g(x) + c ,

x→+∞

στ) [f (x)g(x)] β ∫− β f ′(x)g(x)dx , ζ) G(β) − G(α) .
α α

10 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Α4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού – Λάθους

Πρόκειται για τις γνωστές σε όλους µας ερωτήσεις. Πριν απαντήσουµε πρέπει να διαβά-
σουµε µε προσοχή την εκφώνηση γραµµή προς γραµµή αλλά και γράµµα – γράµµα. Ένα πρό-
σηµο που θα έχει αλλαχθεί ή µια υπόθεση που θα έχει παραληφθεί, µπορεί να αλλάξει τελεί-
ως την απάντηση. Οι ερωτήσεις που έχουν απάντηση Σ (σωστές), συνήθως παίρνονται αυ-
τούσιες από το σχολικό βιβλίο και έτσι πρέπει να γίνεται. Όσες όµως έχουν απάντηση Λ (λά-
θος) συχνά είναι πιο σύνθετες και απαιτούν λογικές διαδικασίες, κάτι που θα έπρεπε όµως να
αποφεύγεται, µια και ξεφεύγουν από τα αυστηρά όρια της έννοιας θεωρία. Πάντως, όταν ο
µαθητής απαντάει µε Λ, είναι καλό να έχει στο µυαλό του ένα απλό και ατράνταχτο µαθηµα-
τικό επιχείρηµα (λείπει π.χ. µια σηµαντική προϋπόθεση, είναι λάθος ένα πρόσηµο, προσκρού-
ει σε κάποιο θεώρηµα κ.λπ.).

Παραδείγµατα

α) Αν η συνάρτηση f είναι 1–1 στο διάστηµα ∆, τότε είναι γνησίως µονότονη σ' αυτό.

β) Αν f (x) = ln | x | , τότε f ′(x) = 1 , x ≠ 0 .
|x|

γ) Αν lim (f (x0 + h)) = f (x 0 ) , τότε η f είναι συνεχής στο x0 .

h→0

δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈[α,β] , τότε

∫ β f (x)dx ≥ 0 .
α

ε) Έστω µια συνεχής συνάρτηση f σ' ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτε-
ρικό σηµείο x του ∆. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆, τότε f ′(x) > 0 σε

κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆.

Οι σωστές απαντήσεις είναι:
α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Σ, ε) Λ.

Οι ερωτήσεις Σ–Λ µε αιτιολόγηση

Σε τέτοιες ερωτήσεις και όπου η απάντηση είναι Λ, πρέπει συνήθως – ανάλογα µε την
ερώτηση – να αναφέρουµε, αν ζητείται, ένα αντιπαράδειγµα, ένα παράδειγµα δηλαδή, στο
οποίο να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις της πρότασης, όχι όµως και το συµπέρασµα. Το
αντιπαράδειγµα συνήθως περιέχεται στο σχολικό βιβλίο. Τα πιο πιθανά ερωτήµατα αυτής
της κατηγορίας τα παραθέτουµε σε άλλη παράγραφο, ώστε ο µαθητής να τα έχει συγκε-
ντρωµένα.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 11

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Οι ερωτήσεις αυτές είναι οικείες στο µαθητή. Απαιτούν συγκέντρωση αλλά κυρίως καλή
γνώση της θεωρίας. Μερικές φορές η σωστή επιλογή έχει πολύ µικρή, αν και σηµαντική, δια-
φορά από τις άλλες και εκεί πρέπει κανείς να εντοπίσει γιατί πρέπει ίσως να απορρίψει τις
άλλες επιλογές.

Παράδειγµα 1ο

∆ίνεται συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] , όχι σταθερή. Ποιος από τους παρακάτω ι-

σχυρισµούς δεν είναι αληθής για κάθε τέτοια συνάρτηση;

α) Η f έχει ελάχιστο και µέγιστο.

β) Ισχύει ότι lim f (α + h) = f (α) και lim f (β + h) = f (β) .
h→0+ h→0−

γ) Το σύνολο τιµών της f στο [α, β] είναι κλειστό διάστηµα.

δ) Αν f (α) ≠ f (β) , τότε η f παίρνει κάθε τιµή που βρίσκεται ανάµεσα στα f(α), f(β).
ε) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f (x0 ) = 0 .

Σωστή απάντηση είναι η (ε).

Παράδειγµα 2ο

Έστω f γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστηµα ∆. Ποια από τις παρακάτω προτά-

σεις είναι ψευδής;

α) Η f είναι 1–1.
β) Για κάθε x1 , x2 ∈ ∆ µε x1 > x2 ισχύει ότι f (x1) > f (x 2 ) .

γ) Αν η f είναι συνεχής, τότε το f(∆) είναι διάστηµα.

δ) Αν ∆ = (α, β) , τότε f (∆) = (Α, Β) , όπου Α = lim f (x) , B = lim f (x) .
x→α+ x→β−

Σωστή απάντηση είναι η (δ).

12 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Α6. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

Σε τέτοιες ερωτήσεις δίνονται στις δύο στήλες ενός πίνακα δύο τετράδες ή πεντάδες
προτάσεων και ζητείται η αντιστοίχισή τους, έτσι ώστε να συνδέονται νοηµατικά µεταξύ τους
ή να σχηµατίζουν µια µαθηµατικώς ορθή πρόταση. Ο τρόπος που συνδέονται οι προτάσεις
των δύο στηλών µπορεί να είναι και ανάµικτος. Συνηθίζεται όµως οι προτάσεις να έχουν
σαφή νοηµατική σύνδεση και να ξεχωρίζουν σαφώς η µία από την άλλη, ώστε να µην µπο-
ρούν να δοθούν περισσότερες από µία απαντήσεις.

Παράδειγµα

Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των στηλών Α και Β, ώστε να προκύπτουν ορθές µα-
θηµατικές προτάσεις.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. Για τη συνάρτηση f : A → ℝ υπάρχει

x0 ∈ A µε: α. Το f (x0 ) είναι ολικό ελάχιστο.
f (x) ≤ f (x0 ) για κάθε x ∈ A

2. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

[α, β] µε: β. f '(x0 ) = 0 .

f (α)f (β) < 0

3. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο εσωτε- γ. Υπάρχει ξ ∈ (α,β) µε:

ρικό σηµείο x0 του διαστήµατος ∆ f '(ξ) = f (β) − f (α)
β − α
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσι-

µη σε αυτό.

4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο δ. Το f (x0 ) είναι ολικό µέγιστο.

[α, β] και παραγωγίσιµη στο (α,β) .

ε. Υπάρχει ένα τουλάχιστον
x0 ∈ (α,β) µε f (x0 ) = 0

Η απάντηση είναι: 1→ δ , 2 → ε , 3 → β , 4 → γ .

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α7. ΕΡΩΤΗΣΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ

Πρόκειται ξανά για ερώτηση πολλαπλής επιλογής, µε άλλη όµως φιλοσοφία. Για να απα-
ντήσουµε πρέπει να γνωρίζουµε καλά τις διατυπώσεις αλλά και την ουσία της κάθε πρότασης
ή θεωρήµατος του βιβλίου. Σε τέτοια ερωτήµατα δίνονται ορισµένες προτάσεις και ζητείται
εκείνη, η οποία ταιριάζει ή συµπληρώνει ή δεν ταιριάζει ή δεν απορρέει από κάποια πρόταση
που δίνεται στην εκφώνηση. Ο εντοπισµός της σωστής απάντησης απαιτεί συγκέντρωση και
πολύ καλή γνώση όλης της θεωρίας.

Παράδειγµα 1ο

Ποιος από τους παρακάτω συλλογισµούς (α) έως (δ) συµπληρώνει τον ηµιτελή

συλλογισµό:

"Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) , τότε":

α) Εφαρµόζεται για την f στο [α, β] το θεώρηµα του Bolzano.

β) Εφαρµόζεται για την f στο [α, β] το θεώρηµα του Rolle.

γ) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f ′( x 0 ) = f (α) − f (β) .
α − β

δ) Η συνάρτηση f δεν έχει υποχρεωτικά ελάχιστη και µέγιστη τιµή.

Σωστή απάντηση είναι η (γ)

Παράδειγµα 2ο

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις (α) - (δ) συµπληρώνει ορθά τον παρακάτω συλ-
λογισµό:

"Για κάθε συνάρτηση f : A → ℝ , η οποία είναι 1–1, ισχύει ότι:

α) Η συνάρτηση f είναι και γνησίως µονότονη.

β) Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα x 'x τέµνει τη γραφική παράσταση της f σε δύο
τουλάχιστον σηµεία.

γ) Η εξίσωση f (x) = α µε α ∈ f (A) , έχει τουλάχιστον δύο λύσεις.

δ) Ορίζεται η αντίστροφη της f και έχει πεδίο ορισµού το f(A)."

Σωστή απάντηση είναι η (δ)

14 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Α8. ΕΡΩΤΗΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ∆ΟΜΗΣ

Πρόκειται για ερωτήσεις µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον, που για να απαντηθούν σωστά χρειάζε-
ται πολύ καλή γνώση της θεωρίας και των άµεσων συνεπειών της. Σε αυτή την κατηγορία
µπορούµε να εντάξουµε και τις ερωτήσεις διάταξης. ∆εν θεωρούµε ότι πρέπει να τεθεί τέτοια
ερώτηση στις εξετάσεις, µια και δεν πρόκειται πάντα για καθαρή θεωρία, µε το σκεπτικό ότι ο
µαθητής δεν έχει δει την απάντηση στο σχολικό του βιβλίο, ούτε την έχει διδαχθεί στην τάξη.
Σε περιπτώσεις όµως που εξετάζουν αποκλειστικά θεωρία και αυτές οι ερωτήσεις είναι στα
νόµιµα πλαίσια και θεωρούνται κατάλληλες για τις εξετάσεις.

Παράδειγµα 1ο

∆ίνονται οι προτάσεις:
Α. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] .
Β. Υπάρχει ξ ∈ (α, β) , τέτοιο ώστε f ′(ξ) = 0 .
Γ. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) .
∆. f (α) ⋅ f (β) < 0 .
Ε. f (α) = f (β) .

Να επιλέξετε το ελάχιστο πλήθος από τις παραπάνω προτάσεις, έτσι ώστε οι πρώτες
από αυτές να αποτελούν τις προϋποθέσεις και η τελευταία να είναι το συµπέρασµα ενός
θεωρήµατος.

Μια σωστή απάντηση είναι η (Α, Γ, Ε, Β).

Παράδειγµα 2ο

∆ίνονται οι παρακάτω προτάσεις:
Α. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα ∆ = (α, β) .

Β. Είναι lim f (x) = Α και lim f (x) = Β .
x →α + x →β −

Γ. f (∆) = (Α, Β) ή f (∆) = (Β, Α) , όπου ∆ = (α, β) .

∆. Η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα ∆ = (α, β) .

Μία από τις παραπάνω προτάσεις είναι το συµπέρασµα των υπολοίπων. Ποια είναι η
πρόταση αυτή;

Σωστή απάντηση είναι η Γ.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 15

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α9. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΕ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ

Σε τέτοιες ερωτήσεις µπορεί να δοθεί ένα διάγραµµα µιας συνάρτησης ή της παραγώγου
της (όχι µε αριθµητικά δεδοµένα) και να ζητηθούν µε τη µορφή Σ – Λ ή συµπλήρωσης κενού
ή µε άλλον τρόπο η µονοτονία, τα ακρότατα, η συνέχεια ή ακόµα: όρια, παραγωγισιµότητα,
κοίλα, ασύµπτωτες, ολοκλήρωµα κλπ.

Στην ίδια κατηγορία ερωτήσεων πρέπει να συµπεριλάβουµε και εκείνες που αφορούν τη
γεωµετρική ερµηνεία των εννοιών, ορισµών και θεωρηµάτων.

Παράδειγµα 1ο

Στο σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το διά-

στηµα [α, β] .

Α. Με βάση τις γνώσεις σας, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ (σωστό) ή Λ
(λάθος).

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] .
β) Η f είναι κοίλη στο διάστηµα [x0, β] .
γ) Για την f εφαρµόζεται το θεώρηµα του Bolzano στο διάστηµα [α, β] .

δ) Η συνάρτηση f έχει ελάχιστη και µέγιστη τιµή.
ε) Το σύνολο τιµών της f είναι το [Α, Β] .

∫στ) Το ολοκλήρωµα I = β

f (x)dx είναι θετικός αριθµός.
x0

ζ) Η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό ακρότατο.

16 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Α10. ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗΣ

Πρόκειται και εδώ για µια µορφή ερώτησης που αξιολογεί βαθύτερη κατανόηση της θεω-
ρίας και µερικές φορές φέρνει το µαθητή µπροστά σε διλήµµατα. Ωστόσο, αν το ερώτηµα
είναι καλά δοµηµένο, δεν θα δυσκολέψει τον σωστά προετοιµασµένο µαθητή. Μέχρι τώρα
δεν έχει τεθεί τέτοιο ερώτηµα στις εξετάσεις και προτείνουµε να µην τεθεί, εκτός αν στα σχο-
λεία δοθούν έγκαιρα στους µαθητές ερωτήσεις προσοµοίωσης πάνω σε αυτό το είδος.

Παράδειγµα
∆ίνεται µέρος της απόδειξης ενός τύπου παραγώγισης από το σχολικό σας βιβλίο:
<< …………………………………………………

Πράγµατι, αν y = ...... = exlnα και θέσουµε u = x ln α , τότε έχουµε y = eu . Εποµένως,

y′ = (eu )′ = ..................................... ………
……………………………………………….………………………………….. >>
Α. Ποιον από τους παρακάτω τύπους (α), (β) αφορά η παραπάνω απόδειξη;
α) (xα )′ = αxα−1 µε x > 0 και α ∈ ℝ − ℤ .
β) (αx )′ = αx ln α , µε α > 0 .
Β. Να συµπληρώσετε την παραπάνω απόδειξη.

Σωστή απάντηση είναι το (β).

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 19

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Α11. ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΛΑΘΟΥΣ ΣΕ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Σε ένα τέτοιο πιθανό ερώτηµα πρέπει µε προσοχή να διαβάσουµε δύο τουλάχιστον φορές
τη λανθασµένη απόδειξη και ύστερα, έχοντας ως βάση τις γνωστές προτάσεις του βιβλίου, να
αξιολογήσουµε βήµα προς βήµα τους συλλογισµούς που είναι διατυπωµένοι. Πρόκειται για
σύνθετα ερωτήµατα, που περισσότερο ταιριάζουν µε άσκηση παρά µε απόδειξη, κρύβουν ό-
µως µια ξεχωριστή οµορφιά για όποιον θέλει να κατανοήσει σε βάθος την ουσία µιας από-
δειξης.

Παράδειγµα:

∆ίνεται η πρόταση:
Η συνάρτηση f (x) = αx , α > 0 είναι παραγωγίσιµη στο ℝ και ισχύει f ′(x) = αx ln α .

Ένας µαθητής έκανε στις εξετάσεις την παρακάτω απόδειξη:

Έχουµε: Απόδειξη
f (x) = αx ⇔ ln f (x) = ln αx ⇔ ln f (x) = x ln α

Παραγωγίζουµε και παίρνουµε:

(ln f (x))′ = (x ln α)′ ⇔ f ′(x) = ln α ⇔ f ′(x) = f (x)ln α ⇔ f ′(x) = αx ln α

f (x)

Α. Σε ποιο σηµείο έχει κάνει λογικό λάθος ο µαθητής;
Β. Να αποδείξετε στο τετράδιό σας την παραπάνω πρόταση.

Υπόδειξη

Ο µαθητής χρησιµοποίησε στην απόδειξή του την παραγωγισιµότητα της f, κάτι που εί-

ναι ζητούµενο. Αυτό έγινε στο σηµείο που παραγώγισε στα δύο µέλη τη σχέση

ln f (x) = x ln α . Με άλλα λόγια δεν γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση y = ln f (x) παραγωγίζε-

ται, οπότε η σχέση (ln f (x))′ = f ′(x) είναι αυθαίρετη.

f (x)

20 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Β. Ερωτήσεις Σ – Λ µε αιτιολόγηση

Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε όλες τις δυνατές ερωτήσεις της συγκεκρι-
µένης κατηγορίας, που έχουν βάση το σχολικό βιβλίο. Να σηµειώσουµε ότι σε καµία
περίπτωση δεν πρέπει να τεθούν ερωτήσεις Σ – Λ µε αιτιολόγηση, αν το αντιπαρά-
δειγµα ή η αιτιολόγηση δεν αναφέρονται ρητά στο σχολικό βιβλίο.

Ερώτηση 1η

Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση µε Σ–Λ και να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.

Κάθε συνάρτηση που είναι "1–1" σε ένα διάστηµα ∆, είναι γνησίως µονότονη
στο ∆.

Απάντηση
Η πρόταση είναι λανθασµένη (Λ)
Αυτό µπορούµε να το αποδείξουµε µε το επόµενο αντιπαράδειγµα, το οποίο πρέπει να

γνωρίζουµε από µνήµης.

Αντιπαράδειγµα

Η συνάρτηση:

g(x) =  x , x≤0
1 , x>0
 x

είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως µονό-

τονη. Είναι 1–1 διότι κάθε ευθεία πα-
ράλληλη προς τον άξονα x′x τέµνει τη

γραφική παράσταση το πολύ σε ένα

σηµείο (στην περίπτωσή µας την τέµνει

ακριβώς σε ένα), δεν είναι όµως γνησί-

ως µονότονη, διότι η g είναι γνησίως

αύξουσα στο (−∞,0] και γνησίως φθί-
νουσα στο (0, +∞) .

Προφανώς µπορούµε να βρούµε και πλήθος άλλων παραδειγµάτων.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 21

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Γ. Ερωτήσεις στο 1ο Θέµα

∆ίνουµε στη συνέχεια µερικά ακόµα παραδείγµατα για το 1ο θέµα. Όπως είπαµε και πα-
ραπάνω στο θέµα αυτό µπορεί να περιέχονται διάφορα είδη ερωτήσεων. Πέραν του ορισµού
και των θεωρηµάτων, µπορούν να υπάρξουν ερωτήσεις Σ – Λ, συµπλήρωσης κενού, αντι-
στοίχισης, πολλαπλής επιλογής, επιλογής της σωστής ή λαθεµένης απάντησης, ερωτήσεις που
βασίζονται σε διάγραµµα, ερωτήσεις αιτιολόγησης της απάντησης αλλά και ερωτήσεις συ-
µπλήρωσης λογικού ισχυρισµού ή οργάνωσης λογικής δοµής.

Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

E1.1 ∆ίνεται η ηµιτελής πρόταση: γ) Αν η f δεν είναι σταθερή στο διάστηµα ∆,
τότε το f(∆) είναι διάστηµα.
Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξου- δ) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε
σα στο διάστηµα ∆ = (α, β) . f (α)f (β) > 0 , τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α, β) .

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις συµπληρώνει E1.3 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διά-

λογικά την παραπάνω πρόταση, αποτελώντας το στηµα [α, β] µε f (α) ≠ f (β) . Ποια από τις πα-

συµπέρασµά της; ρακάτω προτάσεις αποτελεί το συµπέρασµα του
θεωρήµατος ενδιαµέσων τιµών;
α) lim f (x) = f (α) και lim f (x) = f (β) . α) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f (x0 ) = 0 .
x→α+ x→β− β) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f ′(x0) = 0 .

β) Η f έχει µέγιστο και ελάχιστο στο (α, β) . γ) Για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α), f(β) υ-
πάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) , ώστε:
γ) Το σύνολο τιµών της f είναι το (Α, Β) , όπου:
f (x0) = η
Α = lim f (x) , Β = lim f (x)
x→α+ x→β− δ) Η f παίρνει ελάχιστη και µέγιστη τιµή στο
[α, β] .
δ) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοια, ώστε f (x0 ) = 0 .

E1.2 Από τις παρακάτω προτάσεις µόνο µία

είναι αληθής. Ποια είναι η πρόταση αυτή;

α) Αν η f είναι ορισµένη στο διάστηµα [α, β] E1.4 Ποια από τις παρακάτω προτάσεις
και παίρνει µέγιστη και ελάχιστη τιµή, τότε η f
είναι συνεχής στο [α, β] .

β) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως µονότονη είναι ψευδής. Υπάρχει µόνο µία:
στο ∆ = (α, β) ,
α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 ,

Α = lim f (x) και Β = lim f (x) τότε lim f (x) = f (x0) .

x→α+ x→β− x→ x0

τότε το σύνολο τιµών της f στο ∆ είναι το β) Αν lim f (x0 + h) = f (x0) , τότε η f είναι συνε-
(Α, Β) ή το (B, A) .
h→0

χής στο x0 .

26 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

β) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και: γ) Η f διατηρεί πρόσηµο στο (α, β) .

∫ β f (x)dx = 0 δ) Η συνάρτηση g(x) = 1 µε x ≠ α και
α f (x)

τότε f (x) = 0 για κάθε x ∈[α, β] . x ≠ β έχει δύο σηµεία, στα οποία δεν είναι

γ) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και: συνεχής.
ε) Το σύνολο τιµών της f περιέχει το 0.
∫ β f (x)dx ≥ 0
α E1.29 Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιµη στο

τότε f (x) ≥ 0 , για κάθε x ∈[α, β] . [α, β] . Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν

δ) Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα ∆ και ισχύει:
α, β, γ ∈ ∆ , τότε:

∫ ∫ ∫β f (x)dx = γ α) Η f είναι συνεχής στο [α, β] .
γ f (x)dx +
f (x)dx
α αβ −
f (x) − f (α)
ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] , f (x) ≥ 0 , β) lim x α ∈ ℝ και:

x→α+

∫για κάθε x ∈[α, β] και β f (x)dx = 0 , τότε: lim f (h + β) − f (β) ∈ ℝ
α h→0 h
f (x) = 0 , για κάθε x ∈[α, β]
γ) Αν η f ′ είναι συνεχής, τότε:

E1.28 Μια συνάρτηση f : ℝ → ℝ είναι συ- ∫ β f ′(x)dx = f (β) − f (α)
α
νεχής και έχει µόνο δύο ρίζες, τις α, β µε α < β .
δ) Αν f (α)f (β) < 0 , τότε υπάρχει x0 ∈ (α, β) :
Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι f (x0) = 0 .
λάθος;
α) Η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται. ∫ε) Αν β f (x)dx ≠ 0 , τότε f (x) ≠ 0 για κάθε
β) Η f διατηρεί πρόσηµο στο (−∞, α) . α

x ∈[α, β] .

Β. Ερωτήσεις σε διάγραµµα

E1.30 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική α) Η f είναι κυρτή στο [α, β] .

παράσταση της παραγώγου f ′ της τυχαίας αλλά β) Η f είναι κυρτή στο [α, γ] .
συνεχούς συνάρτησης f : [α, β] → ℝ . Ποια από
γ) Η f έχει µόνο ένα κρίσιµο σηµείο.
τις παρακάτω προτάσεις (α) – (δ) συµπληρώνει δ) f ′′(γ) = 0 .

τον παρακάτω ισχυρισµό:

E1.31 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφι-

κή παράσταση µιας συνάρτησης f : ℝ → ℝ . Να

συµπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις:

"Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο 31
(α, β) , τότε:

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Γ. Ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού

E1.39 Να συµπληρώστε τα παρακάτω κενά, ε) Αν lim f (x) = −−−−− και f (x) < 0 κοντά στο

ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: x→ x0
α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f : A → ℝ . Το σύ-
νολο τιµών της είναι το σύνολο f (A) = −−−−−− x0 , τότε lim 1 = −∞ .
β) ∆ίνονται οι συναρτήσεις f : A → ℝ και f (x)
g : B → ℝ . Η σύνθεση g f της συνάρτησης f x→ x0
µε την g, ορίζεται όταν το σύνολο f (A) ∩ B εί-
ναι −−−−−−−− . στ) Ισχύει ότι lim αx = +∞ , όταν α ∈ −−−−−−−
γ) ∆ίνεται η συνάρτηση f : A → ℝ η οποία είναι
x→ −∞
1–1. Ισχύει ότι:
και lim logα x = −−−−−−−− , όταν 0 < α <1.
f (f −1(y)) = −−−−−−−− , για κάθε −−−−−−−− και
x→+∞
f −1 (f (x)) = −−−−−−−− , για κάθε −−−−−−−−
E1.41 Να συµπληρώστε τα παρακάτω κενά,
δ) Μια συνάρτηση f : A → ℝ λέγεται συνάρτηση
1–1, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ A ισχύει η ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.
συνεπαγωγή: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η
συνάρτηση g είναι συνεχής στο −−−−−−−− , τότε
αν −−−−−−−− , τότε −−−−−−−−
ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συ- η σύνθεση g f είναι συνεχής στο −−−−−−−− .
ναρτήσεων f και f −1 είναι συµµετρικές ως προς
την ευθεία −−−−−−−− που διχοτοµεί τις γωνίες β) Μια συνάρτηση f θα λέµε ότι είναι συνεχής
−−−−−−−− και −−−−−−−− . στο [α, β] , όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο
του −−−−−−−− και επιπλέον −−−−−−−− και
E1.40 Να συµπληρώστε τα παρακάτω κενά, −−−−−−−− .

ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: γ) Η εικόνα f(∆) του διαστήµατος ∆ µέσω µιας

α) Αν lim f (x0 + h) = ℓ , τότε: συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης είναι
−−−−−−−− .
h→0 δ) Έστω x = s(t) η συνάρτηση θέσης ενός κινη-

lim f (x) = −−−−−−− και τού. Για τη στιγµιαία ταχύτητα υ(t0) τη χρονική
στιγµή t0 , ισχύει υ(t0 ) = −−−−−−−− .
x→ x0 ε) Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] ,

lim (f (x) − ℓ) = −−−−−− όταν είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και επιπλέ-
ον −−−−−−−− και −−−−−−−− .
x→ x0
E1.42 Να συµπληρώσετε τα κενά τις παρακά-
β) Αν lim f (x) < 0 , τότε f(x) −−−−−− κοντά στο
τω προτάσεις:
x→ x0 α) c′ = −−−−− , x′ = −−−−− και ( x )′ = −−−−−−
µε x > 0 .
x0 . β) (x ν )′ = −−−−−−−− , (ηµx)′ = −−−−−−−− και

γ) Αν lim f (x) = +∞ ή −∞ , τότε: (συνx)′ = −−−−−−−−

x→ x0 γ) (ex )′ = −−−− , (ln x)′ = −−−− , (αx )′ = −−−−− ,
όπου 0 < α ≠ 1.
lim 1 = −−−−−−−− δ) (xα )′ = −−−−−−−− ( α ∈ ℝ − ℤ και x > 0 ) και
x→x0 f (x)
(ln x )′ = −−−−−−−− ( x ≠ 0 ).
δ) Αν lim f (x) = 0 και f(x) −−−−−−− κοντά στο

x→ x0

x0 , τότε lim 1 = +∞ .
f (x)
x→ x0

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 35

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

ε) Αν οι f, g είναι παραγωγίσιµες στο x0 , τότε: ∑ζ) Είναι  ν  = −−−−−
lim  (ξ κ )∆x  , όπου
• (f ⋅ g)′ (x0 ) = −−−−−−−− f
ν→ +∞
κ=1

 f ′ ξκ ∈[x κ−1, x κ ] και α = x0 < x1 ... < x ν = β ,
 g 
• (x 0 ) = −−−−−−−− , g(x0) ≠ 0 . ∆x = β − α .
ν

στ) Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο E1.44 Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρα-
x0 είναι η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο
κάτω προτάσεις:
−−−−−−−− , τότε (f g)′ (x0 ) = −−−−−−−− . α) Έστω f συνεχής συνάρτηση. Τότε:

E1.43 ∆ίνεται συνάρτηση f η οποία είναι συ- ∫ ∫α f (x)dx = −−−−−−− , − α f (x)dx = −−−−−−− .
αβ
νεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β).
β) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f (x) ≤ 0 ,
Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να
∫τότε β f (x)dx −−−−−−−− .
προκύψουν αληθείς προτάσεις. α
α) Αν f (α)f (β) −−−−−−−− , τότε υπάρχει
γ) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] , f (x) ≥ 0 για
x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f (x0 ) = 0 . κάθε x ∈[α, β] και η f δεν είναι παντού µηδέν
β) Αν f (α) −−−−−−−− f (β) , τότε υπάρχει στο διάστηµα αυτό, τότε −−−−−−−− .
x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f ′(x0) = 0 . δ) Αν οι συναρτήσεις f, g, f ′, g′ είναι συνεχείς
γ) Η συνάρτηση f παίρνει −−−−−−−− και
−−−−−−−− τιµή. ∫στο [α, β] , τότε β f ′(x)g(x)dx = −−−−−−−− .
α
δ) Αν στο x0 ∈ (α, β) η f παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο, τότε −−−−−−−− ε) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και

ε) Υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε: G µια παράγουσα της f στο [α, β] , τότε:

f (β) − f (α) = −−−−−−−− ∫ β f (x)dx = −−−−−−−−
β − α α

στ) Αν f (x) ≥ 0 , για κάθε x ∈[α, β] , τότε: στ) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε το

∫ β f (x)dx −−−−−−−− εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
α Cf , Cg και τις ευθείες x = α , x = β είναι ίσο
µε E(Ω) = −−−−−−−− .

∆. Προτάσεις Σ – Λ µε αιτιολόγηση

E1.45 Να χαρακτηρίσετε µε Σ (σωστή) ή Λ (λά- E1.47 Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση

θος) την πρόταση ηµx < 1 για κάθε x ∈ ℝ∗ . είναι αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ) και να αιτιολογή-
x
σετε την απάντησή σας.
E1.46 Να εξετάσετε αν ο ισχυρισµός:
Για οποιαδήποτε συνάρτηση f, αν
"Για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ότι:
ηµ2x ≤ x2 • h(x) < f (x) < g(x) κοντά στο x0 και

και η ισότητα ισχύει µόνο για x = 0 " • lim h(x) = lim g(x) = ℓ ,
είναι αληθής ή ψευδής και να αιτιολογήσετε την x→ x0 x→ x0
απάντησή σας.
τότε:

lim f (x) = ℓ

x→ x0

36 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

∆. Προσοµοίωση: Το Θέµα Α

∆ίνουµε στη συνέχεια µερικά θέµατα θεωρίας, όπως µπορούν να δοθούν στις εξετάσεις
στο ΘΕΜΑ Α, κυρίως όµως για να φανούν τα διάφορα είδη ερωτήσεων, ώστε να µη βρεθού-
µε σε καµία περίπτωση προ εκπλήξεων. Ο όγκος των θεµάτων αυτών είναι σχετικά µεγαλύτε-
ρος, από αυτόν που συνηθίζεται στις εξετάσεις, κρίθηκε όµως σκόπιµη αυτή η επιλογή, ώστε
να δοθεί η δυνατότητα να κατακτήσουµε σε βάθος και να κατανοήσουµε καλύτερα το πρώτο
θέµα. Τις σωστές απαντήσεις µπορούµε να τις αναζητήσουµε εύκολα στις επιµέρους ενότητες
αυτού του βιβλίου.

1ο ΘΕΜΑ

Α1. α) Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;
β) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα

διάστηµα ∆;

Α2. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα ∆ µε f ′(x) = 0 , για κάθε εσωτερικό σηµείο
x ∈ ∆ . Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο ∆.

Α3. Να χαρακτηρίσετε µε Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις.

α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0 ,
τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο x0 .

β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού το ℝ και ορίζονται οι συνθέσεις

f g και g f , τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.

γ) Μια συνάρτηση f : A → ℝ είναι 1–1, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνό-

λου τιµών της η εξίσωση f (x) = y έχει ακριβώς µία λύση ως προς x.

δ) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και lim f (x) = 0 , τότε:

x→x0

lim f (x) = 0

x→x0

ε) Αν υπάρχει το lim (f (x) + g(x)) , τότε κατ' ανάγκη υπάρχουν τα lim f (x) και
x→x0 x→x0

lim g(x) .

x→x0

στ) Αν lim f (x) > 0 , τότε f (x) > 0 κοντά στο x0 .

x→x0

ζ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β] , τότε η f παίρ-

νει πάντοτε στο [α, β] µία µέγιστη τιµή.

η) Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σ' ένα ανοικτό διάστηµα

(α, β) , τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β) , όπου

Α = lim f (x) και B = lim f (x) .
x→α+ x→β−

40 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

θ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σ' αυτό,
τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ ∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ ∆ , δηλαδή διατηρεί
πρόσηµο στο ∆.

ι) Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σ' ένα διάστηµα ∆. Αν οι f, g είναι συνεχείς
στο ∆ και f ′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε f (x) = g(x) , για κάθε
x∈∆ .

Α4. Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση µε Σ – Λ και να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.
"Αν η f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆, τότε f ′′(x) > 0 σε

κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆".

Α5. ∆ίνονται οι προτάσεις:
Α. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] .
Β. Υπάρχει ξ ∈ (α, β) , τέτοιο ώστε f ′(ξ) = 0 .
Γ. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) .
∆. f (α) ⋅ f (β) < 0 .
Ε. f (α) = f (β) .

Να επιλέξετε το ελάχιστο πλήθος από τις παραπάνω προτάσεις και να τις διατάξετε µε
τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε οι τρεις από αυτές να αποτελούν τις προϋποθέσεις και η τελευ-
ταία να είναι το συµπέρασµα του θεωρήµατος Rolle.

2ο ΘΕΜΑ

Α1. α) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού

της;

β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 , να γράψετε την εξίσωση της
εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο της A(x0,f (x0 )) .

γ) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Rolle και να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία.

Α2. Αν η f είναι ορισµένη στο διάστηµα ∆, παρουσιάζει στο εσωτερικό σηµείο x0 του ∆
τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιµη στο x0 , να αποδείξετε ότι f ′(x0 ) = 0 . Ισχύει
το αντίστροφο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Α3. Να χαρακτηρίσετε µε Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις.
α) Οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και f −1 είναι συµµετρικές

ως προς την ευθεία y = x που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x′Oy′ .
β) Οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και –f είναι συµµετρικές ως

προς τον άξονα x´x.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 41

ΘΕΩΡΙΑ Ε1

Η Θεωρία συγκεντρωτικά

Α. Οι Ορισµοί

Στην παράγραφο αυτή δίνονται οι πιο σηµαντικοί ορισµοί που µπορούν να ζητηθούν
στις εξετάσεις ως υποερώτηµα στο ΘΕΜΑ Α. Οι απαντήσεις υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. Η
συγκεντρωτική µορφή που παρουσιάζουµε στοχεύει, εκτός των άλλων, στο να δώσει στο µα-
θητή τη δυνατότητα για έλεγχο και καλύτερη εκµάθησή τους, χωρίς την οπτική βοήθεια του
σχολικού βιβλίου ή άλλου µέσου.

1. Τι ονοµάζουµε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα υποσύνολο Α του ℝ ;
2. Τι λέµε σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f : A → ℝ ;

3. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;

4. Αν f, g είναι συναρτήσεις µε πεδία ορισµού Α, Β αντίστοιχα, τι ονοµάζουµε σύνθεση της
f µε την g; Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της g f ;

5. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διά-
στηµα ∆;
6. α) Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A λέµε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈ A ολικό
µέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο;

β) Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α παρουσιάζει στο x0 ∈ A τοπικό µέγιστο
και πότε τοπικό ελάχιστο;

7. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A λέγεται 1–1;

8. α) Τι ονοµάζεται ακολουθία;
β) Πότε λέµε ότι η ακολουθία (αν ) έχει όριο ℓ ∈ ℝ ;

9. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της και πότε
συνεχής;

46 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε1 ΘΕΩΡΙΑ

Β. Τα Θεωρήµατα µε απόδειξη

Θεώρηµα 1ο
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και C ′ των συναρτήσεων f και f −1 είναι

συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x′Oy′ , όπου

f : A → ℝ είναι 1–1 συνάρτηση.

Θεώρηµα 2ο

α) Αν P(x) = ανx ν + αν-1x ν-1 + ... + α1x + α0 είναι πολυώνυµο και x0 ∈ ℝ , να αποδει-

χθεί ότι lim P(x) = P(x0 ) .

x→x0

β) Αν f (x) = P(x) , είναι ρητή συνάρτηση όπου P(x), Q(x) πολυώνυµα του x και
Q(x)

x0 ∈ℝ µε Q(x0 ) ≠ 0 , τότε lim P(x) = P(x0 ) .
x→x0 Q(x) Q(x0 )

Θεώρηµα 3ο
Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α, β], f (α) ≠ f (β) και n ένας αριθµός ανάµεσα στα

f(α), f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε f (x0 ) = η .

Θεώρηµα 4ο
Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0 , να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής

στο σηµείο αυτό. Ισχύει το αντίστροφο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Θεώρηµα 5ο

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο x0 , να αποδείξετε ότι:
(f + g)′(x0 ) = f ′(x0 ) + g′(x0 )

Θεώρηµα 6ο ii) x′ = 1 , iii) (x ν )′ = νx ν−1 , ν ∈ ℕ − {0, 1} .

Να αποδείξετε ότι:
i) c′ = 0 ,

Θεώρηµα 7ο ii) (εφx)′ = 1 , iii) (σφx)′ = − 1 .
συν2x ηµ2x
Να αποδείξετε ότι:
i) ( x )′ = 1 , για κάθε x > 0 ,

2x

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 49

ΘΕΜΑΤΑ Ε2

Θέµατα για εξάσκηση

Ενότητα 2

Θέµατα στη µελέτη – γραφική παράσταση

2.1 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x x 1 .
2+

α) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της.

β) Να αποδείξετε ότι η Cf έχει τρία σηµεία καµπής, δύο από τα οποία είναι συµµε-
τρικά ως προς το τρίτο.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάµεσα στη Cf και

την ευθεία y = 1 x .
2

ε) Να λύσετε την εξίσωση εφx = ηµ2x +1 , x ∈  0, π  .
συν2x +1 3

2.2 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 − 9x .
x2 −1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f, την f ′(x) και την f ′′(x) .

β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

δ) Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης:
x3 − αx2 − 9x + α = 0

για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α ∈ ℝ .

2.3 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =  x2 − 2x +1, x <1
 .
 x2 − 4x + 3, x ≥ 1

α) Να µελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια και να βρείτε την f ′(x) .

β) Να βρείτε τα κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα [0, 2] .

γ) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα A = ∫ 2 f (x)dx .
0

52 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ Ε3

Ενότητα 3

Θέµατα µε χρήση των ορισµών

3.1 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =  x2 + ηµx, x>0
 x≤0.
 x,

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.

β) Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 0.
γ) Να βρείτε την f ′(x) .
δ) Να βρείτε την f ′′(x) .

ε) Να υπολογίσετε τα όρια: ii) lim  f (x)ηµ f 1  .
i) lim f (x) ,  (x) 
x→ +∞
x→ +∞

3.2 f (x) =  x2 + x + α2, x < 0 α∈ℝ
∆ίνεται η συνάρτηση  x ≥ 0 , .
 x3 + αx + 1,

α) Αν η f είναι συνεχής στο x0 = 0 , να αποδείξετε ότι α = 1 ή α = −1 .
β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0 , να αποδείξετε ότι α = 1.
γ) Για α = 1, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο της

Α(0, f(0)).

δ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i) lim  f ( x) ⋅ ηµ f 1 )  ii) lim  f 1 ⋅ ηµx  .
 (x   (x) 
x→+∞ x→+∞

3.3 ∆ίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ , η οποία είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 1 και ισχύει

f ′(1) = 2 = f (1) .

α) Να υπολογίσετε τα όρια:

i) lim f (x) − 2 , ii) lim f (x) − 2x2 .
x −1 xf (x) − 2
x→1 x→1

β) Να υπολογίσετε τα όρια: ii) lim f (1+ h) − f (1− h) .
i) lim f (1+ h) − 2 , h→0 h
h→0 h

γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Μ(1, f(1)).

3.4 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν:

60 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε4 ΘΕΜΑΤΑ

Ενότητα 4

Θέµατα στην εφαπτοµένη

4.1 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 , x ∈ ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
β) Να βρείτε την εφαπτοµένη (ε) της Cf στο σηµείο A(1, f (1)) .
γ) Να αποδείξετε ότι η (ε) επανατέµνει τη Cf σ' ένα σηµείο Β, στο οποίο η κλίση

της f είναι τετραπλάσια από εκείνη στο σηµείο Α.

δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στην εφαπτοµένη (ε) και
τη Cf .
ε) Να υπολογίσετε το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στη Cf και τη Cg όπου
g(x) = 2x − x2 .

 1 f ( x)
1 (x) 
στ) Να υπολογίσετε το όριο A = lim + f .

x→+∞

4.2 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ex−α − x2 + 2 .

α) Να αποδείξετε ότι η Cf έχει για κάθε τιµή του α ∈ ℝ ακριβώς ένα σηµείο κα-
µπής που βρίσκεται στην παραβολή C: y = −x 2 + 4 .

β) Η παραβολή C: y = −x 2 + 4 τέµνει τον άξονα x′x στα σηµεία Α, Β.

i) Να βρείτε τις εφαπτοµένες της παραβολής στα σηµεία Α, Β.

ii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάµεσα στις παρα-

πάνω εφαπτοµένες και την παραβολή C.

γ) Να υπολογίσετε:

∫i) το ολοκλήρωµα I(α) = α ii) το όριο Α = lim I(α) .

f (x)dx ,
0 α→−∞

4.3 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x2 και g(x) = 1 + 1 .

2x 2

α) i) Να βρείτε το κοινό τους σηµείο Ν.

ii) Να βρείτε για ποια x η Cf βρίσκεται πάνω από την Cg .

iii) Να αποδείξετε ότι στο κοινό τους σηµείο Ν οι εφαπτοµένες των Cf και Cg

είναι κάθετες.

β) Να αποδείξετε ότι από τα σηµεία της ευθείας y=−1 άγονται προς την Cf κά-
4

θετες εφαπτοµένες.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 65

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ε5

Ενότητα 5

Προβλήµατα

A. Προβλήµατα στο ρυθµό µεταβολής

5.1 ∆ίνεται ένας κύβος πλευράς α, επιφανείας Ε και όγκου V.

α) Η πλευρά α αυξάνεται µε ρυθµό α′(t) = 2cm / s . Τη χρονική στιγµή t = t0 είναι
α(t0 ) = 3 cm , να βρείτε το ρυθµό µεταβολής

i) της επιφάνειας Ε του κύβου,
ii) του όγκου V του κύβου.
β) Αν ο όγκος V του κύβου αυξάνεται µε ρυθµό 7 cm3 / s , να βρείτε:
i) τον ρυθµό µεταβολής της πλευράς του κύβου ως προς τον χρόνο,
ii) τον ρυθµό µεταβολής της επιφάνειας του κύβου ως προς τον χρόνο,
iii) τον ρυθµό µε τον οποίο µεταβάλλεται η επιφάνεια του κύβου, τη χρονική
στιγµή t = t0 κατά την οποία είναι V(t0 ) = 8 cm3 .

5.2 ∆ίνεται ένα σφαιρικό µπαλόνι µε επιφάνεια Ε και όγκο V.

α) Η ακτίνα του µπαλονιού αυξάνεται µε ρυθµό 1 cm/s και τη χρονική στιγµή t = t0
και ίση µε 3 cm. Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής:

i) της επιφάνειας Ε,
ii) του όγκου V του µπαλονιού.
β) Η επιφάνεια του µπαλονιού αυξάνεται µε ρυθµό 16π cm2 / s . Τη χρονική στιγµή
t = t0 η επιφάνεια είναι ίση µε 16π cm2 / s . Να βρείτε:
i) την ακτίνα του µπαλονιού,
ii) τον ρυθµό µεταβολής της ακτίνας,
iii) τον ρυθµό µεταβολής του όγκου.
γ) Ο όγκος του µπαλονιού αυξάνεται µε ρυθµό 48π cm3 / s . Τη χρονική στιγµή
t = t0 ο όγκος είναι ίσος µε 36π cm3 / s . Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής:
i) της ακτίνας,
ii) της επιφάνειας του µπαλονιού.

74 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

5.3 Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε AB = AΓ = 10 και

Bˆ = Γˆ = φˆ . Η πλευρά ΒΓ = x αυξάνεται µε ρυθµό

2 3 cm / s .

α) Να υπολογίσετε τα όρια:

K = lim ΑΒ , Λ = lim ΑΒ ,
φ→ π υ φ→0 ΒΓ

2

M = lim Α∆ .
φ→0 ΒΓ

β) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) = 1 x2εφφ .
4

γ) Τη χρονική στιγµή t = t0 , το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. να βρείτε τον ρυθµό
µεταβολής:

i) της γωνίας φ, ii) του εµβαδού E = (ABΓ) .

5.4 Μια σκάλα ΑΒ µε µήκος 10 m είναι στερεωµένη

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το κάτω άκρο

Α αποµακρύνεται από το σηµείο Ο µε ταχύτητα
4 m/s. Τη χρονική στιγµή t = t0 το Β απέχει από
το σηµείο Ο 8 m.

α) Να βρείτε µια σχέση που να δίνει το y ως συ-

νάρτηση του x και στη συνέχεια να βρείτε το
x(t0) .

β) Να βρείτε την ταχύτητα µε την οποία το Β πλησιάζει το σηµείο Ο τη χρονική
στιγµή t = t0 .

γ) Να εκφράσετε το εµβαδόν Ε του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του x.

δ) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού Ε ως προς:

i) x, ii) t.
ε) Να βρείτε το E′(t0 ) .
στ) Αν OAˆ B = φ , να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της γωνίας φ τη χρονική στιγµή
t = t0 .

ζ) Να βρείτε για ποια τιµή του x, το εµβαδόν E(x) είναι το µέγιστο δυνατό.

5.5 ∆ίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x3 − 2x + 3 κι ένα σηµείο της

M(x, y) το οποίο κινείται στη Cf , ώστε η τετµηµένη του να αυξάνει µε ρυθµό
2 cm / s . Τη χρονική στιγµή t = t0 η εφαπτοµένη Cf στο Μ είναι παράλληλη στην
ευθεία y = x + 2018 , να βρείτε:

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 75

Ε5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Β. Προβλήµατα ακροτάτων

5.14 Το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ έχει διαστάσεις x και y.

α) Το εµβαδόν του είναι 900 m2 .

i) Να αποδείξετε ότι η περίµετρός του δίνε-
ται από τη σχέση Π(x) = 1800 + 2x ,
x
x > 0.

ii) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνί-
ου, ώστε η περίµετρός του να είναι η ελάχιστη δυνατή.

β) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι ίση µε 120 m.
i) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του δίνεται από τη σχέση E(x) = 60x − x2 ,
0 < x < 60 .
ii) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου, ώστε το εµβαδόν του να είναι το
µέγιστο δυνατό.

5.15 Ένας αγρότης θέλει να φράξει τις τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου χωραφιού εµβα-

δού 800 m2 , το οποίο από τη µία πλευρά συνορεύει µε ένα ποτάµι.

α) Να κατασκευάσετε µια συνάρτηση η οποία να δίνει την περίµετρο του χωραφιού
που πρόκειται να φραχτεί.
β) Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χωραφιού, ώστε τα έξοδα περίφραξης να
είναι ελάχιστα; Πόσο είναι στην περίπτωση αυτή το συνολικό µήκος της περίφρα-
ξης;

5.16 Ένας εκδότης θέλει σε κάθε σελίδα του νέου βιβλίου Μαθηµατικών που εκδίδει, το

κείµενο να καλύπτει συνολικά 360 cm2 . Τα περιθώρια

της σελίδας θέλει να είναι 5 cm επάνω και κάτω και
2 cm δεξιά και αριστερά. Να βρείτε:
α) τις διαστάσεις της σελίδας ως συνάρτηση των δια-
στάσεων του κειµένου,
β) µια συνάρτηση η οποία να δίνει την επιφάνεια της
σελίδας ως συνάρτηση του πλάτους του κειµένου.
γ) ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της σελίδας έτσι,
ώστε αυτή να έχει την ελάχιστη επιφάνεια.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 81

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ε5

Γ. Προβλήµατα µε διαγράµµατα
5.26 Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) lim f (x) β) lim f (x) γ) lim f (x)

x→+∞ x→ −∞ x→3

δ) lim f (x) ε) lim 1 ζ) lim 1
x→+∞ f (x) x→0 f (x)
x→5

η) lim  f 1 ηµx  θ) lim (ln f (x)) ι) lim  f ( x)ηµ f 1 ) 
 (x)  x→+∞  (x 
x→+∞ x→+∞

κ) lim ef (x) λ) lim 4f 3(x) − 2f (x) +1
2f 2 (x) +1
x→0 x→ −∞

( )µ) lim f 2(x) − f (x) +1 − f (x) ν) lim 1
x→+∞ x→5 f (x)

5.27 Στο επόµενο σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f.

86 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε6 ΘΕΜΑΤΑ

Ενότητα 6

Θέµατα στην εύρεση συνάρτησης

6.1 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [−1, 1] → ℝ για την οποία ισχύουν:

• f 2 (x) + x 2 = 1 , για κάθε x ∈[−1, 1] . • f (0) = 1 .

α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσηµο στο (−1, 1) .

β) Να αποδείξετε ότι f (x) = 1− x2 , x ∈[−1, 1] .

γ) Να υπολογίσετε το όριο lim 1− f (x) .
x2
x→0

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

∫ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I = 1

−1 f (x)dx .

6.2 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [−2, 2] → ℝ για την οποία ισχύουν:

• f 2 (x) = 4 − x2 , για κάθε x ∈[−2, 2] . • f (0) = 2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα (−2, 2) .

β) Να αποδείξετε ότι f (x) = 4 − x2 , x ∈[−2, 2] .

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f και να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα

∫ ∫Ι = 2 2 4 − x2 dx .
−2 4 − x 2 dx και J = 0

6.3 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν:

• f 2(x) = x2 , x ∈ ℝ .
• f (−1) = −1 και f (1) = 1 .
α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα (−∞, 0)
και (0, + ∞) .
β) Να αποδείξετε ότι f (x) = x , x ∈ ℝ .

γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i) lim  f ( x)ηµ f 1  , ii) lim ( )f 2 (x) + f (x) +1 − f (x) ,
 (x)  x→+∞
x→+∞
( )iv) lim f (x)e−f (x) .
iii) lim (f (x))f (x) , x→+∞
x→0+

6.4 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f 2 (x) = x2 +1 , για

κάθε x ∈ ℝ .

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 93

Ε7 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ενότητα 7

Γενικά Θέµατα

1ος κύκλος

Στον 1ο κύκλο συµπεριλαµβάνονται θέµατα πάντοτε βασισµένα σε ασκήσεις ή ιδέες του
σχολικού βιβλίου, µεσαίου επιπέδου.

7.1 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = (x −1)ηµx .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σηµείο M(x0, f (x0 )) µε x0 ∈ (0, 1) στο οποίο η
εφαπτοµένη της Cf είναι παράλληλη στον άξονα x′x.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εφx = 1− x , έχει µία, τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό

διάστηµα (0, 1).
γ) Να αποδείξετε ότι f ′′(x) + f (x) = 2συνx .

δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο A  π , f  π   .
2 2

7.2 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = ln x και g(x) = 1 .

x

α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρ-
τησης h(x) = ln x − 1 .

x

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν µοναδικό κοινό ση-

µείο.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ex + f (x) = 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο
x −1 x−2

(1, 2).

( )δ) Να υπολογίσετε τα όρια: i) A = lim f (1+ 2x ) − f (1+ 3x ) ,
x→+∞

ii) Β = lim (f (3x + 2x ) − x) ,
x→+∞

iii) Γ = lim x −1 .
f (x)f (ex )
x→0

7.3 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = ηµx − συνx , x ∈ ℝ .

α) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 µε x ∈[0, 2π] .

β) Να βρείτε το πρόσηµο της f στο διάστηµα [0, 2π].

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 101

Ε7 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

2ος κύκλος

Στον κύκλο αυτό περιέχονται θέµατα αυξηµένης δυσκολίας και αφορούν τον υποψήφιο
των σχολών µε υψηλότερη σχετικά βαθµολογία. Κάποια από τα θέµατα αποτελούν εµπλουτι-
σµό ασκήσεων ή προβληµάτων του σχολικού βιβλίου. Τα θέµατα αυτά µπορούν να γίνουν
στην τάξη ή να δοθούν ως εργασία.

7.31 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x2 − x +1 και g(x) = 1 .

x
α) Να αποδείξετε ότι οι Cf , Cg έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφα-

πτοµένες τους είναι κάθετες.
β) Να εξετάσετε αν η g αντιστρέφεται και αν ναι, να ορίσετε την g−1 . Είναι
g = g−1 ;

γ) Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων
f, g και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg ,
x′x , y′y και x = e .
δ) Η εφαπτοµένη της Cg σε τυχαίο σηµείο της Μ τέµνει τους άξονες x′x , y′y στα
σηµεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι MA = MB και ότι το εµβαδόν του τριγώνου
ΟΑΒ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων, δεν εξαρτάται από τη θέση του σηµείου Μ,
είναι δηλαδή σταθερό.

7.32 ∆ίνεται η συνάρτηση f (t) = συν(2πt) , t ∈ ℝ και G µια αρχική της συνάρτησης

g(t) = ef (t) , t ∈ ℝ .

α) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα στο διάστηµα
∆ = [−1, 1] .

β) Να αποδείξετε ότι το T = 1 είναι περίοδος της f και να βρείτε το σύνολο τιµών
της.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = G(x +1) − G(x) , µε x ∈ ℝ είναι σταθε-

ρή.
δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που σχηµατίζουν η Cf , ο άξονας x′x
και οι ευθείες t = 0 και t = 1 .

2

∫ε) Να υπολογίστε το ολοκλήρωµα I = 1 exf (x)dx .
0

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 111

Ε8 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

Ενότητα 8

Α. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΝΕΑ ΤΑΣΗ

Όπως έχει φανεί στις εξετάσεις των τριών τουλάχιστον τελευταίων ετών, έχει συζητηθεί
σε κεντρικό επίπεδο και έχει αποφασιστεί αλλαγή στο πνεύµα των θεµάτων. Αυτό δε ση-
µαίνει σε καµία περίπτωση ότι αλλάζει ο όγκος ή η δυσκολία των θεµάτων, αλλά το περιε-
χόµενο και η πηγή τους. Μέχρι το 2014 τα θέµατα λύνονταν µεν µε τις θεωρητικές γνώσεις
που αποκτούσε ο µαθητής µε τη µελέτη του σχολικού του βιβλίου, τα θέµατα όµως δεν
είχαν – πλην ελάχιστων εξαιρέσεων – σχέση µε ασκήσεις που προέρχονταν από αυτό αλλά
αντλούσαν τις βασικές τους ιδέες από ασκήσεις που διδάσκονταν στους εξωσχολικούς κύ-
κλους και περιέχονταν κατά βάση σε – εξαιρετικά πρέπει να πούµε – παράλληλα µαθηµα-
τικά βιβλία, γνωστά µε τον αδόκιµο όρο βοηθήµατα. Από το 2015 άρχισε σταδιακά µια
στροφή των θεµάτων που χαρακτηρίζεται από τα εξής:

♦ Τα θέµατα και οι περισσότερες ιδέες τους, ακόµα και αυτούσια ερωτήµατα, προέρχο-
νται από το σχολικό βιβλίο. Επιλέγονται ασκήσεις από τις επιµέρους ενότητες ή από τις
γενικές, συνδέονται µεταξύ τους, εµπλουτίζονται µε νέα ερωτήµατα και στη µορφή αυτή
δίνονται προς λύση στους υποψήφιους.

♦ Στα θέµατα δεν παρουσιάστηκαν τα κλασικά ερωτήµατα εύρεσης συνάρτησης, µέσα
από σχέσεις που περιέχουν παράγωγο ή ολοκλήρωµα. Ωστόσο έχουν τεθεί αντίστοιχα ερω-
τήµατα από τη συνέχεια και µάλιστα στην εύρεση συνάρτησης ορισµένης σε διάστηµα, στο
οποίο η συνάρτηση έχει και σηµείο µηδενισµού. Τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν στο σχολικό
εγχειρίδιο και περιέχονται σε όλα σχεδόν τα βιβλία, είχαν όµως αποφευχθεί στο παρελθόν.
Ασκήσεις ωστόσο που ανήκουν στην ευρύτερη ενότητα των συνεπειών του Θεωρήµατος
Μέσης Τιµής έχουν πάντα εξαιρετικό ενδιαφέρον και µε ένα κατάλληλο υποερώτηµα ως
εφαλτήριο µπορούν να παρουσιαστούν πάντα στις εξετάσεις, χωρίς αυτό να σηµαίνει "α-
ντιµεταρρύθµιση", δηλαδή επιστροφή στην παλιά θεµατογραφία.

♦ Στα έτη 2016 – 2018 έλλειπαν από τις εξετάσεις του Ιουνίου τα υπαρξιακά ερωτήµα-
τα, ερωτήµατα δηλαδή που αφορούν στα θεωρήµατα Bolzano, Rolle, Μέσης Τιµής κλπ.
Αυτό σίγουρα δεν είναι τυχαίο, ίσως όµως να µη γίνει κανόνας, καθόσον τέτοια ερωτήµα-
τα, ικανοποιητικού επιπέδου, περιέχονται και στο σχολικό βιβλίο.

♦ Τέλος, αυτό που παρατηρήθηκε ήταν η απουσία "σκληρών" θεωρητικών θεµάτων και
η προτίµηση ασκήσεων "χτισµένων" πάνω σε γνωστούς τύπους συναρτήσεων. Για δύο
συνεχόµενα χρόνια ζητήθηκε η χάραξη γραφικής παράστασης, κάτι που ήταν ένα αρνητικό
στοιχείο των εξετάσεων στα παλιότερα έτη. Είναι πολύ πιθανόν να µη δούµε και στο µέλ-
λον δύσκολα θεωρητικά θέµατα, όµως δεν πρέπει να τα απορρίψει κανείς από την προετοι-
µασία των µαθητών του, διότι έχουν πάντα ενδιαφέρον στην Ελληνική µαθηµατική κοινό-

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 127

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε8

τητα. Το 4ο θέµα µπορεί κάλλιστα να είναι συνδυαστική υπολογιστική ή θεωρητική άσκη-
ση ή πρόβληµα και έτσι προτείνεται η λογική σε πλήθος, έκταση και δυσκολία εξάσκηση
των µαθητών σε τέτοια θέµατα.

∆εν είναι καθόλου απίθανο στις εξετάσεις να προτιµηθεί η εξής δοµή:
– Τέταρτο θέµα: θεωρητική άσκηση ή πρόβληµα.
– Τρίτο θέµα: υπολογιστική άσκηση µε προεκτάσεις και ειδικές δεξιότητες.
– ∆εύτερο θέµα: µία ή δύο ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο, συνδυασµένες και ε-

µπλουτισµένες έντεχνα και µετουσιωµένες σε προσιτό για τους µαθητές θέµα, που
θα εξετάζει βασικές γνώσεις, κοντά στο επίπεδο του καθηµερινού σχολικού µαθή-
µατος και µάλιστα τµήµατα της ύλης που δεν αξιολογήθηκαν µε τα ερωτήµατα των
άλλων θεµάτων.
Από τη σκοπιά αυτή θα πρέπει να διδαχθούν λοιπόν και κατάλληλα θεωρητικά θέµατα,
µε µέτρο ωστόσο, που δείχνουν τον τρόπο εφαρµογής των θεωρηµάτων ή τη σηµασία τους
στην απόκτηση καλής µαθηµατικής παιδείας για όσους επιθυµούν υψηλής στάθµης σπουδές.

Β. Η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ

Ένα από τα δυσκολότερα πράγµατα που αντιµετωπίζουµε ως εκπαιδευτικοί και µάλιστα
τη µέρα που τελειώνει η διδασκαλία και της τελευταίας ενότητας, ας πούµε ο υπολογισµός
εµβαδού χωρίου, είναι το πώς θα οργανώσουµε την επανάληψη στο διάστηµα που ακολου-
θεί. Όσο και να φαίνεται σε µας µικρή η εξεταστέα ύλη, ο µαθητής έχει να αντιµετωπίσει
έναν τεράστιο όγκο ορισµών, θεωρηµάτων, προτάσεων, ασκήσεων και τεχνικών. Μπροστά
σε αυτό το βουνό ύλης και απαιτήσεων, όχι µόνο ο µέσος αλλά και ο άριστος µαθητής νιώ-
θει αγωνία και εµφανίζει τα πρώτα σηµάδια άγχους.

Η µεγαλύτερη βοήθεια που µπορεί να δώσει ο διδάσκων και εποµένως η σηµαντικότε-
ρη συµβολή του στην επιτυχία του µαθητή συνίσταται στο να βάλει στην περίοδο των επα-
ναληπτικών µαθηµάτων σε τάξη την εξεταστέα ύλη, να του δείξει πώς θα µελετήσει σωστά
τη θεωρία, πώς θα εµβαθύνει περισσότερο στις έννοιες, ποιες ασκήσεις θα λύσει για δεύτε-
ρη φορά αλλά και να δει όλα αυτά από µια διαφορετική σκοπιά, ώστε χωρίς να µειωθεί το
ενδιαφέρον του, να τον κάνει να αποκτήσει σιγουριά και εµπιστοσύνη στις δυνάµεις του.

Μια καλή και δοκιµασµένη πορεία, ανεξάρτητα από τον τρόπο που ο µαθητής διδάχθη-
κε πρώτη φορά την ύλη, µε ή χωρίς ενδιάµεσες επαναλήψεις, είναι η εξής:

Β1. Στους µαθητές υποδεικνύουµε ποια είναι η θεωρία και πώς θα τη διαβάσουν µε λε-
πτοµέρεια, χωρίς να παραλείψουν ορισµούς, προτάσεις, σχόλια ή αποδείξεις. Πρέπει λοι-
πόν να µάθουν να διατυπώνουν µε ακρίβεια τους ορισµούς, τα θεωρήµατα (υποθέσεις και
συµπέρασµα) και να αποδεικνύουν εκείνα από αυτά που µπορούν να ζητηθούν µε απόδειξη
στο θέµα Α. Για το σκοπό αυτό ο µαθητής µπορεί να χρησιµοποιεί συνέχεια τον οδηγό
επανάληψης (το βιβλίο που συνοδεύει το παρόν τεύχος) που είναι σχεδιασµένος για αυτόν
ακριβώς το λόγο.

128 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε9

Ενότητα 9

∆ΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Ας υποθέσουµε ότι δέκα µέρες πριν τις εξετάσεις ο συνάδελφος κύριος Χ (θεµατοδό-
της) δέχεται εµπιστευτικό τηλεφώνηµα από το αρµόδιο για τις εξετάσεις τµήµα του Υ-
πουργείου για να συµµετάσχει ως εισηγητής στην Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων (ΚΕΕ).
Τι είναι αυτά που θα απασχολήσουν τον κύριο Χ από την πρώτη στιγµή, όταν µάλιστα συ-
νειδητοποιεί το µέγεθος της ευθύνης που αναλαµβάνει; Ο κύριος Χ δεν επιλέχθηκε τυχαία,
είναι εξαιρετικός µαθηµατικός, διδάσκει πάνω από 15 χρόνια σε Λύκειο και ξέρει πολύ
καλά ότι µε τις επιλογές και αυτά που θα προτείνει θα συνεισφέρει στην καλή αξιολόγηση
αλλά και την κατανοµή των υποψήφιων σε µια σωστή κλίµακα βαθµολογίας, ανάλογα µε
το επίπεδο προετοιµασίας και µε τους στόχους του κάθε µαθητή. Ποια είναι λοιπόν τα ση-
µαντικότερα ζητήµατα που έχει να αντιµετωπίσει;

Α. Η αναζήτηση των σχετικών διατάξεων και της νοµοθεσίας

Όποιος προτείνει θέµατα πρέπει να γνωρίζει καλά όλες τις οδηγίες που αφορούν την ε-
ξεταστέα ύλη, τις οδηγίες διαχείρισης αλλά γενικότερα όλη την κείµενη νοµοθεσία που
αφορά τις εξετάσεις, όπως π.χ. τη δοµή των θεµάτων και το περιεχόµενο του κάθε θέµατος,
αν είναι πχ θεωρία ή γενική άσκηση ή πρόβληµα κ.λπ. Συγχρόνως θα πρέπει να αναζητή-
σει, αν τυχαίνει να µην την έχει, την πιο πρόσφατη έκδοση του σχολικού βιβλίου στα Μα-
θηµατικά Προσανατολισµού αλλά και όλες τις πιθανές ενηµερώσεις από το υπουργείο για
τυπογραφικά λάθη ή άλλες παραλείψεις. Μετά λοιπόν από την απλή αλλά σηµαντική αυτή
έρευνα για έναν έµπειρο καθηγητή, θα συλλέξει στο φάκελό του τα εξής:

– Τις εγκυκλίους για τη δοµή των θεµάτων.
– Τις οδηγίες διαχείρισης της ύλης
– Τις συµπληρωµατικές προτάσεις που µπορεί να χρησιµοποιήσει το µαθητής και οι

οποίες δεν περιέχονται στο σχολικό του βιβλίο ως θεωρία.
– Το σχολικό βιβλίο στην πιο πρόσφατη έκδοσή του και η οποία δεν είναι πάντα αυτή

που διανεµήθηκε στο σχολείο, έστω και αν δεν διαφέρει από την προηγούµενη.

Μέσα λοιπόν στο φάκελο θα είναι µεταξύ άλλων και τα εξής:

Μαθηµατικά
1. Στους υποψήφιους που συµµετέχουν στις πανελλαδικές
εξετάσεις στα Μαθηµατικά Προσανατολισµού δίδονται τέσσερα
(4) θέµατα από την εξεταστέα ύλη, τα οποία µπορούν να αναλύ-
ονται σε υποερωτήµατα.

132 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

Με τα υποερωτήµατα αυτά ελέγχεται η δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστικών στοιχεί-
ων, η γνώση εννοιών και ορολογίας και η ικανότητα εκτέλεσης γνωστών αλγορίθµων, η
ικανότητα του υποψήφιου να αναλύει, να συνθέτει και να επεξεργάζεται δηµιουργικά ένα
δεδοµένο υλικό, καθώς και η ικανότητα επιλογής και εφαρµογής κατάλληλης µεθόδου.

2. Τα τέσσερα θέµατα που δίνονται στους υποψηφίους διαρθρώ-
νονται ως εξής:

α) Το πρώτο θέµα αποτελείται από ερωτήµατα θεωρίας που αφορούν έννοιες, ορι-
σµούς, λήµµατα, προτάσεις, θεωρήµατα και πορίσµατα. Με το θέµα αυτό ελέγχεται η κα-
τανόηση των βασικών εννοιών, των σπουδαιότερων συµπερασµάτων, καθώς και η σηµασία
τους στην οργάνωση µιας λογικής δοµής.

β) Το δεύτερο και το τρίτο θέµα αποτελείται το καθένα από µία άσκηση που απαιτεί
από τον υποψήφιο ικανότητα συνδυασµού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογι-
στικών διαδικασιών. Η κάθε άσκηση µπορεί να αναλύεται σε επιµέρους ερωτήµατα.

γ) Το τέταρτο θέµα αποτελείται από µία άσκηση ή ένα πρόβληµα που η λύση του α-
παιτεί από τον υποψήφιο ικανότητες συνδυασµού και σύνθεσης προηγούµενων γνώσεων,
αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών στη διαδικασία επίλυσης του. Το θέµα αυτό µπορεί
να αναλύεται σε επιµέρους ερωτήµατα, τα οποία βοηθούν τον υποψήφιο στη λύση.

Ο∆ΗΓΙΑ ΣΤΗ ∆ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

"Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως
θεωρία ούτε ως ασκήσεις, μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις
για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων".

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

1. i) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήπο-

τε x1, x2 ∈ ∆ ισχύει η συνεπαγωγή: f (x1) < f (x2 ) ⇒ x1 < x2

ii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆, τότε για οποιαδήποτε

x1, x2 ∈ ∆ ισχύει η συνεπαγωγή: f (x1) < f (x2 ) ⇒ x1 > x2

2. Έστω f , g δύο συναρτήσεις που είναι ορισµένες κοντά στο x0 ∈ ℝ ∪{−∞, +∞} .

i) Αν ισχύουν:

α) f (x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και β) lim f (x) = +∞ ,

x→x0

τότε θα ισχύει και lim g(x) = +∞ .

x→x0

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 133

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

Β. Αναζήτηση θεµάτων

Η αµέσως επόµενη µέριµνα για τον κύριο Χ, χωρίς να αποκλείεται αυτή να είναι και η
πρώτη, είναι να προετοιµάσει τα θέµατα που θα προτείνει στην επιτροπή κατά τη συνεδρί-
ασή της την παραµονή των εξετάσεων. Όπως είναι λογικό θα ετοιµάσει µία ή δύο ασκήσεις
για καθένα από τα θέµατα Β, Γ, ∆. Πιθανόν να µην τον απασχολήσει σε πρώτη φάση το
Θέµα Α, γιατί αυτό προκύπτει συνήθως από ταυτόχρονες προτάσεις όλων των µελών, θα
έχει όµως µαζί του όλα τα θέµατα που τέθηκαν στα τελευταία δέκα χρόνια, ίσως όµως και
όλα και πιθανώς κάποιες ερωτήσεις Σ–Λ ή άλλων ειδών που η κατασκευή τους απαιτεί µια
στοιχειώδη προετοιµασία και επιµέλεια.

Που θα αναζητήσει όµως θέµατα ο συνάδελφος µε τις αναγκαίες προδιαγραφές; Η πρώ-
τη απάντηση είναι να ανοίξει το συρτάρι του και να ανασύρει τα δεκάδες ωραία θέµατα
που έχει συλλέξει ή κατασκευάσει στην πολύχρονη διαδροµή του. Από αυτά, αντλώντας τις
καλύτερες ιδέες, και µε τις δέουσες προσθήκες, αλλαγές και βελτιώσεις µπορεί να επιλέξει
τα καλύτερα και να είναι σχεδόν έτοιµος.

Όµως κάπου µέσα του δεν είναι ικανοποιηµένος. Ποιες είναι οι πηγές αυτών των ασκή-
σεων; Μήπως κάποια από τα θέµατα αυτά τα δίδαξε φέτος ή πέρυσι στο τµήµα του και
είναι γνωστά στην ευρύτερη περιοχή του; Μήπως τα έδωσε και σε συναδέλφους άλλων
τµηµάτων ή σχολείων αλλά δεν το θυµάται; Είναι άλλο πράγµα να ετοιµάσεις θέµατα για
τους µαθητές στο σχολείο σου και εντελώς διαφορετικό θέµατα για τις πανελλαδικές. Σί-
γουρα δεν θέλεις µόλις δούνε τα θέµατα τα άλλη µέλη της επιτροπής να σου πούνε ότι αυτό
µοιάζει µε ένα γνωστό θέµα από τον Ζ συγγραφέα ή µε κάποιο θέµα που δηµοσιεύτηκε
τότε από το τάδε ηλεκτρονικό ή άλλο µέσο. Θέλεις τα θέµατά σου να έχουν φρεσκάδα, να
δείχνουν την αξία σου και να φέρνουν τη σφραγίδα σου.

Για το λόγο αυτό, πιθανόν ο κύριος Χ να µην ανατρέξει καν στο συρτάρι του, αλλά να
προτιµήσει να φτιάξει θέµατα τελείως καινούρια. Ναι, αλλά κάπου πρέπει ίσως να βασι-
στεί. Μια σκέψη είναι να πάρει από το ράφι τα πιο καλά πανεπιστηµιακά ή ξενόγλωσσα ή
παλιά Ελληνικά βιβλία, που έχουν έναν κλασικό χαρακτήρα, να µελετήσει κάποια παρα-
δείγµατα, να λύσει κάποιες ασκήσεις και από όλα αυτά να συνθέσει µε τον δικό του τρόπο
εκείνο το θέµα που πιστεύει ότι θα αξιολογήσει σωστά τους µαθητές. Προσπαθεί να φτιά-
ξει ασκήσεις που να έχουν το δικό του στίγµα, να δείχνουν πρωτότυπες και να µην φανε-
ρώνουν µε την πρώτη µατιά ούτε την προέλευσή τους αλλά ούτε και τον τρόπο λύσης τους.

Ίσως τώρα ο κύριος Χ να νοιώθει πιο ικανοποιηµένος, αλλά πάλι θα ανακύψουν σοβα-
ρά ερωτήµατα όπως πχ τα εξής: είναι τα θέµατα που προέκυψαν στο πνεύµα του σχολικού
µαθήµατος, έχουν γίνει στη σχολική τάξη τουλάχιστον σε ένα βαθµό αντίστοιχα ερωτήµα-
τα, είναι µέσα στις προσδοκίες της µαθηµατικής κοινότητας, είναι όντως πρωτότυπα ή έχει

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 135

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε9

πάρει και κάποιος άλλος τα ίδια βιβλία και έχει φτιάξει ακριβώς ίδια άσκηση; Γιατί µε το
δίκτυο και την εύκολη ανταλλαγή πληροφοριών οι καλές ασκήσεις είναι πια διαθέσιµες σε
όλον τον κόσµο και έτσι ποτέ κανένας δεν µπορεί πια να πει µε σιγουριά ότι "αυτό είναι
δική µου δηµιουργία".

Μένει ένα ακόµα να κάνει ο κύριος Χ και µάλιστα αντιλαµβάνεται µετά από τόσο κόπο
ότι είναι το πρώτο που θα έπρεπε να κάνει: Να ξεκινήσει µε το σχολικό του βιβλίο. Σε έναν
καθηγητή που διδάσκει χρόνια το ίδιο βιβλίο είναι πολύ εύκολο µε µια µατιά να επιλέξει
όλες τις καλές ασκήσεις, αυτές που έχουν δηλαδή διδακτικό χαρακτήρα αλλά και τις παγί-
δες τους, αυτές που διδάχθηκαν όλοι οι µαθητές και δίδαξαν όλοι οι συνάδελφοί του και να
προσπαθήσει εκεί πάνω να χτίσει τις προτάσεις του προς την ΚΕΕ. Αυτό είναι άλλωστε και
η µόνιµη επιθυµία του εκπαιδευτικού κόσµου: τα θέµατα να αντλούνται από τα σχολικά
εγχειρίδια.

Εδώ λοιπόν αρχίζει η κατασκευή των θεµάτων, κάτι που φαίνεται να γίνεται τουλάχι-
στον σε µεγαλύτερο βαθµό τα τελευταία χρόνια, συνέβαινε ωστόσο µερικώς και στο πα-
ρελθόν. Ο θεµατοδότης θα αξιοποιήσει κατά τον καλύτερο τρόπο το σχολικό βιβλίο, ώστε
να απαλλαγεί από το άγχος της καταλληλότητας των θεµάτων ή τις ενοχές ότι µεροληπτεί
υπέρ κάποιων βιβλίων ή σχολείων ή ότι τα θέµατά του είναι εκτός σχολικής πραγµατικότη-
τας.

Ας δεχθούµε λοιπόν και µεις ότι ο συνάδελφος Χ, µέλος της ΚΕΕ, δίκαια, σωστά και
τίµια θα δώσει τον καλύτερο εαυτό του για να ασχοληθεί µε την σύνθεση των θεµάτων που
θα προτείνει και ας τους ευχηθούµε καλή επιτυχία, γνωρίζοντας µε βεβαιότητα ότι θα κάνει
υπεύθυνα και µε ζήλο αυτό για το οποίο το καθήκον τον καλεί. Ο κύριος Χ είναι ένας από
µας και θέλουµε να νοιώσει δικαιωµένος και περήφανος από τη συµµετοχή του σε αυτή
την προσπάθεια. Έχει τη συµπαράστασή µας αλλά και τα συγχαρητήριά µας δεδοµένα από
πριν, γιατί για άλλη µια φορά όλα θα πάνε καλά. Μακάρι να πάνε καλύτερα από κάθε άλλη
φορά.

Γ. Τα θέµατα και οι γνώσεις από τις άλλες τάξεις

Ένα από τα βασικά ερωτήµατα που µας απασχολούνε πάντα στις εξετάσεις είναι αν τα
θέµατα θα απαιτούν σηµαντικές γνώσεις από τα µαθηµατικά των προηγούµενων τάξεων. Η
εύρεση προσήµου, η λύση εξισώσεων κάθε µορφής, κυρίως των πολυωνυµικών, η επίλυση
ανισώσεων κλπ φρεσκάρονται σε µεγάλο βαθµό µέσα από τις ασκήσεις και τα θέµατα της
Γ’ Λυκείου. Η λύση τριγωνοµετρικής εξίσωσης ζητήθηκε στις προηγούµενες εξετάσεις.
Υπάρχουν όµως πολλά ακόµα σηµεία, στα οποία ο µαθητής µπορεί να συναντήσει δυσκο-
λίες: διτετράγωνη ή πολυωνυµική εξίσωση (µε Horner), εξίσωση ή ανίσωση µε ριζικά, εκ-
θετικές, λογαριθµικές και άρρητες εξισώσεις ή ανισώσεις, ιδιότητες των απολύτων τιµών ή

136 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

των ανισοτήτων, στοιχεία από την αναλυτική γεωµετρία, όπως π.χ. απόσταση σηµείων,
απόσταση σηµείου από ευθεία, εµβαδόν τριγώνου ή εξισώσεις κύκλου και άλλων κωνικών,
καθώς και άλλα σηµαντικά πράγµατα που µπορούν να ζητηθούνε έµµεσα. ∆ύσκολα επίσης
µπορεί να χειριστεί κάποιος µαθητής ερωτήµατα που θέλουν γεωµετρικές γνώσεις, όπως
Πυθαγόρειο θεώρηµα, οµοιότητα και εµβαδά. Πριν τις εξετάσεις πρέπει, στο µέτρο του
δυνατού, µέσα από µερικά απλά θέµατα να υπενθυµίσουµε στους µαθητές κάποια από αυτά
τα στοιχεία, χωρίς όµως να τους δηµιουργήσουµε πρόσθετη αγωνία, µια και πολύ πιθανόν
να µην χρειαστεί τίποτα από αυτά πέραν των απαραίτητων.

∆. Η σύνθεση των θεµάτων

Ωραία! Οι θεµατοδότες έχουν τις προτάσεις τους, οι αρµόδιοι υπάλληλοι του Κράτους
έχουν κάνει όσα πρέπει και η επιτροπή αρχίζει τις εργασίες της. Οι παράγοντες θα έχουν
και αυτοί από µε τη µεριά τους µαζέψει όλη τη σχετική νοµοθεσία που θα την θέσουν υπό-
ψη των µελών, θα δώσουν τυχόν άλλες διευκρινήσεις ή οδηγίες, θα έχουν σίγουρα συγκε-
ντρώσει πολλά θέµατα από προσοµοιώσεις, εφηµερίδες ή ηλεκτρονικά µέσα. Είναι πολύ
πιθανόν να προταθεί από το προεδρείο της ΚΕΕ στα µέλη της να αποφευχθούν στο µέτρο
του δυνατού παρόµοια θέµατα. Και λέµε στο µέτρο του δυνατού διότι όλοι οι ορισµοί, όλα
τα θεωρήµατα αλλά και πολλά από τα άλλα είδη ερωτήσεων, σίγουρα κάπου θα έχουν τε-
θεί ως ερωτήµατα. Από την άλλη, ακόµα κι αν η επιτροπή έχει αποφασίσει να κινηθεί κο-
ντά στο σχολικό βιβλίο, σίγουρα θα παρατηρήσει ότι σε πολλές περιπτώσεις πολύ καλά
θέµατα από όσα µπορούν να δηµιουργηθούν από το βιβλίο έχουν ήδη χρησιµοποιηθεί.
Προφανώς, όταν πρόκειται για ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο η ΚΕΕ δεν πρέπει καν να
προβληµατιστεί, γιατί πιθανόν µε τον όγκο παραγωγής θεµάτων ή ασκήσεων που µας δια-
κρίνει ή δεν έχει αποµείνει πια τίποτα νέο και αξιόλογο για χρήση ή η επιτροπή θα προ-
σφύγει σε θέµατα παλαιού τύπου ή –το χειρότερο – στην προσπάθειά της να πρωτοτυπήσει
να περάσει σε κακόγουστα και ασύνδετα µεταξύ τους θέµατα. Όµως η επιτροπή νοµιµο-
ποιείται να αξιοποιήσει όποια άσκηση θέλει από το σχολικό βιβλίο, να συντάξει επιτόπου
όλα τα θέµατα ή να διαµορφώσει τις προτάσεις των µελών, να αγνοήσει κάθε παρόµοιο
θέµα που έχει τεθεί σε κάποιο διαγώνισµα, αλλά να διαφοροποιηθεί στα άλλα ερωτήµατα.
Από κει και πέρα, µετά την πρώτη σύνθεση πρέπει να ληφθούν µέχρι την τελική διαµόρ-
φωση και άλλοι παράγοντες υπόψη, όπως:

– η κλιµάκωση της δυσκολίας των θεµάτων,
– η διασπορά των ερωτηµάτων, ώστε να αξιολογείται αρκετή ύλη,
– η καλή κατανοµή των µονάδων,
– η έντεχνη διατύπωση των ερωτηµάτων ώστε η απώλεια ενός να περιορίζει στο ελά-

χιστο την απώλεια των επόµενων,
– η καλή επιλογή των αριθµητικών δεδοµένων, ώστε ο µαθητής να µην αναλώνεται

σε δύσκολους υπολογισµούς χωρίς µαθηµατικό ενδιαφέρον,

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 137

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε9

– η θέση των δύσκολων ερωτηµάτων και η αποφυγή των θέσεων Γ1, Γ2, ∆1 για αυτό
το σκοπό, εκτός αν είναι θεωρητικά ή αποδεικτικά ερωτήµατα που δεν εµποδίζουν
την ανάπτυξη του υπόλοιπου θέµατος,

– η πηγή των σύνθετων ερωτηµάτων, που δεν προέρχονται από το σχολικό βιβλίο, να
µην είναι µονοµερής και φωτογραφίζει συγκεκριµένα βιβλία, σχολεία ή περιοχές.

Είναι γεγονός ότι η µισή σχεδόν από την εξεταστέα ύλη βασίζεται στην έννοια της µονο-
τονίας, αφού ακόµα και ερωτήσεις πάνω σε εξισώσεις, ανισώσεις, ανισότητες, σύνολο τιµών,
πλήθος ριζών εξίσωσης, αντίστροφη συνάρτηση, µελέτη συνάρτησης, εύρεση προσήµου
κ.λπ. αντιµετωπίζονται συνήθως µε χρήση της µονοτονίας. Η µονοτονία είναι εποµένως η
έννοια που εξετάζεται όσο καµία άλλη, αλλά αυτό δεν είναι αρνητικό. Πώς θα µπορούσε
ίσως να περιοριστεί αυτή η καταιγιστική κυριαρχία της µονοτονίας; Μια λύση, όχι η µοναδι-
κή, είναι να τεθεί ως τέταρτο θέµα πρόβληµα ή θεωρητική άσκηση, χωρίς ωστόσο να απο-
φεύγεται η χρήση της µονοτονίας. Τα θέµατα παίρνουν µια ικανοποιητική µορφή, όταν εκτός
από τα παραπάνω, εξετάζονται και έννοιες όπως η σύνθεση, η αντίστροφη συνάρτηση, τα
όρια, η συνέχεια, η εύρεση εµβαδού χωρίου, οι µέθοδοι ολοκλήρωσης, τα υπαρξιακά θεωρή-
µατα (σε απλή µορφή) και η γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου. Αν µέσα σε αυτά χωρέσει
και ένα ερώτηµα στο ρυθµό µεταβολής ή σε πρόβληµα µεγίστων – ελαχίστων, µάλλον οδεύ-
ουµε προς την ιδανική λύση. Να µην ξεφεύγει όµως και ο παράγοντας "χρόνος" που είναι
κάθε χρόνο το µόνιµο σηµείο παραπόνων και ενστάσεων. Στον υποψήφιο πρέπει να µένει
χρόνος ώστε να αφοσιωθεί και στα πιο δύσκολα ερωτήµατα, ώστε να αναδειχθούν οι άριστοι,
κάτι που πρέπει να είναι µία από τις επιδιώξεις των εξετάσεων.

Ε. Αναζητάµε το θέµα ∆

Το πιο σηµαντικό και δύσκολο µέρος στην κατασκευή ενός διαγωνίσµατος προσοµοίω-
σης, πόσο µάλλον των πανελλαδικών εξετάσεων, είναι η κατασκευή του 4ου και στη συνέχεια
του 3ου θέµατος. Αν πετύχει αυτό το σκέλος, τότε το άλλο πολύ πιο εύκολα µπορεί να συµπλη-
ρωθεί και η εξέταση να είναι επιτυχής. Με το 4ο θέµα θέλουµε κυρίως να ξεχωρίσουν οι άρι-
στοι από τους καλούς και οι καλοί από τους µέτριους. Αυτό βέβαια επιτυγχάνεται συνήθως
και µε το 3ο θέµα, αλλά αν δεχθούµε ότι έχουµε πετύχει κλιµάκωση της δυσκολίας των θεµά-
των ο ρόλος αυτός ανατίθεται στο 4ο. Έτσι µε το θέµα αυτό θα γίνει η κατανοµή των βαθµο-
λογιών ανάµεσα στο 15 έως 20, αφού εκεί µέσα θα κυµανθούν οι µαθητές που διεκδικούνε
τις υψηλόβαθµες σχολές.

Μια σηµαντική παράγραφος στο σχολικό µας βιβλίο είναι η §2.6 που αφορά τις συνέπειες
του ΘΜΤ. Ας δούµε αν µπορούµε να κατασκευάσουµε µια άσκηση στο επίπεδο του 4ου θέµα-
τος µε βάση όσα περιέχει το σχολικό βιβλίο. Ας επιλέξουµε την άσκηση Β1 και ας χτίσουµε
εκεί πάνω ένα θέµα, παίρνοντας για ενίσχυση και την παρατήρηση στη σελίδα 134. Μια πρώ-
τη απόπειρα έδωσε το εξής αποτέλεσµα:

138 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ ∆ (1) – Άσκηση

∆ίνεται η συνάρτηση f : A → ℝ µε A = (0, 1) ∪ (1, + ∞) , lim f (x) = 1 και την ιδιό-
x→1

τητα:

f (x) ln x − f (y ) ln y ≤ (x − y)2 για κάθε x, y ∈ A
x−1 y −1

∆1. Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση g: A→ℝ µε g(x) = f (x)ln x είναι
x−1
g′(x) = 0 για κάθε x ∈ A .

∆2. Να αποδείξετε ότι f (x) = x − 1 , x ∈ A .
ln x

∆3. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της.

∆4. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1, αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισµού
της f −1 .

∆5. Να αποδείξετε ότι αν F είναι µια αρχική της f στο διάστηµα ∆2 = (1, +∞) , τότε:

F(3) − F(2) < F(4) − F(3)

Συµπληρωµατικά ερωτήµατα:

∆6. Αν η συνάρτηση f −1 είναι συνεχής, να βρείτε το όριο A = lim f −1(x) .

x→ +∞

∆7. Να βρείτε το όριο B = lim (F(x + 1) − F(x)) , όπου F είναι µια αρχική της f στο

x→ +∞

διάστηµα ∆2 = (1, + ∞) .

Υπόδειξη

Για να µπορεί να αξιολογηθεί γρήγορα το περιεχόµενο του θέµατος αυτού, δίνουµε σύ-

ντοµα τις απαντήσεις και κάποια σχόλια.
∆1. Από την υπόθεση για x ≠ y έχουµε:

| g(x) − g(y) | ≤ | x − y |2 ⇔ g(x) − g(y) ≤ |x −y| ⇔
x−y

⇔ − | x − y | ≤ g(x) − g(y) ≤ | x − y |
x − y

Αυτή παίρνοντας το όριο για x → y δίνει µε βάση το κριτήριο παρεµβολής ότι
g′(y) = 0 , δηλαδή g′(x) = 0 για κάθε x ∈ A . Oι µαθητές πιθανόν να θέσουν y = x0 , κάτι

που για αυτούς είναι πιο εύκολο για να οδηγηθούνε σε παράγωγο.
∆2. Από το ερώτηµα ∆1 έχουµε ότι g′(x) = 0 για κάθε x ∈ A , οπότε:

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 139

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε9

g(x) = c1, x ∈ ∆1 = (0, 1)
c2 , x ∈ ∆2 = (1, + ∞)

Αλλά lim f (x) = 1 , οπότε µε χρήση πλευρικών ορίων στο x =1 παίρνουµε c1 = c2 =1.

x→1

Για παράδειγµα, για x >1 είναι: g(x) = c1 ⇔ f (x)ln x = c1 ⇔ f (x) = c1(x −1) .
x −1 ln x

Εποµένως: lim f (x) = lim c1(x −1) = c1 lim x −1 = c1 ,
ln x ln x
x→1+ x→1+ x→1+

από τον κανόνα de L’Hospital. Η τελευταία σχέση δίνει c1 = 1 . Όµοια εργαζόµαστε και για

την άλλη σταθερά.
∆3. Με δεδοµένο πια ότι f (x) = x −1 παίρ-
ln x

νουµε:

f ′(x) =  x −1 ′ = x ln x − x +1 = h(x)
ln x x ln2 x x ln2 x

Με µελέτη της συνάρτησης h(x) = ln x − x +1

βρίσκουµε το πρόσηµο της h και έτσι τη µονοτο-

νία της f. Τελικά η f είναι γνησίως αύξουσα και

στο ∆1 = (0, 1) και στο ∆2 = (1, + ∞) .

Για το σύνολο τιµών, µια και η συνάρτηση

είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στα ∆1, ∆2 βρίσκουµε ότι:
f (A) = f (∆1) ∪ f (∆2 ) = Α

∆4. Θα εργαστούµε µε τον ορισµό. Έστω x1, x2 ∈ A µε x1 ≠ x2 . Θα αποδείξουµε ότι
f (x1) ≠ f (x2 ) .

♦ Αν x1, x2 ∈ ∆1 = (0,1) , τότε f (x1) ≠ f (x2 ) , αφού η f ως γνησίως µονότονη στο
∆1 = (0, 1) είναι και 1–1 στο ∆1 .

♦ Αν x1, x2 ∈ ∆2 = (1, + ∞) , τότε f (x1) ≠ f (x2 ) , αφού η f ως γνησίως µονότονη στο
∆2 = (1, + ∞) είναι και 1–1 στο ∆2 .

♦ Αν x1 ∈ ∆1, x2 ∈ ∆2 , τότε f (x1) ∈ f (∆1), f (x2 ) ∈ f (∆2 ) και αφού
f (∆1) ∩ f (∆2 ) = (0, 1) ∩ (1, + ∞) = ∅ , θα είναι αναγκαστικά f (x1) ≠ f (x2 ) .

Το πεδίο ορισµού της f −1 είναι το f (A) = f (∆1) ∪ f (∆2 ) = (0,1) ∪ (1, +∞) = A .
∆5. Είναι F′(x) = f (x) για κάθε x ∈ (1, + ∞) . Αλλά η f είναι γνησίως αύξουσα στο

∆2 , οπότε η F′ είναι επίσης γνησίως αύξουσα. Συνεπώς η F είναι κυρτή. Σύµφωνα µε το

ΘΜΤ υπάρχουν:

ξ1 ∈ (2, 3) : F′(ξ1) = F(3) − F(2) και
3−2

ξ2 ∈ (3, 4) : F′(ξ2 ) = F(4) − F(3)
4−3

140 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

Αλλά η F′ είναι γνησίως αύξουσα και έτσι παίρνουµε τη ζητούµενη σχέση.
Είναι φανερό ότι η ζητούµενη σχέση παίρνει την πιο κρυφή µορφή F(2) + F(4) > 2F(3) ,

γνωστή φυσικά ως ανισότητα Jensen.

Συµπληρωµατικά ερωτήµατα

∆6. Αποδεικνύουµε πρώτα η f −1 είναι γνησίως αύξουσα στο f (∆2 ) = ∆2 = (1, + ∞) ,
οπότε ως συνεχής και γνησίως αύξουσα θα έχει σύνολο τιµών το ∆2 = (1, + ∞) .Αλλά το

σύνολο τιµών της f −1 είναι διάστηµα µε άκρα τα lim f −1(x) και lim f −1(x) . Από τη
x→1+ x→+∞

µονοτονία παίρνουµε τελικά ότι θα είναι lim f −1(x) = +∞ .

x→+∞

∆7. Για το όριο µπορούµε να πάλι να κάνουµε χρήση του ΘΜΤ. Είναι:

B = lim (F(x +1) − F(x)) = lim F′(ξ(x)) = lim f (ξ(x)) = lim f (u) = +∞
x→+∞ x→+∞ x→+∞ u→+∞

όπου u = ξ(x) → +∞ , διότι x < ξ(x) = u < x +1 και x → +∞ .

Παρατηρήσεις στο θέµα ∆ (1)
Το παραπάνω θέµα, δεν χωράει αµφιβολία, είναι δύσκολο. Μπορεί να έχει την αρχή του
πάνω σε µία άσκηση του σχολικού βιβλίου, ωστόσο δεν παύει όλα του σχεδόν τα ερωτήµα-
τα να είναι αυξηµένων απαιτήσεων. Ακόµα και το ερώτηµα ∆2 που αναφέρεται στη µονο-
τονία της συνάρτησης f (x) = x −1 δεν µπορεί να αντιµετωπισθεί µε ευχέρεια από τον µα-

ln x

θητή. Πιθανόν ο µαθητής αυτός να µην µπορέσει να συλλέξει περισσότερες από 5 µονάδες
στις 25.

Το θέµα ∆ λοιπόν, ακόµα και αν είναι στη γέννησή του σχολικό, µπορεί να έχει δύσκο-
λα σηµεία και να δυσκολέψει όλους τους µαθητές. Το µόνο ασφαλές συµπέρασµα είναι ότι
οι βάσεις των υψηλόβαθµων σχολών θα παραµείνουν σχεδόν αµετάβλητες. Κατά την άπο-
ψή µας, µε δεδοµένη τη µέση επίδοση των µαθητών στις εξετάσεις την τελευταία διετία, τη
γενικότερη κοινωνική κατάσταση και τη µέτρια επίδοση των υποψηφίων που εξετάζονται
πια στα µαθηµατικά, ακόµα και το θέµα ∆ δεν υπάρχει λόγος να διαµορφωθεί και να ξεπε-
ράσει αυτό το οµολογουµένως υψηλό επίπεδο.

Το Πρόβληµα ως ΘΕΜΑ ∆

Το 4ο θέµα είναι ή υπολογιστικό θέµα µε πιο σύνθετα ερωτήµατα ή θεωρητικό θέµα ή
πρόβληµα. Πρόβληµα δεν έχουµε δει µέχρι τώρα στις εξετάσεις του Ιουνίου, ωστόσο είναι
κάτι που κάθε επιτροπή το θέτει στη συζήτηση. Η επιλογή και η σύνταξή του έχει πολλές δυ-
σκολίες και επειδή δύσκολα δοµείται µε υποερωτήµατα, στην ουσία αυτοαναιρείται ως προς

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 141

∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ε9

το σκοπό της επιλογής του. Υπάρχει όµως και τρόπος σύνθεσης του προβλήµατος που εξετά-
ζει σε καλό βαθµό την ικανότητα του µαθητή να καταστρώνει τη λύση σε ένα πρόβληµα και
να δίνει σωστή λύση. Το θεωρητικό θέµα έχει τη γνωστή δοµή που έχουµε δει σε εξετάσεις
άλλων ετών, θέλει όµως πολύ προσοχή στη σύνθεσή του, ώστε να εξετάζει βασικούς διδακτι-
κούς στόχους, να αξιολογεί δίκαια και να διακρίνει τον µέτριο από τον καλό και τον καλό
από τον άριστο µαθητή.

Μια πιο φιλική µορφή στη διατύπωση ενός προβλήµατος που βοηθάει σηµαντικά στην
κατανοµή της βαθµολογίας είναι η παρακάτω. Τη δοµή αυτή έχουµε συναντήσει στις εξετά-
σεις και άλλων χωρών και έχει σηµαντικά πλεονεκτήµατα. Το πρώτο είναι ότι το πρόβληµα
εµφανίζεται ως εφαρµογή των υπολοίπων ερωτηµάτων αλλά και των άλλων θεωρητικών
γνώσεων που διδάχθηκε ο µαθητής στα σχολικά του χρόνια. Το άλλο πλεονέκτηµα είναι έστω
και αν ο υποψήφιος δεν καταφέρει να λύσει πλήρως το πρόβληµα, µπορεί να συγκεντρώσει
αρκετές µονάδες από τα άλλα υποερωτήµατα. Ας δούµε µε την ευκαιρία αυτή ένα µέσης δυ-
σκολίας πρόβληµα. Είναι αυτονόητο ότι ο µαθητής θα πρέπει να λύσει όλα τα προβλήµατα
από το σχολικό του βιβλίο. Μέσα στα προβλήµατα δεν είναι µόνο τα προβλήµατα των ακρο-
τάτων αλλά και αυτά που αναφέρονται στο ρυθµό µεταβολής, σε εφαρµογές της συνέχειας
αλλά ακόµα και στην έννοια της συνάρτησης. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν και τα προβλήµατα
που βασίζονται σε γεωµετρικές έννοιες.

ΘΕΜΑ ∆ (2) – Πρόβληµα

∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 100 , x ≠ 0 .
x

∆1. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα.

∆2. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της f, το σύνολο τιµών της και να χαράξετε τη γρα-
φική της παράσταση.

∆3. Να αποδείξετε ότι από το σηµείο O(0, 0) δεν µπορούµε να φέρουµε εφαπτοµένη
προς τη γραφική παράσταση της f.

Ένα µεγάλο τυπογραφείο έχει αναλάβει να εκτυπώσει 100 χιλιάδες πανοµοιότυπες
αφίσες. Για τον σκοπό αυτό ενοικιάζει µηχανές, που η καθεµία εκτυπώνει 100 αφίσες
την ώρα. Τα πάγια έξοδα ενοικίασης και εγκατάστασης της κάθε µηχανής ανέρχονται σε
100 €. Επιπλέον το τυπογραφείο για κάθε ώρα εκτύπωσης έχει πρόσθετα έξοδα 10 €.

∆4. Να εκφράσετε τα συνολικά έξοδα εκτύπωσης ως συνάρτηση του αριθµού των
εκτυπωτικών µηχανών που θα χρησιµοποιηθούν.

∆5. Να βρείτε το πλήθος των µηχανών που πρέπει να τεθούν σε λειτουργία, ώστε η
εκτύπωση να έχει το ελάχιστο κόστος καθώς και το ελάχιστο αυτό κόστος.

142 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε9 ∆ΟΜΗ ΘΕΜΑΤΩΝ

Υπόδειξη

∆1. Είναι f ′( x) = 1 − 100 και έτσι
x2

η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελά-
χιστο στο x = 10 µε τιµή f (10) = 20

και τοπικό µέγιστο στο x = −10 µε
τιµή f (−10) = −20 . Η συνάρτηση

είναι κοίλη στο (−∞, 0) και κυρτή

στο (0, +∞) , αφού f ′′(x) = 200 .
x3

∆2. Ασύµπτωτες είναι οι ευθείες
x = 0, y = x , σύνολο τιµών είναι το

(−∞, −20] ∪[20, +∞) . Η γραφική πα-

ράσταση φαίνεται στο σχήµα.
∆3. Έστω A(α, f (α)) το σηµείο

επαφής. Η εφαπτοµένη έχει εξίσωση
y − f (α) = f '(α)(x − α) και επειδή δι-

έρχεται από το σηµείο Ο(0, 0) πρέ-

πει:

−f (α) = −αf '(α) ⇔ α + 100 = α 1 − 100  ⇔ 200 = 0
α α2 α

που είναι άτοπο.

∆4. Έστω ότι θα χρησιµοποιηθούν x µηχανές. Αφού η κάθε µηχανή τυπώνει 100 αφί-

σες την ώρα, οι x µηχανές θα τυπώσουν 100x αφίσες και έτσι για την εκτύπωσή τους θα

χρειαστούνε 100000 = 1000 ώρες. Το κόστος για την εκτύπωση προκύπτει αν προσθέ-
100x x

σουµε:
♦ Τα πάγια έξοδα ενοικίασης που είναι 100x ευρώ, µια και για κάθε µηχανή απαι-

τούνται 100 ευρώ.
♦ Τα πρόσθετα έξοδα που είναι 10 ⋅1000 = 10000 .
xx

Το συνολικό λοιπόν κόστος εκτύπωσης είναι:

K(x) = 10000 + 100x = 100  x + 100  = 100f (x), x>0
x x

∆5. Σύµφωνα µε προηγούµενο ερώτηµα και επειδή x > 0 , η συνάρτηση K(x) έχει ε-

λάχιστο για x = 10 . Το ελάχιστο αυτό κόστος είναι ίσο µε K(10) = 10010 + 100  = 2000
10

ευρώ.

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 143

ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ Ε10

Ενότητα 10

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α. Θέµατα 2001 – 2007

Εξετάσεις 2001 Κανονικές

ΘΕΜΑ 3ο (2001 – Κ)

Για µια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών
ℝ , ισχύει ότι:

f 3(x) + βf 2 (x) + γf (x) = x3 – 2x2 + 6x – 1 για κάθε x ∈ ℝ
όπου β, γ πραγµατικοί αριθµοί µε β2 < 3γ .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f (x) = 0 στο ανοικτό διά-

στηµα (0, 1) .

Υπόδειξη
α) f 3(x) + βf 2 (x) + γf (x) = x3 − 2x 2 + 6x −1 , για κάθε x ∈ ℝ . Παραγωγίζουµε και τα

δύο µέλη της και έχουµε: (1)

3f 2 (x)f ′(x) + 2βf (x)f ′(x) + γf ′(x) = 3x2 − 4x + 6 ⇔

( )⇔ f ′(x) 3f 2 (x) + 2βf (x) + γ = 3x2 − 4x + 6

Το τριώνυµο 3f 2 (x) + 2βf (x) + γ είναι παντού θετικό, γιατί:

∆1 = 4β2 −12γ = 4(β2 − 3γ) < 0
Είναι επίσης 3x 2 − 4x + 6 > 0 για κάθε x ∈ ℝ , γιατί ∆2 = 16 − 72 = −56 < 0 . Έτσι από τη
σχέση (1) συµπεραίνουµε ότι f ′(x) > 0 για κάθε x ∈ ℝ , οπότε η f δεν έχει ακρότατα.

Μπορούµε να εργαστούµε και µε το θεώρηµα Fermat καταλήγοντας σε άτοπο.
β) Επειδή f ′(x) > 0 για κάθε x ∈ ℝ , η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Η f είναι συνεχής στο [0, 1], αφού είναι παραγωγίσιµη.

172 ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΑΚΗΣ

Ε10 ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ

• Για x = 0 η δοθείσα γίνεται: (2)

( )f 3(0) + βf 2 (0) + γf (0) = −1 ή f (0) f 2 (0) + βf (0) + γ = −1

Εποµένως οι αριθµοί f(0) και f 2 (0) + βf (0) + γ είναι ετερόσηµοι. Όµως:

f 2 (0) + βf (0) + γ > 0

αφού ∆3 = β2 − 4γ < 0 ( β2 < 3γ και γ > 0 , άρα β2 < 4γ ), οπότε έχουµε f (0) < 0 .

• Για x = 1 η δοθείσα σχέση γίνεται: (3)

( )f 3(1) + βf 2 (1) + γf (1) = 4 ή f (1) f 2 (1) + βf (1) + γ = 4

Όµως f 2 (1) + βf (1) + γ > 0 αφού ∆4 = β2 − 4γ < 0 . Άρα έχουµε f (1) > 0 .
Είναι f (0)f (1) < 0 . Άρα από το θεώρηµα Bolzano έχουµε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
x0 ∈ (0, 1) , ώστε f (x0 ) = 0 , δηλαδή τουλάχιστον µία ρίζα x0 στο (0, 1). Επειδή η f είναι

γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι µοναδική στο διάστηµα αυτό.

ΘΕΜΑ 4ο (2001 – Κ)

Έστω µια πραγµατική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών

ℝ , για την οποία ισχύoυν οι σχέσεις:
i) f (x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ℝ .

ii) f ′(x) = −2xf 2 (x) για κάθε x ∈ ℝ και f (0) = 1 .

Έστω ακόµη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g(x) = 1 − x2 , για κάθε
f(x)

x∈ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή.

β) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι f (x) = 1 .
1+ x2

γ) Να βρείτε το όριο lim (xf (x)ηµ2x) .

x→ +∞

Υπόδειξη

α) Είναι g′(x) = −f ′(x) − 2x = 2xf 2 (x) − 2x =0, x∈ℝ .
f 2(x) f2 (x)

β) g(x) = c ⇔ g(x) = 1 κ.τ.λ. Ο τύπος της f προκύπτει και από τη σχέση:

f ′(x) = −2x ⇔  f 1 ′ = (x2 )′ κ.λπ.
f 2(x)  (x) 

γ) Με κριτήριο παρεµβολής. Είναι:

lim (xf (x)ηµ2x) = lim  ηµ2x ⋅1 1  = 0⋅1 = 0
 x x2 
x→ +∞ x→ +∞  1+ 

ΜΕΘΟ∆ΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 173


Click to View FlipBook Version