22209

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται
στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπου-
δών ή Σπουδών Πληροφορικής και Οικονομίας.

Δεν είναι απλώς μια προσαρμογή του επί δέκα συναπτά έτη δοκιμασμένου και από-
λυτα επιτυχημένου βιβλίου μας, που αποτέλεσε για χιλιάδες μαθητές το βοήθημα της
επιτυχίας τους, αλλά πρόκειται για ένα νέο βιβλίο, αισθητικά αναβαθμισμένο, ριζικά
αναδομημένο, συμπληρωμένο και εμπλουτισμένο με τις γνώσεις και τις απαιτήσεις του
σήμερα.

Κάθε ενότητα περιέχει:

♦ Τη βασική θεωρία, με σχόλια, παρατηρήσεις και τις απαραίτητες μεθοδεύσεις.

♦ Λυμένες ασκήσεις που επιλέχθηκαν προσεκτικά, ώστε μέσα από τη μελέτη τους ο
μαθητής να κατακτήσει όλες τις έννοιες και τις τεχνικές που αφορούν την παρά-
γραφο που εξετάζεται κάθε φορά.

♦ Προτεινόμενες ομάδες ασκήσεων με σκοπό την εξάσκηση και την εμβάθυνση στα
αντίστοιχα θεωρήματα και τις εφαρμογές τους.

♦ Ερωτήσεις κατανόησης για τον έλεγχο της θεωρίας και τον εντοπισμό των πιο λε-
πτών σημείων της.

♦ Θέματα προετοιμασίας, δηλαδή ασκήσεις με συνδυασμό ερωτημάτων, στο πνεύμα
των Πανελληνίων εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να εξοικειώνεται από νωρίς με τη
μορφή και το επίπεδο δυσκολίας της τελικής εξέτασης.

♦ Απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκή-
σεις, ώστε ο μαθητής να ελέγχει τα αποτελέσματά του και η μελέτη να γίνεται ευχά-
ριστη και αποτελεσματική.

Θέλουμε να πιστεύουμε ότι η δομή, το περιεχόμενο και η διδακτική εμπειρία που
περικλείει το βιβλίο αυτό θα το καταστήσουν ένα χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των ανα-
γνωστών του και θα οδηγήσουν τους υποψήφιους στην επιτυχία και την επίτευξη των
οραμάτων τους.

Ευχαριστούμε από τη θέση αυτή τον συνάδελφο Δημήτρη Τσάκο για την επιμέλεια
του βιβλίου.

Οι συγγραφείς



Περιεχόμενα

 1. Η έννοια της συνάρτησης, Γραφική παράσταση συνάρτησης,
Βασικές συναρτήσεις................................................................................................9
 2. Ίσες συναρτήσεις, Σύνθεση συναρτήσεων..............................................................37
 3. Μονοτονία - Ακρότατα συνάρτησης.......................................................................52
 4. Η συνάρτηση "1-1".................................................................................................69
 5. Η αντίστροφη συνάρτηση.......................................................................................80
♦ 1ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................101
 6. Όριο στο x0 , Ιδιότητες των ορίων.........................................................................103
 7. Τριγωνομετρικά όρια, Όριο σύνθετης συνάρτησης..............................................136
 8. Μη πεπερασμένο όριο στο x0................................................................................153
 9. Όριο συνάρτησης στο άπειρο................................................................................168
♦ 2ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................193
10. Συνέχεια συνάρτησης............................................................................................195
11. Το θεώρημα Bolzano.............................................................................................211
12. Συνέπειες του θεωρήματος Bolzano, Εύρεση προσήμου,
Εύρεση συνάρτησης..............................................................................................220
13. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής....................232
 ♦ 3ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................253
 ♦ 1η επανάληψη......................................................................................................255
14. Η έννοια της παραγώγου.......................................................................................259
15. Παράγωγος βασικών συναρτήσεων, Κανόνες παραγώγισης,
Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης........................................................................277
16. Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου,
Συστηματοποίηση των εφαπτομένων....................................................................302
17. Ρυθμός μεταβολής.................................................................................................317
 ♦ 4ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................331
18. Το θεώρημα Rolle..................................................................................................333
19. Το θεώρημα μέσης τιμής (Θ.Μ.Τ.)........................................................................358
20. Συνέπειες του Θ.Μ.Τ., Σταθερή συνάρτηση.........................................................387
 ♦ 5ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................430
 ♦ 2η επανάληψη......................................................................................................432

Υποδείξεις - Απαντήσεις............................................................................................439



1 ♦ Η έννοια της συνάρτησης
♦ Γραφική παράσταση συνάρτησης
♦ Βασικές συναρτήσεις

Βασική θεωρία και ασκήσεις

1. Η έννοια της συνάρτησης - Εύρεση του πεδίου ορισμού

Α. ΘΕΩΡΙΑ
α) Να περιγράψετε τα βασικά στοιχεία της έννοιας της συνάρτησης f: Α $ R .

Απάντηση
Έστω f: Α $ R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Τότε:
♦ Κάθε x ! Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο y ! R.
♦ Το στοιχείο y = f (x), όπου x ! Α, λέγεται εικόνα του x.
♦ Το x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y = f (x) λέγεται εξαρτημένη μετα-

βλητή.
♦ Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται γενικότερα και με Df .

β) Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: Α $ R;
Απάντηση

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα x ! Α λέγεται σύνολο
τιμών της f και συμβολίζεται με f (Α).
Είναι δηλαδή:

f (Α) = {y ! R | υπάρχει x ! Α τέτοιο, ώστε y = f (x)}

γ) Τι σημαίνει η έκφραση «Η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β»;
Απάντηση

Λέγοντας ότι η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β, εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του
πεδίου ορισμού Α της f.

9

δ) Πότε θεωρούμε ότι έχει οριστεί πλήρως μια συνάρτηση f ;
Απάντηση

Για να οριστεί μια συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν:
♦ το πεδίο ορισμού της Α και
♦ η τιμή της f (x) για κάθε x ! Α.

ε) Ποιοι είναι οι βασικοί κανόνες για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρ-
τησης f της οποίας δίνεται ο τύπος;

Απάντηση

Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης, της οποίας μας δίνεται ο τύπος,
ακολουθούμε τους εξής κανόνες:

♦ Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορι- Μια συνάρτηση μπορεί να ορι-
σμού το R. Το ίδιο συμβαίνει για τις συναρτή- στεί μόνο από τον τύπο της f (x).
σεις ημx, συνx και αx.
Στην περίπτωση αυτή ως πεδίο
♦ Οι παρονομαστές, όπου κι αν αυτοί παρουσιά- ορισμού Α θεωρούμε το σύνολο
ζονται, πρέπει να είναι διάφοροι από το μηδέν. όλων των x ! R για τα οποία το
f (x) έχει νόημα.
♦ Οι υπόρριζες ποσότητες, ανεξάρτητα από την

τάξη του ριζικού, πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το μηδέν.

♦ Όπου παρουσιάζονται όροι της μορφής ln φ(x) απαιτούμε φ(x) > 0.

Οι παραπάνω περιορισμοί μάς οδηγούν σε ένα σύστημα, του οποίου η λύση μάς δίνει
το ζητούμενο πεδίο ορισμού.

Β. ΜΕΘΟΔΟΣ

α) Όταν δίνεται μια συνάρτηση f μέσω του τύπου της, τότε η πρώτη μας ενέργεια είναι
να βρούμε το πεδίο ορισμού της, δηλαδή να βρούμε το σύνολο Df των x, για τα οποία
το f (x) είναι πραγματικός αριθμός.

β) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, της οποίας μας έχει δοθεί ο
τύπος, βασιζόμαστε στις εξής παρατηρήσεις:
♦ Αν η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση, τότε Df = R .
♦ Αν υπάρχουν κλάσματα, σε οποιαδήποτε θέση, απαιτούμε (θέτουμε τον περιορι-

σμό) οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.

♦ Αν δούμε όρους της μορφής n f (x) , απαιτούμε (θέτουμε τον περιορισμό) φ(x) $ 0.
♦ Αν δούμε όρο της μορφής ln φ(x) απαιτούμε (θέτουμε τον περιορισμό) φ(x) > 0.

Οι περιορισμοί που θέτουμε μας δίνουν ένα σύστημα, του οποίου η λύση μας δίνει το
πεδίο ορισμού.

10  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

1.1 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

α) f (x) = x+ 1 14 β) g (x) = 12 - x - x2
x2 - 9x +

γ) h (x) = ln x2 - 4x + 3 δ) f (x) = 3- 2-x
x -2 ln x

Λύση

α) Πρέπει x2 - 9x + 14 ! 0. Όμως Δ = 81 - 56 = 25, οπότε:
x2 - 9x + 14 ! 0 , (x - 2)(x - 7) ! 0 , (x ! 2 και x ! 7)

Άρα Df = R - {2, 7}.
β) Πρέπει 12 - x - x2 $ 0 , x2 + x - 12 # 0.

Επειδή x2 + x - 12 = 0 , (x = 3 ή x = -4), η ανισότητα x2 + x - 12 # 0 αλη-

θεύει για x ! [-4, 3]. Άρα Dg = [-4, 3].
γ) Ο τύπος περιέχει κλάσμα αλλά και λογαριθμικό όρο, οπότε θέτουμε δύο περιορι-

σμούς. Πρέπει λοιπόν:

♦ x - 2 ! 0 , x ! 2

♦ x2 - 4x + 3 20 , (x2 - 4x + 3) (x - 2) 2 0
x-2

Με τη βοήθεια του διπλανού πίνακα, ο οποίος μας

δίνει το πρόσημο του γινομένου:
Γ(x) = (x2 - 4x + 3)(x - 2)

παίρνουμε τελικά ότι:

Dh = (1, 2) , (3, +3)
δ) Και εδώ θέτουμε δύο περιορισμούς. Πρέπει λοιπόν:

♦ x > 0 (1) ♦ lnx ! 0 , x ! 1 (2)

♦ 3 - 2 - x $ 0 , x - 2 # 3 , -3 # x - 2 # 3 , -1 # x # 5 (3)

Οι σχέσεις (1), (2) και (3) δίνουν ότι Dφ = (0, 1) , (1, 5].

2. Γραφική παράσταση συνάρτησης - Σχετική θέση των Cf , Cg

Α. ΘΕΩΡΙΑ
α) Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: Α $ R ;

Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R και Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων. Το σύνολο των

σημείων Μ(x, y) με y = f (x), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ(x, f (x)) με x ! Α,

λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf .

11

β) Τι εξίσωση έχει η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f;
Απάντηση

Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f: Α $ R , ως γραμμή του επιπέδου, έχει
εξίσωση y = f (x).

γ) Πώς αναγνωρίζουμε αν μια γραμμή είναι γραφική παράσταση συνάρτησης;
Απάντηση

Έστω (C) μια γραμμή του επιπέδου.
♦ Αν υπάρχει ευθεία ε // y´y, η οποία τέμνει τη

(C) σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε η (C)
δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.
♦ Αν κάθε ευθεία ε // y΄y έχει το πολύ ένα κοινό
σημείο με τη (C), τότε η (C) μπορεί να θεωρηθεί
γραφική παράσταση συνάρτησης.

δ) Πότε το σημείο Ν(x0 , y0) ανήκει στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f;
Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R και το σημείο Ν(x0 , y0). Ισχύει ότι:

Ν(x0, y0) ! Cf , f (x0) = y0

Β. ΜΕΘΟΔΟΣ

α) Αν δοθεί η γραφική

παράσταση Cf μιας συ-
νάρτησης f, τότε:

♦ Το πεδίο ορισμού Α
της f είναι το σύνολο
των τετμημένων των
σημείων της Cf .

♦ Το σύνολο τιμών f (Α) της f είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της Cf .

β) Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf μιας συνάρτησης f : Α $ R με τον
άξονα x΄x βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:

(S): y = f (x)
*y = 0

Έτσι, οι τετμημένες των κοινών σημείων της Cf με τον άξονα x΄x βρίσκονται από τη
λύση της εξίσωσης f (x) = 0, x ! Α.

12  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

γ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο
συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συ-
στήματος:

y = f(x) , x ! Df + Dg
)y = g (x)

Επομένως οι τετμημένες των κοινών σημείων των Cf και Cg βρίσκονται από τη λύση της
εξίσωσης f (x) = g(x).

δ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf , Cg των συναρτήσε-
ων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς:

δ(x) = f(x) - g(x), x ! Df + Dg

Έτσι:

♦ Αν δ(x) > 0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα από
τη Cg .

♦ Αν δ(x) < 0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα από
τη Cg .

1.2 Δίνεται η συνάρτηση:

f (x) = x3 + (2 - α)x2 - (α + 3)x + α2 - 5, α ! R

α ) Να βρεθούν οι τιμές του α έτσι, ώστε η γραφική παράσταση Cf να διέρχε-
ται από το σημείο Μ(1, -6).

β) Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(1, -6), να βρεθούν τα κοινά σημεία
της Cf και του άξονα x΄x.

γ) Για α = 1 να βρεθεί η σχετική θέση της Cf με τον άξονα x΄x.

Λύση

α) Θα ισχύει ότι: Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R.
Μ(1, -6) ! Cf ,
, f (1) = -6 , i) Η γραφική παράσταση της f αποτε-

, 1 + (2 - α) - (α + 3) + α2 - 5 = -6 , λείται από τα σημεία M(x, f(x)), x !Α.
, … , α2 - 2α + 1 = 0 ,
Επομένως:

, (α - 1)2 = 0 , α = 1 Μ(α, β) ! Cf , f (α) = β
Άρα η ζητούμενη τιμή του α είναι η α = 1. Τη συνθήκη αυτή εφαρμόζουμε κάθε

β) Επειδή η Cf διέρχεται από το σημείο φορά που θέλουμε να ελέγξουμε (ή να
Μ(1, -6), είναι α = 1. Άρα: εξασφαλίσουμε ότι) ένα σημείο ανήκει
στη Cf .
f (x) = x3 + x2 - 4x - 4

13

Τα κοινά σημεία της Cf και του άξονα x΄x ii) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της
προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: Cf με τον άξονα x´x, λύνουμε την εξί-
σωση:
(Σ): y = f(x) , y = x3+ x2- 4x - 4
)y = 0 3 *y = 0 f (x) = 0, x ! Α

Το σύστημα (Σ) δίνει: iii) Αν η f ορίζεται στο 0, τότε η Cf τέ-
x3 + x2 - 4x - 4 = 0 , μνει τον άξονα y΄y στο σημείο:

, x2(x + 1) - 4(x + 1) = 0 , Β(0, f (0))
, (x + 1)(x2 - 4) = 0 ,
iv) Οι τετμημένες των κοινών σημείων
, (x = -1 ή x = -2 ή x = 2) των Cf , Cg προκύπτουν από τη λύση της
εξίσωσης:
Άρα τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x΄x
είναι τα σημεία: f (x) = g(x), x ! Df + Dg

Α(-2, 0), Β(-1, 0) και Γ(2, 0) v) Η σχετική θέση των Cf , Cg προκύ-
πτει από τη μελέτη του προσήμου της
γ) Για α = 1 είναι: διαφοράς:
f (x) = x3 + x2 - 4x - 4 =
= x2(x + 1) - 4(x + 1) = Δ(x) = f(x) - g(x), x ! Df + Dg
= (x + 1)(x - 2)(x + 2) Για τον σκοπό αυτό κατασκευάζουμε
έναν πίνακα που περιέχει τις ρίζες της
εξίσωσης f (x) = g(x) (αν υπάρχουν) και
τα διαστήματα του πεδίου ορισμού Df .

vi) Για να βρούμε τα διαστήματα στα
οποία η Cf είναι πάνω ή κάτω από τον
άξονα x΄x, λύνουμε αντίστοιχα τις ανι-
σώσεις f (x) > 0 ή f (x) < 0.

Βρίσκουμε το πρόσημο της f με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα και παρατηρούμε
ότι:

♦ Η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x όταν είναι f (x) > 0, δηλαδή όταν:
x ! (-2, -1) , (2, +3)

♦ Η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x όταν είναι f (x) < 0, δηλαδή όταν:
x ! (-3, -2) , (-1, 2)

1.3 Δίνονται οι συναρτήσεις:

f (x) = x3 + 2x2 - 2x - 2 και g(x) = x2 + 2x + 2

Να βρεθούν:

α) τα κοινά σημεία των Cf και Cg ,
β) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τη Cg .

14  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Λύση
α) Οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το Α = R. Τα κοινά σημεία των Cf και
Cg προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων:

y = f (x) και y = g(x)
Όμως:

f (x) = g(x) , x3 + 2x2 - 2x - 2 = x2 + 2x + 2 ,
, x3 + x2 - 4x - 4 = 0 ,

, x2(x + 1) - 4(x + 1) = 0 , (x + 1)(x2 - 4) = 0 ,
, (x = -1 ή x = -2 ή x = 2)

Άρα τα κοινά σημεία των Cf και Cg είναι τα:
Α(-1, 1), Β(-2, 2) και Γ(2, 10)

β) Θεωρούμε τη διαφορά:
Δ(x) = f (x) - g(x)

Είναι:
Δ(x) = f (x) - g(x) = (x3 + 2x2 - 2x - 2) - (x2 + 2x + 2) =
= x3 + x2 - 4x - 4 = (x + 1)(x2 - 4)

Από τον διπλανό πίνακα προσήμου της διαφοράς
Δ(x) προκύπτει ότι:
♦ στα διαστήματα (-2, -1) και (2, +3) η Cf

βρίσκεται πάνω από τη Cg , ενώ
♦ στα διαστήματα (-3, -2) και (-1, 2) η Cf

βρίσκεται κάτω από τη Cg .
Ας σημειώσουμε ότι τα x για τα οποία Δ(x) = 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημεί-
ων των Cf και Cg .

3. Σύνολο τιμών

ΜΕΘΟΔΟΣ
α) Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R . Θυμίζουμε ότι το σύνολο τιμών της f, που συμβο-
λίζεται με f (Α), είναι το σύνολο:

f (Α) = {y ! R | y = f (x), x ! Α}

β) Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:
i) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f.

15

ii) Θεωρούμε την εξίσωση y = f (x) και απαιτούμε (θέτοντας όπου χρειάζεται πε-
ριορισμούς για το y):

♦ η εξίσωση αυτή να έχει λύση ως προς x και συγχρόνως
♦ η λύση αυτή να ανήκει στο Α.
Η επίλυση του συστήματος των περιορισμών δίνει το σύνολο τιμών f (Α) της f.

Ωστόσο σημειώνουμε ότι η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται ευκολότερα με χρήση
της μονοτονίας και της συνέχειας της συνάρτησης, κάτι που αναπτύσσεται διεξοδικά σε
επόμενη ενότητα.

γ) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f: Α $ R έχει σύνολο τιμών Β, τότε
θεωρούμε τυχαίο y0 ! Β και προσπαθούμε να βρούμε (ή να αποδείξουμε ότι υπάρχει)
x0 ! Α τέτοιο, ώστε f (x0) = y0 .
Επισημαίνουμε ότι η εύρεση του συνόλου τιμών είναι γενικά μια επίπονη διαδικασία,
θα γίνει όμως σχετικά εύκολη υπόθεση, όταν διδαχθούμε στις παρακάτω ενότητες το
όριο, τη συνέχεια και την παράγωγο.

1.4 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x2 - 2x + 2 . Να βρεθεί:
x-1
α) το πεδίο ορισμού Α της f,

β) το σύνολο τιμών της f.

Λύση

α) Πρέπει x - 1 ! 0 , x ! 1, οπότε Α = R - {1}.

β) Θεωρούμε την εξίσωση y = f (x).

Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y ! R , για τα οποία η εξίσωση

y = f (x) έχει λύση ως προς x στο Α. Όμως:

y = f (x) , y = x2 - 2x + 2 ,
x-1

, x2 - (y + 2)x + 2 + y = 0 (1)

Η (1) είναι εξίσωση β΄ βαθμού ως προς x και έχει λύση στο R μόνο αν:

Δ $ 0 , (y + 2)2 - 4(2 + y) $ 0 , (y + 2)(y - 2) $ 0 ,
, y ! (-3, -2] , [2, +3)

Μένει να εξετάσουμε μήπως για κάποιο από τα παραπάνω y η λύση της (1) είναι ο
αριθμός 1, ο οποίος δεν ανήκει στο Α. Αλλά για x = 1 η σχέση (1) δίνει:

1 - (y + 2) + 2 + y = 0 , 1 = 0

η οποία είναι αδύνατη. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το:
f (Α) = (-3, -2] , [2, +3)

16  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

4. Άρτια - Περιττή - Περιοδική συνάρτηση

ΜΕΘΟΔΟΣ
Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R.
α) Η f λέγεται άρτια όταν για κάθε x ! Α ισχύει -x ! Α και:

f (-x) = f (x) για κάθε x ! Α

β) Η f λέγεται περιττή όταν για κάθε x ! Α ισχύει -x ! Α και:

f (-x) = -f (x) για κάθε x ! Α

γ) Η f λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Τ ! 0 με:

f (x + T) = f (x) και f (x - T) = f (x) για κάθε x ! Α

Είναι προφανές ότι για να είναι μια συνάρτηση f άρτια ή περιττή ή περιοδική πρέπει το
πεδίο ορισμού να είναι κατάλληλο σύνολο, κάτι το οποίο εξετάζουμε από την αρχή.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = x2 έχει την ιδιότητα f (-x) = f (x). Ωστόσο αυτή
δεν είναι άρτια αν θεωρήσουμε για Α το σύνολο [0, +3), διότι τότε δεν ισχύει ότι για
κάθε x !Α είναι -x !Α, δηλαδή η συνθήκη f (-x) = f (x) δεν ισχύει για κάθε x !Α.

δ) Τονίζουμε ότι:
♦ Αν η f είναι άρτια, τότε η Cf είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y´y (και αντι-

στρόφως).
♦ Αν η f είναι περιττή, τότε η Cf είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
♦ Για να είναι μια συνάρτηση f άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού

να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το μηδέν, δηλαδή να ισχύει ταυτόχρονα:
x, -x ! Df για κάθε x ! Df

♦ Αν η f είναι περιττή και 0 ! Df , τότε f (0) = 0.

1.5 Ν α εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες

περιττές:

α) f (x) = ex - 1 β) f (x) = x3 ln 2 - x
ex + 1 2 + x

γ) f (x) = )-x3x+3 +1,1, an x # -2 δ) f (x) = )--33xx + 2, an x < -1
an x $ 2 - 2, an x>1

17

Σ ε καθεμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις να εξεταστεί αν η Cf έχει άξο-
να ή κέντρο συμμετρίας.

Λύση

α) Είναι Df = R . Παρατηρούμε ότι x, -x ! Df για κάθε x ! Df . Είναι:

f (-x) = e-x - 1 = 1 -1 = 1 - ex = - ex - 1 =-f (x)
e-x + 1 +1 1 + ex ex + 1
ex
1

για κάθε x ! Df = R . ex

Άρα η f είναι περιττή, οπότε η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο(0, 0).

β) Πρέπει 2 + x ! 0 , x ! -2 και συγχρόνως:

2-x 20 , (2 - x) (2 + x) 2 0 , x ! (-2, 2)
2+x

Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Df = (-2, 2).

Παρατηρούμε ότι x, -x ! Df για κάθε x ! Df . Είναι:

f (-x) = (-x)3 ln 2+x = -x3 ln c 2 - x -1 x3 ln 2-x = f (x)
2-x 2 + x 2+x
m=

για κάθε x ! Df = (-2, 2).

Άρα η f είναι άρτια, οπότε η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

γ) Είναι Df = (-3, -2] , [2, +3). Το Df είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το μηδέν,
δηλαδή αν x ! Df , τότε και -x ! Df . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

♦ Αν x # -2, τότε f (x) = x3 + 1. Επειδή -x $ 2, θα είναι:
f (-x) = -(-x)3 + 1 = x3 + 1 = f (x)

♦ Αν x $ 2, τότε f (x) = -x3 + 1. Επειδή -x # -2, θα είναι:
f (-x) = (-x)3 + 1 = -x3 + 1 = f (x)

Επομένως είναι:
f (-x) = f (x) για κάθε x ! Df

Άρα η f είναι άρτια, οπότε η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

δ) Είναι Df = (-3, -1) , (1, +3). Το Df είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το μηδέν,
δηλαδή αν x ! Df , τότε και -x ! Df .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

♦ Αν x < -1, τότε f (x) = -3x + 2. Επειδή -x > 1, θα είναι:
f (-x) = -3(-x) - 2 = 3x - 2 = -(-3x + 2) = -f (x)

♦ Αν x > 1, τότε f (x) = -3x - 2. Επειδή -x < -1, θα είναι:
f (-x) = -3(-x) + 2 = 3x + 2 = -(-3x - 2) = -f (x)

Άρα η f είναι περιττή, οπότε η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο(0, 0).

18  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

5. Χάραξη γραφικής παράστασης

Α. Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
α) f (x) = αx + β β) f (x) = αx2, α ! 0

Απάντηση
α) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f (x) = αx + β ισχύουν τα παρακάτω:


♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R.
♦ Η γραφική παράσταση της f είναι μια ευθεία, οπότε για τη χάραξή της αρκεί ο προσ-

διορισμός δύο σημείων της.
♦ Αν α ! 0, η f έχει σύνολο τιμών το R.
β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f (x) = αx2, α ! 0, ισχύουν τα παρακάτω:

♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R.

♦ Η γραφική παράσταση της f (x) = αx2, με α ! 0, είναι μια παραβολή με κορυφή
την αρχή των αξόνων.

♦ Η f είναι άρτια συνάρτηση (δηλαδή f (-x) = f (x) για κάθε x ! R), οπότε η Cf είναι

συμμετρική ως προς τον άξονα y´y.

♦ Η f έχει σύνολο τιμών το [0, +3), αν α > 0 και το (-3, 0], αν α < 0.

Β. Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) f (x) = αx3, α ! 0 β) f (x) = a , α ! 0
x

19

Απάντηση
α) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f (x) = αx3, α ! 0, ισχύουν τα παρακάτω:

♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R και σύνολο τιμών το R.

♦ Η f είναι περιττή συνάρτηση, οπότε η Cf είναι συμμετρική ως προς την αρχή των
αξόνων.

β) Για τη ρητή συνάρτηση f (x) = a , α ! 0, ισχύουν τα παρακάτω:
x

♦ Η f έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R*.

♦ Η f είναι περιττή συνάρτηση (δηλαδή f (-x) = -f (x), x ! R), οπότε η Cf είναι συμ-

μετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Γ. Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
α) f (x) = x και g(x) = x
β) f (x) = ημx, g(x) = συνx, h(x) = εφx

Απάντηση
α) Οι συναρτήσεις f και g έχουν παρασταθεί γραφικά στο επόμενο σχήμα.

20  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = [0, +3) και σύνολο τιμών το [0, +3).

♦ Η g έχει πεδίο ορισμού το Α = R , σύνολο τιμών το [0, +3) και είναι άρτια συ-
νάρτηση. Ο άξονας y΄y είναι άξονας συμμετρίας της Cg .

β) Οι γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων f (x) = ημx, g(x) = συνx
και h(x) = εφx είναι αντίστοιχα οι παρακάτω:



♦ Οι y = ημx και y = συνx έχουν πεδίο ορισμού το Α = R.

♦ Η y = εφx ορίζεται στο σύνολο A = $ x ! R | x ! kp + p , k ! Z ..
2

♦ Οι y = ημx και y = εφx είναι περιττές συναρτήσεις.

♦ Η y = συνx είναι άρτια συνάρτηση.

♦ Οι y = ημx και y = συνx είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο Τ = 2π (και
γενικά Τ = 2κπ, κ ! Z* ).

♦ Η y = εφx είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = π.

♦ Οι συναρτήσεις f (x) = ημx και g(x) = συνx έχουν σύνολο τιμών το [-1, 1],
ενώ η h(x) = εφx έχει σύνολο τιμών το R.

Δ. Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
α) f(x) = αx, 0 < α ! 1 β) f (x) = logαx, 0 < α ! 1

Απάντηση
α) Για την εκθετική συνάρτηση f (x) = αx, 0 < α ! 1, ισχύουν τα επόμενα:
♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R και σύνολο τιμών το (0, +3).

21

♦ Η μορφή της Cf εξαρτάται από τη βάση α (α > 1 ή 0 < α < 1).

♦ Είναι f (x) > 0 για κάθε x ! R.
♦ Αν α > 1, τότε ax1 1 ax2 , x1 1 x2 , δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα.
♦ Αν 0 < α < 1, τότε ax1 1 ax2 , x1 > x2 , δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα.
♦ Για την f ισχύει ότι f (x) $ f (y) = f (x + y) για κάθε x, y ! R.

β) Για τη λογαριθμική συνάρτηση f (x) = logαx, 0 < α ! 1, ισχύουν τα παρακάτω:
♦ Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = (0, +3) και σύνολο τιμών το R.
♦ Η μορφή της Cf εξαρτάται από τη βάση α (α > 1 ή 0 < α < 1).

♦ Στην πρώτη περίπτωση (α > 1) ανήκει και η συνάρτηση f (x) = lnx με βάση α = e
(e = 2,718…).

♦ logα1 = 0, logαα = 1 και lne = 1.

♦ Αν x, x1 , x2 > 0 και ν ! R , τότε: logα x1 = logαx1 - logαx2 ,
logαx = y , αy = x, logα(x1x2) = logαx1 + logαx2 , x2
logαxν = νlogαx

♦ Αν α > 1, τότε logαx1 < logαx2 , x1 < x2 .

♦ Αν 0 < α < 1, τότε logαx1 < logαx2 , x1 > x2 .

♦ logαx = 0 , x = 1, logαx = 1 , x = α, lnx = 1 , x = e.

♦ αx = ex lnα, διότι α = elnα.

[ ]♦ f (x) = e ,g(x) g(x) lnf(x) όπου f (x) > 0.

22  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

1.6 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ) 1- x, an x # 2 .
x2 - 5, an x > 2

α) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (1), f (-1), f (2) και f (3).

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f.

Λύση

α) Είναι:

♦ f (0) = 1 - 0 = 1, διότι 0 < 2

♦ f (1) = 1 - 1 = 0, διότι 1 < 2

♦ f (-1) = 1 - (-1) = 2, διότι -1 < 2

♦ f (2) = 1 - 2 = -1, διότι 2 # 2

♦ f (3) = 32 - 5 = 4, διότι 3 > 2

β) Τα σημεία της Cf με τετμημένη στο (-3, 2] εί-
ναι μια ευθεία, η οποία διέρχεται από τα σημεία:

Α(-1, 2) και Β(2, -1)

Τα σημεία της Cf με τετμημένη στο διάστημα (2, +3) είναι τμήμα της παραβολής με
εξίσωση y = x2 - 5, η οποία διέρχεται από τα σημεία Β(2, -1), Γ(3, 4).

6. Οριζόντια - Κατακόρυφη μετατόπιση

α) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε
τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = -f (x) ;

Απάντηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης -f είναι συμμε-
τρική με τη Cf ως προς τον άξονα x΄x.

β) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε
τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g (x) = f (x) ;

Απάντηση

Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα
τμήματα της Cf που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x
και από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x των τμημά-
των της Cf τα οποία βρίσκονται κάτω από τον άξονα x´x.

23

γ) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε
τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

g(x) = f (x - α) και h(x) = f (x + α), όπου α > 0
Απάντηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης:
g(x) = f (x - α), με α > 0

προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της Cf προς τα δεξιά κατά α μονάδες.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

h(x) = f (x + α), με α > 0
προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της Cf προς τα αριστερά κατά α μονάδες.

δ) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε
τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

g(x) = f (x) + α και h(x) = f (x) - α, όπου α > 0
Απάντηση

Η γραφική παράσταση της g(x) = f (x) + α προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση
της Cf προς τα πάνω κατά α μονάδες. Η γραφική παράσταση της h(x) = f (x) - α προ-
κύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της Cf προς τα κάτω κατά α μονάδες.

1.7 Να χαραχθούν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) f (x) = ln x β) g (x) = ln x - 1
Λύση

α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = R* και είναι
άρτια, διότι:

f (-x) = f (x) για κάθε x ! R*
Έτσι η Cf είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y´y.
Χαράσσουμε πρώτα την y = lnx και ύστερα τη συμμετρι-
κή της ως προς τον άξονα y´y. Η Cf φαίνεται στο διπλανό
σχήμα.

β) Είναι Dg = (0, +3) και g(e) = 0.
Χαράσσουμε πρώτα την y = lnx, μετά την y = lnx - 1 και
τέλος την g(x) = ln x-1 . Η Cg φαίνεται στο διπλανό
σχήμα.

24  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

7. Συναρτησιακές σχέσεις

ΜΕΘΟΔΟΣ
α) Υπάρχει μια σπουδαία κατηγορία ασκήσεων στην οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο
της συνάρτησης αλλά μας δίνεται μια γενική ιδιότητα που έχουν οι τιμές της, για παρά-
δειγμα f (x + y) = x f (y) + y f (x) για κάθε x, y ! R. Τέτοιες σχέσεις λέγονται συναρ-
τησιακές σχέσεις. Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε τιμή των x, y, συνήθως επιλέ-
γουμε τιμές για τα x, y. Έτσι, για παράδειγμα μπορούμε να θέσουμε x = y = 0 ή
x = y = 1 ή (x = 0 και y = x) ή y = -x κ.λπ. ανάλογα με το ζητούμενο.

β) Για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα
(συναρτησιακή σχέση), εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Υποθέ-
τουμε δηλαδή ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση και με κατάλληλη επιλογή τιμών για τις
μεταβλητές καταλήγουμε σε άτοπο.

1.8 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα:

f (2 - x) + f (2 + x) = x - 1 για κάθε x ! R

Λύση

Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση f: R $ R με:

f (2 - x) + f (2 + x) = x - 1 (1)

για κάθε x ! R.

♦ Η (1) για x = 2 δίνει: f (0) + f (4) = 1 (2)
♦ Η (1) για x = -2 δίνει: f (4) + f (0) = -3 (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε 1 = -3, άτοπο. Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρ-
τηση.

1.9 Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα:

f (x + y) = x2 f (x) + y2 f (y) για κάθε x, y ! R

Να αποδειχθεί ότι:

α) f (0) = 0, β) η f είναι περιττή.

Λύση

α) Από την υπόθεση έχουμε: (1)
f (x + y) = x2 f (x) + y2 f (y) για κάθε x, y ! R

25

Επειδή η (1) ισχύει για κάθε x, y ! R , μπορούμε να θέσουμε x = y = 0, οπότε παίρ-

νουμε:

f (0) = 0 $ f (0) + 0 $ f (0) , f (0) = 0

β) Για να είναι η f περιττή, αρκεί να αποδείξουμε ότι f (-x) = -f (x) για κάθε x, y ! R .

♦ Η (1) για y = -x δίνει:
f (0) = x2 f (x) + (-x)2 f (-x) , 0 = x2 f (x) + x2 f (-x) ,

, x2 (f (-x) + f (x)) = 0 (2)

♦ Η (2) για x ! 0 δίνει:

f (-x) + f (x) = 0 , f (-x) = -f (x) (3)

Είναι όμως f (0) = 0, οπότε η (3) επαληθεύεται και για x = 0. Άρα f (-x) = -f (x)
για κάθε x ! R , οπότε η f είναι περιττή.

1.10  Έστω συνάρτηση f: R $ R με:

f (0) = 1 και f (x + y) # ex f (y) για κάθε x, y ! R
α) Να αποδειχθεί ότι f (x) # ex για κάθε x ! R .

β) Να βρεθεί ο τύπος της f.

Λύση Όταν ο τύπος της συνάρτησης
α) Είναι: βρίσκεται ύστερα από επιλογή
τιμών για τις μεταβλητές της συ-
f (x + y) # ex f (y) για κάθε x, y ! R (1) ναρτησιακής εξίσωσης, είναι
πάντα απαραίτητο να εξετάσου-
Η σχέση (1) για y = 0 δίνει: (2) με αν η συνάρτηση που βρήκαμε
f (x) # ex f (0) , f (x) # ex είναι δεκτή, δηλαδή αν η συνάρ-
τηση αυτή επαληθεύει την αρχι-
β) Η σχέση (1) για x = -y δίνει: κή σχέση, μαζί βέβαια και με τα
υπόλοιπα δεδομένα.
f (0) # e-y f (y) , f (y) $ ey

δηλαδή:

f (x) $ ex, x ! R (3)

Οι (2) και (3) δίνουν f (x) = ex για κάθε x ! R .

Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τις δοσμένες σχέσεις, οπότε είναι η ζητούμενη.

1.11  Μια συνάρτηση f: (0, +3) $ R έχει την ιδιότητα:

f a x k # ln x # f (x) - 1 για κάθε x > 0
e

α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f.

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f.

γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.

26  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Λύση

α) Είναι: f` x j # ln x # f (x) - 1, x20
Αυτή δίνει: e

f` x j # ln x (1) και lnx # f (x) - 1 (2)
e

♦ Από τη (2) παίρνουμε ότι:

f (x) $ lnx + 1 (3)

♦ Η (1), θέτοντας όπου x το ex, δίνει:

f` ex j # ln (ex) , f (x) # lne + lnx , f (x) # 1 + lnx (4)
e

Οι (3) και (4) δίνουν ότι f (x) = lnx + 1, x > 0. Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τη

δοσμένη συνθήκη, οπότε είναι η ζητούμενη.

β) Η Cf προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρ-
τησης y = lnx με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω

κατά 1 μονάδα. Επειδή:
f (x) = 0 , lnx = -1 , x = e–1

η Cf τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο με x0 = e-1.

γ) Όπως προκύπτει από τη μορφή της Cf , η f έχει σύνολο
τιμών το R. Πιο αυστηρή απόδειξη για το γεγονός αυτό θα

γίνει με τη βοήθεια της συνέχειας, που παρουσιάζεται σε

επόμενη ενότητα.

1.12  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα: (2)
(3)
f (x - 2) + 2 f (3 - x) = 11 - 2x για κάθε x ! R
α) Να αποδειχθεί ότι f (x) + 2 f (1 - x) = 7 - 2x.
β) Να αποδειχθεί ότι f (1 - x) + 2 f (x) = 5 + 2x.

γ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f (x).
Λύση

Πρόκειται για χαρακτηριστικό τύπο ασκήσεων.

α) Από την υπόθεση έχουμε:
f (x - 2) + 2 f (3 - x) = 11 - 2x (1)

Η (1), αν θέσουμε όπου x το x + 2, δίνει:
f (x) + 2 f (1 - x) = 11 - 2(x + 2) , f (x) + 2 f (1 - x) = 7 - 2x

β) Στη σχέση (2) θέτουμε όπου x το 1 - x, οπότε παίρνουμε:
f (1 - x) + 2 f (x) = 7 - 2(1 - x) , f (1 - x) + 2 f (x) = 5 + 2x

27

γ) Οι σχέσεις (2) και (3) δημιουργούν ένα σύστημα με αγνώστους τους f (x) και
f (1 - x). Θα απαλείψουμε τον όρο f (1 - x). Για τον λόγο αυτό πολλαπλασιάζουμε την
(3) με (-2), προσθέτουμε στη (2) και παίρνουμε:

f (x) - 4 f (x) = 7 - 2x - 2(5 + 2x) , -3 f (x) = -6x - 3 , f (x) = 2x + 1

Η συνάρτηση αυτή είναι δεκτή, διότι επαληθεύει τη σχέση (1). Πραγματικά:

f (x - 2) + 2 f (3 - x) = 11 - 2x , 2(x - 2) + 1 + 2[2(3 - x) + 1] = 11 - 2x ,

, 2x - 4 + 1 + 12 - 4x + 2 = 11 - 2x , 11 - 2x = 11 - 2x, που ισχύει
Έτσι, η ζητούμενη συνάρτηση είναι η f (x) = 2x + 1, x ! R.

8. Μια σημαντική σχέση: f(x) g(x) = 0, x ! Α

Όταν μας δίνεται μια συναρτησιακή σχέση και μας ζητείται ο τύπος της συνάρτησης,
εφαρμόζουμε γενικά τις τεχνικές που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Επι-
πλέον τονίζουμε ότι:

α) Μετά την εύρεση του τύπου, πρέπει (κατά κανόνα) να εξετάσουμε αν η συνάρτηση
που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν επαληθεύει όλες τις δοσμένες σχέσεις.

β) Αν κατά την εύρεση του τύπου φτάσουμε σε μια σχέση της μορφής f (x) g(x) = 0,
τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

f (x) = 0 για κάθε x ! Α ή g(x) = 0 για κάθε x ! Α

Σε αυτές τις περιπτώσεις χρειάζεται να βρούμε επιπλέον συνθήκες ή να αποδείξουμε
για παράδειγμα ότι f (x) ! 0 για κάθε x ! Α, οπότε g(x) = 0 κ.λπ.

Για παράδειγμα, αν:

f (x) = )x2, an x10 και g (x) = ) 0, an x10
0, an x$0 x3, an x$0

τότε f (x) g(x) = 0 για κάθε x ! R, ωστόσο καμία από τις f, g δεν είναι η μηδενική
συνάρτηση.

Θυμίζουμε ότι μηδενική λέγεται η συνάρτηση f που οι τιμές της είναι ίσες με 0 για
κάθε x ! Df .

Στην ίδια περίπτωση ανήκουν και σχέσεις της μορφής:
α f 2(x) + β f (x) + γ = 0 (α ! 0)

στις οποίες η εύρεση της συνάρτησης δεν μπορεί να γίνει λύνοντας την παραπάνω σχέ-
ση ως δευτεροβάθμια εξίσωση, χωρίς επιπρόσθετες πληροφορίες.

Τονίζουμε ότι από την παραπάνω σχέση μπορούμε να βρούμε μόνο τις δυνατές τιμές
της f, όχι όμως πάντα και τον τύπο της f.

28  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Για παράδειγμα, από τη σχέση f 2(x) - 2 f (x) - 3 = 0 προκύπτει ότι για κάθε x ! R
είναι f (x) = 3 ή f (x) = -1, ωστόσο είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι:

f (x) = 3 για κάθε x ! R ή f (x) = -1 για κάθε x ! R
Το λογικό λάθος εντοπίζεται λοιπόν στη φράση «για κάθε» και τη θέση που μπορεί να
πάρει μέσα στην πρόταση.

1.13  Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: R $ R με την ιδιότητα:

f (x) f (y) = f (x) + f (y) + 3 για κάθε x, y ! R
Λύση

Από την υπόθεση έχουμε:
f (x) f (y) = f (x) + f (y) + 3 για κάθε x, y ! R (1)

Η (1) για x = y = 0 δίνει:

f 2(0) = 2 f (0) + 3 , f 2 (0) - 2 f (0) - 3 = 0 , (f (0) = -1 ή f (0) = 3)

Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις:
♦ Αν f (0) = -1, τότε η (1) για y = 0 δίνει:

f (x) f (0) = f (x) + f (0) + 3 , -f (x) = f (x) - 1 + 3 , f (x) = -1
Η συνάρτηση αυτή, που είναι σταθερή, επαληθεύει την (1), διότι:

(-1)(-1) = (-1) + (-1) + 3 , 1 = 1, που ισχύει
Άρα η f (x) = -1 είναι δεκτή.
♦ Αν f (0) = 3, τότε η (1) για y = 0 δίνει:

f (x) f (0) = f (x) + f (0) + 3 , 3 f (x) = f (x) + 3 + 3 , f (x) = 3
Και αυτή η συνάρτηση είναι δεκτή, διότι επαληθεύει την (1). Άρα τελικά οι ζητού-

μενες συναρτήσεις είναι οι f (x) = -1 και f (x) = 3, που είναι και οι δύο σταθερές.

Αν θέσουμε στην (1) y = x, παίρνουμε:
f 2(x) - 2 f (x) - 3 = 0

Αν θέσουμε f (x) = y, τότε η παραπάνω σχέση γίνεται y2 - 2y - 3 = 0, που έχει
ρίζες τις y = -1 και y = 3.
Ωστόσο είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι f (x) =
= -1 και f (x) = 3, διότι:

f 2(x) - 2 f (x) - 3 = 0 , (f (x) + 1)(f (x) - 3) = 0

σχέση που δεν επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι:
f (x) + 1 = 0 για κάθε x ! R ή f (x) - 3 = 0 για κάθε x ! R

29

Μπορούμε όμως να συνεχίσουμε ως εξής:
Για κάθε x ! R είναι f (x) = -1 ή f (x) = 3. Αν υπήρχαν α, β ! R , ώστε f (α) = -1
και f (β) = 3, τότε από την (1) για x = α και y = β θα παίρναμε:

f (α) f (β) = f (α) + f (β) + 3 , (-1) $ 3 = -1 + 3 + 3 , -3 = 5, άτοπο

Άρα θα είναι f (x) = -1 για κάθε x ! R ή f (x) = 3 για κάθε x ! R. Οι ζητούμενες
λοιπόν συναρτήσεις είναι οι f (x) = -1 και f (x) = 3.

Προτεινόμενες ασκήσεις

1. Εύρεση πεδίου ορισμού

1.14  Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + x + 3. β) g(x) = 2x + 1
x2 - 4
α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f;
β) Να βρείτε τις τιμές των 0, 1, -1 και 2. γ) h(x) = x+1 + x-2
γ) Ποια x έχουν τιμή το 5; x2 - 9 x2 - 1
δ) Να αποδείξετε ότι:
f (1 - x) - f (2 - x) - 2x + 4 = 0 για κάθε x ! R δ) φ(x) = 1 + 1
x2 - x - 2 x-3

ε) ω(x) = x2 + 3 + x2 - 3
x3 + x2 - x - 1 x3 + x2 - 4x - 4

1.15  Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R με: 1.18  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτή-

f (x) = x3 + 2x2 - x + 2 σεων:

α) Να βρείτε τις τιμές f (0) και f (2). α) f (x) = x - 2
β) Να αποδείξετε ότι το y = 4 ανήκει στο σύνολο
τιμών της f. β) g(x) = 5 - x

γ) h(x) = x2 - 4

1.16  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτή- δ) φ(x) = 16 - x2

σεων: ε) ω(x) = x2 - 5x + 6

α) f (x) = x5 + 3x2 - x + 2 στ) κ(x) = 12 - x - x2

β) f (x) = x2 - 1 1.19  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτή-
x2 + 1

γ) f (x) = ln(ex + 2) σεων:

δ) f (x) = 2x + 1 α) f (x) = ln(2 - x)
x2 + 4
β) g(x) = ln(x - 3)

1.17  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτή- γ) h(x) = lnx2

σεων: δ) φ(x) = ln(1 - x2)

α) f (x) = 1 + 1 ε) ω(x) = ln 5-x
x-3 x-5 x+7

Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

30  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

στ) κ(x) = ln x + 3 συναρτήσεων:
x - 5
α) f (x) = 5 + 4x - x2
1.20  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτή- ln x

σεων: β) g(x) = x2 + x + 1
9x - 4 $ 3x+1 + 27
α) f (x) = x -2 + 3
x-3 7 - 2x - 1
γ) κ(x) = ln x + 5 + 3 ln x - 1
β) g(x) = x - 3 - 5 + 7 - x - 4 5 - x x - 3

1.21  Να βρείτε το πεδίο ορισμού των επόμενων δ) φ(x) = 3- x-2 + ln 2 - x
3 + x

2. Γραφική παράσταση - Σχετική θέση των Cf , Cg

1.22  Δίνεται η συνάρτηση: f (x) = x4 - (α + 1)x2 + βx + 3 και
g(x) = (α + 2)x2 + (2 - β)x - 1
f (x) = ημx + συν2x + 1

Να εξετάσετε ποια από τα σημεία: τέμνονται πάνω στις ευθείες x = -1 και x = 1,
p p να βρείτε:
Α(0, 2), B` 2 , 1j, Γ(π, 3) και D`- 2 , -1j

ανήκουν στη γραφική παράσταση Cf της f. α) τις τιμές των α και β,

1.23  Να βρείτε τις τιμές του λ ! R, ώστε η Cf να β) τα άλλα κοινά σημεία των Cf και Cg .

διέρχεται από το σημείο Α, όταν: 1.28  Δίνεται η συνάρτηση:

α) f (x) = x2 + λ2x + 6 και Α(2, 28) f (x) = x4 - βx3 - (α + 1)x2 + (2α + β)x + β + 3

β) f (x) = x3 + λ2x + λx + 4 και Α(-1, -3) α) Να βρείτε τα α, β, ώστε η Cf να διέρχεται από τα
σημεία Μ(1, 8) και Ν(-2, 20).
1.24  Να βρείτε τα κοινά σημεία του άξονα x´x και
β) Αν α = 2, β = 3, να βρείτε τα σημεία στα
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, όταν:
α) f (x) = ln2x - lnx β) f (x) = 2συνx + 1 οποία η Cf τέμνει τους άξονες, καθώς και τη σχετι-
γ) f (x) = x3 - 3x2 + 4 δ) f (x) = e2x - 3ex + 2 κή θέση της Cf με τον άξονα x΄x.

1.25  Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών πα- 1.29  Δίνονται οι συναρτήσεις:

ραστάσεων των Cf και Cg στις παρακάτω περιπτώ- f (x) = x2 + 6x + 11 και g (x) =- 6
σεις: x

α) f(x) = x2 και g(x) = 2x - 1 α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και Cg και να

β) f(x) = x3 και g(x) = x2 + x - 1 αποδείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου.

γ) f(x) = x4 - 2x2 + x + 3 και β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Cf και Cg .
g(x) = 3x2 + x - 1
1.30  Δίνονται οι συναρτήσεις:

f (x) = 4x - 2x + 1 και g(x) = 2x + 2 - 8

1.26  Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρί- α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και Cg .

σκεται πάνω από τη Cg , όταν: β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι
α) f(x) = 2x + 3 και g(x) = x2 πάνω από τη Cg .
β) f(x) = x - 1 και g (x) = x + 1
1.31  Δίνονται οι συναρτήσεις:
1.27  Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτή-
f (x) = 2 και g(x) = λx + 2 - λ, λ ! R
σεων: x

Να αποδείξετε ότι:

31

α) η γραφική παράσταση της g διέρχεται από στα- ii) να εφάπτεται στον άξονα x΄x.
θερό σημείο για κάθε λ ! R , β) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το R-{1},
τότε η Cf διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.
β) οι Cf και Cg έχουν κοινά σημεία για κάθε λ ! R.
1.33  Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
1.32  Δίνεται η συνάρτηση:
συνάρτησης:
f (x) = (λ - 1)x2 + 2(λ + 1)x + λ + 5 f (x) = λx3 + (λ2 + 3λ + 1)x2 +
με λ ! R - {1} + (2λ2 - λ + 2)x - 3λ2 - 3λ - 2

α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η γραφική πα- διέρχεται από δύο σταθερά σημεία, καθώς το λ δια-
ράσταση της f: τρέχει το R.

i) να τέμνει τον άξονα x΄x σε δύο ακριβώς ση-
μεία,

3. Σύνολο τιμών

1.34  Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω 1.35  Δίνεται η συνάρτηση:

συναρτήσεων: f (x) = x3 + 2x2 - 1
x2 - 1
α) f (x) = x-2
x-3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) f (x) = ex - 2 + 3
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.
γ) f (x) = ln(x - 2)
γ) Να εξετάσετε αν το 5 ανήκει στο σύνολο τιμών
δ) f (x) = x - 2 , x ! [-2, 2] της f.
x + 3
δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
ε) f (x) = x - 2
1.36  Να βρείτε τα α, β ! R , ώστε η συνάρτηση f
στ) f (x) = (x - 1)2 - 2
ax2 + 3bx + 3
ζ) f (x) = x2 + 2x + 3 με τύπο f (x) = x2 - x + 1 να έχει σύνολο

η) f (x) = 2ημx + 1 τιμών το [-3, 5].

4. Άρτια - Περιττή - Περιοδική συνάρτηση

1.37  Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω συναρ- γ) f (x) = )11 - x + x2, an x # -1
+ x + x2, an x$1
τήσεις είναι άρτια ή περιττή.

α) f (x) = x - 2 - x + 2 δ) f (x) = )-xx2 2++44xx+-55, , an x # -2
an x$2
β) f (x) = x2 + xημx
Να βρείτε τις συμμετρίες της Cf σε κάθε περί-
γ) f (x) = x4 + 3x2 + 1, x ! [-1, +3) πτωση.

δ) f (x) = ) x2, an x 1 -1 1.39  Δίνεται η συνάρτηση:
x4, an x21

1.38  Να εξετάσετε ποια από τις επόμενες συναρ- f (x) = )22xx33 - 1, an x # -2
+ 1, an x$2
τήσεις είναι άρτια και ποια περιττή.
α) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή.
x-1 - x+1
α) f (x) = x-1 + x+1 β) Να εξετάσετε αν η Cf έχει άξονα ή κέντρο συμ-
μετρίας.
2 - x
β) f (x) = ln x + 2 1.40  Δίνεται η συνάρτηση:

32  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

f (x) = ln^x + x2 + 1 h β) η f είναι περιττή,

Να αποδείξετε ότι: γ) η Cf έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον άξονα
α) η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R , x΄x.

5. Χάραξη γραφικής παράστασης

1.41  Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συ-

ναρτήσεων:
α) f (x) = x - 2
β) f (x) = 3 - 2x
γ) f (x) = x + 1

δ) f (x) = 1 - x

1.42  Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συ- 1.46  Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συ-

ναρτήσεων: ναρτήσεων:
α) f (x) = x + 1
α) f (x) = ) 1 - x, an x#0
x2 + 1, an x20 β) g(x) = x2 - 4x + 4

β) f (x) = )-xx,, an x10 1.47  Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συ-
an x$0
ναρτήσεων:
1.43  Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συ- α) i) f (x) = x - 1 ii) g(x) = hmx

ναρτήσεων: β) i) f (x) = e x ii) g(x) = ex - 1

α) f (x) = ημ2x

β) f (x) = -2syn x 1.48  Δίνεται η συνάρτηση:
2
γ) f (x) = e-x + 1 f (x) = x + 1 + x - 1 + 2

δ) f (x) = ln(x - 1) + 2 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.
ε) f (x) = 2συνx - 1 γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

στ) f (x) = -2ημx + 3

1.44  Δίνεται η συνάρτηση: 1.49  Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

x - 2, an x #- 1 f (x) = )b ax2, an x#1
x - 1, an x21
f (x) = * 3x, an - 1 1 x 1 1
διέρχεται από τα σημεία Α(-1, 1) και Β(4, 3), να
x + 2, an x $ 1
χαράξετε τη Cf .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. 1.50  Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x - 2 .
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. x - 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

1.45  Να βρείτε τις συναρτήσεις, των οποίων οι γρα- β) Να αποδείξετε ότι f (x) = 1 - x 1 1 .
-
φικές παραστάσεις δίνονται στα επόμενα σχήματα:
γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

33

6. Συναρτησιακές σχέσεις

1.51  Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση α) f 2(x) + x2 = 2x f (x), x ! R
β) f (x) f (y) + xy = x f (y) + y f (x), x, y ! R
f: R $ R με την ιδιότητα: γ) f 2(x) - 2x f (x) + x2 = xy, x, y ! R
α) f (1 - x) + f (x) = x3 + 2 για κάθε x ! R
β) f (1 - x) - f (x) = x + 2 για κάθε x ! R 1.58  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα:
γ) f (x) + f (3 - x) = x + 1 για κάθε x ! R
δ) f 2(x2 ) + f (2x ) + 1 = 0 για κάθε x ! R f (x + y) = f (x) + f (y) για κάθε x, y ! R
ε) f 2(x3 ) - f (3x ) + 1 = 0 για κάθε x ! R Να αποδείξετε ότι:
α) f (0) = 0,
1.52  Έστω συνάρτηση f: R $ R. Να αποδείξετε β) η f είναι περιττή,
γ) f (x - y) = f (x) - f (y) για κάθε x, y ! R ,
ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα δ) f (νx) = ν f (x) για κάθε ν ! N*.
x΄x σε δύο τουλάχιστον σημεία στις παρακάτω πε-
ριπτώσεις: 1.59  Δύο συναρτήσεις f, g: R $ R έχουν τις

α) f (x2) + f (3x) = 0, x ! R ιδιότητες:
f 2(x) = f (x) f (-x) και g2(x) = -g(x) g(-x)
β) f (x2 - 3x) + f (2x - 6) = 0, x ! R
για κάθε x ! R. Να αποδείξετε ότι:
1.53  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα: α) η f είναι άρτια,
β) η g είναι περιττή.
f (x + y) = f (x) - f (y) για κάθε x, y ! R
1.60  Αν η συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα:
Να αποδείξετε ότι:
α) f (0) = 0, f (xy) = x f (x) + y f (y) για κάθε x, y ! R
β) f (x) = 0 για κάθε x ! R. να αποδείξετε ότι f (x) = 0 για κάθε x ! R.

1.54  Να βρείτε τη συνάρτηση f: R $ R με την 1.61  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα:

ιδιότητα: 2 f (x) - f (1 - x) = x2 + 2x - 1
α) Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
(f (x) - y)(f (y) - x) = 2xy - x2 - y2 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρ-
τησης g(x) = f (x - 2).
για κάθε x, y ! R
1.62  Μια συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί τη
1.55  Δίνεται η συνάρτηση f: R* $ R με την
σχέση:
ιδιότητα: 3 f (x + 1) - 2 f (2 - x) = x2 + 14x - 5
για κάθε x ! R
xf (x) - xyf (x) f (y) $ 1 για κάθε x, y ! R*
4 α) Να βρείτε τον τύπο της f.
1 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρ-
Να αποδείξετε ότι f (x) = 2x , x ! R*. τησης g(x) = f (x - 2) + 1, x ! R.

1.56  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα:
x [f (x) + f (-x) + 2] + 2 f (-x) = 0

για κάθε x ! R

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

β) Να βρείτε τον τύπο της f.

1.57  Να βρείτε τη συνάρτηση f: R $ R σε κα- 1.63  Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R για την

θεμία από τις επόμενες περιπτώσεις: οποία ισχύουν:

34  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

f (x) $ x και f (x + y) $ f (x) + f (y) 1.65  Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα:
για κάθε x, y ! R
f (x) + f (x - 1) = 2 για κάθε x ! R
Να αποδείξετε ότι:
α) f (0) = 0, Να αποδείξετε ότι:
β) f (x) = x για κάθε x ! R. α) f (x + 2) = f (x) για κάθε x ! R ,

1.64  Μια περιττή συνάρτηση f: R $ R έχει την β) η f είναι περιοδική,

ιδιότητα x2 f (x) # x3 για κάθε x ! R. γ) υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x´x,
α) Να αποδείξετε ότι f (0) = 0. η οποία τέμνει τη Cf σε τρία τουλάχιστον σημεία.

β) Να βρείτε τον τύπο της f. 1.66  Για καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρ- να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f: R $ R
τησης g (x) = f (x - 1) . με την αντίστοιχη ιδιότητα:
α) f (x) - x # x2 # f (x - 1) + x για κάθε x ! R
δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της g. β) f (x + y) $ f (x) f (y) $ ex + y για κάθε x, y ! R

Η κατανόηση της θεωρίας

1.67  Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτή- 1.68  Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω

σεις: προτάσεις ή σχέσεις:

α) Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R. α) Αν f: Α $ R, τότε:

i ) Τι λέμε εικόνα ή τιμή του x και πώς συμβο- i) f(Α)=………………………………………
λίζεται;
ii) Μ(α, β) ! Cf , ………………
i i) Τι λέμε σύνολο τιμών της f και πώς συμβο-
λίζεται; β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

iii) Τι λέμε γραφική παράσταση της f και πότε f (x) = a , α!0
ένα σημείο Α(x0 , y0) ! Cf ; x

β) Πώς βρίσκουμε από τη Cf το πεδίο ορισμού και έχει …………… συμμετρίας, ενώ της συνάρτησης
πώς το σύνολο τιμών της f;
f (x) = αx2 έχει …………… συμμετρίας.

γ) Πώς βρίσκουμε τα κοινά σημεία της Cf με τους 1.69  Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις
άξονες;
ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ):
δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των
α) Για να είναι η διαδικασία f από το Α στο R συ-
συναρτήσεων: νάρτηση, πρέπει κάθε x ! Α να έχει μία τουλάχι-
στον τιμή f (x) ! R.
i) f (x) = αx + β
β) Αν η f: Α $ R είναι συνάρτηση και y0 ! f (A),
ii) f (x) = αx2 τότε υπάρχει το πολύ ένα x0 ! Α, ώστε f (x0) = y0 .

iii) f (x) = αx3 γ) Αν υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τον x´x που
a τέμνει μια γραμμή C σε δύο τουλάχιστον σημεία,
iv) f (x) = x (με α ! 0) τότε η C δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση
συνάρτησης.
v) f (x) = αx (0 < α ! 1)
δ) Αν f: Α $ R , τότε η Cf αποτελείται από τα
vi) f (x) = ex
σημεία Μ(x, f (x)), με x ! Α και μόνο.
vii) f (x) = lnx

viii) f (x) = x και f (x) = x

35

ε) Αν f: Α $ R και 0 ! Α, τότε η Cf τέμνει τον η) Αν f (-x) = f (x) για κάθε x !Α, τότε η f είναι
περιττή συνάρτηση.
άξονα y΄y στο σημείο Β(0, f (0)).
θ) Οι γραφικές παραστάσεις των f και f είναι
στ) Δεν υπάρχει συνάρτηση f: Α $ R με f (α) = β, συμμετρικές ως προς τον άξονα x΄x.
f (α) = γ και β ! γ, όπου α ! Α.
ι) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική
ζ) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτη- με τη γραφική παράσταση της -f ως προς τον άξο-
σης έχει κέντρο συμμετρίας και μιας άρτιας συνάρ- να x΄x.
τησης έχει άξονα συμμετρίας.

Θέματα για τις εξετάσεις

Τα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοι-
μασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος.

Θ1.1  Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R η οποία Θ1.3  Έστω f: R $ R μια μη σταθερή συνάρ-

για κάθε x ! R ικανοποιεί τη σχέση: τηση με τις ιδιότητες:
f (x) + x # x2 # f (x + 1) - x f (xy) = f (x) f (y) και

α) Να αποδείξετε ότι: f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy
f (x) $ x2 - x, x ! R για κάθε x, y ! R

β) Να βρείτε τη συνάρτηση f. Να αποδείξετε ότι:
γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. α) f (0) = 0, f (1) = 1 και f (-1) = 1,
δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) η συνάρτηση f είναι άρτια,
Θ1.2  Δίνεται συνάρτηση f: R $ R με:
γ) ο τύπος της συνάρτησης f είναι:
f (x) # x3 και f (x) = x2 για κάθε x ! R
f (x + y) # f (x) + f (y) + 3xy(x + y)
Θ1.4  Δίνεται συνάρτηση f: R $ R με την ιδιό-
για κάθε x, y ! R
α) Να βρείτε το f (0). τητα: (1)
β) Να αποδείξετε ότι: f (x + y) f (x - y) = x2 - y2

f (x) + f (-x) $ 0 για κάθε x ! R για κάθε x, y ! R.
γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x).
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή και α) Να βρείτε το f (0).
να σχεδιάσετε τη Cf .
β) Να αποδείξετε ότι f 2(x) = x2, x ! R.

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

δ) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ικανο-
ποιούν τη σχέση (1).

36  Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις