22198

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα
καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου που έχουν επιλέξει
τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.

Δεν είναι απλά μια προσαρμογή του επί δέκα συναπτά έτη δοκιμασμένου και από-
λυτα επιτυχημένου βιβλίου μας, που αποτέλεσε για χιλιάδες μαθητές το βοήθημα της
επιτυχίας τους, αλλά πρόκειται για ένα νέο βιβλίο, αισθητικά αναβαθμισμένο, ριζικά
αναδομημένο, συμπληρωμένο και εμπλουτισμένο με τις γνώσεις και τις απαιτήσεις του
σήμερα.

Κάθε ενότητα περιέχει:

♦ Τη βασική θεωρία, με σχόλια, παρατηρήσεις και τις απαραίτητες μεθοδεύσεις.

♦ Λυμένες ασκήσεις που επιλέχθηκαν προσεκτικά, ώστε μέσα από τη μελέτη τους ο
μαθητής να κατακτήσει όλες τις έννοιες και τις τεχνικές που αφορούν τη συγκεκριμένη
παράγραφο.

♦ Προτεινόμενες ομάδες ασκήσεων με σκοπό την εξάσκηση και την εμβάθυνση στα
αντίστοιχα θεωρήματα και τις εφαρμογές τους.

♦ Ερωτήσεις κατανόησης για τον έλεγχο της θεωρίας και τον εντοπισμό των πιο λεπτών
σημείων της.

♦ Θέματα προετοιμασίας, δηλαδή ασκήσεις με συνδυασμό ερωτημάτων, στο πνεύμα
των Πανελληνίων Εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να εξοικειώνεται από νωρίς με τη μορφή
και το επίπεδο δυσκολίας της τελικής εξέτασης.

♦ Απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκή-
σεις, ώστε ο μαθητής να ελέγχει τα αποτελέσματά του και η μελέτη να γίνεται ευχάριστη
και αποτελεσματική.

Οι δύο τελευταίες ενότητες είναι αφιερωμένες στη γενική επανάληψη. Περιέχουν
διεξοδικά τη θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων, τους ορισμούς συγκεντρωτι-
κά αλλά και όλα τα θεωρήματα στα οποία μπορεί να ζητηθεί η απόδειξη. Δίνονται επί-
σης τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων των προηγούμενων ετών σύμφωνα με τη
νέα ύλη. Οι επαναληπτικές ενότητες ολοκληρώνονται με τη συστηματοποίηση των
ασκήσεων μέσω γενικών μεθοδεύσεων. Για την τελική εξάσκηση στο τελευταίο στάδιο
της προετοιμασίας δίνονται πάνω από 250 γενικά θέματα.

Θέλουμε να πιστεύουμε ότι το βιβλίο αυτό, βάσει της δομής και του περιεχομένου
του, καθώς και της διδακτικής εμπειρίας των συγγραφέων του, καθίσταται χρήσιμο
εργαλείο στα χέρια των αναγνωστών του και θα οδηγήσει τους υποψηφίους στην επί-
τευξη των στόχων τους.

Ευχαριστούμε από τη θέση αυτή τις συναδέλφους Φωτεινή Καλδή και Αντιγόνη
Λυκοτραφίτη για τις παρατηρήσεις τους, καθώς και τον Δημήτρη Τσάκο για την επιμέ-
λεια του βιβλίου.

Οι συγγραφείς



Περιεχόμενα

 1. Μονοτονία συνάρτησης..........................................................................................11
 2. Το θεώρημα Fermat, Τοπικά ακρότατα συνάρτησης...............................................69
 3. Προβλήματα ακροτάτων....................................................................................... 111
 4. Κυρτότητα, Σημεία καμπής...................................................................................120
 5. Ασύμπτωτες...........................................................................................................156
 6. Κανόνες de L' Hospital..........................................................................................173
 7. Μελέτη συνάρτησης..............................................................................................200
♦ 1ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................213
♦ 2ο κριτήριο αξιολόγησης........................................................................................214
♦ 1η επανάληψη......................................................................................................216
 8. Αρχική συνάρτηση................................................................................................224
 9. Ορισμένο ολοκλήρωμα.........................................................................................244
10. Θεμελιώδες θεώρημα, Μέθοδοι ολοκλήρωσης.....................................................259
11. Ολοκλήρωση, Ειδικές αντικαταστάσεις................................................................298
12. Εμβαδόν επιπέδου χωρίου.....................................................................................334
13. Ειδικά θέματα στο ολοκλήρωμα...........................................................................361
 ♦ 2η επανάληψη......................................................................................................384
14. 1η συστηματική επανάληψη...............................................................................391
•  Θεωρία - Βασικές ασκήσεις...............................................................................391
•  Η θεωρία συγκεντρωτικά...................................................................................415
•  Θέματα Πανελλαδικών......................................................................................418
15. 2η συστηματική επανάληψη...............................................................................429
•  Η μεθόδευση των θεμάτων................................................................................429
•  Γενικά θέματα επανάληψης...............................................................................441
•  Συμπληρωματικές ασκήσεις και θέματα............................................................460
Υποδείξεις - Απαντήσεις............................................................................................479



1 Μονοτονία συνάρτησης

Βασική θεωρία και ασκήσεις

1. Εύρεση της μονοτονίας συνάρτησης

Α. ΘΕΩΡΙΑ

Έστω f: Δ $ R μια συνεχής συνάρτηση, όπου Δ διάστημα.

α) Να διατυπώσετε το θεώρημα το οποίο συνδέει την παράγωγο της f και τη μονο-

τονία της. Απάντηση

Η μονοτονία της f στο Δ και η παράγωγός της συνδέονται με το εξής θεώρημα:

♦ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ´(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

♦ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ΄(x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Χρήσιμες επισημάνσεις

i) Στα άκρα του Δ δεν μας ενδιαφέρει ούτε το πρόσημο της f ΄ ούτε καν η ύπαρξή της.
Το μόνο απαραίτητο είναι η συνέχεια της f στα άκρα του Δ, εφόσον φυσικά κάποιο από
αυτά είναι κλειστό.

ii) Αν f ´(x) $ 0 (ή f ´(x) # 0) στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι αύξουσα (ή φθί-

νουσα αντίστοιχα) στο Δ.

iii) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα Δ, τότε f ´(x) $ 0

(ή f ´(x) # 0 αντίστοιχα) στο εσωτερικό του Δ, αρκεί βέβαια η f να παραγωγίζεται στο

εσωτερικό του Δ.

iv) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και η f ΄ μηδενίζεται σε πεπερασμένο πλήθος
σημείων του Δ χωρίς όμως η f ΄ να αλλάζει πρόσημο, τότε η f είναι γνησίως μονότονη
στο Δ.

11

v) Υπενθυμίζουμε ότι:
♦ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f είναι "1 - 1". Το αντίστροφο δεν

ισχύει.
♦ Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.
♦ Αν η f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα Δ1 , Δ2 με το ίδιο είδος μονοτονίας,

δεν είναι υποχρεωτικό να είναι γνησίως μονότονη και στο Δ1 , Δ2 .

β) Τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της f, αν f ´(x) > 0 (ή αν f ´(x) < 0) για κάθε

x ! Α = Δ1 , Δ2 , όπου Δ1 και Δ2 είναι διαστήματα του πεδίου ορισμού της f;
Απάντηση

Αν αντί για διάστημα Δ έχουμε το σύνολο Α = Δ1 , Δ2 , στο οποίο η f είναι συνεχής και
η f ΄ έχει το ίδιο πρόσημο στα εσωτερικά των Δ1 και Δ2 , τότε δεν προκύπτει ότι η f είναι
γνησίως μονότονη στο Α, αλλά ότι είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα Δ1 και Δ2
και φυσικά με το ίδιο είδος μονοτονίας. Για τον λόγο αυτό στον πίνακα μονοτονίας της
f βάζουμε:
♦ τις τιμές όπου η f δεν ορίζεται (υποχρεωτικά),
♦ τις ρίζες της f ΄, αν υπάρχουν,
♦ τα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της f.

Β. ΜΕΘΟΔΟΣ

Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

♦ Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Df και εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής.
♦ Βρίσκουμε την f ´ και τις ρίζες της f ΄, αν υπάρχουν, λύνοντας την εξίσωση:

f ΄(x) = 0
♦ Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f ΄, στον οποίο βάζουμε τα άκρα των

διαστημάτων του Df και τις ρίζες της f ΄(x), αν υπάρχουν. Σε καθένα από τα διαστή-
ματα που δημιουργούνται, βρίσκουμε για την f ´ το πρόσημό της. (Αν υπάρχουν και
σημεία ασυνέχειας, πρέπει να μπουν και αυτά.)

♦ Σε κάθε διάστημα Δ που η f είναι συνεχής και στο εσωτερικό του η f ΄ είναι θετική
(ή αρνητική), η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα). Τονίζουμε
ότι τα διαστήματα μονοτονίας της f στα σημεία που είναι ρίζες της f ΄ είναι κλειστά.

Το πρόσημο της f ΄ βρίσκεται είτε με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής (αν η f ΄ είναι
συνεχής) είτε λύνοντας (αν είναι δυνατόν) τις ανισώσεις f ΄(x) > 0 ή f ΄(x) < 0.
Η μέθοδος εύρεσης του προσήμου της f ΄ πρέπει να αναφέρεται, διότι στις εξετάσεις
συχνά βαθμολογείται.

12  μονοτονια συναρτησης

1.1 Δίνονται οι συναρτήσεις: x 2 + 3x + 5
x-1
f (x) = -x3 - 3x2 + 9x + 2 και g(x) =

α) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι f και f ΄.

β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g.

Λύση

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της Df = R με f ´(x) = -3x2 - 6x + 9. Είναι:

f ´(x) = 0 , -3x2 - 6x + 9 = 0 ,

, (x = -3 ή x = 1)

Από τον πίνακα προσήμου της f ΄ προκύπτει ότι η f

είναι:

♦ γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-3, -3] και [1, +3),

♦ γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-3, 1].

Είναι επίσης:

f ´´(x) = -6x - 6 και f ´´(x) = 0 , x = -1

Από τον πίνακα προσήμου της f ΄΄ προκύπτει ότι η f ΄

είναι:

♦ γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-3, -1],

♦ γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-1, +3).

β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Dg = R - {1} και είναι συνεχής σε
αυτό. Είναι:

♦ g´(x) = (2x + 3) (x - 1) - (x 2 + 3x + 5) = x 2 - 2x - 8 , x ! 1
(x - 1)2 (x - 1)2

♦ g´(x) = 0 , x2 - 2x - 8 = 0 ,

, (x = -2 ή x = 4)

Από τον πίνακα προσήμου της g΄ προκύπτει ότι η g

είναι:

♦ γνησίως αύξουσα στα (-3, -2] και [4, +3),

♦ γνησίως φθίνουσα στα [-2, 1) και (1, 4].

Σχόλιο
Η εύρεση του προσήμου της f ´ βρίσκεται είτε λύνοντας τις ανισώσεις f ´(x) > 0, f ´(x) < 0
είτε με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής σε κάθε διάστημα (τη μέθοδο αυτή συνιστούμε
και εμείς) είτε με τη μέθοδο του τριωνύμου κ.λπ.
Προτείνουμε στους μαθητές να αναγράφουν στο γραπτό τους τον τρόπο εύρεσης του
προσήμου της f ΄, διότι κατά τη διόρθωση αυτό βαθμολογείται θετικά. Χωρίς αιτιολό-
γηση, ορισμένοι συνάδελφοι θεωρούν το γραπτό ελλιπές και αφαιρούν μονάδες.

13

1.2 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις:

α) f (x) = (x2 + 2x + 1)e-x β) f (x) = x2(2lnx - 1) - 8x(lnx - 1)

Λύση

α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Df = R, στο οποίο είναι προφανώς συνεχής
και παραγωγίσιμη, με:

f ´(x) = ((x2 + 2x + 1)e-x)´ = (2x + 2)e-x - (x2 + 2x + 1)e-x =

= e-x(2x + 2 - x2 - 2x - 1) = e-x(1 - x2)

Βρίσκουμε στη συνέχεια τις ρίζες της f ´, λύνοντας την εξίσωση f ´(x) = 0:
f ´(x) = 0 , (1 - x2)e-x = 0 , 1 - x2 = 0 , (x = 1 ή x = -1)

Βρίσκουμε το πρόσημο της f ´. Επειδή f ´(-2) < 0, f ´(0) > 0 και f ´(2) > 0, η f ΄ είναι
αρνητική στα (-3, -1), (1, +3) και θετική στο διάστημα (-1, 1).

Άλλωστε είναι φανερό ότι το πρόσημο της f ´ είναι
ίδιο με το πρόσημο του 1 - x2, αφού e-x > 0,
δηλαδή αρνητικό έξω από το διάστημα των ριζών 1
και -1 και θετικό εντός αυτών.

Το πρόσημο της f ´ φαίνεται στον διπλανό πίνακα,
απʼ όπου προκύπτει ότι η f είναι:

♦ Γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-3, -1] και [1, +3).

♦ Γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-1, 1].

β) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = (0, +3).

Είναι:

f' (x) = 2x (2 ln x - 1) + x2 $ 2 - 8 (ln x - 1) - 8x $ 1 =
x x

= 4xlnx - 2x + 2x - 8lnx = 4(x - 2)lnx, x > 0

Επομένως:

f ´(x) = 0 , (x = 2 ή x = 1)

Η f΄ είναι συνεχής, f ´(3) > 0, οπότε f ´(x) > 0 στο (2, +3), f 'b 3 l < 0, οπότε
f ´(x) < 0 στο (1, 2) και f'b 2
1 2 >
2 l 0, οπότε f ´(x) 0 στο (0, 1).

Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε το πρόσημο της f ΄,
που φαίνεται και στον σχετικό πίνακα.

Το πρόσημο της f ΄ βρίσκεται και με βοηθητικό πί-
νακα, βρίσκοντας χωριστά το πρόσημο των x - 2,
lnx και τελικά το πρόσημο του γινομένου:

4(x - 2)lnx

14  μονοτονια συναρτησης

Από τον πίνακα προσήμου της f ΄ προκύπτει ότι η f είναι:
♦ γνησίως αύξουσα στα (0, 1] και [2, +3),
♦ γνησίως φθίνουσα στο [1, 2].

2. Μονοτονία και τοπικά ακρότατα

ΜΕΘΟΔΟΣ
Αν βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας μιας συνεχούς συνάρτησης f: Α $ R, μπορού-
με συγχρόνως να βρούμε και τα τοπικά της ακρότατα. Η δυνατότητα αυτή πηγάζει από
την παρακάτω παρατήρηση:

Έστω συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο (α, β) και x0 ! (α, β).
♦ Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, x0] και

γνησίως φθίνουσα στο [x0 , β), τότε το f (x0)
είναι τοπικό μέγιστο της f και μάλιστα ολικό μέ-
γιστο της f στο (α, β) (σχ. α).

♦ Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, x0] και
γνησίως αύξουσα στο [x0 , β), τότε το f (x0)
είναι τοπικό ελάχιστο της f και μάλιστα ολικό
ελάχιστο της f στο (α, β) (σχ. β).

♦ Τονίζουμε ότι τα α, β μπορεί να είναι ίσα με -3 ή +3, όπως επίσης ότι ένα τουλά-
χιστον από τα άκρα α, β μπορεί να είναι και κλειστό.

♦ Θυμίζουμε επίσης ότι αν η f είναι γνησίως μονότονη στα (α, x0], [x0 , β) και έχει το
ίδιο είδος μονοτονίας στα διαστήματα αυτά, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε ολό-
κληρο το (α, β).

Και εδώ τα α, β μπορεί να είναι κλειστά άκρα,
+3 ή -3. Ειδικότερα ισχύει η εξής πρόταση:

Αν η f είναι συνεχής στο x0 ! (α, β) και η f ´
δεν αλλάζει πρόσημο στα (α, x0), (x0 , β),
δηλαδή η f ´ διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέ-
ρωθεν του x0 , τότε το f (x0) δεν είναι τοπικό
ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη σε
ολόκληρο το (α, β) (σχ. γ και σχ. δ).

Με τα τοπικά όμως ακρότατα θα ασχοληθούμε πιο συστηματικά και στην επόμενη ενό-
τητα.

15

Είναι:

g´(x) = f ´(x) - f ´(α) και g´´(x) = (f ´(x) - f ´(α))΄ = f ´´(x) < 0

Επομένως η g΄ είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή ισχύει
g΄(α) = 0, η g΄ είναι θετική στο (-3, α) και αρνητική
στο (α, +3). Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο
(-3, α] και γνησίως φθίνουσα στο [α, +3).
Επειδή g(α) = 0, θα είναι:
g(x) # g(α) = 0 για κάθε x ! R , οπότε
g(x) # 0 , f (x) # f ´(α)(x - α) + f (α)

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Σχόλιο

Αξίζει να σημειώσουμε ότι το θέμα αντιμετωπίζεται και με το θεώρημα μέσης τιμής,
αφού για κάθε x ! α υπάρχει ξ μεταξύ των x και α τέτοιο, ώστε:

f (x) - f (α) = f ΄(ξ)(x - α)

Η ζητούμενη ανισότητα είναι έτσι ισοδύναμη με την ανισότητα:

(f ´(ξ) - f ´(α))(x - α) # 0

η οποία ισχύει, διότι οι παράγοντες f ΄(ξ) - f ΄(α) και x - α είναι ετερόσημοι, μια και
η f ´ είναι γνησίως φθίνουσα. Για x = α (και μόνο) η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα.

Ασκήσεις που ξεχωρίζουν

1.23  Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R $ R για την οποία ισχύει:

f ´(x) > 3x2 για κάθε x ! R και f (0) = 0

α) Να αποδειχθεί ότι:

lim f (x) = +3 και lim f (x) = -3
x"+3 x"-3

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.

γ) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f.
Λύση

Πρόκειται για χαρακτηριστικό θέμα, διότι δείχνει έναν τρόπο αξιοποίησης μιας ανισοτι-
κής σχέσης που περιέχει παράγωγο. Τονίζουμε ότι οι ανισοτικές σχέσεις ούτε παραγωγί-
ζονται ούτε αντιπαραγωγίζονται (ολοκληρώνονται).

α) Επειδή 3x2 = (x3)´, προκύπτει ότι:

f ´(x) > 3x2 , f ´(x) > (x3)´ , f ´(x) - (x3)´ > 0 , (f (x) - x3)´ > 0 (1)

42  μονοτονια συναρτησης

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f (x) - x3.

Λόγω της σχέσης (1) είναι g´(x) > 0, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο R.

♦ Με x > 0 παίρνουμε:

g(x) > g(0) , f (x) - x3 > 0 , f (x) > x3 > 0

Άρα 0 1 1 1 1 και επειδή lim 1 = 0, από το κριτήριο παρεμβολής προ-
f (x) x3 x3
x"+3

κύπτει ότι: 1
f (x)
lim = 0

x"+3

Επειδή f (x) > 0, η τελευταία σχέση δίνει:

lim 1 k = +3 , lim f (x) = +3
ax "+3 x"+3
1
f (x)

♦ Με x < 0 παίρνουμε:

g(x) < g(0) , f (x) < x3 < 0

Άρα 0 2 1 2 1 και επειδή lim 1 = 0, από το κριτήριο παρεμβολής προ-
f (x) x3 x3
x"-3

κύπτει ότι: 1
f (x)
lim = 0

x"-3

Επειδή f (x) < 0, η τελευταία σχέση δίνει:

lim 1 k = -3 , lim f (x) = -3
ax "-3 x"-3
1
f (x)

β) Η f είναι συνεχής στο R, ως παραγωγίσιμη, και ισχύει lim f (x) =+3, lim f (x) =-3.
x"+3 x"-3
Επομένως η f έχει σύνολο τιμών το R.

γ) Είναι f ´(x) > 3x2 $ 0, δηλαδή f ´(x) > 0 για κάθε x ! R. Άρα η f είναι γνησίως
αύξουσα. Επειδή f (0) = 0, η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα τη x = 0.
Αφού γνωρίζουμε τη μονοτονία και τη ρίζα της f (x) = 0, βρίσκουμε το πρόσημό της
ως εξής:

♦ Για x < 0 είναι f (x) < f (0) , f (x) < 0.

♦ Για x > 0 είναι f (x) > f (0) , f (x) > 0.

Επομένως η f είναι αρνητική στο διάστημα (-3, 0) και
θετική στο διάστημα (0, +3).

1.24  Να αποδειχθεί ότι:

α) b x + 1 x + 1 x x για κάθε x>0
2
l #

β) ex # (x + 1)x + 1 για κάθε x > -1

43

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-1, 0] και γνη-
σίως φθίνουσα στο [0, +3). Επομένως:
♦ x < 0 , f (x) < f (0) , f (x) < 0

♦ x $ 0 , f (x) # f (0) , f (x) # 0
Άρα f (x) # 0 για κάθε x > -1, σχέση που απο-
δεικνύει τη ζητούμενη ανισότητα.

Σχόλιο

Με την ίδια ακριβώς πορεία λύνουμε και τις εξισώσεις:

b x + 1 lx + 1 x x και ex = (x + 1)x + 1
2
=

οι οποίες έχουν, όπως δείχνουν οι προηγούμενοι πίνακες, μοναδική λύση τη x = 1 και

τη x = 0 αντίστοιχα.

Θεωρητικές ασκήσεις

1.25  Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x3 + 3x2 - α, α ! R.

α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
β) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (-1), καθώς και τα όρια:

A = lim f (x) και B = lim f (x)
x"-3 x"+3

γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = 0 για τις διάφορες

τιμές του α.

Λύση

α) Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R.

Είναι:
♦ f ´(x) = (2x3 + 3x2 - α)΄ = 6x2 + 6x = 6x(x + 1)
♦ f ´(x) = 0 , 6x(x + 1) = 0 , (x = 0 ή x = -1)

Το πρόσημο της f ´(x) προκύπτει κατά τα γνωστά,

οπότε η μονοτονία της f φαίνεται στον διπλανό πί-

νακα. Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστή-
ματα (-3, -1], [0, +3) και γνησίως φθίνουσα
στο διάστημα [-1, 0].

β) Είναι f (0) = -α και f (-1) = 1 - α.

Ακόμη:

♦ A = lim f (x) = lim (2x 3) = -3
x"-3 x"-3

45

Προτεινόμενες ασκήσεις

1. Εύρεση μονοτονίας

1.30  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ- 1.34  Δίνεται η συνάρτηση:

ναρτήσεις: f (x) = x4 - 12x3 + 48x2 - 64x + 10
α) f (x) = x3 + 3x + 1 α) Να βρείτε την f ΄ και την f ΄΄.
β) f (x) = x5 + 2x3 + x + 2 β) Να λύσετε την εξίσωση f ´(x) = 0.
γ) f (x) = lnx + x γ) Να βρείτε το πρόσημο της f ΄.
δ) f (x) = ex + x + 3 δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
ε) f (x) = e-x - x + 1 ε) Να μελετήσετε την f ΄ ως προς τη μονοτονία.
στ) f (x) = x5 + 1
1.35  Δίνεται η συνάρτηση:
1.31  Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f
x2 +x + 2
στις παρακάτω περιπτώσεις: f (x) = x- 1

α) f (x) = 1 - 1 β) f (x) = x 1 1 + 2 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτή-
x -
σεις:
γ) f (x) = x δ) f (x) = x
2 - x x2 - 1 α) f (x) β) f ΄(x)

1.32  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ- 1.36  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ-

ναρτήσεις: ναρτήσεις:

α) f (x) = x3 - 3x + 1 α) f (x) = 5 - 12x + 9x2 - 2x3

β) f (x) = x3 - x2 - 2x + 1 β) g(x) = x2
3 2 x+1

γ) f (x) = xlnx - x + 1 γ) h(x) = x + 1 + 1
x+1
δ) f (x) = ex - x x2 - 2
δ) φ(x) = 2x - 3
1.33  Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα
1.37  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ-
[-2, 7] με παράγωγο της οποίας η γραφική παρά-
ναρτήσεις:
σταση Cf' φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α) f (x) = ln x + 2
x2

β) g(x) = ln x + 2 - 2 x- 4
x x

γ) h(x) = x + 1 - ln x
x - 1

1.38  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις επό-

μενες συναρτήσεις:

α) f (x) = 2(lnx - 1)(x2 - 2x) - (x - 2)2 + 5

Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. β) f (x) = 2xex - e(x + 1)2

Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

56  μονοτονια συναρτησης

γ) f (x) = (x + 1)2 - 2xex - 1 + 2 α) f (x) = *-xx2 - 2x + 4, an x#2
2 + 6x - 4, an x>2
1.39  Δίνεται η συνάρτηση:
*-2x3x3 2 an
f (x) = ln x2 1 + x 6 1 β) f (x) = - 15x 2 + 36x - 10, an x$1
x+ + 3 + 9x - 15x + 22, x <1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. 1.41  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ-

β) Να αποδείξετε ότι f' (x) = x2- 3x + 2 . ναρτήσεις:
x (x + 1) 2
*22xx 3 + 9x 2 + 12x + 16, an x 11
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. α) f (x) = 3 - 27x 2 + 84x - 20, an x $1

1.40  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ- β) g (x) = *-2x132-(x9+x 2) e -x, - 24, an x#0
2 + 12x an x20
ναρτήσεις που ακολουθούν:

2. Εύρεση μονοτονίας με βοηθητική

1.42  Δίνονται οι συναρτήσεις: γ) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα
στο (0, π).
f (x) = x - 2 - xlnx και g(x) = ln x
x-2
1.46  e x- 1.
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x

β) Να αποδείξετε ότι x < 2 + xlnx για κάθε x > 0. α) Να βρείτε το πρόσημο της:

γ) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία. g(x) = xex - ex + 1, x ! R

1.43  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ- β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

ναρτήσεις: 1.47  Δίνεται η συνάρτηση:

α) f (x) = e x - x2 - x - 1 f (x) = ln x - x, x > 0
2 x
x2+
β) g(x) = x ln x - 2 1 α) Να βρείτε την παράγωγο της f.

1.44  Δίνονται οι συναρτήσεις: β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

f (x) = lnx + 1 - x και g(x) = x ln x 1.48  Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xln-x1.
x-1
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να αποδείξετε ότι x $ lnx + 1 για κάθε x > 0.

γ) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία.

1.45  Δίνονται οι συναρτήσεις: 1.49  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συ-

f (x) = ημx - xσυνx και g(x) = hmx ναρτήσεις:
x
με x ! (0, π). α) f (x) = ln x 1) β) g(x) = x
(x + ex-1

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μο- 1.50  Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συ-

νοτονία στο διάστημα [0, π]. ναρτήσεων:

β) Να αποδείξετε ότι: α) f (x) = x - ln x β) f (x) = ln x - ln x
2x 1- x
f (x) > 0 για κάθε x ! (0, π)

57

β) αν η f είναι γνησίως φθίνουσα ή φθίνουσα, τότε: γ) Αν x > 0, να αποδείξετε ότι:
f ´(x) # 0 για κάθε x ! Δ x(2 + συνx) > 3ημx

1.124  Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R $ R δ) Να βρείτε τα όρια:

για την οποία ισχύουν: A = lim f (x) και B = lim f (x)
f (x) > -1 και e f(x) + 1 + f (x) = 2 x"+3 x"-3

για κάθε x ! R. 1.126  Αν x > 0 και α > 1, να λύσετε την εξίσω-
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
β) Να βρείτε τον τύπο της f. ση x x = a .x+a2

1.127  Δίνεται η συνάρτηση:

f (x) = 3x4 + 4βx3 + β4, β ! R

1.125  Δίνεται η συνάρτηση: α) Να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε
ότι f (x) $ 0 για κάθε x ! R.
f (x) = x - 3hmx
2 + synx β) Να αποδείξετε ότι:
3α4 + 4α3βγ + β4γ4 $ 0
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.
για κάθε α, β, γ ! R.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Η κατανόηση της θεωρίας

1.128  Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτή- 1.130  Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτά-

σεις: σεις ως σωστές (Σ) ή ως λανθασμένες (Λ):

α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α και ισχύει
και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του f ΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Α, τότε η
πεδίου ορισμού της;
β) Πώς λέγεται μια συνάρτηση που είναι γνησίως f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Α.
αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ
του πεδίου ορισμού της; β) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγω-
γ) Ποιες προϋποθέσεις εξασφαλίζουν ότι μια συ- γίσιμη στο εσωτερικό του Δ και γνησίως φθίνουσα
νάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και ποιες ότι εί- στο Δ, τότε f ΄(x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x
ναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ; του Δ.

1.129  Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακά- γ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε
ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει το
τω προτάσεις:
πολύ μία ρίζα στο Δ.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι ………………… σε
ένα …………………… Δ και …………………… δ) Αν f ´(x) > 0 σε κάθε σημείο x ενός διαστήμα-
σε κάθε ……………………… σημείο x του Δ, τος Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστη-
β) Αν μια συνάρτηση f είναι ………………… σε μα Δ και f ΄(x) $ 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του
ένα …………………… Δ και …………………… Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο Δ.
σε κάθε ……………………… σημείο x του Δ, τότε
η f είναι ………………… φθίνουσα σε όλο το Δ. στ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα Δ = (α, β), τότε το σύνολο τιμών της f

στο Δ είναι:

f (D) = a lim f (x), lim f (x)k

x"b- x"a+

65

ζ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα ι) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε
Δ = (α, β) και f ´(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ένα διάστημα Δ, τότε είναι και "1 - 1" στο Δ.
x του Δ, τότε:
ια) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής

f (D) = a lim f (x), lim f (x)k σε ένα διάστημα Δ. Αν f ΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερι-

x"a+ x"b- κό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα

η) Αν f ´´(x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x σε όλο το Δ. (Θέμα εξετάσεων)
ενός διαστήματος Δ, τότε η f ΄ είναι γνησίως φθί-
νουσα σε ολόκληρο το Δ. 1.131  Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:

θ) Αν η f είναι συνεχής στο Α = (α, β) , (γ, δ) και Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε
f ´(x) > 0 για κάθε x ! Α, τότε η f είναι γνησίως
αύξουσα στο Α. ένα διάστημα Δ. Αν f ΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε

όλο το Δ. (Εξετάσεις 2012)

Θέματα για τις εξετάσεις

Τα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοι-
μασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος.

Θ1.1  Δίνεται η συνάρτηση: α) Να βρείτε την παράγωγο της f.

f (x) = ln x , x > 0 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
x
γ) Να αποδείξετε ότι:
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 2 x - ln x $ 2 για κάθε x > 0
x
β) Να αποδείξετε ότι eπ > πe.
δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0.
γ) Να αποδείξετε ότι ex $ xe για κάθε x > 0.

δ) Να αποδείξετε ότι: Θ1.4  Έστω f: R $ R παραγωγίσιμη συνάρτη-
αα + 1 > (α + 1)α για κάθε α $ e
ση με f (0) = 3 και:
Θ1.2  Δίνεται η συνάρτηση:
f ' (x) = f (x) x για κάθε x ! R
(x - 1) e x + 1 f (x) -
f (x) = x2
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και την παρά- g(x) = f (x) - x
γωγο της f.
είναι θετική στο R.

β) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης: β) Να αποδείξετε ότι f (x) = x + x 2 + 9 .
g(x) = x2ex - 2(x - 1)ex - 2, x ! R
γ) Να βρείτε το όριο A = lim f (x).
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. x"-3

δ) Να βρείτε το όριο A = lim f (x). δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονό-
x"-3 τονη.

Θ1.3  Δίνεται η συνάρτηση: Θ1.5  Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R είναι δύο

f (x) = 1 - x + ln x φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση:
2x
f (f ´(x)) + f (x) = 0 για κάθε x > 0

66  μονοτονια συναρτησης