The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Savalas Publications, 2020-12-30 04:03:50

22160

22160

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Το βιβλίο αυτό είναι ένα πλήρες βοήθημα και γράφτηκε με σκοπό να σε βοη-
θήσει στην προετοιμασία για τις εξετάσεις.
Κάθε ενότητα περιέχει:
• Πλήρη ανάπτυξη της θεωρίας του σχολικού βιβλίου με σχόλια και παρα-
τηρήσεις. Κάθε μέρος της εξεταζόμενης θεωρίας, για την καλύτερη κατανόησή
του, συνοδεύεται από βασικό λυμένο παράδειγμα.
• Χαρακτηριστικά θέματα, τα οποία έχουν λυθεί υποδειγματικά και στα
οποία παρουσιάζονται βασικές μέθοδοι εργασίας.
• Προτεινόμενες ασκήσεις για λύση, απλές και σύνθετες, οι οποίες είναι
χωρισμένες σε κατηγορίες. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στην κατηγορία ασκή-
σεων «Σύνδεση με προηγούμενες έννοιες», η οποία περιλαμβάνει ασκήσεις
με συνδυασμό ερωτημάτων από όλη την ύλη της ενότητας που εξετάζεται και
την ύλη των ενοτήτων που προηγήθηκαν.
• Θέματα από εξετάσεις προηγούμενων ετών, τα οποία εμφανίζονται πά-
ντα στην τελευταία κατηγορία των προτεινόμενων ασκήσεων για λύση.
• Ένα ή περισσότερα κριτήρια αξιολόγησης, τα οποία θα σε βοηθήσουν να
διαπιστώσεις σε ποιον βαθμό έχεις κατανοήσει την ύλη κάθε ενότητας.
Μετά το τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει ενότητα με επαναληπτικά θέματα,
τα οποία είναι χωρισμένα σε δύο ομάδες δυσκολίας και θα σε βοηθήσουν να
αξιολογηθείς, με την καθοδήγηση του καθηγητή σου.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις
λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκήσεις.
Εκφράζω ενδόμυχα την ελπίδα το παρόν βιβλίο να είναι ένας από τους συνο-
δοιπόρους για την Ιθάκη σου.
Από τη θέση αυτή θα ήθελα να ομολογήσω ότι οφείλω τα μέγιστα στον
συνάδελφο Δημήτρη Τσάκο για τις παρατηρήσεις του και την επιμέλεια του
βιβλίου και στους συναδέλφους Μπάμπη Στεργίου, Αντιγόνη Λυκοτραφίτη
και Γρηγόρη Κωστάκο για τις συζητήσεις που είχαμε κατά τη συγγραφή του
βιβλίου.
Ο συγγραφέας
Νίκος Σκομπρής

Πρόταση μελέτης

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Ένα βοηθητικό βιβλίο πρέπει να καλύπτει, εκτός από τα θέματα του σχολικού βιβλίου,
και άλλα πολλά, πιο εύκολα ή πιο δύσκολα.
Εδώ σου προτείνουμε θέματα που, κατά την άποψή μας, πρέπει να μελετήσεις κατά τη
διάρκεια του σχολικού έτους καθώς και στο στάδιο των επαναλήψεων για τις τελικές
εξετάσεις. Επιπλέον συνιστούμε να μελετηθούν όλα τα κριτήρια αξιολόγησης που υπάρ-
χουν στο τέλος κάθε ενότητας.

1. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης
1.1 έως 1.12, 1.23, 1.25, 1.26, 1.29, 1.32, 1.35, 1.36 έως 1.42, 1.44, 1.46, 1.48, 1.60, 1.61,
1.62, 1.76 έως 1.79, 1.85, 1.86, 1.88, 1.89, 1.91, 1.94, 1.95, 1.96, 1.97

2. Ισότητα συναρτήσεων, Πράξεις συναρτήσεων, Σύνθεση συναρτήσεων
2.1 έως 2.7, 2.11, 2.12, 2.15, 2.17, 2.28, 2.29, 2.37, 2.38, 2.44, 2.45, 2.49, 2.50, 2.51, 2.54,
2.56, 2.57, 2.58, 2.60, 2.62, 2.63, 2.68, 2.69, 2.72 έως 2.78

3. Μονοτονία - ακρότατα συνάρτησης
3.1 έως 3.7, 3.10, 3.11, 3.12, 3.14, 3.16, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.23, 3.25, 3.26, 3.27, 3.30,
3.31, 3.34, 3.35, 3.37, 3.38, 3.39, 3.40, 3.41, 3.43, 3.45, 3.50, 3.53, 3.57, 3.59, 3.61, 3.62,
3.63, 3.65 έως 3.79

4. Η «1-1» συνάρτηση
4.1 έως 4.5, 4.7, 4.8, 4.10, 4.12, 4.14, 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.23, 4.24, 4.25 έως
4.34, 4.39, 4.40, 4.42, 4.43, 4.44

5. Η αντίστροφη συνάρτηση
5.1 έως 5.7, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.15, 5.16, 5.18 έως 5.28, 5.31, 5.33 έως 5.49, 5.53, 5.57,
5.58, 5.59, 5.60, 5.61, 5.62, 5.65

6. Επαναληπτικά θέματα στις συναρτήσεις
Θεωρούμε απαραίτητο να μελετηθούν όλα τα θέματα, μιας και ο σκοπός της ενότητας
αυτής είναι να παρουσιάσει συνδυαστικά θέματα στα κεφάλαια 1 έως 5.

7. Όριο συνάρτησης στο x0 ! R
7.1 έως 7.17, 7.19, 7.29, 7.30, 7.31, 7.32, 7.36, 7.37, 7.41, 7.42, 7.43, 7.44, 7.46, 7.47, 7.49,
7.50, 7.53, 7.55, 7.57, 7.62, 7.64, 7.66, 7.67, 7.68, 7.72, 7.74, 7.77, 7.80, 7.81, 7.83, 7.86,
7.89, 7.92, 7.93, 7.94, 7.95, 7.96, 7.100, 7.101, 7.103, 7.105, 7.110, 7.111, 7.112, 7.113,
7.116, 7.119, 7.120, 7.122, 7.123, 7.124 έως 7.131

8. Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων, Όριο σύνθετης συνάρτησης
8.1 έως 8.11, 8.13, 8.14, 8.15, 8.19, 8.20, 8.21, 8.23, 8.24, 8.28, 8.29, 8.32, 8.34, 8.36, 8.37,
8.38, 8.44, 8.45, 8.47, 8.49, 8.52, 8.53, 8.55, 8.59, 8.60, 8.61, 8.63, 8.66, 8.68, 8.70, 8.72,
8.73, 8.76, 8.77, 8.81, 8.84, 8.87, 8.89, 8.90, 8.92, 8.96, 8.97, 8.99, 8.100, 8.102, 8.104,
8.107, 8.109, 8.111, 8.112, 8.114, 8.115, 8.116, 8.118, 8.120, 8.121, 8.125, 8.127 έως 8.132,
8.135 έως 8.141

9. Μη πεπερασμένο όριο στο x0 ! R
9.1 έως 9.10, 9.12, 9.13, 9.17, 9.19, 9.23 έως 9.26, 9.30 έως 9.35, 9.40, 9.41, 9.47, 9.51,
9.53, 9.54, 9.57, 9.58, 9.59, 9.63, 9.64, 9.66, 9.67, 9.69, 9.75, 9.78, 9.80, 9.83, 9.84, 9.88 έως
9.92

10. Όριο συνάρτησης στο άπειρο
10.1 έως 10.14, 10.18, 10.21, 10.26, 10.27, 10.30, 10.31, 10.34, 10.35, 10.39, 10.40, 10.47,
10.48, 10.50, 10.55, 10.57, 10.59, 10.60, 10.61, 10.67, 10.69, 10.73, 10.76, 10.78, 10.81,
10.82, 10.83, 10.88, 10.90, 10.93, 10.95, 10.97, 10.99, 10.102 έως 10.111

11. Όριο εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης
11.1 έως 11.7, 11.12, 11.13, 11.15, 11.17, 11.18, 11.24, 11.25, 11.28, 11.30, 11.32, 11.34,
11.36, 11.38, 11.39, 11.40, 11.41, 11.42, 11.43, 11.44, 11.45, 11.47, 11.49, 11.51 έως 11.61

12. Συνέχεια συνάρτησης
12.1 έως 12.8, 12.11, 12.13, 12.14, 12.16, 12.17, 12.18, 12.20, 12.23, 12.25, 12.26, 12.28,
12.33, 12.34, 12.35, 12.41, 12.46, 12.47, 12.48, 12.50, 12.52, 12.54, 12.56, 12.58, 12.60,
12.61, 12.62, 12.63, 12.65, 12.66, 12.68, 12.70 έως 12.89

13. Το θεώρημα Bolzano
13.1 έως 13.8, 13.12 έως 13.15, 13.18, 13.21 έως 13.23, 13.26, 13.28, 13.31, 13.33, 13.36,
13.42, 13.43, 13.46, 13.47, 13.52, 13.53, 13.58, 13.60, 13.65, 13.66, 13.69, 13.71, 13.77,
13.78, 13.80 έως 13.85, 13.90 έως 13.121

14. Συνέπειες του θεωρήματος Bolzano
14.1 έως 14.3, 14.6 έως 14.9, 14.11, 14.13, 14.14, 14.15, 14.18 έως 14.45

15. Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής
15.1 έως 15.7, 15.9 έως 15.11, 15.13, 15.15, 15.17, 15.19 έως 15.21, 15.26 έως 15.28,
15.30, 15.33, 15.34, 15.38 έως 15.41, 15.44, 15.48 έως 15.52, 15.54, 15.56, 15.58 έως 15.88

16. Επαναληπτικά θέματα σε όρια - συνέχεια
Θεωρούμε απαραίτητο να μελετηθούν όλα τα θέματα, μιας και ο σκοπός της ενότητας
αυτής είναι να παρουσιάσει συνδυαστικά θέματα στα κεφάλαια 7 έως 15.

17. Η έννοια της παραγώγου
17.1 έως 17.9, 17.11, 17.12, 17.14, 17.15 έως 17.20, 17.22, 17.26, 17.30, 17.31, 17.33,
17.35, 17.37 έως 17.39, 17.43 έως 17.45, 17.47, 17.49, 17.52, 17.54, 17.56, 17.57, 17.61,
17.63, 17.64, 17.67, 17.70, 17.72, 17.74, 17.76 έως 17.78, 17.81, 17.86 έως 17.88, 17.92
έως 17.112

18. Παράγωγος συνάρτηση
18.1 έως 18.18, 18.43, 18.44, 18.49, 18.50, 18.52, 18.57, 18.60, 18.65 έως 18.68, 18.71,
18.75, 18.78, 18.82, 18.83, 18.89, 18.91 έως 18.93, 18.95, 18.97 έως 18.100, 18.104, 18.105,
18.108, 18.110, 18.112, 18.113, 18.115, 18.117, 18.121 έως 18.124, 18.126 έως 18.146

19. Εφαπτόμενη ευθεία
19.1 έως 19.6, 19.8, 19.9, 19.12 έως 19.15, 19.17, 19.20 έως 19.24, 19.28, 19.29, 19.31 έως
19.35, 19.37, 19.40 έως 19.43, 19.45, 19.46, 19.48 έως 19.50, 19.52, 19.57, 19.60 έως 19.62,
19.64 έως 19.67, 19.69 έως 19.78, 19.80 έως 19.123

20. Ρυθμός μεταβολής
20.1 έως 20.7, 20.10 έως 20.16, 20.18, 20.19, 20.22 έως 20.24, 20.26, 20.28 έως 20.30,
20.33 έως 20.36, 20.38 έως 20.41, 20.43, 20.50 έως 20.66

21. Το θεώρημα Rolle
21.1 έως 21.19, 21.22 έως 21.24, 21.28, 21.29, 21.31, 21.37, 21.40, 21.43, 21.44, 21.50,
21.55, 21.56, 21.60 έως 21.63, 21.66, 21.70 έως 21.72, 21.75, 21.78, 21.80, 21.83, 21.85,
21.88, 21.91, 21.92, 21.95, 21.96, 21.100 έως 21.103, 21.106, 21.107, 21.112, 21.114,
21.115, 21.120 έως 21.123, 21.129 έως 21.131, 21.135, 21.136, 21.139, 21.142, 21.143,
21.145 έως 21.193

22. Το Θεώρημα Μέσης Τιμής
22.1 έως 22.14, 22.16, 22.18, 22.20 έως 22.23, 22.26, 22.28 έως 22.30, 22.33, 22.35, 22.36,
22.38 έως 22.41, 22.44, 22.46, 22.49, 22.51, 22.52, 22.54 έως 22.61, 22.64, 22.66, 22.69,
22.70, 22.72, 22.73, 22.75, 22.76, 22.78 έως 22.81, 22.86, 22.89 έως 22.94, 22.98, 22.99,
22.103, 22.105, 22.107, 22.108, 22.111 έως 22.113, 22.115 έως 22.130, 22.132, 22.134 έως
22.136, 22.139, 22.140, 22.143, 22.144, 22.146 έως 22.149, 22.151 έως 22.157, 22.160 έως
22.182

23. Συνέπειες Θ.Μ.Τ. : Σταθερή συνάρτηση, Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους
23.1 έως 23.18, 23.20. 23.21, 23.23, 23.25, 23.26, 23.28, 23.29, 23.33, 23.36, 23.38, 23.40
έως 23.43, 23.45, 23.47 έως 23.49, 23.51, 23.52, 23.55 έως 23.57, 23.59, 23.60 έως 23.62,
23.64, 23.65, 23.67, 23.70, 23.71, 23.73 έως 23.77, 23.82 έως 23.86, 23.88, 23.89, 23.91,
23.93 έως 23.95, 23.98 έως 23.100, 23.102, 23.103, 23.107, 23.108, 23.110, 23.112 έως
23.116, 23.119 έως 23.124, 23.126 έως 23.180

Περιεχόμενα

1. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης................................................................ 11
2. Ισότητα συναρτήσεων, Πράξεις συναρτήσεων, Σύνθεση συναρτήσεων............ 41
3. Μονοτονία - ακρότατα συνάρτησης....................................................................... 58
4. Η «1-1» συνάρτηση.................................................................................................. 73
5. Η αντίστροφη συνάρτηση....................................................................................... 84
6. Επαναληπτικά θέματα στις συναρτήσεις........................................................... 101
7. Όριο συνάρτησης στο x0 ! R............................................................................... 107
8. Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων, Όριο σύνθετης συνάρτησης................ 146
9. Μη πεπερασμένο όριο στο x0 ! R....................................................................... 171
1 0. Όριο συνάρτησης στο άπειρο............................................................................... 194
11. Όριο εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης................................................... 224
1 2. Συνέχεια συνάρτησης............................................................................................. 237
1 3. Το θεώρημα Bolzano.............................................................................................. 258
1 4. Συνέπειες του θεωρήματος Bolzano..................................................................... 279
1 5. Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής......... 290
1 6. Επαναληπτικά θέματα σε όρια - συνέχεια.......................................................... 311
1 7. Η έννοια της παραγώγου...................................................................................... 324
18. Παράγωγος συνάρτηση......................................................................................... 348
19. Εφαπτόμενη ευθεία................................................................................................ 388
2 0. Ρυθμός μεταβολής.................................................................................................. 416
21. Το θεώρημα Rolle................................................................................................... 438
2 2. Το Θεώρημα Μέσης Τιμής..................................................................................... 485
23. Συνέπειες Θ.Μ.Τ. : Σταθερή συνάρτηση, Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους......... 529
Υποδείξεις - Απαντήσεις............................................................................................... 573



Θεωρία και βασικές ασκήσεις

12.1  Ορισμός της συνέχειας

α) Πότε μια συνάρτηση f: Df $ R λέγεται συνεχής σε ένα σημείο x0 του πε-
δίου ορισμού της;

Απάντηση

όΈοτρσαιτσνωμ: οfύμιταηςσ.υΗνάσρυτνηάσρητηκσαηι xf0λέένγαετσαηιμσευίονετχοήυςπσετδοίοxυ0

• υπάρχει το όριο lim f (x) και
x " x0
• ισχύει lim f (x) f (x0).
=
x " x0

lim f (x) = f (x0)

Επισημάνσεις x " x0

• Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής (ή αλλιώς λέγεται ασυνεχής) στο x0 ! Df στις
επόμενες περιπτώσεις:

 Είναι:

lim f (x) = , ! R αλλά , ! f (x0)

x " x0

lim f (x) = , ! f (x0)

x " x0

237

 Δεν υπάρχει το όριο lim f (x).
x " x0

lim f (x) = ,1 και lim f (x) = ,2

x " x -0 x " x +0

με ,1 ! ,2

 Τουλάχιστον ένα από τα όρια:

lim f (x) και lim f (x)
x " x + x " x -
0 0
είναι !3.

lim f (x) = +3
x " x +
0

• Αν x0 " Df δεν έχει νόημα η έννοια της συνέχειας στο x0 .

β) Να εξεταστεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο σημείο αλλα-

γής του τύπου τους:

Z x 2 - 7x + 10 - 8, an x 11
]4 x- 1
]] an x = 1
i) f (x) = [ -5,
]
] -2x 2 - x + 3 , an x 2 1
\ x - 1

Z x i, an x 21
] x -1
]](x - 1)_x -
ii) f (x) = [ an x = 1
] 3, an x 1 1
]]
\ x 2 +x - 2 ,
x- 1

238  συνεχεια συναρτησησ

Λύση

i) Είναι:

• f (1) = -5 2 Μέθοδος

• lim f (x) = lim 4_ x - 7x + 10 - 2i = Αν μια συνάρτηση f αλλάζει τύπο
x- 1
x"1- x"1- σσοτουμxε0α!ν ηDff , τότε για να εξετά-
είναι συνεχής στο x0
= lim 4_ x 2-7x +10 - 2i_ x 2-7x +10 + 2i εργαζόμαστε ως εξής:
x"1- (x -1)_ x 2-7x +10 + 2i =

• Βρίσκουμε την τιμή f (x0).

= lim 4 8_ x2 - 7x + 10 i2 - 2 2B = • Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:
(x - 1)_ x 2 - 7x + 10 + 2i lim f (x) και lim f (x)
x"1- x " x - x " x +
0 0
της f στο x0 .
lim 4 (x 2 - 7x + 6)
= (x - 1)_ x 2 - 7x + 10 + 2i = • Αν είναι:
x"1-
lim f (x) = lim f (x) = f (x0)

4 (x - 1) (x - 6) x " x -0 x " x +0
lim 1)_ x 2 - 7x + 10 τότε η f είναι συνεχής στο x0 .
= (x - + 2i =
x"1-
Σε κάθε άλλη περίπτωση η f εί-
ναι ασυνεχής στο x0 .
= lim 4 (x - 6) =
x"1- x 2 - 7x + 10 + 2

= 12 4 (1 - 6) + 2 = -20 = -5 (1)
- 7 $ 1 + 10 4

• lim f (x) = lim -2x 2 - x + 3 = lim (x - 1) (-2x - 3) =
x - 1 x-1
x"1+ x"1+ x"1+

= lim (- 2x - 3) = -2 $ 1 - 3 = -5 (2)
x"1+

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι lim f (x) = -5 και επειδή f (1) = -5, η f είναι
συνεχής στο x0 = 1. x"1

ii) Είναι:

• f (1) = 3

• lim f (x) = lim x 2 +x - 2 = lim (x - 1) (x + 2) = lim (x + 2) = 1 + 2 = 3
x- 1 x-1
x"1- x"1- x"1- x"1-

• lim f (x) = lim (x - x -1 xi x =u lim (u 2 - u-1 - u) =
1)_x - 1) (u 2
x"1+ x"1+ ==x ===u2= u"1+

= lim (u + u-1 - 1) = lim b 1 1) $ u 1 1l =c=+ 1=2 m=(+=3=) +3
1) (u - 1) u (u u (u + -
u"1+ u"1+

Επειδή lim f (x) = f (1) = 3, αλλά lim f (x) = +3, η f δεν είναι συνεχής στο x0 = 1.

x"1- x"1+

239

12.2  Συνεχής συνάρτηση - Ορισμός

α) Πότε μια συνάρτηση f: Df $ R λέγεται συνεχής;
Απάντηση

Μια συνάρτηση τfη:ςD. f $ R λέγεται συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο x0 του
πεδίου ορισμού

β) Τι γνωρίζετε για τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων;

Απάντηση

Για τις βασικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής προτάσεις:

• Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x0 ! R ισχύει:

lim P (x) = P(x0)

P x " x0
Q
• Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής, αφού για κάθε x0 του πεδίου ορισμού της
ισχύει:
P (x) QP ((xx00))
lim Q (x) =

x " x0

• Οι συναρτήσεις f (x) = ημx και g(x) = συνx είναι συνεχείς, αφού για κάθε x0 ! R
ισχύει:
lim hmx ημx0 και lim synx συνx0
= =
x " x0 x " x0

• Οι συναρτήσεις f (x) = αx και g(x) = logαx, με 0 1 α ! 1, είναι συνεχείς.

12.3  Συνέχεια και πράξεις συναρτήσεων

α) Ποιες προτάσεις ισχύουν για τις πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων;

Απάντηση

• Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι συνεχείς στο x0 . Τότε ισχύουν οι επόμενες
προτάσεις:

– Η συνάρτηση cf, με c ! R, είναι συνεχής στο x0 .

– Η συνάρτηση n f , με ν ! N* - {1}, είναι συνεχής στο x0 εφόσον f (x0) $ 0.

– Οι συναρτήσεις f + g, fg, f είναι συνεχείς στο x0 , με την προϋπόθεση ότι ορί-
g
ζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x0 .

• Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σσττοοxx00. και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f (x0),
τότε η σύνθεση g a f είναι συνεχής

240  συνεχεια συναρτησησ

β) Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση:
Z
] x2 + x , an x ! a- p , 0k
]] hm2x 2
f (x) = [
] 21, an x = 0

]] x +1 - 1, an x20
\ x
Λύση

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: x2 + x
hm2x
• Αν x ! a- p , 0k, τότε είναι f (x) = . Η f είναι πηλίκο των συναρτήσεων:
2
p g1(x) = ημ2x με x ! a- p2 , 0k
f1(x) = x2 + x με x ! a- 2 , 0k και

Η f1 είναι συνεχής στο a- p , 0k, ως πολυωνυμική. Επίσης η g1 είναι συνεχής στο a- p , 0k,
2 2
αφού είναι σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων h1(x) = ημx και κ1(x) = 2x. Επομένως
η f είναι συνεχής στο a- p2 , 0k.
x +1 - 1
• Αν x 2 0, τότε είναι f (x) = x . Η f είναι πηλίκο των συναρτήσεων:

f2(x) = x + 1 - 1 με x 2 0 και g2(x) = x με x 2 0

Η f2 είναι συνεχής στο (0, +3), ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων:

h2(x) = x - 1 και κ2(x) = x + 1

Η g2 είναι συνεχής στο (0, +3), ως πολυωνυμική.

Επομένως η f είναι συνεχής στο (0, +3).

• Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο 0. Έχουμε:

 lim f (x) = lim x2 + x = lim x (x + 1) = lim f 1 $ x+1 p = 1 $ 0+1 = 1
hm2x 2hmxsynx 2synx 1 2syn0 2
x"0- x"0- x"0- x"0- hmx
x

 lim f (x) = lim x +1 - 1 = lim _ x +1 - 1i_ x+1 + 1i =
x x_ x+1 + 1i
x"0+ x"0+ x"0+

= lim _ x +1 i2 - 12 = lim x +1 -1 = lim 1 =
x_ x+ 1 + 1i x+ 1+ +1
x"0+ x"0+ x _ 1i x"0+ x + 1

= 0 1 + 1 = 1
+1 2

Επομένως είναι lim f (x) = lim f (x) = 1 .
2
x"0- x"0+
1
Άρα είναι lim f (x) = 2 = f (0), οπότε η f είναι συνεχής και στο 0.

x"0
Συνεπώς η f είναι συνεχής στο a- p2 , +3k.

241

12.4  Εύρεση παραμέτρων

Να βρεθούν οι τιμές των α, β ! R, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση:
Z
] x 3 - 11, an -1 1 x 1 1
]] x 2 -

f (x) = [ a, an x = 1
]
]b + hxm-(p1x), an x 21
\
Λύση

• Για -1 1 x 1 1 είναι f (x) = x 3 - 1 , η οποία είναι συνεχής ως ρητή.
x 2 - 1

• Για x 2 1 είναι f (x) = β + hm (px) , η οποία είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνε-
χών συναρτήσεων. x-1

Άρα η f είναι συνεχής, αν και μόνο αν είναι συνεχής στο x0 = 1.

Έχουμε: 3 (x 1) (x 2 + x + 1) 2+x
2 - 1) (x + 1) x+
• lim f (x) = lim x - 1 = lim - = lim x + 1 =
x - 1 (x 1
x"1- x"1- x"1- x"1-

= 12 + 1 + 1 = 3
1+1 2

• lim f (x) = lim ;b + hxm-(p1x)E = ,

x"1+ x"1+

Θέτουμε x - 1 = u.

Για x $ 1+ είναι x - 1 $ 0+, δηλαδή u $ 0+, οπότε έχουμε:

, = lim <b + hm_p (1 + u)iF = lim ;b + hm (p + pu)E = b + lim - hm (pu) =
u u u
u"0+ u"0+ u"0+

= β - π lim hm (pu) = β - π$1 = β - π
pu
u"0+

Άρα η f είναι συνεχής, αν και μόνο αν:

b lim f (x) = f (1) kai lim f (x) = f (1)l , a 3 = a kai b - p = ak ,
x"1- 2
x"1+

, aa = 3 kai b = p + 3 k
2 2

12.5  Εύρεση τιμής από ανισότητα

Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνεχής στο 0 και ικανοποιεί τη σχέση:

x3 f (x) # _ x 2 + 4 - 2i ημ4x για κάθε x ! R

Να υπολογιστεί η τιμή f (0).

242  συνεχεια συναρτησησ

Λύση
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0, ισχύει:

lim f (x) = f (0)

x"0

• Από τη δοσμένη σχέση, με x 2 0, παίρνουμε:

f (x) # _ x 2 + 4 - 2ihm4x , f (x) # _ x 2 + 4 - 2i_ x 2 + 4 + 2ihm4x ,
x3 x 3 _ x 2 + 4 + 2i

, f (x) # 8_ x 2 + 4 i2 - 2 2Bhm4x , f (x) # (x 2 + 4 - 4) hm4x ,
x 3 _ x 2 + 4 + 2i x3_ x 2 + 4 + 2i

, f (x) # x_ hm4x
x 2 + 4 + 2i

Επομένως είναι:

lim f (x) # lim x_ hm4x , f (0) # lim d 4 $ hm4x $ x 2 1 4 + 2 n ,
x 2 + 4 + 2i 4x +
x"0+ x"0+ x"0+

, f (0) # 4 $ 1 $ 1 , f (0) # 1 (1)
4

• Από τη δοσμένη σχέση, με x 1 0, παίρνουμε:

f (x) $ _ x 2 + 4 - 2ihm4x
x3
και όμοια βρίσκουμε:
f (0) $ 1 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι f (0) = 1.

12.6  Βοηθητική συνάρτηση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f: R $ R διέρχεται από το σημείο

Μ(0, -3) και ισχύει ότι: hmx - xf (x)
hmx + x
lim = 2

x"0

Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0.

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση: hmx - xf (x)
hmx + x
g(x) = με x!0

Επομένως είναι lim g (x) = 2.
x"0

Επίσης για κάθε x ! 0 έχουμε:

243

g(x) = hmx - xf (x) , (ημx + x)g(x) = ημx - xf (x) ,
hmx + x

, xf (x) = ημx - (ημx + x)g(x) ,

, f (x) = hmx - hmx + x g (x)
x x
Επομένως είναι:

lim f (x) = lim b hmx - hmx + x g (x)l = lim ; hmx - a hmx + 1kg (x)E =
x x x x
x"0 x"0 x"0

= 1 - (1 + 1) $ 2 = -3

Επειδή lim f (x) = -3 = f (0), η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 0.

x"0

12.7  Η έννοια της συνέχειας και το κριτήριο παρεμβολής

Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί τη σχέση:

ημ2x + 2xf (x) # f 2(x) # ημ2x + x(x + 2f (x)) για κάθε x ! R

Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0 = 0.
Λύση
Από τη δοσμένη σχέση για x = 0 προκύπτει ότι:

0 # f 2(0) # 0 ( f 2(0) = 0 ( f (0) = 0

Από τη δοσμένη σχέση παίρνουμε:

ημ2x + 2xf (x) # f 2(x) # ημ2x + x(x + 2f (x)) ,

, ημ2x + 2xf (x) # f 2(x) # ημ2x + x2 + 2xf (x) ,

, ημ2x # f 2(x) - 2xf (x) # ημ2x + x2 ,

, ημ2x + x2 # f 2(x) - 2xf (x) + x2 # ημ2x + 2x2 ,

, ημ2x + x2 # (f (x) - x)2 # ημ2x + 2x2 ,

, hm 2 x + x 2 # _f (x) - xi2 # hm 2 x + 2x 2 ,

, hm 2 x + x 2 # f (x) - x # hm 2 x + 2x 2

Όμως είναι:

• lim hm 2 x + x 2 = 0
x"0

• lim hm 2 x + 2x 2 = 0
x"0

Από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε:

lim f (x) - x = 0

x"0

244  συνεχεια συναρτησησ

Για κάθε x ! R ισχύει:
- f (x) - x # f(x) - x # f (x) - x

Από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε:

lim _f (x) - xi = 0

x"0

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f (x) - x και έχουμε:

Είναι: lim g (x) = 0

x"0

lim f (x) = lim _g (x) + xi = 0 + 0 = 0 = f (0)

x"0 x"0

Επομένως η f είναι συνεχής στο x0 = 0.

12.8  Η μέθοδος της αντικατάστασης σε θεωρητικές ασκήσεις

Η συνάρτηση f: R $ R* είναι συνεχής στο 0 και ισχύει:

f (x + y) = (x + f (x))(y + f (y)) - x - y για κάθε x, y ! R

Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο R.

Λύση

Από τη δοσμένη σχέση για x = y = 0 παίρ- Μέθοδος
νουμε:
Σε θεωρητικές ασκήσεις συνήθως εργα-
f (0) = f (0)f (0) , f 2(0) - f (0) = 0 , ζόμαστε ως εξής:

, f (0)(f (0) - 1) = 0 , • Αν έχουμε όρο της μορφής f (x + y),
, (f (0) = 0 ή f (0) = 1) θέτουμε x = x0 + u, οπότε για x $ x0
έχουμε u $ 0.
Επειδή f (x) ! R* για κάθε x ! R, έχουμε:
• Αν έχουμε όρο της μορφής f (xy),
f (0) = 1 θέτουμε x = x0u, με x0 ! 0, οπότε για
x $ x0 έχουμε u $ 1.
Η f είναι συνεχής στο 0, οπότε έχουμε:
lim f (x) = f (0) = 1 • Αν έχουμε όρο τ ης μορφής fb x l ,
θέτουμε x = xu0 , με x0 ! 0, οπότε y
x"0 για

Έστω x0 ! R. Θέτουμε x - x0 = u, οπότε για x $ x0 έχουμε u $ 1.
x $ x0 είναι u $ 0.
Επομένως έχουμε:

lim f (x) = lim f (x0 + u) = lim 8_ x0 + f (x0)i_u + f (u)i - x0 - uB =

x " x0 u"0 u"0

= _x0 + f (x0)i lim _u + f (u)i - x0 - lim u =

u"0 u"0

= (x0 + f (x0))(0 + 1) - x0 - 0 = x0 + f (x0) - x0 = f (x0)

Άρα η f είναι συνεχής σε κάθε x0 ! R, οπότε είναι συνεχής στο R.

245

Ασκήσεις για λύση

1. Μελέτη συνέχειας
Z]]
12.9  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις α) f (x) [ x 2 hm 1 , an x ! a0, p2C
hmx x
παρακάτω συναρτήσεις: =

Z x2 + x - 2, an x 21 ] 1, an x = 0
] x-1 an x =1 \
]] 3, Z
α) f (x) = [ ] x2 - x + 1, an x10
] ]] x an x=0
] 2x 2-x- 1, an x 11 β) f (x) = [ 0,
\ x-1
]
Z x 2 - 1 ]] 3 x+1 -x1, an x20
]] - 1 \ x+
[ x , an x 21
β) f (x) =
]
\ x - x 2 , an x # 1 12.12  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις

παρακάτω συναρτήσεις:

γ) f (x) = * x 6x 2x + 2 3x x , an x!0 x x , an 01x !1
+ x- ln 2
α) f (x) = *
5, an x = 0 0, an x = 1

12.10  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια β) f (x) Z]] hm2x(s-ynpx), an x ! p
[ - 12, an 2
τις παρακάτω συναρτήσεις: = ]]
\
Z 3x 2 - 5x + 2, an x 11 x = p
] x-1 an x = 1 2
]] 1,
α) f (x) = [ 12.13  Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρ-
]
] 2 x2 + 3 - 4, an x 21 τήσεις είναι συνεχείς στο x0 = 0.
x - 1
\
Z ln _x 2 e i, x#0
Z 3 - 3x 2 + ]] + an x20
] x 3 2x , x g {-3, 0, 1} an
]] x + 2x 2 - 3x an x=0 α) f (x) = [ 1 - synx ,
an x ! {-3, 1} ] x2
β) f (x) = [ - 2 , an \
] 3
1 Z 1
]] - 4 , ] efx syn x , an x ! a- p , 0k
]] 0, an 2
\ [
β) f (x) = x=0
12.11  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια ]]
\ hm 2 x synx , x a0, p
τις επόμενες συναρτήσεις: x 2
an ! k

Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

246  συνεχεια συναρτησησ

Z 12.16  Θεωρούμε τη συνάρτηση:
]] e x - 1
[ , an x10
γ) f (x) = ]] 1 an x$0 Z x 3+ x 2- 2x - x x 2- x
\ 1+ex ] x2 - x ,
]] x+2 , an x g [0, 1]
ln (1 + x), [ (x - 1)2 an x ! [0, 1)
f (x) = ]

12.14  Θεωρούμε τη συνάρτηση: ]] 1, an x = 1
\
Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια.
Z 1 1
]] -e , an x ! R '0, ln 2
[ 1 an - 1
12, x
f (x) = 2 12.17  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια
1 τη συνάρτηση:
]] x ! '0, ln 2 1 Z
] e x-x
\ ]] ln 1 -ex , an x10
[ an x=0
Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. f (x) = 1,

12.15  Δίνεται η συνάρτηση: ] e x-2 xx ), an x20
] ln (1 +
\
12.18  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια
Z x x - x2 1 , x20 τη συνάρτηση:
] x + x hm x an ]]]Z
]] [
f (x) = [ 0, an x = 0 ln (2 $ 4x-7$2 x + 6), x 21
2x-1 an x =1
] 1 - 1 2 x, an - p 1 x 1 0 f (x) = -3, an
]] x xsyn 2
\ ] 2 x -2
]] 1 -3 x , an 0 # x 11
Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. \

2. Εύρεση παραμέτρων - Διερεύνηση συνέχειας

12.19  Να βρείτε τις τιμές του α ! R για τις 1
e x-2, x12
οποίες οι επόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς: δ) f (x) = *ln (a + x), an x$2
an

α) f (x) = *x 2 + a 2 + 2, an x#a 12.20  Να βρείτε τις τιμές του α ! R, ώστε οι
3ax - 1, an x2a επόμενες συναρτήσεις να είναι συνεχείς:

a 2 - 2ax + x 2, an x # 1 Z x 2 - 3x + 2 - 2,
]] (x - 3) x - 1 2#x!3
β) f (x) = * x α) f (x) = [ an
2
a + , an x 21 ] a, an x = 3
\

γ) f (x) x x3 , an x!0 *β) f (x) = x 4- 2x 2 + a , an x !1
+ hmx (x - 1)2
= *

a, an x = 0 a + 3, an x = 1

247

γ) f (x) = *2 + x 2 syn 1 , an x10 Z 11, an x 11
x ] 1 + e x-1
]]
a x 2 + 1, an x $ 0 f (x) = [ a, x =1
] 1 an 11 x 1 2
12.21  Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R για ]]1 + 1), an
\ ln (x -
τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συ-
νεχείς: είναι συνεχής στο (-3, 2).
α) f (x) Z
] x2 + ax + 3b, an x22 12.26  Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R, ώστε
]] x-1 an x=2
= [ οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς
7, στο x0 = 0.
]
]] x 2 + bx - 3a , x12 Z ax + hm8x
\ x- 3 ]] x4 + x2
an [ , an x!0

α) f (x) =

β) f (x) x3 + ax 2 + bx - 4, an x !1 ] b, an x = 0
x-1 \
= *
8, an x = 1 a + bsynx
x2 , an x!0
β) f (x) = *

12.22  Αν α, β ! R, να μελετήσετε ως προς 1, an x = 0

τη συνέχεια τη συνάρτηση: 12.27  Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε

x 2 - 5x + 6, an x!a τις τιμές των α, β ! R, ώστε η συνάρτηση f να
x-a είναι συνεχής στο R.
f (x) = * Z
b, an x = a ]]
[ ax 2 + hm 2 x , an x10
]] 2x 2 + hm 2 x x=0
α) f (x) \ an x20
12.23  Αν α ! 0, να μελετήσετε ως προς τη = 7, an

συνέχεια τη συνάρτηση: 4x + b,
Z
]] x 2 + a 2 + 2, an x # 0 Z
[ ]] ax + x 2 + 5, an x$2
f (x) = hm (a 2 x), β) f (x) [ an x12
hmx an 0 1 x 1 p = ] hm (px) + b + 1,
] \ x-2
\

12.24  Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια 12.28  Θεωρούμε τη συνάρτηση:
τη συνάρτηση: Z
]]Z ] 1 - syn4x , an x10
[ hm2x(s-ynpx), ]] x2 an
] a, an x ! p2 f (x) [ a hmx + b, an 0 # x # p2
f (x) = an x = p2 =

\ ] sfx , p 1 x 1 p
] p - 2x 2
\
12.25  Να βρείτε την τιμή του α ! R για την Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R για τις οποίες
η f είναι συνεχής.
οποία η συνάρτηση:

248  συνεχεια συναρτησησ

12.29  Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ! R για τις οποίες
η f είναι συνεχής στο x0 = 1.
f: a- p , p k $ R
2 2
με:
Z ax + efx 12.33  Αν α, β ! R, με α ! 0, να μελετήσετε
] x , an - p 1 x 1 0
]] 2 ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση:
[
f (x) = ]]] b, an x = 0 Z ax +x 3a 2 - 2a , an x2a
\ ] -a
x +1 - 1, an 0 1 x 1 p ]
hmx 2 ]
f (x) = [ b - 43, an x = a
Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R, ώστε η f να ]
είναι συνεχής στο x0 = 0. ] bx - ax
] 2(x - a) , an x 1 a

12.30  Θεωρούμε τη συνάρτηση: \

Z 3 xx--a1b, an x ! [0, 1) 12.34  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί
] b - 12, an x=1
] - 1) + gx - an x ! (1, 3) τη σχέση:
] 2 - 4x + 3
f (x) = [ f 2(x) = 2xf (x) - ημ2x για κάθε x ! R
]
] hm (x Θεωρούμε τη συνάρτηση:
] x
\ g, Z f (x) - ax , an x 1 0
] x
]
] 23,
Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ! R για τις F(x) = [ synx an x=0
οποίες η f είναι συνεχής. ]]] an
\ 1 - x2 syn2x p
12.31  Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ! R , 0 1 x 1 4

για τις οποίες η συνάρτηση: α) Να υπολογίσετε το όριο:
Z
] x 2 + ax + b , x 11 f (x)
]] x -1 x =1 x
[ a + b + 2g, an lim
an
x"0

f (x) = ]]] β) Να βρείτε την τιμή του α ! R για την οποία
\ η F είναι συνεχής.
2` x- gj, an x 21
x -1

είναι συνεχής. 12.35  Έστω συνεχής συνάρτηση:

12.32  Δίνεται η συνάρτηση: f: R $ R
Z
] x 2+ ax - x + 2bx +b 2 , an 0 1 x 11 τέτοια, ώστε να ισχύει:
]] x -1 an x =1
[ g, f (0) = 1
f (x) = και
]]] 3`
\ x4 + ax -x + bx j, an x 21 xn f (x) = α συνx + β για κάθε x ! R
4 (x - 1)
Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R και την τιμή
του n ! N*.

249

3. Εύρεση τιμής ή τύπου συνάρτησης

12.36  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- xf (x) + hmx # x για κάθε x ! R
Να βρείτε την τιμή f (0).
χής στο 0 και για κάθε x ! R ισχύει ότι:
12.40  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-
x2f (x) = x 2 + 1 - συν2x
Να βρείτε τον τύπο της f. χής και για κάθε x ! 0 ικανοποιεί τη σχέση:

12.37  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- fa 1 k = hm (x + 1)
x x
χής στο 0. Να βρείτε την τιμή f (0) αν ισχύει ότι:
Να αποδείξετε ότι f (0) = 0.
α) x f (x) $ ημ2x για κάθε x ! R

β) f (x)εφx $ x3 - ημx για κάθε x! a- p2 , p k 12.41 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0
γ) f (x)ημx $ !0 2 p p
x2ημ 1 για κάθε x και για κάθε x ! a- 2 , 2 - {0} ικανοποιεί τη
x σχέση: k

12.38  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- f (x) hmx $ _ 1 + x 2 - 1isyn 1
x
χής στο 0 και ισχύει ότι: Να βρείτε την τιμή f (0).
x f (x) = αx + ημ3x για κάθε x ! R
12.42  Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R είναι
Να αποδείξετε ότι f (0) = 0 και α = -3.
συνεχής στο x0 = 1 και για κάθε x 2 0 ισχύει:
12.39  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- (x - 1) f (x) + x = 3 x

χής στο 0 και ισχύει ότι: Να βρείτε τον τύπο της f.

4. Βοηθητική συνάρτηση

12.43  Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R για lim f (x) -x + 9 = 17
hmx 6
την οποία ισχύει ότι: x"0

lim hm 2 x - x 2 f (x) + 3x 2 2 Να υπολογίσετε:
xhmx + x 3
x"0 = α) την τιμή f (0),

ΑαπνοηδεCίξf εδτιεέρόχτειτηαfι από το σημείο Μ(0, 2), να β) το όριο lim f (x) - f (0) .
είναι συνεχής στο x0 = 0. hm3x
x"0

12.44  Έστω η συνάρτηση f: R $ R για την 12.46  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-
χής στο x0 = 2 και ισχύει ότι:
οποία ισχύουν:
lim f (x) - 2x = 5
f (x) - f (a) f (x) - f (a) x-2
lim x - a = , και lim x - a = m x"2

x"a+ x"a- Να υπολογίσετε το όριο:

με ,, m ! R. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνε- lim xf (x) - 2x 2 + 3f (2) - 6x
χής στο x0 = α. x 2 - 4
x"2

12.45  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- 12.47  Η συνάρτηση f: R $ R είναι άρτια,
χής στο 0 και ισχύει ότι: συνεχής στο x0 = -1 και ισχύει ότι:

250  συνεχεια συναρτησησ

lim hm (px) - _3 x- 1if (x) = 4 α) Να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από το ση-
syn μείο Μ(0, 4).
x"1 px
2
Να βρείτε την τιμή f (-1). β) Να υπολογίσετε τα όρια:

12.48  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- i) lim f (x) - f (0)
hmx
χής στο x0 = 0 και ισχύει ότι: x"0

lim f (x) - x + 16 = 7 ii) lim x_f (x) - 4ihm 1 - 4hm3x
x 8 3x x
x"0 x"0 2 + 8x - 5hmx

5. Θεωρητικές ασκήσεις στο κριτήριο παρεμβολής

12.49  Για τη συνάρτηση f: R $ R ισχύει: 12.55  Έστω οι συναρτήσεις f, g, h: R $ R

xy - y2 # f (x) - f (y) # x2 - xy για κάθε x, y ! R για τις οποίες ισχύει:
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.
f (x) - g (y) # h (x) - h (y)
12.50  Έστω Μ 2 0. Θεωρούμε τη συνάρτη-
για κάθε x, y ! R
ση f: R $ R η οποία ικανοποιεί τη σχέση: Να αποδείξετε ότι:
f (x) - f (y) # M x - y για κάθε x, y ! R α) f (x) = g(x) για κάθε x ! R,
β) αν η h είναι συνεχής στο R, τότε οι f, g είναι
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. συνεχείς στο R.

12.51  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί 12.56  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί

τη σχέση: τη σχέση:
xf (x) - x # x2 για κάθε x ! R 2
f (x) - f (y) - x + y # 1 (x - y)
Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο ση- + x - y
μείο x0 = 0.
για κάθε x, y ! R
12.52  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
χής στο x0 = 0 και ισχύει ότι:
xf (x)- hmx # x2 + 1 - συν2x για κάθε x ! R F(x) f (x) - f (x 0), an x ! x0
x - x0
Να αποδείξετε ότι f (0) = 1. = *
1, an x = x0
12.53  Οι συναρτήσεις f, g: R $ R ικανο-
είναι συνεχής στο x0 ! R.
ποιούν τη σχέση:
f 2(x) + g2(x) = (x - 1)2 για κάθε x ! R 12.57  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί

Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι τη σχέση:
συνεχείς στο σημείο x0 = 1.
3x # f (x) + 4 # 2x2 - x + 2 για κάθε x ! R
12.54  Για τη συνάρτηση f: R $ R ισχύει: f (x) + 1
α) Να υπολογίσετε το όριο lim x-1 .
f 3(x) + f (x) = x για κάθε x ! R
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R. x"1

β) Να βρείτε την τιμή του α ! R για την οποία
η συνάρτηση:

251

Z f (x) - 1 - 2 12.59  Οι συναρτήσεις f, g: R $ R, με την f
]] x-1
F(x) = [ , an x !1 συνεχή στο 0, ικανοποιούν για κάθε x ! R τις
σχέσεις:
] a + 1, an x = 1
είναι συνεχής \στο x0 = 1. g (x) # Μ με Μ 2 0 και
xf (x) - x # g(x)_ 1 + x 2 - 1i - ημx
12.58  Για τις συναρτήσεις f, g: R $ R ισχύ- Να βρείτε την τιμή f (0).

ουν οι σχέσεις: 12.60  Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R ικανο-

f (x) # g2(x) για κάθε x ! R ποιεί τις σχέσεις:

και lim g (x) =,!R f (x) #x - 1 και fa 1 k + f(x) = 0 για κάθε x20
x - x0 x
x " x0

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: Να βρείτε την τιμή του α ! R για την οποία η
συνάρτηση:
f (x) , x ! x0 f (-x)1,
*F(x) = x - x0 an g(x) x an 01x !1

0, an x = x0 = * a - 1, an x = 1

είναι συνεχής στο x0 . είναι συνεχής στο x0 = 1.

6. Θεωρητικές ασκήσεις στη μέθοδο της αντικατάστασης

12.61  Θεωρούμε τη συνάρτηση: 12.64  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-
χής στο x0 = 1 και ισχύει ότι:
f: (0, +3) $ R f (1 + x)
για την οποία ισχύει ότι: lim x = 2

f (xy) = f (x) + f (y) για κάθε x, y 2 0 x"0
Αν η f είναι συνεχής στο 1, να αποδείξετε ότι η
f είναι συνεχής στο (0, +3). Να υπολογίσετε το όριο:

lim f (x) - f (1)
x - 1
x"1

12.62  Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R είναι 12.65  Θεωρούμε τη συνάρτηση f: R $ R

συνεχής στο 1 και ισχύει ότι: για την οποία ισχύει ότι:

fb x l = f (x) - f (y) για κάθε x, y2 0 f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy
y για κάθε x, y ! R

Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο 0,
τότε η f είναι συνεχής στο R.

12.63  Η συνάρτηση f: R* $ R είναι συνε- 12.66  Η συνάρτηση f: R* $ R είναι συνε-

χής στο 1 και ισχύει ότι: χής στο 1 και για κάθε x, y ! R* ικανοποιεί τη
f (xy) = xf (y) + yf (x) - xy σχέση:
για κάθε x, y ! R*
f (xy) = f (y)συν(πx) - f (x)συν(πy)
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R*. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R*.

252  συνεχεια συναρτησησ

12.67  Θεωρούμε τις συναρτήσεις: για κάθε x, y ! R. Να αποδείξετε ότι η f είναι
συνεχής στο R.
f, g: R $ R
με g(0) = 1, οι οποίες είναι συνεχείς στο 0. Αν 12.69  Θεωρούμε τη συνάρτηση:
για κάθε x, y ! R ισχύει ότι:
f: (0, +3) $ R
f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x) για την οποία ισχύει ότι:
να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.
f (xy) = x $ f (y) + y $ f (x)
12.68  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε- για κάθε x, y 2 0

χής στο 0 και ικανοποιεί τη σχέση: Αν η f είναι συνεχής στο α 2 0, να αποδείξετε
f (x + 2y) = f (x) - 2f (y) + 2xy ότι η f είναι συνεχής στο (0, +3).

7. Σύνδεση με προηγούμενες έννοιες

12.70  Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R για α) Να υπολογίσετε το όριο lim f (x).

την οποία ισχύει ότι: x"+3

f (x) - 1- efx β) Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια.
x2 -x
f (0) = 1 και lim =2 12.73  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-

x"0 χής στο x0 = 1 και ισχύει ότι:

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ση- lim f (x) - x + 3 =2
μείο x0 = 0. x- 1
β) Να υπολογίσετε το όριο: x"1

lim 2f (x) - 1 -1 α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
x f διέρχεται από το σημείο Μ(1, 2).
x"0
β) Να υπολογίσετε το όριο:
12.71  Η συνάρτηση f: R $ R είναι περιτ-
τή, συνεχής στο x0 = 1 και ισχύει ότι: lim f (x) - f (x) + 2
f (x) -2
x"1

lim f (x) - 1 = 2 12.74  Για κάθε x 2 0 η συνάρτηση f: R $ R
x-1
x"1 ικανοποιεί τη σχέση:

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο -1. x- x
x2+ x
β) Να υπολογίσετε το όριο: f (x) # hmx

lim f (x) -1 α) Να υπολογίσετε το όριο lim f (x).
(x + 1) 2
x"-1 x"+3

12.72  Θεωρούμε τη συνάρτηση: β) Αν η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε
ότι f (0) = 0.
Z 2 2
f (x) = ]] x n + hm n x , an x20 12.75  Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνε-
[ x + hm x
χής στο κxα0ι=για1,κάηθCε f διέρχεται από το σημείο
] 0, an x = 0 Μ(1, 3) x ! R ισχύει ότι:
όπου ν ! N*. \
(x - 1)f (x) = αx2 + βx - 2

253

α) Να βρείτε τις τιμές των α, β ! R. 12.81  Δίνεται η συνάρτηση:

β) Να υπολογίσετε το όριο: e 1 hm 1 , an x 1 0
x x
1
lim bf 2 (x) hm f (x) l f (x) = *

x"+3 x (e x - e -x), an x $ 0

12.76  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί α) Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια.

τη σχέση: β) Να υπολογίσετε τα όρια:

f 3(x) + f (x) = (x2 - ημ2x)3 για κάθε x ! R lim f (x) και lim f (x)
x"-3 x"+3
Να αποδείξετε ότι:
12.82  Η γραφική παράσταση της συνάρτη-
α) η f είναι συνεχής στο x0 = 0,
f (x) σης f: R $ R διέρχεται από την αρχή των αξό-
hm 2 x νων και για κάθε x ! R* ικανοποιεί τη σχέση:
β) ισχύει lim = 0.
1 1
x"0 2x x2ημ x f (x) 2x x2ημ x

- # # +

12.77  Αν για τη συνάρτηση f: R $ R ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ση-
μείο x0 = 0.
x2 f (y) = y2 f (x) για κάθε x, y ! R β) Να υπολογίσετε τα όρια:
να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.

12.78  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί i) lim f (x) ii) lim f (x)
x
τη σχέση: x"0 x"+3
f (x) + ey $ f (y) + ex για κάθε x, y ! R
x 2 f (x) hm p + hm 5 5x
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R. x
iii)  lim 4x 2 + hm 2 x

x"0

12.79  Για τη συνεχή συνάρτηση f: R $ R 12.83  Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R ικανο-

ισχύει ότι: ποιεί τη σχέση:
(f a f)(x) = 4x + 9 για κάθε x ! R
f 3(x) + xf (x) + x3 = 0 για κάθε x 2 0
Να αποδείξετε ότι:
α) η f είναι αντιστρέψιμη, Να αποδείξετε ότι:
β) η f -1 είναι συνεχής.
α) -x2 1 f (x) 1 0 για κάθε x 2 0,

β) η συνάρτηση:
]Z]]f (x) hm
[ 2 + f (xx), an x20
x an x=0
12.80  Δίνεται η συνάρτηση:
Z g(x) = 0,
]] ]
f (x) xhm 1 , an x!0 ]] f (-x x), an x 1 0
x \
= [1 + ex

] 0, an x = 0 είναι συνεχής στο x0 = 0.
\
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.
12.84  Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί
β) Να υπολογίσετε τα όρια:
τη σχέση:
lim f (x) και lim f (x) f 2(x) - 2f (x) + συν2x = 0 για κάθε x ! R
x"+3 x"-3

254  συνεχεια συναρτησησ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0. β) Για α = -1 και β = 1 να μελετήσετε τη συ-
νάρτηση g a f ως προς τη συνέχεια.
β) Να υπολογίσετε το όριο:

lim ;xfa 1 kE 12.88  Έστω η συνάρτηση f: (0, +3) $ R
x
x"0 για την οποία ισχύει ότι:

12.85  Θεωρούμε τη συνάρτηση f: R $ R, f (xy) = f (x) + f (y) - 1 για κάθε x, y 2 0
με f (R) = R, για την οποία ισχύει η σχέση:
Να αποδείξετε ότι:
f (x) - f (y) $ x - y για κάθε x, y ! R 1
α) f a x k = 2 - f (x) για κάθε x 2 0,
Να αποδείξετε ότι:
α) η f είναι αντιστρέψιμη, β) αν η εξίσωση f (x) = 1 έχει μοναδική λύση,
β) η f -1 είναι συνεχής. τότε η f είναι «1-1»,

12.86  Δίνονται οι συναρτήσεις: γ) αν η f είναι συνεχής στο 1, τότε η f είναι συ-
νεχής στο (0, +3).

f (x) = συνx και g(x) = * x 2 - 1, an x $1 12.89  Θεωρούμε τη συνάρτηση f: R $ R
xe x, an x 11
για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

Να ορίσετε τις συναρτήσεις g a f και f a g και lim f (x) = -1 και
να τις μελετήσετε ως προς τη συνέχεια. x
x"0

12.87  Θεωρούμε τις συναρτήσεις: f (xy) = f (x)f (y) - 2xy για κάθε x, y ! R

x 2 + ax + b, x 21 Να βρείτε:
1 - x + bx, x #1
f (x) = * an με α, β ! R α) τον τύπο της f,
an
β) την τιμή του α ! R για την οποία η συνάρ-
τηση:
και g(x) x, an x20 2
= * e x, an x#0 g(x) *f 3(x) hm x2 , an x!0

= a, an x = 0

α) Αν η συνάρτηση f a g είναι συνεχής, να απο- είναι συνεχής.
δείξετε ότι α = -1 και β = 1.

8. Τα θέματα των εξετάσεων

8α. Ερωτήσεις θεωρίας 8β. Ερώτηση τύπου «Σωστό - Λάθος»

12.90  α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής 12.91  Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λαν-
πστοοιοxσ0 υκμαπι ηέρσαυσνμάαρτπηρσοηκύgπετίενιαγιισαυτνηεχσήυςνσέχτοειαf(τxη0)ς,
θασμένη (Λ) την παρακάτω πρόταση:

σύνθεσης g a f στο x0 ; Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x0 ,
τότε η σύνθεση g a f είναι συνεχής στο x0 .
β) Έστω μια συνάρτηση f λκέαμι ετοότσι ηημfεείοίνxα0ι του
πεδίου ορισμού της. Πότε συ-
νεχής στο x0 ;

255

Κριτήριο αξιολόγησης

Θέμα 1

Α. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) f (x) = * xx3--11, an x 21 β) f (x) = * x-3 - x+3 , an x!0
x
4x - 1, an x # 1 0, an x = 0

γ) f (x) = Z 2x 2 - 21, an x 21 (x) = Z hm (2hxmx), an x!0
]] 3x - an x δ) f ]] 12, an x=0
[ [
]] 4 , =1 ]]
\ 3 \

Β. Αν α $ 0, να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση:

f (x) = x 2 hm 1 , an x 2 a
x
* 2 (x 3 + x), an x # a

Θέμα 2

Α. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση:
Z
] e 1 1 2 x , an x 2 0
] x + hm an x = 0
]
f (x) = [ 0,
]
]] hm 2 x - x2 syn 2 x , x10
\ x2
an

Β. Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνεχής στο 0 και ισχύει ότι:

x 2 f (x) + 1 - synx # ημ4x για κάθε x ! R

Να αποδείξετε ότι f (0) = - 1 .
2
Θέμα 3

Α. Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνεχής στο x0 = 1 και ισχύει ότι:

lim _1 - x if (x) + hm (x - 1) = 1
syn p
x"1 p2x

Να υπολογίσετε την τιμή f (1).

256 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Β. Η συνάρτηση f: R $ R είναι συνεχής στο 0 και ισχύει ότι:
f (x + y) = f (x)συνy + f (y)συνx για κάθε x, y ! R

Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

Θέμα 4

Η συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί τη σχέση:

f 3(x) + 2f (x) = x για κάθε x ! R

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να ορίσετε τη συνάρτηση f -1.

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R.

γ) Να υπολογίσετε τα όρια: f (x) f (x)
x hmx
i) lim f (x) ii) lim iii) lxi"m0

x"0 x"+3

257


Click to View FlipBook Version