21815

Φίλη µαθήτρια, φίλε µαθητή,

Το βιβλίο αυτό, γραµµένο σύµφωνα µε το αναµορφωµένο σχολικό βιβλίο, απευθύ-
νεται στους µαθητές της Β΄ Λυκείου που θέλουν ένα βοήθηµα για την καθηµερινή
τους µελέτη. Συγχρόνως όµως απευθύνεται σ’ εκείνους που επιθυµούν να συµπληρώ-
σουν σε βάθος τις βασικές γνώσεις τους στα Μαθηµατικά και να θέσουν έτσι γερές
βάσεις για την επιτυχή συµµετοχή στις εξετάσεις της επόµενης τάξης, που χρόνο µε
τον χρόνο γίνονται όλο και πιο απαιτητικές.
Περιέχει:

♦ Τη βασική θεωρία µε τα απαραίτητα σχόλια και τις αναγκαίες διευκρινίσεις.

♦ Μεθόδους και τεχνικές για τη λύση των ασκήσεων, όπου κάτι τέτοιο είναι εφικτό.

♦ Πολλές υποδειγµατικά λυµένες ασκήσεις, κλιµακούµενης δυσκολίας, καθώς και
θέµατα µε απαιτήσεις.

♦ Ασκήσεις για εξάσκηση και προτεινόµενα θέµατα σε κάθε ενότητα.

♦ Ερωτήσεις κατανόησης που αφορούν τη θεωρία και τις άµεσες συνέπειές της.

♦ Επαναληπτικά θέµατα για την προετοιµασία των εξετάσεων Μαΐου-Ιουνίου.

♦ Τις απαντήσεις και τις υποδείξεις σε όλα τα προτεινόµενα θέµατα.

Πιστεύουµε ότι η ποιότητα, το πλήθος και η διάταξη των θεµάτων, σε συνδυασµό µε
τα διδακτικά σχόλια και τις αναγκαίες µεθοδεύσεις, θα καταστήσουν το παρόν βιβλίο
ένα χρήσιµο εργαλείο γνώσης και µελέτης για κάθε µαθητή.
Θέλουµε από τη θέση αυτή να ευχαριστήσουµε τους συναδέλφους Πολυτίµη ∆εληµι-
χάλη και ∆ηµήτρη Τσάκο για την επιµέλεια του βιβλίου, καθώς και τον συνάδελφο
Ηλία Μιχαλίτση που έκανε µε πολύ φροντίδα τη σελιδοποίηση.

Οι συγγραφείς



Κεφάλαιο 1: Συστήµατα
1. Γραµµικά συστήµατα ............................................................................ 9
2. Μη γραµµικά συστήµατα .................................................................... 40

Κεφάλαιο 2: Ιδιότητες συναρτήσεων
3. Μονοτονία-Ακρότατα, Συµµετρίες συνάρτησης................................. 57
4. Κατακόρυφη-οριζόντια µετατόπιση καµπύλης ................................... 83

Κεφάλαιο 3: Τριγωνοµετρία
5. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας......................................................... 93
6. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες................................................ 108
7. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο.......................................................... 122
Ανακεφαλαίωση...................................................................................... 137
8. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ...................................................... 140
9. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις.................................................. 162
10. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών.......... 195
11. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 2α ........................................... 222
12. Η συνάρτηση f(x) = α ⋅ ηµx + β ⋅ συνx .............................................. 257

Κεφάλαιο 4: Πολυώνυµα, Πολυωνυµικές εξισώσεις
13. Πολυώνυµα ........................................................................................ 267
14. ∆ιαίρεση πολυωνύµων, Σχήµα Horner.............................................. 279
15. Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις ........................................... 301
16. Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές .............. 331

Κεφάλαιο 5: Εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση
17. Εκθετική συνάρτηση.......................................................................... 349
18. Λογάριθµοι ........................................................................................ 383
19. Λογαριθµική συνάρτηση ................................................................... 399
Επαναληπτικά θέµατα ............................................................................ 433

Υποδείξεις - Απαντήσεις
Υποδείξεις και απαντήσεις των προτεινόµενων ασκήσεων.................... 443







1. Η γραµµική εξίσωση αx + βy = γ, µε α ≠ 0 ή β ≠ 0

Σχόλια - Μέθοδος

A. Η εξίσωση αx + βy = γ, µε α, β, γ ∈ R και α ≠ 0 ή β ≠ 0, λέγεται γραµµική εξί-

σωση. Οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής είναι οι µεταβλητές x και y. Οι αριθµοί α, β
λέγονται συντελεστές της εξίσωσης και το γ λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης.
Κάθε ζεύγος (x0 , y0) µε την ιδιότητα αx0 + βy0 = γ λέγεται λύση της γραµµικής εξί-
σωσης. Εποµένως το ζεύγος (x0 , y0) είναι λύση της εξίσωσης, αν και µόνο αν οι αριθ-
µοί x0 , y0 επαληθεύουν την εξίσωση.

Η γραµµική εξίσωση αx + βy = γ, µε α ≠ 0 ή β ≠ 0, παριστάνει ευθεία.

Β. Ας θεωρήσουµε τη γραµµική εξίσωση ε: αx + βy = γ, µε α ≠ 0 ή β ≠ 0.

α) Αν β ≠ 0, τότε:
αx + βy = γ ⇔ βy = −αx + γ ⇔ y = − α x + γ
ββ

Έτσι η γραµµική εξίσωση (ε) παριστάνει ευθεία µε
συντελεστή διεύθυνσης λ = − α . Η ευθεία αυτή τέ-

β
µνει τον άξονα y´y στο σηµείο γ .

β
♦ Αν α ≠ 0, τότε η (ε) τέµνει τον x´x στο σηµείο

γ (σχήµα α).
α

9

♦ Αν α = 0, τότε η (ε) παίρνει τη µορφή:
ε: y = γ
β

και είναι µια ευθεία παράλληλη στον x´x (ο συ-
ντελεστής διεύθυνσης είναι λ = 0), που τέµνει
τον άξονα y´y στο σηµείο γ (σχήµα β).

β
β) Αν β = 0 (οπότε αναγκαστικά είναι α ≠ 0), τότε:

αx + βy = γ ⇔ αx = γ ⇔ x = γ
α

Έτσι η εξίσωση (ε) παριστάνει ευθεία που είναι πα-
ράλληλη στον άξονα y´y και τέµνει τον άξονα x´x
στο σηµείο γ (σχήµα γ).

α

Γ. Για να σχεδιάσουµε την ευθεία ε: αx + βy = γ, µε α ≠ 0 και β ≠ 0, δίνουµε στο x

ή στο y δύο τυχαίες τιµές και βρίσκουµε δύο σηµεία της.
Συχνά, αν οι αριθµοί α, β, γ είναι κατάλληλοι, δίνουµε αντίστοι-
χα στους αγνώστους x, y τις τιµές x = 0 και y = 0, οπότε βρί-
σκουµε τα σηµεία που η ευθεία (ε) τέµνει τους άξονες. Έτσι η
ευθεία (ε) σχεδιάζεται πολύ εύκολα.

1.1 ∆ίνεται η γραµµική εξίσωση x − y = 3.

α) Να εξεταστεί αν τα ζεύγη (1, −2) και (−1, −5) αποτελούν λύσεις της
εξίσωσης.
β) Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.
γ) Να βρεθούν οι λύσεις (α, β) της εξίσωσης για τις οποίες ισχύει ότι:

α2 + β2 = 5
ΛΥΣΗ

α) Για να είναι το ζεύγος (1, −2) λύση της εξίσωσης x − y = 3, πρέπει η εξίσωση να
επαληθεύεται για x = 1 και y = −2. Είναι:

x − y = 3 ⇔ 1 − (−2) = 3 ⇔ 1 + 2 = 3, που ισχύει

10 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εποµένως το ζεύγος (1, −2) είναι λύση της εξίσωσης. Για το ζεύγος (x, y) = (−1, −5)
έχουµε:

x − y = 3 ⇔ −1 − (−5) = 3 ⇔ −1 + 5 = 3 ⇔ 4 = 3, που δεν ισχύει
Εποµένως το ζεύγος (−1, −5) δεν είναι λύση της εξίσωσης.

β) Λύνουµε την εξίσωση x − y = 3 ως προς x και παίρνουµε:
x−y=3 ⇔ x=3+y

Εποµένως η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις της µορφής:
(x, y) = (3 + y, y), µε y ∈ R

Ορισµένες φορές θέτουµε y = κ, οπότε οι λύσεις παίρνουν τη µορφή:
(x, y) = (3 + κ, κ), µε κ ∈ R

Είναι φανερό ότι κάθε φορά που το κ παίρνει διαφορετική τιµή, προκύπτει και διαφο-
ρετική λύση της εξίσωσης.
Αξίζει ακόµα να τονίσουµε ότι αν λύσουµε την εξίσωση ως προς y, τότε οι λύσεις της
εξίσωσης δίνονται από τον τύπο:

(x, y) = (x, x − 3), µε x ∈ R
αφού x − y = 3 ⇔ y = x − 3.

γ) Έστω (α, β) µια λύση της εξίσωσης x − y = 3 για την οποία ισχύει:
α2 + β2 = 5 (1)

Επειδή το ζεύγος (α, β) επαληθεύει την εξίσωση, θα ισχύει:
α − β = 3 ⇔ α = β + 3 (2)

Η σχέση (1), λόγω της (2), δίνει:
α2 + β2 = 5 ⇔ (β + 3)2 + β2 = 5 ⇔ β2 + 6β + 9 + β2 = 5 ⇔
⇔ β2 + 3β + 2 = 0 ⇔ (β = −1 ή β = −2)

♦ Για β = −1 παίρνουµε α = β + 3 = 2, δηλαδή (α, β) = (2, −1).
♦ Για β = −2 παίρνουµε α = β + 3 = 1, οπότε (α, β) = (1, −2).

1.2 ∆ίνεται η ευθεία (ε) µε εξίσωση αx + y = 4, η οποία διέρχεται από το ση-

µείο Μ(−1, 6).
α) Να βρεθεί η τιµή του α.
β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της ευθείας (ε) µε τους άξονες.
γ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε).
δ) Να σχεδιαστεί η ευθεία (ε).

11

ΛΥΣΗ
α) Αφού η ευθεία (ε) µε εξίσωση αx + y = 4 διέρχεται από το σηµείο Μ(−1, 6), θα
πρέπει η εξίσωση να επαληθεύεται για x = −1 και y = 6. Έτσι:

αx + y = 4 ⇔ −α + 6 = 4 ⇔ α = 2
β) Με α = 2 η εξίσωση γίνεται ε: 2x + y = 4.
♦ Για x = 0 παίρνουµε:

0+y=4 ⇔ y=4
που σηµαίνει ότι η (ε) τέµνει τον άξονα y´y στο σηµείο Α(0, 4).
♦ Για y = 0 η εξίσωση δίνει:

2x = 4 ⇔ x = 2
που σηµαίνει ότι η (ε) τέµνει τον άξονα x´x στο σηµείο Β(2, 0).
γ) Για να βρούµε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, λύ-
νουµε την εξίσωσή της ως προς y. Έτσι:

2x + y = 4 ⇔ y = −2x + 4
Από τον παραπάνω τύπο συµπεραίνουµε ότι ο συντελεστής διεύ-
θυνσης της (ε) είναι α = −2.
δ) Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται από τα σηµεία Α(0, 4) και Β(2, 0),
η (ε) έχει τη µορφή του διπλανού σχήµατος.

2. Το γραµµικό σύστηµα 2 × 2

Σχόλια - Μέθοδος

A. Όταν αναζητάµε τις κοινές λύσεις δύο γραµµικών εξισώσεων:

αx + βy = γ και α΄x + β΄y = γ΄
τότε λέµε ότι έχουµε να λύσουµε το 2 × 2 γραµµικό σύστηµα:

 αx + βy = γ
α΄x + β΄y = γ΄
Το 2 × 2 λοιπόν γραµµικό σύστηµα έχει 2 εξισώσεις και 2 αγνώστους τους x, y.

12 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Κάθε ζεύγος αριθµών (x0 , y0) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις λέγεται λύση
του συστήµατος.

Β. Η επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος γίνεται µε κατάλληλη µετατροπή του σε

άλλο γραµµικό σύστηµα που έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις µε το αρχικό. Τα δύο αυτά
συστήµατα λέγονται ισοδύναµα. Εποµένως:

∆ύο γραµµικά συστήµατα λέγονται ισοδύναµα, όταν έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.

Η µετατροπή ενός συστήµατος σε ισοδύναµό του γίνεται συνήθως µε έναν από τους
εξής δύο τρόπους:
♦ Λύνουµε τη µια εξίσωση του συστήµατος ως προς έναν άγνωστο και τον αντι-

καθιστούµε στην άλλη εξίσωση.
♦ Αντικαθιστούµε µια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε΄) του συστήµατος, για παράδειγµα

την (ε), µε την εξίσωση « λ ⋅ (ε) + λ΄ ⋅ (ε΄) » που προκύπτει, αν στα µέλη της (ε)
πολλαπλασιασµένα µε λ ≠ 0, προσθέσουµε τα µέλη της (ε΄) πολλαπλασιασµένα
µε λ΄. Η εξίσωση λ ⋅ (ε) + λ΄ ⋅ (ε΄) λέγεται γραµµικός συνδυασµός των εξισώ-
σεων (ε) και (ε΄).
Η απόδειξη ότι τα συστήµατα που προκύπτουν από τις παραπάνω µετατροπές είναι
ισοδύναµα στηρίζεται στις παρακάτω ιδιότητες:
♦ Αν γ ≠ 0, τότε α = β ⇔ αγ = βγ.
♦ Αν α = β και γ = δ, τότε α + γ = β + δ.

Γ. Οι πιο συνηθισµένες µέθοδοι για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος είναι η

µέθοδος της αντικατάστασης και η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών.
Τον τρόπο που χρησιµοποιούµε την κάθε µέθοδο τον περιγράφουµε αναλυτικά στα
λυµένα θέµατα που ακολουθούν.

13

Α. Η µέθοδος της αντικατάστασης

1.3 Να λυθούν τα συστήµατα:

α)  x + 2y = 7 β) 2x − 3y = 13
5x − 3y = −4 
 3x +y = 3

ΛΥΣΗ

α) Βλέπουµε ότι την πρώτη εξίσωση είναι πολύ εύκολο να τη λύσουµε ως προς x.
Άρα:

x + 2y = 7 ⇔ x = 7 − 2y (1)
Την τιµή αυτή του x αντικαθιστούµε στη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος:

5x − 3y = −4 ⇔ 5(7 − 2y) − 3y = −4 ⇔ 35 − 10y − 3y = −4 ⇔
⇔ −13y = −39 ⇔ y = 3

Αφού y = 3, η εξίσωση (1) δίνει x = 7 − 2y = 7 − 2 ⋅ 3 = 7 − 6 = 1. Άρα το σύστηµα
έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (1, 3).

β) Εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόπο. Επιλέγουµε να λύσουµε ως προς y τη δεύτερη εξί-
σωση:

3x + y = 3 ⇔ y = 3 − 3x (2)
Η πρώτη εξίσωση γίνεται:

2x − 3(3 − 3x) = 13 ⇔ 2x − 9 + 9x = 13 ⇔ 11x = 22 ⇔ x = 2
Αφού x = 2 η εξίσωση (2) δίνει y = 3 − 3x = 3 − 3 ⋅ 2 = 3 − 6 = −3. Άρα το σύστηµα
έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (2, −3).

Β. Η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών

1.4 Να λυθούν τα συστήµατα:

α)  x + y − x − y = 9 β)  x + 2y − 3y − 2x = y − x
 y 3 x + x 2 y = 5  x 45 = x − 3
 − +  +y − x−y+5
 2 9  52
 

14 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛΥΣΗ

α) Θα εκτελέσουµε τις πράξεις, ώστε να απλοποιήσουµε τις εξισώσεις του συστήµατος.
Έτσι:

♦ x + y − x − y = 9 ⇔ 2(x + y) − 3(x − y) = 6 ⋅ 9 ⇔
32

⇔ 2x + 2y − 3x + 3y = 54 ⇔ − x + 5y = 54
♦ y − x + x + y = 5 ⇔ 9(y − x) + 2(x + y) = 5 ⋅18 ⇔

29
⇔ 9y − 9x + 2x + 2y = 90 ⇔ −7x + 11y = 90
Το σύστηµα λοιπόν γίνεται:

 −x + 5y = 54 ⋅ (−7) ή  7x − 35y = −378
−7x +11y = 90 ⋅1 (+) −7x +11y = 90

−24y = −288

Από την τελευταία εξίσωση παίρνουµε:
−24y = −288 ⇔ y = −288 ⇔ y = 12
−24

Για y = 12 η πρώτη εξίσωση δίνει:

x = 5y − 54 ⇔ x = 60 − 54 ⇔ x = 6

Άρα το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (6, 12).

β) Απλοποιούµε τις εξισώσεις και το σύστηµα γίνεται:

 3x − 2y = 0
−13x + 7y = −5
Πολλαπλασιάζουµε την πρώτη µε 13, τη δεύτερη µε 3, προσθέτουµε κατά µέλη και
παίρνουµε:
−5y = −15 ⇔ y = 3
Για y = 3 βρίσκουµε x = 2 και έτσι το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (2, 3).

1.5 Να λυθούν τα συστήµατα:

α)  x+y +x = 15 β)  x+y−3= 2
 3 =6  x − 4y 5
 
 y− y−x  x + y − 3 − 2x − 3y − 2 = 5
 5 2 3


15

ΛΥΣΗ

α) Θα απλοποιήσουµε πρώτα την κάθε εξίσωση του συστήµατος.

♦ x + y + x = 15 ⇔ 3⋅ x + y + 3x = 3⋅15 ⇔ x + y + 3x = 45 ⇔ 4x + y = 45
33

♦ y − y − x = 6 ⇔ 5y − (y − x) = 30 ⇔ 5y − y + x = 30 ⇔ x + 4y = 30
5

Εποµένως το σύστηµα γίνεται:

4x + y = 45 ⇔ 4x + y = 45 ⋅ (−4) ⇔ −16x − 4y = −180
x + 4y = 30 x + 4y = 30 ⋅1 
 x + 4y = 30

Με πρόσθεση κατά µέλη των δύο εξισώσεων παίρνουµε:

−15x = −150 ⇔ x = 10

Εποµένως, αφού x = 10, η δεύτερη εξίσωση γίνεται:

x + 4y = 30 ⇔ 10 + 4y = 30 ⇔ 4y = 20 ⇔ y = 5

Άρα το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (10, 5).

β) Η πρώτη εξίσωση του συστήµατος µας επιβάλει να θέσουµε τον περιορισµό:

x − 4y ≠ 0, δηλαδή x ≠ 4y
Έχουµε λοιπόν:
♦ x + y − 3 = 2 ⇔ 5(x + y − 3) = 2(x − 4y) ⇔ 5x + 5y −15 = 2x − 8y ⇔

x − 4y 5

⇔ 5x + 5y − 2x + 8y = 15 ⇔ 3x + 13y = 15

♦ x + y − 3 − 2x − 3y − 2 = 5 ⇔ 6 ⋅ x + y − 3 − 6 ⋅ 2x − 3y − 2 = 5 ⋅ 6 ⇔
23 23

⇔ 3(x + y − 3) − 2(2x − 3y − 2) = 30 ⇔ 3x + 3y − 9 − 4x + 6y + 4 = 30 ⇔

⇔ −x + 9y = 35 ⇔ x − 9y = −35

Οδηγούµαστε λοιπόν στο σύστηµα:

3x +13y = 15

 x − 9y = −35

Θα λύσουµε το σύστηµα αυτό µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Η δεύτερη εξίσωση

δίνει x = 9y − 35, οπότε η πρώτη εξίσωση γίνεται:

3x + 13y = 15 ⇔ 3(9y − 35) + 13y = 15 ⇔ 27y − 105 + 13y = 15 ⇔
⇔ 40y = 120 ⇔ y = 3

16 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εποµένως η εξίσωση x = 9y − 35 δίνει:

x = 9y − 35 = 9 ⋅ 3 − 35 = 27 − 35 = −8

Το σύστηµα έχει λοιπόν µοναδική λύση, τη (x, y) = (−8, 3). Μένει να εξετάσουµε τον
περιορισµό x ≠ 4y. Είναι όµως πράγµατι −8 ≠ 4 ⋅ 3 (−8 ≠ 12), οπότε η λύση του συ-
στήµατος είναι δεκτή.
Ας σηµειώσουµε ότι το σύστηµα µπορεί να λυθεί και µε τη µέθοδο των αντίθετων
συντελεστών.

1.6 Να βρεθούν οι τιµές των λ και µ, ώστε η εξίσωση:

3(x + 1)µ − 2(1 − x)λ = 4(2x + 1)
να αληθεύει για κάθε πραγµατική τιµή του x.

ΛΥΣΗ

Θα φέρουµε πρώτα τη δοσµένη εξίσωση στη µορφή Αx = Β. Είναι:

3(x + 1)µ − 2(1 − x)λ = 4(2x + 1) ⇔ 3µx + 3µ − 2λ + 2λx = 8x + 4 ⇔

⇔ 3µx + 2λx − 8x = 2λ − 3µ + 4 ⇔ (3µ + 2λ − 8)x = 2λ − 3µ + 4 (1)

Για να αληθεύει η εξίσωση (1) για κάθε τιµή του αγνώστου x, δηλαδή για να είναι αό-
ριστη (ή ταυτότητα), πρέπει οι συντελεστές Α = 2λ + 3µ − 8 και Β = 2λ − 3µ + 4 να
είναι ταυτόχρονα ίσοι µε µηδέν.
Πρέπει λοιπόν να είναι:

2λ + 3µ − 8 = 0 ⇔ 2λ + 3µ = 8 (Σ)
2λ − 3µ + 4 = 0 2λ − 3µ = −4

Αρκεί να λύσουµε το σύστηµα (Σ). Με αφαίρεση κατά µέλη παίρνουµε:

6µ = 12 ⇔ µ = 2

Εποµένως οι ζητούµενες τιµές είναι οι µ = 2 και λ = 1, δηλαδή (λ, µ) = (1, 2).

Γ. Γραφική επίλυση γραµµικού συστήµατος 2 × 2

Έχουµε ήδη δει ότι ένα 2 × 2 γραµµικό σύστηµα έχει τη µορφή:

 αx + βy = γ (Σ)
α΄x + β΄y = γ΄

17

Καθεµία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος, εφόσον (α ≠ 0 ή β ≠ 0) και (α΄ ≠ 0 ή
β΄ ≠ 0), παριστάνει µια ευθεία γραµµή (ε) και (ε΄) αντίστοιχα. Η επίλυση λοιπόν του
συστήµατος (Σ) έγκειται στην εύρεση των κοινών σηµείων των ευθειών (ε) και (ε΄).
Η γραφική λοιπόν επίλυση ενός συστήµατος συνίσταται στον σχεδιασµό των ευθειών (ε)
και (ε΄) σε ένα σύστηµα συντεταγµένων και στην εύρεση των συντεταγµένων του κοι-
νού τους σηµείου, εφόσον βέβαια υπάρχει. Έτσι:

♦ Αν οι ευθείες (ε) και (ε΄) τέµνονται στο σηµείο Μ(x0 , y0),
τότε το σύστηµα (Σ) έχει τη µοναδική λύση (x0 , y0).

♦ Αν οι ευθείες (ε) και (ε΄) είναι παράλληλες, τότε το
σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο.

♦ Αν οι ευθείες (ε) και (ε΄) ταυτίζονται, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Τις άπει-

ρες αυτές λύσεις τις βρίσκουµε αν θέσουµε, για παράδειγµα, στη µία εξίσωση x = κ

και λύσουµε την εξίσωση ως προς y. Έτσι, αν για παράδειγµα β ≠ 0, τότε οι άπει-

ρες λύσεις δίνονται από τον τύπο (x, y) =  κ, γ − ακ .
 β

Ο τρόπος που βρίσκουµε τις άπειρες λύσεις φαίνεται καθαρά στις λυµένες ασκήσεις.

Όπως προκύπτει από τη γραφική συµπεριφορά ενός 2 × 2 συστήµατος, είναι φανερό ότι:
Ένα γραµµικό σύστηµα ή έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

1.7 Να λυθούν γραφικά τα συστήµατα:

α) x + y = 5 β) 2x + y = 5
x − y = 1 x − y = −2

18 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛΥΣΗ

α) Θα σχεδιάσουµε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις
ευθείες ε1: x + y = 5 και ε2: x − y = 1. ∆ίνουµε στα x, y
διαδοχικά την τιµή 0 και βρίσκουµε τους πίνακες:

Με τη βοήθεια των δύο πινάκων, σχεδιάζουµε τις ευθείες
(ε1) και (ε2). Το σηµείο τοµής τους είναι το Α(3, 2). Άρα
το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (3, 2).

β) Εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόπο.
Για να σχεδιάσουµε την ευθεία (ε1): 2x + y = 5 δίνουµε τις
τιµές x = 0 και y = 1, ενώ για να σχεδιάσουµε την ευ-
θεία (ε2): x − y = −2 δίνουµε τις τιµές x = 0, y = 0.

Παρατηρούµε και εδώ ότι οι ευθείες (ε1), (ε2) τέµνονται
στο σηµείο Α(1, 3). Άρα το σύστηµα έχει τη µοναδική λύ-
ση (x, y) = (1, 3).

Σηµείωση

Ας παρατηρήσουµε ότι και στα δύο συστήµατα οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι. Άρα
µε πρόσθεση των δύο εξισώσεων βρίσκουµε αµέσως ότι στο 1ο σύστηµα είναι 2x = 6,
δηλαδή x = 3, ενώ στο 2ο σύστηµα είναι 3x = 3, δηλαδή x = 1.

3. Λύση - διερεύνηση µε τη βοήθεια οριζουσών

Σχόλια - Μέθοδος

A. Ας θεωρήσουµε το γραµµικό σύστηµα:

(Σ):  αx + βy = γ
α΄x + β´y = γ΄

19

Θεωρούµε τους αριθµούς:

αβ γβ αγ
D= = αβ´− α΄β, Dx = γ΄ = γβ΄ − γ΄β, Dy = α΄ = αγ´− α΄γ
α΄ β΄ β΄ γ΄

Ο αριθµός D = αβ΄ − α΄β λέγεται ορίζουσα του συστήµατος. Ας σηµειώσουµε ότι:

♦ Η ορίζουσα Dx προκύπτει, αν στην ορίζουσα D αντικαταστήσουµε τους συντελε-
στές του x µε τους σταθερούς όρους.

♦ Η ορίζουσα Dy προκύπτει, αν στην ορίζουσα D αντικαταστήσουµε τους συντελε-
στές του y µε τους σταθερούς όρους.

Β. Με τη βοήθεια των οριζουσών D, Dx , Dy µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα (Σ)

ως εξής:

♦ Αν D ≠ 0, τότε το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (x, y), που δίνεται από τους
τύπους:
x = Dx , y = Dy
DD

♦ Αν D = 0, τότε το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

Τονίζουµε ότι κυρίως χρησιµοποιούµε τη µέθοδο των οριζουσών όταν θέλουµε να λύ-
σουµε ή να διερευνήσουµε ένα παραµετρικό 2 × 2 γραµµικό σύστηµα.

1.8 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραµµικά συστήµατα:

α)  2x + 3y − 5 = 5x − 2y + 9 β)  x + 2y − 1 = 2x − 4y + 5
 34  35 − 1
 
 4x + 2y + 10 = 3x − y + 12  2x + 3y − 1 = 2x + y
 53  32

ΛΥΣΗ

Θα λύσουµε και τα δύο συστήµατα µε τη µέθοδο των οριζουσών.

α) Θα φέρουµε πρώτα τις εξισώσεις στη µορφή αx + βy = γ, εκτελώντας κατάλληλα
τις πράξεις.

♦ 2x + 3y − 5 = 5x − 2y + 9 ⇔ 4(2x + 3y − 5) = 3(5x − 2y + 9) ⇔
34

⇔ 8x + 12y − 20 = 15x − 6y + 27 ⇔
⇔ (8x − 15x) + (12y + 6y) = 27 + 20 ⇔ −7x + 18y = 47

20 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

♦ 4x + 2y +10 = 3x − y +12 ⇔ 3(4x + 2y +10) = 5(3x − y +12) ⇔
53

⇔ 12x + 6y + 30 = 15x − 5y + 60 ⇔
⇔ 12x − 15x + 6y + 5y = 60 − 30 ⇔ −3x + 11y = 30

Το σύστηµα λοιπόν γίνεται:

−7x +18y = 47

 −3x + 11y = 30

Στο σύστηµα αυτό είναι:

♦ D= −7 18 = (−7) ⋅11− (−3) ⋅18 = −77 + 54 = −23

−3 11

♦ 47 18
Dx = 30 = 517 − 540 = −23
11

−7 47
♦ Dy = −3 = (−7) ⋅ 30 − (−3) ⋅ 47 = −210 +141 = −69
30

Αφού D ≠ 0, το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση:

x = Dx = −23 = 1, y = Dy = −69 = 3
D −23 D −23

Η µοναδική λοιπόν λύση του συστήµατος είναι η (x, y) = (1, 3).

β) Απλοποιώντας όπως και στο ερώτηµα (α), καταλήγουµε στο σύστηµα:

x − 22y = −20
2x − 3y = 1

Στο σύστηµα αυτό είναι:

♦ D = 1 −22 = −3 + 44 = 41
2 −3

−20 −22
♦ Dx = 1 = 60 + 22 = 82
−3

1 −20
♦ Dy = 2 = 1+ 40 = 41
1

Άρα το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση:

x = Dx = 82 = 2, y = Dy = 41 = 1
D 41 D 41

Το σύστηµα έχει δηλαδή τη µοναδική λύση (x, y) = (2, 1).

21

1.9 Να λυθεί το σύστηµα:

4x − λy = 6+ λ , üπου λ ∈ »
 = 2λ
 λx − y

ΛΥΣΗ

Το δοσµένο σύστηµα είναι παραµετρικό, οπότε θα το λύσουµε µε τη µέθοδο των ορι-
ζουσών. Έχουµε:

♦ D = 4 −λ = − 4 + λ2 = λ2 − 4 = (λ − 2)(λ + 2)
λ −1

6+λ −λ = −6 − λ + 2λ2 = 2λ2 − λ −6 = 2(λ − 2)  λ + 3 = (λ − 2)(2λ + 3)
♦ Dx = 2λ −1  2 

4 6 + λ = 8λ − 6λ − λ2 = −λ2 + 2λ = −λ(λ − 2)
♦ Dy = λ 2λ

∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις:

• Αν είναι D ≠ 0 ⇔ (λ − 2)(λ + 2) ≠ 0 ⇔ λ ≠ 2 και λ ≠ −2, τότε το σύστηµα έχει
µοναδική λύση που δίνεται από τους τύπους:
x = Dx = (λ − 2)(2λ + 3) = 2λ + 3
D (λ − 2)(λ + 2) λ + 2
και
y = Dy = −λ(λ − 2) = − λ
D (λ − 2)(λ + 2) λ + 2

δηλαδή τη (x, y) =  2λ + 3 , − λ λ 2 .
 λ+2 +

• Για D = 0 ⇔ (λ = 2 ή λ = −2) προκύπτουν τα παρακάτω:

Αν λ = −2, το σύστηµα γίνεται:

4x + 2y = 4  ⇔  2x + y = 2
−2x − y = − 4 −2x − y = − 4

Οι εξισώσεις αυτές µε πρόσθεση κατά µέλη δίνουν 0 = −2 και έτσι για λ = −2 το
σύστηµα είναι αδύνατο.

22 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αν λ = 2, το σύστηµα γίνεται:

4x − 2y = 8 ⇔ 2x − y = 4 ⇔ 2x − y = 4 ⇔ y = 2x − 4
 2x − y = 4 2x − y = 4


Εποµένως το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής:

(x, y) = (x, 2x − 4), µε x ∈ R

(ή της µορφής (x, y) = (κ, 2κ − 4), µε κ ∈ R).

Τονίζουµε ότι αν λύσουµε ως προς x την εξίσωση 2x − y = 4, τότε οι άπειρες λύ-
σεις µπορούν να δοθούν και από τη σχέση:

(x, y) =  4 + y , y , µε y ∈ »
 2

1.10 Για ένα γραµµικό 2 × 2 σύστηµα ισχύει ότι:
D2 + D2x + D2y + 21 = 2D − 4Dx + 8Dy

Να βρεθούν οι λύσεις του συστήµατος αυτού.

ΛΥΣΗ

Αρκεί να βρούµε τις τιµές των D, Dx και Dy .

Επειδή 21 = 1 + 4 + 16, παίρνουµε:

D2 + D 2 + D 2 + 21 = 2D − 4Dx + 8Dy ⇔
x y

( )( )⇔ (D2 − 2D +1) + D2x + 4Dx + 4 + D2y − 8Dy +16 = 0 ⇔

⇔ (D − 1)2 + (Dx + 2)2 + (Dy − 4)2 = 0 ⇔

⇔ (D = 1, Dx = −2, Dy = 4)

Είναι λοιπόν D = 1 ≠ 0, οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση, τη:

(x, y) =  Dx , Dy  =  −2 , 4  = (−2, 4)
 D D   1 1 
 

23

4. Γραµµικό σύστηµα 3 × 3

Σχόλια - Μέθοδος

A. Μια εξίσωση της µορφής αx + βy + γz = 0, µε έναν τουλάχιστον από τους συντε-

λεστές α, β, γ διάφορο του µηδενός, λέγεται γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους.
Λύση µιας γραµµικής εξίσωσης µε τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθµών που
την επαληθεύει. Για παράδειγµα, η εξίσωση x + 2y − 3z = 5 είναι µια γραµµική εξί-
σωση µε τρεις αγνώστους (τους x, y, z). Η τριάδα (x, y, z) = (2, 3, 1) είναι µια λύση
της εξίσωσης αυτής, διότι για x = 2, y = 3, z = 1 ισχύει ότι 2 + 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 = 5.

Β. Όταν έχουµε τρεις γραµµικές εξισώσεις µε τρεις αγνώστους:

α1x + β1y + γ1z = δ1 , α2x + β2y + γ2z = δ2 και α3x + β3y + γ3z = δ3

και ζητάµε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέµε ότι έχουµε να λύσουµε ένα γραµµικό
σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ή, πιο σύντοµα, ένα γραµµικό σύ-
στηµα 3 × 3 και γράφουµε:

(Σ): αα12xx + β1y + γ1z = δ1
+ β2y + γ2z = δ2

α3x + β3y + γ3z = δ3

Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήµατος χρησιµοποιούµε µεθόδους ανάλογες µε τις

µεθόδους που χρησιµοποιήσαµε για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2 × 2.

Έτσι, µπορούµε για παράδειγµα να λύσουµε µια από τις τρεις εξισώσεις ως προς έναν

άγνωστο, της επιλογής µας, και να αντικαταστήσουµε την τιµή αυτή στις δύο άλλες

εξισώσεις. Προκύπτει έτσι ένα 2 × 2 γραµµικό σύστηµα από το οποίο βρίσκουµε, αν

έχει λύση, τους δύο άλλους αγνώστους και έτσι τελικά βρίσκουµε τη λύση ή τις λύ-

σεις του συστήµατος (Σ).

Γ. Επειδή η επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 3 × 3, όπως είδαµε παραπάνω, ανά-

γεται στην επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2 × 2, προκύπτει ότι και ένα γραµµι-
κό σύστηµα 3 × 3 ή έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

1.11 Να λυθούν τα συστήµατα:

 x+y+ω=6  x − 2y + ω = 3
 β) 2x − 3y + ω = 5
α)  2x + y − ω = 1
3x + y − 4ω = 2
−3x + 2y + ω = 4

24 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛΥΣΗ

α) Θα λύσουµε την πρώτη εξίσωση ως προς x και την τιµή αυτή του x θα την αντικα-
ταστήσουµε στις δύο άλλες εξισώσεις του συστήµατος. Είναι λοιπόν:

x + y + ω = 6 ⇔ x = 6 − y − ω (1)
♦ Η δεύτερη εξίσωση του συστήµατος γίνεται:

(1)

2x + y − ω = 1 ⇐⇒ 2(6 − y − ω) + y − ω = 1 ⇔

⇔ 12 − 2y − 2ω + y − ω = 1 ⇔ −y − 3ω = −11 ⇔
⇔ y + 3ω = 11 (2)

♦ Η τρίτη εξίσωση του συστήµατος δίνει:

(1)

−3x + 2y + ω = 4 ⇐⇒ − 3(6 − y − ω) + 2y + ω = 4 ⇔

⇔ −18 + 3y + 3ω + 2y + ω = 4 ⇔
⇔ 5y + 4ω = 22 (3)

Οι εξισώσεις (2) και (3) µας οδηγούν στο 2 × 2 γραµµικό σύστηµα:
 y + 3ω = 11
5y + 4ω = 22

Λύνουµε το σύστηµα αυτό µε οποιαδήποτε µέθοδο επιθυµούµε και βρίσκουµε τη
λύση (y, ω) = (2, 3). Αφού λοιπόν y = 2 και ω = 3, η πρώτη εξίσωση του συστή-
µατος, και συγκεκριµένα η σχέση (1), δίνει:

x=6−y−ω=6−2−3=1
Άρα το δοσµένο σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y, ω) = (1, 2, 3).

β) Λύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς x και έχουµε:

x = 3 + 2y − ω

Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή στις άλλες εξισώσεις. Είναι:

♦ 2(3 + 2y − ω) − 3y + ω = 5 ⇔ y − ω = −1

♦ 3(3 + 2y − ω) + y − 4ω = 2 ⇔ 7y − 7ω = −7 ⇔ y − ω = −1

Προκύπτει έτσι το σύστηµα:

x = 3 + 2y − ω ⇔ x = 3 + 2y − ω ⇔ x = 3 + 2(ω −1) − ω ⇔ x = ω +1
      y = ω −1
 y − ω = −1   y = ω −1   y = ω −1 

Θέτουµε ω = κ και έτσι το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις:

(x, y, ω) = (κ + 1, κ − 1, κ), µε κ ∈ R

25

Συστήµατα µε τεχνάσµατα

Ορισµένα συστήµατα, αν και δεν είναι γραµµικά, µπορούν µε ένα κατάλληλο τέ-
χνασµα να µετατραπούν σε γραµµικά. Ένα τέτοιο συνηθισµένο τέχνασµα είναι συ-
νήθως η αντικατάσταση. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή αντικαθιστούµε κάποιους
όρους του συστήµατος που παρουσιάζονται και στις δύο εξισώσεις µε έναν νέο άγνω-
στο. Οδηγούµαστε έτσι σε ένα νέο σύστηµα µε νέες µεταβλητές, που είναι όµως
γραµµικό. Λύνουµε το σύστηµα αυτό και στη συνέχεια, επιστρέφοντας στις σχέσεις
που είχαµε δηµιουργήσει, βρίσκουµε τις λύσεις του αρχικού συστήµατος. Σε άλλες
περιπτώσεις µπορούµε να προσθέσουµε όλες ή µερικές από τις εξισώσεις του συ-
στήµατος και αφαιρώντας από τη νέα εξίσωση τις αρχικές, να βρούµε ευκολότερα
τη λύση του δοσµένου συστήµατος.

1.12 Να λυθεί το σύστηµα:

x+y=5
y + ω = 2
x + ω = −1

ΛΥΣΗ

Με πρόσθεση κατά µέλη και των τριών εξισώσεων παίρνουµε:
2x + 2y + 2ω = 6 ⇔ x + y + ω = 3

Εποµένως:

♦ x + y + ω = 3 ⇔ (x + y) + ω = 3 ⇔ 5 + ω = 3 ⇔ ω = −2
αφού η πρώτη εξίσωση δίνει x + y = 5.

♦ x + y + ω = 3 ⇔ x + (y + ω) = 3 ⇔ x + 2 = 3 ⇔ x = 1

♦ x + y + ω = 3 ⇔ (x + ω) + y = 3 ⇔ −1 + y = 3 ⇔ y = 4

Εποµένως το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y, ω) = (1, 4, −2).

1.13 Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα:

 5 + 7 = −2  3 − 5 = 2
 x y  x − 2y 2x − y
α)  β) 
 8 9  4 15
 x − y = 17  x − 2y + 2x − y = 7

26 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛΥΣΗ

α) Πρέπει καταρχήν x ≠ 0 και y ≠ 0. Θέτουµε 1 = α, 1 = β και το σύστηµα γίνεται:
xy

5α + 7β = −2 (ε1 )
 (ε2 )
 8α − 9β = 17

Πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε 9, τη δεύτερη µε 7 και προσθέτουµε κατά

µέλη:

9ε1 : 45α + 63β = −18
7ε2 : 56α − 63β = 119

101α = 101 ⇔ α = 1

Αφού α = 1, η πρώτη εξίσωση γίνεται:

5α + 7β = −2 ⇔ 5 ⋅ 1 + 7β = −2 ⇔ 7β = −7 ⇔ β = −1

Έχουµε λοιπόν: 1 = β ⇔ 1 = −1 ⇔ y = −1
1 = α ⇔ 1 = 1 ⇔ x = 1 και yy
xx

Άρα το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (1, −1).

β) Πρέπει καταρχήν x − 2y ≠ 0 και 2x − y ≠ 0. Θέτουµε 1 = α, 1 = β και
x − 2y 2x − y

το σύστηµα παίρνει τη µορφή:

 3α − 5β = 2
4α +15β = 7

Το σύστηµα αυτό έχει τη λύση α = 1, β = 1 . Παίρνουµε λοιπόν τις εξισώσεις:
5

♦ 1 = α ⇔ 1 =1 ⇔ x − 2y =1
x − 2y x − 2y

♦ 1 = β ⇔ 1 = 1 ⇔ 2x − y = 5
2x − y 2x − y 5

Εποµένως οδηγούµαστε στο σύστηµα:

x − 2y =1 ⋅1 ⇔  x − 2y =1 ⇔ x − 2y =1 ⇔ y =1
2x − y = 5 ⋅ (−2) −4x + 2y = −10  x = 3
 −3x = −9

Οι τιµές x = 3, y = 1 ικανοποιούν τους περιορισµούς που θέσαµε. Άρα το σύστηµα

έχει τη µοναδική λύση (x, y) = (3, 1).

27

5. Προβλήµατα

Μέθοδος
Για τη λύση προβληµάτων, που ανάγονται σε συστήµατα µε δύο ή περισσότερους
αγνώστους, ακολουθούµε τη γενική πορεία που περιγράψαµε και σε προηγούµενες πα-
ραγράφους.
♦ Σχηµατίζουµε τις εξισώσεις.
♦ Θεωρούµε το σύστηµα των εξισώσεων που προκύπτουν.
♦ Θέτουµε ενδεχοµένως περιορισµούς για τους αγνώστους.
♦ Λύνουµε το σύστηµα µε όποια µέθοδο, από αυτές που έχουµε περιγράψει, φαίνε-

ται καταλληλότερη.
♦ Κάνουµε επαλήθευση και έλεγχο των λύσεων, αν αυτό κρίνεται απαραίτητο.

1.14 Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το

µισό της ζωής του, ενώ αν πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το
1 της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε και πόσα χρόνια βασίλε-
8
ψε ο Μέγας Αλέξανδρος.

ΛΥΣΗ

Έστω ότι ο Μέγας Αλέξανδρος έζησε x χρόνια και βασίλεψε y χρόνια.

♦ Αν πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, τότε θα είχε ζήσει x + 9 χρόνια και θα είχε βασιλέ-

ψει y + 9 χρόνια. Εποµένως:

y + 9 = 1 (x + 9) (1)
2

♦ Αν πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε θα είχε ζήσει x − 9 χρόνια και θα είχε βασιλέ-

ψει y − 9 χρόνια. Εποµένως:

y − 9 = 1 (x − 9) (2)
8

Η σχέση (1) δίνει:

2(y + 9) = x + 9 ⇔ x − 2y = 9 (3)

Η σχέση (2) δίνει:

8(y − 9) = x − 9 ⇔ x − 8y = − 63 (4)

28 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Το σύστηµα των σχέσεων (3) και (4) δίνει:

x − 2y = 9  (−)  6y = 72  ⇔ y = 12
x − 8y = −63 x − 8y = −63 x = 33
⇐⇒

Άρα ο Μέγας Αλέξανδρος έζησε 33 χρόνια και βασίλεψε 12 χρόνια.

1.15 Ο ∆ηµήτρης, ο Γιώργος και ο Ανέστης θέλουν να αγοράσουν µε τα
χρήµατά τους ένα δώρο για τη Μαριάννα . Τα χρήµατα του ∆ηµήτρη
και του Γιώργου, µαζί, είναι κατά 20 € περισσότερα από τα χρήµατα
του Ανέστη. Τα χρήµατα του Γιώργου και του Ανέστη είναι κατά 60 €
περισσότερα από τα χρήµατα του ∆ηµήτρη και τέλος τα χρήµατα του
∆ηµήτρη και του Ανέστη είναι κατά 40 € περισσότερα από τα χρή-
µατα του Γιώργου.
α) Πόσα χρήµατα έχει ο καθένας;
β) Πόσο κοστίζει το δώρο της Μαριάννας;

ΛΥΣΗ

α) Έστω x, y και ω τα χρήµατα του ∆ηµήτρη, του Γιώργου και του Ανέστη αντίστοιχα.
Σύµφωνα µε το πρόβληµα ισχύει ότι:
♦ x + y = 20 + ω, y + ω = 60 + x, ω + x = 40 + y

♦ x > 0, y > 0, ω > 0
Αρκεί λοιπόν να λύσουµε το σύστηµα:

x + y − ω = 20
(Σ): y + ω − x = 60

ω + x − y = 40
Αν και το σύστηµα αυτό λύνεται και µε αντίθετους συντελεστές, θα το λύσουµε πιο σύ-
ντοµα µε τέχνασµα. Προσθέτουµε όλες τις εξισώσεις του (Σ) και παίρνουµε:

x + y + ω = 120 (1)

οπότε η σχέση (1) γίνεται:

(x + y) + ω = 120 ⇔ 20 + ω + ω = 120 ⇔ 2ω = 100 ⇔ ω = 50

Όµοια είναι y + ω = x + 60, οπότε:

x + y + ω = 120 ⇔ x + (y + ω) = 120 ⇔ x + x + 60 = 120 ⇔
⇔ 2x = 60 ⇔ x = 30

29

Με x = 30 και ω = 50 η σχέση (1) δίνει:
30 + y + 50 = 120 ⇔ y = 40

Άρα x = 30, y = 40 και ω = 50, που σηµαίνει ότι ο ∆ηµήτρης έχει 30 €, ο Γιώργος
40 € και ο Ανέστης 50 €.

β) Το δώρο κοστίζει 30 + 40 + 50 = 120 €.

1. Γραµµικές εξισώσεις

1.16 ∆ίνεται η εξίσωση ε: 3x + 4y = 12.

α) Να εξετάσετε αν η εξίσωση (ε) είναι γραµµική.
β) Να εξετάσετε ποιο από τα ζεύγη (−4, 6) και (3, 1) είναι λύση της εξίσωσης.
γ) Τι παριστάνει η παραπάνω εξίσωση;
δ) Σε ποια σηµεία τέµνει η (ε) τους άξονες;
ε) Να σχεδιάσετε την (ε) σ’ ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων.

1.17 Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη είναι λύση της εξίσωσης 3x + 2y = 6.

α) (2, 0) β) (1, 2) γ) (−2, −6) δ) (4, −3)

1.18 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω τριάδες αριθµών είναι λύση της εξίσω-

σης 2x − y + z = 3.

α) (−1, −1, 4) β) (−1, 2, −2)

1.19 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: β) 2x − y = 5
δ) 0x + 0y = 0
α) x + y = 1
γ) 0x + 0y = 1

1.20 Να βρείτε τις λύσεις των παρακάτω γραµµικών εξισώσεων:

α) x + 2y = 5 β) x + 3y − 2z = 0

Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου.

30 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2. Επίλυση 2 × 2 γραµµικού συστήµατος
(Μέθοδος αντικατάστασης - Μέθοδος αντίθετων συντελεστών)

1.21 Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα:

α) x + y = 2 β) 2x + y = 5
x − y = 0 
 x−y =1

γ) 3x − y = 7 δ) −5x + 3y = −13
 
 x−y =1  2x + 3y = 1

1.22 ∆ίνεται το σύστηµα:

(α −1)x − (β +1)y = −α − β

 (β +1)x + βy = 3α + 3

Να βρείτε τις τιµές των α και β, ώστε το σύστηµα να έχει λύση, τη:

(x, y) = (2, 3)

1.23 Να λύσετε τα συστήµατα:

α)  x + 3y = 4 β) 3x − 2y = 10
5x − 2y = 3 5x + 3y = 4

γ)  x +1+ y +1 = 2 δ)  (x +1)(y + 2) − (x −1)(y + 3) = 5
 2 3 = 4 (2x +1)(y −1) − (x + 3)(2y − 3) = 2

 2x +1 + y+4
 3 2

1.24 Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα:

 x − y = 4 − 5x  2x −1 + y =1
 2 3 6  3
α) β)

 2y − x = 3 5x + 9 = 30 − 2y

 x + y = x − y + 3  2x − 3y − 2y − 3x = 17
 4 + y 6 2 4  46 6
γ)  x δ) 
 4 =  x + y + 2x − y = 13
  34 3

31

1.25 Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα:

 x +y+ 5 + x − 3y − 5 + 2x + 2y = 26
 6 y − x 4 55
α)  2x −
 3 − y = 2x + 3y − 3 − 5
 6 76

β)  7x − 5y + 7x + 6y −10 = 4x + 7y + 25 y
 3x 4 12 16 3+ 6
 x+y 4
+ 4y + 4 − 2x + 4y = 5y − x +
8 12 9

1.26 Να βρείτε τις τιµές των κ, λ, ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι ταυτότητες.

α) (3κ − λ − 5)x = 4λ − 3κ − 7 β) (x − 2)κ + (1 − x)λ = 3x − 10

1.27 ∆ίνεται η παράσταση A(x, y) = x 2 + y 2 – 2xy + 5x – 5y + 6.

α) Να γράψετε σε µορφή γινοµένου την παράσταση Α(x, y).
β) Να αποδείξετε ότι αν Α(x, y) = 0, τότε το σηµείο Μ(x, y) κινείται σε δύο
παράλληλες ευθείες.

1.28 ∆ίνεται η εξίσωση (2α + 3β – 11)x + 3α – 2β + 3 = 0. Να βρείτε τις τιµές των

α και β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει περισσότερες από 2010 λύσεις.

3. Λύση συστήµατος µε ορίζουσες

1.29 Να λύσετε µε τη µέθοδο των οριζουσών τα συστήµατα:

α)  3x − y = −7 β)  x+y=3
2x + 3y = −1 3x − 2y = 19

γ)  2x +13y = 11 δ)  −8x + 3y = 14
−7x + 5y = 12 5x −11y = −27

1.30 Να λύσετε τα συστήµατα:

(Σ1 ): x + 2y = 5 και (Σ2 ): 2x + 3y = 5
x − y = −1  = 2
 x+y

α) µε αντικατάσταση, β) µε αντίθετους συντελεστές,

γ) µε τη βοήθεια των οριζουσών.

32 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ