39024

Ε1.42 Στον διπλανό πολλαπλασιασµό τα E AST
×S
γράµµατα παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορε-
τικά γράµµατα παριστάνουν διαφορετικά W EST
ψηφία. Να βρείτε τα ψηφία που παριστά-
νουν τα γράµµατα αυτά.

2. Κλάσµατα – ∆εκαδικοί αριθµοί

Ε2.1 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: β) B = 2 + 5 + 8 + 11 + 3 1 + 1 + 1 + 1 
5 8 11 13 5 8 11 13 
α) A = 1 + 4 + 9 + 4 β) B = 2 + 3 − 1 − 1
7 14 21 28 3 5 6 10 Ε2.7 Να βρείτε το άθροισµα:

Ε2.2 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: K = 11 + 1111 + 111111 + 11111111
13 1313 131313 13131313
α) A = 1 + 1 + 5 + 11 β) B = 1 + 1 + 1 + 3
7 13 14 26 3 5 6 10 Ε2.8 Να αποδείξετε ότι:

Ε2.3 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 1 − 2  1 − 2 1 − 2 …1 − 2  1 − 2  1 − 2  = 1
3 4 5 98 99 100  4950
α) A = 2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 7 β) B = 3 ⋅ 10 + 2 ⋅ 3
3 8 7 10 5 9 92 (Καναδάς)

Ε2.4 ∆ίνονται οι αριθµοί: Ε2.9 Να υπολογίσετε την παράσταση:

α = 1 + 2 + 3 + … + 2018 και A = 1− 1

234 2019 1 − 1

1 − 1
11
β = 3 + 4 + 5 + … + 2020
234 2019 Ε2.10 Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

Να υπολογίσετε τον αριθµό α + β. A = 1 + 1  +  1 + 2  +  1 + 3  +  1 + 4  + …+
2   2 3   3 4   4 5 

Ε2.5 Αν είναι:  1 98   1 99 
 98 99   99 100 
α = 1 + 2 + 3 + … + 2028 και + + + +

234 2029 ως δεκαδικό αριθµό.

β = 3 + 4 + 5 + … + 2030 Ε2.11 Τα 5 οµοιόµορφα χτυπήµατα µιας καµπάνας έγι-
234 2029
ναν σε 5 δευτερόλεπτα. Σε πόσα δευτερόλεπτα έγιναν 9
να βρείτε το άθροισµα α + β. παρόµοια κανονικά χτυπήµατα;

Ε2.6 Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: Ε2.12 Ένας υπάλληλος της ∆ΕΗ πρόσθετε µε το κο-

α) A = 1 + 3 + 5 + 7 + 2  1 + 1 + 1 + 1  µπιουτεράκι του τους λογαριασµούς ενός πρακτορείου.
3 5 7 9 3 5 7 9  Κάποια στιγµή πρόσθεσε όµως κατά λάθος τον αριθµό

384 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

3. Εξισώσεις – Μεταβλητές – Προβλήµατα

Ε3.1 Αν 3x − 9 = 12, µε τι ισούται µε 6x; γ) x − 1 − 2 − 3 − 4 − … − 9 =

2345 10

Ε3.2 Στη διπλανή πρόσθεση τα γράµµατα ∆ΕΗ = 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1
ΕΗ 2345 10
παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορετικά γράµµα-
τα παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Να βρεί- +Η Ε3.10 Αν ο x είναι φυσικός αριθµός και 3x + 3x+1 = 108,
τε ποια ψηφία παριστάνουν τα γράµµατα ∆, 108 1
Ε και Η. να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = x2 + 2x.

Ε3.3 Να συµπληρώσετε τον διπλανό πολ- Ε3.11 Να λύσετε την εξίσωση:

λαπλασιασµό. 107 − (2 : 3 + 4 : 3 + 6 : 3 + 9 : 3) = 25
x(2 : 5 + 4 : 5 + 6 : 5 + 8 : 5)
Ε3.4 Σε µια αθλητική εκδήλωση ο αριθµός των αγο-
Ε3.12 ∆ύο φυσικοί αριθµοί έχουν άθροισµα 89. Αν δι-
ριών είναι διπλάσιος από τον αριθµό των κοριτσιών. Αν
φύγουν 14 αγόρια και έρθουν 28 κορίτσια, τότε όσα εί- αιρέσουµε το µεγαλύτερο µε το µικρότερο, θα βρούµε
ναι τα αγόρια είναι και τα κορίτσια. Πόσα αγόρια και πηλίκο 3 και υπόλοιπο 1. Ποιοι είναι οι αριθµοί αυτοί;
πόσα κορίτσια παρακολουθούν την εκδήλωση αυτή;
Ε3.13 ∆ίνονται οι φυσικοί αριθµοί x, y, ώστε να ισχύει:
Ε3.5 Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς α, β, γ αν γνω-
3x + 2y = 30
ρίζεται ότι β < 3, γ < 5 και 5(3α + β) + γ = 39. α) Να αιτιολογήσετε ότι x < 11.
β) Να εξετάσετε αν ο x είναι άρτιος ή περιττός.
Ε3.6 Αν 2 − β = α και β + γ = 7, να υπολογίσετε την γ) Να βρείτε τους αριθµούς x και y.

τιµή της παράστασης Β = 3α + 5β + 2γ.

Ε3.7 Αν α + β = 25 και β + γ = 29, να υπολογίσετε Ε3.14 Ένας έξυπνος µαθητής παρατήρησε ότι όποιον

τους αριθµούς: αριθµό και να βάλει στη θέση της µεταβλητής x στην

παράσταση:

α) 2α + 3β + γ β) 4γ − 4α A = 3x2 + α
x2 + 2
Ε3.8 Να λύσετε την εξίσωση:
βρίσκει πάντα το ίδιο αποτέλεσµα. Ποιος είναι ο αριθ-

1 + 1 1 + 1  1 + 1  … 1 + 1  x = µός α; (Alberta – Καναδάς)
2 3  4  10 

= 1 + 1  1 + 1  1 + 1 …1 + 1  Ε3.15 Στο παρακάτω µαγικό τετράγωνο το γινόµενο
10  11 12 98 
των τριών αριθµών κάθε γραµµής, στήλης ή διαγωνίου
Ε3.9 Να λύσετε τις εξισώσεις: είναι πάντοτε το ίδιο, αλλά όχι µηδέν.

α) x + 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 = β2
2345 100
49
= 3 + 4 + 5 + 6 + … + 101
2345 100 18 1

β)  1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅…⋅ 9  x = 5 ⋅ 6 ⋅… ⋅ 9 α) Να βρείτε τον αριθµό β.
 2 3 4 4 10  6 7 10 β) Να βρείτε όλους τους αριθµούς που λείπουν.

388 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ε3.16 Ένα τρένο αποτελείται από 10 βαγόνια µε το ίδιο Ε3.18 Στο διπλανό σχήµα

µήκος (ανάµεσα σε αυτά είναι και η µηχανή). Το τρένο πρόκειται να τοποθετηθούν
πρόκειται σε λίγο να περάσει από ένα τούνελ, το οποίο στα κυκλάκια όλοι οι αριθ-
χωράει 8 βαγόνια. Αν από τη στιγµή που θα µπει η µοί (ψηφία) από το 1 έως
αρχή του 1ου βαγονιού µέχρι να βγει το τέλος του 10ου και το 9.
βαγονιού χρειάζονται 50 δευτερόλεπτα, σε πόσα δευτε-
ρόλεπτα περνάει το τούνελ το κάθε βαγόνι του τρένου; Στις κορυφές του τριγώνου
έχουν ήδη τοποθετηθεί οι
Ε3.17 Το παρακάτω τετράγωνο είναι µαγικό. αριθµοί 1, 2, 3.

21 Πόσο είναι το άθροισµα α + β των δύο αριθµών που
φαίνονται στη βάση του τριγώνου, αν γνωρίζουµε ότι το
4 άθροισµα των τεσσάρων αριθµών που βρίσκονται στις
πλευρές του τριγώνου να είναι το ίδιο;
2
Ε3.19 Σε µια θεατρική παράσταση το εισιτήριο για τα
Το γινόµενο των αριθµών σε κάθε γραµµή, στήλη ή δι-
αγώνιο είναι πάντοτε ο ίδιος αριθµός. Να συµπληρώσε- παιδιά ήταν 5 € και για τους µεγάλους ήταν 16 €. Αν
τε το µαγικό αυτό τετράγωνο µε τους φυσικούς αριθ-
µούς (όχι όµως µηδέν) που λείπουν από ορισµένα κου- από την παράσταση συγκεντρώθηκαν 789 € ποιος είναι
τάκια.
ο µέγιστος αριθµός ατόµων που παρακολούθησαν την

παράσταση; (Ν. Αφρική)

4. Ποσοστά – Ανάλογα ποσά

Ε4.1 Να απλοποιήσετε το κλάσµα: Ε4.5 Στον περσινό διαγωνισµό της ΕΜΕ πήραν µέρος

A = 1111 + 2222 − 3333 + 4444 30 αγόρια και 20 κορίτσια ενός σχολείου. Βραβείο πήρε
5555 το 30% των αγοριών και το 40% των κοριτσιών. Τι πο-
σοστό από τα παιδιά του σχολείου που διαγωνίστηκαν
και να το γράψετε ως ποσοστό. πήρε βραβείο;

Ε4.2 Ένα κατάστηµα κάνει σε όλα τα είδη του την ίδια Ε4.6 Ένας εργάτης σκάβει µία τάφρο σε µια ώρα ενώ

έκπτωση επί τοις εκατό. Έτσι ένα µπουφάν των 100 € ένας άλλος εργάτης σκάβει την ίδια τάφρο σε µιάµιση
πωλείται µε 80 € και ένα κουστούµι των 300 € πωλείται ώρα. Σε πόσα λεπτά θα σκάψουν την τάφρο αυτή οι δυο
240 €. Πόσο θα πωληθεί ένα ταγιέρ των 700 €; εργάτες, αν δουλέψουν µαζί;

Ε4.3 Ένα αυτοκίνητο αγοράστηκε, λόγω παλαιότητας, Ε4.7 Σε ένα διαγωνισµό δόθηκε για τις τρεις πρώτες

στο 25% επί της αρχικής του αξίας και πωλήθηκε µε θέσεις ένα χρηµατικό ποσό, το οποίο µοιράστηκε για την
κέρδος 30% στην τιµή των 3900 €. Πόσο είχε το αυτο-
κίνητο καινούργιο; 1η, 2η, 3η θέση ανάλογα µε τους αριθµούς 3, 2, 1. Το

Ε4.4 Μία µπλούζα που άξιζε αρχικά 50 € πωλείται τρίτο βραβείο µοιράστηκε η Μαριάννα µε το Μιχάλη.

στις εκπτώσεις µε έκπτωση 20%. Πόσο τοις εκατό πρέ- Τι µέρος του συνολικού ποσού των χρηµάτων πήρε η
πει να αυξήσει ο έµπορος τη νέα τιµή, ώστε µετά τις εκ-
πτώσεις η µπλούζα να πωλείται ξανά στην τιµή των 50 €; Μαριάννα; (Βρετανία)

Ε4.8 Η Μαρίνα κάνει µια διαδροµή 6 km. Στα δύο πρώ-

τα χιλιόµετρα τρέχει µε µέση ταχύτητα 6 km την ώρα,

389

τα επόµενα 2 km µε µέση ταχύτητα 4 km την ώρα και Ε4.11 Να γράψετε ως ποσοστό το παρακάτω κλάσµα:
τα τελευταία 2 km µε ταχύτητα 3 km την ώρα. Ποια εί-
ναι η µέση ταχύτητα που διήνυσε ολόκληρη τη διαδρο- A = 117117117117117
µή; (Alberta – Καναδάς) 225225225225225

Ε4.9 Ένα µεγάλο καρπούζι ζύγιζε 20 kg και το 98% Ε4.12 Αυξάνουµε το µήκος ενός ορθογωνίου κατά 25%.

του βάρους του ήταν νερό. Το καρπούζι ξεχάστηκε δύο Πόσο πρέπει να µειώσουµε το πλάτος του, ώστε το εµ-
ηµέρες στον ήλιο και έτσι λόγω εξάτµισης, το νερό που βαδόν του ορθογωνίου να µη µεταβληθεί;
απέµεινε είναι το 95% του βάρους του. Πόσο ζυγίζει
τώρα το καρπούζι; Ε4.13 Να βρείτε τον αριθµό x, αν γνωρίζετε ότι:

Ε4.10 Το νερό µιας αλυκής περιέχει 10,24‰ αλάτι.  1 % του  2 % του  3 % του … 9 % του x     =
 2  3  4 10    
Κάθε ηµέρα, λόγω ζέστης, εξατµίζεται το 20% του νε-  
ρού. Πόσο τοις εκατό αλάτι θα περιέχει το νερό της
αλυκής µετά από 3 ηµέρες; = 1 ⋅ 10
1009

5. Ρητοί αριθµοί – ∆υνάµεις

Ε5.1 Να βρείτε την τιµή της παράστασης: Ε5.6 Να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚ∆ των αριθµών:

Α = 2013 + (−1821)1940 + (−2004) + (−1940)(−1821) α = 168 + 416 και β = 230 + 326

Ε5.2 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Ε5.7 Να κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω παραστά-

α) A = 6  2 + 7  − 1 + 1  2 − 1  σεις:
 9  3 7  5 6  α) Α = (23 − 23 : 2 + 2)(425 : 816)
β) Β = 102(20 + 02 ⋅ 12012)1000
β) B = 11 : − 1 + 1  − 3 + 1  γ) Γ = (3 ⋅ 45 + 45 ⋅ 97) : 302
2 3 2  4 2  δ) ∆ = (215 ⋅ 331)5 : (8 ⋅ 35)25 − 630 : 230

Ε5.3 Να γράψετε: Ε5.8 Να βρείτε τις τιµές των πααραστάσεων:

α) τον αριθµό 88 ως δύναµη µε βάση 44, α) (52 )−6 β) (3−5 )2
β) τον αριθµό 99 ως δύναµη µε βάση 33. (5−3 )4 (34 )−3

Ε5.4 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: γ) (4−2)−3(8−2)2

α) A = 3 − 6 + 9 −12 + … + 297 − 300 Ε5.9 Να υπολογίσετε την παράσταση:
5 −10 + 15 − 20 + … + 495 − 500
( ( ) )A22⋅ 23 + 27 − (22 )3 1 2
β) B = 2 − 4 + 6 − 8 + … + 198 − 200 23 2
7 −14 + 21 − 28 + … + 693 − 700 = 214 (23 )4 + −
25 ⋅ 27 − 210 − 2
Ε5.5 Ποιο είναι: 3
+ 2
α) το τριπλάσιο του αριθµού 3100;
β) το ένα τρίτο του 3100. Ε5.10 Ποια είναι η µεγαλύτερη δύναµη του 2, η οποία

διαιρεί ακριβώς τον αριθµό 1.000.000; (Αυστραλία)

390 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ε5.50 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθ- Με άλλα λόγια οι αριθµοί αλλάζουν ως εξής:

µοί α, β, γ ώστε (α − β)(β − γ)(γ − α) = 20092010. a → b + c, b → a + c, c → a + b

Ε5.51 Ένας κύκλος έχει εµβαδόν 10 τετ. εκατοστά. Αν στο τρίγωνο Τ µε τους αριθµούς 1, 3, 5 κάνουµε 999

Ένας άλλος κύκλος έχει διπλάσια ακτίνα από αυτήν του τέτοιες αλλαγές και πάρουµε το τρίγωνο S µε αριθµούς
παραπάνω κύκλου. Πόσο είναι το εµβαδόν του νέου κύ-
κλου; y, x, z (όπως φαίνεται στο σχήµα), ποια θα είναι η δια-

Ε5.52 Να βρείτε τον φυσικό αριθµό ν, ώστε να ισχύει φορά x − y; (Καγκουρό)

η ισότητα: Ε5.57 Με τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας:
2100 + 299 + 298 = 2ν
14 αβ − αγ = α(β − γ)
να υπολογίσετε µε σύντοµο τρόπο την παράσταση:
Ε5.53 Να συγκρίνετε τους αριθµούς:
Α = 19973 − 19972 ⋅ 1996 − 1997 ⋅ 1996 − 1996
α = 551 και β = 2121 − 460 − 2119
Ε5.58 Αφού αιτιολογήσετε εµπειρικά τον τύπο:
Ε5.54 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:
α) 1 − 2, 1 − (2 − 3), 1 − (2 − (3 − 4)), 1 + 2 + 22 + 23 + … + 229 = 230 − 1

1 − (2 − (3 − (4 − 5))) να αποδείξετε ότι αν ξεκινώντας µε το 3 επαναλάβουµε
β) 1 − (2 − (3 − (4 − … − (99 − 100)…))) 30 φορές την πράξη: «διπλασιάζουµε και αφαιρούµε 1»
θα πάρουµε τον αριθµό 231 + 1. (Alberta – Καναδάς)
Ε5.55 Πόσα ψηφία έχει ο αριθµός α = 416 ⋅ 525, αν τον

γράψετε στη συνηθισµένη µορφή του δεκαδικού συστή-
µατος;

Ε5.56 Στις κορυφές ενός τριγώνου υπάρχουν οι αριθµοί

a, b, c. Από το τρίγωνο αυτό δηµιουργούµε ένα άλλο
τρίγωνο που στις κορυφές του έχει τους αριθµούς b + c,
a + c, a + b, όπως δείχνει το επόµενο σχήµα.

6. Γεωµετρία

Ε6.1 Να τοποθετήσετε στο επίπεδο 4 σηµεία µε τέτοιο Ε6.4 Στο διπλανό σχήµα να

τρόπο, ώστε αυτά να σχηµατίζουν: υπολογίσετε τη γωνία ΑΟΓ .
α) 4 τρίγωνα β) 3 τρίγωνα γ) κανένα τρίγωνο
Ε6.5 Να υπολογίσετε τη γωνία στα επόµενα σχήµατα:
Ε6.2 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Bˆ = Γˆ = 60°. Τι συµπε-

ραίνετε για το είδος του τριγώνου αυτού;

Ε6.3 Στο διπλανό σχήµα να

υπολογίσετε τη γωνία x.

393

7. Γρίφοι – Προβλήµατα - Σπαζοκεφαλιές

Ε7.1 Ποιος αριθµός πρέπει να µπει στο τελευταίο σχήµα; Ε7.8 Στη διπλανή αφαίρεση τα γράµµα- ΑΒΓ
− ΓΒ
Ε7.2 Ποιος αριθµός πρέπει να µπει στο δεύτερο σχήµα; τα παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορετικά
γράµµατα παριστάνουν διαφορετικά ψη- ΑΓ
Ε7.3 Οι διοργανωτές ενός math camp είχαν από έναν φία. Ποια είναι τα ψηφία Α, Β, Γ;

εκδότη την εξής προσφορά: «Για κάθε τρία βιβλία που (Σκοτία)
θα αγοράσετε, θα πάρετε δύο βιβλία δωρεάν!» Αν το
κάθε βιβλίο κόστιζε 10 € και η µαθηµατική κατασκή- Ε7.9 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού
νωση έχει 50 παιδιά, πόσο κόστισε η αγορά όλων των
βιβλίων; α = 951 + 952 + 953 + … + 1051 µε τον 1000.

Ε7.4 Οι σελίδες ενός βιβλίου είναι όλες αριθµηµένες Ε7.10 Στην αστερούπολη, πόλη ενός άλλου γαλαξία, συµ-

µε τους φυσικούς αριθµούς 1, 2, 3, … Αν για την αρίθ- βολίζουν τον πολλαπλασιασµό µε (∗) και γίνεται διαφο-
µηση των σελίδων του βιβλίου αυτού το ψηφίο 3 χρησι- ρετικά από τον γήινο πολλαπλασιασµό. Σε ένα χαρτί εί-
µοποιήθηκε ακριβώς 99 φορές (για παράδειγµα για τη δαµε ότι:
σελίδα 133 το ψηφίο 3 χρησιµοποιήθηκε δύο φορές),
πόσες σελίδες έχει το βιβλίο; 1 ∗ 3 = 5, 6 ∗ 9 = 21, 8 ∗ 2 = 18
Ποιο είναι το αποτέλεσµα της πράξης 11 ∗ 20;
Ε7.5 Πόσες φορές θα χρησιµοποιήσουµε το ψηφίο 3
(Καναδάς)
για να αριθµήσουµε ένα βιβλίο 500 σελίδων; Η αρίθµη-
ση ξεκινάει από το 1. Ε7.11 Να βρείτε τα τελευταία 5 ψηφία του αθροίσµατος:

Ε7.6 Ο καθηγητής έγραψε στον πίνακα τον αριθµό 2012 1 + 11 + 111 + … + 111…111 (Αυστραλία)

και είπε στους µαθητές του: «Από τον αριθµό αυτό, αλ- 2002 ψηφία
λά και από κάθε άλλο νέο αριθµό που θα γράψουµε στη
συνέχεια, µπορούµε να δηµιουργήσουµε έναν νέο φυσι- Ε7.12 Να υπολογίσετε την παράσταση:
κό αριθµό είτε αυξάνοντάς τον κατά 1 είτε διαιρώντας
τον µε το 2. Μπορούµε για παράδειγµα να δηµιουργή- A = 1 − 1  : 1 + 1 − 2  : 1 + 1 − 3  : 1 + …+
σουµε τους αριθµούς: 2  2 3  3 4  4

2012, 2013, 1006, 1007, 1008, 504 κ.λπ.» + 1 − 2008  : 1
Αν κάποια στιγµή στον πίνακα ένας µαθητής έγραψε τον 2009  2009
αριθµό 1, πόσοι τουλάχιστον αριθµοί είναι γραµµένοι
στον πίνακα; Ε7.13 Να υπολογίσετε το γινόµενο:

Ε7.7 Να συµπληρώσετε τον διπλανό πολ- Γ = 1 + 1 1 + 1  1 + 1 …1 + 1  1 + 1 
2 3 4 2008  2009 
λαπλασιασµό. Τα αστεράκια παριστάνουν
ψηφία, όχι υποχρεωτικά ίσα µεταξύ τους. Ε7.14 Ένας µαθητής πή-

ρε από την εφηµερίδα του
πατέρα του ένα ολόκλη-
ρο φύλλο, όχι το µεσαίο,
διότι στις δύο σελίδες που
βλέπει µπροστά του, δια-
βάζει ενδιαφέροντα επι-

στηµονικά στοιχεία για το πλανητικό µας σύστηµα. Οι
δύο αυτές σελίδες είναι αριθµηµένες µε τους αριθµούς
19 και 42. Πόσες σελίδες έχει η εφηµερίδα;

397

Ε7.15 Να πολλαπλασιάσετε τον αριθµό 15873 µε ένα Ε7.20 Να γράψετε τον αριθµό 42008 ως άθροισµα τεσ-

ψηφίο και στη συνέχεια µε το 7. Τι παρατηρείτε; σάρων διαδοχικών περιττών αριθµών.

Ε7.16 Σε µια σειρά γράφουµε χωρίς κόµµα τους φυσι- Ε7.21 Να βρείτε τον ακέραιο αριθµό ν, ώστε να ισχύει:

κούς αριθµούς ξεκινώντας από τον αριθµό 1: (35ν)5 + (35)5ν + (325)ν = 8119

12345678910111213141516 …

Ποιο είναι το χιλιοστό στη σειρά ψηφίο αυτού του απέ- Ε7.22 Οι περιττοί αριθ-

ραντου αριθµού; (Καναδάς) µοί 1, 3, 5, … είναι το-
ποθετηµένοι σε µια τρι-
Ε7.17 Να υπολογίσετε την παράσταση: γωνική διάταξη, όπως δεί-
χνει το διπλανό σχήµα.
α = 1 + 3 1 + 5 1 + 7  1 + 9 …1 + 19  1 + 21  Ποιος είναι ο πρώτος α-
1 4 9 16 81  100  ριθµός της γραµµής, της
οποίας το άθροισµα των
(Αυστραλία) (Ν. Αφρική)
αριθµών είναι 1.000.000;
Ε7.18 Να υπολογίσετε την παράσταση:

A =  9 + 1  : Ε7.23 Στη διπλανή διαίρεση τα πε-
 2 4 
ρισσότερα ψηφία έχουν διαγραφεί
:  4 − 12 ×  3 + 3  + 7 −  3 + 1 2 :  2 − 3 2  + 1 και στη θέση τους υπάρχει ένας α-
3  5  4  4 10   10   2 στερίσκος (∗). Το ίσον (=), όπου
 υπάρχει δηλώνει το ψηφίο 0.

Ε7.19 ∆εξιά και αριστερά ενός φυσικού αριθµού τοπο- Μπορείτε να συµπληρώσετε ξανά τα (Ρουµανία)
ψηφία που λείπουν σ’ αυτή την τέ-
θετούµε το ψηφίο 2. Ο αριθµός που παίρνουµε είναι µε-
γαλύτερος κατά 2479 από τον αρχικό. Ποιος ήταν ο αρ- λεια διαίρεση;
χικός αριθµός;

8. Ασκήσεις και προβλήµατα που ξεχωρίζουν

Ε8.1 Το τριπλάσιο ενός φυσικού αριθµού έχει ψηφίο Ε8.4 Να βρείτε τα ψηφία a, b, c, d έτσι, ώστε:

µονάδων το 7. Ποιο είναι το ψηφίο των µονάδων του abcd = α10 + α9 + α8 + α7 + … + α2 + α
αριθµού αυτού;
Ε8.5 Να βρείτε τα ψηφία x, y, z που είναι διαφορετικά
Ε8.2 Να γράψετε τον πιο µικρό και τον πιο µεγάλο φυ-
µεταξύ τους έτσι, ώστε να ισχύει:
σικό αριθµό, ο οποίος έχει 90 ψηφία, διαιρείται ακριβώς
µε το 90 και το άθροισµα των ψηφίων του είναι 90. xyz + yzx + zxy = 666

Ε8.3 Σε µια σειρά, χωρίς κόµµα και κενά, γράφουµε Ε8.6 Πόσοι φυσικοί αριθµοί µικρότεροι από τον 60.000

τους αριθµούς 1, 2, 3, …, 100 και σχηµατίζουµε ένα αρχίζουν µε το ψηφίο 5; (Alberta – Καναδάς)
µεγάλο αριθµό:
Ε8.7 Με τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας να υπο-
123456789101112 … 99100
Πόσα ψηφία έχει αυτός ο αριθµός; λογίσετε τις παραστάσεις:

α) (111 + 222 + 333 + … + 999) : 555

398 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

9. Προβλήµατα – Θέµατα από διαγωνισµούς

Ε9.1 Ο Τάσος έχει 4 αδελφούς. Η αδελφή του η Έλλη, Ε9.7 Να βρείτε την τιµή της παράστασης:

έχει 8 αδέλφια, αγόρια και κορίτσια. Πόσα είναι τα κο- Α = 100 − 1 + 98 − 3 + 96 − 5 + … + 4 − 97 + 2 − 99
ρίτσια της οικογένειας αυτής; (Alberta – Καναδάς)

Ε9.2 Πόσες µπαλίτσες έχουν το ίδιο βάρος µε ένα κυ- Ε9.8 Στη διπλανή πρόσθεση δύο τριψήφιων 3 x y

βάκι, ώστε να ισορροπεί η τελευταία ζυγαριά; αριθµών τα γράµµατα x, y παριστάνουν διαφο- + y x 3
ρετικά ψηφία. Πόσο είναι το άθροισµα x + y; 1x 1 x

Ε9.3 Στη διπλανή πρόσθεση τα γράµµατα Α AB Ε9.9 Ένα παιδί κατα-
BA
και Β παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Ποια +B σκευάζει µε το µολύβι
είναι τα ψηφία αυτά; AAB του τα διπλανά γράµµατα
χρησιµοποιώντας κουκί-

δες. Αν συνεχίσει τα σχέδια, πόσες κουκίδες έχει το V50 .

Ε9.4 Ο Νίκος είπε στον φίλο του τον Αλέκο: «∆ώσε Ε9.10 Στη διπλανή πρόσθεση τα γράµµατα Ο DD

µου από τα δικά σου χρήµατα όσα εγώ έχω». Ο Αλέκος παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορετικά γράµµατα + O DD
του τα έδωσε και σε λίγο λέει στον Νίκο: «Αν µου δώ- παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Να βρείτε E V E N
σεις όσα εγώ έχω τώρα, θα έχουµε από 28 ευρώ ο καθέ- τις τιµές που κρύβουν τα ψηφία αυτά.
νας µας». Από πόσα χρήµατα είχαν στην αρχή;
(ΟDD = περιττός, ΕVEN = άρτιος.) (Αγγλία)

Ε9.5 Για να γυρίσει σπίτι µια οικογένεια που νύχτωσε Ε9.11 Στον διπλανό πολλαπλασιασµό τα 6∗ 3
×5
στο δάσος πρέπει να περάσει την παλιά κρεµαστή γέφυ- αστεράκια παριστάνουν ψηφία, όχι υποχρε-
ρα των ανέµων. Έχει µαζί της ένα φακό και η γέφυρα ωτικά ίδια. Ποια ψηφία παριστάνουν τα 346
µπορεί να σηκώσει µόνο δύο άτοµα. Ο χρόνος που χρει- αστεράκια αυτά (∗ και );
άζεται για να περάσει µόνος τη γέφυρα είναι 1 λεπτό για 38
το γιο, 2 λεπτά για την κόρη, 4 λεπτά για τον πατέρα Ε9.12 Στον διπλανό πολλαπλασιασµό να × ∗∗
και 8 λεπτά για τη µητέρα. Ο χρόνος που χρειάζονται
δύο άτοµα για να περάσουν µαζί τη γέφυρα, είναι όσο ο αντικαταστήσετε τα αστεράκια (∗) µε ψη- ∗∗∗
χρόνος που θέλει το πιο αργό από τα άτοµα αυτά. Πώς φία, ώστε ο πολλαπλασιασµός να είναι σω- +∗∗∗
θα καταφέρει η οικογένεια να περάσει τη γέφυρα ακρι- στός.
βώς σε 15 λεπτά; 2∗04
Ε9.13 Στον διπλανό πολλαπλασιασµό να
(Μαθηµατική κατασκήνωση, Εύβοια) 46
αντικαταστήσετε τα αστεράκια (∗) µε ψη- × ∗∗
Ε9.6 Μια νοικοκυρά διαθέ- φία, ώστε ο πολλαπλασιασµός να είναι σω-
στός. ∗∗∗
τει έναν ζυγό, µια σακούλα +∗∗∗
µε 3 κιλά αλεύρι και ένα γυά-
λινο βαζάκι µε βάρος 100 γρ. 1∗78

Πώς θα χρησιµοποιήσει η νοικοκυρά το ζυγό για να Ε9.14 Το µεσηµέρι και κάθε µέρα αναχωρεί από τη
µετρήσει 675 γρ. αλεύρι;
Λισσαβόνα ένα πλοίο που φτάνει σε 8 ηµέρες στη Νέα
Υόρκη. Συγχρόνως όµως και κάθε ηµέρα αναχωρεί το
µεσηµέρι από τη Νέα Υόρκη ένα πλοίο για τη Λισσα-

401

10. Θέµατα διαγωνισµού Καγκουρό

Α. Καγκουρό 2016

E10.1 Πόσοι ακέραιοι υπάρχουν µεταξύ

των δύο σηµειωµένων αριθµών;

Α) 15 Β) 16

Γ) 17 ∆) 18

Ε) 19

E10.2 Πόσο είναι το άθροισµα των Πόσο είναι το εµβαδόν του γκρι χωρίου;

δύο σηµειωµένων γωνιών ωˆ και φˆ Α) 50 Β) 80 Γ) 100
του ορθογωνίου τριγώνου στο διπλα-
νό σχήµα; ∆) 120 Ε) 150

Α) 150° Β) 180° E10.7 ∆ύο κοµµάτια από σπάγκο έχουν µήκος 1 µ. και

Γ) 270° ∆) 320° 2 µ., αντίστοιχα. Ο κύριος Ψαλίδας τα έκοψε σε µικρό-

τερα κοµµάτια που όλα είχαν το ίδιο µήκος µεταξύ τους.

Ε) 360° Ποιος από τους παρακάτω αριθµούς αποκλείεται να εί-

ναι το συνολικό πλήθος των κοµµατιών µετά το κόψιµο;

E10.3 Ένα Καγκουρό ήθελε να προσθέσει 26 σε κά- Α) 6 Β) 8 Γ) 9

ποιον αριθµό. Όµως έκανε λάθος και αντί να προσθέ- ∆) 12 Ε) 15

σει, αφαίρεσε 26. Αν βρήκε −14, πόσο θα έβρισκε αν

έκανε σωστά την πράξη; E10.8 Τέσσερις πόλεις Α, Β, Γ και ∆ συνδέονται µε

Α) 28 Β) 32 Γ) 36 δρόµους, όπως στο παρακάτω διάγραµµα.

∆) 38 Ε) 42

E10.4 Έχουµε 9 πακέτα µε 555 καρφίτσες το καθένα.

Αν θέλουµε όλες αυτές τις καρφίτσες να τις χωρίσουµε

σε 5 ίδια µεταξύ τους πακέτα, πόσες καρφίτσες θα έχει

το κάθε πακέτο; Οι οργανωτές ενός Μαραθώνιου αγώνα θέλουν να σχε-

Α) 999 Β) 900 Γ) 555 διάσουν µία διαδροµή που ξεκινά από την πόλη Α, τε-

∆) 111 Ε) 45 λειώνει στην Γ και περνά από όλους τους δρόµους

ακριβώς µία φορά τον καθένα. Πόσες διαφορετικές δια-

E10.5 Σε ένα κοπάδι το 60% των προβάτων έχει ά- δροµές µπορούν να σχεδιάσουν;

σπρο χρώµα ενώ το 12% έχει µαύρο. Αν το κοπάδι έχει Α) 10 Β) 8 Γ) 6

45 άσπρα πρόβατα, πόσα µαύρα πρόβατα έχει το κοπάδι; ∆) 4 Ε) 2

Α) 4 Β) 6 Γ) 9

∆) 10 Ε) 12 E10.9 Στο εσωτερικό ενός τετρα-

E10.6 Το επόµενο σχήµα αποτελείται από ένα ορθο- γώνου έχουν τοποθετηθεί τέσσερα ίσα
µεταξύ τους ορθογώνια παραλληλό-
γώνιο παραλληλόγραµµο διαστάσεων 20 × 10 µε δύο γραµµα, όπως στο διπλανό σχήµα.
κύκλους στο εσωτερικό του.
Η περίµετρος κάθε ορθογωνίου πα-

405

11. Θέµατα διαγωνισµού Πυθαγόρας

Πυθαγόρας 2020

E11.1 Ποιος από τους παρακάτω αριθµούς διαιρεί τον

111.111;

α) 5 β) 3 γ) 2 δ) 10

ε) κανένας από τους προηγούµενους

E11.2 Ο κ. Πολύδωρος θέλει να βάψει τα κάγκελα του

µπαλκονιού του. Για κάθε 3 κάγκελα χρειάζεται 75 γραµ-

µάρια µπογιάς. Όταν έβαψε όλα τα κάγκελα είδε ότι είχε

χρησιµοποιήσει 1,5 κιλό µπογιάς. Πόσα ήταν όλα τα κά-

γκελα του µπαλκονιού του;

α) 60 β) 20 γ) 75 α) Αυτοί που έχουν γάτα είναι διπλάσιοι από αυτούς που
έχουν χάµστερ.
δ) 225 ε) 6 β) Οι περισσότεροι από αυτούς που έχουν ζωάκι είναι
αυτοί που έχουν γάτα.
E11.3 Πόση είναι η περί- γ) 6 µαθητές δεν έχουν κανένα ζωάκι.
δ) Το 50% των µαθητών έχει γάτα ή σκύλο.
µετρος του πολυγώνου, ό- ε) Ακριβώς τέσσερις µαθητές δεν έχουν ζωάκι.
ταν γνωρίζουµε ότι κάθε
τετραγωνάκι έχει εµβαδόν E11.6 Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις η σχέση
4 cm2;
που έχουν τα δύο αριθµητικά δεδοµένα εκφράζεται µε
α) 40 cm β) 26 cm ένα ποσοστό µικρότερο του 50%;
α) Από τα 3.800 αυτοκίνητα που πουλήθηκαν πέρυσι,
γ) 72 cm δ) 52 cm τα 2.000 είχαν κόκκινο χρώµα.
β) Από τα 102 άτοµα που πήραν µέρος σε µια έρευνα,
ε) 104 cm τα 52 ήταν άνδρες.
γ) Ο γυµναστής ενός σχολείου ρώτησε 100 µαθητές
E11.4 Πόσα διαφορετικά ποιο άθληµα προτιµούν να βλέπουν στην τηλεόραση και
οι 55 του απάντησαν ότι προτιµούν το ποδόσφαιρο.
τρίγωνα µπορούµε να κα- δ) Από τα 2,5 κιλά βοδινό κρέας που αγόρασε η κ. Εύα
τα 1,25 κιλά ήταν κιµάς.
τασκευάσουµε µε κορυφές ε) Από τα 246 παγωτά που πούλησε ένα κατάστηµα τα
120 είχαν γεύση φράουλα.
τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆;
E11.7 Ποιον αριθµό θα πρέπει να διαβάσει το επόµενο
α) 3 β) 5
πρόγραµµα, ώστε στο τέλος να τυπώσει τον αριθµό 23;
γ) 1 δ) 4

ε) 8

E11.5 Στο τµήµα της Στέλλας οι 21 µαθητές έκαναν

µία έρευνα για τα ζωάκια που έχουν στο σπίτι τους. ∆ι-
απίστωσαν ότι κανείς δεν έχει περισσότερα από ένα ζω-
άκια στο σπίτι του. Με βάση το επόµενο διάγραµµα τι
ισχύει;

412 ΘΕΜΑΤΑ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ

12. Προβλήµατα για υποτροφίες

E12.1 Ένα δοχείο γεµάτο µε λάδι ζυγίζει 10 κιλά. Ένα άλλο παιδί ξεκινάει συγχρόνως από το 800 και
κατεβαίνει τους αριθµούς ανά 4. Γράφει δηλαδή τους
Όταν το δοχείο έχει το µισό περιεχόµενο, ζυγίζει 6 κιλά. αριθµούς:
Πόσο ζυγίζει το δοχείο όταν είναι άδειο;
800, 796, 792, 788, …
E12.2 Σε έναν σάκο υπάρχουν 200 µπάλες. Από αυτές Ποιον αριθµό θα γράψουν συγχρόνως και τα δύο παιδιά;

το 90% είναι κόκκινες. Πόσες κόκκινες µπάλες πρέπει E12.8 Στη διπλανή πρόσθεση τα γράµµα- SEE
να αφαιρέσουµε από το σάκο, ώστε οι κόκκινες µπάλες +SEE
να αποτελούν το 75 % του περιεχοµένου του σάκου; τα παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορετικά γράµ- AXE S
µατα παριστάνουν διαφορετικά ψηφία Ποιο
E12.3 Ένας τεχνικός επισκευάζει 3 υπολογιστές την ψηφίο παριστάνει το κάθε γράµµα;

ηµέρα, εκτός και αν δουλέψει και το απόγευµα, οπότε E12.9 Η Κατερίνα µε τον Βαγγέλη παίζουν ένα παι-
επισκευάζει 5 υπολογιστές. Αν σε 10 ηµέρες ο τεχνι-
κός επισκεύασε 36 υπολογιστές, πόσες ηµέρες δούλεψε χνίδι. Όποιος κερδίζει παίρνει 5 βαθµούς, όποιος χάνει
µόνο πρωινά; δεν παίρνει βαθµούς και αν το παιχνίδι λήξει ισόπαλο,
παίρνει ο καθένας από δύο βαθµούς. Η Κατερίνα συ-
E12.4 Στις 7:00 το πρωί δύο ρολόγια δείχνουν τη σω- γκέντρωσε από τις νίκες τριπλάσιους βαθµούς από αυ-
τούς που συγκέντρωσε από τις ισοπαλίες. Αν έπαιξαν
στή ώρα. Το πρώτο ρολόι πάει µπροστά 3 λεπτά κάθε 13 παιχνίδια και µάζεψαν συνολικά και οι δύο τους 60
δύο ώρες και το δεύτερο µένει πίσω 1 λεπτό κάθε δύο βαθµούς, πόσες νίκες έκανε ο Βαγγέλης;
ώρες. Τι ώρα θα δείχνει ένα κανονικό ρολόι, αν το γρή-
γορο ρολόι βρίσκεται για πρώτη φορά 1 ώρα µπροστά E12.10 Ο Ανέστης έπρεπε να προσθέσει 5 αριθµούς
από το αργό;
και να βρει άθροισµα 1.000. Όµως, ενώ είχε προσθέσει
E12.5 Να υπολογίσετε το άθροισµα: τους 4 πρώτους αριθµούς, τον 5ο αντί να το προσθέ-
σει, τον αφαίρεσε και έτσι βρήκε αποτέλεσµα 900. Ποιος
Α = (1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100) + είναι ο αριθµός αυτός;
+ (199 + 198 + 197 + … + 102 + 101 + 100)
E12.11 ∆ύο φίλοι παίζουν σκάκι. Για κάθε νίκη ο νι-
E12.6 Τρεις φίλοι παίζουν ένα παιχνίδι. Ο πρώτος µε-
κητής παίρνει 10 βαθµούς και ο χαµένος µηδέν, ενώ για
τράει δυνατά τους αριθµούς 1, 2, 3, … , ο δεύτερος κάθε ισοπαλία ο καθένας παίρνει από 3 βαθµούς. Ύστε-
χτυπάει µία φορά παλαµάκια όταν ακούει αριθµό που ρα από 15 παιχνίδια και οι δύο µαζί έχουν 130 βαθ-
είναι πολλαπλάσιο του 6 και ο τρίτος χτυπάει µία φορά µούς. Πόσα παιχνίδια έληξαν ισόπαλα;
παλαµάκια όταν ακούει αριθµό που είναι πολλαπλάσιο
του 8. Κάποια στιγµή που ο πρώτος φίλος λέει έναν α- E12.12 Στη διπλανή διαίρεση τα ψη-
ριθµό, οι δύο άλλοι φίλοι χτυπούν για 10η φορά συγ-
χρόνως παλαµάκια. Ποιος είναι ο αριθµός αυτός; φία που λείπουν είναι σηµειωµένα
µε αστεράκια. Να βρεθεί ο διαιρε-
E12.7 Ένα παιδί ξεκινάει από το 100 και ανεβαίνει τέος, ο διαιρέτης και το πηλίκο της
διαίρεσης αυτής.
τους αριθµούς ανά 3. Γράφει δηλαδή τους αριθµούς:
100, 103, 106, 109, …

416 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΕΣ