39065

Ðñüëïãïò Ôï âéâëßï áõôü ãñÜöôçêå ìå ôçí åðéèõìßá íá áðïôåëÝóåé Ýíá ðïëýôéìï âïÞèçìá ãéá ôçí êáôáíüçóç, ôçí åìâÜèõíóç êáé ôçí åðáíÜëçøç ôùí èåìÜôùí ðïõ èá áíôéìåôùðßóåé ï ìáèçôÞò óôï ìÜèçìá ôçò ÖõóéêÞò Ã' Ëõêåßïõ ôçò ÏìÜäáò Ðñïóáíáôïëéóìïý Èåôéêþí Óðïõäþí. ÐåñéÝ÷åé ìåãÜëï áñéèìü èåìÜôùí, êáèþò êáé ðñüôáóç åðáíÜëçøçò ãéá êÜèå êåöÜëáéï îå÷ùñéóôÜ, ìå ôç ìïñöÞ âçìÜôùí, óå äýï åðßðåäá (âáóéêÞ åðáíÜëçøç êáé åðáíÜëçøç ãéá åìâÜèõíóç), ìå óêïðü íá âïçèÞóåé ôïí õðïøÞöéï óôçí êáëýôåñç äéá÷åßñéóç ôçò ìåëÝôçò ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ ìáèÞìáôïò. ÊÜèå êåöÜëáéï áðïôåëåßôáé áðü ôÝóóåñéò õðïåíüôçôåò ðïõ Ý÷ïõí ôçí ïíïìáóßá èÝìá 1ï, èÝìá 2ï, èÝìá 3ï êáé èÝìá 4ï, üðùò áêñéâþò åìöáíßæïíôáé óôï äéáãþíéóìá ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. ÈÝìá 1ï: ÐåñéÝ÷ïíôáé åñùôÞóåéò ðïëëáðëÞò åðéëïãÞò êáé óùóôïý - ëÜèïõò ðáñüìïéåò ìå ôéò åñùôÞóåéò ôïõ 1ïõ èÝìáôïò ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. Ìå ôéò åñùôÞóåéò áõôÝò ï ìáèçôÞò ìðïñåß íá äïêéìÜóåé ôéò ãíþóåéò ôïõ óôç èåùñßá ôïõ ó÷ïëéêïý âéâëßïõ áëëÜ êáé íá åìâáèýíåé óå ëåðôïìÝñåéåò ôçò èåùñßáò êáé ôùí áóêÞóåùí. ÈÝìá 2ï: ÐåñéÝ÷ïíôáé åñùôÞóåéò áíÜðôõîçò êáé êñßóåùò ðïõ óêïðü Ý÷ïõí íá ðñïåôïéìÜóïõí ôï ìáèçôÞ, þóôå íá áðáíôÞóåé óùóôÜ óôéò åñùôÞóåéò ôïõ 2ïõ èÝìáôïò ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. ÈÝìá 3ï: ÐåñéÝ÷ïíôáé áóêÞóåéò êáé ðñïâëÞìáôá ðáñüìïéá ìå áõôÜ ôïõ 3ïõ èÝìáôïò êáé óå ðïëëÝò ðåñéðôþóåéò ôïõ 4ïõ èÝìáôïò ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. Ôá ðñïâëÞìáôá áõôÜ Ý÷ïõí ãñáöåß ìå óêïðü, ìåôÜ ôç äéåîïäéêÞ ôïõò ìåëÝôç, ï ìáèçôÞò íá ìðïñåß íá áðáíôÞóåé óå êÜèå åñþôçìá ôïõ 3ïõ êáé ôïõ 4ïõ èÝìáôïò ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. ÈÝìá 4ï: ÐåñéÝ÷ïíôáé óýíèåôá ðñïâëÞìáôá, ôá ïðïßá óå ìåñéêÝò ðåñéðôþóåéò åßíáé áõîçìÝíçò äõóêïëßáò. Ãéá üëåò ôéò åñùôÞóåéò, ôéò áóêÞóåéò êáé ôá ðñïâëÞìáôá õðÜñ÷ïõí áíáëõôéêÝò ëýóåéò óôï ôÝëïò ôïõ âéâëßïõ (ãáëÜæéåò óåëßäåò) - üðùò ðñÝðåé íá ôéò äéáôõðþóåé Ýíáò ìáèçôÞò óôï äéáãþíéóìá ôùí Ðáíåëëçíßùí ÅîåôÜóåùí. ÔÝëïò, èÝëù íá åêöñÜóù ôéò èåñìÝò ìïõ åõ÷áñéóôßåò ðñïò ôïí åîáßñåôï óõíÜäåëöï öõóéêü Êþóôá ØõëÜêï ðïõ äéÜâáóå ôá ðñùôüôõðá êáé Ýêáíå åýóôï÷åò ðáñáôçñÞóåéò êáé åðéóçìÜíóåéò, åíþ Þôáí ðïëýôéìïò óõíåñãÜôçò ìïõ óå üëç ôç äéáäéêáóßá ôçò óõããñáöÞò ôïõ âéâëßïõ. Ï óõããñáöÝáò Ãéþñãïò Ðáíáãéùôáêüðïõëïò ÐÑÏËÏÃÏÓ 3

Ôñüðïò ìåëÝôçò ôïõ âéâëßïõ Ç ìåëÝôç ôïõ âéâëßïõ ðïõ êñáôÜò óôá ÷Ýñéá óïõ ìðïñåß íá ãßíåé ìå ðïëëïýò ôñüðïõò, áíÜëïãá ìå ôï åðßðåäï ôùí ãíþóåþí óïõ êáé ôéò áíÜãêåò óïõ ãéá êáëýôåñç ðñïåôïéìáóßá óôï ìÜèçìá ôçò öõóéêÞò. ÐáñáêÜôù óïõ ðñïôåßíù äýï ôñüðïõò ìåëÝôçò, ðïõ üìùò äåí åßíáé áíÜãêç íá óå ðåñéïñßóïõí, ìéáò êáé åóý ãíùñßæåéò êáëýôåñá ðïý ðñÝðåé íá óôï÷åýóåéò ðåñéóóüôåñï, áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï ðïõ äéáèÝôåéò êáé ôéò ãíþóåéò ðïõ èÝëåéò íá äïìÞóåéò Þ Ý÷åéò Þäç óõóóùñåýóåé. 1ïò ôñüðïò ìåëÝôçò (åêôåôáìÝíç åðáíÜëçøç óå êÜèå êåöÜëáéï îå÷ùñéóôÜ) Ï ôñüðïò áõôüò óïõ äßíåé ôç äõíáôüôçôá íá áíáêáëýøåéò óçìåßá ðïõ óå äõóêïëåýïõí óå êÜèå êåöÜëáéï, êáèþò êáé íá Ý÷åéò ìéá ðéï óöáéñéêÞ åéêüíá ãéá ôçí ýëç ðïõ ðñÝðåé íá ãíùñßæåéò, þóôå íá Ý÷åéò êáëÞ áðüäïóç óôï ôåëéêü óïõ äéáãþíéóìá. Ðáñüëï ðïõ êÜèå êåöÜëáéï Ý÷åé ôç äéêÞ ôïõ áõôïíïìßá, êáëü åßíáé íá ôá ìåëåôÞóåéò ìå ôç óåéñÜ, ìéáò êáé, ðñïïäåõôéêÜ, áñêåôÜ èÝìáôá ðåñéëáìâÜíïõí óõíäõáóìïýò ìå ýëç Üëëùí êåöáëáßùí. Óôçí áñ÷Þ êÜèå êåöáëáßïõ õðÜñ÷åé ðñüôáóç åðáíÜëçøçò ìå ôç ìïñöÞ âçìÜôùí, ìå óêïðü íá óå êáèïäçãÞóåé êáëýôåñá êáé ðéï áðïäïôéêÜ. Óôï 1ï êåöÜëáéï (Êñïýóåéò) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 13. Óôï 2ï êåöÜëáéï (Ôáëáíôþóåéò) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 69. Óôï 3ï êåöÜëáéï (Êýìáôá) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 145. Óôï 4ï êåöÜëáéï (Ìç÷áíéêÞ ôïõ óôåñåïý óþìáôïò) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 215. Óôï 5ï êåöÜëáéï (Çëåêôñïìáãíçôéóìüò) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 273. Óôï 6ï êåöÜëáéï (Óôïé÷åßá Êâáíôïìç÷áíéêÞò) ç ðñüôáóç ìåëÝôçò âñßóêåôáé óôç óåëßäá 427. Óïõ ðñïôåßíù íá áêïëïõèÞóåéò ðñþôá ôá âÞìáôá ôçò âáóéêÞò åðáíÜëçøçò ðïõ áíáöÝñïíôáé óå êÜèå êåöÜëáéï. Áöïý ïëïêëçñþóåéò ôç âáóéêÞ åðáíÜëçøç, óôç óõíÝ÷åéá íá äþóåéò éäéáßôåñç ðñïóï÷Þ óôá èÝìáôá åìâÜèõíóçò. Ìå ôá èÝìáôá åìâÜèõíóçò åßíáé êáëü íá áó÷ïëçèåßò ðñïò ôï ôÝëïò ôçò ìåëÝôçò óïõ, üôáí Ý÷åéò Þäç äïìÞóåé Ýíá êáëü õðüâáèñï ãíþóåùí. 2ïò ôñüðïò ìåëÝôçò (ãéá åìâÜèõíóç) Áöïý Ý÷åéò ìåëåôÞóåé ôá âáóéêÜ óçìåßá üëùí ôùí êåöáëáßùí (äçëáäÞ Ý÷åéò ïëïêëçñþóåé ôá 4 ðñþôá âÞìáôá ôùí ðñïôÜóåùí åðáíÜëçøçò êÜèå êåöáëáßïõ îå÷ùñéóôÜ), îåêéíÜò íá áó÷ïëåßóáé ìå ôá èÝìáôá åìâÜèõíóçò. ÔÑÏÐÏÓ ÌÅËÅÔÇÓ ÔÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ 5

Óïõ ðñïôåßíù ôá èÝìáôá åìâÜèõíóçò íá ôá ëýóåéò áíáêáôåìÝíá, äçëáäÞ ãéá ðáñÜäåéãìá íá ëýóåéò ôçí ßäéá ìÝñá Ýíá èÝìá åìâÜèõíóçò áðü êÜèå êåöÜëáéï êáé ü÷é üëá ôá èÝìáôá ìáæß áðü Ýíá óõãêåêñéìÝíï êåöÜëáéï. Ï óêïðüò åßíáé íá ðñïóïìïéþóåéò ôï ôåëéêü óïõ äéáãþíéóìá, ìéáò êáé ôá èÝìáôá ðïõ ðåñéÝ÷ïíôáé óå áõôü äåí áíÞêïõí üëá óôï ßäéï êåöÜëáéï. Ôçí ðáñáðÜíù äéáäéêáóßá ìðïñåßò íá ôçí áêïëïõèÞóåéò åðßóçò üôáí Ý÷åéò ôï ÷ñüíï íá êÜíåéò êáé äåýôåñç åðáíÜëçøç Þ üôáí ðëçóéÜæïõí ïé åîåôÜóåéò óïõ, ïðüôå êáëü åßíáé íá «áíáêáôåýåéò» ôá èÝìáôá ðïõ ëýíåéò êÜèå öïñÜ ðïõ ìåëåôÜò öõóéêÞ, þóôå íá ìçí áíáöÝñïíôáé óôï ßäéï êåöÜëáéï êáé óôçí ßäéá ýëç. Óôç äéÜñêåéá ôçò ìåëÝôçò óïõ äåí ðñÝðåé íá îå÷íÜò üôé ç ëýóç åíüò ðñïâëÞìáôïò öõóéêÞò õðüêåéôáé óå ãåíéêïýò êáíüíåò ðïõ êáëü åßíáé íá ôïõò áêïëïõèåßò, éäéáßôåñá óôá ðñïâëÞìáôá ðïõ äõóêïëåýåóáé íá ëýóåéò. Ãéá ôï óêïðü áõôü êáëü èá åßíáé íá äåéò ôï âßíôåï ðïõ Ý÷ù äçìéïõñãÞóåé óôïí éóôüôïðï: https://goo.gl/vrMY8i, ðïõ óïõ äßíåé ôéò ãåíéêÝò êáôåõèýíóåéò ãéá ôï ðþò èá äéáâÜóåéò ôçí åêöþíçóç ôçò Üóêçóçò êáé óôç óõíÝ÷åéá ðþò èá äéá÷åéñéóôåßò ôç ëýóç ôçò. Ìðïñåßò íá äåéò ôï âßíôåï óêáíÜñïíôáò êáé ôï åðüìåíï QR code. Ìå ôçí åëðßäá üôé ïé ðáñáðÜíù ïäçãßåò èá óïõ öáíïýí ÷ñÞóéìåò óôçí ðïñåßá óïõ ãéá ôéò ôåëéêÝò åîåôÜóåéò, óïõ åý÷ïìáé ïëüøõ÷á êáëÞ åðéôõ÷ßá! 6 ÔÑÏÐÏÓ ÌÅËÅÔÇÓ ÔÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ

Ðåñéå÷üìåíá ÊåöÜëáéï 1 (Êñïýóåéò) Ôõðïëüãéï...................................................................................................... 11 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò .................................................................................. 13 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 15 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 23 ÈÝìá 3ï......................................................................................................... 39 ÈÝìá 4ï......................................................................................................... 49 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ....................................................................................... 461 ÊåöÜëáéï 2 (Ìç÷áíéêÝò ôáëáíôþóåéò) Ôõðïëüãéï - ÃñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò.............................................................. 61 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò .................................................................................. 69 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 71 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 83 ÈÝìá 3ï......................................................................................................... 107 ÈÝìá 4ï......................................................................................................... 121 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ....................................................................................... 505 ÊåöÜëáéï 3 (Êýìáôá) Ôõðïëüãéï - ÃñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ............................................................. 139 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò .................................................................................. 145 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 147 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 163 ÈÝìá 3ï......................................................................................................... 187 ÈÝìá 4ï......................................................................................................... 201 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ...................................................................................... 567 ÊåöÜëáéï 4 (Ìç÷áíéêÞ ôïõ óôåñåïý óþìáôïò) Ôõðïëüãéï...................................................................................................... 213 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò .................................................................................. 215 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 217 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 225 ÈÝìá 3ï......................................................................................................... 245 ÈÝìá 4ï......................................................................................................... 253 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ....................................................................................... 631 ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ 7

ÊåöÜëáéï 5 (Çëåêôñïìáãíçôéóìüò) Ôõðïëüãéï...................................................................................................... 267 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò .................................................................................. 273 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 275 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 309 ÈÝìá 3ï......................................................................................................... 363 ÈÝìá 4ï......................................................................................................... 401 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ....................................................................................... 673 ÊåöÜëáéï 6 (Óôïé÷åßá Êâáíôïìç÷áíéêÞò) Ôõðïëüãéï...................................................................................................... 423 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò ................................................................................... 427 ÈÝìá 1ï......................................................................................................... 429 ÈÝìá 2ï......................................................................................................... 441 ÈÝìá 3ï - 4ï.................................................................................................. 453 ÁðáíôÞóåéò - ëýóåéò ....................................................................................... 809 8 ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

ÔÕÐÏËÏÃÉÏ óôéò ÊÑÏÕÓÅÉÓ ÊÅÍÔÑÉÊÇ ( ¹ ÌÅÔÙÐÉÊÇ ) ÅËÁÓÔÉÊÇ ÊÑÏÕÓÇ õ õ õõ 1 1 22      Ó÷Ýóç ðïõ éêáíïðïéïýí ïé áëãåâñéêÝò ôéìÝò ôùí ôá÷õôÞôùí äýï óùìÜôùí ôá ïðïßá óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ êáé åëáóôéêÜ.      õ õ õ 1 1 2 1 22 1 2 ( ) mm m2 m m Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò ìÜæáò m1 áìÝóùò ìåôÜ ôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç ìå Ýíá óþìá ìÜæáò m2.      õ õ õ 2 2 1 2 11 1 2 ( ) mm m2 m m Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò óþìáôïò ìÜæáò m2 áìÝóùò ìåôÜ ôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç ìå Ýíá óþìá ìÜæáò m1.     õ õ 1 1 21 1 2 ( ) m m m m Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò óþìáôïò ìÜæáò m1 áìÝóùò ìåôÜ ôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç ìå Ýíá óþìá ìÜæáò m2 ðïõ áñ÷éêÜ Þôáí áêßíçôï.    õ õ 2 1 1 1 2 2m m m Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò áñ÷éêÜ áêßíçôïõ óþìáôïò ìÜæáò m2 áìÝóùò ìåôÜ ôçí åëáóôéêÞ ìåôùðéêÞ êñïýóç ìå Ýíá óþìá ìÜæáò m1 ðïõ ðñéí ôçí êñïýóç åß÷å ôá÷ýôçôá õ1. õ õ 1 1    êáé õ 2   0 Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò óþìáôïò ìÜæáò m1 áìÝóùò ìåôÜ ôçí åëáóôéêÞ êñïýóç ôïõ ìå Ýíá óþìá ðïëý ìåãáëýôåñçò ìÜæáò m2 ðïõ áñ÷éêÜ Þôáí áêßíçôï. Ç ôá÷ýôçôá (   õ2 ) ôïõ óþìáôïò ìÜæáò m2 áìÝóùò ìåôÜ ôçí êñïýóç éóïýôáé ìå ìçäÝí. ÁÍÅËÁÓÔÉÊÇ ÊÑÏÕÓÇ ÄÕÏ ÓÙÌÁÔÙÍ E QK K áðùë áñ÷ ôåë   Ç áðþëåéá åíÝñãåéáò åîáéôßáò ôçò áíåëáóôéêÞò êñïýóçò (ç ïðïßá åìöáíßæåôáé ìå ìïñöÞ èåñìüôçôáò Q) éóïýôáé ìå ôç äéáöïñÜ ôçò áñ÷éêÞò êáé ôçò ôåëéêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìÜôùí. ÊÑÏÕÓÅÉÓ 11

ÊÑÏÕÓÅÉÓ 13 Ðñüôáóç åðáíÜëçøçò Ç åðáíÜëçøç åßíáé ìéá ðïëý óçìáíôéêÞ äéáäéêáóßá ãéá ôçí åðßôåõîç åíüò êáëïý âáèìïý óôéò ôåëéêÝò åîåôÜóåéò. Óôç óåëßäá áõôÞ ìðïñåßò íá âñåéò ìéá ðñüôáóç åðáíÜëçøçò ìå ôç ìïñöÞ âçìÜôùí ãéá ôï êåöÜëáéï ôùí êñïýóåùí. Ôçí ðñüôáóç áõôÞ ìðïñåßò íá ôçí ðñïóáñìüóåéò óôéò áíÜãêåò óïõ, áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï ðïõ Ý÷åéò êáé ôï åðßðåäï ôùí ãíþóåùí ðïõ Ý÷åéò äïìÞóåé óôï êåöÜëáéï áõôü. Ôá ôÝóóåñá ðñþôá âÞìáôá áíáöÝñïíôáé óå ìéá âáóéêÞ åðáíÜëçøç, ðïõ óêïðü Ý÷åé íá êáëýøåé ôá êåíÜ ôá ïðïßá ìðïñåß íá Ý÷åéò óôï êåöÜëáéï ôùí êñïýóåùí. Ôï ðÝìðôï âÞìá áíáöÝñåôáé óôçí åìâÜèõíóç ôùí ãíþóåþí óïõ, þóôå íá áíôéìåôùðßóåéò êÜèå äõóêïëßá óôï ôåëéêü óïõ äéáãþíéóìá. Ç óõìâïõëÞ ìïõ åßíáé íá îåêéíÞóåéò ðñþôá áðü ôç âáóéêÞ åðáíÜëçøç êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ðñï÷ùñÞóåéò óôï ðÝìðôï âÞìá ãéá ôçí åìâÜèõíóç ôùí ãíþóåþí óïõ. Óå êÜèå ðåñßðôùóç ëýóçò ìéáò åñþôçóçò, Üóêçóçò Þ ðñïâëÞìáôïò ðñÝðåé íá óõãêñßíåéò ôç ëýóç ðïõ Ýäùóåò ìå áõôÞ ðïõ õðÜñ÷åé óôéò ìðëå óåëßäåò ôïõ âéâëßïõ. Áí âñåéò ëÜèïò, óçìåßùóå íá îáíáðñïóðáèÞóåéò ôï èÝìá áõôü óå êÜðïéá åðüìåíç óôéãìÞ. Áí äåí ìðïñåßò íá ëýóåéò êÜðïéá åñþôçóç, Üóêçóç, ðñüâëçìá Þ êÜðïéï åñþôçìá áõôþí, ìçí êïéôÜîåéò áìÝóùò ôç ëýóç óôéò ìðëå óåëßäåò. ÓçìåßùóÝ ôç êáé ðñï÷þñá óå åðüìåíç. ÊÜðïéá óôéãìÞ áñãüôåñá ãõñßæåéò êáé ôçí îáíáðñïóðáèåßò. Íá èõìÜóáé üôé äéáâÜæïíôáò áðëÜ ôç ëýóç ìéáò Üóêçóçò äå ìáèáßíåéò íá ôç ëýíåéò! ÂáóéêÞ åðáíÜëçøç ÐñïóðÜèçóå íá áêïëïõèÞóåéò ìå ôç óåéñÜ ôá åðüìåíá ôÝóóåñá âÞìáôá. 1ï âÞìá: ÌåëåôÜò ôç èåùñßá ôïõ ó÷ïëéêïý âéâëßïõ êáé óôç óõíÝ÷åéá áðáíôÜò óôéò åñùôÞóåéò ôïõ 1ïõ èÝìáôïò (óåë. 15): 1.1 - 1.11 êáé 1.20 - 1.31. Ðñéí ðñï÷ùñÞóåéò óôá åðüìåíá, íá óéãïõñåõôåßò üôé ãíùñßæåéò ðïëý êáëÜ ôç èåùñßá, ôïõò ôýðïõò ôïõ êåöáëáßïõ, êáèþò êáé ôïõò ðåñéïñéóìïýò åöáñìïãÞò ôùí ôýðùí áõôþí. 2ï âÞìá: Ëýíåéò áðü ôï èÝìá 3ï (óåë. 39) ôéò áóêÞóåéò êáé ôá ðñïâëÞìáôá: 1.76, 1.77, 1.78, 1.79, 1.80, 1.82, 1.83, 1.84, 1.86, 1.87, 1.88, 1.89. 3ï âÞìá: Ëýíåéò áðü ôï èÝìá 2ï (óåë. 23) ôéò åñùôÞóåéò: 1.35 - 1.39, 1.41, 1.44, 1.45, 1.47, 1.48, 1.50, 1.51, 1.53, 1.55, 1.56, 1.57, 1.59, 1.60, 1.61, 1.63 || 1.64, 1.65, 1.66, 1.67, 1.70, 1.72, 1.73.

4ï âÞìá: Ëýíåéò áðü ôï èÝìá 4ï (óåë. 49) ôá ðñïâëÞìáôá: 1.92, 1.93, 1.94, 1.95, 1.97, 1.98, 1.100. ÅðáíÜëçøç ãéá åìâÜèõíóç 5ï âÞìá: Ïëïêëçñþíïíôáò ôá ðáñáðÜíù âÞìáôá èá Ý÷åéò öôÜóåé óå Ýíá ðïëý êáëü óçìåßï ãíþóçò ôùí åííïéþí áëëÜ êáé ôùí äéáäéêáóéþí áðÜíôçóçò ôùí åñùôÞóåùí êáé åðßëõóçò ôùí áóêÞóåùí êáé ôùí ðñïâëçìÜôùí óôï êåöÜëáéï ôùí êñïýóåùí. Ôï ðÝìðôï êáé ôåëåõôáßï âÞìá áíáöÝñåôáé óôçí åìâÜèõíóç ôùí ãíþóåþí óïõ óôï êåöÜëáéï áõôü. Äåí åßíáé áðáñáßôçôï íá ìðïñåßò íá ëýóåéò üëåò ôéò åðüìåíåò åñùôÞóåéò êáé áóêÞóåéò ðïõ óïõ ðñïôåßíù. Ðáñüëá áõôÜ åßíáé óçìáíôéêü íá áó÷ïëçèåßò ìå üóåò ðåñéóóüôåñåò ìðïñåßò áðü áõôÝò, þóôå íá áðïêôÞóåéò åìðåéñßåò áðü ðéï ðïëýðëïêåò êáé äýóêïëåò äéáäéêáóßåò åðßëõóçò, áëëÜ êáé öáéíïìÝíùí ðïõ ìðïñåß íá áíôéìåôùðßóåéò óôéò åîåôÜóåéò óïõ. Óå óõìâïõëåýù íá îåêéíÞóåéò ðñþôá áðü ôï èÝìá 1ï. Óôç óõíÝ÷åéá, ôá õðüëïéðá èÝìáôá ðïõ óïõ ðñïôåßíù ìðïñåßò íá ôá ëýóåéò áíáêáôåìÝíá: áðü ôï èÝìá 1ï: 1.12 - 1.19 êáé 1.32 - 1.34. áðü ôï èÝìá 2ï: 1.40, 1.42, 1.43, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.58, 1.62, 1.68, 1.69, 1.71, 1.74, 1.75. áðü ôá èÝìáôá 3ï êáé 4ï: 1.81, 1.85, 1.90, 1.91, 1.96, 1.99, 1.101, 1.102, 1.103, 1.104, 1.105. 14 ÐÑÏÔÁÓÇ ÅÐÁÍÁËÇØÇÓ

ÊÑÏÕÓÅÉÓ 15 ÌåôùðéêÝò êñïýóåéò 1.1 Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; á) ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ìéáò êñïýóçò óõìâáßíïõí áðüôïìåò áëëáãÝò ôçò êéíçôéêÞò êáôÜóôáóçò ôùí óùìÜôùí ðïõ óõãêñïýïíôáé åîáéôßáò ôùí éó÷õñþí äõíÜìåùí ðïõ áíáðôýóóïíôáé áíÜìåóá óôá óþìáôá áõôÜ. â) Êñïýóç ïíïìÜæïõìå êáé êÜèå öáéíüìåíï ôïõ ìéêñüêïóìïõ óôï ïðïßï ôá óõãêñïõüìåíá óùìáôßäéá áëëçëåðéäñïýí ìå ó÷åôéêÜ ìåãÜëåò äõíÜìåéò ãéá ðïëý ìéêñü ÷ñüíï. ã) ÓêÝäáóç ïíïìÜæåôáé ôï öáéíüìåíï ôçò êßíçóçò åíüò ìéêñïý óùìáôéäßïõ ìå ðïëý ìåãÜëç ôá÷ýôçôá. ä) ÁíÜëïãá ìå ôç äéåýèõíóç ðïõ êéíïýíôáé ôá óþìáôá ðñéí óõãêñïõóôïýí, ïé êñïýóåéò äéáêñßíïíôáé óå êåíôñéêÝò, Ýêêåíôñåò êáé ðëÜãéåò. 1.2 Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ; ÊåíôñéêÞ Þ ìåôùðéêÞ ïíïìÜæåôáé ç êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí êáôÜ ôçí ïðïßá ôá äéáíýóìáôá ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí êÝíôñùí ìÜæáò ôùí óöáéñþí ðïõ óõãêñïýïíôáé: á) åßíáé ßóá. â) åßíáé ìåôáîý ôïõò êÜèåôá. ã) âñßóêïíôáé ðÜíù óôçí ßäéá åõèåßá. ä) âñßóêïíôáé óå ðáñÜëëçëåò åõèåßåò. 1.3 Ðïéåò áðü ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; á) Ôá äéáíýóìáôá ôùí ôá÷õôÞôùí äýï óöáéñþí ìåôÜ ôçí êåíôñéêÞ ôïõò êñïýóç âñßóêïíôáé ïðùóäÞðïôå óôçí ßäéá (áñ÷éêÞ) åõèåßá. â) Áí ðñéí ôçí êñïýóç äýï óöáéñþí ôá äéáíýóìáôá ôùí ôá÷õôÞôùí ôïõò âñßóêïíôáé óå ðáñÜëëçëåò åõèåßåò, ôüôå ç êñïýóç ïíïìÜæåôáé êåíôñéêÞ. ã) Óôçí Ýêêåíôñç êñïýóç äýï óöáéñþí ôá äéáíýóìáôá ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí äýï óöáéñþí ìåôÜ ôçí êñïýóç âñßóêïíôáé óôçí ßäéá åõèåßá. ä) Óå êÜèå ðëÜãéá êñïýóç ìåôáîý äýï óöáéñþí ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óöáéñþí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. 1.4 Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; ÅðåéäÞ ç êñïýóç åßíáé Ýíá öáéíüìåíï ðïõ äéáñêåß áìåëçôÝï ÷ñüíï: á) ïé ùèÞóåéò ôùí åîùôåñéêþí äõíÜìåùí, åÜí õðÜñ÷ïõí, åßíáé åðßóçò áìåëçôÝåò êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êñïýóçò. â) ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôùí óùìÜôùí, ç ïðïßá åîáñôÜôáé áðü ôç èÝóç ôïõò óôï ÷þñï, äå ìåôáâÜëëåôáé. ã) ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí äå ìåôáâÜëëåôáé êáôÜ ôçí êñïýóç. ä) üëåò ïé êñïýóåéò ìðïñïýí íá èåùñçèïýí åëáóôéêÝò. 1.5 Ðïéá áðü ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ; ÅëáóôéêÞ ïíïìÜæåôáé ç êñïýóç óôçí ïðïßá: á) ïé ôá÷ýôçôåò ôùí óùìÜôùí ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç âñßóêïíôáé óôçí ßäéá åõèåßá. Ïé áðáíôÞóåéò ôïõ èÝìáôïò 1 îåêéíïýí óôç óåë.461

16 ÈÅÌÁ 1ï â) ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ëüãù âáñýôçôáò ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. ã) ç ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí äå ìåôáâÜëëåôáé. ä) ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. 1.6 Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; á) Óôï ìáêñüêïóìï ç åëáóôéêÞ êñïýóç áðïôåëåß ìéá åîéäáíßêåõóç, ç ïðïßá ìðïñåß íá ðñïóåããéóôåß ìüíï åÜí ç êñïýóç ãßíåôáé ìåôáîý äýï ðïëý óêëçñþí óùìÜôùí. â) Óôï ìéêñüêïóìï äåí ìðïñïýí íá õðÜñîïõí áðïëýôùò åëáóôéêÝò êñïýóåéò. ã) ¼ëåò ïé êñïýóåéò óôéò ïðïßåò äå äéáôçñåßôáé ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí óùìÜôùí ðïõ óõãêñïýïíôáé ïíïìÜæïíôáé ðëáóôéêÝò. ä) Óå ìéá áíåëáóôéêÞ êñïýóç, ìÝñïò ôçò áñ÷éêÞò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôùí óùìÜôùí ìåôáôñÝðåôáé ôåëéêÜ óå èåñìüôçôá. 1.7 Äýï óþìáôá ôá ïðïßá êéíïýíôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï äÜðåäï óõãêñïýïíôáé ìåôáîý ôïõò. Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; á) Ç ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìÜôùí ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. â) Ç åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìÜôùí åßíáé óå êÜèå ðåñßðôùóç óôáèåñÞ. ã) Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìÜôùí ìåôáâÜëëåôáé óå êÜèå ðåñßðôùóç. ä) Åîáéôßáò ôçò êñïýóçò ç ïñìÞ êÜèå óþìáôïò ìåôáâÜëëåôáé. 1.8 Äýï óþìáôá êéíïýíôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï äÜðåäï êáé óõãêñïýïíôáé ðëáóôéêÜ. Ðïéåò áðü ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò êáé ðïéåò ëáíèáóìÝíåò; Áöïý ç êñïýóç åßíáé ðëáóôéêÞ: á) äåí ìðïñåß íá åöáñìïóôåß ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò ïñìÞò. â) äåí ìðïñåß íá åöáñìïóôåß ç áñ÷Þ äéáôÞñçóçò ôçò åíÝñãåéáò. ã) ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò ôùí äýï óùìÜôùí åëáôôþíåôáé. ä) ðáñáôçñåßôáé ìåôÜ ôçí êñïýóç óõãêüëëçóç ôùí óùìÜôùí. 1.9 Äýï óöáßñåò (1) êáé (2), ðïõ êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôá  õ1 êáé  õ2 áíôßóôïé÷á, óõãêñïýïíôáé êåíôñéêÜ êáé åëáóôéêÜ êáé áðïêôïýí åîáéôßáò ôçò êñïýóçò ôá÷ýôçôá  õ 1 êáé  õ 2 áíôßóôïé÷á. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ; Ãéá ôéò áëãåâñéêÝò ôéìÝò ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí äýï óöáéñþí ðñéí êáé ìåôÜ ôçí êñïýóç éó÷ýåé: á) õõõõ 1122      â) õõõõ 1212      ã) õõ õõ 12 12   ( )    ä) õõõõ 1122      1.10 Äýï ìéêñÜ óþìáôá (1) êáé (2), ìå ìÜæá m1 êáé m2 áíôßóôïé÷á, üðïõ m1 = 2m2, êéíïýíôáé ìå áíôßèåôåò ôá÷ýôçôåò êáé óõãêñïýïíôáé ìåôùðéêÜ êáé åëáóôéêÜ. Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ; Áí ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò  õ1 ôïõ óþìáôïò (1) ðñéí ôçí êñïýóç éóïýôáé ìå  õ, ôüôå ïé ôá÷ýôçôåò   õ1 êáé   õ2 ôùí óùìÜôùí (1) êáé (2) áíôßóôïé÷á ìåôÜ ôçí êñïýóç Ý÷ïõí áëãåâñéêÞ ôéìÞ: á) õ   õ 1 3 êáé õ   õ 2 5 3 â) õ   õ 1 3 êáé õ õ 2   2 ã) õ õ 1   3 êáé õ   õ 2 3 ä) õ   õ 1 4 êáé õ   õ 2 5 3

ÁðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç 2.62 Ìéêñü óþìá åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ðëÜôïõò Á êáé ç áðüóôáóç ìåôáîý äýï äéáöïñåôéêþí óçìåßùí ôçò ôñï÷éÜò ôïõ óþìáôïò üðïõ ìåãéóôïðïéåßôáé ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôçò ôáëÜíôùóçò éóïýôáé ìå d. á) Ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï ìéêñü óþìá óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ìßáò ðåñéüäïõT ôçò ôáëÜíôùóçò éóïýôáé ìå: i) d ii) 2d iii) 4d Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá êßíçóçò ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí ìåãéóôïðïéÞóåùí ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óþìáôïò éóïýôáé ìå: i) Ô 4 ii) Ô 2 iii) 3 2 Ô Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.63 Ç ïñìÞ åíüò óþìáôïò ðïõ åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç áðïêôÜ ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò êÜèå 2 s. Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò ïñìÞò ãßíåôáé ìÝãéóôïò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ êÜèå: á) 2 s â) 4 s ã) 1 s Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.64 ¸íá óþìá åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ðëÜôïõò Á êáé ìÝãéóôçò ôá÷ýôçôáò õmax. á) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôï óþìá åðéâñáäýíåôáé êáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ éóïýôáé ìå õ õ 1 2   max . Ç áðïìÜêñõíóç x1 ôïõ óþìáôïò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 éóïýôáé ìå: i)  A 2 ii)  A 3 2 iii)  A 3 2 Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) H áðüëõôç ôéìÞ ôïõ ñõèìïý ìåôáâïëÞò ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò ôïõ óþìáôïò åßíáé ßóç ìå ôçí áðüëõôç ôéìÞ ôïõ ñõèìïý ìåôáâïëÞò ôçò äõíáìéêÞò åíÝñãåéáò ôáëÜíôùóçò: i) ìüíï óôç èÝóç áðïìÜêñõíóçò  A 2 . ii) ìüíï óôç èÝóç áðïìÜêñõíóçò  A 3 2 . ÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 83 Ïé ëýóåéò ôïõ èÝìáôïò 2 îåêéíïýí óôç óåë. 513

iii) óå êÜèå èÝóç ôçò ôáëÜíôùóçò. Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.65 Óçìåéáêü áíôéêåßìåíï åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ðëÜôïõò Á, ðåñéüäïõ Ô êáé åíÝñãåéáò ôáëÜíôùóçò Å. ÔåôñáðëáóéÜæïõìå ôçí åíÝñãåéá ôçò ôáëÜíôùóçò ÷ùñßò íá áëëÜîïõìå ôç óôáèåñÜ åðáíáöïñÜò D. Ç ìÝãéóôç êáôÜ ìÝôñï óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé ôï óçìåéáêü áíôéêåßìåíï êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò íÝáò ôáëÜíôùóÞò ôïõ óå ó÷Ýóç ìå ôçí áíôßóôïé÷ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äå÷üôáí êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò áñ÷éêÞò ôáëÜíôùóÞò ôïõ: á) ðáñÝìåéíå óôáèåñÞ. â) äéðëáóéÜóôçêå. ã) ôåôñáðëáóéÜóôçêå. Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.66 Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï ôçò áðïìÜêñõíóçò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò åíüò ìéêñïý óþìáôïò ðïõ åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç. á) Ç ÷ñïíéêÞ åîßóùóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôáëÜíôùóçò ôïõ ìéêñïý óþìáôïò åßíáé: i) õ õ  maxóõíùt ii) õ õ  max çìùt iii) õ õ       max ð óõí ùt 2 Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìéêñïý óþìáôïò áõîÜíåôáé êáôÜ ìÝôñï óôéò ÷ñïíéêÝò äéÜñêåéåò: i) 0 t1 êáé t2 t3. ii) t1 t2 êáé t3 t4. iii) 0 t1 êáé t3 t4. Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.67 Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ ãéá äýï óçìåéáêÜ áíôéêåßìåíá (1) êáé (2) ìå ßóåò ìÜæåò (m1 = m2), ôá ïðïßá åêôåëïýí áðëÝò áñìïíéêÝò ôáëáíôþóåéò. á) Ç åíÝñãåéá ôáëÜíôùóçò (E1) ôïõ óçìåéáêïý áíôéêåéìÝíïõ (1) êáé ç åíÝñãåéá ôáëÜíôùóçò (Å2) ôïõ óçìåéáêïý áíôéêåéìÝíïõ (2) éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç: i) E E 1 2  2 ii) E1 = 4E2 iii) E2 = 4E1 Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ïé ìÝãéóôåò äõíÜìåéò ðïõ äÝ÷ïíôáé ôá óçìåéáêÜ áíôéêåßìåíá (1) êáé (2) êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôùí ôáëáíôþóåþí ôïõò éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç: i) F F 1 2 (max) (max)  ii) F F 1 2 4 (max) (max)  iii) F F 1 2 2 (max) (max)  Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 84 ÈÅÌÁ 2ï

2.68 Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò äåß÷íåé ôç ÷ñïíéêÞ ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò ìéêñïý óþìáôïò, ôï ïðïßï åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç. á) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ôï ìéêñü óþìá: i) âñßóêåôáé óôçí áêñáßá èåôéêÞ èÝóç (+Á). ii) âñßóêåôáé óôçí áêñáßá áñíçôéêÞ èÝóç ( A). iii) äéÝñ÷åôáé áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ìå áñíçôéêÞ ôá÷ýôçôá. Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò ôïõ ìéêñïý óþìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï åßíáé ç: Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.69 Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò Ê åíüò óþìáôïò, ôï ïðïßï åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç, óå óõíÜñôçóç ìå ôçí áðïìÜêñõíóç x áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ. á) Óôç èÝóç áðïìÜêñõíóçò x1 = + 0,1 m ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá Ê êáé ç äõíáìéêÞ åíÝñãåéá ôáëÜíôùóçò U éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç: i) Ê = U ii) K = 3U iii) K = 2U Ná åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ç äýíáìç åðáíáöïñÜò  Fåð êáé ç áðïìÜêñõíóç  x ôïõ óþìáôïò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ éêáíïðïéïýí ôçí áëãåâñéêÞ ó÷Ýóç: i) F x åð  200 (S.I.) ii) F x åð  100 (S.I.) iii) F x åð   400 (S.I.) Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.70 Äýï ìéêñÜ óþìáôá (1) êáé (2) ìå ìÜæåò m1 êáé m2 áíôßóôïé÷á, ãéá ôéò ïðïßåò éÌÇ×ÁÍÉÊÅÓ ÔÁËÁÍÔÙÓÅÉÓ 85 0 +αmax α t αmax 0 +αmax α t αmax 0 +αmax α t αmax i ii iii 0 +υmax υ t υmax 0 x(m) K(J) 0,2 +0,2 4

ó÷ýåé m1 = 4m2, åêôåëïýí áðëÝò áñìïíéêÝò ôáëáíôþóåéò ßäéáò åíÝñãåéáò êáé ßäéáò ðåñéüäïõ. á) Ïé ìÝãéóôåò ôá÷ýôçôåò õ1(max) êáé õ2(max) ðïõ áðïêôïýí ôá óþìáôá (1) êáé (2) áíôßóôïé- ÷á êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ôáëÜíôùóÞò ôïõò éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç: i) õ õ 1 2 4 (max) (max)  ii) õ õ 1 2 4 (max) (max)  iii) õ õ 1 2 2 (max) (max)  Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ðñüôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. â) Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ äÝ÷ïíôáé ôá äýï óþìáôá óå óõíÜñôçóç ìå ôçí áðïìÜêñõíóÞ ôïõò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõò öáßíïíôáé óôï äéÜãñáììá: Íá åðéëÝîåôå ôï óùóôü äéÜãñáììá êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 2.71 Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò êéíçôéêÞò åíÝñãåéáò åíüò óþìáôïò ðïõ åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t T 1 4  ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò Ý÷åé èåôéêü ðñüóçìï. á) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åíÝñãåéáò ôáëÜíôùóçò ôïõ óþìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï åßíáé ç: Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç êáé íá áéôéïëïãÞóåôå ôçí åðéëïãÞ óáò. 86 ÈÅÌÁ 2ï 2A 0 x F +2A A +Fmax Fmax +A 1 2 +2Fmax 2Fmax 0 x F A +Fmax Fmax +A 1 +2Fmax 2Fmax 2A 0 x F +2A A +Fmax Fmax +A 1 2 2 i ii iii 0 Κ t t 1 t2 t3 t4 0 Ε t t 1 t2 t3 t4 0 Ε t t 1 t2 t3 t4 0 Ε t t 1 t2 t3 t4 i ii iii

Åîßóùóç - öÜóç ôïõ êýìáôïò 3.131 Áñìïíéêü êýìá ìå åîßóùóç y tx   0 2 0 04 , ,) çìð(5 ( y óå m, t óå s, x óå cm) äéáäßäåôáé êáôÜ ìÞêïò ãñáììéêïý åëáóôéêïý ìÝóïõ ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí Üîïíá x´Ox. á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò, êáèþò êáé ôç ìÝãéóôç êáôÜ ìÝôñï ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò ôùí õëéêþí óçìåßùí ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ. â) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò: i) ôï óôéãìéüôõðï ôïõ êýìáôïò óôï èåôéêü çìéÜîïíá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0,7 s, êáèþò êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 1 s, ii) ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò áðïìÜêñõíóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ì(xM = + 1,75 m) áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï. ã) Íá õðïëïãßóåôå ôç äéáöïñÜ öÜóçò ôùí ôáëáíôþóåùí ôùí õëéêþí óçìåßùí Ì(xM = = +1,75 m) êáé Ë(xË = + 2,5 m) ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ãéá êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ôáëÜíôùóçò êáé ôùí äýï óçìåßùí. ä) Íá õðïëïãßóåôå ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ì ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ç áðïìÜêñõíóÞ ôïõ áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ éóïýôáé ìå y1 = + 0,1 m. 3.132 Óå ãñáììéêü åëáóôéêü ìÝóï ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôï èåôéêü çìéÜîïíá Ïx äéáäßäåôáé áñìïíéêü êýìá ðñïò ôç èåôéêÞ êáôåýèõíóç ôïõ Üîïíá. Ç ðçãÞ ôïõ êýìáôïò, ðïõ âñßóêåôáé óôï áñéóôåñü Üêñï Ï( ) x 0 ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ, îåêéíÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 íá ôáëáíôþíåôáé ìå ìÝãéóôç èåôéêÞ ôá÷ýôçôá Ý÷ïíôáò åîßóùóç áðïìÜêñõíóçò ôçò ìïñöÞò y = Açìùt, ãéá t  0, êáé ç ìÝãéóôç êáôÜ ìÝôñï åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ôáëÜíôùóÞò ôçò éóïýôáé ìå ámax = 200 m/s2 . Óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá Ät = = 0,05 s ðïõ ôï Üêñï Ï ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ìåôáâáßíåé áðåõèåßáò áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ óôçí áêñáßá èåôéêÞ ôïõ èÝóç ôï êýìá Ý÷åé äéáäïèåß óôï åëáóôéêü ìÝóï êáôÜ Äx = 0,15 m. á) Íá õðïëïãßóåôå ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ðïõ áðáéôåßôáé þóôå ôï êýìá íá äéáäïèåß óôï åëáóôéêü ìÝóï êáôÜ Ýíá ìÞêïò êýìáôïò. â) Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôïõ áñìïíéêïý êýìáôïò. ã) Íá õðïëïãßóåôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ç ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Æ(xÆ = +1,2 m) ìçäåíßæåôáé ãéá äåýôåñç öïñÜ. ä) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò öÜóçò ö ôïõ êýìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôéò èÝóåéò x ôùí õëéêþí óçìåßùí ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ðÜíù óôïí çìéÜîïíá Ox ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0,5 s. Äßíåôáé ãéá ôéò ðñÜîåéò ð2 = 10. MHXANIKA - ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÁ KYMATA 187 Ïé ëýóåéò ôïõ èÝìáôïò 3 îåêéíïýí óôç óåë. 596

3.133 KáôÜ ìÞêïò ãñáììéêïý åëáóôéêïý ìÝóïõ ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí Üîïíá x´Ïx äéáäßäåôáé áñìïíéêü êýìá ðëÜôïõò Á = 0,05 m êáé óõ÷íüôçôáò f = 20 Hz. Ôï êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôçí áñíçôéêÞ êáôåýèõíóç ôïõ Üîïíá êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ôï õëéêü óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ Ï(x = 0) ôïõ Üîïíá îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé ìå ìÝãéóôç èåôéêÞ ôá÷ýôçôá. H áðüóôáóç ìåôáîý ôùí èÝóåùí éóïññïðßáò äýï õëéêþí óçìåßùí ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ðïõ ïé ôáëáíôþóåéò ôïõò Ý÷ïõí êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ äéáöïñÜ öÜóçò 2ð rad éóïýôáé ìå 0,2 m. á) Íá õðïëïãßóåôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ðïõ îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé ôï õëéêü óçìåßï Ì(xM = 0 4, m). â) Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôïõ êýìáôïò. ã) Íá ãñÜøåôå ôç ÷ñïíéêÞ åîßóùóç ôçò ôá÷ýôçôáò ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ì êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò. ä) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò ôï óôéãìéüôõðï ôïõ êýìáôïò óôïí áñíçôéêü çìéÜîïíá x´Ï ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 0,175 s. 3.134 ÅãêÜñóéï áñìïíéêü êýìá äéáäßäåôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 5 m/s êáôÜ ìÞêïò Üðåéñçò ïìïãåíïýò ÷ïñäÞò óôáèåñïý ðÜ÷ïõò ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôï èåôéêü çìéÜîïíá Ïx. Ôï êýìá äéáäßäåôáé ðñïò ôç èåôéêÞ êáôåýèõíóç ôïõ Üîïíá êáé ôï õëéêü óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôï áñéóôåñü Üêñï O(x = 0) ôçò ÷ïñäÞò Ý÷åé åîßóùóç ôáëÜíôùóçò ôçò ìïñöÞò y = = Açìùt, ãéá t  0. ¸íá õëéêü óçìåßï Ì ôçò ÷ïñäÞò, ðïõ Ý÷åé ìÜæá m = 104 g, îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 1 s Ý÷ïíôáò åíÝñãåéá ôáëÜíôùóçò ÅÔ =2 10 6   J. Ìåôáîý ôïõ óçìåßïõ Ì ôç óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé êáé ôïõ Üêñïõ Ï ôçò ÷ïñäÞò ç êõìáôéêÞ åéêüíá Ý÷åé åðáíáëçöèåß 5 öïñÝò. á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç d ìåôáîý ôùí áêñáßùí èÝóåùí ôçò ôáëÜíôùóçò ôïõ Üêñïõ Ï ôçò ÷ïñäÞò. â) Íá ãñÜøåôå ôç ÷ñïíéêÞ åîßóùóç ôçò äýíáìçò åðáíáöïñÜò ðïõ äÝ÷åôáé ôï õëéêü óçìåßï Ì êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ôáëÜíôùóÞò ôïõ. ã) Íá âñåßôå ôïí áñéèìü ôùí ïñÝùí ôá ïðïßá Ý÷ïõí ó÷çìáôéóôåß óôç ÷ïñäÞ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ðïõ ôï õëéêü óçìåßï Ì äéÝñ÷åôáé ãéá ôñßôç öïñÜ áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ìåôÜ ôç óôéãìÞ ðïõ îåêßíçóå íá ôáëáíôþíåôáé. ä) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò öÜóçò ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ê(xK = + 3,25 m) óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï. Äßíåôáé ãéá ôéò ðñÜîåéò ð2 = 10. 3.135 Ôï åðüìåíï ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ãéá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 2 s ôï óôéãìéüôõðï åíüò áñìïíéêïý êýìáôïò ðïõ äéáäßäåôáé êáôÜ ìÞêïò ãñáììéêïý åëáóôéêïý ìÝóïõ ôï ïðïßï ôáõôßæåôáé ìå ôïí çìéÜîïíá Ïx. Ç ðçãÞ ôïõ êýìáôïò âñßóêåôáé óôï áñéóôåñü Üêñï Ï(x = 0) ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ êáé Ý÷åé åîßóùóç ôáëÜíôùóçò y = Açìùt. á) Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôïõ áñìïíéêïý êýìáôïò. 188 ÈÅÌÁ 3o

â) Íá âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ì ðïõ öáßíåôáé óôï óôéãìéüôõðï ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1. ã) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò áðïìÜêñõíóçò åíüò õëéêïý óçìåßïõ Æ áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï, áí áõôü åìöáíßæåé ìå ôï õëéêü óçìåßï Ï(x = 0) äéáöïñÜ öÜóçò 4ð rad. ä) Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðïìÜêñõíóç áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ Üêñïõ Ï(x = 0) ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé ôï õëéêü óçìåßï Ä(xÄ = + 0,9 m). 3.136 Áñìïíéêü êýìá ðåñéüäïõ Ô äéáäßäåôáé êáôÜ ìÞêïò ãñáììéêïý åëáóôéêïý ìÝóïõ ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí Üîïíá x´Ïx, ðñïò ôç èåôéêÞ êáôåýèõíóç ôïõ Üîïíá. Ôï õëéêü óçìåßï ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ðïõ âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ Ï( ) x 0 ôïõ Üîïíá îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 Ý÷ïíôáò ìÝãéóôç èåôéêÞ ôá÷ýôçôá. Ç ìéêñüôåñç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí èÝóåùí éóïññïðßáò äýï õëéêþí óçìåßùí ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ôá ïðïßá ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ âñßóêïíôáé óå ìÝãéóôç áðïìÜêñõíóç áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõò éóïýôáé ìå 0,25 m. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 1 s ç öÜóç ôçò ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ê(xK = + 1,375 m) éóïýôáé ìå öÊ ( ) , ð t 1 2 5 rad. á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ êýìáôïò. â) Íá õðïëïãßóåôå ôç ìÝãéóôç ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ï, áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ç áðïìÜêñõíóç ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ê áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ éóïýôáé ìå + 0,2 m. ã) Íá ó÷åäéÜóåôå óå âáèìïëïãçìÝíïõò Üîïíåò ôï óôéãìéüôõðï ôïõ êýìáôïò óôï èåôéêü çìéÜîïíá Ïx ãéá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = t T 1 4  êáé íá âñåßôå ðüóá õëéêÜ óçìåßá ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ óôïí çìéÜîïíá áõôüí Ý÷ïõí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ôçí ßäéá áðïìÜêñõíóç áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõò ìå ôï õëéêü óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ Ï ôïõ Üîïíá. ä) Ná âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò êáé ôçí áðïìÜêñõíóç áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ê ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôï õëéêü óçìåßï Ë(xË = + 2,625 m) äéÝñ÷åôáé áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ìå èåôéêÞ ôá÷ýôçôá. 3.137 Óå ãñáììéêü åëáóôéêü ìÝóï ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí Üîïíá x´Ox äéáäßäåôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 5 m/s Ýíá áñìïíéêü êýìá. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôï õëéêü óçìåßï Ê ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ Ý÷åé öÜóç ôáëÜíôùóçòöK( ) ð t 1 9 4  rad, åíþ ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôï õëéêü óçìåßï Ì ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ Ý÷åé öÜóç ôáëÜíôùóçò öM( ) ð t 1 5 4  rad. Ôï õëéêü óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ Ï(x = 0) ôïõ Üîïíá îåêéíÜ íá êéíåßôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ìå ìÝãéóôç èåôéêÞ ôá÷ýôçôá åêôåëþíôáò ôáëÜíôùóç ìå åîßóùóç y = 0,2çì10ðt (S.I.). Ôç MHXANIKA - ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÁ KYMATA 189 0 t1= 2 s +0,5 x(m) 0,8 0,5 y(m) Μ

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôï êýìá öôÜíåé óôï óçìåßï Ê ôï õëéêü óçìåßï Ï äéÝñ÷åôáé áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ìå èåôéêÞ ôá÷ýôçôá Ý÷ïíôáò Þäç åêôåëÝóåé 2 ðëÞñåéò ôáëáíôþóåéò. á) Íá åîåôÜóåôå áí ôï êýìá äéáäßäåôáé áðü ôï óçìåßï Ê ðñïò ôï óçìåßï Ì Þ áðü ôï óçìåßï Ì ðñïò ôï óçìåßï Ê. â) Íá õðïëïãßóåôå ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ îåêßíçóå íá ôáëáíôþíåôáé ôï Ýíá áðü ôá äýï õëéêÜ óçìåßáÊÞÌ îåêßíçóå íá ôáëáíôþíåôáé êáé ôï Üëëï. ã) Íá âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ï ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1. ä) Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí èÝóåùí éóïññïðßáò ôùí õëéêþí óçìåßùí Ï êáé Ì. 3.138 Óå ãñáììéêü åëáóôéêü ìÝóï ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôï èåôéêü çìéÜîïíá Ïx äéáäßäåôáé áñìïíéêü êýìá ðñïò ôç èåôéêÞ êáôåýèõíóç ôïõ Üîïíá. Ç ðçãÞ ôïõ êýìáôïò ðïõ âñßóêåôáé óôï áñéóôåñü Üêñï Ï( ) x 0 ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ôáëáíôþíåôáé ìå åîßóùóç áðïìÜêñõíóçò ôçò ìïñöÞò y = Açìùt, åíþ ç ìÝãéóôç êáôÜ ìÝôñï åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ôáëÜíôùóÞò ôçò éóïýôáé ìå 200 m/s2 . Óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 0,05 s ðïõ ôï Üêñï Ï ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ äéÝñ÷åôáé äýï öïñÝò äéáäï÷éêÜ áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ôï êýìá Ý÷åé äéáäïèåß óôï åëáóôéêü ìÝóï êáôÜ 0,15 m. á) Íá õðïëïãßóåôå ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ôï êýìá íá äéáäïèåß óôï åëáóôéêü ìÝóï êáôÜ Ýíá ìÞêïò êýìáôïò. â) Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôïõ áñìïíéêïý êýìáôïò. ã) Íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò ôáëÜíôùóçò ôùí õëéêþí óçìåßùí ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ óå óõíÜñôçóç ìå ôç èÝóç ôïõò x óôïí çìéÜîïíá Ïx ãéá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0,5 s. ä) Íá õðïëïãßóåôå ãéá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tÄ ðïõ îåêéíÜ íá ôáëáíôþíåôáé Ýíá õëéêü óçìåßï Ä ôïõ åëáóôéêïý ìÝóïõ ôçí ôá÷ýôçôá ôáëÜíôùóçò åíüò õëéêïý óçìåßïõ Æ, ôï ïðïßï åß÷å îåêéíÞóåé íá ôáëáíôþíåôáé 0,3 s ðñéí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tÄ. Äßíåôáé ãéá ôéò ðñÜîåéò ð2 = 10. 3.139 Áñìïíéêü êýìá ðëÜôïõò Á êáé ìÞêïõò êýìáôïò ë äéáäßäåôáé óå ãñáììéêü åëáóôéêü ìÝóï ðïõ ôáõôßæåôáé ìå ôïí ïñéæüíôéï Üîïíá x´Ïx. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ôï óôéãìéüôõðï ôïõ êýìáôïò ìéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1. To õëéêü óçìåßï Æ(xZ = + 0,3 m) Ý÷åé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ ð m/s êáé öïñÜò ðñïò ôá ðÜíù, åíþ ôï õëéêü óçìåßï Ï(x = = 0) îåêßíçóå íá ôáëáíôþíåôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = = 0 ìå ôá÷ýôçôá èåôéêÞò öïñÜò (ðñïò ôá ðÜíù). á) Íá åîåôÜóåôå ðñïò ôá ðïý äéáäßäåôáé ôï êýìá êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ðñïóäéïñßóåôå ôç öïñÜ êßíçóçò ôùí õëéêþí óçìåßùí Ä êáé Í áìÝóùò ìåôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1. â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüëõôç ôéìÞ ôçò äéáöïñÜò öÜóçò ôùí ôáëáíôþóåùí ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Æ êáé ôïõ õëéêïý óçìåßïõ Ï(x = 0). 190 ÈÅÌÁ 3o x y(m) t1 0 Z +0,2 0,2 Δ Ν

5.300 ÄéáèÝôïõìå Ýíá êõëéíäñéêü óýñìá ìÞêïõò L = 120ð m óôáèåñÞò äéáôïìÞò êáé ùìéêÞò áíôßóôáóçò R = 108 Ù, ôï ïðïßï êüâïõìå óå ôñßá ôìÞìáôá ìÞêïõò L1, L2 êáé L3. Må ôï ôìÞìá ìÞêïõò L1 êáôáóêåõÜæïõìå Ýíá êõêëéêü ðëáßóéï ìå Í1 = 5 óðåßñåò êáé áêôßíá á1 = 1 m, åíþ ìå ôï ôìÞìá ìÞêïõò L2 êáôáóêåõÜæïõìå Ýíá óùëçíïåéäÝò ìå áêôßíá êÜèå óðåßñáò á2 = 0,1 m ðïõ Ý÷åé 500 óðåßñåò/m. Óôç óõíÝ÷åéá ó÷çìáôßæïõìå ôï êýêëùìá ðïõ öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. H HEÄ ôçò çëåêôñéêÞò ðçãÞò éóïýôáé ìå å = = 160 V, åíþ ç åóùôåñéêÞ ôçò áíôßóôáóç éóïýôáé ìå r  8 Ù. Áñ- ÷éêÜ ï äéáêüðôçò (ä) åßíáé áíïéêôüò êáé ç ìáãíçôéêÞ ñïÞ ðïõ äéÝñ- ÷åôáé áðü ìßá óðåßñá ôïõ óùëçíïåéäïýò åßíáé óôáèåñÞ êáé éóïýôáé ìå 4 10 2 6 ð   Wb. á) Íá õðïëïãßóåôå ôï ñõèìü ìå ôïí ïðïßï ç çëåêôñéêÞ ðçãÞ ðáñÝ÷åé åíÝñãåéá óôï êýêëùìá. â) Íá õðïëïãßóåôå ôá ìÞêç L1 êáé L2. ã) ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ, ðïõ ôç èåùñïýìå ùò t = 0, êëåßíïõìå ôï äéáêüðôç (ä), ïðüôå ôá ñåýìáôá ðïõ äéáññÝoõí ôï óùëçíïåéäÝò êáé ôï êõêëéêü ðëáßóéï ìåôáâÜëëïíôáé êáé ôåëéêÜ óôáèåñïðïéïýíôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1   1  9 10 2 s. Ná õðïëïãßóåôå: i) ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï êÝíôñï Ê ôïõ êõêëéêïý ðëáéóßïõ ìåôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1, ii) ôo ìÝôñï ôçò ìÝóçò ÇÅÄ áðü åðáãùãÞ ðïõ áíáðôý÷èçêå óôï óùëçíïåéäÝò óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 0 1t . Äßíåôáé ç ìáãíçôéêÞ äéáðåñáôüôçôá ôïõ êåíïý: ìï 2 N A    4 10 7 ð êáé ãéá ôéò ôåëéêÝò ðñÜîåéò ð 2 10. 5.301 Êõêëéêüò áãùãüò áêôßíáò á1 = 1 m êáé ùìéêÞò áíôßóôáóçò R = 0,1 Ù åßíáé áêëüíçôïò, çëåêôñéêÜ ìïíùìÝíïò êáé åöÜðôåôáé ìå äýï áêëüíçôá åõèýãñáììá óýñìáôá (1) êáé (2) ìåãÜëïõ ìÞêïõò, ôá ïðïßá åßíáé ðáñÜëëçëá ìåôáîý ôïõò êáé äéáññÝïíôáé áðü ñåýìáôá óôáèåñþí åíôÜóåùí É1 = 1 Á êáé É2 áíôßóôïé÷á, ìå É2 > É1. ÏìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï, ôïõ ïðïßïõ ç Ýíôáóç  B áõîÜíåôáé êáôÜ ìÝôñï ìå óôáèåñü ñõèìü 0 06 , Ô s , ðåñéïÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 401 Ïé ëýóåéò ôïõ èÝìáôïò 4 îåêéíïýí óôç óåë. 784

ñßæåôáé óå êáôáêüñõöç êõëéíäñéêÞ ðåñéï÷Þ ç ïðïßá Ý÷åé áêôßíá á2 = 0,5 m êáé ï ÜîïíÜò ôçò äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï Ê ôïõ êõêëéêïý áãùãïý. Ôï óýóôçìá ôùí ôñéþí áãùãþí âñßóêåôáé óôï ßäéï ïñéæüíôéï åðßðåäï, üðùò öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá (êÜôïøç). H Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí ôá äýï åõèýãñáììá óýñìáôá ìáæß ìçäåíßæåôáé óå óçìåßï Ä ôçò ðåñéöÝñåéáò ôçò êõëéíäñéêÞò ðåñéï÷Þò, ôï ïðïßï öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Íá õðïëïãßóåôå: á) ôçí Ýíôáóç I 2 ôïõ ñåýìáôïò, â) ôçí Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí ôá äýï åõèýãñáììá óýñìáôá ìáæß óå óçìåßï Æ ðïõ áðÝ÷åé áðü ôï óýñìá (1) áðüóôáóç r1 =1m êáé áðü ôï óýñìá (2) áðüóôáóç r2 = 3 m, ã) ôçí Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí êáé ïé ôñåéò áãùãïß ìáæß óôï êÝíôñï Ê, ä) ôçí áðüëõôç ôéìÞ ôïõ ñõèìïý ìå ôïí ïðïßï èá ðñÝðåé íá ìåôáâÜëëåôáé, êáèþò êáé ôï áí èá ðñÝðåé íá áõîÜíåôáé Þ íá åëáôôþíåôáé, ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôçí êáôáêüñõöç êõëéíäñéêÞ ðåñéï÷Þ, þóôå ôï ìáãíçôéêü ðåäßï ðïõ äçìéïõñãïýí êáé ïé ôñåéò áãùãïß ìáæß óôï êÝíôñï Ê íá éóïýôáé ìå ìçäÝí. Äßíåôáé ç ìáãíçôéêÞ äéáðåñáôüôçôá ôïõ êåíïý: ìï 2 N A    4 10 7 ð êáé ãéá ôéò ðñÜîåéò ð 2 10. 5.302 Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé äýï áêëüíçôïé åõèýãñáììïé áãùãïß (1) êáé (2) ðïõ åöÜðôïíôáé óå Ýíáí áêëüíçôï, ìïíùìÝíï êõêëéêü áãùãü áêôßíáò á = 0,5 m. Ï åõèýãñáììïò áãùãüò (1) Ý÷åé ùìéêÞ áíôßóôáóç R1 êáé óôá Üêñá ôïõ Ý÷ïõìå óõíäÝóåé ðçãÞ åíáëëáóóüìåíçò ôÜóçò ôçò ìïñöÞò õ = Vçìùt. O åõèýãñáììïò áãùãüò (2) Ý÷åé ìåãÜëï ìÞêïò êáé äéáññÝåôáé áðü ñåýìá óôáèåñÞò Ýíôáóçò É2 = 4 Á, åíþ ï êõêëéêüò áãùãüò äéáññÝåôáé áðü ñåýìá óôáèåñÞò ÝíôáóçòÉ3 ðïõ Ý÷åé öïñÜ áíôßèåôç áðü ôç öïñÜ ðåñéóôñïöÞò ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý. Ç áêôßíá á åßíáé ðïëý ìéêñüôåñç óå ó÷Ýóç ìå ôï ìÞêïò ôïõ áãùãïý (1), åíþ áìÝóùò ìåôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí åõèýãñáììï áãùãü (1) åßíáé ç ßäéá ìå ôç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí åõèýãñáììï áãùãü (2). Ïé äýï åõèýãñáììïé áãùãïß åßíáé ðáñÜëëçëïé ìåôáîý ôïõò êáé êÜèåôïé óôï åðßðåäï ôïõ êõêëéêïý áãùãïý. Ç ðçãÞ åíáëëáóóüìåíçò ôÜóçò ðïõ ôñïöïäïôåß ôïí áãùãü (1) áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ïñèïãþíéï áãþãéìï ðëáßóéï åìâáäïý Á = 200 cm2 ðïõ Ý÷åé Í = 100 óðåßñåò, ùìéêÞ áíôßóôáóç RÐ = 3 Ù êáé ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé ãýñù áðü Üîïíá ï ïðïßïò äéÝñ÷åôáé áðü ôá ìÝóá äýï áðÝíáíôé ðëåõñþí ôïõ. Ôï ðëáßóéï âñßóêåôáé ïëüêëçñï ìÝóá óå ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B ìÝôñïõ  = 0,8 Ô, ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ïðïßïõ åßíáé êÜèåôåò óôïí Üîïíá ðåñéóôñï402 ÈÅÌÁ 4ï (êÜôïøç)

öÞò. Ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí óôï êÝíôñï Ê ôïõ êõêëéêïý áãùãïý êáé ïé ôñåéò áãùãïß ìáæß Ý÷åé ìÝôñï12 10 6 , ð   Ô, åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ôïõ êõêëéêïý áãùãïý êáé åðéôõã÷Üíåôáé üôáí ìåãéóôïðïéåßôáé ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò i1 ôïõ ñåýìáôïò Ý÷ïíôáò ôç öïñÜ ðïõ öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò i1 ôïõ ñåýìáôïò ìåãéóôïðïéåßôáé êÜèå 0,1ð s. á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí Ýíôáóç I 3 ôïõ ñåýìáôïò. â) Íá õðïëïãßóåôå ôï ðëÜôïò ôçò Ýíôáóçòi1 ôïõ åíáëëáóóüìåíïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (1). ã) Íá ãñÜøåôå ôç ÷ñïíéêÞ åîßóùóç ôçò ôÜóçò ðïõ åðéêñáôåß óôá Üêñá ôçò ðçãÞò åíáëëáóóüìåíçò ôÜóçò. ä) Íá õðïëïãßóåôå ôç äýíáìç Laplace ðïõ áóêåß ï áãùãüò (1) óå ôìÞìá ìÞêïõò d = 0,5 m ôïõ áãùãïý (2) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 19 60 ð s. Äßíåôáé ç ìáãíçôéêÞ äéáðåñáôüôçôá ôïõ êåíïý: ìï 2 N A    4 10 7 ð . 5.303 Óùìáôßäéá (É) öïñôßïõ q1 = + 4 ìC êáé ìÜæáò m1 = = 2 10 8   kg åðéôá÷ýíïíôáé áðü ôçí çñåìßá õðü ôÜóç V êáé óôç óõíÝ÷åéá åéóÝñ÷ïíôáé ìå ïñéæüíôéá ôá÷ýôçôá  õ1 óå ößëôñï ôá- ÷õôÞôùí ðïõ Ý÷åé êáôáêüñõöï ïìïãåíÝò çëåêôñéêü ðåäßï ìå ìÝôñï Ýíôáóçò Å =250 Í C , ôï ïðïßï äçìéïõñãåßôáé ìåôáîý äýï ïñéæüíôéùí ìåôáëëéêþí ðëáêþí ìÞêïõò l = 0,6 m, êáé ïñéæüíôéï ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï ìå ìÝôñï Ýíôáóçò  = 1,25 T. Ôá óùìáôßäéá êéíïýíôáé åõèýãñáììá óôï ößëôñï ôá- ÷õôÞôùí êáé üôáí åîÝñ÷ïíôáé áðü áõôü, åéóÝñ÷ïíôáé áìÝóùò áðü óçìåßï Á óå ÷þñï üðïõ õðÜñ÷åé ïñéæüíôéï ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï ìå ìÝôñï Ýíôáóçò Â1 = 0,5 Ô. Óôï äåýôåñï ìáãíçôéêü ðåäßï ôá óùìáôßäéá (É) åéóÝñ÷ïíôáé êÜèåôá óôéò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò êáé óôï üñéï ôïõ ðåäßïõ êáé åêôåëþíôáò çìéêýêëéï ðñïóêñïýïõí óôï ßäéï óçìåßï ìéáò öùôïãñáöéêÞò ðëÜêáò áöÞíïíôáò Ýíá ß÷íïò. ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôï ßäéï ðåßñáìá åðéôá÷ýíïíôáò óùìáôßäéá (ÉÉ) öïñôßïõ q2 = + 4 ìC êáé ìÜæáò m2 õðü ôçí ßäéá ôÜóç V. Ãéá íá êéíïýíôáé ôá óùìáôßäéá (ÉÉ) åõèýãñáììá óôï ößëôñï ôá÷õôÞôùí, ðñÝðåé íá õðïäéðëáóéÜóïõìå ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ  B ôïõ ößëôñïõ ôá÷õôÞôùí. Óôç óõíÝ÷åéá ôá óùìáôßäéá (ÉÉ), áöïý êéíçèïýí åõèýãñáììá óôï ößëôñï ôá÷õôÞôùí, åéóÝñ÷ïíôáé áðü ôï ßäéï ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 403

óçìåßï Á óôï ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B1, üðïõ åêôåëþíôáò çìéêýêëéï ðñïóêñïýïõí üëá óôï ßäéï óçìåßï ôçò öùôïãñáöéêÞò ðëÜêáò áöÞíïíôáò Ýíá ß÷íïò ôï ïðïßï áðÝ÷åé áðü ôï ß÷íïò ðïõ áöÞíïõí óôç öùôïãñáöéêÞ ðëÜêá ôá óùìáôßäéá (É) áðüóôáóç d. á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôÜóç V. â) Íá õðïëïãßóåôå ôç ìÜæá m2 ôùí óùìáôéäßùí (ÉÉ). ã) Ná âñåßôå ôçí áðüóôáóç d ìåôáîý ôùí äýï é÷íþí. ä) ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôï ßäéï ðåßñáìá ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôá óùìáôßäéá (ÉÉ), Ý÷ïíôáò üìùò êáôáñãÞóåé ôï ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B ôïõ ößëôñïõ ôá÷õôÞôùí. Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç ôïõ íÝïõ ß÷íïõò ðïõ áöÞíïõí ôá óùìáôßäéá (ÉÉ) óôç öùôïãñáöéêÞ ðëÜêá áðü ôï ðñïçãïýìåíï. Ïé âáñõôéêÝò áëëçëåðéäñÜóåéò èåùñïýíôáé áìåëçôÝåò. 5.304 ËåðôÞ äÝóìç éüíôùí áóâåóôßïõ ðåñéÝ÷åé äýï éóüôïðá áóâåóôßïõ (É) êáé (ÉÉ), ôá ïðïßá Ý÷ïõí öïñôßï q e  2 êáé ìÜæåò m1 êáé m2 áíôßóôïé÷á, üðïõ m1 > m2, ìå m1 = = 6 72 10 26 ,   kg. H äÝóìç åéóÝñ÷åôáé óå ÷þñï üðïõ õðÜñ÷åé ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B ðïõ Ý÷åé ìÝôñï B 0 5, Ô, ìå ôá éüíôá íá Ý÷ïõí üëá ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá  õ, ðïõ åßíáé êÜèåôç óôï åõèýãñáììï üñéï x´x ôïõ ðåäßïõ êáé êÜèåôç óôéò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò. Ôï ìáãíçôéêü ðåäßï åêôåßíåôáé óå ðåñéï÷Þ ìÞêïõò d = 2,1 cm, üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Ôá éüíôá äéáãñÜöïõí çìéêýêëéï êáé ðñïóêñïýïõí óå öùôïãñáöéêÞ ðëÜêá áöÞíïíôáò äýï äéáöïñåôéêÜ ß÷íç, ôá ïðïßá áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç d1 = 2 mm. Ç ôñï÷éÜ ôïõ åíüò áðü ôá äýï éóüôïðá äéÝñ÷åôáé åöáðôïìåíéêÜ áðü ôï üñéï x1´x1 ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ. á) Íá õðïëïãßóåôå ôï ìÝôñï ôçò óôñïöïñìÞò ôùí éóïôüðùí (É) ùò ðñïò Üîïíá ðïõ äéÝñ- ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï Ê ôçò çìéêõêëéêÞò ôïõò ôñï÷éÜò êáé åßíáé ðáñÜëëçëïò ðñïò ôéò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò. â) Íá åîåôÜóåôå ðüóá ðåñéóóüôåñá íåôñüíéá Ý÷åé ôï éóüôïðï (É) áðü ôï éóüôïðï (ÉÉ). ã) Èåùñïýìå äýï óõãêåêñéìÝíá éóüôïðá (É) êáé (ÉÉ) ôçò äÝóìçò ðïõ åéóÝñ÷ïíôáé ôáõôü- ÷ñïíá óôï ìáãíçôéêü ðåäßï, åíþ áðïìáêñýíïõìå ôç öùôïãñáöéêÞ ðëÜêá þóôå ôá éüíôá áõôÜ íá åîÝñ÷ïíôáé áðü ôï ìáãíçôéêü ðåäßï. Íá õðïëïãßóåôå: i) ôç ìåôáâïëÞ ôçò ïñìÞò ôïõ éóïôüðïõ (ÉÉ) áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò åéóüäïõ ôïõ óôï ìáãíçôéêü ðåäßï ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ åîÝñ÷åôáé áðü ôï ìáãíçôéêü ðåäßï, ii) ôçí áðüóôáóç ôùí äýï éóïôüðùí üôáí åîÝñ÷åôáé êáé ôï äåýôåñï áðü ôï ìáãíçôéêü ðåäßï. Äßíåôáé ôï óôïé÷åéþäåò çëåêôñéêü öïñôßï e   16 10 19 , C, êáèþò êáé ç ìÜæá ôïõ íåôñïíßïõ mn    16 10 27 , kg êáé ãéá ôéò ðñÜîåéò ð 2 10 êáé 14 3 75  , . Ïé âáñõôéêÝò êáé ïé çëåêôñïóôáôéêÝò áëëçëåðéäñÜóåéò èåùñïýíôáé áìåëçôÝåò. 404 ÈÅÌÁ 4ï

4.91 á) Áöïý ôï íÞìá åßíáé áâáñÝò, éó÷ýåé üôé F1 = T = 50 N. Ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò ëåéôïõñãåß ùò êåíôñïìüëïò äýíáìç êáôÜ ôçí êßíçóç ôïõ óþìáôïò. Óõíåðþò: Ô=Fêåíôñ Þ T mõ R  1 2 1 Þ õ ÔR m 1 1  Þ õ1  2 m/s. Åßíáé õ ùR 1 11  Þ ù1  5 rad/s. â) Ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò äå äçìéïõñãåß ñïðÞ ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï ãýñù áðü ôï ïðïßï ðåñéóôñÝöåôáé ôï óþìá. Óõíåðþò ç óôñïöïñìÞ ôïõ ìéêñïý óþìáôïò ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ. ¸÷ïõìå:   L L áñ÷ ôåë  Þ L mõR ôåë  1 1 Þ Lôåë 2 kg m s   4 ã) Ôñáâþíôáò ôï íÞìá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ y îïäÝøáìå åíÝñãåéá 150 J. H åíÝñãåéá áõôÞ ìåôáôñÜðçêå óå êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óþìáôïò ìÜæáò m. Óõíåðþò Káñ÷ + Åîïäåø = Êôåë Þ K mõ E ôåë îïäåø   1 2 1 2 Þ Êôåë = 160 J. ¼ìùò K mõ ôåë  1 2 2 2 Þ õ2 = 8 m/s. Ió÷ýåé Lôåë = mõ R2 2 Þ R2 = 0,1 m. Óõíåðþò ìåôáêéíÞóáìå ôï Üêñï Æ êáôÜ yRR  1 2 Þ y = 0,3 m. ä) Óôç íÝá ôïõ èÝóç ôï óçìåßï Æ ôïõ íÞìáôïò äÝ÷åôáé ôï âÜñïò ôïõ óþìáôïò ðïõ êñåìÜóáìå (Ýóôù m g1  ) êáé ôçí ôÜóç   T ôïõ íÞìáôïò. Ió÷ýåé mg T 1  , äéüôé ôï íÞìá åßíáé áâáñÝò. ¸÷ïõìå: T F   êåíôñ Þ T   mõ R 2 2 2 Þ Ô   3200 Í ¢ñá åßíáé: mg T 1   Þ m1 = 320 kg ÈÅÌÁ 4ï 4.92 á) Aðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ù t 1  f( ) õðïëïãßæïõìå ôç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç ôïõ ôñï÷ïý (1) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t 1  5 s. Eßíáé: a ù t ãùí Ä Ä ( )1  Þ aãùí ( ) ð ( ð) 1 12 9 7 0     rad/s2 Þ aãùí ( ) ð 1  3 rad/s2 Ôá óçìåßá ôùí äýï ôño÷þí ðïõ óõìðëÝêïíôáé Ý÷ïõí ôçí ßäéá ãñáììéêÞ ôá÷ýôçôá. ¢ñá: õ õ ãñáì(1) ðåñéö ãñáì(2) ðåñéö  Þ ùR ù R 11 2 2  Ðáñáãùãßæïíôáò ðñïêýðôåé: aRa R ãùí ãùí () ( ) 11 2 2  Þ aãùí ( ) ð 2  6 rad/s2 H åðéôñü÷éá åðéôÜ÷õíóç ôïõ äïíôéïý  åßíáé: a aR å(Â) ãùí  ( ) 2 2 Þ aå(Â)  1 92 , ð m/s2 â) Óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 0 7  s åßíáé: aãùí ) ( )( ð 10 7 3   rad/s2 Óôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 7 9 s s  åßíáé aãùí ) ( )( 17 9 0   (ç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ). Ãéá ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 9 12 s s  Ý÷ïõìå: a ù t ãùí ) Ä Ä ( )( 1 9 12   Þ aãùí ) ( )( ð 1 9 12 0 12 12 9     rad/s2 Þ aãùí ) ( )( ð 1 9 12 4    rad/s2 Ç æçôïýìåíç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá. ã) Ãéá ôá ìÝôñá ôùí ãùíéáêþí ôá÷õôÞôùí áðïäåßîáìå óôï åñþôçìá (á) üôé éó÷ýåé ùR ù R 11 2 2  . Ï ôñüðïò üìùò ìå ôïí ïðïßï ðåñéóôñÝöïíôáé ïé äýï ôñï÷ïß åßíáé ôÝôïéïò, þóôå ôá äéáíýóìáôá ôùí ãùíéáêþí ôá÷õôÞôùí  ù1 êáé  ù2 íá Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ. ¢ñá ãéá ôéò áëãåâñéêÝò ôïõò ôéìÝò éó÷ýåé: ùR ù R 11 2 2   Ãéá ôçí t = 0 Ý÷ïõìå: ù2 0 t 18 ( ) ð    rad/s Ãéá ôçí t = 7 s Ý÷ïõìå: ù2 7 t 24 ( ) ð    s rad/s Ç æçôïýìåíç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá. ä) Ç ãùíéáêÞ ìåôáôüðéóç Äè êÜèå ôñï÷ïý ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß áðü ôï äéÜãñáììá ù-t. Ãéá ôïí ôñï÷ü ÌÇ×ÁÍÉÊH TOY ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 657 ω2( / rad s) +18π 2 π4 t(s) 0 3 7 9 12 m O F1 Ζ R1 Τ Τ

(1) áðü t  0 Ýùò t2 12 s åßíáé: Äè1 1 2 9 3 12 3 9 7 12 2         ( ð) [( ) ( )] ð rad Þ Äè1   52 5, ð rad ¢ñá N è 1 1 2  Ä ð Þ N1  26 25 , ðåñéóôñïöÝò áðü ôçí áñ÷éêÞ èÝóç (t = 0) ìå öïñÜ ßäéá ìå áõôÞ ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý. Áðü ôï äéÜãñáììá ðïõ ó÷åäéÜóáìå óôï åñþôçìá (ã), ãéá ôïí ôñï÷ü (2) Ý÷ïõìå: Äè2 1 2 18 3 12 3 9 7 24 2         ð [( ) ( )]( ð) rad Þ Äè2  105ð rad ¢ñá N è 2 2 2  Ä ð Þ N2  52 5, ðåñéóôñïöÝò áðü ôçí áñ÷éêÞ èÝóç (t = 0), ìå öïñÜ áíôßèåôç áðü áõôÞ ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý. Må âÜóç ôá ðñïçãïýìåíá, ôá äïíôÜêéá Á êáé  ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t 2  12 s âñßóêïíôáé óôéò èÝóåéò ðïõ öáßíïíôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. Ç æçôïýìåíç áðüóôáóç åßíáé: d RR   1 2 1 2 Þ d  0 64 2 , m 4.93 á) Aöïý ç  aãùí Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôçí  ùo, ôï ìÝôñï ôçò  ù áõîÜíåôáé. Åßíáé: a ù t ãùí Ä Ä  Þ aãùí  4 rad/s2 Åßíáé ÄÄ Ä o ãùí èù t a t    1 2 2 ìå ù õ R o o   8rad/s. ÅðïìÝíùò Äè  24 rad êáé N è  Ä 2ð Þ N  12 ð ðåñéóôñïöÝò. â) Ç  acm Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôç  õo. Óõíåðþò ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò áõîÜíåôáé. Åßíáé: s õt a t cm o cm   Ä Ä 1 2 2 Þ acm  3 m/s2 êáé õõ a t  o cm 1 2 Þ õ = 7 m/s ÐáñáôÞñçóç: Åßíáé ðñïöáíÝò üôé ìåôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0 éó÷ýåé a aR cm ãùí  . ÄçëáäÞ o êýëéíäñïò åêôåëåß êýëéóç ìå ïëßóèçóç óôï ïñéæüíôéï äÜðåäï. ã) Ãéá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t 1 = 2 s åßíáé: õ õ at cm o cm   1 Þ õcm  10 m/s êáé õ ùR ãñáì(Ä)  1 , ìå ù ù at 1 1   ï ãùí 16 rad/s ¢ñá õãñáì(Ä)  8m/s. Ïé ôá÷ýôçôåò  õcm êáé  õãñáì(Ä) Ý÷ïõí ßäéá äéåýèõíóç êáé öïñÜ. ¢ñá: õõ õ Ä cm ãñáì(Ä)   Þ õÄ  18 m/s ä) Áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t 1 êáé ìåôÜ ï êýëéíäñïò åêôåëåß ïìáëÞ ìåôáöïñéêÞ êßíçóç êáé ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç Ý÷ïíôáò ãùíéáêÞ åðéâñÜäõíóç ìÝôñïõ aãùí   4 rad/s2 . ¸÷ïõìå: ù ùa t ôåë   ãùí   Ä  1 Þ Ät  4 s ÄçëáäÞ ÷ñåéÜóôçêáí 4 s áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ áíôéóôñÜöçêå ç ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç, þóðïõ ï êýëéíäñïò íá óôáìáôÞóåé ðåñéóôñïöéêÜ. Óôç ÷ñïíéêÞ áõôÞ äéÜñêåéá Ý÷ïõìå sõt cm cm   Ä  Þ scm  40m. 4.94 á) O äéðëüò äßóêïò åêôåëåß óýíèåôç êßíçóç ç ïðïßá åßíáé êýëéóç (Þ áëëéþò êýëéóç ÷ùñßò ïëßóèçóç). Ç ôá÷ýôçôá  õÈ Ý÷åé äýï ïñéæüíôéåò óõíéóôþóåò, ßäéáò öïñÜò (ðñïò ôá äåîéÜ), ôç  õãñáì(È) êáé ôç  õcm. Åßíáé õõ õ È ãñáì(È)   cm Þ õ ùR ùR È   11 1 2 Þ õ ùR R È   11 2 ( ) Þ ù1  5 rad/s. â) Áñ÷éêÜ ï äßóêïò åßíáé áêßíçôïò êáé áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t  0 êáé ìåôÜ Üñ÷éóå íá åêôåëåß êýëéóç ÷ùñßò ïëßóèçóç. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t 1  2 s åßíáé: õ ùR cm(1)  1 2 Þ õcm(1)  4 m/s Éó÷ýåé üôé õ at cm(1)  cm 1 Þ acm  2 m/s2 . ã) ÅðåéäÞ ôï íÞìá åßíáé ìç åêôáôü êáé äå ãëéóôñÜ óôï áõëÜêé ôïõ äßóêïõ (1), éó÷ýåé üôé õ õ Ë Ó  . ¼ìùò åßíáé õõ õ Ë cm ãñáì(Ë)   . Óõíåðþò Ý÷ïõìå õ õ ùR Ó   cm 1 . Ðáñáãùãßæïíôáò ùò ðñïò ôï ÷ñüíï ôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç ðñïêýðôåé: dõ dt dõ dt dù dt R Ó cm   1 Þ a a aR Ó   cm ãùí 1 Ió÷ýåé üôé a aR cm ãùí  2 Þ aãùí  2 5, rad/s2 . Óõíåðþò Ý÷ïõìå aÓ 1m/s2 . Ãéá ôï æçôïýìåíï äéÜóôçìá éó÷ýåé: s at Ó Ó  1 2 2 2 Þ sÓ  8 m ä) Ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óçìåßïõ N ( )  aN áðáñôßæåôáé áðü ôñåéò óõíéóôþóåò, ôçí  aê(N) (êåíôñïìüëïò åðéôÜ÷õíóç), ôçí  aå(N) (åðéôñü÷éá åðéôÜ÷õíóç) êáé ôçí  acm. Ïé äýï ðñþôåò óõíéóôþóåò ïöåßëïíôáé óôçí áëëáãÞ ôçò 658 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ R1 Β d Α R1

ãñáììéêÞò ôá÷ýôçôáò ôïõ óçìåßïõ Í, åíþ ç ôñßôç óõíéóôþóá ( )  acm ïöåßëåôáé óôçí áëëáãÞ ôïõ ìÝôñïõ ôçò ôá÷ýôçôáò  õcm. Ïé ôñåéò áõôÝò óõíéóôþóåò öáßíïíôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá. Åßíáé a aR a å(N)   ãùí cm 2 , ïðüôå ïé óõíéóôþóåò  aå(N) êáé  acm áëëçëïåîïõäåôåñþíïíôáé, Üñá åßíáé:   a a N ê(N)  ¸÷ïõìå a õ R ê(N) ãñáì(Í)  2 2 . Åßíáé õ ùR ãñáì(Í)  2 2, Üñá a ùR ê(N)  2 2 2. Éó÷ýåé üôé ù at 2 2  ãùí Þ ù2 10 rad/s, Üñá aê(N)  80 m/s2 . Óõíåðþò ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óçìåßïõ Í, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2, Ý÷åé ìÝôñï 80 m/s2 , äéåýèõíóç êáôáêüñõöç êáé öïñÜ ðñïò ôá ðÜíù. å) Ôï ôýëéãìá ôïõ íÞìáôïò óôï áõëÜêé ôïõ äßóêïõ (1) ïöåßëåôáé áðïêëåéóôéêÜ óôçí ðåñéóôñïöéêÞ êßíçóç ôïõ äßóêïõ. Óõíåðþò ôï ìÞêïò ôïõ íÞìáôïò ðïõ ôõëß- ÷èçêå åßíáé: l Rè ôõë   1 Ä ¸÷ïõìå: Ä ãùí è at  1 2 2 2 Þ Äè  20 rad ÅðïìÝíùò ðñïêýðôåé üôé lôõë  8 m. 4.95 á) Óôï äßóêï áóêïýíôáé ç ïñéæüíôéá äýíáìç  F1 , ç äýíáìç áðü ôç ñÜâäï, ðïõ Ý÷åé óçìåßï åöáñìïãÞò ôï óçìåßï Ï, ôï âÜñïò ôïõ  w1 êáé ç êÜèåôç äýíáìç óôÞñéîçò  N1 áðü ôï äÜðåäï (Ý÷ïõìå áãíïÞóåé ðñïò ôï ðáñüí ôçí ðéèáíÞ ýðáñîç ôçò óôáôéêÞò ôñéâÞò). ¼ìùò ï äßóêïò ðáñáìÝíåé áêßíçôïò. Óõíåðþò ðñÝðåé íá éó÷ýåé, ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï, üôé Ó   ô  0. ÅðåéäÞ ôï âÜñïò  w1 , ç äýíáìç áðü ôç ñÜâäï êáé ç äýíáìç  N1 Ý÷ïõí ìçäåíéêÞ ñïðÞ ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï (ïé öïñåßò ôïõò äéÝñ÷ïíôáé áðü ôï Ï), ðñÝðåé êÜðïéá Üëëç äýíáìç íá åîïõäåôåñþíåé ôç ñïðÞ ôçò äýíáìçò  F1 . Ç ìüíç äýíáìç ðïõ ìðïñåß íá áóêåßôáé åßíáé ç óôáôéêÞ ôñéâÞ êáé ìÜëéóôá ðñÝðåé íá Ý÷åé ñïðÞ áíôßèåôçò öïñÜò áðü ôç ñïðÞ ôçò äýíáìçò  F1 , ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï, äçëáäÞ ç óôáôéêÞ ôñéâÞ ðñÝðåé íá Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá äåîéÜ, üðùò öáßíåôáé óôï ðñïçãïýìåíï ó÷Þìá. â) Ç ñÜâäïò éóïññïðåß áêßíçôç ìå ôç äñÜóç ôùí äõíÜìåùí  F2,  w2 êáé  Fä (äýíáìç áðü ôï äßóêï, ç ïðïßá äåí Ý÷åé ó÷åäéáóôåß). ÅðåéäÞ ç ñÜâäïò éóïññïðåß áêßíçôç, ùò ðñïò ôï Üêñï ôçò Ï Ý÷ïõìå: Óô  0 Þ ôôô Fä w F  2 2 0 Þ 0 0 2 2    w F () () ÏÈ ÏÆ Åßíáé ( ) ÏÈ óõí30ï  l 2 êáé ( ) ÏÆ çì30ï  l , Üñá:    Ì g l F l 2 2 2 3 2 1 2 0 Þ Ìg F 2 2 3 2  Þ Ì F g 2 2 2 3  Þ M2  4 kg ã) Ôï óýóôçìá äßóêïò - ñÜâäïò ðáñáìÝíåé áêßíçôï. Óõíåðþò ãéá ôéò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò ðïõ äÝ÷åôáé ôï óýóôçìá óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá x x Ý÷ïõìå: ÓFx(åî)  0 Þ FT F 1 2   óôáô (1) Áðü ôç óõíèÞêç éóïññïðßáò ãéá ôï äßóêï ùò ðñïò ôï óçìåßï Ï Ý÷ïõìå: Óô  0 Þ ô ô F T 1   0 óôáô ÌÇ×ÁÍÉÊH TOY ÓÔÅÑÅÏÕ ÓÙÌÁÔÏÓ 659

(ïé õðüëïéðåò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé Ý÷ïõí ìçäåíéêÞ ñïðÞ ùò ðñïò ôï Ï), óõíåðþò:   Fd T R 1 óôáô 0 Þ T F óôáô  1 2 (2) Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) ðñïêýðôåé üôé: 3 2 1 2 F  F Þ F1 40 3 3  N ä) Ãéá ôéò åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óýóôçìá äßóêïò-ñÜâäïò óôïí êáôáêüñõöï Üîïíá y y Ý÷ïõìå: ÓFy(åî)  0 Þ N ww 112   Þ N1  80 N Aðü ôç ó÷Ýóç (2) ðñïêýðôåé üôé Tóôáô  20 3 3 N. Åßíáé T ìN óôáô  s 1 Þ ì T N s  óôáô 1 Þ ìs (min)  3 12 . 4.96 á) Óôçí áñ÷éêÞ êáôÜóôáóç éóïññïðßáò ïé åîùôåñéêÝò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óýóôçìá ñÜâäïò - óçìåéáêü áíôéêåßìåíï öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá. Åöüóïí ôï óýóôçìá éóïññïðåß, ùò ðñïò ôï óçìåßï Æ éó÷ýåé: Óô  0 Þ ô ôôô Fáî   w Ô w1 0 Þ 0 0 1      wÔw ( ) () () ÆÌ ÆË ÆË Þ      Ìg    L d T L d mg L d 2 0 1 11 1 () () Þ T  20 N Eðßóçò éó÷ýåé üôé: Ó   F  0 Þ F Ôww áî  1 Þ Fáî  30 Í â) Ôï óçìåéáêü áíôéêåßìåíï ìÜæáò m1 äÝ÷åôáé ôéò äõíÜìåéò ðïõ öáßíïíôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. Áöïý éóïññïðåß, Ý÷ïõìå: Ó   F  0 Þ     ÔF w  ñ 1 0 Þ ÔF w   ñ 1 0 Þ Fñ  10 Í ÅðïìÝíùò ç äýíáìç  Fñ ðïõ äÝ÷åôáé ôï óçìåéáêü áíôéêåßìåíï áðü ôç ñÜâäï, ðñéí êüøïõìå ôï íÞìá, Ý÷åé ìÝôñï 10 Í êáé öïñÜ ðñïò ôá êÜôù. ã) Óôçí áñ÷éêÞ êáôÜóôáóç éóïññïðßáò, ãéá ôï óþìá ìÜæáò m2 Ý÷ïõìå: Ó   F  0 Þ F mg T åë   2 Þ k l mg T   Ä1 2 Þ Äl 1  0 5, m Êüâïíôáò ôï íÞìá, êáôáñãåßôáé ç ôÜóç  T ôïõ íÞìáôïò, ïðüôå ôï óþìá ìÜæáò m2 åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ìå ôç äñÜóç ôçò äýíáìçò  Fåë êáé ôïõ âÜñïõò  w2. Ç èÝóç áð’ üðïõ îåêéíÜ ç ôáëÜíôùóç ôïõ óþìáôïò ìÜæáò m2 åßíáé áêñáßá èÝóç ôçò ôáëÜíôùóÞò ôïõ êáé ç ôáëÜíôùóç ãßíåôáé ãýñù áðü ôç È.É., ðïõ áðÝ÷åé áðü ôç È.Ö.Ì. ôïõ åëáôçñßïõ áðüóôáóç Ä ol . Ãéá ôç È.É. éó÷ýåé: Ó   F  0 Þ F mg   åë 2 Þ k l mg   Ä o 2 Þ Ä ol  0 1, m Ãéá ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò éó÷ýåé: All   Ä Ä 1 o Þ A  0 4, m Åßíáé y A ùt ö   çì ï ( ). Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t  0 Ý÷ïõìå y A   0 4, m, Üñá 04 04 , ,  çìöï Þ çìöï 1 Þ öï  ð 2 rad. Åðßóçò åßíáé ù k m  2 Þ ù 10 rad/s. Óõíåðþò ãéá ôéò æçôïýìåíåò åîéóþóåéò Ý÷ïõìå: y t      0 4 10 2 , ð çì (S.I.) õ ùA ùt ö   óõí ï ( ) Þ õ t      4 10 2 óõí ð (S.I.) êáé a ù A ùt ö   2 çì ï ( ) Þ a t      40 10 2 çì ð (S.I.) ä) Ôï óþìá ìÜæáò m2 åêôåëåß áðëÞ áñìïíéêÞ ôáëÜíôùóç ìå ðëÜôïò Á = 0,4 m. Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôïõ ìÝôñïõ ôçò äýíáìçò ôïõ åëáôçñßïõ ðïõ äÝ÷åôáé åðéôõã- ÷Üíåôáé óôç èÝóç åêåßíç ðïõ åßíáé ðéï ìáêñéÜ áðü ôç È.Ö.Ì. ôïõ åëáôçñßïõ. Áõôü óõìâáßíåé óôçí êÜôù áêñáßá èÝóç (óôç èÝóç äçëáäÞ áðü üðïõ îåêßíçóå ôçí ôáëÜíôùóÞ ôïõ ôï óþìá). Ç áðüóôáóç ôçò êÜôù áêñáßáò èÝóçò ôçò ôáëÜíôùóçò áðü ôç È.Ö.Ì. åßíáé Äl 1  0 5, m, Üñá: F kl åë(max)  Ä1 Þ Fåë(max)  25 Í å) ÌåôÜ ôï êüøéìï ôïõ íÞìáôïò êáôáñãåßôáé ç ôÜóç ôïõ íÞìáôïò ðïõ äÝ÷åôáé ôï óýóôçìá ñÜâäïò - óçìåéáêü áíôéêåßìåíï. Ãéá íá óõíå÷ßóåé íá éóïññïðåß ç ñÜâäïò, ðñÝðåé íá áóêÞóïõìå ôç äýíáìç  F Ýôóé, þóôå 660 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

ÊÅÖÁËÁÉÏ 5 (Hëåêôñïìáãíçôéóìüò) ÈÅÌÁ 1ï Máãíçôéêü ðåäßï 5.1 Ó, Ó, Ë, Ë. (á) Oé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ åßíáé óå êÜèå ðåñßðôùóç êëåéóôÝò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (â) Ìáãíçôéêü öÜóìá åßíáé ôï óýíïëï ôùí ìáãíçôéêþí ãñáììþí ðïõ áéóèçôïðïéïýí ôï ðåäßï. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) Ç ìáãíçôéêÞ âåëüíá ðñïóáíáôïëßæåôáé ìå ôïí ÜîïíÜ ôçò ðáñÜëëçëï ðñïò ôéò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ï ìáãíÞôçò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ä) Êüâïíôáò ôï ìáãíÞôç óôç ìÝóç äçìéïõñãïýíôáé ðÜíôïôå äýï ìáãíÞôåò ðïõ ï êáèÝíáò Ý÷åé âüñåéï êáé íüôéï ìáãíçôéêü ðüëï. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.2 Ë, Ó, Ë, Ë. (á) Ôï ìáãíçôéêü ðåäßï åßíáé ðéï éó÷õñü êïíôÜ óôïõò ðüëïõò ôïõ ñáâäüìïñöïõ ìáãíÞôç. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (â) êáé (ã). Ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ðåäßïõ åíüò ñáâäüìïñöïõ ìáãíÞôç åéóÝñ÷ïíôáé áðü ôï íüôéï ðüëï ôïõ ìáãíÞôç êáé åîÝñ÷ïíôáé áðü ôï âüñåéï ðüëï. ¸ôóé, óôï åîùôåñéêü ôïõ ìáãíÞôç, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò îåêéíïýí áðü ôï âüñåéï ðüëï ôïõ ìáãíÞôç êáé êáôáëÞãïõí óôï íüôéï ðüëï ôïõ. Ïé ìáãíçôéêÝò áõôÝò ãñáììÝò óõíå÷ßæïõí êáé ìÝóá óôï ìáãíÞôç ìå öïñÜ áðü ôï íüôéï ìáãíçôéêü ðüëï ðñïò ôï âüñåéï ìáãíçôéêü ðüëï. ÄçëáäÞ ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò äçìéïõñãïýí êëåéóôÝò ãñáììÝò êáé ãéá ôï ëüãï áõôü ëÝìå üôé åßíáé êëåéóôÝò. Óõíåðþò ç ðñüôáóç (â) åßíáé óùóôÞ, åíþ ç ðñüôáóç (ã) åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ä) Ôï åíéáßï óþìá óõìðåñéöÝñåôáé ùò Ýíáò åíéáßïò ñáâäüìïñöïò ìáãíÞôçò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.3 Ó, Ó, Ë, Ë. (á) Ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ó÷åäéÜæïíôáé ãéá íá áéóèçôïðïéÞóïõìå ôï ðåäßï, þóôå íá ìðïñïýìå íá ôï ðåñéãñÜöïõìå ÷ùñßò äõóêïëßá. Ïé ãñáììÝò áõôÝò åßíáé öáíôáóôéêÝò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (â) ¼ðùò åîçãÞóáìå óôçí åñþôçóç 5.2, ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò åßíáé êëåéóôÝò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) Ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ åßíáé åöáðôüìåíç óôéò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò êáé ü÷é êÜèåôç óå áõôÝò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ä) Ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ïýôå ôÝìíïíôáé ïýôå åöÜðôïíôáé. Áí ôÝìíïíôáí, ôüôå èá ïñßæïíôáí äýï äéáöïñåôéêÝò åíôÜóåéò ãéá ôï ßäéï óçìåßï, êÜôé ðïõ äåí ìðïñåß íá óõìâáßíåé. Áí åöÜðôïíôáí, ôüôå óôï óçìåßï áõôü ç ðõêíüôçôá ôùí ìáãíçôéêþí ãñáììþí èá Þôáí Üðåéñç, ïðüôå êáé ç Ýíôáóç ôïõ ðåäßïõ èá Þôáí Üðåéñç, êÜôé ðïõ äåí ìðïñåß íá óõìâáßíåé. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.4 Ë, Ó, Ó, Ó. (á) Åßíáé äéáíõóìáôéêü ìÝãåèïò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (â) Ìáò äåß÷íåé ðüóï éó÷õñü Þ áóèåíÝò åßíáé ôï ðåäßï óå êÜðïéï óçìåßï. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) ¸÷åé ìïíÜäá ìÝôñçóçò óôï (S.I.) ôï 1 1 N A m T   . ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ä) ÏìïãåíÝò ïíïìÜæïõìå ôï ðåäßï ãéá ôï ïðïßï ç Ýíôáóç óå êÜèå óçìåßï ôïõ åßíáé ç ßäéá (êáôÜ ìÝôñï êáé êáôåýèõíóç). ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. 5.5 (á). Ìðïñïýìå íá öáíôáóôïýìå üôé ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ïìïãåíïýò ìáãíçôéêïý ðåäßïõ îåêéíïýí áðü âüñåéï ìáãíçôéêü ðüëï êáé êáôáëÞãïõí óå íüôéï. ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 673

ÂëÝðïõìå ôüôå üôé ï íüôéïò ðüëïò ôçò ìáãíçôéêÞò âåëüíáò äÝ÷åôáé äýíáìç ðïõ åßíáé áíôßññïðç ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò Ýíôáóçò  B, åíþ ï âüñåéïò ðüëïò ôçò ìáãíçôéêÞò âåëüíáò äÝ÷åôáé äýíáìç ðïõ åßíáé ïìüññïðç ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò Ýíôáóçò  B. Áõôü èá Ý÷åé ùò áðïôÝëåóìá ç ìáãíçôéêÞ âåëüíá íá ðåñéóôñáöåß áíôßèåôá áðü ôç öïñÜ ðåñéóôñïöÞò ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý êáé ôåëéêÜ èá éóïññïðÞóåé óå èÝóç üðïõ ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ èá äÝ÷åôáé èá åßíáé ßóç ìå ìçäÝí, äçëáäÞ óôç èÝóç (á). Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). ÐáñáôÞñçóç: Åßíáé ÷ñÞóéìï íá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ðñüôáóç üôé «ï âüñåéïò ðüëïò ôçò ìáãíçôéêÞò âåëüíáò äÝ- ÷åôáé äýíáìç ðïõ åßíáé ïìüññïðç ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò Ýíôáóçò  B, åíþ ï íüôéïò ðüëïò ôçò ìáãíçôéêÞò âåëüíáò äÝ÷åôáé äýíáìç ðïõ åßíáé áíôßññïðç ôïõ äéáíýóìáôïò ôçò Ýíôáóçò  B» ãéá íá âñßóêïõìå ôç öïñÜ ðåñéóôñïöÞò ôçò ìáãíçôéêÞò âåëüíáò. 5.6 Ë, Ó, Ó, Ó. (á) ÂëÝðå ó÷ïëéêü âéâëßï. (â) ¼ðùò åßäáìå óôçí åñþôçóç 5.5, ç äýíáìç ðïõ èá äå÷ôåß ç ìáãíçôéêÞ âåëüíá èá ôçí áíáãêÜóåé íá óôñáöåß êáèþò ï âüñåéïò ìáãíçôéêüò ðüëïò ôçò äÝ÷åôáé äýíáìç ðïõ Ý÷åé êáôåýèõíóç ßäéá ìå áõôÞ ôùí ìáãíçôéêþí ãñáììþí, åíþ ï íüôéïò ìáãíçôéêüò ðüëïò ôçò äÝ÷åôáé äýíáìç ðïõ Ý÷åé êáôåýèõíóç áíôßèåôç áðü áõôÞ ôùí ìáãíçôéêþí ãñáììþí. Óõíåðþò ç ìáãíçôéêÞ âåëüíá èá ðñïóáíáôïëéóôåß óå êÜèå ðåñßðôùóç Ýôóé, þóôå ï âüñåéïò ðüëïò ôçò íá äåß÷íåé ôçí êáôåýèõíóç ôùí ìáãíçôéêþí ãñáììþí ôïõ ðåäßïõ. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) ¸îù áðü ôï ìáãíÞôç ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò Ý÷ïõí öïñÜ áðü ôï âüñåéï ìáãíçôéêü ðüëï áð’ üðïõ åîÝñ- ÷ïíôáé ðñïò ôï íüôéï ìáãíçôéêü ðüëï áðü ôïí ïðïßï åéóÝñ÷ïíôáé óôï ìáãíÞôç. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ä) ÂëÝðå ó÷ïëéêü âéâëßï. Íüìïò Biot-Savart Åõèýãñáììïò áãùãüò - Êõêëéêüò áãùãüò 5.7 Ë, Ë, Ó, Ó. (á) Ç Ýíôáóç dB  åßíáé êÜèåôç óôï åðßðåäï ðïõ äçìéïõñãïýí ôï äéÜíõóìá dl  êáé ôï äéÜíõóìá  r A. Óõíåðþò óôçí ðåñßðôùóç ðïõ åîåôÜæïõìå åßíáé êÜèåôç óôç óåëßäá. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (â) Óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ç Ýíôáóç dB  óôï óçìåßï Á Ý÷åé öïñÜ áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ã) Ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò dB  éó÷ýåé: dB ì I dl r   ö   o A çì 4 2 ð Óõíåðþò åßíáé áíÜëïãç ìå ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ä) ¸÷ïõìå üôé çì çì30o ö   1 2 , ïðüôå: dB ì I dl r     o A o çì 4 30 2 ð Þ dB ì I dl r    o A 8 2 ð Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. 5.8 Ó, Ë, Ë, Ó. (á) Óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ôï óôïé÷åéþäåò ôìÞìá dl óôï óçìåßï Ä Ý÷åé öïñÜ áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (â) Óôá óçìåßá ðïõ éóáðÝ÷ïõí áðü ôï óôïé÷åéþäåò ôìÞìá dl ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò dB  õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç dB ì I dl r   ö   o çì 4 2 ð . Ãéá üëá áõôÜ ôá óçìåßá ôï r åßíáé ôï ßäéï, üìùò ç ãùíßá ö åßíáé äéáöïñåôéêÞ, ïðüôå ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò åßíáé äéáöïñåôéêü. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ã) Åßíáé: dB ì I dl r Ä ö o Ä   çì   4 2 1 ð êáé dB ì I dl r ö à o à   çì   4 2 1 ð ÅðåéäÞ r r à  2 Ä, ðñïêýðôåé üôé dB dB Ä Ã  4 . Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (ä) Ãéá ôá ìÝôñá Ý÷ïõìå: dB ì I dl r ö à o à   çì   4 2 1 ð êáé dB ì I dl r ö Z o Z   çì   4 2 2 ð Åßíáé r r à Z  êáé ö ö 1 2   180o , Üñá çì çì ö ö 1 2  . EðïìÝíùò dB dB à Z  (ìÝôñá). EðåéäÞ ôá äýï äéáíýóìáôá Ý÷ïõí áíôßèåôç êáôåýèõíóç (üðùò ðñïêýðôåé áðü ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý), Ý÷ïõìå üôé dB dB   Ã Æ   . Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. 674 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

5.9 Ë, Ó, Ó, Ë. (á) Ôï óôïé÷åéþäåò ôìÞìá dl  äå äçìéïõñãåß óôï ÷þñï ãýñù ôïõ ïìïãåíÝò ìáãíçôéêü ðåäßï, äéüôé ç Ýíôáóç dB  ðïõ äçìéïõñãåß óå êÜèå óçìåßï åîáñôÜôáé áðü ôç èÝóç ôïõ óçìåßïõ áõôïý. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (â) Ãéá ôï óçìåßï Æ Ý÷ïõìå: dB ì I dl r Æ o Æ ï   çì0   4 2 ð Þ dBÆ  0 ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) Óôá óçìåßá Á êáé Ã, ôá äéáíýóìáôá dB  Á êáé dB  à Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ (óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý). ÅðéðëÝïí, ãéá ôá ìÝôñá ôïõò Ý÷ïõìå: dB ì I dl r ö Á o 1   çì   4 2 ð êáé dB ì I dl r ö à o 2   çì   4 2 ð ÅðåéäÞ  r r 1 1  êáé  r r 2 2  , ìå   r r 1 2  , ðñïêýðôåé üôé dB dB Á à  . ¢ñá ôá äéáíýóìáôá dB  Á êáé dB  à åßíáé áíôßèåôá. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ä) Ôá äéáíýóìáôá dB  Á êáé dB  Ä Ý÷ïõí ôçí ßäéá öïñÜ (óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý). ÅðéðëÝïí, ãéá ôá ìÝôñá ôïõò Ý÷ïõìå: dB ì I dl r ö Á o 1   çì   4 2 ð êáé dB ì I dl r Ä ö o 3   çì2   4 2 ð Åßíáé r r 1 2 3 2  , áëëÜ çì çì2 ö ö  , ïðüôå dB dB Á  Ä. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.10 (ä). ÂëÝðå ó÷ïëéêü âéâëßï. 5.11 Ó, Ë, Ó, Ó. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï õðïëïãéóìïý ôïõ ìÝôñïõ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß Ýíáò åõèýãñáììïò ñåõìáôïöüñïò áãùãüò ìåãÜëïõ ìÞêïõò B ì I r       o 4 2 ð , ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò  B óå Ýíá óçìåßï åßíáé áíÜëïãï ôçò ÝíôáóçòI ôïõ ñåýìáôïò êáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãï ôçò áðüóôáóçò r ôïõ óçìåßïõ áðü ôïí áãùãü. Óõíåðþò ïé ðñïôÜóåéò (á), (ã) êáé (ä) åßíáé óùóôÝò êáé ç ðñüôáóç (â) åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.12 (ä). Éó÷ýåé üôé B B Z  2 Ä Þ ì ì ï ï 4 2 3 2 4 2 2 1 ð ð   I d I d Þ I I 2 1  6 . ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.13 (ä). Åßíáé B B I d Z ï   1 1 4 ì 2 ð êáé B B I d È ï  2 2 4 ì 2 ð . ¸÷ïõìå üôé d d 1 4  êáé d dd d 2 1 3 4   . Äéáéñþíôáò ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: B B d d 1 2 2 1  Þ B B 1 2  3 Þ B B 2 1 1 3  ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.14 (á). Eßíáé B B I d È ï   ì 4 2 ð . ÄéðëáóéÜæïõìå ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò, ïðüôå óå Ýíá óçìåßï Ë åßíáé B I d Ë ï Ë   ì 4 4 ð , üðïõ dË åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ Ë áðü ôïí åõèýãñáììï áãùãü. Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç, éó÷ýåé B B Ë  , Üñá: ì ì ï Ë ï 4 4 4 2 ð ð  I d I d Þ d d Ë  2 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.15 (â). ÅðåéäÞ ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ðåäßïõ åßíáé êýêëïé ìå êÝíôñï ðÜíù óôïí áãùãü êáé áöïý ôá óçìåßá Æ êáé È áíÞêïõí óôçí ßäéá ìáãíçôéêÞ ãñáììÞ, óõìðåñáßíïõìå üôé ôá óçìåßá áõôÜ éóáðÝ÷ïõí áðü ôïí åõèýãñáììï áãùãü. Åðßóçò, åðåéäÞ   B B 1 2 , üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá, ôï ôñßãùíï ÆÏÈ åßíáé ïñèïãþíéï, åðïìÝíùò ( ) ÈZ   d d 2 2 Þ ( ) ÈZ  2d ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.16 (á). Ãéá ôï óçìåßï Ä éó÷ýåé: B B I d Ä ï   ì 4 2 4 ð Þ B I d   ìï 4 8 ð Óôï ìÝóï Ì ôçò áðüóôáóçò ôùí äýï áãùãþí éó÷ýåé:   B BB M  1 2 Þ B BB M  1 2 Þ ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 675

B I d I d Ì ï ï    ì ì 4 2 2 4 2 2 ð ð Þ B I d Ì ï   ì 4 8 ð Þ B B Ì  ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.17 (ä). ¼ôáí ôá ñåýìáôá åßíáé ïìüññïðá, éó÷ýåé üôé:   BÌ  0 Þ ì ì ï ï 4 2 2 4 2 2 1 2 ð ð   I d I d Þ I I 1 2  ¼ôáí ôá ñåýìáôá åßíáé áíôßññïðá, éó÷ýåé üôé: B BB M  1 2 Þ B I d I d Ì ï ï  ì ì 4 2 2 4 2 2 1 2 ð ð Þ B I d Ì ï   ì 4 8 1 ð Þ B I d   ìï 4 8 1 ð Ï áãùãüò (1) äçìéïõñãåß óôï ìÝóï Ì ôçò áðüóôáóçò ôùí äýï áãùãþí ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B1 ðïõ Ý÷åé ìÝôñï: B I d 1 1 4 2 2   ìï ð Þ B I d 1 1 4 4   ìï ð Þ B B 1 2  Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.18 (â). Áöïý ôá ñåýìáôá ôùí äýï áãùãþí åßíáé ïìüññïðá, ôá óçìåßá ìçäåíéóìïý ôçò Ýíôáóçò ôïõ óõíïëéêïý ìáãíçôéêïý ðåäßïõ âñßóêïíôáé ìåôáîý ôùí åõèýãñáììùí áãùãþí. Åßíáé: d d 1 4  êáé d dd d 2 1 3 4   Óôï óçìåßï Ä éó÷ýåé: B B 1 2  Þ ì ì ï ï 4 2 4 2 1 1 2 2 ð ð   I d I d Þ I d I d 1 2 4 3 4  Þ I I 2 1  3 ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.19 (ã). ÅðåéäÞ ôá ñåýìáôá ôùí áãùãþí åßíáé áíôßññïðá, ôï óçìåßï Ä âñßóêåôáé óôçí åõèåßá ðïõ åßíáé êÜèåôç óôïõò äýï áãùãïýò, áëëÜ åêôüò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ðïõ åíþíåé ôïõò äýï áãùãïýò. ÌÜëéóôá, ôï óçìåßï Ä âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ óôïí áãùãü (2), äéüôé áõôüò äéáññÝåôáé áðü ôï ñåýìá ìéêñüôåñçò Ýíôáóçò. Ãéá ôï óçìåßï Ä Ý÷ïõìå: B B 1 2  Þ ì ì ï ï 4 2 4 2 1 1 2 2 ð ð   I d I d Þ 5 2 1 2 2 I d I d  Þ d d 1 2  5 ¼ìùò éó÷ýåé üôé: ddd  1 2 Þ d d d  1 1 5 Þ d d  4 5 1 Þ d d 1 5 4  ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.20 Ë, Ó, Ó, Ë. (á) Ôï äéÜíõóìá  B åßíáé êÜèåôï óôï åðßðåäï ôïõ êõêëéêïý áãùãïý. ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. (â) Áðü ôïí ôýðï õðïëïãéóìïý ôïõ ìÝôñïõ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï êÝíôñï ôïõ êõêëéêïý áãùãïý, B I a   ìï 4 2 ð ð , ðñïêýðôåé üôé áí õðïäéðëáóéÜóïõìå ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò, õðïäéðëáóéÜæåôáé êáé ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ êáé ãßíåôáé ßóï ìå B B 1 2  . ÅðéðëÝïí, äåí áëëÜæåé ç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò, Üñá   B B 1 2  . Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) ÁíôéóôñÝöïíôáò ôç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò, áíôéóôñÝöåôáé êáé ôï äéÜíõóìá ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ êáé áöïý äéðëáóéÜóáìå ôçí Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò, äéðëáóéÜæåôáé êáé ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ, Üñá   B B 2   2 . Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ä) Ãéá ôïí êõêëéêü áãùãü áêôßíáò a éó÷ýåé üôé B I a   ìï 4 2 ð ð . Áí åß÷áìå Ýíáí êõêëéêü áãùãü áêôßíáò 2a, ï ïðïßïò äéáññåüôáí áðü ñåýìá Ýíôáóçò É, ôüôå ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï êÝíôñï ôïõ èá åß÷å ìÝôñï: B   I a ìï 4 2 ð 2 ð Þ B  B 2 ¢ñá ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. 5.21 (á). Áñ÷éêÜ åßíáé I R r å 1 1   Þ I R å 1 2  êáé éó÷ýåé üôé B I a   ìï 4 2 1 ð ð . Áí óõíäÝóïõìå ôïí êõêëéêü áãùãü óôá Üêñá ôçò çëåêôñéêÞò ðçãÞò (2), ôüôå èá åßíáé: I R r å 2 2 2   Þ I R å 2 2 4  Þ I R å 2 2  Þ I I 2 1  676 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

EðïìÝíùò B I a I a 2 2 1 4 2 4 2   ì ì ï ï ð ð ð ð Þ B B 2  . ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.22 (ä). Èåùñïýìå Ýíá óôïé÷åéþäåò ôìÞìá dl ôïõ êïììáôéïý ÁÃ, ôï ïðïßï äçìéïõñãåß óôï êÝíôñï Ê ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò dB  . Ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò áõôÞò Ý÷ïõìå: dB ì I dl a     o o çì90 4 2 ð Þ dB ì I dl a    o 4 2 ð Ãéá íá âñïýìå ôçí Ýíôáóç  BAà ðïõ äçìéïõñãåß ôï ôìÞìá Áà óôï êÝíôñï Ê, áèñïßæïõìå ôá äéáíýóìáôá dB  ãéá üëá ôá óôïé÷åéþäç ôìÞìáôá dl ôïõ ôìÞìáôïò ÁÃ. Ôá äéáíýóìáôá áõôÜ Ý÷ïõí üëá ôçí ßäéá öïñÜ (áðü ôç óåëßäá ðñïò ôïí áíáãíþóôç). ¸ôóé, ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò  BAà Ý÷ïõìå: B dB ì I a dl Aà o     4 2 ð ¼ìùò åßíáé dl l  Aà (ìÞêïò ôüîïõ ÁÃ). Éó÷ýåé: l aè Aà  Ä Þ l a Aà  ð 4 Óõíåðþò B ì I a a Aà o   4 4 2 ð ð Þ B ì I a Aà o  16 . ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.23 (ä). Åßíáé B I a 1 1 4 2   ìï ð ð , ìå I r R å 1   Þ I R å 1 2  , êáé B I a 2 2 4 2 4   ìï ð ð , ìå I r R å 2 3   Þ I R å I 2 1 4 2   . ÅðïìÝíùò B I a 2 1 4 2 8   ìï ð ð Þ B B 2 1 8  Þ B B 1 2  8 . ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.24 (ä). ÅðåéäÞ ïé äýï êõêëéêïß áãùãïß åßíáé ïìüêåíôñïé êáé äéáññÝïíôáé áðü ïìüññïðá ñåýìáôá, ç öïñÜ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ï êáèÝíáò óôï êïéíü êÝíôñï Ê åßíáé ç ßäéá. Ãéá ôïí áãùãü (1) Ý÷ïõìå üôé B I a 1 4 2   ìï ð ð , åíþ ãéá ôïí áãùãü (2) Ý÷ïõìå: B I a 2 4 2 2 3   ì  ï ð ð Þ B B 2 1 2 3  Eßíáé B BB K  1 2 Þ BB B K  1 1 2 3 Þ B B K  5 3 1 Þ B B 1  0 6, K Þ B B 1  0 6, . ¢ñá óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.25 (â). Åßíáé BK  0 Þ B B 1 2   0 Þ ì ì ï ï 4 2 4 2 1 1 2 2 ð ð ð ð   I a I a Þ I a I a 1 1 2 2  Þ 3 2 1 2 2 I a I a  Þ a a 1 2  3 . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.26 (á). Åßíáé B I a 1 1 4 2   ìï ð ð êáé B I a ðë N ï   ì 4 2 2 ð ð Þ B I a ðë ï   ì 4 2 2 4 1 ð ð Þ B I a ðë ï   2 4 2 1 ì ð ð Þ B B ðë  2 1 . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.27 (â). Ïé êõêëéêïß áãùãïß (1) êáé (2) äéáññÝïíôáé áðü ñåýìáôá åíôÜóåùí: I r R å 1 3   Þ I R å 1 4  êáé I r R å 2   Þ I R å 2 2  áíôßóôïé÷á, ïðüôå åßíáé I I 2 1  2 . Ôá ìÝôñá ôùí åíôÜóåùí ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí ðïõ äçìéïõñãïýí óôï êïéíü ôïõò êÝíôñï K åßíáé B I a 1 B 1 4 2   ìï ð ð êáé B I a 2 2 4 2 4   ìï ð ð Þ B I a 2 1 4 2 2 4   ìï ð ð( ) áíôßóôïé÷á. ¢ñá B B B 2 1 2 2   . Aöïý ôá ñåýìáôá ôùí êõêëéêþí áãùãþí åßíáé ïìüññïðá, ïé äýï åíôÜóåéò Ý÷ïõí ôçí ßäéá êáôåýèõíóç, Üñá   B BB K  1 2 Þ B BB K  1 2 Þ B B K  1 5, . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.28 (ä). Ï êõêëéêüò áãùãüò äçìéïõñãåß óôï êÝíôñï ôïõ Æ ìáãíçôéêü ðåäßï ìå Ýíôáóç ìÝôñïõ B I a êõêë ï   ì 4 2 1 ð ð êáé öïñÜò áðü ôç óåëßäá ðñïò ôïí áíáãíþóôç, åíþ ï åõèýãñáììïò áãùãüò äçìéïõñãåß Üëëï ìáãíçôéêü ðåäßï ìå Ýíôáóç ìÝôñïõ B I a åõè ï   ì 4 2 2 ð . Áöïý óôï óçìåßï Æ ç óõíïëéêÞ Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ éóïýôáé ìå ìçäÝí, ç öïñÜ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß óôï Æ ï åõèýãñáììïò áãùãüò åßíáé áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá. Ãéá íá óõìâáßíåé áõôü, ðñÝðåé, óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí åõèýãñáììï áãùãü íá åßíáé áðü ôï Ë ðñïò ôï Ê. ÅðéðëÝïí, ãéá ôá ìÝôñá ôùí äýï åíôÜóåùí éó÷ýåé: ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 677

ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôï ðçíßï åëáôôþíåôáé, ç ðïëéêüôçôá ôçò ÇÅÄ áðü áõôåðáãùãÞ, óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ Lenz, åßíáé ôÝôïéá, þóôå ç Eáõô íá áíôéóôÝêåôáé óôç ìåßùóç ôïõ ñåýìáôïò. Áõôü óçìáßíåé üôé óôï Üêñï à âñßóêåôáé ôï (+), þóôå áí ç ÇÅÄ áðü áõôåðáãùãÞ Ýäéíå ñåýìá, ôï ñåýìá áõôü íá Ý÷åé ôçí ßäéá öïñÜ ìå áõôü ðïõ Þäç õðÜñ÷åé. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (â) Áðü ôï 2ï êáíüíá ôïõ Kirchhoff ãéá ôï êýêëùìá ìåôÜ ôç ìåôáêßíçóç ôïõ ìåôáãùãïý óôç èÝóç (2) Ý- ÷ïõìå: E iR áõô ïë   0 Þ E iR áõô ïë  EðåéäÞ ç Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò ìåéþíåôáé, ìåéþíåôáé êáé ôï ìÝôñï ôçò ÇÅÄ áðü áõôåðáãùãÞ. ÅðïìÝíùò ç ðñüôáóç åßíáé óùóôÞ. (ã) BëÝðå ó÷ïëéêü âéâëßï. (ä) Óôï áñ÷éêü êýêëùìá, ðñéí ìåôáêéíÞóïõìå ôï ìåôáãùãü óôç èÝóç (2), åßíáé: I R å  ïë , áëëÜ I R å  3 , ïðüôå R R ïë  3 ¼ìùò åßíáé R R 1  êáé r R  . ÅðïìÝíùò ôï ðçíßï ðñÝðåé íá Ý÷åé ùìéêÞ áíôßóôáóç êáé ìÜëéóôá åßíáé R R ð  . Ìå Üëëá ëüãéá, ôï ðçíßï äåí åßíáé éäáíéêü. ÌåôÜ ôçí t  0 üëç ç åíÝñãåéá ðïõ Þôáí áñ÷éêÜ áðïèçêåõìÝíç óôï ðçíßï èá ìåôáôñáðåß óôáäéáêÜ óå èåñìüôçôá, ëüãù öáéíïìÝíïõ Joule, êáé óôïí áíôéóôÜôç R1 áëëÜ êáé óôïí áíôéóôÜôç Rð ôïõ ðçíßïõ. Óõíåðþò ç ðñüôáóç åßíáé ëáíèáóìÝíç. ÈÝìá 2ï Íüìïò Biot Savart - Nüìïò Ampere - Máãíçôéêü ðåäßï ñåõìáôïöüñùí áãùãþí 5.122 Ôá óçìåßá Á êáé à âñßóêïíôáé åêáôÝñùèåí ôïõ óôïé÷åéþäïõò ôìÞìáôïò dl ôïõ áãùãïý. Óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ôï dB  A Ý÷åé öïñÜ áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá, åíþ ôï dB  à Ý÷åé öïñÜ áðü ôç óåëßäá ðñïò ôïí áíáãíþóôç. Áðü ôï íüìï ôùí Biot - Savart, ãéá ôá ìÝôñá ôùí äéáíõóìÜôùí dB  A êáé dB  à Ý÷ïõìå: dB ì I dl r ö A ï A 2   çì  4ð êáé dB ì I dl r è à ï à 2   çì  4ð ÅðåéäÞ ïé ãùíßåò ö êáé è åßíáé ðáñáðëçñùìáôéêÝò, éó÷ýåé üôé çì çì ö è  . Äéáéñþíôáò êáôÜ ìÝëç ôéò ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò ðáßñíïõìå: dB dB r r A à à 2 A 2  ¼ìùò åßíáé r r A à  2 , Üñá dB dB A à  1 4 Þ 4dB dB A à  . ÅðïìÝíùò ôá äéáíýóìáôá dB  A êáé dB  à éêáíïðïéïýí ôç ó÷Ýóç dB dB   à A   4 . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ä). 5.123 Áðü ôï íüìï ôùí Biot - Savart, Ý÷ïõìå: dB ì I dl r 1 2 4    ï o çì90 ð Þ dB ì I dl r 1 2 4    ï ð (1) êáé dB ì I dl d 2 2 4    ï o çì30 ð ¼ìùò çì30o  r d Þ 1 2  r d Þ d r  2 , Üñá: dB ì I dl r 2 2 4 4 1 2     ï ð Þ dB ì I dl r 2 2 4 8    ï ð (2) Äéáéñþíôáò êáôÜ ìÝëç ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) ðñïêýðôåé dB dB 1 2  8. Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.124 Áðü ôï íüìï ôùí Biot - Savart, ãéá ôï óçìåßï à Ý÷ïõìå: dB ì I dl r ö à ï à 2 ï   çì(90   4ð ) ¼ìùò åßíáé çì(90 óõí ï   ö ö ) êáé óõí à ö r r  Þ r r ö à óõí  , Üñá dB ì I dl r ö à ï 3   óõí  4 2 ð (1). ¼ìïéá, ãéá ôï óçìåßï Ä Ý÷ïõìå: dB ì I dl r Ä ö ï Ä 2 ï   çì(180   4ð ) ¼ìùò åßíáé çì(180 çì ï   ö ö ) êáé çì Ä ö r r  Þ r r ö Ä çì  , Üñá dB ì I dl r Ä ö ï 3   çì  4 2 ð (2). Äéáéñþíôáò êáôÜ ìÝëç ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) ðáßñíïõìå: dB dB ö ö Ä Ã 3 3 çì óõí  Þ dB dB Ä Ã 0,8 0,8 0,8      060606 ,,, Þ dB dB Ä Ã 888      666 Þ dB dB Ä Ã  216 512 Þ dB dB Ä Ã  27 64 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 695

5.125 Ôï åðßðåäï óôï ïðïßï åßíáé êÜèåôïò ï áãùãüò åßíáé ôï åðßðåäï ôçò óåëßäáò. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá öáßíïíôáé ï áãùãüò, ç åõèåßá (å), ôá óçìåßá Ê êáé Ë, êáèþò êáé ïé åíôÜóåéò  B1 êáé  B2. Åßíáé öáíåñü üôé ïé äýï åíôÜóåéò Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ. Ãéá ôá ìÝôñá ôïõò éó÷ýåé: B I d 1 1 4 2   ìï ð êáé B I d 2 2 4 2   ìï ð Åßíáé d dd d 2 11 1   1 25 0 25 , , , Üñá: B I d 2 1 4 2 0 25   ìï ð , Þ B I d 2 1 4 4 2   ìï ð Þ B B 2 1  4 Ãéá ôá äéáíýóìáôá  B1 êáé  B2 éó÷ýåé üôé   B B 2 1   4 . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.126 Ôï åðßðåäï óôï ïðïßï åßíáé êÜèåôïò ï áãùãüò êáé óôï ïðïßï áíÞêïõí ôá óçìåßá Æ, È êáé Ë åßíáé ôï åðßðåäï ôçò óåëßäáò. Áöïý ãéá ôá óçìåßá Æ êáé È Ý÷ïõìå   B B 1 2   , ôá óçìåßá áõôÜ áíÞêïõí óôçí ßäéá ìáãíçôéêÞ ãñáììÞ êáé åßíáé áíôéäéáìåôñéêÜ. Ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Ë Ý÷åé ôï ßäéï ìÝôñï ìå ôçí Ýíôáóç  B1 , Üñá ôï óçìåßï Ë âñßóêåôáé óôçí ßäéá ìáãíçôéêÞ ãñáììÞ ìå ôá Üëëá äýï óçìåßá. ¼ìùò ç Ýíôáóç  B3 Ý÷åé äéåýèõíóç êÜèåôç ìå ôç äéåýèõíóç êáèåìßáò áðü ôéò åíôÜóåéò  B1 êáé  B2. ÅðïìÝíùò ôá ôñßá óçìåßá êáôáíÝìïíôáé óôï ÷þñï üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Áöïý ç áðüóôáóç ôùí óçìåßùí Æ êáé È éóïýôáé ìå d, ç áêôßíá ôçò êõêëéêÞò ìáãíçôéêÞò ãñáììÞò éóïýôáé ìå d 2 . Ãéá ôçí áðüóôáóç (ÆË) Ý÷ïõìå: ( ) ZË           d d 2 2 2 2 Þ ( ) ZË  d 2 2 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.127 Ôá óçìåßá Æ êáé È áíÞêïõí óå äéáöïñåôéêÝò ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò, áöïý óôá óçìåßá áõôÜ ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ åßíáé äéáöïñåôéêü. Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç, Ý÷ïõìå: BB B ÈÆ Æ   20 100 Þ ì ì ï È ï Æ 4 2 0 8 4 2 ð , ð   I r I r Þ r r Æ È  0 8, , äçëáäÞ r r È Z  Ôá óçìåßá Æ êáé È áíÞêïõí óôçí ßäéá åõèåßá ðïõ åßíáé êÜèåôç óôïí áãùãü, åíþ ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÆÈ äåí ôÝìíåé ôïí áãùãü. ¢ñá ôá óçìåßá Æ êáé È êáèþò êáé ï áãùãüò âñßóêïíôáé óôï ÷þñï üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Åßíáé rrd È Æ   êáé r r Æ È  0 8, , åðïìÝíùò: r rd È È   0 8, Þ 0 2, r d È  Þ r d È  5 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.128 Ãéá ôï óçìåßï Ì ôïõ ðåäßïõ Ý÷ïõìå: B I d 1 1 4 2 2   ìï ð Þ B I d 1 B 1   ìï ð êáé B I d 2 2 4 2 2   ìï ð Þ B I d 2 2  ìï ð Þ B I d 2 1 3  ìï ð Þ B B 2 3  Ïé åíôÜóåéò  B1 êáé  B2 Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ, üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá. ÅðïìÝíùò ãéá ôçí Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí êáé ïé äýï áãùãïß ìáæß óôï óçìåßï Ì Ý÷ïõìå:   B BB M  1 2 Þ B BB M  1 2 Þ B B M  2 3 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (á). 5.129 Ãéá ôï óçìåßï È ôïõ ðåäßïõ Ý÷ïõìå: B I d 1 1 4 2 4 ( ) ð È ï   ì Þ B I d 1 1 2 ( ) ð È ï  ì êáé 696 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

B I d 2 2 4 2 5 4 ( ) ð È ï   ì Þ B I d 2 2 2 5 ( ) ð È ï  ì ¢ñá BB B ÈÈ È   1 2 () () Þ B d I I È ï       2 5 1 2 ì ð . Må üìïéï ôñüðï, ãéá ôï óçìåßï Æ ôïõ ðåäßïõ Ý÷ïõìå: B I d 1 1 4 2 4 ( ) ð Æ ï   ì Þ B I d 1 1 2 ( ) ð Z ï  ì êáé B I d 2 2 4 2 3 4 ( ) ð Z ï   ì Þ B I d 2 2 3 ( ) ð Z ï 2  ì ¢ñá BB B ZZ Z   1 2 () () Þ B d I I Z ï       2 3 1 2 ì ð . Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç, Ý÷ïõìå: B B Z È  5 Þ 2 3 2 5 5 1 2 1 2 ì ì ï ï ð ð d I I d I I            Þ I I I I 1 2 1 2 3  5 Þ I I I 2 2 1 3   4 Þ 4 3 4 2 1 I  I Þ I I 2 1  3 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.130 Ãéá ôï óçìåßï Ä ôïõ ðåäßïõ Ý÷ïõìå: B I d 1 1 4 2 2 3 ( ) ð Ä ï   ì Þ B I d 1 B 1 3 4 ( ) ð Ä ï   ì êáé B I d 2 2 4 2 3 ( ) ð Ä ï   ì Þ B I d 2 2 6 4 ( ) ð Ä ï  ì Éó÷ýåé üôé:   BÄ  0 Þ B B 1 2 () () Ä Ä  Þ 3 4 6 4 1 2 ì ì ï ï I d I ð ðd  Þ I I 1 2  2 Ãéá ôï óçìåßï Æ ôïõ ðåäßïõ Ý÷ïõìå: B I d d 1 1 4 2 3 ( ) ð Æ ï    ì Þ B I d B 1 1 3 8 2 ( ) ð Z ï   ì êáé B I d 2 2 4 2 3 ( ) ð Z ï   ì Þ B I d 2 2 6 4 ( ) ð Z ï  ì Þ B I d 2 B 1 3 4 ( ) ð Z ï   ì Ió÷ýåé üôé:   BB B ZÆ Æ   1 2 () () Þ B B Z  3 2 Þ B B Z  1 5, Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.131 Ãéá ôï ìÝóï Ì Ý÷ïõìå: B I d 1 1 4 2 2 ( ) ð Ì ï   ì Þ B I d 1 B 1 ( ) ð Ì ï   ì êáé B I d 2 2 4 2 2 ( ) ð Ì ï   ì Þ B I d 2 2 ( ) ð Ì ï  ì Ç Ýíôáóç  BÌ ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí êáé ïé äýï áãùãïß ìáæß óôï ìÝóï Ì Ý÷åé ìÝôñï: BB B ÌÌ Ì   1 2 () () Þ B d Ì II B ï   ì ð ( ), 1 2 1 6 ¼ìùò B I d 1 B 1 ( ) ð Ì ï   ì Þ ìï ðd B I  1 , Üñá: B I II B 1 1 2 ( ),   1 6 Þ II I 12 1   1 6, Þ I I 2 1  0 6, (äçëáäÞ I I 1 2  ). Ôï óçìåßï Ä ìçäåíéóìïý ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ áðÝ÷åé áðü ôïí áãùãü (1) áðüóôáóç r 1 êáé áðü ôïí áãùãü (2) áðüóôáóç r 2. Ãéá ôï óçìåßï áõôü Ý÷ïõìå: B B 1 2 () () Ä Ä  Þ ì ì ï ï 4 2 4 2 1 1 2 2 ð ð   I r I r Þ I r I r 1 1 2 2  Aöïý I I 1 2  , åßíáé êáé r r 1 2  . ÅðéðëÝïí, ôï óçìåßï Ä äåí ìðïñåß íá âñßóêåôáé óôçí ðåñéï÷Þ ìåôáîý ôùí äýï áãùãþí, áöïý óôçí ðåñéï÷Þ áõôÞ, óôï åðßðåäï ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 697

ôùí áãùãþí, ïé äýï åíôÜóåéò ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí åßíáé ïìüññïðåò êáé äåí ìðïñïýí íá Ý÷ïõí óõíéóôáìÝíç ßóç ìå ìçäÝí, Üñá éó÷ýåé rr d 1 2   (1). Eðßóçò I r I r 1 1 2 2  Þ I r I r 1 1 1 2 0 6  , Þ r r 2 1  0 6, (2). Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (1) êáé (2) Ý÷ïõìå: r rd 1 1   0 6, Þ 0 4 1 , r d  Þ r d 1  2 5, Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.132 Ãéá ôï óçìåßï Ä, üðïõ ìçäåíßæåôáé ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ, Ý÷ïõìå: B I d 1 1 1 4 2 ( ) ð Ä ï   ì Þ B I d 1 1 4 2 4 7 ( ) ð Ä ï   ì Þ B I d 1 1 7 8 ( ) ð Ä ï  ì êáé B I d d 2 2 1 4 2 ( ) ð Ä ï    ì Þ B I d 2 2 4 2 3 7 ( ) ð Ä ï   ì Þ B I d 2 2 14 12 ( ) ð Ä ï  ì Éó÷ýåé üôé   BÄ  0 Þ B B 1 2 () () Ä Ä  Þ 7 8 14 12 1 2 ì ì ï ï I d I ð ðd  Þ I I 1 2 4 3  Ãéá ôï óçìåßï Ê åßíáé rrd 1 2   , óõíåðþò äåí áíÞêåé óôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ óõíäÝåé ôïõò äýï áãùãïýò, ðÜíù óôï ïðïßï âñßóêåôáé ôï óçìåßï Ä. Ðáñáôçñïýìå üôé rr d d d 1 2 2 2 2 22    (, ) (, ) 08 06 . ÅðïìÝíùò ïé áðïóôÜóåéò r 1 êáé r 2 åßíáé êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò êáé ïé åíôÜóåéò  B1( ) K êáé  B2( ) K åßíáé êáé áõôÝò êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò êáé öáßíïíôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. ¸÷ïõìå: B I r 1 1 1 4 2 ( ) ð Ê ï   ì Þ B I d 1 B 1 1 6 ( ) , ð Ê ï   ì Þ ìï I d B 1 1 6 ð  , (1) Eðßóçò Ý÷ïõìå: B I r 2 2 2 4 2 ( ) ð Ê ï   ì Þ B I d 2 2 1 2 ( ) , ð Ê ï  ì (2) ¼ìùò åßíáé I I 1 2 4 3  Þ I I 2 1 3 4  , Üñá ç ó÷Ýóç (2) ãßíåôáé B I d 2 1 1 6 ( ) , ð Ê ï  ì . Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóçò (1) ðñïêýðôåé üôé B B 2( ) Ê  . ÅðåéäÞ   B B 1 2 () () Ê Ê , Ý÷ïõìå: BBB Ê ÊÊ   1 2 2 2 () () Þ B B Ê  2 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (â). 5.133 Áñ÷éêÜ Ý÷ïõìå üôé B I a   ìï 4 2 ð ð (1). Óôç óõíÝ÷åéá áðïóõíäÝïõìå ôïí êõêëéêü áãùãü êáé ìå ôï ßäéï óýñìá öôéÜ÷íïõìå Ýíá êõêëéêü ðëáßóéï ìå Í = 3 óðåßñåò êáé áêôßíá að. ¸÷ïõìå: l a aN   2 2 ð ð ð Þ a a ð  3 Óôï êÝíôñï ôïõ êõêëéêïý ðëáéóßïõ äçìéïõñãåßôáé ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  Bð, ôçò ïðïßáò ôï ìÝôñï õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç B I a ð Nð ð ð ð   ìï 4 2 . H Ýíôáóç I ð ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôï ðëáßóéï åßíáé ç ßäéá ìå ôçí Ýíôáóç I ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí êõêëéêü áãùãü, äéüôé ÷ñçóéìïðïéÞóáìå üëï ôï óýñìá ôïõ óõíäÝïíôÜò ôï óôçí ßäéá çëåêôñéêÞ ðçãÞ. ¸÷ïõìå: B I a ð ð ð ð   ìï 4 2 3 3 Þ B I a ð ð ð   9 4 ìï 2 Må ôç âïÞèåéá ôçò ó÷Ýóçò (1) ðñïêýðôåé B B ð  9 . Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ã). 5.134 Áñ÷éêÜ ï êõêëéêüò áãùãüò Ý÷åé áêôßíá a êáé óôï êÝíôñï ôïõ äçìéïõñãåßôáé ìáãíçôéêü ðåäßï ðïõ Ý÷åé Ýíôáóç ìÝôñïõ B I a   ìï 4 2 ð ð . Óôç óõíÝ÷åéá Ý÷ïõìå äýï óýñìáôá (1) êáé (2) ìå ìÞêç l 1 êáé l 2 áíôßóôïé÷á, ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé ll l 1 2   . ¼- ìùò åßíáé l l 1 2  2 , åðïìÝíùò åßíáé: l l  3 2 Þ l l 2 3  êáé l l 1 2 3  Ï êõêëéêüò áãùãüò ðïõ êáôáóêåõÜæïõìå ìå ôï óýñìá ìÞêïõò l 1 Ý÷åé áêôßíá a1 , ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé: l a 1 1  2ð Þ a l 1 3  ð Þ a a 1 2 3  Áíôßóôïé÷á, ï êõêëéêüò áãùãüò ðïõ êáôáóêåõÜæïõìå ìå ôï óýñìá ìÞêïõò l 2 Ý÷åé áêôßíá a2, ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé: l a 2 2  2ð Þ a l 2 6  ð Þ a a 2 3  ¼ôáí ïé äýï áãùãïß ôïðïèåôïýíôáé Ýôóé, þóôå íá åßíáé ïìïåðßðåäïé êáé íá Ý÷ïõí êïéíü êÝíôñï, êáèþò äé698 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

íåôáé. ¼ôáí Eáõô  0, ôüôå ç Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò áðïêôÜ ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò i I Bõl R max   3 . Óôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóÞò ôïõ, óôïí áãùãü ÊË áóêïýíôáé ç äýíáìç Laplace êáé ç äýíáìç  F ðïõ ðñÝðåé íá áóêïýìå Ýôóé, þóôå ï áãùãüò íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ õ. Åßíáé ÓF  0, Üñá: F F  L Þ F Bil  Eßíáé öáíåñü áðü ôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç üôé ç äýíáìç  F ìåãéóôïðïéåßôáé êáôÜ ìÝôñï üôáí êáé ç Ýíôáóç ôïõ ñåýìáôïò áðïêôÞóåé ôç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò, äçëáäÞ: F BIL max  Þ F B õl R max  2 2 3 Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (i). â) Áðü ôï 2ï êáíüíá ôïõ Kirchhoff Ý÷ïõìå üôé: E iR E åð áõô    3 0 Þ Bõl i R L di dt    3 0 Eßíáé di dt Bõl L  3 , Üñá Bõl i R LBõl L    1 3 3 0 Þ i Bõl R 1 2 9  . Éó÷ýåé ÓF  0 Þ F F  L Þ F Bi l  1 Þ F B õl R  2 9 2 2 . Åßíáé F B õl R max  2 2 3 , Üñá F F 1 2 3  max. Óõíåðþò óùóôÞ åßíáé ç ðñüôáóç (ii). ÈÝìá 3ï Ìáãíçôéêü ðåäßï ñåõìáôïöüñùí áãùãþí 5.242 á) Ïé ìáãíçôéêÝò ãñáììÝò ôïõ ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ï åõèýãñáììïò ñåõìáôïöüñïò áãùãüò (1) åßíáé üðùò öáßíïíôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. â) Ôï äéÜíõóìá ôçò Ýíôáóçò  BA ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Ãéá íá áðïäåßîïõìå ôïí ôýðï õðïëïãéóìïý ôïõ ìÝôñïõ ôçò Ýíôáóçò ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï íüìï ôïõ Ampere, åðéëÝãïõìå êëåéóôÞ äéáäñïìÞ S, ç ïðïßá ôáõôßæåôáé ìå ôç ìáãíçôéêÞ ãñáììÞ ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á. ÅðéëÝãïõìå öïñÜ äéáãñáöÞò ôçò äéáäñïìÞò S áíôßèåôç áðü ôç öïñÜ ðåñéóôñïöÞò ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý. Óå êÜèå óçìåßï ôçò äéáäñïìÞò S ôï óôïé÷åéþäåò ôìÞìá dl  Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôï äéÜíõóìá  B. ÅðéðëÝïí, ôï äéÜíõóìá  B Ý÷åé ôï ßäéï ìÝôñï óå üëá ôá óçìåßá ôçò äéáäñïìÞò áõôÞò. Áðü ôï íüìï ôïõ Ampere Ý÷ïõìå:   B dl ì I   o 1 Þ B dl B dl ì I     12 1 óõí0 óõí0 ï ï o ... Þ B dl dl ì I ( ...) 12 1  o Þ B r ìI   2 1 ð o Þ B ì I r  o 1 2ð Aíôéêáèéóôïýìå ôéò ôéìÝò ôùí ìåãåèþí ãéá ôï óçìåßï Á êáé Ý÷ïõìå: B B I d A ï 4ð   1 1 1 ì 2 Þ B1 7 2 10 2 8 8 10       Ô Þ B1 5   2 10 T ã) i) Aöïý ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí åõèýãñáììï áãùãü (2) åßíáé ç ßäéá ìå áõôÞ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (1) êáé ç óõíïëéêÞ Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï óçìåßï Á éóïýôáé ìå ìçäÝí, ôï óçìåßï Æ ðñÝðåé íá âñßóêåôáé äåîéÜ ôïõ óçìåßïõ Á (áí ôï óçìåßï Æ Þôáí áñéóôåñÜ ôïõ óçìåßïõ Á, ôüôå ï áãùãüò (2) èá äçìéïõñãïýóå óôï óçìåßï Á ìáãíçôéêü ðåäßï Ýíôáóçò  B2, ç ïðïßá èá åß÷å ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôçí Ýíôáóç  B1 , ïðüôå ç óõíïëéêÞ Ýíôáóç èá Þôáí äéÜöïñç ôïõ ìçäåíüò). Éó÷ýåé: B B 1 2  Þ ì ì ï ï 4ð 4ð    2 2 1 1 2 1 I d I d d Þ d d d I I  1 1 2 1 Þ d  12 cm ii) Åßíáé d dd 2 1   Þ d2  4 cm. Ôï óçìåßï Ä áðÝ- ÷åé áðü ôïí áãùãü (2) áðüóôáóç d2 êáé áðü ôïí áãùãü (1) áðüóôáóç d d   2 16 cm. ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 737

Óôï ðñïçãïýìåíï ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ä êáé  B2( ) Ä ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí ðïõ äçìéïõñãïýí óôï óçìåßï Ä ïé ñåõìáôïöüñïé áãùãïß (1) êáé (2) áíôßóôïé÷á. Ãéá ôá ìÝôñá ôùí äýï åíôÜóåùí Ý÷ïõìå: B I d d 1 1 2 2 ( ) Ä ï 4ð    ì Þ B1 7 2 10 2 8 16 10 ( ) Ä       Ô Þ B1 5 10 ( ) Ä   Ô êáé B I d 2 2 2 2 ( ) Ä ï 4ð   ì Þ B2 7 2 10 2 4 4 10 ( ) Ä       Ô Þ B2 5 2 10 ( ) Ä    Ô. ÅðïìÝíùò åßíáé:   BB B Ä Ä Ä   1 2 () () Þ BB B Ä Ä Ä   1 2 () () Þ BÄ    3 10 5 Ô 5.243 á) i) Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ì êáé  B2( ) Ì ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí ðïõ äçìéïõñãïýí ïé áãùãïß (1) êáé (2) áíôßóôïé÷á óôï óçìåßï Ì. Ãéá ôá ìÝôñá ôùí åíôÜóåùí áõôþí Ý÷ïõìå: B I d 1 1 2 2 ( ) Ì ï 4ð   ì Þ B I d 1 1 ( ) ð Ì ï  ì êáé B I d 2 2 4 2 2 ( ) ð Ì ï   ì Þ B I d 2 2 ( ) ð Ì ï  ì ÅðåéäÞ åßíáé I I 2 1  , ðñïêýðôåé üôé B B 2 1 () () Ì Ì  , Üñá   BB B ÌÌ Ì   1 2 () () Þ BB B Ì ÌÌ   2 1 () () Þ B d I I Ì ï   ì ð ( ) 2 1 Þ d I I B  ìï  Ì ( ) ð 2 1 Þ d        4 10 9 3 4 10 7 6 ð () ð m Þ d  0 6, m. ii) Ôï óçìåßï Ê âñßóêåôáé óôçí åõèåßá x x êáé ìåôáîý ôùí äýï áãùãþí, áöïý ìüíï óå áõôÞí ôçí ðåñéï÷Þ ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ê êáé  B2( ) Ê ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí ðïõ äçìéïõñãïýí ïé áãùãïß (1) êáé (2) áíôßóôïé÷á óôï óçìåßï Ê Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ. Éó÷ýåé:   BÊ  0 Þ B B 1 2 () () Ê Ê  (ìÝôñá) Þ ì ì ï ï 4ð 4ð   2 2 1 1 2 2 I d I d Þ d d 2 1  3 Eßíáé dd d 1 2   Þ 4 06 1 d  , m Þ d1  0 15 , m. â) i) Áí áíôéóôñÝøïõìå ôç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (2), ôüôå óôï ìÝóï Ì ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ì êáé  B2( ) Ì Ý÷ïõí ôçí ßäéá öïñÜ, ÷ùñßò üìùò íá Ý- ÷ïõí ìåôáâëçèåß ôá ìÝôñá ôïõò, ïðüôå éó÷ýåé:   BB B    ÌÌ Ì 1 2 () () Þ B   I d I d Ì ì ì ï ï 1 2 ð ð Þ B   d I I Ì ìï ð ( ) 1 2 Þ     BÌ 8 10 6 T ii) Óôï óçìåßï Ë Ý÷ïõìå:   BË  0 Þ B B 1 2 () () Ë Ë  Þ ì ì ï ï 4ð 4ð   2 2 1 1 2 2 I r I r Þ r r 2 1  3 (äçëáäÞ r r 2 1  ) ÅðïìÝíùò ôï óçìåßï Ë áðÝ÷åé ìåãáëýôåñç áðüóôáóç áðü ôïí áãùãü (2) óå ó÷Ýóç ìå ôçí áðüóôáóç áðü ôïí áãùãü (1). ÅðéðëÝïí, ïé äýï åíôÜóåéò  B1( ) Ë êáé  B2( ) Ë ðñÝðåé íá Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ. Óõíåðþò ôï óçìåßï Ë èá âñßóêåôáé áñéóôåñÜ ôïõ áãùãïý (1). Éó÷ýåé üôé rrd 2 1   êáé r r 2 1  3 , Üñá 2 1 r d  Þ r 1  0 3, m. Ç áðüóôáóç ôùí óçìåßùí Ë êáé Ê åßíáé: d rd ËÊ  1 1 Þ dËÊ  0 45 , m 5.244 á) Ãéá ôï óçìåßï Æ ïé åíôÜóåéò ôùí ìáãíçôéêþí ðåäßùí ðïõ äçìéïõñãïýí ïé äýï áãùãïß öáßíïíôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Ôá óçìåßá Æ êáé È áíÞêïõí óôçí ßäéá ìáãíçôéêÞ ãñáììÞ ôïõ ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ï áãùãüò (2), áöïý éóáðÝ÷ïõí áðü áõôüí. ¢ñá ãéá ôá ìÝôñá ôùí åíôÜóåùí åßíáé: B B 2 2 6 4 10 ( ) () È Æ    T EðïìÝíùò:   BB B ÆÆ Æ   1 2 () () Þ BB B ÆÆ Æ   1 2 () () Þ BÆ    6 10 6 Ô 738 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

â) Eßíáé d dd 2 1   Þ d2  20 cm. Åðßóçò: B I d 1 1 1 2 ( ) Æ ï 4ð   ì Þ I1  3 A ÅðïìÝíùò B I d d 1 1 2 2 ( ) È ï 4ð    ì Þ B1 6 6 7 10 ( ) È    Ô. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé åíôÜóåéò  B2( ) È êáé  B1( ) È . ¸÷ïõìå:   BB B ÈÈ È   1 2 () () Þ BB B È ÈÈ   2 1 () () Þ BÈ   22  7 10 6 Ô ã) Ôï óçìåßï Ä âñßóêåôáé åêôüò ôçò åõèåßáò x x , áöïý rrd 1 2   . ÅðåéäÞ éó÷ýåé rrd 1 2 2 2 2   , oé áðïóôÜóåéò r 1 êáé r 2 åßíáé êÜèåôåò ìåôáîý ôïõò. ¸÷ïõìå: B I r 1 1 1 2 ( ) Ä ï 4ð   ì Þ B1 6 2 10 ( ) Ä    Ô Eðßóçò B I d 2 2 2 2 ( ) È ï 4ð   ì Þ I 2  4 A, Üñá: B I r 2 2 2 2 ( ) Ä ï 4ð   ì Þ B2 6 2 10 ( ) Ä    Ô, ïðüôå B B 1 2 () () Ä Ä  Ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò  BÄ Ý÷ïõìå: BBB Ä Ä 2 Ä 2   1 2 () () Þ BÄ    2 2 10 6 Ô ä) ÁíÜìåóá áðü ôïõò äýï áãùãïýò ïé åíôÜóåéò  B1 êáé  B2 Ý÷ïõí ôçí ßäéá êáôåýèõíóç (ðñïò ôá êÜôù). ÅðåéäÞ óôá óçìåßá Ë êáé Ì ç óõíïëéêÞ Ýíôáóç Ý÷åé áíôßèåôç êáôåýèõíóç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç Ýíôáóç óôï óçìåßï Æ, ôá óçìåßá Ë êáé Ì âñßóêïíôáé áñéóôåñÜ áðü ôïí áãùãü (1) êáé äåîéÜ áðü ôïí áãùãü (2) (÷ùñßò íá Ý÷åé óçìáóßá ðïéï óçìåßï åßíáé áñéóôåñÜ Þ äåîéÜ). ¸óôù üôé ôï óçìåßï Ë âñßóêåôáé áñéóôåñÜ áðü ôïí áãùãü (1) êáé áðÝ÷åé áðü áõôüí áðüóôáóç d1( ) Ë . Ãéá ôï óçìåßï Ë Ý÷ïõìå:   BB B ËË Ë   1 2 () () Þ BB B ËË Ë   1 2 () () Þ B I d I d d Ë ï Ë ï Ë 4ð 4ð    ì ì 2 2 1 1 2 () () 1 Þ 10 10 2 3 10 6 7 2 4 1 7 1         d dd  () () Ë Ë Þ 1 06 08 1 1    , , () () d dd Ë Ë Þ 1 06 02 1 1 1    , , ( ) ( ) () () d d d dd Ë Ë Ë Þ d d 1 2 1 07 03 0 () () , , Ë Ë   Ç åðßëõóç áõôÞò ôçò äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò ìáò äßíåé áðïäåêôÞ ëýóç ôçí d1 0 3 ( ) , Ë  m. Áíôßóôïé÷á ãéá ôï óçìåßï Ì, Ýóôù üôé áðÝ÷åé áðü ôïí áãùãü (2) áðüóôáóç d2( ) Ì . ¸÷ïõìå:   BB B ÌÌ Ì   1 2 () () Þ BB B Ì ÌÌ   2 1 () () Þ B I d I d d Ì ï Ì ï Ì 4ð 4ð    ì ì 2 2 2 2 1 () () 2 Þ 10 10 2 4 10 6 7 2 3 2 7 2         d dd  () () Ì Ì Þ 1 08 06 2 2    , , () () d dd Ì Ì Þ d d 2 2 2 03 04 0 () () , , Ì Ì   Ç åðßëõóç áõôÞò ôçò äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò ìáò äßíåé áðïäåêôÞ ëýóç ôçí d2 0 5 ( ) , Ì  m. Óõíåðþò ç æçôïýìåíç áðüóôáóç åßíáé: d dd d ËÌ Ë Ì   1 2 () ( ) Þ dËÌ  1 3, m 5.245 á) Óôï óçìåßï Ë ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí ìáæß ïé áãùãïß (1) êáé (2) éóïýôáé ìå ìçäÝí. Áöïý ôï äéÜíõóìá  B2( ) Ë Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá ðÜíù, ôï äéÜíõóìá  B1( ) Ë ðñÝðåé íá Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá êÜôù. ÅðïìÝíùò ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (1) åßíáé áíôßèåôç áðü ôç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (2), äçëáäÞ ôï ñåýìá ðïõ äéÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ 739

áññÝåé ôïí áãùãü (1) Ý÷åé öïñÜ áðü ôç óåëßäá ðñïò ôïí áíáãíþóôç. Ç Ýíôáóç ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãïýí ìáæß ïé áãùãïß (2) êáé (3) óôï êÝíôñï Ê éóïýôáé ìå ìçäÝí. Ç Ýíôáóç  B2( ) Ê Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôçí êïñõöÞ Á, åðïìÝíùò ç Ýíôáóç  B3( ) Ê ðñÝðåé íá Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôçí êïñõöÞ Ä. Ãéá íá óõìâáßíåé áõôü, ìå âÜóç ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ðñÝðåé ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (3) íá åßíáé ßäéá ìå áõôÞ ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (2), äçëáäÞ ôï ñåýìá ðïõ äéáññÝåé ôïí áãùãü (3) Ý÷åé öïñÜ áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá. â) Ãéá ôï óçìåßï Ë Ý÷ïõìå:   B1,2(Ë)  0 Þ B B 1 2 () () Ë Ë  Þ ì ì ï ï 4ð 4ð   2 2 2 1 2 I a I a Þ I I 1 2 2  Þ I1  2 Á ã) i) Óôï êÝíôñï Ê äçìéïõñãïýíôáé ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ê ,  B2( ) Ê êáé  B3( ) Ê . Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç, éó÷ýåé: B B 2 3 () () Ê Ê  Þ ì ì ï ï 4ð ÃÊ 4ð ÆÊ   2 2 2 3 I I () () Þ I I 3 2   4 A ¸÷ïõìå üôé    BB B B ÊÊ Ê Ê   12 3 () () (), üìùò åßíáé  B B 2 3 0 () () Ê Ê   , Üñá   B B Ê Ê  1( ) Þ B I Ê ï 4ð ÁÊ   ì 2 1 ( ). Aðü ôï ôñßãùíï ÁÄà ðñïêýðôåé üôé ( ) ÁÄ  a 2, åðïìÝíùò ( ) ( ) ÁÊ ÁÄ 2  Þ ( ) ÁÊ  a 2 2 , óõíåðþò: BÊ     10 2 2 05 2 2 7 , Ô Þ BÊ    8 2 10 7 Ô ii) Óôçí êïñõöÞ Ä äçìéïõñãïýíôáé ïé åíôÜóåéò  B1( ) Ä ,  B2( ) Ä êáé  B3( ) Ä áðü ôïõò áãùãïýò (1), (2) êáé (3) áíôßóôïé÷á. Ãéá ôá ìÝôñá ôùí åíôÜóåùí áõôþí Ý÷ïõìå: B I 1 1 2 ( ) ( ) Ä ï 4ð ÁÄ   ì Þ B1 7 4 2 10 ( ) Ä    Ô, B I a 2 2 2 ( ) Ä ï 4ð   ì Þ B2 7 16 10 ( ) Ä    Ô êáé B I a 3 3 2 ( ) Ä ï 4ð   ì Þ B3 7 16 10 ( ) Ä    Ô Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé ôá äéáíýóìáôá  B1( ) Ä ,  B2( ) Ä êáé  B3( ) Ä . Áíáëýïõìå ôçí Ýíôáóç  B1( ) Ä óå äýï óõíéóôþóåò. Ç Ýíôáóç  B1( ) Ä åßíáé êÜèåôç óôç äéáãþíéï ÁÄ, åðïìÝíùò ó÷çìáôßæåé ìå ôçí ðëåõñÜ ÃÄ ãùíßá 45ï . ¸÷ïõìå: B B 1 1 ( )( ) ( ) Ä Ä x ï  óõí45 Þ B1 x 7 4 10 ( )( ) Ä    Ô êáé B B 1 1 ( )( ) ( ) Ä Ä y ï  çì45 Þ B1 y 7 4 10 ( )( ) Ä    Ô Ãéá ôïí Üîïíá x x Ý÷ïõìå: B BB Ä ÄÄ ( ) ( ) ( )( ) x x   2 1 Þ BÄ( ) x    12 10 7 Ô Ãéá ôïí Üîïíá y y Ý÷ïõìå: B BB Ä ÄÄ ( ) ( ) ( )( ) y y   3 1 Þ BÄ( ) y    12 10 7 Ô Ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò  BÄ Ý÷ïõìå: BBB Ä Ä Ä x y   () () 2 2 Þ BÄ    12 2 10 7 Ô 5.246 á) Áöïý ç öïñÜ ôçò Ýíôáóçò  B ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ ðïõ äçìéïõñãåß ôï êõêëéêü ðëáßóéï óôï êÝíôñï ôïõ åßíáé áðü ôïí áíáãíþóôç ðñïò ôç óåëßäá, ìå âÜóç ôïí êáíüíá ôïõ äåîéïý ÷åñéïý, ç öïñÜ ôïõ ñåýìáôïò ðïõ äéáññÝåé ôïí êõêëéêü áãùãü åßíáé ßäéá ìå ôç öïñÜ ðåñéóôñïöÞò ôùí äåéêôþí ôïõ ñïëïãéïý. Ãéá íá óõìâáßíåé áõôü, ðñÝðåé ï èåôéêüò ðüëïò ôçò çëåêôñéêÞò ðçãÞò íá åßíáé óõíäåäåìÝíïò óôï Üêñï Á, üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. Ãéá ôï ìÝôñï ôçò Ýíôáóçò  B Ý÷ïõìå B I a   N ìï 4ð 2ð . Åßíáé: I R r å   Þ I  2 4, A Ôï ìÞêïò ôïõ óýñìáôïò êÜèå óðåßñáò åßíáé l a óð  2ð , Üñá ãéá ôï óõíïëéêü ìÞêïò L ôïõ óýñìáôïò éó÷ýåé: 740 ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ