After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต

After Midday Architecture

การศึกษาพ้นื ท่ีเงาโดยใช้อนิ ทิเกรต

โครงงานคณติ ศาสตร์

เรื่อง After Midday Architecture การศึกษาพืน้ ทเ่ี งาโดยใช้อินทเิ กรต

โดย

1. นายสุรวทิ ย์ชยั ทัศนานุตรยิ กลุ
2. นางสาวณิลภทั ร กลิน่ จนั ทร์
3. นางสาวสัภยา ทองศรี

ครูทป่ี รกึ ษา

1. นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย
2. นายกฤษณะ แกง่ าม

โรงเรียนรตั นราษฎร์บำรุง สำนักงานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษาราชบรุ ี

รายงานฉบบั นเี้ ป็นสว่ นประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์
ประเภทบรู ณาการความรู้ในคณิตศาสตรไ์ ปประยุกต์ใช้ ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย

เนือ่ งในงานศลิ ปหตั ถกรรมนักเรียนคร้งั ที่ 70 ประจำปกี ารศึกษา 2565

After Midday Architecture ก

การศกึ ษาพ้นื ท่ีเงาโดยใช้อินทเิ กรต

บทคดั ยอ่
จากโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต
มีวัตถุประสงค์เพื่อออกแบบสถาปัตยกรรมที่สามารถทำให้เกิดเงาและใช้ประโยชน์จากพื้นที่เงาให้ได้มากที่สดุ
โดยได้ทำการออกแบบโรงจอดรถที่สามารถสร้างพื้นที่เงาให้บริเวณบ้านเมื่อแสงตกกระทบ ณ ช่วงเวลาหลัง
เที่ยงวัน ซึ่งใช้เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย เรื่องแคลคูลัสและตรีโกณมิติ ในการ
ออกแบบโมเดลทั้งแบบ 3D และแบบจำลอง อีกทั้งยังใช้อินทิเกรตเพื่อศึกษา คำนวณหาพื้นที่เงา ณ ช่วงเวลา
ต่าง ๆ ท่เี กิดขึน้ ใหม้ พี ้นื ท่ีใชส้ อยมากทีส่ ดุ
การดำเนินการเริ่มจากคิด วิเคราะห์ วางแผน และตัดสินใจเลือกเรื่องที่จะทำ จากนั้นทำการศึกษา
ข้อมูลการหาพื้นที่เงาและวิธีการสร้างโมเดลแบบจำลอง และดำเนินงานตามข้ันตอนทีว่ างแผนไว้ เมื่อเสร็จสิ้น
จงึ นำผลการศกึ ษาทไี่ ดม้ าสรปุ ผล จัดทำรูปเลม่ โครงงานคณิตศาสตร์
ผลการดำเนินงานโดยทำการทดสอบตามวัตถุประสงค์ โรงจอดรถสามารถสร้างพื้นทีเ่ งาให้กับตวั บ้าน
ได้ สามารถคำนวณหาพื้นที่เงาได้โดยใช้อนิ ทิเกรตและหาความสัมพนั ธ์ของพ้ืนที่เงาในแตช่ ว่ งเวลาได้จากกราฟ
และจากสมการ และสามารถสร้างโมเดลบ้านที่มีสัดส่วนสัมพันธ์กับโมเดลขนาดต้นแบบที่เป็นขนาดบ้านและ
โรงจอดรถจรงิ ซงึ่ เป็นไปตามเกณฑ์ทีไ่ ด้ตง้ั ไว้
อีกทั้งได้ทำการทดสอบโมเดลโรงจอดรถ มีพื้นที่ 28.62 ตารางเมตร มีความสูง 3.80 เมตร สามารถ
จอดรถได้ 2 คัน สามารถบังแสงอาทิตย์ได้ตั้งแต่ช่วงเวลาเที่ยงวันเป็นต้นไป สามารถสร้างพื้นที่เงา ณ บริเวณ
หน้าบา้ น และมกี ารออกแบบทเ่ี ขา้ กบั ตวั บา้ น ซง่ึ เปน็ ไปตามเกณฑ์การประเมิน

After Midday Architecture ข

การศึกษาพ้ืนทีเ่ งาโดยใชอ้ ินทิเกรต

กติ ตกิ รรมประกาศ
โครงงานคณติ ศาสตร์ประยกุ ต์ เรื่อง After Midday Architecture การศกึ ษาพน้ื ทเ่ี งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต
สามารถดำเนินกานจนสำเร็จลลุ ่วงไปได้ดว้ ยดี เน่อื งจากได้รับความอนเุ คราะห์และสนับสนุนเป็นอย่างดีย่ิงจาก
คุณครูชาญณรงค์ เพ็ชรไทย และคุณครูกฤษณะ แก่งาม ที่ได้ให้คำปรึกษา ข้อแนะนำ และปรับปรุงแก้ไข
ข้อบกพร่องต่าง ๆ คณะผจู้ ดั ทำขอกราบขอบพระคุณเป็นอย่างสงู
ขอขอบพระคุณผปู้ กครอง ขา้ ราชการครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นรัตนราษฎร์บำรุง ที่
ไดใ้ นความรแู้ ละกำลังใจในการดำเนินการมาโดยตลอด รวมไปถงึ บคุ คลผูซ้ ่ึงมีส่วนช่วยเหลือในโครงงานคร้ังน้ีที่
ไมไ่ ดก้ ล่าวถงึ ในท่นี ท้ี กุ ทา่ นดว้ ย
สุดท้ายนี้คณะผู้จัดทำหวังว่าโครงงานคณิตศาสตร์นี้จะสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้จริง แล ะเกิด
ประโยชน์สำหรบั ผู้ทีส่ นใจศกึ ษาต่อไป

คณะผู้จดั ทำ

After Midday Architecture ค

การศกึ ษาพนื้ ทีเ่ งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต หนา้
ก
สารบญั ข
เรอ่ื ง ค
บทคัดย่อ ง
กติ ตกิ รรมประกาศ ฉ
สารบัญ 1
สารบัญตาราง 1
สารบัญรูปภาพ 1
บทท่ี 1 บทนำ 1
2
1.1 ทีม่ าและความสำคัญ 2
1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน 3
1.3 ประโยชน์ทีไ่ ดร้ ับสำคญั 3
1.4 ขอบเขตของโครงงาน 4
1.5 นยิ ามศพั ท์เฉพาะ 5
บทท่ี 2 เอกสารและงานวิจัยทีเ่ ก่ียวข้อง 6
2.1 เน้อื หาเรอื่ งแคลคูลัส 7
2.2 เนือ้ หาเร่ืองตรโี กณมิติ 7
2.3 การโคจรของโลกรอบดวงอาทิตยแ์ ละการข้ึน-ตกของดวงอาทิตย์ 7
2.4 โปรแกรม SketchUp 7
บทท่ี 3 วธิ กี ารดำเนินงาน 17
3.1 เน้อื หาท่ใี ชใ้ นการศึกษา 17
3.2 ระยะเวลาท่ีใช้ในการศึกษา 17
3.3 วิธีการดำเนินการศึกษา 19
บทที่ 4 ผลการดำเนินงาน 19
4.1 ผลการทดสอบตามวตั ถปุ ระสงค์ 19
4.2 ผลการทดสอบโมเดล 20
บทท่ี 5 สรปุ อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ 20
5.1 สรุปผลการศกึ ษา 21
5.2 อภิปรายผล 22
5.3 ประโยชน์ของโครงงาน
5.4 ข้อเสนอแนะ
บรรณานกุ รม
ภาคผนวก

After Midday Architecture ง

การศกึ ษาพื้นทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทิเกรต 22
24
ภาคผนวก ก : สร้างบ้าน 3 มติ ิ 26
ภาคผนวก ข : โมเดลบา้ น 30
ภาคผนวก ค : พนื้ ที่เงา
ภาคผนวก ง : ขั้นตอนการดำเนนิ งาน

After Midday Architecture จ

การศกึ ษาพน้ื ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต หนา้
11
สารบัญตาราง 14
17
ตาราง แสดงของดวงอาทิตย์ทเ่ี ปลีย่ นไปในหน่ึงหน่วยเวลา 17
ตารางที่ 1 แสดงพ้นื ท่เี งาในแต่ละชว่ งเวลาของวันที่ 20 - 21 มีนาคม
ตารางท่ี 2 แสดงเกณฑ์การประเมินทตี่ ั้งไวแ้ ละผลการทดลอง (วัตถปุ ระสงค์)
ตารางที่ 3 แสดงเกณฑก์ ารประเมินทตี่ ัง้ ไว้และผลการทดลอง (โมเดล)
ตารางท่ี 4

After Midday Architecture ฉ

การศกึ ษาพ้ืนที่เงาโดยใช้อนิ ทเิ กรต หนา้
4
สารบัญรูปภาพ 5
6
ภาพ 8
ภาพท่ี 1 ตวั อยา่ งแสดงอัตราสว่ นตรโี กณมิติ 8
ภาพที่ 2 การโคจรของโลกรอบดวงอาทติ ย์ 9
ภาพที่ 3 โปรแกรม SketchUp 9
ภาพที่ 4 แสดงการสรา้ งกำแพง 9
ภาพที่ 5 แสดงการสรา้ งกำแพง 9
ภาพท่ี 6 แสดงการสรา้ งเสา 10
ภาพท่ี 7 แสดงการสร้างหลังคา 10
ภาพท่ี 8 แสดงการสรา้ งหลงั คา 10
ภาพท่ี 9 แสดงการลบกำแพงสำหรับประตู 10
ภาพท่ี 10 แสดงการสร้างประตู 10
ภาพท่ี 11 แสดงการวดั ผนัง 11
ภาพที่ 12 แสดงการลบรอยเส้น 11
ภาพท่ี 13 แสดงการลบกำแพงสำหรบั รวั้ 11
ภาพที่ 14 แสดงการสร้างลากเสน้ 12
ภาพท่ี 15 แสดงการรวมกลุ่ม 12
ภาพที่ 16 แสดงการลงสี 13
ภาพที่ 17 แสดงการโรงจอดรถ 13
ภาพท่ี 18 แสดงความสัมพนั ธท์ แ่ี สงทำกับวัตถุ ณ เส้นศนู ย์สูตรในแตล่ ะช่วงเวลา 13
ภาพท่ี 19 แสดงมมุ ที่แสงทำกบั ประเทศไทยในแต่ละเดอื น 14
ภาพที่ 20 แสดงการหาความสงู ของเงาท่ีเส้นศูนย์สตู ร 14
ภาพที่ 21 แสดงการหาความสูงของเงาที่เกิด 15
ภาพที่ 22 แสดงการคำนวณพ้ืนท่เี งา 15
ภาพที่ 23 แสดงการคำนวณเปล่ยี นเป็นองศา
ภาพท่ี 24 แสดงการนำข้อมูลองศาเปลย่ี นเป็นเรเดียน
ภาพที่ 25 แสดงการนำข้อมลู องศาเรเดียนกบั พืน้ ท่ีเงามาพลอ็ ตเป็นกราฟ
ภาพที่ 26 แสดงกราฟข้อมลู พืน้ ท่เี งาของแต่ละช่วงเวลาของเดือนมีนาคม

After Midday Architecture ช

การศึกษาพื้นที่เงาโดยใชอ้ ินทิเกรต 15
16
ภาพที่ 27 แสดงการวดั ขนาดและการตดั ไม้ 16
ภาพท่ี 28 แสดงการประกอบผนงั รว้ั ไม้ 16
ภาพท่ี 29 แสดงการทำประตูและการนำประตไู ปประกอบผนงั 16
ภาพที่ 30 แสดงการลงสี
ภาพท่ี 31 แสดงการประกอบโรงจอดรถ

After Midday Architecture 1

การศกึ ษาพนื้ ท่ีเงาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

บทที่ 1 บทนำ
1.1 ที่มาและความสำคญั

ปัจจุบันปัญหาความร้อนและอุณหภูมิที่สูงขึ้นในประเทศไทยยังคงเป็นปัญหาหลักที่ส่งผลกระทบใน
หลายด้าน เนื่องจากประเทศไทยตั้งอยู่เขตร้อนใกล้เส้นศูนย์สูตร ภูมิอากาศร้อนชื้น (พิพิธภัณฑ์ดิน, ม.ป.ป.)
พื้นที่ที่ได้รับแสงอาทิตย์ทั้งหมดคิดเป็นร้อยละ 65 ของพื้นที่ประเทศ (ศักยภาพพลังงานแสงอาทิตย์, ม.ป.ป.)
ภูมอิ ากาศ อุณหภูมทิ ีส่ ูงข้ึนและปริมาณแสงอาทิตย์ทมี่ าก ก่อใหเ้ กิดปัญหาตามมาทีหลงั เช่น ภัยแล้ง ภาวะโลก
ร้อน ปัญหาเหล่านี้นอกจากจะส่งผลต่อสภาพอากาศและสิ่งแวดล้อมแล้ว ยังส่งผลไปถึงการใช้ชีวิตประจำวัน
การเปน็ อยขู่ องมนุษยไ์ ดอ้ ยา่ งมาก

จากข้อมูลข้างต้น ปัญหาหลักของปริมาณแสงอาทิตย์ที่มากที่ส่งผลโดยตรงต่อการใช้ชีวิตประจำวันคือ
ไม่สามารถทำกิจกรรมกลางแจ้งได้ เนื่องจากปริมาณแสงอาทิตย์ที่มากเกินไปในช่วงกลางวันจนถึงช่วงเย็น
ก่อให้เกิดความไม่สะดวก ข้อจำกัด และไม่สามารถดำเนินกิจกรรมอย่างราบรื่นได้ การสร้างสิ่งปลูกสร้างท่ี
สามารถลดบริเวณที่แสงอาทิตย์ตกกระทบ ถือเป็นการแก้ปัญหาได้อย่างดี โดยใช้หลักการออกแบบ
สถาปัตยกรรม ซึ่งเป็นการผนวกเข้ากันของความคิด การสร้าง และการใช้สอย ซึ่งก่อให้เกิดสิ่งก่อสร้างเป็น
รูปธรรม ถือว่าเป็นขั้นตอนสำคัญ เพราะมีการวางโครงร่างเพื่อนำไปสร้างและใช้งานจริง ดังนั้นขั้นตอนการ
ออกแบบควรมุ่งเน้นจุดประสงค์และความสวยงามเป็นหลัก มีแบบแผน เพื่อให้ตอบโจทย์การใช้งานมากที่สุด
(พาศนา ตัณฑลักษณ์, 2526)

จากข้อมูลข้างต้นที่ได้กล่าวมา คณะผู้จัดทำจึงมีความสนใจที่จะออกแบบโรงจอดรถที่สามารถสร้าง
พน้ื ทเี่ งาให้บรเิ วณบา้ นเมอื่ แสงตกกระทบ ณ ชว่ งเวลาหลงั เที่ยงวนั ซึ่งทำให้เกดิ พนื้ ท่เี งาภายในบรเิ วณบ้านเพ่ือ
ใช้สอยทำกิจกรรม มีความสวยงาม ทันสมัย และเข้ากับตัวบ้าน โดยนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ระดับมัธยม
ปลาย เรื่อง แคลคูลัส และตรีโกณมิติ มาประยกุ ต์ใชช้ ว่ ยในการออกแบบโรงจอดรถ และคำนวณหาพืน้ ท่เี งา ณ
เวลาต่าง ๆ ซึ่งเป็นการพัฒนาความรู้ความสามารถในการสร้างสรรค์ผลงานสถาปัตยกรรม ที่บูรณาการเข้ากับ
วิชาคณิตศาสตร์ ถือเป็นการสร้างองค์ความรู้ มีความสร้างสรรค์และก่อให้เกิดประโยชน์ต่อมวลมนุษยชาติได้
อยา่ งมหาศาลในภายภาคหน้า
1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน

1.2.1 เพื่อออกแบบสถาปัตยกรรมทสี่ ามารถสรา้ งพื้นท่ีเงาและใชป้ ระโยชนไ์ ด้มากที่สดุ
1.2.2 เพอื่ ศึกษาพ้ืนทเ่ี งาโดยอนิ ทิเกรต
1.2.3 เพอ่ื หาความสัมพันธข์ องพ้ืนที่เงาในชว่ งเวลาต่างๆ
1.2.4 เพื่อสร้างโมเดล
1.3 ประโยชน์ทค่ี าดวา่ จะได้รบั
1.3.1 สามารถสรา้ งสถาปตั ยกรรมทีส่ ามารถสร้างพ้ืนท่เี งา
1.3.2 สามารถคำนวณหาพื้นท่ีเงาโดยอินทเิ กรต
1.3.3 เขา้ ใจความสมั พันธ์ของพ้ืนที่เงาในช่วงเวลาต่างๆ
1.3.4 ได้โมเดลสถาปตั ยกรรมท่ีสามารถแสดงผลการทดสอบ

After Midday Architecture 2

การศึกษาพน้ื ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

1.4 ขอบเขตการศึกษา
1.4.1 แคลคูลัส
1.4.2 ตรโี กณมิติ
1.4.3 การโคจรของดวงอาทิตย์
1.4.4 โปรแกรม SketchUp

1.5 นยิ ามศัพท์เฉพาะ
1.5.1 โมเดล คือ แบบจำลองของส่ิงหน่ึงเพ่อื แทน วตั ถุ กระบวนการ ความสัมพนั ธ์ หรือ สถานการณ์

สามารถอธบิ ายออกมาเป็นรปู ธรรม
1.5.2 SketchUp คอื โปรแกรมสำหรบั ออกแบบโมเดล 3 มติ ิท่ไี ด้รับความนยิ มอย่างมากสำหรับการ

สร้างสถาปัตยกรรม วศิ วกรรม การตกแต่งภายใน ไปจนถงึ การออกแบบผลิตภณั ฑ์
1.5.3 อินทิเกรต คือ ปฏิยานุพันธ์ เป็นฟังก์ชัน เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ เมื่อ สำหรับทุกค่า

ของ ทอ่ี ยู่ในโดเมนของ ดังนัน้ รปู ท่ัวไปของปฏิยานุพนั ธข์ องคือ ( ) + เมื่อ เป็นคา่ คงตวั ใดๆ

After Midday Architecture 3

การศกึ ษาพน้ื ทเ่ี งาโดยใช้อนิ ทเิ กรต

บทที่ 2 เอกสารทีเ่ ก่ียวข้อง

การจดั ทำโครงงานครั้งนี้ คณะผจู้ ัดทําได้ศกึ ษาเอกสารท่ีเกย่ี วขอ้ งดังตอ่ ไปนี้

2.1 เน้ือหาเรื่องแคลคลู ัส

เป็นสาขาหลกั ของคณิตศาสตรซ์ ึ่งพฒั นามาจากพีชคณิต เรขาคณติ และปัญหาทางฟสิ กิ ส์ แคลคลู ัสมี

ต้นกำเนดิ จากสองแนวคิดหลกั ดงั นี้ แนวคิดแรกคือ แคลคลู ัสเชงิ อนพุ นั ธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎี

ที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เช่น การหา

ความเร็ว ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดท่ีกำหนดให้ ทฤษฎขี องอนุพันธ์หลายสว่ นได้แรงบันดาลใจ

จากปัญหาทางฟิสิกส์ แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาล

ใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทน

รปู ทรงทางเรขาคณิต และใชท้ ฤษฎปี รพิ นั ธ์เปน็ หลักในการคำนวณหาพนื้ ท่ีและปริมาตร

2.1.1 ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน

สำหรับฟงั ก์ชนั = ( ) ใดๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์ เป็นซับเซตของจำนวนจรงิ ลมิ ติ ซ้ายของ

ท่ี คอื คา่ ของ ( ) เมอื่ มคี า่ เขา้ ใกล้ ทางซา้ ย เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ ( ) และ ลิมิตขวา
→ −
ของ ที่ คือ ค่าของ ( ) เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ทางขวา เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim ( ) ถ้า
→ +
lim ( ) = lim ( )= แล้ว จะกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน มีลิมิตเท่ากับ ถ้า lim ( ) ≠
→ − → + → −
lim ( ) = แลว้ จะกลา่ วไดว้ ่าฟังก์ชัน ไม่มีลมิ ติ ท่ี
→ +
2.1.2 ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน

ให้ เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ ฟังก์ชนั เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งท่ี = เมือ่ มสี มบตั ิ หา ( ) ได้

1) หา lim ( ) ได้
→

2) lim ( ) = ( )
→

ดังน้นั จะเปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งที่ = ได้ เมอื่ มสี มบตั คิ รบท้งั 3 ข้อจะขาดสมบัติขอ้ ใดขอ้ หน่งึ ไมไ่ ด้

2.1.3 อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี

กำหนด = ( ) เปน็ ฟงั ก์ชนั ใดๆ เมอ่ื ค่าของ เปลยี่ นจาก เปน็ + ℎ โดยท่ี ℎ ≠ 0

ค่าของ เปลี่ยนจาก ( ) เป็น ( + ℎ) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ ในช่วง

ถงึ + ℎ คือ ( +ℎ)− ( )
ℎ
2.1.4 อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน

ถ้า = ( ) เปน็ ฟงั กช์ ันทม่ี ีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซตของจำนวนจรงิ และ lim ( +ℎ)− ( ) หา
ℎ→0 ℎ
คา่ ไดแ้ ลว้ เรยี กว่า อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ที่ เขยี นแทนด้วย ′( ) เรียกว่าการหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ัน

2.1.5 อนพุ ันธอ์ นั ดับสงู

กำหนด เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ ′( ) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่

ซง่ึ สามารถหาอนุพันธ์ไดแ้ ลว้ จะเรียกอนพุ นั ธ์ของอนุพันธ์ของฟังกช์ นั ที่ หรืออนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน ′ ที่

ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ที่ และเขียนแทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ′ ที่ ด้วย ′′( ) จะได้

After Midday Architecture 4

การศึกษาพนื้ ทีเ่ งาโดยใช้อนิ ทิเกรต

′′( ) = ( ′′( )) = 2 (( ′′( )) = 2 สามารถกล่าวถึงอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของฟังก์ชัน ที่
2 2
3
ได้ว่า เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดบั ที่ 2 ของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน ที่ และเขียนแทนด้วย ′′ ′( ) หรือ 3

ใช้สัญลักษณ์ 4 หรือ 4 แทนอนุพันธ์อันดับ 4 ของ ( ) ใช้สัญลักษณ์ หรือ แทนอนุพันธ์
4
อันดบั ท่ี ของ ( )

2.1.6 อนิ ทิกรัลไม่จำกัดเขต

ฟังก์ชัน เป็นปฏิยานุพันธ์ของ เมื่อ ′( ) = ( ) สำหรับทุกค่าของ ที่อยู่ในโดเมน

ของ เมื่อ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ ′( ) = ( )

สำหรับทุก ที่อยู่ในโดเมนของ อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย ∫ ( ) โดยที่

∫ ( ) = ( ) + เมอ่ื เป็นค่าคงตวั ใดๆ

2.2 เน้ือหาเรื่องตรโี กณมติ ิ

เป็นสาขาของคณิตศาสตรท์ ีเ่ ก่ียวข้องกับมุม รูปสามเหลย่ี ม และฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ เชน่ ไซน์ และ โคไซน์

2.2.1 อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ

“Sine A” ไซนข์ องมมุ A หรือเขยี นย่อวา่ sin A หาไดจ้ ากอตั ราส่วนของความยาวด้าน

ตรงขา้ มมมุ A ต่อความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

“Cos A” โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาว

ดา้ นประชดิ มมุ A ต่อความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

“Tangent A” แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า tan A หาได้จากอัตราส่วนของ

ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A ตอ่ ความยาวด้านประชดิ มมุ A

สว่ นฟังก์ชนั cosec, sec และ cot นน้ั กใ็ ชน้ ิยามเขา้ ช่วย ซงึ่ เปน็ ส่วนกลับของ sin, cos

และ tan ตามลำดบั

“Cotangent A” โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cot A หาได้จากอัตราส่วน

ของความยาวดา้ นดา้ นประชดิ มุม A ตอ่ ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A

“Secant A” ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A หาได้จากอัตราส่วนของความ

ยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ตอ่ ความยาวด้านประชิดมุม A

“Cosecant A” โคซีแคนต์ของมมุ A หรอื เขยี นยอ่ ว่า cosec A หาไดจ้ ากอัตราส่วนของ

ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ต่อ ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม A

ฉาก ข้าม 1 2 30
A ชดิ
A 45 A 60

1 1

ภาพท่ี 1 ตวั อยา่ งแสดงอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ

After Midday Architecture 5

การศกึ ษาพ้นื ท่เี งาโดยใช้อนิ ทิเกรต

sin A= ขา้ ม สว่ นกลับของคือ cosec A = ฉาก
ฉาก สว่ นกลบั ของคือ sec A = ฉขาา้ กม
ชิด
cos A = ฉาก ชดิ

tan A= ขา้ ม ส่วนกลบั ของคือ cot A = ชดิ
ชิด ขา้ ม

2.3 การโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์และการข้นึ -ตกของดวงอาทิตย์
2.3.1 การโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์
โลกโคจรรอบดวงอาทติ ย์โดยที่แกนของโลกเอียง 23.5° ในฤดูร้อนโลกเอียงขัว้ เหนอื เข้าหาดวง

อาทิตย์ ทำใหซ้ กี โลกเหนือกลายเป็นฤดูรอ้ น และซีกโลกใต้กลายเปน็ ฤดูหนาว หกเดือนต่อมาโลกโคจรไปอยู่อีก
ด้านหนึ่งของวงโคจร โลกเอียงขั้วใต้เข้าหาดวงอาทิตย์ (แกนของโลกเอียง 23.5° คงที่ตลอดปี) ทำให้ซีกโลกใต้
กลายเปน็ ฤดรู อ้ น และซกี โลกเหนอื กลายเป็นฤดหู นาว

วันท่ี 20 - 21 มิถุนายน เป็นวันครีษมายัน (Summer Solstice) โลกหันซีกโลกเหนือเข้าหา
ดวงอาทิตย์ ทำให้เรามองเหน็ ดวงอาทติ ยอ์ ยู่ค่อนไปทางทิศเหนือ (Dec +23.5°)

วันที่ 22 - 23 กันยายน เป็นวันศารทวิษุวัต (Autumnal Equinox) ดวงอาทิตย์ขึ้นตรงทิศ
ตะวันออกและตกตรงทศิ ตะวนั ตกพอดี

วนั ที่ 20 - 21 ธนั วาคม เป็นวนั เหมายนั (Winter Solstice) โลกหนั ซกี โลกใต้เข้าหาดวงอาทิตย์
ทำให้เรามองเห็นดวงอาทิตย์อย่คู อ่ นไปทางทิศใต้ (Dec -23.5°)

วันที่ 20 - 21 มีนาคม (Vernal Equinox) ดวงอาทิตย์ขึ้นตรงทิศตะวันออกและตกตรงทิศ
ตะวนั ตกพอดี

ภาพท่ี 2 การโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์
ทมี่ า : http://www.lesa.biz/astronomy/astro-events/seasons/seasons.gif?attredirects=0

ประเทศไทยตั้งอยู่เหนือเส้นศูนย์สูตร ระหว่างละติจูดท่ี 5-20 องศาเหนือ และลองจิจูดที่ 97-
105 องศาตะวันออก ในแต่ละปี ประเทศที่อยู่ในเขตร้อนจะมีวันที่ดวงอาทิตย์ผ่านใกล้จุดเหนือศีรษะมาก

After Midday Architecture 6

การศกึ ษาพื้นทเ่ี งาโดยใช้อินทิเกรต

ที่สุด 2 วัน กรุงเทพฯ อยู่ในราววันท่ี 27 เมษายน และ 16 สิงหาคม เดือนเมษายนถึงต้นเดือนพฤษภาคมจงึ
มักเป็นชว่ งที่กรงุ เทพฯ มีอากาศร้อนท่สี ุด

2.3.2 การขึ้น-ตกของดวงอาทิตย์
เกิดจากการหมุนรอบตัวเองของโลกตามแกนเหนือ - ใต้ โดยหมุนจากทิศตะวันตกไปยังทิศ

ตะวันออกจึงทำให้เห็นดวงอาทิตย์ทางทิศตะวันออกในตอนเช้า และเคลื่อนที่จนลับขอบฟ้าทางทิศตะวันตก
และ มีน้อยวนั ในรอบปที ี่ดวงอาทติ ย์ขนึ้ และตกตรงกบั ทิศตะวันออกและตะวนั ตกพอดี

เวลาการขึ้น – ตกของดวงอาทิตย์ในแต่ละเดือนไม่ตรงกัน เนื่องจากโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์
โดยที่แกนของโลกเอียง 23.5° โดยในปี 2564 จงั หวัดราชบุรี มีการขนึ้ ตกของดวงอาทติ ย์ดังนี้

วนั ท่ี 20 - 21 มิถนุ ายน 05:55 - 18:50
วันที่ 22 - 23 กนั ยายน 06:10 - 18:18
วนั ท่ี 20 - 21 ธนั วาคม 06:38 - 17:58
วนั ท่ี 20 - 21 มีนาคม 06:25 - 18:32
2.4 โปรแกรม SketchUp
SketchUp เป็นโปรแกรมสำหรับออกแบบโมเดล 3 มิติที่ได้รับความนยิ มอย่างมากสำหรับการสรา้ ง
สถาปตั ยกรรม วศิ วกรรม การตกแตง่ ภายใน ไปจนถงึ การออกแบบผลิตภณั ฑ์ตา่ งๆ ใช้งานง่ายและมีฐานข้อมูล
แบบจำลองที่ผู้ใช้สร้างขึ้นมากมายพร้อมให้ดาวน์โหลด สามารถใช้เพื่อร่างโมเดลเพื่อช่วยในโครงการทุก
ประเภท เชน่ อาคาร เฟอรน์ ิเจอร์ การออกแบบตกแต่งภายใน เปน็ ตน้

ภาพท่ี 3 โปรแกรม SketchUp
ทีม่ า https://1000logos.net/wp-content/uploads/2020/09/SketchUp-Logo.jpg

After Midday Architecture 7

การศึกษาพน้ื ท่เี งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต

บทที่ 3 วธิ ีการดำเนินงาน

การทำโครงงานโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้
อินทเิ กรตครั้งน้ี คณะผจู้ ดั ทำได้ดำเนนิ การศกึ ษาโดยกำหนดหัวข้อตามลำดับขนั้ ตอน ดงั นี้

1. เน้อื หาทใ่ี ชใ้ นการศกึ ษา
2. ระยะเวลาท่ใี ชใ้ นการศกึ ษา
3. วธิ กี ารดำเนินการศึกษา
เนื้อหาทใ่ี ชใ้ นการศึกษา
เนื้อหาที่ใช้ในการศึกษา เป็นเนื้อหาที่เกี่ยวกับ ตรีโกณมิติ แคลคูลัส การโคจรของดวงอาทิตย์ และ
วิธกี ารออกแบบโมเดล 3 มติ ิจากโปรแกรม SketchUp
ระยะเวลาทีใ่ ชใ้ นการศกึ ษา
ดำเนนิ การทำโครงงานในระหว่างเดือน 3 ตุลาคม ถึง 18 พฤศจกิ ายน 2565
วิธกี ารดำเนนิ งาน
1. กำหนดหัวข้อโครงงานและประชุมปรึกษาหารือเกี่ยวกับการดำเนินการจัดทำโครงงานโดยแบ่งหน้าที่
ศึกษาขอ้ มลู ทจี่ ะทำโครงงาน
2. รวบรวมข้อมูลต่างๆที่ได้มาอย่างเป็นระบบ หารือหัวข้อโครงงานคณิตศาสตร์ โดยเห็นว่า ควรนำ
ความรเู้ รอ่ื ง ตรีโกณมติ ิ แคลคูลสั การโคจรของดวงอาทิตย์อาทิตย์ และวธิ กี ารออกแบบโมเดล 3 มติ ิ
3. หาวัสดอุ ปุ กรณ์ท่ีจะทำโครงงาน
4. นำเสนอโครงงานตอ่ ครทู ี่ปรกึ ษา
5. ประชุมอภิปรายปญั หาตา่ งๆ และให้ขอ้ เสนอแนะ
6. ออกแบบโรงจอดรถในโปรแกรม SketchUp
7. คำนวณหาพ้นื ท่เี งา
8. หาข้อผดิ พลาดจากการออกแบบและปรับปรุงแก้ไข
9. ลงมือทำโมเดลจริง
10. จดั ทำรายงานโครงงานคณิตศาสตร์และบอร์ดเพ่อื นำเสนอ
11. นำเสนอโครงงานคณิตศาสตร์
วสั ดอุ ปุ กรณ์
1. คอมพิวเตอร์ จำนวน 2 เคร่ือง
2. ไม้บลั ซ่าหนา 3 มลิ ลิเมตร ขนาด 10*50 เซนตเิ มตร จำนวน 8 แผน่
3. กระดานไมข้ นาด A1 จำนวน 1 แผน่
4. ลวดหนา 1.5 มลิ ลิเมตร จำนวน 1 มว้ น
5. อะครลิ กิ ใสหนา 0.8 มลิ ลเิ มตร ขนาด 30*30 เซนติเมตร จำนวน 1 แผ่น
6. กาว UHU จำนวน 1 หลอด

After Midday Architecture 8

การศึกษาพนื้ ทเ่ี งาโดยใชอ้ นิ ทเิ กรต

7. แผ่นหลงั คา ลายผนงั ขนาด A4 จำนวน 4 แผน่
8. หลอดไฟ LED e27 25W จำนวน 1 หลอด
9. สโี ปสเตอร์ สีขาว ดำ นำ้ ตาล จำนวน 1 ขวด
10. แผ่นโฟมสเี ขยี ว จำนวน 1 ผนื
เกณฑ์ในการออกแบบโรงจอดรถ
1. โมเดลโรงจอดรถมพี ้นื ทต่ี รงตามทก่ี ำหนดไว้ นอ้ ยกวา่ 30 ตารางเมตร
2. โรงจอดรถมคี วามสงู มากกวา่ 3 เมตร แต่ไมเ่ กิน 4 เมตร
3. โรงจอดรถสามารถจอดรถได้ 2 คัน
4. สามารถบังแสงอาทติ ย์ได้ต้ังแต่ช่วงเวลาเที่ยงวันเป็นต้นไป และสามารถสร้างพ้ืนที่เงา ณ บริเวณหน้า

บ้านได้
5. โรงจอดรถเข้ากบั ตัวบา้ น
ขั้นตอนการออกแบบ
1. ออกแบบโมเดล 3 มิติ โดยใชโ้ ปรแกรม SketchUp

1.1 สร้างสี่เหลี่ยมขนาด 550*20 เซนติเมตร โดยใช้คำสั่ง Rectangle และยกสี่เหลี่ยมขึ้นสูง 380
เซนติเมตร โดยใชค้ ำสงั่ Push/Pull

ภาพที่ 4 แสดง การสรา้ งกำแพง
1.2 สร้างส่เี หล่ียมขนาด 380*10 เซนติเมตร และไปทางทศิ เหนอื 90 เซนตเิ มตร โดยใชค้ ำส่ัง Push/Pull

ภาพท่ี 5 แสดง การสร้างกำแพง

1.3 สรา้ งสี่เหลยี่ มขนาด 20*20 เซนตเิ มตร ห่างจากกำแพง 420 เซนตเิ มตร โดยใช้คำสง่ั Rectangle
และยกสีเหลย่ี มขนาด 20*20 เซนตเิ มตร ข้ึน 380 เซนติเมตร โดยใชค้ ำสงั่ Push/Pull

After Midday Architecture 9

การศึกษาพ้ืนที่เงาโดยใชอ้ ินทิเกรต

ภาพที่ 6 แสดง การสร้างเสา
1.4 สร้างสี่เหลี่ยมขนาด 570*550 เซนติเมตร โดยใช้คำสั่ง Rectangle แล้วยกพื้นหลังคาขึ้น 10

เซนติเมตร โดยใชค้ ำส่งั Push/Pull และลบรอยทตี่ ามเส้นสีแดง โดยใชค้ ำส่งั Eraser

ภาพที่ 7 แสดง การสร้างหลงั คา
1.5 ลากเส้นตามภาพ โดยใช้คำสั่ง Line และยกสี่เหลี่ยมที่ลากเส้นไว้ ลงมา50 เซนติเมตร โดยใช้

คำส่ัง Push/Pull

ภาพท่ี 8 แสดง การสร้างหลังคา
1.6 วาดสี่เหลี่ยมขนาด 250*80 เซนติเมตร ตามภาพ โดยใช้คำสั่ง Rectangle และลากสี่เหลี่ยม

ขนาด 250*80 เซนตเิ มตร โดยใชค้ ำสั่ง Push/Pull จนข้ึนคำว่า on face

ภาพที่ 9 แสดง การลบกำแพงสำหรบั ประตู

After Midday Architecture 10

การศกึ ษาพนื้ ที่เงาโดยใช้อินทเิ กรต

1.7 สรา้ งประตขู นาด 250*80 เซนตเิ มตร

ภาพท่ี 10 แสดง การสรา้ งประตู
1.8 วดั ขนาดผนังเพื่อทำช่องกำแพง โดยใช้คำส่ัง Tape Measure Tool ตามภาพ
1.9 วาดสเี่ หลย่ี ม ตามภาพ โดยใชค้ ำส่งั Rectangle และลบรอยทวี่ ดั ไวอ้ อก โดยใช้คำส่งั Eraser

ภาพที่ 11 แสดง การวัดผนัง ภาพท่ี 12 แสดง การลบรอยเส้น

1.10 ทำช่องกำแพง โดยใช้คำสง่ั Push/Pull จนขนึ้ คำวา่ on face

ภาพที่ 13 แสดง การลบกำแพงสำหรบั รั้ว
1.11 ลากเส้นตามภาพ โดยใช้คำสั่ง Line

ภาพท่ี 14 แสดง การลากเส้น

After Midday Architecture 11

การศึกษาพืน้ ทีเ่ งาโดยใชอ้ นิ ทเิ กรต

1.12 ลากคลมุ ท้ังหมด โดยใช้คำส่งั Select และกดคลกิ ขวา เลือก Make Group
1.13 กดดับเบ้ิลคลกิ และเลอื กลงสี โดยใช้คำสัง่ Paint Buchet

ภาพที่ 15 แสดง การรวมกลมุ่ ภาพที่ 16 แสดง การลงสี
1.14 เสรจ็ ส้นิ

ภาพที่ 17 แสดง โรงจอดรถ

2. การประยุกตใ์ ชค้ ณติ ศาสตร์ในการคำนวณ

2.1 มมุ ทแ่ี สงทำกบั วัตถุ

2.1.1 การเปล่ียนแปลงตำแหน่งเนื่องจากโลกหมนุ รอบตัวเอง

โลกหมนุ รอบตวั เอง 1 รอบ ใช้เวลา 24 ช่วั โมง

24 ชั่วโมง ตำแหนง่ ของดาว (มุมทีท่ ำกบั ข้ัวฟา้ ) เปล่ียนแปลง 360 องศา

แบ่งเปน็ เวลากลางวัน 180 องศา และเวลากลางคืน 180 องศา

1 วันมเี วลากลางวัน 720 นาที

1 นาที ตำแหน่งของดาวเปลี่ยนแปลง = 180 / 720 = 0.25 องศา

แตล่ ะวนั โลกมกี ลางวัน/กลางคนื และเวลาขน้ึ -ตก ของดวงอาทติ ย์ทแี่ ตกต่างกัน

ตารางที่ 1 แสดงมุมของดวงอาทติ ย์ที่เปลีย่ นไปใน 1 หน่วยเวลา

วันที่ เวลาข้ึน-ตกของดวงอาทติ ย์ เวลากลางวัน องศาทเ่ี ปล่ียนไปใน1นาที

20-21 มนี าคม 06:25 - 18:32 727 นาที 0.24759 องศา

20 - 21 มถิ ุนายน 05:55 - 18:50 775 นาที 0.23226 องศา

22 - 23 กนั ยายน 06:10 - 18:18 728 นาที 0.24725 องศา

20 - 21 ธนั วาคม 06:38 - 17:58 680 นาที 0.26471 องศา

2.1.2 การเปลย่ี นแปลงตำแหน่งเนอื่ งจากแกนโลกเอียง

After Midday Architecture 12

การศกึ ษาพน้ื ทเี่ งาโดยใชอ้ ินทิเกรต

จงั หวัดราชบรุ ีของประเทศไทยตั้งอยู่ละติจูดที่ 13.5 องศาเหนือ ซง่ึ จะได้มุมท่แี สงทำ
กบั ประเทศไทยในแตล่ ะเดือน คือ

วันท่ี 20 - 21 มนี าคม จะมองเห็นดวงอาทิตย์อยู่ค่อนไปทางทิศใต้ 13.5°
วันท่ี 20 - 21 มถิ ุนายน จะมองเห็นดวงอาทิตย์อยู่ค่อนไปทางทศิ เหนือ 10.5°
วนั ที่ 22 - 23 กันยายน จะมองเหน็ ดวงอาทิตย์อยคู่ ่อนไปทางทศิ ใต้ 13.5°
วนั ท่ี 20 - 21 ธนั วาคม จะมองเหน็ ดวงอาทติ ย์อยู่ค่อนไปทางทศิ ใต้ 37°
2.2 ความสูงของเงา
2.2.1 กำหนดสมการ
กำหนดให้ X = ความสูงของวัตถุ Y = ความสูงของเงาที่เสน้ ศูนยส์ ตู ร

Z = ความสงู ของเงาท่ีเกิด
Θ1 = มุมที่แสงทำกบั วตั ถุ ณ เส้นศูนยส์ ูตร ในแต่ละชว่ งเวลา
Θ2 = มุมทแ่ี สงทำกบั ประเทศไทยในแตล่ ะเดือน

ภาพที่ 18 แสดงความสมั พันธ์มมุ ทแ่ี สงทำกับวตั ถุ
ณ เสน้ ศูนยส์ ตู ร ในแตล่ ะชว่ งเวลา

จะได้ X = Y tan Θ1
Y = X cot Θ1

ภาพที่ 19 แสดงมมุ ท่ีแสงทำกบั ประเทศไทยใน
แต่ละเดือน
จะได้ Z = Y cos Θ2
Z = X cot Θ1( cos Θ2 )

2.2.2 แทนค่าในสมการโดยการคำนวณดว้ ยโปรแกรม Excel
2.2.2.1 ใส่ค่าความสูงของวัตถุลงในแถว A
2.2.2.2 หาคา่ ความสูงของเงาท่ีเส้นศูนย์สตู ร โดยคณู แถว A ดว้ ยค่า cot Θ1

After Midday Architecture 13

การศกึ ษาพื้นทเี่ งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต

ค่า cot Θ1

ภาพที่ 20 แสดง หาคา่ ความสูงของเงาทีเ่ ส้นศูนยส์ ูตร
2.2.2.3 หาคา่ ความสูงของเงาทเ่ี กดิ โดยคณู แถว B ดว้ ยคา่ cos Θ2

คา่ cos Θ2

ภาพท่ี 21 แสดง การหาค่าความสงู ของเงาที่เกดิ

2.3 พืน้ ท่เี งา

กำหนดให้ w = ความกวา้ ง h = ความสูง

dt = ส่เี หลย่ี มที่แคบมากๆ ds = พนื้ ท่ยี อ่ ยๆ

พืน้ ที่ย่อยสี่เหลี่ยมผืนผ้า ds = สูง * กว้าง = h(w) * dt

พื้นทรี่ วมใชก้ าร integrate เปน็ การรวมแบบที่ dt เลก็ มากๆ เขา้ ใกล้ 0 TotalArea=∫h(w)dt

นำ Excel มาประยกุ ต์ใชโ้ ดยแบง่ ความกวา้ งของวัตถุให้ย่อยมากๆ จนได้ dt เล็กๆ แล้วเอาไป

คูณความสูงของแตล่ ะ dt นัน้ ๆ จะได้พื้นทสี่ ี่เหลย่ี มผืนผ้าเล็กๆ จากนนั้ นำมารวมกนั จะได้พนื้ ทีใ่ ต้กราฟ โดยใช้

ฟังก์ชนั SUM มาใชใ้ นการคำนวณ

ข้อมลู ท่ีใชใ้ นการรวม

ภาพที่ 22 แสดง การคำนวณพ้นื ทเี่ งา

After Midday Architecture 14

การศกึ ษาพืน้ ท่ีเงาโดยใช้อนิ ทเิ กรต

ได้ข้อมูลออกมาดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

ตารางท่ี 2 แสดงพ้นื ทเี่ งาในแต่ละชว่ งเวลาของ วันท่ี 20-21 มนี าคม

เวลา พ้ืนท่เี งา ณ เส้นศูนย์สตู ร (ตารางเซนตเิ มตร) พน้ื ท่ีเงา ณ จ.ราชบรุ ี (ตารางเซนติเมตร)
7.00น. 497751.4 483998.6
8.00น. 174391.6 169573.2
9.00น. 95830.58 93182.78
10.00น. 56718.55 55151.42
11.00น. 30526.98 29683.52
12.00น. 9400.215 9140.487
13.00น. 10936.78 10109.52
14.00น. 31671.55 30796.47
15.00น. 58260.84 56651.09
16.00น. 98451.44 95731.2
17.00น. 180735.4 175741.6
18.00น. 545582.9 530508.4

2.4 อตั ราการเปลยี่ นแปลงของพนื้ ท่เี งาในแต่ละชว่ งเวลา

2.4.1 นำข้อมลู เวลามาเปลย่ี นเป็นองศา โดยคูณกับตำแหนง่ การเปล่ยี นแปลงของดวงอาทิตย์

ใน 1 นาที ของแตล่ ะเดอื น
2.4.2 นำข้อมลู องศามาเปลีย่ นเปน็ หน่วยเรเดียน โดยคูณกบั π

180

ภาพท่ี 23 แสดงการคำนวณเวลาเปล่ียนเปน็ องศา ภาพที่ 24 แสดงการนำข้อมูลองศาเปลีย่ นเปน็ หน่วยเรเดียน

2.4.3 นำข้อมูลองศาเรเดยี นกับพนื้ ทเ่ี งามาพล็อตเป็นกราฟ โดยเลือกคลมุ ขอ้ มลู ท่ตี ้องการและ
กด Ctrl+Q จากน้ันเลือก กราฟลกั ษณะ line

After Midday Architecture 15

การศกึ ษาพ้ืนท่ีเงาโดยใช้อินทเิ กรต

ภาพท่ี 25 แสดง นำข้อมลู องศาเรเดยี นกับพน้ื ทเ่ี งามาพล็อตเป็นกราฟ
เมอ่ื นำข้อมูลพน้ื ทีเ่ งาของแตล่ ะช่วงเวลามาพล็อตลงในกราฟ ไดต้ วั อย่างกราฟดงั นี้

ภาพท่ี 26 แสดง กราฟข้อมูลพืน้ ทเี่ งาของแต่ละชว่ งเวลาของเดือนมนี าคม
จากกราฟขา้ งตน้ สามารถเขยี นเปน็ ฟังก์ชนั ได้ = |cot |
3. ประดิษฐโ์ มเดลจำลอง : ในการประดิษฐ์โมเดลจำลองได้ใช้อัตราสว่ นโมเดลกบั ขนาดจริง คือ 1:40
3.1 โมเดลโรงจอดรถ
3.1.1 ตัดไมต้ ามขนาด 6 ชิน้ และเจาะรชู อ่ งระบายอากาศกบั ประตู

ภาพท่ี 27 แสดง การวัดขนาดและการตัดไม้

After Midday Architecture 16

การศึกษาพนื้ ที่เงาโดยใช้อินทเิ กรต

3.1.2 ทำผนังร้วั ไม้ 7 ช้นิ และประกอบผนงั ร้ัวไมใ้ นรู้ทเี่ จาะไว้

ภาพท่ี 28 แสดง การประกอบผนังร้ัวไม้
3.1.3 ทำประตูและนำประตไู ปประกอบกบั ผนงั ร้วั ไม้ในรู้ทเ่ี จาะไว้

ภาพท่ี 29 แสดง การทำประตแู ละการนำประตูไปประกอบกบั ผนัง
3.1.4 ลงสสี ว่ นต่างๆ

ภาพที่ 30 แสดง การลงสี

3.1.5 ประกอบโรงจอดรถ

ภาพที่ 31 แสดง การประกอบโรงจอดรถ

After Midday Architecture 17

การศกึ ษาพ้นื ท่เี งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต

บทที่ 4 ผลการดำเนนิ งาน

การทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต

ในครงั้ น้ี คณะผจู้ ดั ทำได้ดำเนนิ การนำเสนอผลการศกึ ษาดงั น้ี

4.1 ผลการทดสอบตามวตั ถุประสงค์

โดยไดท้ ำการทดสอบตามวัตถุประสงค์ สรปุ ผลออกมาเปน็ เกณฑ์ตามตารางดงั น้ี

ตารางท่ี 3 แสดงเกณฑ์การประเมนิ ทตี่ ้ังไว้และผลการทดลอง

เกณฑก์ ารประเมินทต่ี ้ังไว้ ผลการทดสอบ

1. ออกแบบสถาปัตยกรรมท่ีสามารถสร้างพื้นท่ีเงา โรงจอดรถสามารถสร้างพื้นที่เงาให้กับตัวบ้านได้

และใชป้ ระโยชนไ์ ด้มากท่ีสดุ โดยใช้การตกกระทบของแสงที่หลังคาโรงจอดรถ

ทอดยาวเป็นเงาสรา้ งพนื้ ทีเ่ งาบรเิ วณบา้ น

2. สามารถคำนวณหาพืน้ ที่เงาโดยใช้อินทเิ กรต สามารถคำนวณหาพ้ืนที่เงาได้จากอนิ ทิเกรต

3. หาความสัมพันธ์ของพ้ืนท่ีเงาในชว่ งเวลาต่างๆ สามารถหาความสมั พนั ธข์ องพ้นื ท่ีเงาในแตช่ ่วงเวลา

ไดจ้ ากกราฟและจากสมการ

4. สามารถสรา้ งเป็นโมเดลได้ สามารถสร้างโมเดลบ้าน 3 มิติ ที่มีสัดส่วนสัมพันธ์

กับโมเดลขนาดต้นแบบที่เป็นขนาดบ้านและโรง

จอดรถจริง ในสดั ส่วน 1:40

จากตารางที่ 3 แสดงการทดสอบตามวัตถุประสงค์ สรปุ ไดว้ า่ โรงจอดรถสามารถสรา้ งพน้ื ท่ีเงาให้กับ
ตัวบ้านได้ สามารถคำนวณหาพื้นที่เงาได้โดยใช้อินทิเกรต และหาความสัมพันธ์ของพื้นที่เงาในแต่ช่วงเวลาได้
จากกราฟและสมการ สามารถสร้างโมเดลบ้าน 3 มิติ ที่มีสัดส่วนสัมพันธ์กับโมเดลขนาดต้นแบบที่เป็นขนาด
บา้ นและโรงจอดรถจริง จากผลการทดสอบพบวา่ เปน็ ไปตามเกณฑก์ ารประเมนิ ทตี่ งั้ ไว้ทง้ั 4 ข้อ

4.2 ผลการทดสอบโมเดล

โดยได้ทำการทดสอบโมเดล สรปุ ผลออกมาเป็นเกณฑต์ ามตารางดงั นี้
ตารางท่ี 4 แสดงเกณฑ์การประเมนิ ท่ตี ั้งไว้และผลการทดลอง

เกณฑก์ ารประเมินทต่ี ั้งไว้ ผลการทดสอบ

1. โมเดลโรงจอดรถมีพื้นที่ตรงตามที่กำหนดไว้ น้อยกว่า โมเดลโรงจอดรถมพี ื้นที่ตรงตามทก่ี ำหนดไว้

30 ตารางเมตร 28.62 ตารางเมตร

2. โรงจอดรถมคี วามสงู มากกวา่ 3 เมตร แตไ่ ม่เกนิ 4 เมตร โรงจอดรถมคี วามสูง 3.80 เมตร

3. โรงจอดรถสามารถจอดรถได้ 2 คัน โรงจอดรถสามารถจอดรถได้ 2 คัน

4. สามารถบังแสงอาทิตย์ไดต้ ัง้ แตช่ ่วงเวลาเที่ยงวันเป็นต้น สามารถบังแสงอาทิตย์ได้ตั้งแต่ช่วงเวลา

ไป และสามารถสรา้ งพน้ื ที่เงา ณ บริเวณหน้าบ้านได้ เที่ยงวันเป็นต้นไป และสามารถสร้างพื้นท่ี

เงา ณ บริเวณหน้าบ้านได้

5. โรงจอดรถเข้ากบั ตวั บา้ น โรงจอดรถเขา้ กบั ตัวบา้ น

After Midday Architecture 18

การศึกษาพ้นื ท่ีเงาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

จากตารางที่ 4 แสดงการทดสอบโมเดล สรุปได้ว่า โมเดลโรงจอดรถมีพื้นที่ 28.62 ตารางเมตร
มีความสงู 3.80 เมตร สามารถจอดรถได้ 2 คัน สามารถบงั แสงอาทติ ย์ได้ต้งั แตช่ ่วงเวลาเทย่ี งวันเป็นต้นไปเพ่ือ
สร้างพื้นที่เงา ณ บริเวณหน้าบ้าน โมเดลโรงจอดรถมีการออกแบบที่เข้ากับตัวบ้าน จากผลการทดสอบพบว่า
เป็นไปตามเกณฑก์ ารประเมนิ ท่ตี ั้งไว้ทั้ง 5 ขอ้

After Midday Architecture 19

การศึกษาพ้ืนทเี่ งาโดยใชอ้ นิ ทเิ กรต

บทท่ี 5 สรุป อภิปราย และข้อเสนอแนะ
โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต
คณะผจู้ ัดทำได้สรุปผลการศึกษา อภิปราย ประโยชน์ของโครงงาน และขอเสนอแนะดงั ต่อไปน้ี

สรุปผลการศึกษา
1. จัดทำเกณฑ์การประเมิน โดยแบ่งออกเป็นการทดสอบตามวัตถุประสงค์ และทำการทดสอบโมเดล
สรปุ ผลออกมาเปน็ เกณฑ์การประเมินและผลการทดสอบ ในรูปแบบตาราง
2. จากการทดสอบตามวัตถุประสงค์ของโครงงาน พบว่าเป็นไปตามเกณฑ์การประเมินทุกข้อ โดย
โรงจอดรถสามารถสรา้ งพื้นที่เงาให้กับตัวบ้านได้ โดยใช้การตกกระทบของแสงที่หลังคาโรงจอดรถ
ทอดยาวเป็นเงาสร้างพื้นที่เงาบริเวณบ้าน สามารถคำนวณหาพื้นที่เงาได้โดยใช้อินทิเกรตและหา
ความสัมพันธ์ของพ้ืนทีเ่ งาในแต่ช่วงเวลาได้จากกราฟและจากสมการ และสามารถสร้างโมเดลบ้าน
3 มิติ ที่มีสัดส่วนสัมพันธ์กับโมเดลขนาดต้นแบบที่เป็นขนาดบ้านและโรงจอดรถจริง ในสัดส่วน
1:40
3. จากการทดสอบโมเดล พบว่าเป็นไปตามเกณฑ์การประเมินทุกข้อ โดยโมเดลโรงจอดรถมีพื้นที่
28.62 ตารางเมตร มคี วามสงู 3.80 เมตร สามารถจอดรถได้ 2 คนั สามารถบังแสงอาทิตย์ได้ต้ังแต่
ช่วงเวลาเทยี่ งวันเป็นต้นไป สามารถสร้างพื้นท่ีเงา ณ บรเิ วณหนา้ บา้ น และมกี ารออกแบบท่ีเข้ากับ
ตวั บ้าน

อภิปรายผล
จากผลการศกึ ษาข้างต้น คณะผจู้ ัดทำสามารถอภปิ รายผลการศึกษาได้ดังนี้

1. ผลการศึกษา After Midday Architecture การศึกษาพ้นื ที่เงาโดยใช้อนิ ทเิ กรต พบว่า การทดสอบโดย
โมเดลบ้าน ตัวโรงรถสามารถสร้างพื้นที่เงาให้บริเวณบ้านได้จริง ซึ่งเป็นไปตามวัตถุประสงค์ข้อที่ 1 ซ่ึง
สามารถนำไปต่อยอดสถาปัตยกรรมได้หลากหลาย เช่น เพื่อให้เกิดประโยชน์ เพ่อื ความสวยงาม เปน็ ต้น

2. ผลการศึกษา After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต พบว่า สามารถ
คำนวณหาพื้นที่เงาที่เกิดขึ้นได้จากอินทิเกรต ซึ่งเป็นไปตามวัตถุประสงค์ข้อที่ 2 โดยคณะผู้จัดทำ ได้
เรยี นรู้ถงึ วิธกี ารคำนวณของคณิตศาสตร์เพ่ือนำมาใช้คำนวณพน้ื ท่ีเงา ซึ่งไดเ้ รียนรูเ้ น้ือหาคณิตศาสตร์ไป
พรอ้ มกนั ในระหว่างการดำเนินงาน

3. ผลการศึกษา After Midday Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต พบว่า สามารถศึกษา
ความสัมพันธ์ของเวลาในชว่ งต่าง ๆ โดยกราฟและสมการ

4. สามารถสร้างโมเดลทีแ่ สดงผลการเกดิ เงาได้จริง แสดงผลออกมาเป็นรูปธรรม ทำให้ง่ายต่อการทดสอบ
และการศกึ ษา

5. สามารถสร้างโมเดลไดต้ รงตามเกณฑ์ มีความแมน่ ยำและสมบูรณ์

After Midday Architecture 20

การศึกษาพืน้ ท่เี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

6. จากการจัดทำโครงงาน After Midday Architecture การศึกษาพนื้ ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต จึงเกิดการบูร
ณาการระหว่างวิชาคณิตศาสตร์และการออกแบบสถาปัตยกรรม จึงเกิดเป็น After Midday
Architecture การศึกษาพื้นที่เงาโดยใช้อินทิเกรต ที่มีเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์เรื่อง แคลคูลัสพื้นฐาน
ตรีโกณมิติ และนอกจากเนื้อหาวิชาคณิตศาสตรแ์ ล้วยงั มีการบูรณาการร่วมกับวิชาวิทยาศาสตร์ในส่วน
ของ แสงและเงา การโคจรในระบบสรุ ยิ ะ จงึ เกิดเปน็ โครงงาน After Midday Architecture การศึกษา
พื้นทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทิเกรต ที่สมบูรณ์

ประโยชน์ของโครงงาน
1. ไดอ้ อกแบบโรงจอดรถทส่ี ามารถสรา้ งพ้นื ทเี่ งาใหแ้ ก่ตวั บ้าน
2. ได้ศกึ ษาและคำนวณพืน้ ทเ่ี งา
3. ได้ศึกษาเนื้อหาวิชาต่างๆ โดย วิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อแคลคูลัสเบื้องต้น และตรีโกณมิติ วิชา
วิทยาศาสตรใ์ นหวั ข้อแสงและเงา และการโคจรในระบบสรุ ยิ ะ
4. ได้ศึกษาเนื้อหาเกี่ยวกบั การออกแบบสถาปัตยกรรม ในการออกแบบแปลนบ้าน การสร้างโมเดล 3
มติ ิ โดยใช้โปรแกรม SketchUp และการทำโมเดล
5. ไดน้ ําวิชาคณติ ศาสตร์มาบรู ณาการกบั วิชาอ่นื ๆได้เปน็ อยา่ งดี
6. ใช้เวลาวา่ งใหเ้ กดิ ประโยชน์

ข้อเสนอแนะ
1. สามารถนำไปต่อยอดสถาปัตยกรรม เพือ่ สร้างสิ่งปลูกสร้างอืน่ ๆ ท่ีสามารถสร้างพ้ืนท่ีเงาในบริเวณ
ตา่ ง ๆ ได้
2. สามารถนำความรูเ้ ร่อื งการคำนวณหาพืน้ ท่เี งาไปใชป้ ระโยชน์ต่อได้
3. สามารถนำความรู้ในดา้ นการออกแบบโดยใชโ้ ปรแกรมไปสร้างสถาปตั ยกรรมใหม่
4. สามารถนำแปลนบ้านและโรงจอดรถไปเปน็ แปลนตัวอยา่ งในการสรา้ งที่อยู่อาศัย
5. ใชค้ วามรู้ในการออกแบบเพ่อื หารายได้

After Midday Architecture 21

การศกึ ษาพนื้ ท่เี งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต

บรรณานกุ รม

เรยี นคณติ กบั ครูหญิง.//(2561).//อตั ราสว่ นตรีโกณมติ .ิ //สบื ค้นเม่ือ 12 ตลุ าคม 2565,/จาก/
https://sites.google.com/site/khruhyingyanisa/xatraswn-trikonmiti/khwam-hmay-
xatraswn-trikonmiti

ศนู ย์การเรยี นรูว้ ิทยาศาสตรโ์ ลกและดาราศาสตร์.//(2559).//การเคลื่อนที่ในรอบวัน.//
สบื คน้ เมอ่ื 15 ตลุ าคม 2565,/จาก/http://www.lesa.biz/astronomy/celestial-
sphere/celestial-motion/diurnal-motion

ศูนย์การเรียนรวู้ ิทยาศาสตรโ์ ลกและดาราศาสตร.์ //(2559).//ฤดูกาล.//สืบคน้ เมอ่ื 15 ตุลาคม 2565,/จาก/
http://www.lesa.biz/astronomy/astro-events/seasons

สมาคมดาราศาสตร์ไทย.//(2564).//เวลาดวงอาทิตยแ์ ละดวงจนั ทร์ขึ้น.//สบื ค้นเม่อื 12 ตลุ าคม 2565,/จาก/
http://thaiastro.nectec.or.th/skyevnt/sunmoon/2021/ratchaburi.html
อดศิ ร ศรเี สาวนนั ท์, การศึกษาความสมั พันธ์ระหว่างเงาและทีว่ า่ งทางสถาปตั ยกรรม (วทิ ยานิพนธ์

ปรญิ ญามหาบัณฑิต คณะสถาปัตยกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยศิลปากร, 2548)
Ar93design.//(2564).//รวมแปลนบ้านสวยๆตอบโจทย์การใชง้ าน.//สืบคน้ เมือ่ 5 ตุลาคม 2565,/จาก/

https://www.ar93design.com/Article/Detail/146088
bimspaces.//(2565).//โปรแกรมยอดฮิต.//สบื ค้นเม่ือ 5 ตลุ าคม 2565,/จาก/

https://bimspaces.com/blog/free-model-sketchup/#
CC Solar.//(2563).//ศกั ยภาพพลังงานแสงอาทิตย์ของประเทศไทย.//สืบค้นเม่ือ 12 ตลุ าคม 2565,/จาก/

https://shorturl.asia/qxYcH
Scimath.//(2560).//แคลคลู สั เบอ้ื งต้น.//สืบคน้ เมอื่ 5 ตุลาคม 2565,/จาก/

https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7324-2017-06-17-06-14-55

thepexcel.//(2562).//เรยี น Calculus ด้วย Excel.//สืบคน้ เมอื่ 5 ตลุ าคม 2565,/จาก/
https://www.thepexcel.com/calculus-excel-02-integrate/

After Midday Architecture 22

การศึกษาพืน้ ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

ภาคผนวก
ภาคผนวก ก : สรา้ งบา้ น 3 มิติ
1. แบ่งสัดส่วนห้องภายในบา้ นตามแปลน โดยใชค้ ำสงั่ Rectangle

ใสค่ ่าของขนาดที่ต้องการ

2. สรา้ งเสน้ กำแพง โดยใช้คำส่งั offset และยกความสงู กำแพง โดยใช้คำสั่ง Push/Pull

3. รา่ งเส้นประต/ู หนา้ ต่าง และทำการเจาะกำแพงโดยใช้คำส่ัง Push/Pull ลากจนขน้ึ on face

4. สร้างประตแู ละหน้าต่างตามแบบที่ต้องการ

After Midday Architecture 23

การศึกษาพนื้ ทเ่ี งาโดยใช้อนิ ทเิ กรต

5. สรา้ งหลงั คาตามแปลนบ้าน

6. ใสเ่ ฟอรน์ เิ จอร์ ใช้คำสัง่ Window เลอื ก 3D Warehouse และดาวนโ์ หลดเฟอร์นิเจอร์
7. ลงสตี ัวบา้ นและพ้ืน โดยใช้คำสัง่ Paint Bucket
8. ประกอบบ้านและหลังคาเขา้ ดว้ ยกนั เปน็ อันเสร็จส้ิน

After Midday Architecture 24

การศกึ ษาพื้นทเี่ งาโดยใช้อินทิเกรต

ภาคผนวก ข : โมเดลบา้ น
1. วดั ขนาดกำแพง ประตูและหน้าตา่ งตามอัตราสว่ น และตัดตามไดว้ ดั

2. ประตูและหนา้ ตา่ ง และนำมาติดชอ่ งวา่ งของไม้ท่ตี ัด
3. ทาสไี มด้ ว้ ยสโี ปสเตอรส์ ีขาว
4. ประกอบไมต้ ิดเขา้ ดว้ ยกันตามแปลนบ้าน

After Midday Architecture 25

การศึกษาพื้นทเี่ งาโดยใชอ้ นิ ทเิ กรต

5. วดั และตัดหลงั คาตามอัตราส่วน และนำหลังคามนั ตดิ กับตัวบา้ นให้เสร็จสมบรู ณ์

After Midday Architecture 26

การศกึ ษาพื้นทเี่ งาโดยใชอ้ นิ ทิเกรต

ภาคผนวก ค : พืน้ ท่ีเงา

ความสัมพันธร์ ะหวา่ งพนื้ ท่เี งากบั เวลา ณ เส้นศนู ย์สตู รและจังหวดั ราชบรุ ี
1. วนั ท่ี 20 - 21 มนี าคม

เวลา พน้ื ท่ีเงา ณ เสน้ ศูนย์สตู ร (cm2) พืน้ ที่เงา ณ จ.ราชบรุ ี (cm2)
7.00น. 497751.4 483998.6
8.00น. 174391.6 169573.2
9.00น. 95830.58 93182.78
10.00น. 56718.55 55151.42
11.00น. 30526.98 29683.52
12.00น. 9400.215 9140.487
13.00น. 10936.78 10109.52
14.00น. 31671.55 30796.47
15.00น. 58260.84 56651.09
16.00น. 98451.44 95731.2
17.00น. 180735.4 175741.6
18.00น. 545582.9 530508.4

After Midday Architecture 27

การศึกษาพ้ืนที่เงาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

2. วันท่ี 20 - 21 มิถนุ ายน พื้นทเ่ี งา ณ เสน้ ศนู ยส์ ูตร (cm2) พ้นื ที่เงา ณ จ.ราชบรุ ี (cm2)
3748410 3685624
เวลา 281297.5 276585.8
6.00น. 136758.1 134467.4
7.00น. 81478.65 80113.88
8.00น. 49478.5 48649.7
9.00น. 26371.46 25929.73
10.00น. 6947.886 6831.509
11.00น. 11627.9 11433.1
12.00น. 31656.4 31126.1
13.00น. 56326.91 55383.43
14.00น. 92139.56 90596.23
15.00น. 158771 156111
16.00น. 545583 536444
17.00น.
18.00น.

After Midday Architecture 28

การศกึ ษาพืน้ ท่ีเงาโดยใช้อนิ ทิเกรต

3. วนั ที่ 20 - 21 กนั ยายน พ้ืนทีเ่ งา ณ เส้นศนู ยส์ ูตร (cm2) พื้นทีเ่ งา ณ จ.ราชบุรี (cm2)
364366 336796
เวลา 147685.5 143604.9
7.00น. 84206.5 81879.9
8.00น. 49535.4 48166.7
9.00น. 25101.65 24408.09
10.00น. 4602.576 4475.407
11.00น. 15262.73 14841.02
12.00น. 37627.42 36587.78
13.00น. 66071.71 64246.15
14.00น. 112019.3 108924.2
15.00น. 216857.7 210865.9
16.00น. 975282 948335
17.00น.
18.00น.

After Midday Architecture 29

การศกึ ษาพนื้ ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทิเกรต

4. วันที่ 20 - 21 ธนั วาคม

เวลา พ้ืนท่ีเงา ณ เสน้ ศูนย์สูตร (cm2) พื้นที่เงา ณ จ.ราชบรุ ี (cm2)
7.00น. 744636 594696
8.00น. 190631.2 152245.7
9.00น. 98594.1 78741.2
10.00น. 56224.44 44903.09
11.00น. 28604.43 22844.64
12.00น. 6320.193 5047.559
13.00น. 14918.14 11914.23
14.00น. 38673.3 30886.1
15.00น. 70481.5 56289.34
16.00น. 125128.7 99932.82
17.00น. 276495 220820

After Midday Architecture 30

การศกึ ษาพน้ื ทเ่ี งาโดยใชอ้ ินทเิ กรต

ภาคผนวก ง : ข้นั ตอนการดำเนนิ งาน