โคไซน์แสดงทิศทาง

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง

จดั ทาโดย

นางสาว กญั ญา บญุ ศรี เลขท่ี 14
นางสาว นตวรรณ ศรแี ค เลขท่ี 19
นางสาว พทั ธธ์ รี า หงสท์ อง เลขท่ี 23

เสนอ
คุณครู ศิรวิ รรณ ขาพาลี

1

คำนำ

รายงานเล่นนีจ้ ดั ทาขนึ้ เพ่อื เป็นส่วนหน่งึ ของรายวชิ าคณิตศาสตร์ เพม่ิ เติม 3
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โดยมีจดุ ประสงคเ์ พ่อื ใหไ้ ดศ้ กึ ษาหาความรูใ้ นเรอ่ื ง โคไซแสดงทศิ ทางและ
ไดศ้ กึ ษาอย่างเขา้ ใจเพ่อื เป็นประโยชนก์ บั การเรยี น

ผจู้ ดั ทาหวงั ว่า รายงานเลม่ นีจ้ ะเป็นประโยชนก์ บั ผอู้ า่ นท่ีกาลงั หาขอ้ มลู เร่อื งนีอ้ ยู่
หากมีขอ้ แนะนาหรอื ขอ้ ผิดพลาดประการใด ผจู้ ดั ทาขอนอ้ มรบั ไวแ้ ละขออภยั มา ณ ท่ีนีด้ ว้ ย

คณะผจู้ ดั ทา
19 กนั ยายน 2564

2

สำรบญั

เรอ่ื ง หนา้
แบบทดสอบก่อนเรยี น.........................................................................4
ใบควำมรู้เร่ืองโคไซน์แสดงทิศทำง...............................................................9
แบบฝึกทกั ษะ................................................................................................13
แบบทดสอบก่อนเรียน..................................................................................14
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน...................................................19
เฉลยแบบฝึกทกั ษะ.......................................................................................20
แหล่งอำ้ งอิง..................................................................................................22

3

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
เร่อื งโคไซนแ์ สดงทศิ ทาง

1. จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี p (0,3,5) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (1,5,2)

1 21

ก. 12 , 12 , 12

1 −1 1

ข. 12 , 12 , 12

3 −1 1

ค. 14 , 14 , 14

1 2 −3

ง. 14 , 14 , 14
2. จงหาเวกเตอรพ์ รอ้ มทง้ั หาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรซ์ ง่ึ มจี ดุ เรม่ิ ตน้ และจดุ สน้ิ สุดดงั ต่อไปน้ี

จดุ เรม่ิ ตน้ P(2,5,3) จดุ ส้นิ สุด Q(3,5,−1)

1 21

ก. 17 , 17 , 17

1 0 −4

ข. 12 , 12 , 12

1 0 −4

ค. 17 , 17 , 17

1 01

ง. 17 , 17 , 17

4

3.จงหาเวกเตอรพ์ รอ้ มทง้ั บอกขนาดซง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ และจดุ ส้นิ สดุ ดงั ต่อไปน้ี
จดุ เร่มิ ตน้ P(2,5,3) จดุ ส้นิ สดุ Q(3,5,−1)

ก. ขนาดของ = 12 + 02 + −42 = 17

ข.ขนาดของ = 12 + 12 + −42 = 15

ค.ขนาดของ = 0 + 12 + −42 = 15

ง.ขนาดของ = 0 + 02 + −22 = 17

4. โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี p(0,2,2) และจดุ ส้นิ สดุ ทQ่ี (-1,1,-1)ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. - 1 , − 1 3
11 11
11 , -

11 3

ข . - 11 , 11 , - 11

ค. 2 , − 13
11
11 , - 11

ง. - 2 , − 13
11
11 , - 11

5

5. จงตรวจสอบว่าเวกเตอรต์ ่อไปน้ีต่างกนั ขนานกนั

ก. เวกเตอร์ มจี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(1,2,3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2, -3,5)
2

ข. a = −10
4

ค. เวกเตอร์ ซง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนิดและจดุ จดุ ส้นิ สุดท่ีR(-3,15,-6)

6. กาหนด ഥ = 2 ҧ + 6 ҧ + 3 ത จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ ത

1 ,3,5

ก.7 77

2 , 6 , 8
7 7
ข.7

1 ,4,5

ค.7 77

ง. 2 , 6 , 3
7 7 7

6

7. จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(0,3,5) และจดุ ส้นิ สุดทQ่ี (1,5,2)

ก. 1 = 2 =− 3
14 14 14

ข. 1 =− 2 =− 3
14
14 14

ค. 1 = 2 = 3
13 13 13

ง. 2 = 3 = 4
13 13 13

−2 จงตรวจสอบว่าเวกเตอรใ์ นขอ้ ใดมที ศิ ทางเดยี วกบั ത หรอื มที ศิ ทา
8. กาหนด ത = 1

3
ตรงกนั ขา้ มกบั ത

1) มจี ดุ เร่มิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนิด และจดุ ส้นิ สุดท่ี P ( 4 , -2 , -6 )

2) มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี A ( -3 , 0 , 4 ) และจดุ ส้นิ สุดท่ี B( 3 , 3 , 13)

ก. และ มีทิศทางเดียวกบั ത

ข. และ มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത

ค. มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത และ มีทิศทางเดียวกบั ത

ง. มีทิศทางเดียวกนั กบั ത และ มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത

7

9. เวกเตอร์ จดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(1 , 2 , 3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2 , -3 , 5) จงหาขนาดของเวกเตอร์
ก. 29
ข. 30
ค. 31
ง. 32

10. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอรต์ ่อไปน้ีคู่ใดบา้ งขนานกนั และจงบอกดว้ ยวา่ มที ศิ ทางเดยี วกนั หรอื มที ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม
1) เวกเตอร์ จดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี P(1 , 2 , 3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2 , -3 , 5)

2
2) ഥ = −10

4
3) เวกเตอร์ ซง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนิด และจดุ ส้นิ สุดท่ี R (-3 , 15 , -6)

ก. // ത ทศิ ทางเดยี วกนั
ข. // ത ทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม
ค. ത // ทศิ ทางเดยี วกนั
ง. // ทศิ ทางเดยี วกนั

8

ใบความรู้เร่ืองโคไซน์แสดงทศิ ทาง
โคไซนแ์ สดงทิศทาง การกาหนดทิศทางของเวกเตอร์น้นั นอกจากกาหนดดว้ ยพิกดั ของเวกเตอร์

แลว้ ยงั สามารถกาหนดดว้ ยมุมที่เวกเตอร์ทากบั แกนพกิ ดั ท้งั สามดงั น้ี

1
กาหนด p(a1,a2,a3) จะได้ = 2

3
กาหนด α,β,γ∈[0,π] เป็นขนาดของมุมท่ีวดั จากแกนพิกดั ดา้ นบวกท้งั สามตามลาดบั ไป
ยงั จะได้
Cosa= = 1



Cosb= = 1



Cosy= = 1



9

หมายเหตุ ในที่น้ี OQ,OR,OS หมำยถึง ระยะท่ีมีทิศทำงตำมแนวแกน X,Y,Z ตำมลำดบั
α,β,γ คือขนำดของมุมที่ ทำกบั แกน X,Y,Z ทำงดำ้ นบวกตำมลำดบั เรียกมุมดงั กล่ำววำ่
มุมกำหนดทิศทำง (direction angle) ของ และเรียก cosα,cosβ,cosγ วำ่ โคไซน์แสดง
ทศิ ทาง (direction cosines) ของ สำมำรถนิยำมโคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ใดๆ

1
บทนิยาม ให้ = 2 ป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศนู ย์ โคไซน์แสดงทศิ ทาง(direction
cosines) ของ a⃗ เทียบ ก 3นั แกน X,Y,Z ตำมลำดบั คือจำนวนสำมจำนวนซ่ึงเรียงตำมลำดบั ดงั น้ี
1 , 2 , 3



น่ีคือนิยำมในกำรหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงครับ จำไปใชไ้ ดเ้ ลยครับทุกท่ำนครับ ไปดูตวั อยำ่ งง่ำยๆ
ในกำรหำโคไซนแ์ สดงทิศทำง

10

3
ตวั อย่าง ให้ ⃗ 4 จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃗

5

วธิ ีทำ ทำตำมนิยำมเลยครับ กค็ ือ โคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃗ คือ

1 , 2 , 3



ในที่น้ีเรำให้ a1=3,a2=4,a3=5ต่อไปหำขนำดของ ⃗ ซ่ึง

⃗ = 32 + 42 + 52

= 9 + 16 + 25

= 50

=5 2

ดังนน้ั โคไซน์แสดงทิศทางของ ⃗ คือ 3 , 4 , 5
52 52 52

11

บทนิยาม เวกเตอร์สองเวกเตอร์ จะมีทิศทำงเดียวกนั กต็ ่อเม่ือ มีโคไซนแ์ สดงทิศทำงชุด
เดียวกนั และจะมีทิศทำงตรงกนั ขำ้ ม กต็ ่อเม่ือ โคไซนแ์ สดงทิศทำงเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์
หน่ึงเป็นจำนวนตรงขำ้ มกบั โคไซนแ์ สดงทิศทำงของอีกเวกเตอร์หน่ึง
ตัวอย่าง จงตรวจสอบวำ่ เวกเตอร์ต่อไปน้ีคู่ใดขนำนกนั
1) เวกเตอร์ จุดเร่ิมตน้ ที่ P(1 , 2 , 3) และจุดสิ้นสุดท่ี Q (2 , -3 , 5)

2
2) ഥ = −10

4
3) เวกเตอร์ ซ่ึงมีจุดเริ่มตน้ ที่จุดกำเนิด และจุดสิ้นสุดท่ี R (-3 , 15 , -6)
วธิ ีทา มำดูคำวำ่ ขนำนกนั ก่อน เวกเตอร์ขนำนกนั น้นั อำจจะขนำนแบบมีทิศทำงเดียวกนั หรือ
ขนำนกนั แบบทิศทำงตรงกนั ขำ้ มกไ็ ดถ้ ำ้ ขนำนกบั แบบทิศทำงเดียวกนั แสดงวำ่ โคไซนแ์ สดง
ทิศทำงตอ้ งเป็นตวั เลขชุดเดียวกนั แต่ขนำนกนั แบบทิศทำงตรงกนั ขำ้ ม โคไซนแ์ สดงทิศทำงตอ้ ง
เป็นตวั เลขชุดเดียวกนั แต่เคร่ืองหมำยตรงกนั ขำ้ ม
ดงั น้นั // ത ทิศทำงเดียวกนั

12

แบบฝึ กทกั ษะ

1.กำหนด ഥ = 2 ҧ + 6 ҧ + 3 ത จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ത
2.จงหำผลบวกของโคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ เมื่อ 0,3,5 และ
1,5,2
3.จงหำผลบวกของโคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ เม่ือ 0,3,5 และ 1,5,2

13

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
เร่อื งโคไซนแ์ สดงทศิ ทาง

1. จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี p (0,3,5) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (1,5,2)

1 21

ก. 12 , 12 , 12

1 −1 1

ข. 12 , 12 , 12

3 −1 1

ค. 14 , 14 , 14

1 2 −3

ง. 14 , 14 , 14
2. จงหาเวกเตอรพ์ รอ้ มทง้ั หาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรซ์ ง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ และจดุ สน้ิ สุดดงั ต่อไปน้ี

จดุ เรม่ิ ตน้ P(2,5,3) จดุ ส้นิ สุด Q(3,5,−1)

1 21

ก. 17 , 17 , 17

1 0 −4

ข. 12 , 12 , 12

1 0 −4

ค. 17 , 17 , 17

1 01

ง. 17 , 17 , 17

14

3.จงหาเวกเตอรพ์ รอ้ มทง้ั บอกขนาดซง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ และจดุ ส้นิ สดุ ดงั ต่อไปน้ี
จดุ เร่มิ ตน้ P(2,5,3) จดุ ส้นิ สดุ Q(3,5,−1)

ก. ขนาดของ = 12 + 02 + −42 = 17

ข.ขนาดของ = 12 + 12 + −42 = 15

ค.ขนาดของ = 0 + 12 + −42 = 15

ง.ขนาดของ = 0 + 02 + −22 = 17

4. โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี p(0,2,2) และจดุ ส้นิ สดุ ทQ่ี (-1,1,-1)ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. - 1 , − 1 3
11 11
11 , -

11 3

ข . - 11 , 11 , - 11

ค. 2 , − 13
11
11 , - 11

ง. - 2 , − 13
11
11 , - 11

15

5. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอรต์ ่อไปน้ีต่างกนั ขนานกนั

ก. เวกเตอร์ มจี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(1,2,3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2, -3,5)
2

ข. a = −10
4

ค. เวกเตอร์ ซง่ึ มจี ดุ เร่มิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนดิ และจดุ จดุ ส้นิ สดุ ท่ีR(-3,15,-6)

6. กาหนด ഥ = 2 ҧ + 6 ҧ + 3 ത จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ ത

1 ,3,5

ก.7 77

2 ,6,8

ข.7 77

1 , 4 , 5
7 7
ค.7

ง. 2 ,6,3
7
77

16

7. จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรท์ ม่ี จี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(0,3,5) และจดุ ส้นิ สุดทQ่ี (1,5,2)

ก. 1 = 2 =− 3
14 14 14

ข. 1 =− 2 =− 3

14 14 14

ค. 1= 2= 3
13
13 13

ง. 2 = 3 = 4
13 13 13

−2 จงตรวจสอบวา่ เวกเตอรใ์ นขอ้ ใดมที ศิ ทางเดยี วกบั ത หรอื มี
8. กาหนด ത = 1
ทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกบั ത 3

1) มจี ดุ เร่มิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนิด และจดุ ส้นิ สุดท่ี P ( 4 , -2 , -6 )

2) มจี ดุ เร่มิ ตน้ ท่ี A ( -3 , 0 , 4 ) และจดุ ส้นิ สุดท่ี B( 3 , 3 , 13)

ก. และ มีทิศทางเดียวกบั ത

ข. และ มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത

ค. มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത และ มีทิศทางเดียวกบั ത

ง. มีทิศทางเดียวกนั กบั ത และ มีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ത

17

9. เวกเตอร์ จดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี P(1 , 2 , 3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2 , -3 , 5) จงหาขนาดของเวกเตอร์
ก. 29
ข. 30
ค. 31
ง. 32

10. จงตรวจสอบว่าเวกเตอรต์ ่อไปน้ีคู่ใดบา้ งขนานกนั และจงบอกดว้ ยว่ามที ศิ ทางเดยี วกนั หรอื มที ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม
1) เวกเตอร์ จดุ เร่มิ ตน้ ท่ี P(1 , 2 , 3) และจดุ ส้นิ สุดท่ี Q (2 , -3 , 5)

2
2) ഥ = −10

4
3) เวกเตอร์ ซง่ึ มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ทจ่ี ดุ กาเนิด และจดุ ส้นิ สุดท่ี R (-3 , 15 , -6)

ก. // ത ทศิ ทางเดยี วกนั
ข. // ത ทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม
ค. ത // ทศิ ทางเดยี วกนั
ง. // ทศิ ทางเดยี วกนั

18

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรยี น

1. ง
2. ค
3. ก
4. ก
5. ค
6. ง
7. ก
8. ข
9. ค
10. ก

19

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ

1.กำหนด ഥ = 2 ҧ + 6 ҧ + 3 ത จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ത
ത = 2 ҧ + 6 ҧ + 3 ത
ത = 22 + 62 + 32 = 4 + 36 + 9 = 49 = 7

โคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ത คือ 2 , 6 , 3

777

2.จงหำผลบวกของโคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ เม่ือ 0,3,5 และ
1,5,2

0−1 −1

= 2 − −2 = 4

4−6 −2

= −12 + 42 + −22 = 1 + 16 + 4 = 21

โคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ คือ −1 , 4 , −2

21 21 21

20

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ

3.จงหำผลบวกของโคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ เม่ือ 0,3,5 และ 1,5,2
1−0 1

= 5 − 3 = 2
2 − 5 −3

= 12 + 22 + −32 = 1 + 4 + 9 = 14
โคไซนแ์ สดงทิศทำงของเวกเตอร์ คือ 1 , 2 , −3

14 14 14

ผลบวก
1 + 2 + −3 = 0 = 0

14 14 14 14

21

อ้างองิ

• https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/1037
-direction-cosines

• https://www.facebook.com/media/set/?set=a.147
486712079075.30606.144567962370950&type=3

• https://www.youtube.com/watch?v=I90ArAZ_ZlM

22