[Lehmann]GeometriaAnalitica

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

Qrupo 43. p. e78

- +8. x

-13. x
- +20. x
2 - Iyirt, y = I fiat. -
- y'.
a arc cop 7 4 ba - +
b,
-a con 9 a8 sen 8, y = a sen 8 a8 cor 8 .

+1. x 2 y' = 2aa. + - +(x' y')Z a'x2 b' yf.

-2. Directciz: x a p. - -(,' f y2)2 = 02x' b2y2.

3. Circulodirector: xZ+y'=a2-bZ. kx p.
kx' - y2 ka' - b2.
+ +4. x 2 y2 a x 3 0. - ++x' y' 6px pZ 0.
+ +5. b Z x Z nz yz obZx = 0.
+ -x' yZ al.
- + -6. 2x2 2xy 2x - y 0. +x 2 y2 = 02.

7. (k'+k) ?x2+ (&+I) a y2=kZIz. + - + -'(x' ya +2x) 4 (x'
y2)
8. El cje Y.

1. . 3 6 6 . + - '.5. d d (XI - XI) (yl y,)

3. 21.91. 7. 7 snidades del origen.

8. 2 47 del eje X : 4%del rje Y : 5 del eje Z.
-11. 3 di6 nobre el plano XY.
12. 3. 14. 3: 1.
+ + - -15. Ssperficic crfirica; x' y'

-16. Plano: lox - 4y - 42 - I
z 2 4% - 2y - 82 - 4 0.

0. 18. (3. 3.i.j C ) .

- -20. (- 2. 1. 4 ) .
s,19. (3.6. 5) ; (,- >6. 36. 3) : (1. 1. 4).

22. x 9. z 5.

21. 3. 23. (3. 0, 3).

4 84 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Grupo 52, p. 339

Grupo 63, p . 347
orupo 64, p. 355

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 485

Grupo 55, p. 563

1. 4 2 ~ + ~ + z 1-0 = 0 : 4 ? ~ + ~ - z - 1 0 = 0 .

- + - -7. 2x - 6y 32 35 = 0; 2x 6y 32 - 35 = 0.

8. k 5 f 2 . -14. 2j(a.

9. ~ / o x + ~ ~ y - ~ 6 ~ - 2 = 0 .15. 5.

10. 5. 16. 7.
18. 6.
11. 9 4 4 % .

12. 1. 19. 33.

13. - 2.

20. 2 x - y + 2 z - 1 5 = 0 ; 2 x - y + 2 z - 3 = O .

21. k = 3, 94.

- + + + +24. 7x y 22 9 = 0: 5x 7y - 142 27 a 0.
+ - - + +25. 131x 19y 10z = 0: 23x 1 0 7 ~ 982 3% = 0.
+ +26. 4x 3y - 22 = 0; 5~ - 62 12 = 0.

33. 40.

Grupo 56, p. 368

4 8 6 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Orupo 67, p. 375

Orupo 58; p. 381

SOLUCIONES A LOS EJERClClOS

+ + - - + + -2. x' ya zz 62 4y 4s3 0.
8. x'
+ + + +-3. xy y' z* 4% = 17.10. x'
11. x s
- + - + - --4. Ccntro (4, 3, 6) ; r 7.18. 5x

+ + -5. 16n nnidader cnadradaa.

+ + - - - + + -+6. x' y' zZ 6y 41 4.
-y" z' 4x 22 44.
22 70.
y S + z' 6x 2y 22 = 3.

- -ys 2' 2% 4y

3y 5z 1 0.
+ - + - -19. 8x + 2 y + 8 z 17 0, 3x4-2y 2z 12 0.

-27. r 4 rcn e rcn 8.
- - -28. a) B arc tg (- K) ; b) r r m g rtn B 2; c) r ren g 2:
+ - -+d) r2 rcn'
+ - - + + -+30. a) x' y, zs 16; b ) y 7: c) x' y' z' 3z = 0.
2r' cor2 $I 4; e) 9 45'. 9 115'.

Qrupo 62, p. 406

-21. (5. arc tg $6, 7). (13. arc tg (- '5:). 8).

22. a) 0 -arc tg2: 6 ) r - 2 r e n 0; c) r S + z ' = 4;

- -d) r' car' 0 z' = 4; e) r2rent 8 42.

Qrupo 63, p. 410

488 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO

+18. x2 - y2 zz 0. 20. 83$rc unidades cubicas.

+19. x y $ x z yz 0 0. 21. 9 4%unidades cuadrada.9.
r * dTZ.
22. a ) d = arc tg 4 5 ) ; b)

Grupo 64, p. 414

+5. x 2 y2 - z 2 tg2 d = 0. + +14. x ' + z 2 + 2 y = 6 .
+6. yz z 2 - 4 p x = 0.
15. x' y2 - 2z2 42 = 6.
7. X2 + L2 + Z2 =1 .
+16. 9x" 9y2 - 4z2 242 = 36.
a2 bZ b2
17. y4 - 4 x = - 42' = o .
+ +9. x Z y2 z 2 = 4.
18. x " y 2 - z 2 = 0 .
10. 9x2 - y2 - z Z= 0.
+19. z = e W f l .
+11. x 2 z" 2y = 0.
20. x' z' y'zZ = 1.
12. y2 - x a - z 2 = 4.
+ +27. r sen2 d - 2 cos 6 = 0.
+ +13. 9x2 4y2 9zz = 36.
28. r' cosa B 4rZsen2 42' = 4.

+ +29. 5x2 9y2 9z2 = 45.

30. ( x 2 + y2 + z 2 + b 2 - a"' = 4 b a ( y 2 + z 2 ) .

+ +a. xe ya 222 = 4. 21. x = + 4ya + 2 z 2 = 7

9. 8 d n unidades ctbicas. 32. x 2 - 2 y 2 = 2 z .

+ -20. x 2 y' z 2 = 4.

Grupo 70, p. 450

INDICE ALFABETICO

Abscisa, .5. Boyle, 290.
Adicidn de ordenadas, 309. Braquistocrona, 274.
Agnesi. 290. Bruja. 290.
Alfabeto griego. 4 62.
Aigebra, fdrmulas, 45 7. C
Amplitud. 296.
Angulo. Caracol. 249, 262.
ianiioide, 247. 249, 264.
cbncavo, 16.
de dos curvas. 124. ecuaciones paramltricas de la, 2 76.
de doe planos. 350. Cassini. 263.
de dos rectas, 20. Catenaria, 3 1 1.
Cen tto.
dirigidas, 16. 33 3.
de fare, 297. de gravedad del tribngulo, 327.
generador. 4 14. radical, 118. 399.
de inclinacibn. 17. de simetria, 35.
de una recta y un plano, 384. Centroide del tetraedio, 327.
vectorial, 238. Ciclo, 296.
Angulos directores, 328. Cicloide. 268. 272.
Anillo de ancla, 4 16. Cilindro.
Arco parabblico. 167. hiperbblico, 43 8.
Area de un triingulo, 86. parabblico. 394.
Argumento, 238. Cilindros proyectantes. 444.
Arquimedes. 244. 250. Circulo director. 281.
Artificio de 10s n6meros directores, Circuncentro, 64.
Circunferencia, 99.
338. cuerda de contacto, 129.
Asintotas,
determinada p o t tres conditioner.
de una curva, 4 1.
de la hiplrbola. 198. 106.
Astroide, 277. ecuacibn.

Baricentro. 16. canbnica, 100.
Bernoulli, 248. en coordenadas polares. 25 4.
Bifoliada, 295. en forma de determinante, 108.
Birectricer. 84. forma ordinaria, 99.
general. 103.
de una tangente. 125.
ecuacioner paramdtricar. 265.
evolvente de la, 279.
exinscrita, 1 10.

490 INDICE ALFABETICO

Circunfcrcncia, Cuidricar.
dc lor nuevc puntoa. 13 2. clasificaci6n. 427.
hornofocalea. 4 39.
Cisoide. 4 5 , 249. 262, 291.
Colincalcs. 8 8. Cucrda,
Conciclicos. 108. dccontacto. 129. 164, 190. 209.
Concoidc. 249, 264, 292. dc la elipac. 174.
Condicibn ncccsaria y mficicntc. 19. focal. 150, 174. 192.
dc la hipirbola, 19 2.
Cbnica, dc la paribola. 150.
dcfinicidn analitica. 2 12.
dcfinicibn gcomitrica. 2 20. Curva,
no central, 2 10. dc Agnesi, 290.
alabcada. 440.
C6nicar. algcbraica, 286.
aoto-ortogonaltr, 23 I. dc error. 307.
ccntraler, 2 10. cxponcncial. 306.
corxialea, 230. dc Lami, 295.
en coordcnrdas polarcr, 2 5 6 . logaritmica, 304.
dcgcncradar. 2 10.) pedal. 282.
gintro, plana dc grado aupctior. 287.
clipre. 2 16. polinomia, 287.
hipirbola. 2 16. de probabilidad. 307.
paribola, 2 16.
bomofocalcr, 20 9. 22 9. Curvar,
repreacntacibn paramitrica, 26 9. circundrntcr. 3 12.
rcmrncn. 2 11. compucrtar, 309.
en el capacio, 4 4 0 .
Cono aaintbtico. 43 1. ortogonaler, 124.
Conoidc. 4 19. planar, 44 1.
Constroccibn, polinorniaa. 287.
potencialca, 289.
decurvar, 43. 244, 446. traaccndentcr, 286.
en coordenadar polarer, 244. ttigonomitricar invcrsar. 3 0 1.
dcl cspacio. 4 4 6 .
D
de ruperficicr, 39 2.
Dcrcartca. 10. 295.
dc volimencr. 4 5 1. Determinaatcr. 45 8.
Coordcnada a, Diimctro, 164, 174, 190, 192,

cilindricar, 403. 210.
crfiricar. 3 96. Diimetror conjugador. 190. 2 10.
polarcr, 237 . Dircctriz, 149. 220. 223. 224,

par principal. 23 9, 400, 406.
rcctangolarcr. 6. Discuaibn dc on8 ccuacibn. 33.
Corccantoidc. 300, Dirtancia entre dos puntor. 5 . 11.
Coscnoa dircctorcr, 3 28.
Coainoroidc. 299. 251, 321.
Cotangentoidc, 300. Divitibn dc on regmento. 12. 3 23.
Cramer. 459. Duplicacibn dcl cobo. 29 1.
Cruciformc, 295.
Cuadrante. 5. ef p e-=. valorcr de, 4 6 8.
Coadratura dcl circalo, 293. Ecoaci6n.
Cuidricar, 4 25.
dircwidn de una. 33.
.con ccntro. 4 2 6 .
sirtema de 375
rin ccntro, 426. 433.





INDICE ALFABETICO

0 Planos.
asintBticos, 4 3 8.
Octante. 3 19. biaectores. 3 6 2.
Ordenada, 5. coordenados, 3 18.
proyectantes, 37 7.
en el origen, 5 9.
Origen. 1. 5 . 3 1 8 . Padaria. 284.
Ortocentro. 64. Podarias. 282.
Ovalos de Cassini, 26 3. Polo. 237.
Potencias y raices, 4 6 8.
P Propiedad focal. 168, 187, 208

Papel coordenado polar, 2 39. ProyecciBn ortogonal, 3 2 1.
Paribola, 149.
Proyecciones paralelas. 3 20.
aplicaciones, 16 7. Punto.
cubica. 3 8.
cuerda de contacto, 1 6 4 . aislado, 2 95.
diimetro, 164. do contacto. 1 2 1.
ecoaciones paramitricas, 270. inicial, 1.
excentricidad, 2 22. miximo, 165.
primera ecuacidn, 152. medio, 13. 325.
propiedad focal. 1 68. minimo, 165.
seccidn de un cono. 2 3 5 . de thngencia, 12 1.
segunda ecuacidn. 15 5. Pontos conciclicos, 1 08.
sernic~ibica,4 0.
tangente a la, 16 I . RadiaciBn de planos, 36 8.
Paraboloide, Radio vector. 1 5 0 . 1 7 4 , 1 9 2 ,
eliptico. 4 33.
hiperb6lico. 4 17, 4 34. 237, 397.
de revolocion. 3 9 3 . 4 1 4 . 4 3 4 . Recta,
Paraboloides homofocales. 4 3 9 .
Paralelismo, de Euler. 7 2.
de planos, 35 2. final. 20.
de recta y plano, 3 8 3 . inicial. 20.
derectas. 23, 336. 338. de Simpson, 13 2.
Paralelo, 4 12.
.Rectas.
Parimetro, 9 1, 266. concurrentea. 7 1
Pascal. 2 6 2. que se cruzan, 3 2 7.
Reflector parab6lico. 170.
Pendiente, Regla de Cramer. 4 5 9 .
Regulos. 4 3 1.
.de una curva, 12 1 Rosa de cuatro hojas. 2 4 9 .
Rotacidn de ejes, 139. 4 2 0 . 4 2 2 .
final. 2 1 Ruleta, 272.
inicial, 2 1.
de ona recta, 16. S

Perpendicularidad, Secantoide. 300.
de planos. 35 2. SecciBn meridiana, 4 12.
de recta y plano, 3 8 3 . Secciones conicas. 2 10. 2 3 3.
de rectas, 23. 336. 338.
casos limites, 2 36 .
Plano. 341. planas, 23 3.
ecuacidn del, 3 4 1 . 3 4 8 , 350. Segmento. 1.
radical. 3 9 9. dirigido. 1.
de simetria. 3 9 1. Serpentina. 295.

494 INDICE ALFABETICO

Simrtria. 35. Tangencia. condici6n de. 122.
en coordenada, polare,. 245. Taagente.
de una curva, 35. 245.
a una circoaferencia. 125.
en el espacio. 39 1 . a una c6nica. 226.
a una curva. 120.
Simpson. 132. ecuaci6n de una. 12 3.
Sino8oide. 295. a una elipre. 186.
Sistrma. a una hipirbola, 207.
longitud de la. 123.
de cbaicas. 2 28. a una paribola. 16 1.
coordenado. Tangeatoide. 299.
Terna ordenada. 320.
lineal. 3. 4. Tipo.
de mano derecha. 3 18. hiperbdlico. 289.
de mano izqoicrda, 3 1 8 . parabdlico. 28 9.
en el plano. 5.
de coidrica, sin centro. 4 39 .Toro. 416.
de ecoacione8. 4 5 8 .
lineales. 4 58 Tranrformacidn de c o o r d e n a d a s
Sobnormal. 1 23. 133. 241. 397. 404. 419.
Sobraagente. 1 23.
Superficie. Traslacidn de ejcr. 1 3 5. 4 1 9.
ciliadrica, 400. 402. Trayectoria, ortagonales, 124, 23 1.
circolar. 403. Trigoaometria. fdrmolaa. 45 9.
eliptica. 403. Triaomio de sogundo grado. 164.
hiperb6lica. 403. Trirecci6n de on ingolo. 29 1.
parabdlica. 40 3. Trisectriz. 295.
cdnica. 406. Trocoide. 274.
reglada. 4 16.
Superficies. 389. Vll0te8 principale,. 302.
con~trocci6nde. 3 9 2. Variable. 285.
discosidn de la ecoacidn. 390. Variables auxiliarcs. 279.
ertenri6n. 393. Virtice de la paribola. 150.
intcrcepciones. 346. Virtice,.
dc revolocibn. 4 1 1.
trazar. 346. de la elipse. 173.
de la hipirbola, 192.
Tabla de potencias y nice,. 468.
Tabla,. 463. .Vibracionea decrecientes. 3 1 1.

Volumenes. 4 5 1



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PLANA, del mismo autor y editado por la mis-
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per0 consistente y completa, lo que permite
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braicas y trascendentes especiales de rnucho
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cicios resueltos. Ademas, la obra re modifica en
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do, sino espec~almenterespecto a la aplicacibn
del metodo vectorial que se trata a q u i de mane^
ra mas amplia.

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mientos relattvos a vectores en el plano coorde.
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ARRA: Y A T l M A T X A S Y EST