HAMIM BUKU_3-dikonversi

HAMIM YA ‘AIN SIN KAF D.EGON

BUKU DIGITAL MATEMATIKA

PERMUTASI
DAN KOMBINASI

UNTUK KELAS XII

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur dipanjatkan selalu kepada
Tuhan Yang Maha Esa. Atas rahmat, taufiq dan
hidayahnya sehingga Penulis dapat menyelesaikan Buku
Digital Matematika Permutasi dan Kombinasi Untuk
Kelas XII ini. Tujuan dari penulisan buku ajar ini tidak
lain adalah untuk membantu para siswa di dalam
memahami materi yang berkaitan dengan Permutasi dan
Kombinasi di SMA.

Buku Digital ini memberikan informasi mengenai
materi Permutasi dan Kombinasi . Penulis menyampaikan
ucapan terima kasih kepada semua pihak yang membantu
dalam proses penyusunan Buku Digital Matematika
Permutasi dan Kombinasi Untuk Kelas XII.

Penulis menyadari, bahwa dalam penyusunan dan
penulisan masih melakukan banyak kesalahan. Oleh
karena itu penulis memohon maaf atas kesalahan dan
ketidaksempurnaan yang pembaca temukan dalam buku
ajar ini.

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR …………………………………
DAFTAR ISI …………………………...………………
KOMPETENSI INTI …………………………………
KOMPETENSI DASAR ………………………………
INDIKATOR PEMBELAJARAN ……….……………
TUJUAN PEMBELAJARAN …………………………
MODEL/METODE PEMBELAJARAN ………………
MEDIA PEMBELAJARAN ……..…………………….
BAB I : PERMUTASI …………………………………
BAB II : KOMBINASI ……………………...…………
DAFTAR PUSTAKA …………………………………

ii

KOMPETENSI INTI

KI 1 : Mengahayati dan mengamalkan ajaran agama
yang dianutnya.

KI 2 : Mengahayati dan mengamalkan perilaku jujur,
disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap
sebagai bagian dari solusi atas berbagai
permasalahan bangsa dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta
dalam menempatkan diri sebagai cerminan
bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis
pengetahuan faktual, konseptual, prosedural
berdasarkan ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan
humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait
fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian
spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya
untuk memcahkan masalah

iii

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

iv

KOMPETENSI DASAR

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian
Kompetentsi

3.25 Menganalisis 3.25.1 Menentukan banyaknya

kaidah pencacahan, cara dari peristiwa dengan

permutasi dan menggunakan permutasi unsure-

kombinasi pada unsur yang berbeda

masalah kontekstual 3.25.2 Menentukan banyaknya

cara dari peristiwa dengan

menggunakan permutasi

beberapa unsur yang sama

3.25.3 Menentukan banyaknya

cara dari peristiwa dengan

menggunakan permutasi siklis

4.25 Menyajikan 4.25.1 Menyelesaikan masalah

penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan

kontekstual berkaitan kaidah pencacahan yaitu

dengan kaidah permutasi.

pencacahan, permutasi

dan kombinasi

v

TUJUAN PEMBELAJARAN

Dengan mengunakan pendekatan scientific learning
model pembelajaran Problem Based Learning dalam
pembelajaran aturan pencacahan ini yang menuntut
peserta didik untuk mengamati (membaca) permasalahan,
menuliskan penyelesaian dan mempresentasikan hasilnya
di depan kelas,peserta didik dapat :

• Menentukan banyaknya cara dari peristiwa dengan
menggunakan permutasi yang berbeda unsur,
permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama,
permutasi sikliS.

• Menganalisis kaidah pencacahan (permutasi) melalui
masalah kontekstual

• Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
kaidah pencacahan (permutasi) dengan aktif, jujur,
percaya diri selama proses pembelajaran serta
mampu bekerjasama dengan baik.

vi

MODEL/METODE PEMBELAJARAN

Pendekatan Pembelajaran : Saintifik (Scientific)
Model Pembelajaran : Berbasis masalah (Problem

Based Learning)

MEDIA PEMBELAJARAN

• LKPD
• Google Classroom
• Google Meet
• Youtube
• Whatsapp

vii

BAB I PERMUTASI

A. Pengertian Permutasi

Permutasi adalah sejumlah penyusunan unsur-unsur
dalam suatu urutan tertentu yang urutannya harus
diperhatikan. Dalam ilmu matematika permutasi diartikan
sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan
objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa
mengalami pengulangan. Dalam permutasi urutan
diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda
antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan
huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan
{BAC} dan {ACB}.

Banyaknya permutasi unsur dinyatakan dengan

menggunakan rumus:

= ! untuk ≤
( − )!

Rumus Permutasi :

( , ) = ( !
− )!

Banyak permutasi n unsur apabila disusun k unsur k
adalah dengan ≤ n

viii

B. Notasi Faktorial Notasi Faktorial

Definisi
Untuk suatu n bilangan asli, n! (dibaca n faktorial)
didefinisikan sebagai

1. ! = ∙ ( − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1 = 123 ∙ … ∙ ( − 1) ∙
2. 0! = 1

Contoh 1.2.1

1. 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

2. 3! + 4! = 3 ∙ 2 ∙ 1 + 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 + 24 = 30

3. 3! ∙ 4! = 93 ∙ 2 ∙ 1) ∙ (4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1) = 6 ∙ 24 = 144

4. 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 5 ∙ 4 = 20
3! 3∙2∙1

Ayo Mengamati

Marilah amati contoh-contoh yang berhubungan dengan
permutasi r unsure dari n unsur

ix

Contoh 1.2.2

Di sebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan
untuk mengisi posisinya bendahara dan sekretaris.
Tentukanbanyaknya cara yang bisa digunakan untuk
mengisi posisi tersebut.
Jawab: Soal diatas bisa dituliskan sebagai permutasi
P(4,2), n (banyaknya guru) = 4 dan k (jumlah posisi) = 2.
Kita masukkan kedalam rumus:

4! 4 × 3 × 2 × 1 24
(4,2) = (4 − 2)! = 2 × 1 = 2 = 12

Jadi terdapat 12 cara untuk mengisi posisi tersebut.
Contoh 1.2.3

Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2
angka berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8,
2, 3, dan 5?

x

Jawab:
Pertanyaan diatas bisa disimpulkan sebagai permutasi
yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari
5 unsur, maka bisa dituliskan sebagai P(5,2). Lalu, kita
masukkan kedalam rumus :

5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 120
(5,2) = (5 − 2)! = 3 × 2 × 1 = 6 = 20

Jadi terdapat 20 cara penyusunan yang dapat dibentuk
dari 2 angka yang berbeda-beda. Maka ada 20 cara yang
bisa dilakukan untuk menyusun bilangan tersebut menjadi
2 angka yang berbeda – beda

(48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32,
35, 54, 53, 52).

Contoh 1.2.4

Diketahui himpunan ( , , ). Tentukan permutasi,
jika :
a. Diambil 2 unsur
b. Diambil semua (3 unsur)

xi

Jawab:

a. Banyaknya permutasi 2 unsur dan 3 unsur

23 = 3! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
− 2)! 1! 1
(3

b. Banyaknya permutasi 3 unsur dan 3 unsur

33 = 3! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
− 3)! 0! 1
(3

xii

B. Jenis-Jenis Permutasi

1. Permutasi Unsur – Unsur yang Sama

Misalkan ada sebuah kata 5 huruf yaitu huruf pertama
(R), huruf kedua (U), huruf ketiga (M), huruf keempat
(U), huruf kelima (S), maka akan ada permutasi yang
berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang
sebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan
kerumus yang biasa maka, permutasinya yaitu terdiri 5
dari 5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Tapi coba kita amati
diantara 120 permutasi pasti ada yang berulang (double)
karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah
permutasi yang benar ?
Jumlah permutasi jika ada unsur – unsur yang sama bisa
dicari dengan rumus :

!
( , 1, 2, … , ) = 1! 2! … !

Jadi dari 5 huruf “rumus” bisa dibuat susunan sebanyak

5! = 3 × 4 × 5 = 60 cara
2!
Misal huruf pembentuk “matematika” maka

10! = 151.200 cara
2!3!2!

xiii

2! 3! 2!→2 huruf m, 3 huruf a, dan 2 huruf t.

Contoh 1

Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru dan 3 bola putih yang
sama jenis dan ukurannya. Ada beberapa carakah bola-
bola itu dapat disusun berdampingan.

Penyelesaian:

Banyaknya susunan bola-bola itu adalah
6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 720
2! 3! = 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 = 60

2. Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda

Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun
suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan
bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama,
susunannya yang dapat dibentuk adalah (123), (132),
(213), (231), (312), (321). Banyak cara untuk membuat
susunan seperti itu 3 × 2 × 1 = 6 cara. Susunan yang
diperoleh seperti diatas disebut permutasi 3 unsur yang
diambil dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan deskripsi

xiv

diatas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Permutasi unsur yang diambil dari yang tersedia (tiap
unsur itu berbeda) adalah susunan dari unsure itu dalam
suatu urutan ( ≤ ) Banyak permutasi yang diambil
dari unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi



Rumus itu digunakan dari terhadap unsur Jika = ,
maka banyak permutasi unsur yang diambil dari unsur
yang tersedia biasa yang singkat: Permutasi unsur
dilambangkan dengan notasi



3. Permutasi Merupakan Pengembangan Dari Aturan
Perkalian

Permutasi adalah cara menyusun suatu unsur secara urut
dengan objek yang berbeda dari kelompok unsur.
Permutasi sekumpulan n dengan yang berlainan diambil
secara bersama-sama

= !

Suatu permutasi yang diambil dari n unsur yang berlainan
adalah penempatan r unsur itu dalam suatu urutan ≤

xv

dan dinyatakan dalam notasi
, ( , ), ( ), ,

Nilai ditentukan oleh formula berikut ini:

= ( !
− )!

Jika diketahui n unsur, diantaranya adalah unsur yang
sama (k ≤ n) maka banyaknya permutasi yang berlainan

ditentukan oleh formula berikut ini:
!

= !

Jika n unsur yang tersedia terdapat 1 unsur yang sama
2 unsur yang sama, dan 3 unsur yang sama, maka
banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur itu

ditentukan oleh formula berikut ini:

! dengan n1 + n2 + n3 ≤ n

1! 2! 3!

xvi

4. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan
menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran
tertentu. Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan
sederetan objek yang melingkar. Sebagai gambaran
adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja
bundar. Permutasi ini jugadikenal sebagai permutasi
melingkar. Bilatersedia n unsur berbeda, maka banyak
permutasi siklisdari n unsur itu ditentukan oleh formula:

= ( − 1)!
Rumus itu digunakan untuk n unsur yang berbeda.

5. Permutasi Berulang
Bila tersedia unsur berbeda, maka banyak permutasi
berulang unsur yang diambil dari unsur yang tersedia
ditentukan oleh formula:

= , ≤

xvii

C. Permutasi Yang Memenuhi Persamaan

Mencari permutasi dengan sistem yang memenuhi
persamaan dapat ditentukan menggunakan sistem
persamaan. Maka dengan ini kita dapat menentukan
unsur dan juga permutasinya.

Contoh

Carilah nilai n yang memenuhi persamaan
7 × 3 = 6 × 3 +1

7 × 3 = 6 × 3 +1

! ( + 1) !
7 × ( − 3)! = 6 × ( + 1 − 3)!

7 6( + 1)
( − 3)! = ( − 2)( − 3)!

6( + 1)
7 = − 2

7( − 2) = 6( + 1)
7 − 14 = 6 + 6
= 20

xviii

SOAL LATIHAN

Mata Pelajaran : Matematika Wajib
Topik : Permutasi
Kelas/Semester : XII/Genap

1. Banyaknya susunan 3 huruf yang diambil dari 3
huruf X, Y dan Z …..

A. 1 D. 9

B. 3 E.27

C. 6

2. Banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka
yang berbeda yang dapat disusun dari angka
10,11,12,13,14,15,16 adalah ....

A. 21 D. 120

B. 30 E. 210

C.60

xix

KOMPETENSI INTI

3. Dari 6 karyawan yang potensial akan dipilih dua

karyawan untuk menempati jabatan direktur dan

sekretaris. Banyaknya susunan karyawan yang

mungkin untuk menempati jabatan tersebut
adalah….

A. 12 D. 42

B. 20 E. 64

C. 30

4. Panitia kejuaran balap motor ingin menentukan juara

1,2, dan3 dari 25 peserta yang mengikuti kejuaraan.

Banyak susunan yang mungkin muncul dari juara-
juara tersebut adalah ….

A. 17.800 D. 14.800
B. 16.800 E. 13.800
C. 15.800

xx

\

KOMPETENSI INTI

5. Ada berapa cara bila 4 orang remaja ( , , , )
menempati tempat duduk yang akan disusun dalam
suatu susunan yang teratur?

xxi

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxii

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxiii

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxiv

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxv

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxvi

KOMPETENSI INTI

KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji dalam ranah
konkrit dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan diri yang dipelajarinya disekolah
secara mandiri, dan mampu menggunkan
metode sesuai kaidah keilmuan.

xxvii

xxviii

Nilai ditentukan oleh formula berikut ini:

= ( !
− )!

Jika diketahui n unsur, diantaranya adalah unsur yang
sama (k ≤ n) makabanyaknyapermutasi yang
berlainanditentukan oleh formula berikutini:

!
= !

Jika n unsur yang tersediaterdapat n1unsur yang sama n2
unsur yang sama, dan n3unsur yang sama,
makabanyaknyapermutasi yang berlainandari n
unsurituditentukan oleh formula berikutini:

! dengan n1 + n2 + n3 ≤ n

1! 2! 3!

6. PermutasiSiklis

Permutasisiklisadalahpermutasi yang
dibuatdenganmenyusununsursecaramelingkarmenurutarah
putarantertentu.
Permutasisiklisberkaitandenganpenyusunansederetanobje
k yang melingkar. Sebagaigambaranadalahsusunan duduk
daribeberapa orang pada mejabundar. Permutasiini juga
dikenalsebagaipermutasi

xxix

melingkar. Bilatersedia n unsurberbeda,
makabanyakpermutasisiklisdari n unsurituditentukan oleh
formula:

= ( − 1)!
Rumusitudigunakanuntuk n unsur yang berbeda. Contoh 1
Ada berapacara 7 orang yang duduk
mengelilingimejadapatmenempatiketujuhtempat duduk
denganurutan yang berlainan? Jawab: Banyaknyacara
duduk ada (7 − 1)! = 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
caraContoh 2 Sebuahkeluargaterdiriatas 5 orang.
Merekaakan duduk
mengelilingisebuahmejabundaruntukmakanbersama.
Berapabanyaknyacara agar merekadapat duduk
mengelilingimejamakantersebutdenganurutan yang
berbeda?

xxx

BAB I PERMUTASI

A. PengertianPermutasi

Permutasiadalahsejumlahpenyusunanunsur-
unsurdalamsuatuurutantertentu yang
urutannyaharusdiperhatikan.
Dalamilmumatematikapermutasidiartikansebagaisebuahk
onseppenyusunansekumpulanobjek/angkamenjadibeberap
aurutanberbedatanpamengalamipengulangan.
Dalampermutasiurutandiperhatikan. Setiapobjek yang
dihasilkanharusberbedaantarasatudengan yang lain.
Sebagaicontoh, urutanhuruf {ABC} berbedadengan
{CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.

Banyaknyapermutasi unsurdinyatakan denganmenggun
akanrumus:
= ( − ! )!untuk ≤

RumusPermutasi:

( , ) = ( !
− )!

Banyak permutasi n unsurapabiladisusun k unsur k
adalahdengan ≤ n

xxxi

BAB I PERMUTASI

B. PengertianPermutasi

Permutasiadalahsejumlahpenyusunanunsur-
unsurdalamsuatuurutantertentu yang
urutannyaharusdiperhatikan.
Dalamilmumatematikapermutasidiartikansebagaisebuahk
onseppenyusunansekumpulanobjek/angkamenjadibeberap
aurutanberbedatanpamengalamipengulangan.
Dalampermutasiurutandiperhatikan. Setiapobjek yang
dihasilkanharusberbedaantarasatudengan yang lain.
Sebagaicontoh, urutanhuruf {ABC} berbedadengan
{CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.

Banyaknyapermutasi unsurdinyatakan denganmenggun
akanrumus:
= ( − ! )!untuk ≤

RumusPermutasi:

( , ) = ( !
− )!

Banyak permutasi n unsurapabiladisusun k unsur k
adalahdengan ≤ n

xxxii

xxxiii

xxxiv

xxxv

xxxvi

xxxvii

DAFTAR PUSTAKA

Abidin, Wahyuni. 2013. MatematikaDiskrit. Makassar :
AU Press

Uly, Risma. 2019. BukuProbabilitas. Jakarta : UKI Press

xxxviii

xxxix