เอกสารประกอบการสอนวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 3 การอินเกรต

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น

วิชา ค33201 เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 5
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

ชดุ ท่ี 3 การอินทิเกรต

ช่ือ........................................................................................................................................
ช้ัน..............................................................เลขท่ี...............................................................

สอนโดย
นายจาเนยี ร หงษ์คามี
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการพเิ ศษ
โรงเรียนบางบวั ทอง อาเภอบางบัวทอง จังหวัดนนทบรุ ี
สานกั งานเขตพ้นื ที่การศึกษามธั ยมศึกษานนทบรุ ี

ใบความรทู้ ่ี 1

กระบวนการตรงกนั ขา้ มกับการหาอนุพันธ์(การหาปฏิยานุพันธ์)

โดยท่วั ไปจะนิยามปฏิยานุพนั ธข์ องฟังกช์ นั f ใด ๆ ดงั น้ี

บทนิยาม ฟังกช์ ัน F เปน็ ปฏยิ านพุ ันธข์ อง f เม่ือ F/(x) = f(x)
สำหรบั ทุกค่าของ x ทอ่ี ยู่ในโดเมนของ f

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแสดงว่า F(x) = x2 - 1 เป็นปฏยิ านพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั
วธิ ีทำ จาก
f(x) = x
x2 - 2

F(x) = x2 - 1

F/(x) = 1 (x 2 -1 (2x)

2 - 1) 2

=x
x2 - 2

 F/(x) = f(x)

ดังนนั้ F(x) = x2 - 1 เปน็ ปฏิยานพุ ันธข์ องฟังกช์ นั f(x) = x ตอบ
x2 - 2

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาฟงั กช์ ัน F เมือ่ กำหนด F/(x) = 3x2 ตอบ
วิธที ำ ให้ F1(x) = x3

จะได้ F1/(x) = 3x2 ซึง่ ได้สิ่งท่ีกำหนดให้

น่ันคอื F(x) = x3 + C

2

ตวั อย่างท่ี 3 กำหนดให้ f(x) = x – 1 จงหาปฏยิ านุพนั ธ์ของฟังก์ชนั f

วิธที ำ ให้ F(x) = 1 x2 – x จะได้ F/(x) = x – 1
2

F1(x) = 1 x2 – x + 2 จะได้ F1/(x) = x – 1
2

F2(x) = 1 x2 – x + 7 จะได้ F2/(x) = x – 1

2

จะเหน็ ว่า F1 , F2 ต่างกเ็ ป็นปฏิยานุพันธข์ อง f(x) = x – 1

 F(x) = 1 x2 – x + C เมอื่ C เปน็ ค่าคงตัว เป็นรูปท่วั ไปของปฏิยานุพนั ธข์ อง
2

f(x) = x – 1 ตอบ

สรปุ
การหาปฏิยานพุ ันธ์ของฟังกช์ ัน มีขั้นตอนดังนี้
ขนั้ ตอนที่ 1 กำหนด f(x)
ขัน้ ตอนที่ 2 ลองให้ y = F(x)
ขัน้ ตอนท่ี 3 หา F/(x)
ข้นั ตอนที่ 4 ทดสอบวา่ F/(x) = f(x) หรอื ไม่

1. ถา้ F/(x) = f(x) แลว้ y = F(x) + C เปน็ ปฏยิ านุพนั ธ์ของ
ฟงั กช์ ัน f

2. ถ้า F/(x)  f(x) ใหด้ ำเนินการตามขนั้ ตอนที่ 2 ใหม่

3

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

คำชแ้ี จง ให้นักเรยี นหาปฏิยานุพันธข์ องฟังก์ชนั ท่กี ำหนดให้ แลว้ เติมคำตอบลงในตารางให้
ถกู ตอ้ งสมบูรณ์

ขอ้ ท่ี ฟังกช์ นั ทีก่ ำหนดให้ ปฏิยานุพันธ์ของฟังกช์ นั ท่กี ำหนดให้

1 f(x) = 5x

2 f(x) = x3

3 f(x) = 1
x5

4 f(x) = x x

5 f(x) = x6

6 f(x) = x10

7 f(x) = x-4

8 f(x) = 3x2 + 7

4

เอกสารฝกึ หดั เพิ่มเตมิ ท่ี 1

คำช้ีแจง ให้นกั เรียนแสดงวิธีทำทุกข้อ

จงหาปฏยิ านุพันธ์ของฟงั กช์ นั ท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้
1. f(x) = 4x2
2. f(x) = 6x2
3. f(x) = x 3 x
4. f(x) = 1

x7

5. f(x) = 4x2 + 7x
6. f(x) = x2 + 2
7. f(x) = x-3 + 1
8. f(x) = 1

x-4

5

ใบความรทู้ ่ี 2

อนิ ทกิ รลั ไมจ่ ำกดั เขต

สำหรับฟังก์ชนั f ที่เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่อื งบนช่วงใดๆ จะนิยามอินทิกรลั ไมจ่ ำกัดเขตของฟังกช์ นั ดงั น้ี

นยิ าม เมือ่ f เป็นฟงั กช์ นั ที่มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง
และ F./(x) = f(x) สำหรับทุก x ท่ีอยใู่ นโดเมนของ f อินทกิ รัลไมจ่ ำกัดเขตของ

ฟงั ก์ชัน f เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์  f(x) dx โดยท่ี  f(x) dx = F(x) + C

เมือ่ C เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ

จากบทนิยาม เรยี กกระบวนการ  f(x) dx ว่า “การอินทิเกรต” หรอื การหาปรพิ ันธ์
เคร่อื งหมาย “  ” เรียกวา่ เครือ่ งหมายอนิ ทิกรัล หรือเคร่ืองหมายปริพันธ์

เรียก f(x) วา่ ตัวถูกอินทิเกรต หรือตัวถกู หาปริพนั ธ์
และ dx เปน็ สัญลักษณท์ ่บี อกว่าการอินทเิ กรตน้ีเทยี บกับตัวแปร x
หรือเปน็ ตวั อย่างบอกให้รู้ว่า เปน็ การหาปริพันธเ์ ทยี บกบั ตัวแปร x

ตัวอย่างที่ 4 จงหาปฏยิ านพุ นั ธ์ในรูปทั่วไปโดยใชส้ ญั ลักษณ์ของปริพันธไ์ มจ่ ำกัดเขต

ในแต่ละข้อต่อไปน้ี
1. f(x) = x7
2. f(x) = x10

วิธที ำ 1.  f(x) dx = x 4 dx

= x5 + C ตอบ
5

 2.
f(x) dx = x 10 dx

= x11 + C ตอบ
11

6

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาปฏิยานุพันธใ์ นรปู ทว่ั ไป โดยใช้สญั ลกั ษณ์ของปรพิ นั ธ์ไมจ่ ำกัดเขต

5

1) g(x) = x 3
2) h(x) = x–4

วธิ ที ำ 1)  g(x) dx = 5
2)
x 3 dx

8

= x3 + C
8

3 ตอบ
ตอบ
8

= 3x3 + C
8

 h(x) dx = x −4 dx

= x −3 + C
−3

= − 1 +C
3x 3

7

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นเติมคำตอบลงแต่ละข้อต่อไปนี้ลงในตารางให้สมบูรณ์

1. การอนิ ทิเกรต หรือการหาปริพันธ์ของ f เมอ่ื เทยี บกับ x แทนดว้ ยสัญลักษณ์ …….…….

2. เครอ่ื งหมาย “  ” เรียกว่า ……………………………………………………………….………….………
3.  f(x) dx อ่านว่า ……………………………………………………………………………………………….…
4. จงหา  x8 dx ………………………………………………………………………………………………….…
5. จงหา  x-7 dx ……………………………………………………………………………………………………
6. จงหา  x6 dx ………………………………………………………………………………………….…………

4

7. จงหา  x 3 dx ……………………………………………………………………………………………………
8. จงหา  x12 dx …………………………………………………………………………………………………..

8

ใบความรทู้ ่ี 3

สูตรเก่ียวกบั การอินทิเกรต

สตู รเกี่ยวกับการอินทิเกรตทีน่ ำมาใชใ้ นการหาอินทิกรัลไมจ่ ำกัดเขตของ f (ปริพนั ธไ์ มจ่ ำกดั เขต
ของ f) ซึ่งในเอกสารชดุ น้มี สี ูตรดังนี้

สูตรท่ี 1 ถ้า f(x) = k แล้ว  f(x) dx = k dx = kx + C

เมอื่ k และ C เปน็ คา่ คงตัว

ตัวอยา่ งที่ 6 จงหา  5 dx และ  (-6) dx
วิธีทำ  5 dx = 5x + C
 (-6) dx = -6x + C

สตู รท่ี 2 ถ้า f(x) = xn เมอื่ n  -1

 f(x) dx = xn dx = xn + 1 + C
n +1

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหา  x3 dx และ  x6 dx

วธิ ีทำ จากสูตรที่ 2  =xn dx xn +1 + C
จะได้ n +1

 =x3 dx x3 +1 + C
3 +1

= x4 + C ตอบ
4 ตอบ

 =x6 dx x6 +1 + C
6 +1

= x7 + C
7

9

สูตรที่ 3  k f(x) dx = k f(x) dx เมื่อ k เป็นค่าคงตวั

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหา  5x 2 dx 5 x2 dx
วิธที ำ  5x 2 dx =

= 5  x3  + C
 3 
=
5 x3 +C ตอบ
3

10

แบบฝกึ ทักษะที่ 3

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรยี นเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อต่อไปนี้ลงในตารางใหส้ มบูรณ์

1. คา่ ของ  6 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
2. ค่าของ  x4 dx = ……………………………………………………………………….…………….………

5

3. ค่าของ  x 4 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
4. ค่าของ 10 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
5. ค่าของ  x15 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
6. คา่ ของ  x18 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
7. ค่าของ  8x2 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
8. ค่าของ  9x3 dx = ……………………………………………………………………….…………….………

2

9. คา่ ของ  - 4x 3 dx = ……………………………………………………………………….…………….………
10. ค่าของ  - 6x4 dx = ……………………………………………………………………….…………….………

11

ใบความรทู้ ่ี 4

สตู รเก่ียวกับการอนิ ทเิ กรต (ตอ่ )

สูตรเกีย่ วกับการหาอนิ ทเิ กรตท่นี ำมาใช้ในการหาอนิ ทกิ รัลไม่จำกัดเขตของ f (ปริพนั ธ์ไมจ่ ำกดั เขต
ของ f) ซ่ึงในเอกสารชดุ นม้ี สี ูตรดงั นี้

  สตู รที่ 4 [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

ตัวอย่างที่ 9 จงหา  (x 2 + 2x) dx
วธิ ที ำ
 (x 2 + 2x) dx =  x2 dx + 2xdx

= x3 + 2x 2 + C
32
= x3 + x2 + C ตอบ
3

ตวั อยา่ งที่ 10 จงหา  (x 2 + 3x2 + 5x) dx

วิธีทำ    =(x 2 + 3x 2 + 5x) dx
x 4 dx + 3x 2 dx + 5x dx

= x5 + 3x 3 + 5x 2 + C ตอบ
53 2

= x5 + x3 + 5 x2 + C
52

12

  สตู รท่ี 5 [f(x) - g(x)] dx = f(x) dx - g(x) dx

ตัวอย่างท่ี 11 จงหา  2x - 1  dx
x2

วธิ ีทำ  2x - 1  dx =  2x dx - 1 dx
x2 x2

 = 2 x dx - x-2 dx

=2  x2  - x -1 +C
 2  -1

= x2 + 1 + C ตอบ
x ตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 12 จงหา   1 - 1  dx
x2 2x

วิธที ำ  = 1 - 1  dx  x - 2 - 1 - 1  dx
x2 2x  2 2 
x

 = x-2 dx - 1 −1 dx

2 x2

1

= x-1 - 1 x 2 + C
-1 2 1

2

= -1 - x + C
x

ตัวอย่างที่ 13 ให้ f/(x) = x3 + 4x2 – 6 จงหา f(x) เมอ่ื กำหนด f(1) = 5

วิธีทำ จาก f/(x) = x3 + 4x2 – 6

 =f / (x) dx (x 3 + 4x 2 - 6) dx

f(x) = x4 + 4 x 3 - 6x + C …………………..
43

และจาก f(1) = 5 จะได้ f(x) = 5 และ x = 1
แทนคา่ x และ f(x) ใน  จะได้

5 = 1 + 4 -6+C
43

60 = 3 + 16 – 72 + 12C

 C = 113
แทนค่า C ใน  จะได้ 12

f(x) = x 4 + 4 x 3 - 6x + 113 ตอบ
43 12

13

แบบฝึกทักษะที่ 4

คำช้ีแจง ให้นักเรียนเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อต่อไปนล้ี งในตารางให้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

ข้อที่ คำถาม คำตอบ

1 จงหา (x 2 + x 5 ) dx

จงหา 10x - 8 - 2  dx
2 x5

3 จงหา 2x 4 - x dx
x3

จงหา  3 2 
4 x+ x dx

5 ให้ f/(x) = 2x – 3 และ f(0) = 5 จงหา f(x)

6 ให้ f/(x) = 20 และ f(1) = 40 จงหา f(x)
x

7 ให้ f//(x) = 2x + 1 และ f/(x) = 2 ท่ี x = -1 และ
y = 2 จงหา f(x)

14

ใบความรทู้ ่ี 5

โจทยเ์ ก่ียวกบั การนำอนิ ทกิ รัลไม่จำกดั เขตไปใช้

อินทกิ รัลไมจ่ ำกัดเขตสามารถนำมาประยุกตใ์ ช้ดังตวั อย่างต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 14 ถ้ากำหนดความชนั ของเสน้ โค้งทจ่ี ุด (x, y) ใด ๆ เปน็ 3x2 – 4x – 5 แล้ว
จงหาสมการของเสน้ โคง้ ทีผ่ า่ นจดุ (1, -6)

วิธที ำ ให้ y = f(x) เปน็ สมการของเส้นโค้ง

 f/(x) คอื ความชนั ของเส้นโค้งท่ีจดุ (x, y) ใด ๆ

จากโจทย์ จะได้

f/(x) = 3x2 – 4x – 5

ใชว้ ิธีการหาอินทิกรัล จะได้

 =f / (x) dx (3x 2 - 4x - 5) dx

f(x) = 3x 3 - 4x 2 - 5x + C
32
= x3 – 2x2 – 5x + C ……………………. 

แต่เสน้ โค้งผ่านจุด (1, -6) จะได้วา่ x = 1 และ f(x) = -6 ตอบ
แทนค่า x และ f(x) ใน 

-6 = 1 – 2 – 5 + C

C =0
แทนค่า C ใน  จะไดส้ มการเส้นโคง้ คือ

f(x) = x3 – 2x2 – 5x

15

ตัวอย่างท่ี 15 ในขณะเวลา t ใด ๆ วัตถเุ คลือ่ นท่ีดว้ ยความเร่ง -3t เมตร/วินาที2
ขณะท่ีเริ่มตน้ จบั เวลาวัตถุเคล่ือนทด่ี ้วยความเรว็ 1 เมตร/วนิ าที และ
ได้ระยะทาง 3 เมตร จงหา สมการการเคล่ือนท่ีของวตั ถุ

วธิ ีทำ  a = dv = - 3t
dt

จะได้ v=  - 3t dt = - 3 t2 + C1
2

แตข่ ณะท่ีเรม่ิ ตน้ จับเวลาวตั ถเุ คลื่อนทดี่ ว้ ยความเร็ว 1 เมตร/วนิ าที
นนั้ คอื ขณะ t = 0 , v = 1

จาก v =- 3 t2 + C1
2

1 = 0 + C1

C1 = 1

 ความเร็วขณะเวลา t คือ v = - 3 t 2 + 1
2

เน่อื งจาก v = dS = - 3 t 2 + 1
dt 2

S= - 3 t 2 + 1 dt t3
จะได้ 2  = - + t + C2

2

แต่ขณะเริ่มต้นจบั เวลาวัตถเุ คล่ือนที่ไดร้ ะยะทาง 3 เมตร
น่ันคือ ขณะ t = 0 , S = 3

จาก S =− t3 +t + C2
2

3 = 0 + 0 + C2

C2 = 3

 สมการการเคลอ่ื นท่ีของวัตถุ คอื S = − t3 + t +3 ตอบ
2

16

แบบฝึกทักษะที่ 5

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อต่อไปนี้ลงในตารางให้ถูกต้อง คำตอบ

ขอ้ ท่ี คำถาม

1 ใหอ้ ัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้งเท่ากบั 6
x4
และเส้นโค้งดงั กล่าวสัมผสั กบั เสน้ ตรง 2x – y – 5 = 0 ที่จุด (1, -3)
จงหาสมการของเส้นโค้ง

2 วัตถุชน้ิ หน่งึ เคลอ่ื นท่ีในแนวเส้นตรงด้วยความเรง่ 2 ฟุต/วนิ าที2 ถา้ ภายใน
2 วนิ าที วัตถุดงั กล่าวเคลอ่ื นที่ได้ระยะทาง 200 ฟุต และท่เี วลาเร่มิ ตน้
ความเร็วของวัตถเุ ท่ากบั 30 ฟุต/วินาที จงหาสมการของความเร็วและ
ระยะทางในรปู ของเวลา

3 จงหาสมการของเส้นโค้งทีผ่ า่ นจุด P(-1, 3) และมคี วามชันของเส้น
สัมผสั ท่จี ดุ (x, y) ใด ๆ เท่ากบั 2x

4 สมการของเสน้ โคง้ y = f(x) มีความชันที่จดุ (x, y) ใด ๆ เทา่ กบั
3x2 – 12 ถ้าคา่ ต่ำสดุ สัมพัทธ์ของ f เทา่ กับ -17 จงหาคา่ สงู สุดสมั พัทธ์
ของ f

17

แบบสรปุ เน้ือหา 1

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นสรปุ เน้ือหาตามใบความรู้ ตามหัวข้อต่อไปนี้

1.  f(x) dx หมายถงึ …………………….……………………………………………………..…………………………….…..….

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. สูตรท่ีใช้ในการหาอินทิกรัล(ปริพนั ธ์) ไม่จำกดั เขต มดี ังนี้
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

18

ใบความรทู้ ่ี 6

ทฤษฎบี ทหลักมูลของอินทิกรัลแคลคูลัส

ในการหาอนิ ทกิ รัลจำกดั เขตจะใช้ทฤษฎบี ทหลักมลู ของอินทกิ รัลแคลคูลัสช่วยในการคำนวณ ดงั น้ี

ทฤษฎบี ทหลกั มูลของอนิ ทกิ รลั แคลคลู สั

เม่อื f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [a, b] ถ้า F เปน็ ฟังก์ชันบนชว่ ง [a, b]

โดยที่ F/(x) = f(x) แลว้ b = F(b) – F(a)
f(x) dx

a

จากทฤษฎีบทหลักมูลของอินทกิ รัลแคลคลู สั เราจะเขียนสัญลักษณ์

F(x) b แทน F(b) – F(a)
a

ถา้ F/(x) = f(x) ดังนัน้  =b F(x) b = F(b) – F(a)
f(x) dx a

a

ตัวอย่างที่ 16 จงหา 1 x 2 dx

0

วธิ ที ำ  f(x) = x2 เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ืองใน R

 ฟังกช์ ัน f จงึ เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนอ่ื งในช่วง [0, 1]

และเนอ่ื งจากปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = x2 คือ F(x) = x3 + C
3

จะได้  =1 x 2 dx  x 3 + C  1
 3  0
0
 1 + C  - (0 + C)
= 3 
=
1 ตอบ

3

19

ตวั อย่างท่ี 17 จงหา 2 (3x 2 - 2x) dx

-1

วธิ ีทำ วิธีที่ 1 ให้ f(x) = 3x2 – 2x

  จะได้ = 2 (3x 2 - 2x) dx
f(x) dx -1

= 3x3 2x 2
-
32

= x3 – x2

น่ันคอื F(x) = x3 – x2

จากโจทย์ a = -1 และ b = 2

หา F(b) = F(2)

= 23 – 22 = 4

หา F(a) = F(-1)
= (-1)3 – (-1)2 = -2

 F(b) – F(a) = F(2) – F(-1)

= 4 – (-2) = 6

วธิ ที ี่ 2  = ( )2 (3x 2 - 2x) dx 2
-1
-1
x3 -x2

= F(2) – F(-1)

= (23 – 22) – ((-1)3 – (-1)2)

= 4 – (-2)

=6 ตอบ

สรุป
วิธกี ารหาอนิ ทกิ รลั จำกัดเขต (ปริพันธจ์ ำกดั เขต) ทำได้ดงั น้ี

1. หา F(x) โดยการนำ f(x) ไปหาอนิ ทิกรลั ไม่จำกัดเขต แต่ไม่ต้องมาบวก
ค่าคงตวั

 f(x) dx = F(x)

หรือ F/(x) = f(x)

2. เม่ือได้ F(x) จากข้อ 1 แล้วใหน้ ำค่า a และ b ไปแทนในฟงั ก์ชัน F(x)
และคำนวณค่า
F(b) – F(a)

20

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6

คำช้แี จง ใหน้ ักเรียนหาอินทิกรัลจำกัดเขตแตล่ ะข้อต่อไปนี้ แลว้ เตมิ คำตอบลงในตารางให้ถูกต้องสมบรู ณ์

ข้อท่ี คำถาม คำตอบ

จงหา 2
1
(2x - 1) dx
-2

2 จงหา 2 (x 2 - 4x) dx
-1

3 จงหา 1 (x 2 + 3x - 4) dx
-3

4 จงหา 2 (3x 2 - x + 4) dx
1

5 จงหา 3 (x 2 - 2x + 3) dx
1

6 จงหา 1 (-x 4 + x 2 - 1) dx
-1

7 จงหา 3 (3x 2 + x - 2) dx
1

21

แบบสรุปเน้อื หา 2

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นสรุปเนือ้ หาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อต่อไปน้ี

1. สัญลักษณ์ b หมายถึง …………………………………………………………………………………………….

 f(x) dx

a

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. สัทฤษฎีบทหลักมลู ชองอนิ ทิกรลั แคลคูลสั กล่าวว่า …………………………………………………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. ขน้ั ตอนในการหาอินทิกรัลจำกัดเขต(ปรพิ ันธจ์ ำกัดเขต) มีดังนี้
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

22

ใบความรทู้ ี่ 7

พนื้ ที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

การหาพืน้ ท่ีทป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = f(x) จาก x = a ถงึ x = b สามารถหาได้โดยอาศยั
บทนยิ ามดงั นี้

บทนยิ าม เมอื่ f เป็นฟังก์ชันต่อเนือ่ งบนช่วง [a, b] และ A เป็นพื้นท่ีทีป่ ิดล้อม

ดว้ ยเส้นโค้งของ f จาก x = a ถึง x = b

1. ถา้ f(x)  0 สำหรบั ทกุ ค่าของ x ทอ่ี ยู่ในช่วง [a, b] แลว้

A เป็นพื้นทเ่ี หนือแกน X และ

A = b

f(x) dx
a

2. ถ้า f(x)  0 สำหรับทุกคา่ ของ x ทีอ่ ยู่ในชว่ ง [a, b] แลว้

A เปน็ พ้ืนท่ีใต้แกน X และ

A = –b
f(x) dx
a

ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาพ้ืนท่ีที่ปิดล้อมด้วยเสน้ โคง้ y = 9 – x2 จาก x = 0 ถงึ x = 3

วิธที ำ ให้ A แทนพ้ืนที่ที่ปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง y = 9 – x2 จาก x = 0 ถึง x = 3

f(x)  0 สำหรบั ทุก x ในชว่ ง [0, 3]

จะได้ A =  3 (9 - x 2 ) dx
0

=  9x - x3  3
 3  0

= 9(3) - 33  -  9(0) - 0 
   3 
 3 

= (27 – 9) – 0

= 18 ตารางหน่วย ตอบ

23

ตัวอยา่ งท่ี 19 จงหาพื้นท่ที ่ีปิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถงึ x = 2.

วธิ ีทำ ให้ A เปน็ พนื้ ที่ทีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = x2 + 2x – 15 จาก x = -2 ถงึ x = 2.

และ f(x)  0 สำหรับทุก x ในชว่ ง [-2, 2]

จะได้ A =-b
f(x) dx
a

= − 2 (x 2 + 2x - 15) dx
-2

=−  x3 + 2x 2 - 15x  2
 3 2  -2

=−  x3 + x2 - 15x  2
 3  -2

= −  2 3 + 22 - 15(2)  -  (-2) 3 + (-2) 2 - 15(-2) 
 
 3   3 

=−  16 - 60 
 3 

= 164 ตารางหน่วย ตอบ
3

ตัวอยา่ งท่ี 20 จงหาพืน้ ทท่ี ่ีปิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง y = 4x – x2 จาก x = 1 ถงึ x = 3

วธิ ีทำ ให้ A แทนพ้ืนทท่ี ่ีปิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y = 4x – x2 จาก x = 1 ถงึ x = 3

และ f(x)  0 สำหรบั ทุก x ในช่วง [1, 3]

 A = 3 (4x - x 2 ) dx
1

= 4x 2 - x3 3
23
1

= 2x 2 - x3 3
3
1

= 2(3) 2 - 33  -  2(1) 2 - 13 
   
 3   3 

= (18 - 9) -  2 - 1 
 3

= 9- 5
3

= 22 ตารางหน่วย ตอบ
3

24

แบบฝึกทกั ษะที่ 7

คำช้แี จง ใหน้ ักเรยี นเตมิ คำตอบลงแตล่ ะข้อต่อไปนลี้ งในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์ คำตอบ

ขอ้ ที่ คำถาม

1 จงหาพนื้ ทท่ี ่ปี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง y = x2
จาก x = -3 ถึง x = 0

2 จงหาพน้ื ทท่ี ี่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง y = x + 1
จาก x = -1 ถงึ x = 1

3 จงหาพ้นื ทท่ี ี่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y = 6 + x – x2
จาก x = -1 ถงึ x = 1

4 จงหาพนื้ ที่ทป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = 9 – x2
จาก x = -3 ถงึ x = 3

5 จงหาพืน้ ทท่ี ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = x2 – 25
จาก x = -1 ถงึ x = 3

6 จงหาพน้ื ทท่ี ป่ี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y = x2 + x + 1
จาก x = 2 ถงึ x = 3

7 จงหาพน้ื ทท่ี ่ีปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = 3x2
จาก x = 0 ถงึ x = 1

25

แบบสรุปเนื้อหา 3

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นสรปุ เนือ้ หาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อต่อไปน้ี

1. พื้นท่ีท่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b หมายถงึ ………………………..
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. พ้ืนที่ทป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้งของ f จาก x = a ถงึ x = b ถา้ f(x)  0 สำหรบั ทกุ x ท่อี ยู่
ในช่วง [a, b] จะหาพื้นทไี่ ด้จาก

A=

3. พน้ื ทีท่ ี่ปิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ ของ f จาก x = a ถงึ x = b ถ้า f(x)  0 สำหรับทุก x ทอี่ ยู่
ในชว่ ง [a, b] จะหาพืน้ ทไี่ ด้จาก

A=

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น

วิชา ค33201 เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 5
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

ชดุ ท่ี 3 การอินทิเกรต

ช่ือ........................................................................................................................................
ช้ัน..............................................................เลขท่ี...............................................................

สอนโดย
นายจาเนยี ร หงษ์คามี
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการพเิ ศษ
โรงเรียนบางบวั ทอง อาเภอบางบัวทอง จังหวัดนนทบรุ ี
สานกั งานเขตพ้นื ที่การศึกษามธั ยมศึกษานนทบรุ ี