แบบทดสอบคณิต ม5 week4

1

สารบัญ ... อตั ราส่วนตรโี กณมิติ 1
1. อัตราส่วนตรโี กณมิติ
1.1 หาค่าอัตราส่วนตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลม
1.2 กำหนดสามเหลย่ี มมุมฉาก จงหาความยาวของด้านทีเ่ หลอื
1.3 จากสามเหล่ยี มที่กำหนดให้ ให้หาอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ
1.4 หาอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ เมื่อกำหนดคา่ ไซน์ โคไซน์ และ
แทนเจนตม์ า 1 ค่า
2. อัตราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ 0°,30°,45°,60°,90°
2.1 หาคา่ อัตราสว่ นตรีโกณมิติของมมุ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
2.2 หาความยาวดา้ นของสามเหลี่ยมมมุ ฉากทกี่ ำหนดให้

2

อัตราสว่ นตรีโกณมิติ

บทนำ

จากความรู้เรื่องสามเหลี่ยมคล้าย จะพบว่า ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมเท่ากันท้ัง 3 คู่ แล้ว สามเหล่ยี ม
2 รปู นน้ั จะคล้ายกนั ดงั รปู

กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC และ PQR ซ่งึ เปน็ รปู สามเหลีย่ มท่ีคลา้ ยกนั
โดยที่ BÂC = Q̂PR , AB̂C = PQ̂R , BĈA = QR̂P

จากรปู จะได้ว่า A = B = C
P Q R

ตัวอยา่ ง

ถ้าสามเหลี่ยม 2 รูปคล้ายกัน อัตราส่วนของความยาวของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง จะเท่ากับ
อตั ราส่วนของคามยาวของดา้ นสองด้วยของรปู หนง่ึ เราเรยี กสิ่งน้วี า่ “สามเหลย่ี มคล้าย”

3

1. อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ

ดว้ ยสมบตั ขิ องสามเหล่ียมคล้าย เราจะศกึ ษาอัตราสว่ นของความยาวดา้ นของรปู สามเหล่ียมเพียงรปู เดยี ว
และรูปสามเหล่ียมที่จะศึกษานนั้ และรปู สามเหล่ียมทจ่ี ะศึกษานนั้ คือรูปสามเหล่ยี มมุมฉากที่มมี มุ อกี สองมุม
เปน็ มมุ แหลม

กำหนดรูป ∆ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มท่ีมี AĈB เป็นมุมฉาก

เรยี กอตั ราสว่ นระหว่างด้าน 2 ดา้ นของรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ วา่ อัตราส่วนตรีโกณมิติ นั่นคอื

sin A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม A =
ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

cos A = ความยาวดา้ นประชิดมมุ A =
ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก

tan A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A =
ความยาวด้านประชิดมุม A

และมีบทกลบั คือ…

cosec A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = = 1
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม A
sin A

sec A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก = = 1
ความยาวด้านประชดิ มมุ A
cos A

cot A = ความยาวดา้ นประชิดมุม A = = 1
ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ A
tan A

4

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนตข์ องมมุ A และมุม B จากรปู สามเหลยี่ มท่กี ำหนดให้

วธิ ที ำ sin A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม A = 4
ความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก 5

cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A = 3
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก 5

tan A = ความยาวด้านตรงขา้ มมุม A = 4
ความยาวด้านประชิดมุม A 5

ในทำนองเดยี วกนั

sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ B = 3
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 5

cos B = ความยาวด้านประชิดมมุ B = 4
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก 5

tan B = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม B = 3
ความยาวด้านประชิดมุม B 4

5

ตัวอย่างที่ 2 ให้นักเรียนหาค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม A และมุม B จากรูปสามเหลี่ยมท่ี
กำหนดให้

วิธที ำ sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A =
ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

cos B = ความยาวดา้ นประชิดมมุ A =
ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

tan B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ B =
ความยาวดา้ นประชิดมมุ B

sin B = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม B =
ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

cos A = ความยาวดา้ นประชดิ มุม A =
ความยาวด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

tan A = ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ A =
ความยาวด้านประชดิ มมุ A

6

ตัวอยา่ งท่ี 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทกี่ ำหนดให้ จงเติมคำตอบในช่องว่างใหถ้ ูกตอ้ ง

sin …………….. = 3

5

cos …………….. = 4

5

tan …………… = 3

4

sin …………….. = 5

13

cos …………….. = 12

13

tan …………… = 5

12

sin …………….. = 1

√5

cos …………….. = 2

√5

tan …………… = 2

7

4. sin …………….. =

cos …………….. =

tan …………… =


5. sin …………….. =

cos …………….. =

tan …………… =


8

1. หาค่าอัตราส่วนตรโี กณมติ ขิ องมุมแหลม

ตัวอย่าง 1 กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูป จงหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลมแต่ละมุมท่ี
กำหนดให้

sin A = sin A = sin A =
cos A = cos A = cos A =
tan A = tan A = tan A =
cosec A = cosec A = cosec A =
sec A = sec A = sec A =
cot A = cot A = cot A =
sin B = sin B = sin B =
cos B = cos B = cos B =
tan B = tan B = tan B =
cosec B = cosec B = cosec B =
sec B = sec B = sec B =
cot B = cot B = cot B =

9

ตวั อยา่ ง 2 sin A = cosec A =
cos A = sec A =
13 tan A = cot A =
12
sin A = cosec A =
A cos A = sec A =
5 tan A = cot A =

ตัวอย่าง 3 sin A = cosec A =
cos A = sec A =
1 tan A = cot A =

1
√2

A

ตวั อยา่ ง 4

c a
A

b

10

2. กำหนดสามเหลย่ี มมุมฉาก จงหาความยาวของด้านทเี่ หลือ

ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั c2 = a2 + b2

ตัวอย่าง 1 สามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ ตัวเลขที่กำกับแสดงความยาวของด้าน จงหาความยาวของ
ด้านทเ่ี หลอื
(1) (2)
วิธที ำ วธิ ีทำ

11

(3) (4)
วธิ ีทำ วธิ ีทำ

(5) (6)
วิธที ำ วิธที ำ

(7) (8)

วธิ ีทำ วธิ ที ำ
12

(9) (10)
วธิ ีทำ วิธที ำ

ตัวอย่าง 2 จำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นความยาวด้านประกอบของมุมฉากของรูป
สามเหลย่ี มมุมฉาก จงหาความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

(1) 9 , 12 (2) 10 , 24

วิธที ำ วิธีทำ

(3) 11 , 60 (4) 1.2 , 3.5
วิธีทำ วธิ ที ำ

(5) 0.7 , 2.4 (6) 2 2 , 7
วิธที ำ 5

วธิ ีทำ

13

ประวัติพีทาโกรัส ( Pythagus )

- เกิด 582 ก่อนครสิ ตศ์ ักราช ทีเ่ มืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ(Greece)
- เสยี ชีวิต 507 ก่อนครสิ ตศ์ กั ราช ที่เมืองเมตาปอนตมั (Metapontum)
ผลงาน - สร้างสูตรคณู หรือตารางปที าโกเรยี น (Pythagorean Table)

- ทฤษฎีบทเรขาคณิตท่วี ่า "ในรปู สามเหล่ยี มมุมฉากใด ๆ กำลงั สองของความยาวของด้านตรงข้ามมุม
ฉาก เท่ากบั ผลบวกของกำลงั สองของความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก"

- สมบตั ิของแสง และการมองวัตถุ
- สมบตั ขิ องเสยี ง
พที าโกรัส เป็นนกั คณิตศาสตร์ที่มีชอื่ เสียงมาก จากหลักฐานทางประวตั ิศาสตรเ์ ช่ือว่า พีธากอรัสมีอายุ
อยู่ในราว 582 - 500 ก่อนคริสตกาล พีธากอรัสเป็นชาวกรีก เป็นนักปรัชญา และผู้นำศาสนา พีธากอรัสมี
ผลงานทส่ี ำคัญคือ เป็นนักคิด เปน็ นักดาราศาสตร์ นักดนตรี และนกั คณิตศาสตร์ แรกเร่ิมในชีวิตเยาว์วัยอยู่ใน
ประเทศกรีก ต่อมาได้ย้ายถิ่นพำนักไปตอนใต้ของอิตาลี ที่เมืองโครตัน (Croton) ศึกษาเล่าเรียนทางปรัชญา
และศาสนาทีน่ น่ั พธี ากอรสั มีผตู้ ดิ ตามและสาวกเป็นจำนวนมาก ซงึ่ เรยี กวา่ Pythagorean การทำงานของพีธา
กอรัสและสาวกจึงทำงานร่วมกัน
แนวคิดที่สำคัญของพีธากอรัสและสาวกคือ หลายสิ่งหลายอย่างสามารถอธิบายให้เข้าใจได้ด้วย
คณิตศาสตร์ ทำให้การพฒั นาทางวทิ ยาศาสตร์และคณติ ศาสตร์เป็นเรื่องทีม่ ีความสำคญั ยิ่ง พธี ากอรัสและสาวก
ได้ทำการพิสูจน์ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายเรื่อง และต่อมาทฤษฎีเหล่านี้เป็นรากฐานของวิทยาการในยุค
อียิปต์ สิ่งที่สำคัญและถือได้ว่าเป็นทฤษฎีของพีธากอรัสทีม่ ีชือ่ เสียง คือ ความสัมพันธข์ องด้าน 3 ด้านของ
สามเหล่ียมมุมฉาก

14

1.3 จากสามเหลย่ี มท่ีกำหนดให้ ใหห้ าอัตราส่วนตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง 1

sin CB̂D = cosec BĈD =
cos CB̂D = sec BĈD =
tan CB̂D = cot BĈD =

ตัวอย่าง 2

sin A = cosec A =
cos A = sec A =
tan A = cot A =

15

ตวั อยา่ ง 3

sin A = cosec A =
cos A = sec A =
tan A = cot A =

ตัวอย่าง 4 กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้านประกอบมุมยอดยาว 26 หน่วย สูง 24
หนว่ ย จงหาความยาวฐานของรูปสามเหล่ยี มรปู นี้

16

1.4 หาอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ เมือ่ กำหนดคา่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์มา 1 คา่

ตวั อย่าง 1 จงหาอตั ราสว่ นตรโี กณมิติ จากรูปสามเหล่ียมท่ีกำหนดให้ ถา้ tan A = 1
2

sin A = cosec A =
cos A = sec A =
tan A = cot A =

ตวั อยา่ ง 2 จงแสดงวธิ ที ำเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์จากโจทย์แตล่ ะข้อต่อไปนี้
2.1 กำหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ท่มี ีมุม C เปน็ มุมฉาก และ sin A = 5

13

จงหา cos A + tan A
วธิ ีทำ

2.2 กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่มี ีมุม C เป็นมุมฉาก และ cos B = √2
3
จงหา sin B + tan B

วิธที ำ

17

2.3 กำหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทม่ี ีมุม C เป็นมุมฉาก และ 2sin A = 4
√13
จงหา sec A - cos A

วธิ ที ำ

2.4 กำหนดรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่ีมีมุม C เป็นมุมฉาก และ tan A = 2
√5
จงหา cosec A - sec B

วิธีทำ

2.5 กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่ีมีมุม C เป็นมุมฉาก และ 3 cos B = 1
2
จงหา cosec A - tan B + sin B

วิธีทำ

18

2 อัตราส่วนตรโี กณมติ ิของมมุ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

sin 30 = sin 60 =
cos 30 = cos 60 =
cos 45 =
sin 45 =
tan 30 = tan 60 =

cosec 30 = cosec 45 = cosec 60 =
sec 30 = sec 45 = sec 60 =
cot 30 = cot 45 = cot 60 =

19

2.1 หาคา่ อัตราสว่ นตรีโกณมิติของมมุ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

ตัวอย่างที่ 1 หาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของข้อต่อไปนี้
1. sin 30 + cos 60 =
2. cos 45 + sin 30 =
3. tan 30 + cos 30 =
4. sin 90 + tan 60 =
5. sin 45 + cos 45 =
6. sin 0 + cos 90 =
7. tan 30 + sin 45 =
8. cos 60 + cos 30 =
9. tan 45 + sin 90 =
10. tan 60 + cos 0 =
11. sin 60 + cos 30 =
12. sin 30 + cos 45 =
13. sin 90 + sin 0 =
14. cos 0 + cos 90 =
15. tan 30 + tan 60 =

20

16. sin 60 − cos 60 =
17. cos 45 − sin 30 =
18. cos 30 − tan 45 =
19. cos 90 − tan 0 =
20. sin 0 − cos 30 =
21. sin 0 − cos 0 =
22. tan 45 − cos 90 =
23. sin 60 − sin 30 =
24. tan 45 − sin 0 =
25. sin 90 − tan 30 =
26. tan 60 − tan 0 =
27. sin 90 − cos 45 =
28. sin 90 − sin 0 =
29. tan 60 − sin 45 =
30. tan 0 − tan 90 =

21

31. sin 60 cos 60 =

32. cos 45 =
sin 30

33. 2 cos 30 − tan 45 =

34. cos 90 + cos 30 tan 0 =

35. sin 60 sin 90 − sin 30 cos 30 =

36. sin 30 sin 60 − cos 30 =
sin 90

37. 16 cos 45 − 6 sin 60 sin 0 =

38. sin 60 + sin 90 =
sin 90 sin 60

39. sin 90 tan 45 − sin 0 =
sin 60

40. tan 90 sin 90 + cos 30 tan 0 =

41. 5 cos 60 − 12 sin 30 sin 60 =
6

42. √3 sin 60 − √2 sin 45 =
4

43. 5 sin 30 cos 90 + 2 sin 30 sin 60 =
cos 30 cos 60

44. √3 sin 30 sin 90 − sin 90 =

45. sin 30 sin 45 sin 60 + cos 30 cos 45 cos 60 =

22

46. sin 30 + cos 60 − sin 45 =
47. cos 45 − sin 30 − sin 90 =
48. tan 30 + cos 30 − sin 30 =
49. sin 0 + tan 60 + sin 30 =
50. sin 45 + cos 45 + tan 45 =
51. 3 sin 60 + 5 cos 30 − 4 sin 30 =
52. tan 30 sin 45 − 6 sin 30 + sin 30 =
53. 41 cos 30 + cos 30 sin 90 =
54. 7 cos 30 + 3 sin 45 + sin 60 =

4

55. tan 30 tan 60 + 24 cos 0 − √3 sin 30 =
56. sin 30 + cos 30 − 5 =

cos 60 cos 60

57. cos 30 − 5 cos 45 − sin 30 =
cos 45 cos 60

58. sin 30 sin 90 − sin 60 + 2 sin 30 =
cos 60 sin 30

59. 5 sin 30 + 4 sin 30 + sin 30 =
60. 10 sin 30 + 5 cos 60 − 4 sin 30 − 3 cos 60 =

23

61. cos260 =
62. sin230 =
63. cos245 =
64. sin245 + cos230 =
65. sin260 − tan230 =
66. cos245 + cos230 =
67. sin260 − sin245 =
68. sin245 + sin245 =
69. sin20 − cos290 + sin260 =
70. sin 30 − cos 60 + tan230 =
71. cos 45 − cos230 − sin 30 =
72. cos 30 − tan260 + cos230 =
73. cos 45 + tan 45 − cos245 =
74. sin 0 − cos 0 − cos20 − sin20 =
75. tan20 + sin 45 − cos 45 + tan290 =

24

76. 2sin245 =

77. 4 − cos260 =

78. tan260 + 8cos230 =

79. cos260sin230 + sin260cos230 =

80. sin260cos230 − 5cos230 =

81. cos230 − 3tan230 =
sin260

82. sin 30 cos260 + 3 cos 60 cos230 =

83. 1 sin260 + cos230 =
4 4 sin 30

84. tan260 cos230 − √3 sin 60 =

85. 4 sin 30 + cos 30 + cos230 cos 30 =
cos230

86. sin290 cos20 − 1 cos230 =
2

87. cos230 − √12tan245 =
cos 30

88. sin 30 cos260 cos 30 + 3cos230 =

89. 1 cos245 − 1 sin245 + 2 sin 45 =
24

90. cos20 sin20 tan 20 + sin 0 tan 0 cos 0 =

25

91. cosec 30 + sec 30 =
92. cot 60 + sec 45 =
93. 2 cosec 60 − sec 30 =

94. √3 cosec 60 − 4 cosec 30 =
2

95. sec 30 sec 60 + 3 sec 45 =
96. 5 cosec 45 − 4 sec 45 =

97. sec 30 − cosec 30 + cot 45 =
2

98. cosec260 − cot230 =
99. tan260 + cot260 =

100. cosec230 + sec 30 =
cosec260

101. 4cos260 − cosec230 =

102. 5sin260 + sec230 =

103. sin30 sec230 − cosec230 cos 30 =

104. cot260 + cos 60 − cos230 + cosec230 =

105. sin 90 cosec290 + cos 0 sec20 + tan 45 cot245 =

26

2.2 หาความยาวดา้ นของสามเหล่ยี มมมุ ฉากทีก่ ำหนดให้
เม่อื กำหนดมมุ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

ตวั อยา่ ง 1 จงหาความยาวด้าน a b และ c จากพน้ื ท่ขี องสามเหลีย่ ม ABC ทกี่ ำหนดให้

1.1 B วิธที ำ

c a
C
30°
A3

1.2 B วิธีทำ
a
c C

60°
A1

1.3 B วิธที ำ

8 a
C
30°
Ab

27

1.4 B วิธีทำ

c √2

45° C
Ab

B วิธที ำ

1.5 c

a 60°
2A
C

B วธิ ที ำ

1.6 a

5

30°

A C
b

B c วธิ ีทำ
45° A
1.7
√2
a
C

28

ตัวอย่าง 2 จงหาพ้นื ท่ขี องสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ท่กี ำหนดให้
2.1 กำหนดให้สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มี B เป็นมุมฉาก และ BÂC = 60° ถา้ AC = 5 หน่วย

แลว้ จงหาพนื้ ท่ี ∆ABC

2.2 กำหนดใหส้ ามเหลย่ี มมุมฉาก ABC มี B เป็นมุมฉาก และ BÂC = 60° , BĈA = 30°, ̅B̅̅D̅ ⊥ ̅A̅̅C̅
และ AC = 120 หน่วย จงหาพ้ืนที่ ∆ABC

29

2.3 กำหนดรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ABC ที่มี AB = BC ถ้า AB̂C = 120° และ AC = 8 เซนตเิ มตร
จงหาพน้ื ท่ี ∆ABC

30

ตัวอย่าง 3 จงหาความยาวดา้ นทเ่ี หลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่กำหนดให้
3.1 กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 60° และ ̅A̅̅B̅ ยาว 3

เซนติเมตร จงหาความยาวของด้านทีเ่ หลอื

3.2 กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B เป็นมุมฉาก A̅̅̅B̅ ยาว 3 เมตร ̅B̅̅D̅ ตั้งฉากกับ A̅̅̅C̅ ท่ี
จุด D ขนาดของมุม C เท่ากับ 30° จงหาความยาวของ B̅̅̅D̅ ด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม ABC และ
ขนาดของมมุ A

31

3.3 กำหนดให้ ∆ABC มี Â = 45° , Ĉ = 60° และ B̅̅̅D̅ ต้ังฉากกับ A̅̅̅C̅ ทจี่ ดุ D และ ̅A̅̅D̅ ยาว 3 หนว่ ย
จงหาความยาวของ ̅A̅̅C̅ และ ̅B̅̅C̅

3.4 กำหนดให้ ∆ABC มี B̂ = 30° , Ĉ = 45° และ A̅̅̅D̅ ต้งั ฉากกบั ̅B̅̅C̅ ทีจ่ ุด D และ A̅̅̅D̅ ยาว 2 หนว่ ย
จงหาความยาวของ A̅̅̅B̅ และ B̅̅̅C̅

32

3.5 กำหนดให้ ∆ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยมี Ĉ = 30° และ B̅̅̅D̅ ตั้งฉากกับ ̅A̅̅C̅ ที่จุด D และ
̅A̅̅C̅ = 6√3 หน่วย จงหาความยาวดา้ นของ A̅̅̅B̅ และ B̅̅̅D̅

33