MATERI AJAR MATEMATIKA. KB.4. LOGIKA MATEMATIKA-Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd (2)

MATERI AJAR MATEMATIKA

PPG GURU DALAM JABATAN, UNIVERSITAS MUHAMADIYAH
SURAKARTA, TAHUN 2021

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Juni 2021 Bahan Ajar Matematika

KATA PENGANTAR

Puji Syukur pada Allah SWT karena atas limpahan rahmat-Nya sehingga kami dapat
menyelesaikan materi ajar Logika Matematika, sebagai bahan pembelajaran matematika.
Modul ini disusun untuk memahamkan materi tentang logika matematika. Pada modul ini
dilengkapi dengan latihan soal yang menarik dan interaktif untuk memotivasi dan
mempermudah pemahaman mahasiswa dalam pemblajaran Logika Matematika. Materi ajar
Logika Matematika ini disusun sebagai salah atu tugas PPG Dalam Jabatan Angkatan 2 PGSD
Universitas Muhammadiyah Pof. DR. Hamka Tahun 2021.
Kami menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan materi ajar ini. Oleh karena itu
kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan materi ajar ini
kedepannya. Kami menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan modul ini. Oleh
karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan kesempurnaan modul
ini. Kami mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam
penyusunan bahan ajar ini. Semoga materi ajar ini bermanfaat untuk kita semua khususnya untuk
mahasiswa.

Penulis

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 1

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................. i
KATA PENGANTAR................................................................................. i
DAFTAR ISI ............................................................................................ ii
PENDAHULUAN
3
1. Deskripsi Singkat .............................................................................. 4
2. Relevansi........................................................................................... 4
3. Petunjuk Belajar ...............................................................................
INTI 5
1. Capaian Pembelajaran ....................................................................... 5
2. Sub Capaian Pembelajaran ................................................................ 6
3. Uraian Materi dan Contoh ................................................................ 6
8
a. Pernyataan ................................................................................. 8
1) Operasi Biner ....................................................................... 11
2) Operasi Uner ........................................................................ 14
3) Pernyataan Majemuk Bersusun ............................................ 16
4) Pernyataan Berkuantor .........................................................
17
b. Penarikan Kesimpulan ............................................................... 17
PENUTUP 18
19
1. Rangkuman ...................................................................................... 21
2. Tugas Terstruktur .............................................................................
3. Forum Diskusi ..................................................................................
4. Tes formatif.......................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 2

PENDAHULUAN

Deskripsi Singkat

Pembelajaran matematika berguna untuk memecahkan masalah dalam berbagai disiplin ilmu, akan
tetapi terkadang matematika membuat kesulitan pembaca dalam memahaminya. Salah satu materi dalam
pembelajaran matematika adalah materi logika matematika. Ap aitu Logika Matematika? Logika
matematika adalah aturan berpikir atau landasan tentang bagaimana cara kita mengambil
kesimpulan. Pada materi logika matematika sangat erat kaitannya dengan berbagai penalaran, logika, dan
penarikan kesimpulan yang harus dipahami konsepnya agar tidak terjadi kesalahan dalam penyampaian
kepada peserta didik kelak.

Selama kegiatan pendalaman materi ditemuka beberapa masalah dan miskonsepsi dari mahasiswa
diantaranya adalah sebagai berikut:

1. Mahasiswa kesulitan memahami konsep logika matematika
2. Mahasiswa kesulitan dalam menentukan kesimpulan dari 2 premis
3. Mahasiswa kesulitan dalam menentukan nilai kebenaran kalimat majemuk

Berdasarkan permasalahan tersebut, aka penulis tertarik untuk mengembangkan materi ajar
matematika yang berkaitan dengan materi Logika Matematika. Diharapkan dengan membaca
modul ini semakin mempermudah embaca dalam memahami serta memecahkan masalah tentang
logika matematika dalam pembelajaran.

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 3

Relevansi

Setelah mempelajari materi ajar ini, diharapkan pembaca mampu:
1. Mengidentifikasi jenis-jenis pernyataan majemuk : konjungsi, diskungjungsi, implikasi dan
biimplikasi
2. Memahami jenis-jenis pernyataan majemuk : konjungsi, diskungjungsi, implikasi dan
biimplikasi
3. Mengidentifikasi Ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor
4. Memahami Ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor
5. Mengidentifikasi prinsip-prinsip silogisme
6. Memahami prinsip-prinsip silogisme
7. Menerapkan prinsip-prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan

Petunjuk Belajar
Petunjuk
BelajarBelajaBelajar

Perhatikan petunjuk belajar dibawah ini untuk mempermudah pemahaman anda:
c. Bacalah uraian permasalahan yang diangkat dalam materi ajat ini.
d. Perhatikan peta konsep yang disajikan, untuk mencegah miskonsepsi materi,
e. Bacalah dengan cermat uraian penting yang terdapat dalam materi ajar.
f. Temukanlah kata kunci dan ringkaslah hal-hal yang menurut Anda penting.
g. Pahamilah modul ini melalui pemahaman dan pengalaman sendiri serta diskusikanlah
dengan rekan atau instruktur Anda.
h. Bacalah dan pelajarilah sumber-sumber lain yang relevan dari berbagai sumber, termasuk
dari internet.
i. Mantapkan pemahaman Anda melalui pengerjaan forum diskusi dan tes formatif yang
tersedia dalam materi ajar ini. Kemudian, nilai sendiri tingkat pencapaian Anda dengan
membandingkan jawaban yang telah Anda buat dengan kunci jawaban tes formatif yang
terdapat pada akhir materi ajar.
j. Diskusikan apa yang telah dipelajari termasuk kata sulit dengan teman Anda.

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 4

INTI

Capaian Pembelajaran

Memahami konsep logika matematika dan menarik kesimpulan dalam logika matematika.

Sub Capaian Pembelajaran

1. Mengidentifikasi jenis-jenis pernyataan majemuk : konjungsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi

2. Memahami jenis-jenis pernyataan majemuk : konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
3. Mengidentifikasi ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor
4. Memahami Ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor
5. Mengidentifikasi prinsip-prinsip silogisme
6. Memahami prinsip-prinsip silogisme
7. Menerapkan prinsip-prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 5

Uraian Materi dan Contoh

Logika Matematika
Logika Matematika digunakan untuk menarik kesimpulan harus memakai. Belajar logika berarti

bahwa kita belajar berpikir dan bernalar yang melibatkan kegiatan akal manusia dengan segenap
pengetahuan yang kita miliki melalui panca indera, kemudian digunakan untuk mencapai kebenaran.
Manfaat mempelajari materi ini yaitu akan meningkatkan kemampuan Anda dalam mengambil dan
menentukan kesimpulan mana yang benar dan mana yang salah.

Berikut adalah peta konsep tentang materi logika matematika, untuk mempermudah pemahaman
materi logika matematika. Silahkan cermati!

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 6

A. Pernyataan
Andhin Dyah Fitriani (2019: 119) mengatakan bahwa pernyataan adalah kalimat matematika

tertutup yang memiliki nilai kebenaran benar atau salah, akan tetapi tidak edua-duanya pada saat
yang bersamaan, Sedangakanmenurut Sukirman (2019: 1.3) menuliskan bahwa pernyataan
merupakan kalimat yang mempunya nilai kebenaran yaitu nila benar atau nilai salah, akan tetaapi
tidak untuk kedua-duanya. Pernyataan bias diartikan sebagai kalimat yang memiliki nilai benar
saja atau memiliki nilai salah saja, akan tetapi tida berlaku untuk keduanya, ketika berada pada
saat yang bersamaan. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan merupakan suatu pernyataan
apabila kita tidak dapat menunjukkan bukti apakah kalimat tersebut benar salahnya atau
mengandung pengertian relatif. Pernyataan biasa dilambangkan dengan , , , ....
Contoh 1 (Pernyataan bernilai benar):

 : Hasil kali 4 dan 3 adalah 12.
q : Semua unggas dapat terbang.
 : Jika x = 4, maka 2x = 8
Contoh 2 (Pernyataan bernilai salah) :
Udara adalah benda padat
x – y = y – x; x y 2
Setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil
Adapun contoh bukan pernyataan:
1. Semoga nanti engkau dapat juara? (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif).
2. Tolong ambilkan sapu itu. (bukan pernyataan, karena jawabannya ya atau tidak itu relatif).
3. Jarak Jakarta-Bogor adalah jauh (bukan pernyataan, karena jaraj jauh atau dekat itu relatif).
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dilambangkan dengan τ (p).
Dalam matematika, ada 2 jenis pernyataan, yaitu pernyataan tunggal dan juga pernyataan
majemuk. Pernyataan tunggal merupakan pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain
sebagai bagiannya. Pernyataan tunggal tidak memiliki kalimat penghubung

Contohnya:
1) Sepeda motor memiliki dua buah roda.
2) Kota Surabaya adalah ibukota dari provinsi Jawa Timur.
3) Jika terdapat dua pernyataan tunggal digabungkan maka akan membentuk
pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan diperlukan tanda hubung yaitu “dan”,
“atau”, “jika … maka ...” dan “jika dan hanya jika”.

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 7

Berikut adalah lambang kata pengguhung :

Table 1.1 kata penghubung (sumber Modul PPG Matematika 2021 halaman 200)

Kata Penghubung Lambang
dan ˄
atau ˅
jika maka →

jika dan hanya jika

1. Operasi Uner

Andhin Dyah Fitriani (2019: 201) menyatakan bahwa operasi uner sama dengan

operasi negasi atau ingkaran. Operasi negasi merupaan operasi yang berkenaan dengan satu

unsur. Sedangkan Sukirman (2019:1.7) menyatakan bahwa negasi merupakan suatu

pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar atau bernilai benar

apabila pernyataan semula benilai salah.

Berdasarkan kedua pendapat tersebut di atas dapat disintesiskan bahwa negasi

merupakan sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan

pernyataan semula. Lambang operasi negasi adalah ~.

p ~q

BS

Table 1.1 negasi (sumber Modul PPG Matematika 2021 halaman 200)
Contoh 1:
Jia “a” menyatakan “Ida suka manga”, maka negasi “a” dapat disimbolkan ~a menyatakan “
tida benar bahwa Ida suka manga”. Dengan bahasa sehari-hari dapat dikatakan “Ida tidak
suka manga”.

Contoh 2:

r : Bilangan prima adalah bilangan ganjil.

Negasinya ditulis r : Tidak benar bahwa bilangan prima adalah bilangan ganjil, atau : Karena
τ (r) = S, kita peroleh maka τ (-r) = B

2. Operasi Biner
Andhin Dyah Fitriani (2019: 201) menyatakan bahwa operasi biner merupakan operasi yang
berhubungan dengan dua unsur. Dalam logika matematika, operasi biner berkenaan dengan

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 8

dua pernyataan. Terdapat 4 macam operasi biner yaitu : Operasi Konjungsi, Operasi

Diskonjungsi, Operasi Implikasi dan Operasi Biimplikasi. Operasi

(1) Konjungsi

Konjungsi dapat diartikan sebagai pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan
tunggal yang dihubungkan dengan kata penghubung “dan”. Operasi konjungsi
dilambangkan dengan “Λ”. Ketika ada dua pernyataan, maka konjungsi dikatakan benar

jika konjung-konjungnya benar, tetapi dikatakan salah jika salah satu atau kedua-duanya

salah. Berikut adalah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi
p q p˄q

B BB

B SS

S BS

S SS

Tabel 1.3 kebenaran untuk operasi konjungsi (sumber Modul PPG Matematika 2021 hal 200

Berikut ini adalah kata-kata yang membentuk konjungsi dan adalah meskipun, tetapi,

sedangkan, padahal, yang, juga, walaupun.

Contoh 1:

p : Semarang adalah provinsi Jawa Tengah. (B).

q : Surakarta terletak di Pulau Jawa. (B)
p˄q : Semarang adalah provinsi Jawa Tengah. (B). Surakarta terletak di Pulau

Jawa. (B)

Contoh 2:

p : 5 lebih besar dari 7. (S).

q : Matahari terbenam di sebelah barat. (B)
p ˄ q : 5 lebih besar dari 7 dan Matahari terbenam di sebelah barat. (S)

(2) Disjungsi

Disjungsi dapat diartikan sebagai suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua
pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata penghubung “atau”. Sebuah disjungsi
inklusif benar jika paling sedikit satu disjungnya benar atau kedua-duanya, dan sebuah
disjungsi ekslusif benar jika paling sedikit satu disjungnya benar tetapi tidakkedua-
duanya. Sifat disjungsi adalah sebagai berikut:

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 9

p q p˅q

B BB

B SB

S BB

S SS

Tabel 1.4 Kebenaran untuk operasi disjungsi (sumber modul PPG 2021 hal 201)

Contoh 1

p : 5 adalah bilangan prima (B)

q : 16 habis dibagi 4 (B)
p ˅ q : 3 adalah 5 bilangan prima atau 16 habis dibagi 4.(B)

contoh 2:

p : 5 lebih dari 9 (S)

q : 3 adalah bilangan prima (B)
p˅q : 5 lebih dari 9 atau 3 adalah bilangan prima.(B)

(3) Implikasi

Pernyataan implikasidisebut juga pernyataan bersyarat. Pernyataan implikasi merupakan
suatu pernyataan majemuk yang berbentuk penalaran. “jika p maka q” maka dinyatakan
dengan simbol → . Pada implikasi → dimana disebut pendahulu (antecedent) dan
disebut pengikut (consequent). Kebenaran suatu pernyataan implikasi tergantung pada
nilai kebenaran pendahulu dan pengikutnya. Contohnya Implikasi → , bernilai S
apabila pendahulu p bernilai B dan pengikut q bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran p
dan q lainnya, maka implikasi → bernilai B

p q p→q
B BB
B SS
S BB
S SB

Tabel 1.5 untuk operasi implikasi ( s u m b e r m o d u l P P G 2 0 2 1 h a l 2 0 2 )

Contoh 1:
: Matahari terbit dari timur.(B)
: Herman naik kelas.(B)

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 10

→ : jika Matahari terbit dari Timur maka Herman naik kelas. (B)

(4) Biimlikasi

Pernyataan biimplikasi biconditional statement termasuk ke dalam pernyataan bersyarat.
Pernyataan biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan
hanya jika q”. Pernyataan biimplikasi dinyatakan dengan ↔ . Pernyataan biimplikasi
↔ (dibaca p jika dan hanya jika q) bernilai benar apabila kedua pernyataan tunggalnya

mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan bernilai salah apabila kedua pernyataan

tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.
p q ↔

B BB

B SS

S BS

S SB

Tabel kebenaran 1.6 untuk operasi biimplikasi ( sumber Modul PPG halaman 202)

Contoh:

: 5 adalah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

: 5 tidak habis dibagi 2
↔ : 5 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika maka 5 tidak habis dibagi 2.

3. Pernyataan Majemuk Bersususun
a. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
Perhatikanlah kalimat berikut ini:
p = Rendi memiliki sepeda.
~p = Rendi tidak memiliki sepeda
Jika p bernilai B, maka ~p bernilai S, sehingga pernyataan majemuk p ˅~p bernilai
B. Hal ini juga berlaku, jika p bernilai S, maka ~p bernilai B, sehingga p˅~p bernilai B
pula.
Tautologi merupakan pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai
kebenaran dari pernyataan tunggalnya tanpa memandang nilai kebenaran pembentuknya.

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 11

Contoh tautologi: periksa nilai kebenaran dari (p ∧ q) → (p→q)!
p q p ˄ q p→q (p ∧ q) → (p→q)
B BBBB
B SSSB
S BS BB
S S S BB
Tabel 1.8 Tautologi (sumber modul PPG 2021 hal 203)

Kontradiksi merupakan pernyataan majemuk yang memiliki kebenaaran selalu salah
untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari propisisi tunggal yang membentukknya.
Kontradiksi merupakan kebalikan dari tautologi. Apapun nilai kebenaran dari proposisi
tunggalnya, baik benar (B) atau salah (S), nilai kebenaran proposisi majemuknya akan
salah. Proposisi majemuk yang termasuk dalam kontradiksi dapat secara mudah dilihat
melalui tabel kebenaran.
Contoh kontradiksi:
Periksa nialai kebenaran dari ekspresi logika (p ∧ q) ↔ (p → ~q)!
p q ~q p ˄ q p→~q (p ∧ q) ↔ (p → ~q)
B BS BS S
B S BS BS
S BS S BS
S S BS BS
Tabel 1.8 Kontradiksi (sumber modul PPG 2021 hal 203)

Kontingensi merupakan proposisi majemuk yang tidak selalu bernilai benar dan juga
tidak juga selalu benilai salah. Nilai kebenarannya merupakan kumpulan dari benar dan
salah di luar tautologi dan kontradiksi. Nilai kebenaran ini tergantung dari nilai
kebenaran proposisi tunggal pembentuknya dan operator logika penghubungnya.
Contoh kontingensi:

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 12

p q p ˄ q p→~q (p ∧ q) ↔ p
B BBS B
B S S BB
S BS BS
S S S BB

Tabel 1.8 Kontingens (sumber modul PPG 2021 hal 203

b. Konvers, Invers, dan Kontrapositif
a. Konvers merupakan lawan dari pernyataan implikasi. Rumus sebagai berikut:
Implikasi (p→q):
Jika Ani rajin baca buku (p), maka Ani cerdas (q).
Konvers ( → ) :
Jika Ani cerdas (p), maka Ani rajin baca buku (q)
Jadi, kalau orang tua kita bilang “Nak, kamu harus rajin baca buku biar kamu cerdas”.
Berarti logikanya, orang tua kita ingin kita menjadi anak yang cerdas, makanya
disuruh baca buku.
b. Invers merupakan negasi dari pernyataan implikasi. Rumusnya sebagai berikut:
Implikasi (p→q) :
Jika Ani rajin baca buku (p), maka Ani cerdas (q).
Invers (∼ →∼ ):
Jika Ani tidak rajin baca buku (p), maka Ani tidak cerdas (q).
Invers adalah logia yang menegasikan sebuah pernyataan inplikasi. Kalau kamu rajin
baca buku, maka kamu akan jadi anak yang cerdas. Nah berarti kalau kamu tidak
rajin baca buku, gimana mau jadi ana cerdas.
c. Kontrapositif adalah kebalikan dari negasi dari pernuyataan implikasi.
Rumusnya sebagai berikut :
Implikasi (p→q) :
Jia Ani rajin baca buku (p), maka Ani cerdas (q).
Kontrapositif (∼ →∼ ) : Jika Ani tidak cerdas, maka Ani tidak rajin baca buku.
Kontraposisi merupakan gabungan antara konvers dan invers. Jadi, pernyataan
majemuknya kita balik lalu dinegasikan

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 13

4. Pernyataaan Berkuantor

Jenis Kuantor

Kuantor Penulisan Cara baca

Universal ∀ , ( ) Untuk semua x berlaku P(x)

Ekstensial ∃ , ( ) Ada beberapa x berlaku P(x)

Ingkaran Kuantor:

Ingkaran Kuantor Cara baca

~(∀ , ( )) ≅ ∃ , ~ ( ) Ada beberapa x bukan P(x)

~(∃ , ( )) ≅ ∀ , ~ ( ) Semua x bukan P(x)

Contoh Soal
1. Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak suka permen” adalah

a. Tidak ada anak yang suka permen.

b. Semua anak tidak suka permen

c. Ada anak-abak yang tidak suka permen

d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka permen

e. Jawab: C. Ada anak-abak yang tidak suka permen
2. Negasi dari pernyataan “Hari ini hujan dan saya tidak membawa paying” adalah

a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa payung

b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung

c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung

d. Hari ini hujan atau saya membawa payung

Jawab: D. Hari ini hujan atau saya membawa payung

B. Penarikan Kesimpulan
Ada dua macam penarikan kesimpulan yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.. Beberapa
penarikan kesimpulan yang sahih adalah modus ponens, modus tolens, dan silogisme. Premis
merupakan penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai
kebenarannya. Kesimpulan adalah pernyataan baru yang diturunkan dari premis-premis semula.
Contoh penalaran deduktif adalah:
Premis 1: Semua kucing akan mati
Premis 2: Bimo ayam .
Kesimpulan: Jadi, Bimo pada suatu saat akan mati
Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 14

Perhatikan contoh berikut ini!

1) Semarang terletak di sebelah barat Surabaya

2) Jakarta terletak di sebelah barat Surabaya

Jadi, Jakarta terletak di sebelah barat Surabaya

Keterangan:

Pernyataan no (1) dan (2) dinamakan premis-

premis pernyataan no (3) dinamakan konklusi.

a) Modus Ponen

Premis 1 :pq

Premis 2 :p

Konklusi :q

Dibaca : Jika diketahui p  q benar dan p benar , maka disimpulkan q benar

Contoh:

Premis 1: Jika hari ini hujan, maka Andi berada di rumah

premis 2 : Hari ini hujan

Pembahasan:

Dengan menggunakan modus ponens

: Hari ini hujan

: Andi berada di rumah

Dari pernyataan tersebut dengan menggunakan modus ponens diperoleh:
→ Jika hari ini hujan maka Andi berada di rumah.

Hari ini hujan.

Kesimpulannya : Andi berada di rumah

b) Modus Tolen

Premis 1 : p  q

Premis 2 : q

Konklusi : p

Dibaca : Jika diketahui p  q benar dan q benar , maka disimpulkan p benar

Contoh:

Premis 1: Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka ia menderita

Premis 2: Andi menderita
Kesimpulan sah dari premis-premis tersebut adalah…

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 15

Pembahasan:
Dengan menggunakan modus tollens
Premis 1: p => q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan: ~p
Jawabannya adalah ~p bahwa ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir
c) Silogisme
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q  r
Konklusi : p  r
Dibaca: Jika diketahui p  q benar dan q  r benar, maka disimpulkan p  r benar
Contoh:
Primis 1 jika kamu rajin Latihan soal, maka kamu akan mendapat nilai bagus
Premis 2 jika kamu mendapat nilai bagus, maka kamua akan naik kelas
Pembahasan:
Dengan menggunakan Silogisme
P: kamu rajin Latihan soal
q : kamu akan mendapat nilai bagus
r : kamu akan naik kelas
Premis 1 p → q
Premis 2 q → r
Kesimpulannya p → q
Jawaban : jika kamu rajin Latihan soal maka kamu akan naik kelas

Setelah memahami materi coba buka link video di bawah ini supaya anda lebih paham

https://www.youtube.com/watch?v=7T2EXnn--FQ

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 16

PENUTUP

Rangkuman

1. Pernyataan adalah kalimat matematika tertutup yang memiliki nilai kebenaran “benar” atau
“salah”, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang bersamaan.

2. Operasi uner yaitu operasi negasi atau ingkaran, dimana nilai kebenaran negasi sebuah
pernyataannya kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyataan semula.

3. Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur, yaitu meliputi operasi konjungsi,
disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

4. Tautologi adalah penyataan yang semua nilai kebenarannya benar tanpa memandang nilai
kebenaran komponen-komponen pembentuknya.

5. Kontradiksi adalah penyataan yang semua nilai kebenarannya salah tanpa memandang nilai
kebenaran komponen-komponen pembentuknya.

6. Kontingensi adalah pernyataan yang bukan merupakan tautologi dan kontongensi.
7. Pernyataan kondisional ( → ), memiliki hubungan konvers ( → ), invers (~ →~ ), dan

kontrapositif ( ~ →~ ).
8. Aturan penarikan kesimpulan antara lain: modus ponen, modus tolen, dan silogisme.
9.

Tugas Terstruktur

Setelah membaca dan memahami isi modul ini, coba Anda selesaikan tugasberikut ini:
Tentukan konvers, invers, kontraposisi da ingkaran dari pernyataan-pernyataan ” Jika ABC suatu
segitiga sebangun maka sudut-sudut seletaknya sama”

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 17

Forum Diskusi

Untuk menambah penguasaan materi Anda, silakan selesaikan forumdiskusi mengani materi bilangan
berikut ini:
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut ini: Jika saya kotor maka saya mandi. Jika saya mandi maka
saya cantik. Kesimpulannya adalah jika saya kotor maka saya cantik. Menurut Anda, apakah kesimpulan
tersebut tepat? Kemukakan alasannya!

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 18

Tes Formatif

1. Ingkaran dari pernyataan “semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah ...
a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
b. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
c. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum
d. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
e. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

2. Diketahui premis-premis seperti berikut ini:
Premis 1: Jika Tio kehujanan maka ia sakit.
Premis 2: Jika Tio sakit maka ia demam.
Kesimpulan dari dua premis tersebut adalah:
a. Jika Tio sakit maka ia kehujanan
b. Jika Tio kehujanan maka ia demam
c. Tio kehujanan dan ia sakit
d. Tio kehujanan dan ia demam
e. Tio demam karena kehujanan

3. Perhatikan premis-premis berikut ini:
1) Jika Adi murid rajin maka Adi murid pandai.
2) Jika Adi murid pandai maka ia lulus ujian.
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah..
a. Jika Adi murid rajin maka ia tidak lulus ujian.
b. Adi bukan murid rajin atau ia lulus ujian.
c. Jika Adi bukan murid rajin maka ia tidak lulus ujian.
d. Jika Adi murid rajin maka ia lulus ujian.
e. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian.

4. Diketahui premis-premis berikut:
1) Jika sebuah segitiga siku-siku maka salah satu sudutnya 90 derajat.
2) Jika salah satu sudut 90 derajat maka berlaku teorema Phytagoras.
Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah...
a. Jika sebuah segitiga siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras
b. Jika sebuah segitiga buka siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras
Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 19

c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku teorema phytagoras.
d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras.
e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku teorema Phytagoras.
5. Kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah ...
a. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ ~q )
b. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ ~q )
c. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ q )
d. ( ~p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ˄ ~q )
e. ( p ˄ ~q ) ⇒ ( ~p ˄ ~q )

KUNCI JAWABAN TES

1B
2B
3E
4D
5E

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 20

DAFTAR PUSTAKA
Fitriani, Andhin. (2019). Pendalaman Materi Matematika. Jakarta: Kemendikbud
Fitriani, A. D. (2019). Kapita Selekta Matematika (Modul PPG). Tidak diterbitkan.
Herman, T., Mujono. (2008). Logika Matematika. Bandung: UPI Press.
Kusumah, Yaya. (1986). Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.
Muhsetyo, Gatot. (2019). Pembelajaran Matematika SD. Tangerang: Universitas Terbuka.
Prabawanto, S., Mujono. (2006). Statistika dan Peluang. Bandung: UPI Press.
Prabawanto, S., Rahayu, P. (2006). Bilangan. Bandung: UPI Press.
Russeffendi. (2006). Pengantar kepada Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam pengajaran

Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito.
SIM PKB. Kapita Selekta Matematika. Retrieved from cdnbelajar.

simpkb.id/s3/p3k/PGSD/Matematika/Modul/Modul%20Pembelajaran_Pembelajaran-6.pdf.
(Pembelajaran 6. Kapita Selekta Matematika)
Sukirman. (2019). Matematika. Tangerang: Universitas Terbuka

Ruksah Nur Kholisiyah, S.Pd Page 21