expo

สรปุ คณติ ศาสตร์ ม. 5

เรื่อง “ ฟงั กช์ ันเอก็ โปเนนเชียล และลอการิทึม ”

-------------------------------------------------

กฎของเลขยกกำลงั

ถา้ a,b เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆจะได้

1. am+ an = am+n
2. (ab)n = anbn
3. (am)n = amn

f = { (x,y) | R x R+ | y = ax ; a > 0 และ a น 1 } เรยี กวา่ ฟังกช์ นั เอกซโ์ ปเนนเชยี ล จาก
y = ax , a > 0, a < 1 จะได้ x อยใู่ น R และ y อยู่ใน R+ น่นั คือ โดเมนเปน็ เซตของ
จำนวนจริง และ เรนจ์ เป็นเซตของจำนวนจรงิ บวก

1. ถา้ a > 1 ฟงั ก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟงั กช์ ันเพ่ิม
2. ถา้ 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเปน็ ฟงั กช์ นั ลด
3. สมบตั ิทีส่ ำคญั คอื ex = ey ก็ตอ่ เมอื่ x = y ส่วนสมบตั อิ น่ื ๆมีเชน่ เดยี วกับเลขยกกำลัง

การแก้สมการเอ็กโปเนนเชยี ล

การแกส้ มการเอกโพเนนเชียลท่มี กั พบอยู่บอ่ ยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทำให้ฐานเทา่ กนั คือทำให้ ap(x) = aq(x) แล้วสรปุ ว่า p(x) = q(x)
2. ทำให้กำลังเหมือนกนั แตฐ่ านต่างกนั คอื ap(x) = bq(x) แลว้ สรุปไดว้ า่ p(x)= 0
3.ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลงั แล้วมคี ่าเทา่ กับ 1 คอื ทำเป็น (abc)u = 1 แล้วสรุปว่า
u=0

การแก้อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

กล่มุ ที่ 1 ฐานเหมือนกนั เลขชก้ี ำลังต่างกัน

1. เมื่อ a > 1 จะไดว้ า่ อสมการของเลขชี้กำลังจะคลอ้ ยตามอสมการของเลขยกกำลงั

เช่น ax > ay จะไดว้ า่ x > y
ax < ay จะได้ว่า x < y

2. เม่ือ 0 < a < 1 จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลงั จะตรงข้ามกับอสมการของเลขชก้ี ำลัง

เช่น ax > ay จะไดว้ า่ x < y
ax < ay จะไดว้ ่า x > y

กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขช้ีกำลังเหมอื นกัน

1. ถา้ อสมการของเลขยกกำลังคลอ้ ยตามอสมการของเลขฐานจะไดว้ า่ เลขช้กี ำลงั < 0
เช่น a < b , ax < bx จะไดว้ ่า x > 0
a > b , ax > bx จะได้ว่า x > 0

2. ถา้ อสมการของเลขยกกำลังตรงข้ามกับอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชก้ี ำลงั < 0
เชน่ a > b , ax < bx จะไดว้ ่า x < 0
a < b , ax > bx จะได้วา่ x < 0
y = loga x มีความหมายวา่ x = ay

ถา้ a = 10 เรียกว่า ลอการิทมึ สามญั เขียนแทนด้วย log x
ถ้า a = e ป 2.71828 เรียกวา่ ลอการิทึมธรรมชาติ เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ln x ( คอื loge x )
โดเมนของฟงั กช์ ันลอการิทมึ เปน็ เซตของจำนวนจริงบวก เรนจข์ องฟงั ก์ชันลอการิทึมเปน็ เซตของ
จำนวนจริง

สมบัติทสี่ ำคญั = loga y ก็ตอ่ เมอื่ x = y
= loga x + loga y
1. loga x = loga x + loga y
2. loga xy = yloga x + loga
=1
3. loga(x/y)
4. loga xy =0
5. logaa
= log 1 = 0
6. loga1
7. ln 1 = 1, log 10 =1
= x , 10log x = x
8. ln e = x , log 10x = x
9. eln x = ex ln a
10. ln ex
13. ax

การหาค่า log x เขยี น x = A ด 10n เม่อื 1 < A < 10 หาค่าของ log A จากตาราง
แล้วจะได้ log x = n + log A

ตัวอย่าง log 5710 = log (5.71 ด 103)
= 3 + log 5.71
= 3 + 0.7566 = 3.7566

การหาคา่ x เมอื่ ทราบคา่ log x เช่น log x = 7.8341 ค่า x ทำไดโ้ ดยการใชเ้ ครื่อง

คดิ เลขและการเปิดตาราง
1. เขยี น log x = n + B เมือ่ 0 < B < 1 และ n เป็นจำนวนเต็ม

2. หาค่า y เมอ่ื log y = B จากตารางแอนติลอการิทมึ หรอื ตารางลอการิทมึ (โดยดู
ยอ้ นกลบั ) ได้คา่ y
แล้วจะได้ x = y ด 10n

การแกส้ มการลอการทิ ึม การแก้สมการลอการทิ ึมมรี ูปแบบทพ่ี บกนั บอ่ ยๆอยู่ 4 วธิ ี คือ
1. แยกตวั ประกอบ เชน่ (log 4 x)3-(log 4 x)2 - 2log 4 x = log 4 x (log 4 x - 2)( log
4x+1)=0
2. เปลีย่ นรูป y = logax เป็น x = ay
3. ทำให้เปน็ ลอการทิ มึ ฐานเดยี วกนั มคี า่ เท่ากันคือทำให้ log a u = log a v แล้วสรปุ ว่า u
=v
4. แปลงรูปสมการโดยใช้สมบัตขิ องลอการทิ ึม

การแก้อสมการลอการิทึม อสมการลอการทิ ึมสามารถแกไ้ ดโ้ ดยใชส้ มบตั ิตอ่ ไปนค้ี อื
1. กรณีที่ a > 0 จะไดว้ ่า logau > loga v ก็ตอ่ เม่อื u > v
2. กรณีที่ 0 < a < 1 จะได้วา่ loga u > loga v กต็ ่อเมอื่ u < v
3. แปลงอสมการลอการทิ มึ ใหอ้ ยใู่ นรูปอสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล เช่น
log3( x + 2 ) < 4 = x + 2 < 34