จานวนจริง
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
จานวนเต็ม จานวนตรรกยะ ทศนิยมไมซ่ ้ำ , ค่ำ
ที่ไม่ใชจ่ านวนเต็ม
เมอ่ื ค่ำของ
จานวนเต็มลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนเต็มบวก ทศนิยมซ้า เศษส่ วน ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
เม่ือค่ำของ
ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ
เรอื่ ง ความร้เู บอ้ื งต้นเกยี่ วกับจานวนจริง
ตัวชวี้ ดั
เข้าใจจานวนจริงและความสัมพันธ์ของจานวนจริง และใชส้ มบตั ิของจานวนจริง
ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชวี ติ จริง
สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1. จานวนอตรรกยะ
2. จานวนจริง
3. รากท่ีสองและรากท่ีสามของจานวนตรรกยะ
4. การนาความรู้เกี่ยวกับจานวนจริงไปใช้
ตงั้ ใจใหค้ วามรู้โดย ครูนงนุช ชัยนนั ตา (ครหู นอ่ ย)
ต้ังใจเรยี นโดย....................................................................... ช้ัน............. เลขท.ี่ .......
โรงเรยี นสบปราบพิทยาคม จงั หวดั ลาปาง สพม.35
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรู้เบือ้ งต้นเกีย่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
สารบญั
เร่ือง หน้า
1. ทบทวนจานวนตรรกยะ ………………………………………………………………………………………….………….. 1
2. จานวนอตรรกยะ ……………………….…………………………………………………………………………….………….. 12
3. จานวนจริง
3.1 รูจ้ กั จำนวนจรงิ ……..………………………………………………………………………………………………….. 18
3.2 สมบตั ิของจำนวนจรงิ ………..………………………………………………………………………………….. 20
4. รากที่สองและรากทีส่ ามของจานวนจริง
4.1 รูจ้ กั รำกท่ีสอง ....……..………………………………………………………………………………………………….. 18
4.2 กำรหำรำกที่สองโดยใชว้ ธิ กี ำรแยกตัวประกอบ ...…………………………………………….. 25
4.3 รูจ้ กั รำกท่ีสำม ..……..………………………………………………………………………………………………….. 30
4.4 กำรหำรำกที่สำมโดยใชว้ ิธกี ำรแยกตวั ประกอบ ...…………………………………………….. 32
4.5 กำรหำรำกที่สองและรำกที่สำมโดยใชส้ มบตั ิของเลขยกกำลัง ..…………………….. 35
4.6 กำรแก้สมกำรเก่ียวกับรำกท่ีสองและรำกที่สำม .............................…………………….. 37
5. การนาความรู้เก่ียวกับจานวนจริงไปใช้ …………………………………………………………………………….. 39
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความร้เู บ้ืองตน้ เกยี่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
1
1. ทบทวนจานวนตรรกยะ
จำกกำรศืกษำเรอื่ ง ระบบจานวนเตม็ ในระดับชนั้ มธั ยมศืกษำปึท่ี 1 ทำให้นักเรยี นได้ทรำบ
มำแล้ววำ่ มนุษย์ได้มีกำรสรำ้ งและกำหนดจำนวนข้ืนมำเพอ่ื นำมำใชห้ รอื แก้ปัญหำที่พบใน
ชวี ติ ประจำวนั ซ่ืงแรกเรม่ิ นั้น ได้เรยี นรูแ้ ละรูจ้ ักจำนวนนับเพอื่ ใชใ้ นกำรนับจำนวนของส่ิงต่ำง ๆ
ซ่ืงต่อมำได้กำหนดช่ือของจำนวนนับอีกชอื่ หน่ืงวำ่ จานวนเตม็ บวก จำกนั้นได้มกี ำรเรยี นรูแ้ ละ
ค้นพบเกี่ยวกับจำนวนเพิม่ ข้ืน ได้แก่ จานวนเตม็ ศูนย์ และจานวนเต็มลบ เพ่ือนำมำใชใ้ นกำร
อธบิ ำยปรำกฎกำรณ์ต่ำง ๆ ท่ีเกิดข้ืน และเนื่องจำกจำนวนท้ังสำมชนิดนั้น ได้แก่ จำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มศูนย์ และจำนวนเต็มลบต่ำงก็มหี น่ืงส่ิงท่ีเหมือนกันคือคำวำ่ จำนวนเต็ม จืงได้จัดให้
จำนวนท้ังสำมน้ีอยู่ในกลุ่มเดียวกันและเรยี กว่ำ จานวนเตม็ ดังแผนภำพ
จานวนเต็ม
จานวนเตม็ ลบ จานวนเตม็ ศนู ย์ จานวนเตม็ บวก
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
จานวนเตม็ บวก ได้แก่ ...........................................................................................................................................
จานวนเตม็ ศนู ย์ ได้แก่ ..........................................................................................................................................
จานวนเตม็ ลบ ได้แก่ ...........................................................................................................................................
ซ่ืงภำยหลัง ได้เกิดจำนวนใหมข่ ้ืนมำท่ีนอกเหนือจำกจำนวนเต็ม น่ันคือ ทศนิยม และ
เศษส่วน และจำนวนท้ังสองนี้ไมใ่ ช่จำนวนเต็ม แตม่ ีค่ำอยู่ระหว่ำงจำนวนเตม็ จืงได้จัดให้อยู่ใน
กลุ่มใหมท่ ่ีเรยี กว่ำ จานวนท่ีไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ ดังแผนภำพ เศษสว่ นท่มี ีตัวเศษและตัวส่วนเปน็ จานวนเตม็
จานวนที่ไม่ใชจ่ านวนเต็ม โดยทีต่ วั ส่วนไม่เทา่ กบั ศูนย์
ทศนิยมซา้ เศษส่ วน
987 65 4 3 2 1 1 23456 789
--- -- - - -- 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรูเ้ บือ้ งต้นเกย่ี วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
2
ทศนิยมซ้า แบ่งออกเปน็ ทศนิยมซ้ำศูนย์ และทศนิยมไมซ่ ำ้ ศูนย์
ทศนิยมซ้ำท่ีซำ้ ศนู ย์ได้แก่ ...........................................................................................................................................
ทศนิยมซ้ำที่ไม่ซำ้ ศูนย์ได้แก่ ......................................................................................................................................
เศษส่วน แบ่งออกเปน็ เศษส่วนแท้ จำนวนคละ และเศษเกิน
เศษส่วนแท้ ได้แก่ ...........................................................................................................................................................
จำนวนคละ ได้แก่ ...........................................................................................................................................................
เศษเกิน ได้แก่ ...............................................................................................................................................................
จานวนที่ไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ ทั้งสอง ไดแ้ ก่ เศษส่วนและทศนิยมซา้ นั้น ต่างก็มคี วามสัมพนั ธ์กันดงั น้ี
1. เศษส่วน สามารเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมซา้ ได้ ซ่ืงเกิดข้นื ได้ 2 กรณี คือ
1.1 เศษส่วนท่ีเมอ่ื เขียนในรูปทศนิยมแล้ว เปน็ ทศนิยมซ้ำที่ซำ้ ศูนย์ เชน่
1. 2. 3.
ตอบ ตอบ ตอบ
1.2 เศษส่วนที่เมอ่ื เขียนในรูปทศนิยมแล้ว เปน็ ทศนิยมซ้ำที่ไมซ่ ำ้ ศูนย์ เชน่
1. 2. 3.
ตอบ ตอบ ตอบ
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรเู้ บอื้ งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
3
2. ทศนิยมซา้ สามารเขียนใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษส่วนได้
2.1 กำรเขียนทศนิยมซ้ำที่ซำ้ ศูนย์ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
1. 5.2 เขียนเปน็ เศษส่วนได้เปน็ .......................................................................................................................
2. 1.29 เขียนเปน็ เศษส่วนได้เปน็ .......................................................................................................................
3. 5.235 เขียนเปน็ เศษส่วนได้เปน็ ......................................................................................................................
4. 0.2555 เขยี นเปน็ เศษส่วนได้เปน็ .......................................................................................................................
5. 0.44444 เขียนเป็นเศษส่วนได้เปน็ .......................................................................................................................
2.2 กำรเขียนทศนิยมซำ้ ท่ีไมซ่ ้ำศูนย์ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
จำกกำรเขยี นเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ และกำรเขียนทศนิยมซำ้ ท่ีซำ้ ศูนย์ให้อยู่ในรูป
เศษส่วนที่ได้กล่ำวมำข้ำงต้นนั้น เปน็ เน้ือหำที่นักเรยี นได้เรยี นผ่ำนมำแล้วในระดับชนั้ มธั ยมศืกษำ
ปทึ ่ี 1 แต่ในส่วนของกำรเขียนทศนิยมซำ้ ที่ไม่ซำ้ ศูนย์ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนน้ันเป็นเนื้อหำใหมท่ ่ี
นักเรยี นจะได้เรยี นรูด้ ังตอ่ ไปนี้
ทศนิยมซ้ำที่ไม่ซำ้ ศูนย์ สำมำรถแบ่งได้อีก 2 รูปแบบ คือ ซ้ำทุกตำแหน่ง และซ้ำบำงตำแหน่ง
ซ่ืงกำรเขียนทศนิยมซำ้ ที่ไมซ่ ้ำศูนย์ท้ังสองรูปแบบ ต่ำงก็มีวิธีกำรเขียนเปน็ เศษส่วนได้ดังต่อไปนี้
ตวั อย่าง จงเขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ตอ่ ไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
1. 0. 2
วิธที า ให้ A 0.222... เปน็ สมกำรท่ี 1
10 x สมกำรที่ 1 ได้ 10A 2.222... เปน็ สมกำรที่ 2
นำ 2 - 1
ได้ 10A A 2.222... 0.222...
9A 2
A 2
9
ตอบ 2
0. 2 9
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรู้เบื้องตน้ เกีย่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนันตา
4
วิธที า
2. 0.53
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วิธีทา
3. 0.4683
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วธิ ที า
4. 0.56
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรูเ้ บอ้ื งตน้ เกี่ยวกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
5
วิธที า
5. 0.14 5
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วิธีทา
6. 0.719
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
7. 0.3218 วธิ ที า
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความร้เู บื้องตน้ เกย่ี วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
6
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 1 3.
1. จงเขียนเศษส่วนท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี ให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ
1. 2.
ตอบ ตอบ ตอบ
4. 5. 6.
ตอบ ตอบ ตอบ
2. จงเขียนทศนิยมซ้ำท่ีซำ้ ศูนย์ ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่ำงตำ่ หรอื จำนวนคละ
1. 14.03 = ..........................................................................................................................................................
2. -8.4 = ..........................................................................................................................................................
3. 0.412 = ..........................................................................................................................................................
4. 0.0005 = ..........................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรู้เบ้ืองตน้ เกยี่ วกับจานวนจรงิ ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
7
3. จงเขียนทศนิยมซำ้ ที่ไมซ่ ้ำศูนย์ (ซำ้ ทกุ ตำแหน่ง) ท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ ให้อยูใ่ นรูปเศษส่วน
วิธที า
1. 0. 7
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
2. 0. 12 วธิ ที า
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วิธที า
3. 0. 365
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรเู้ บอื้ งตน้ เก่ยี วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
8
4. จงเขียนทศนิยมซ้ำท่ีไมซ่ ำ้ ศูนย์ (ซ้ำบำงตำแหน่ง) ที่กำหนดให้ต่อไปน้ี ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
วิธีทา
1. 0.516
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วธิ ีทา
2. 0.7 9
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
วธิ ที า
3. 0.014
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรู้เบือ้ งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนันตา
9
จำกกำรเขียน ทศนิยมซ้าที่ไม่ซ้าศูนย์ ใหอ้ ยู่ในรูปเศษส่วนท่ีกล่ำวมำข้ำงต้น เม่ือเรำ
ลองนำคำตอบมำเขียนลงในตำรำง พบวำ่
ซ้ำทุกตัว เขียนในรูปเศษส่วน ซ้ำบำงตัว เขียนในรู ปเศษส่ วน
0. 2 0.56
0. 5 3 0.14 5
0. 4 6 8 3 0.719
0. 7 0.32 1 8
0. 12 0.516
0. 365 0.7 9
จำกข้อสังเกตที่พบในตำรำงข้ำงต้นนั้น ให้นักเรยี นใชข้ ้อสังเกตท่ีได้ เติมเศษส่วนลงในชอ่ งว่ำงที่
กำหนดให้ต่อไปน้ี จำกน้ันใช้เครอ่ื งคิดเลขตรวจสอบเศษส่วนท่ีนักเรยี นหำได้น้ันถกู ต้องหรอื ไม่
ซ้ำทกุ ตัว เขียนในรู ปเศษส่ วน ซำ้ บำงตัว เขียนในรู ปเศษส่ วน
0. 5 0.2 7
0. 17 0.4 14
0. 1 2 3 0.46 5
0.4 158 0.12 3 4
จำกข้อสังเกต เรำจืงสำมำรถสรุปกำรเขียนทศนิยมซ้ำท่ีไม่ซ้ำศูนย์ในรูปเศษส่วนได้ ดังน้ี
1. ซา้ ทุกตัว จะได้เศษส่วนที่มตี ัวเศษเปน็ จำนวนทีไ่ ด้จำกจำนวนที่อยู่หลังจุดทศนิยมท้ังหมดและ
มตี ัวส่วน เปน็ จำนวนท่ีประกอบด้วย 9 โดยมจี ำนวนของตัวเลข 9 เท่ำกับจำนวนตำแหน่งของ
ทศนิยมที่ซ้ำ
2. ซ้าบางตวั จะได้เศษส่วนที่มตี ัวเศษเปน็ จำนวนท่ีได้จำกจำนวนท่ีอยู่หลังจุดทศนิยมทั้งหมด
ลบด้วยจำนวนท่ีอยู่หน้ำตัวซ้ำแต่อยู่หลังจุดทศนิยม และมตี ัวส่วนเปน็ จำนวนที่ประกอบด้วย 9
และ 0 โดยข้ืนตน้ ด้วย 9 ซ่ืงมจี ำนวนของตัวเลข 9 เท่ำกับจำนวนตำแหน่งของทศนิยมที่ซ้ำ ตำม
ด้วย 0 ซ่ืงมจี ำนวนของตัวเลข 0 เท่ำกับจำนวนตำแหน่งของทศนิยมท่ีไมซ่ ้ำ
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บ้อื งต้นเกยี่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
10
ตวั อยา่ ง จงเขยี นทศนิยมซำ้ ท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ีให้อยู่ในรูปเศษส่วน
1. 0. 3 = ………………………………………………. 2. 0.116 = ……………………………………………….
3. 6.015 = ………………………………………………. 4. 3.29 = ……………………………………………….
= ………………………………………………. = ……………………………………………….
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 2
1. จงใชข้ ้อสังเกตของแบบรูป เขยี นทศนิยมซ้ำท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ีให้อยู่ในรูปเศษส่วน
= ………………………………………………. = ……………………………………………….
1. 0. 8 2. 0. 15
3. = ………………………………………………. 4. = ……………………………………………….
0. 027 0. 1011
= ………………………………………………. 6. = ……………………………………………….
5. 0.7 3 0.24 8
= ………………………………………………. = ……………………………………………….
7. 0.012 8. 0.106
= ………………………………………………. = ……………………………………………….
9. 2.03 10. 4.125
= ………………………………………………. = ……………………………………………….
2. จงหำผลลัพธ์ 2.
1.
= ……………………………………………..…………………….
= ……………………………………………..…………………….
= ……………………………………………..……………………. = ……………………………………………..…………………….
= ……………………………………………..……………………. = ……………………………………………..…………………….
= ……………………………………………..……………………. = ……………………………………………..…………………….
= ……………………………………………..……………………. = ……………………………………………..…………………….
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรเู้ บ้อื งต้นเก่ียวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
11
จำกท่ีกล่ำวมำข้ำงต้นนั้น นักเรยี นจะเห็นว่ำ จานวนเต็ม หรอื จานวนที่ไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ ต่ำงก็
สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังน้ัน จืงได้จดั จำนวนท้ังสองให้อยู่ในกลุ่มเดียวกนั ได้ โดยใช้
ชอ่ื วำ่ จานวนตรรกยะ ดังแผนภำพ
จานวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนได้ในรูป โดยท่ี และ
เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และ ≠ 0
จานวนเต็ม จานวนตรรกยะท่ีไม่ใชจ่ านวนเต็ม
จานวนเต็มลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนเต็มบวก ทศนิยมซ้า เศษส่ วน
............................ ............................ ............................ ทศนิยมซำ้ ศูนย์ .........................
............................ ............................ .........................
............................ ............................ ............................. .........................
............................ ............................ ............................. .........................
............................ ............................ .............................
............................ ............................
ทศนิยมไมซ่ ำ้ ศูนย์
.............................
.............................
.............................
.............................
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 3
จงนำ จานวนตรรกยะ ทกี่ ำหนดให้ต่อไปน้ี ไปเติมลงในช่องว่ำงของแผนภำพให้ถูกต้อง
1. 5.000... 2. 1 3 3. -6.000... 4. 3 1
4 4
5. -4.5
6. 32 8. -4
4 7. 2.5 12. 9
9. 0.1 10. 1 5 11. 0 9
1 1
13. 1.5555 14. 15 15. 0.121212 16. 1.222…
17. 5 20
18. 3 19. 1.1535353... 20. -38.00
4
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บือ้ งต้นเกยี่ วกับจานวนจรงิ ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
12
2. จานวนอตรรกยะ
นักเรยี นได้ทรำบมำแล้วว่ำ จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนได้ในรูป a โดยท่ี a และ b
b
เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และ b ≠ 0 ซ่ืงประกอบด้วย จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ ำนวน
เต็มท่ีสำมำรถเขียนในรู ปเศษส่วนตำมนิยำมของจำนวนตรรกยะได้
ถืงแมว้ ่ำจำนวนตรรกยะจะสำมำรถนำไปใช้ได้อย่ำงกวำ้ งขวำง แต่ก็ยังมบี ำงปญั หำหรอื
บำงสถำนกำรณ์ ท่ีไม่สำมำรถใชจ้ ำนวนตรรกยะแทนจำนวนท่ีต้องกำรสื่อได้
ให้นักเรยี นพจิ ำรณำปัญหำต่อไปนี้
“ แน็กต้องกำรทำสวนหย่อมหน้ำบ้ำนให้เปน็ รูปสี่เหล่ียมจัตรุ สั ให้มีพน้ื ที่ 5 ตำรำงเมตร แล้ว
แน็กต้องสรำ้ งสวนหย่อมให้มคี วำมยำวด้ำนละเท่ำใด ”
m
รปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ สั
ดา้ นทกุ ด้านจะยาวเทา่ กนั
สวนหยอ่ ม
m ท่มี พี ืน้ ท่ี 5 ตารางเมตร m
พื้นท่ขี องรูปเหลย่ี มจตั ุรัส = ดา้ น2
m
แน็กต้องกำรทรำบวำ่ ด้ำนแต่ละด้ำนของสวนหย่อมยำวเท่ำใด จืงได้ใช้วธิ ีกำรหำ ดังน้ี
วิธที า เนื่องจำกพนื้ ท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั = ด้ำน2
และกำหนดให้ m แทนควำมยำวด้ำนของสวนหย่อมแต่ละด้ำน (หน่วยเปน็ เมตร)
จืงได้สมกำรของพืน้ ที่เปน็
ดังน้ันแน็กจะต้องหำค่ำ m ซ่ืงก็คือจานวนบวกทีย่ กกาลังสองแล้วมคี ่าเท่ากับ 5 โดยใชว้ ธิ ี
กำรลองแทนค่ำ m ด้วยจำนวนเต็มบวกแล้วพจิ ำรณำค่ำที่ได้ดังตำรำงต่อไปน้ี
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกี่ยวกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
-0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13
1 2 34
m 5
m2
จำกตำรำงจะเห็นวำ่ m ต้องมคี ่ำอยู่ระหวำ่ ง ........................................
หำค่ำที่อยู่ระหวำ่ ง .............................. โดยเรมิ่ พิจำรณำทศนิยม 1 ตำแหน่ง ซ่ืงก็คือ ...................................
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
m 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
m2
จำกตำรำงจะเห็นวำ่ m ต้องมีค่ำอยู่ระหว่ำง ........................................
หำค่ำที่อยู่ระหว่ำง ............................ โดยเรมิ่ พจิ ำรณำทศนิยม 2 ตำแหน่ง ซ่ืงก็คือ ...................................
2.2 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.3
m 2.21 2.22 2.23 2.24
m2
จำกตำรำงจะเห็นวำ่ m ต้องมคี ่ำอยู่ระหว่ำง ................................................
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรูเ้ บื้องตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
14
หำค่ำท่ีอยู่ระหว่ำง ............................ โดยเรมิ่ พจิ ำรณำทศนิยม 3 ตำแหน่ง ซ่ืงก็คือ ...................................
2.23 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237 2.238 2.239 2.24
m 2.235 2.236 2.237
m2
จำกตำรำงจะเห็นว่ำ m ต้องมีค่ำอยู่ระหว่ำง ......................................................................
หำค่ำท่ีอยู่ระหวำ่ ง ....................................................................... โดยเรม่ิ พจิ ำรณำทศนิยม 4 ตำแหน่ง
คือ .........................................................................
2.236 2.2361 2.2362 2.2363 2.2364 2.2365 2.2366 2.2367 2.2368 2.2369 2.237
m 2.2361 2.2362
m2 5.00059044
จำกตำรำงจะเห็นวำ่ m ต้องมคี ่ำอยู่ระหว่ำง ......................................................................
หำค่ำท่ีอยู่ระหวำ่ ง ....................................................................... โดยเรมิ่ พจิ ำรณำทศนิยม 4 ตำแหน่ง
คือ .........................................................................
2.23601 2.23602 2.23603 2.23604 2.23605 2.23606 2.23607 2.23608 2.23609
2.2360 2.2361
m 2.23606 2.23607
m2
จำกตำรำงจะเห็นว่ำ m ต้องมีค่ำอยู่ระหวำ่ ง ......................................................................
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรเู้ บ้ืองต้นเก่ียวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
15
กำรหำค่ำ m จำกกิจกรรมข้ำงต้น พบวำ่ หำกเรำหำค่ำของ m ต่อไปเรอ่ื ย ๆ ค่ำท่ีได้นั้นจะเปน็
ทศนิยมท่ีต่อไปได้โดยไมส่ ิ้นสุด และต่อมำได้มีกำรใช้เครอื่ งมือในกำรคำนวณหำค่ำดังกล่ำว พบวำ่
m = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089…
ทศนิยมในลักษณะนี้ ไมส่ ำมำรถหำรูปแบบท่ซี ้ำได้ และไมส่ ำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนของจำนวนเต็มโดยท่ีตัวส่วนไม่เท่ำกับศูนย์ได้ จืงได้เกิดจำนวนชนิดใหมข่ ้ืนมำ และเรยี ก
จำนวนท่ีเปน็ ทศนิยมไม่ซำ้ หรอื จำนวนท่ีไม่สำมำรถเขียนในรูปเศษส่วนไดน้ ี้ว่ำ จานวนอตรรกยะ
จานวนอตรรกยะ คือ จำนวนท่ีไม่สำมำรถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ หรอื
ไม่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน ได้ เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนเต็มที่ b ≠ 0
จำกปญั หำควำมยำวด้ำนของสวนหย่อมที่มีพ้นื ที่ 5 ตำรำงเมตร ทำให้เรำทรำบว่ำ
ควำมยำวแต่ละด้ำนของสวนหย่อมเป็นทศนิยมไม่ซำ้ และไม่รูจ้ บ ในทำงคณิตศำสตรจ์ ืงได้กำหนด
เครอ่ื งหมำยกรณฑ์ “ ” เพือ่ ชว่ ยในกำรเขยี นแทนจำนวนท่ีมลี ักษณะดังกล่ำวให้สะดวกและ
รวดเรว็ ข้ืน และสำมำรถแทนค่ำได้โดยตรงไมต่ ้องใชค้ ่ำประมำณในกำรตอบ ดังน้ี
ให้ a แทนจำนวนบวกใด ๆ กรณฑ์ท่ีสองของ a คือ จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วเท่ำกับ a
ใช้สัญลักษณ์ “ ” แทนกรณฑ์ท่ีสองของ a นั่นคือ
เชน่ 5 หมำยถืง จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วได้ 5 จำนวนนั้น คือ ..................................................
9 หมำยถืง จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วได้ 9 จำนวนนั้น คือ ..................................................
4 หมำยถืง จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วได้ 4 จำนวนน้ัน คือ ..................................................
จำกกำรกำหนดเครอ่ื งหมำย “ ” ข้ำงต้น เรำจืงสำมำรถเขียนแทนควำมยำวด้ำนของ
สวนหย่อม (m) ในรูปต่ำง ๆ ได้ดังนี้
เมตร
เมตร
2.23606797749978969640917366873127623544061835961152… เมตร
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความร้เู บอ้ื งตน้ เกี่ยวกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
16
นอกจำก 5 แล้ว ยังมีจำนวนที่มลี ักษณะดังกล่ำวอีกมำกมำยท่ีเป็นทศนิยมทีห่ ำรูปแบบซ้ำไมไ่ ด้
ให้นักเรยี นพจิ ำรณำจำนวนต่อไปนี้
จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วมคี ่ำเท่ำกับ 1 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 มคี ่ำดังนี้
1 =1
จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วมคี ่ำเท่ำกับ 2 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 2 มคี ่ำดังน้ี
2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679...
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 3 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3 มคี ่ำดังนี้
3 = 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580…
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมคี ่ำเท่ำกับ 4 เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ 4 มีค่ำดังน้ี
4 =2
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 6 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 6 มีค่ำดังนี้
6 = 2.44948974278317809819728407470589139196594748065667…
จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 7 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 มคี ่ำดังนี้
7 = 2.64575131106459059050161575363926042571025918308245...
จำนวนบวกท่ียกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 8 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 8 มคี ่ำดังน้ี
8 = 2.82842712474619009760337744841939615713934375075389…
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมคี ่ำเท่ำกับ 9 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 9 มีค่ำดังนี้
9 =3
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 10 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 10 มีค่ำดังน้ี
10 = 3.16227766016837933199889354443271853371955513932521…
จำกกำรหำค่ำกรณฑ์ที่สองของจำนวนตั้งแต่ 1 – 10 พบวำ่
1. 1 , 4 , 9 สำมำรถหำค่ำของกรณฑ์ท่ีสองได้เป็นจำนวนเต็ม จืงเปน็ จานวนตรรกยะ
2. 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 ค่ำของกรณฑ์ท่ีสอง ไม่เปน็ จำนวนเต็ม ยิ่งไปกวำ่ น้ัน
ยังพบวำ่ เปน็ ทศนิยมที่ไม่ซ้ำ หำท่ีสิ้นสุดไมไ่ ด้ จืงเปน็ จานวนอตรรกยะ
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรู้เบอื้ งต้นเก่ียวกับจานวนจรงิ ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
17
จำกท่ีกล่ำวมำข้ำงต้น สรุปได้วำ่ จำนวนท่ีเปน็ จานวนอตรรกยะ ได้แก่ จำนวนท่ีมลี ักษณะดังนี้
1. จำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยมไมซ่ ้ำ เชน่ 1.2345678910111213... , 0.112233445566... ,
1.12112111211112111112... , 0.010203040506... เปน็ ต้น
2. จำนวนท่ีอยู่ในรูป a เมื่อจำนวนทย่ี กกำลังสองแล้วได้ a ไมใ่ ช่จำนวนตรรกยะ
3. ค่ำ
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 4
จงระบุว่ำ จำนวนท่ีกำหนดให้ในแต่ละข้อ เปน็ จำนวนตรรกยะ หรอื จำนวนอตรรกยะ
1. 1.21221122211122221111… เปน็ จำนวน ..................................................
2. 0.123123123… เปน็ จำนวน ..................................................
3. -8.10100100010000… เป็นจำนวน ..................................................
4. 12.2549245687558414211257... เป็นจำนวน ..................................................
5. จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ 15 เปน็ จำนวน ..................................................
6. จำนวนท่ยี กกำลังสองแล้วได้ 16 เป็นจำนวน ..................................................
7. 18 เป็นจำนวน ..................................................
8. 25 เปน็ จำนวน ..................................................
9. 64 เปน็ จำนวน ..................................................
10. 91 เปน็ จำนวน ..................................................
เปน็ จำนวน ..................................................
11.
12. 2 5 เปน็ จำนวน ..................................................
13. 7 เปน็ จำนวน ..................................................
3
เปน็ จำนวน ..................................................
14. 3.14 เปน็ จำนวน ..................................................
15. 2 3
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บอ้ื งต้นเกีย่ วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
18
3. จานวนจริง
3.1 รู้จกั จานวนจริง
จำกกำรศืกษำเรอ่ื งจำนวนตรรกยะ ทำให้เรำได้ทรำบแล้วว่ำจำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่
เขียนได้ในรูป a โดยที่ a และ b เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ และ b ≠ 0 ดังแผนภำพด้ำนล่ำง
b
จานวนตรรกยะ
จานวนเต็ม จานวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ านวนเต็ม
จานวนเต็มลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนเต็มบวก ทศนิยมซ้า เศษส่ วน
จำนวนตรรกยะน้ันสำมำรถใชแ้ ก้ปญั หำ หรอื ใช้แทนจำนวนได้ครอบคลุมเปน็ อย่ำงมำก
และเปน็ จำนวนท่ีมนุษย์นั้นค้นุ เคย เพรำะประกอบด้วยจำนวนเต็ม เศษส่วนของจำนวนเต็ม และ
ทศนิยมซำ้
ถืงแมว้ ำ่ จำนวนตรรกยะจะสำมำรถนำไปใช้ได้อย่ำงกวำ้ งขวำง แต่ก็ยังมบี ำงปญั หำหรอื
บำงสถำนกำรณ์ ท่ีไม่สำมำรถใชจ้ ำนวนตรรกยะแทนจำนวนท่ีต้องกำรส่ือได้ เช่น ปัญหำควำม
ยำวด้ำนของสวนหย่อมทม่ี ีพื้นท่ียำวเท่ำกับ 5 ตำรำงหน่วย หรอื ค่ำ ท่ีคำนวณจำกควำมยำว
ของเส้นรอบวงของวงกลมหำรด้วยควำมยำวของเส้นผ่ำนศูนย์กลำง พบวำ่ ค่ำท่ีได้น้ัน
เป็นทศนิยมที่ไม่ซำ้ ซ่ืงทศนิยมท่ีไม่ซ้ำนี้ ไมส่ ำมำรถเขียนเปน็ เศษส่วนได้ จืงเกิดเป็นจำนวนชนิด
ใหม่ข้นื มำคือจำนวนที่ไม่สำมำรถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซำ้ หรอื ไม่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วน a ได้ เมือ่ a และ b เปน็ จำนวนเต็มที่ b ≠ 0 ได้ เรยี กวำ่ จำนวนอตรรกยะ
b
จานวนอตรรกยะ
ทศนิยมไมซ่ ้ำ
เมื่อค่ำของ
ไมเ่ ปน็ จำนวนตรรกยะ
ค่ำ
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรู้เบอื้ งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
19
เน่ืองจำกจำนวนท้ังสอง มีส่ิงที่คล้ำยกนั คือ เป็นจำนวนที่เกิดข้ืนและสำมำรถนำไปใช้ได้
จรงิ ตั้งแต่อดีตจนถืงปจั จุบนั เพอ่ื นำมำอธบิ ำยสถำนกำรณ์บำงอย่ำง หรอื ใช้แทนจำนวนเพ่ือ
ส่ือสำรและแก้ปญั หำ จืงได้จัดใหจ้ ำนวนท้ังสองชนิดน้ีอยู่ในกลุ่มเดียวกันภำยใต้ชือ่ วำ่ จานวนจรงิ
จานวนจริง
จานวนตรรกยะ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
ท่ีไม่ใชจ่ านวนเต็ม
จานวนเต็ม ทศนิยมไมซ่ ้ำ,
เมื่อค่ำของ
จานวนเต็มลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนเต็มบวก ทศนิยมซา้ เศษส่ วน
ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ
ค่ำ
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 5
จงเติม 1 – 9 ลงใน ช่องละ 1 ตัว ให้ตรงตำมท่ีเงอ่ื นไขกำหนด โดยท่ีเลขโดดแต่ละตัว ใชไ้ ด้
เพยี ง 1 ครง้ั เท่ำนั้นในแตล่ ะข้อ
1. จำนวนเต็มท่ีอยู่ในรูปเศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำท่ีซำ้ ศนู ย์ท่ีอยู่ในรูปเศษส่วน
3. เปน็ จำนวนตรรกยะ
4. เปน็ จำนวนอตรรกยะ
5. เปน็ จำนวนอตรรกยะ
6. เปน็ จำนวนเต็มที่มคี ่ำอยู่ระหว่ำง 13 กบั 20
7. เปน็ จำนวนจรงิ ที่ยกกำลังสองแล้วมีค่ำเท่ำกับ 9
8. จำนวนเต็มท่ีอยู่ในรูปเศษส่วน
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความรูเ้ บ้ืองตน้ เก่ียวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
20
3.2 สมบัติของจานวนจริง
ในเรอื่ ง จำนวนตรรกยะ นักเรยี นได้ทรำบมำแล้วว่ำ จำนวนตรรกยะมสี มบัติต่ำง ๆ ได้แก่
สมบัติของศูนย์และหน่ืง สมบัติกำรสลับท่ี สมบัติกำรเปล่ียนหมู่และสมบัติกำรแจกแจง ซ่ืง
จำนวนอตรรกยะก็มีสมบตั ิดังกล่ำวด้วย ส่งผลให้จำนวนจรงิ มสี มบัติต่ำง ๆ ดังน้ี
3.2.1 สมบตั ิของ 0 และ 1
สมบัตขิ อง 0
กำหนดให้ a แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ
a+0=0+a=a ax0=0xa=0
โดยท่ี ถ้ำ a x b = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0
สมบตั ขิ อง 1
กำหนดให้ a แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ
ax1=1xa=a a÷1=a
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 6
จงหำผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี
= …………………….. 2. 5 +0 = …………………….. 3. (-17.8) + 0 = ……………………..
12
1. 9.13 ÷ 1
4. 5 x 1 = …………………….. 5. 1 x 8 = …………………….. 6. 0 ÷ 1 = ……………………..
7. 0+ 2 = …………………….. 8. 1 x (-1) = …………………….. 9. 37 x0 = ……………………..
3 18
10. 0 x 1 = …………………….. 11. 19 + 0 = …………………….. 12. 0 ÷ 3 = ……………………..
13. 0 1 = …………………….. 14. 1 x 0 = …………………….. 15. 7 ÷ 1 = ……………………..
12
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บือ้ งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
21
3.2.2 สมบตั ิการสลับที่
ให้ a และ b แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ แล้ว
a+b=b+a กำรบวกและกำรคณู กันของจำนวนจรงิ สำมำรถสลับที่ได้
axb=bxa
3.2.3 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ให้ a , b และ c แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ แล้ว
(a + b) + c = a + (b + c) กำรบวกและกำรคูณกันของจำนวนจรงิ ตั้งแต่สำมจำนวนข้ืนไป
(a x b) x c = a x (b x c) สำมำรถเปล่ียนหมู่ได้
3.2.4 สมบตั ิการแจกแจง
ให้ a , b และ c แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ แล้ว
a x (b + c) = a x b + a x c (กำรแจกแจงทำงซ้ำย)
(b + c) x a = b x a + c x a (กำรแจกแจงทำงขวำ)
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 7
จงเติมเครอ่ื งหมำย หรอื หน้ำข้อควำมที่กำหนดให้ในแตล่ ะข้อ หำกถูกจงบอกสมบัติท่ีใช้
หำกผิดจงเขียนให้ถกู ต้องหลังข้อควำม (โดยเลือกใช้สมบัติใดก็ได้)
1. ………… 19 + 5.3 = 5.3 + 19 ………………………………………………………………………
2. ………… –2 = 2– ………………………………………………………………………
22 ………………………………………………………………………
3. ………… ( 3 x 4) x 2 = 3 x ( 4 x 2 )
4. ………… ( 3 + 5) x 5 = ( 3 x 5 ) + (5 x 5 ) ………………………………………………………………………
5. ………… 2 ÷2 = 2÷ 2 ………………………………………………………………………
6. ………… 2 + (5 + 4) = (2 + 5) + (2 + 4) ………………………………………………………………………
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรู้เบ้ืองต้นเก่ยี วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนันตา
22
4. รากที่สองและรากท่ีสามของจานวนจริง
4.1 รู้จักรากที่สอง
ในกำรศืกษำเรอื่ งจำนวนอตรรกยะ นักเรยี นได้รูจ้ ักจำนวนท่ีอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง
มำแล้ว ซ่ืงในหัวข้อนี้นักเรยี นจะได้ศืกษำเกี่ยวกับรำกท่ีสอง ซ่ืงมีควำมใกล้เคยี งกับกรณฑ์ที่สอง
แต่มคี วำมแตกต่ำงเพยี งเล็กน้อย ดังนี้
ให้ a แทนจำนวนจรงิ บวกใด ๆ กรณฑ์ท่ีสองของ a คือ จำนวนจรงิ บวกท่ียกกำลังสองแล้วเท่ำกับ a
ใชส้ ัญลักษณ์ “ ” แทนกรณฑ์ท่สี องของ a
ให้ a แทนจำนวนจรงิ บวกใด ๆ รากท่ีสองของ a คือ จำนวนจรงิ ที่ยกกำลังสองแล้วเท่ำกับ a
จำกนิยำมกรณฑท์ ี่สอง และ รากท่ีสอง นักเรยี นจะเห็นว่ำ a เป็นจานวนจรงิ ลบ ได้ไหม ?
1. 1 = …………………………………. 2. 4 = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 1 = …………………………………. รำกท่ีสองของ 4 = ………………………………….
3. 25 = …………………………………. 4. 64 = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 25 = …………………………………. รำกท่ีสองของ 64 = ………………………………….
จำก 1 – 4 เรำสำมำรถเขียนรำกท่ีสองได้โดยใชส้ ัญลักษณ์ดังนี้
1. รำกที่สองของ 1 = …………………………………. 2. รำกที่สองของ 4 = ………………………………….
3. รำกที่สองของ 25 = …………………………………. 4. รำกท่ีสองของ 64 = ………………………………….
ให้ a แทนจำนวนจรงิ บวกใด ๆ รากท่ีสองของ a คือ จำนวนจรงิ ท่ียกกำลังสองแล้วเท่ำกับ a
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และ
ดังนั้น สำมำรถเขียนรำกท่ีสอง โดยใช้สัญลักษณ์ได้ดังน้ี
1. รำกที่สองของ 9 = …………………………………. 2. รำกท่ีสองของ 81 = ………………………………….
3. รำกที่สองของ 36 = …………………………………. 4. รำกท่ีสองของ 100 = ………………………………….
5. รำกท่ีสองของ 144 = …………………………………. 6. รำกที่สองของ 6 = ………………………………….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความรู้เบ้อื งต้นเกยี่ วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
23
จำกนิยำมข้ำงต้น เรำสำมำรถสรุปและขยำยควำมได้ดังนี้
1. เน่ืองจำก รำกที่สองของ a = a และ a ทำให้ได้วำ่ ( a)2 a และ ( a)2 a
2. พิจำรณำกำรหำค่ำของกรณฑ์ที่สองของจำนวนที่กำหนดให้ดังน้ี
2.1 9 3 และเม่ือจัดจำนวนท่ีต้องกำรหำกรณฑ์ท่ีสองให้อยู่ในรูปยกกำลังสองได้ 32 3
2.2 25 5 และเมือ่ จัดจำนวนท่ีต้องกำรหำกรณฑ์ท่ีสองให้อยู่ในรูปยกกำลังสองได้ 52 5
จำก 2.1 – 2.2 ทำให้สำมำรถสรุปได้ว่ำ a2 a แต่มีบำงกรณีที่ข้อสรุปดังกล่ำวยังไม่ครอบคลุม
เช่น (4)2 4 ซ่ืงไมถ่ กู ต้อง เพรำะค่ำของกรณฑ์ท่ีสองต้องเป็นจำนวนจรงิ บวกเท่ำน้ัน
และเน่ืองจำก (4)2 42 4 เพอื่ ให้ครอบคลุมทุกกรณีจืงได้ข้อสรุปว่ำ a2 |a|
ตวั อย่าง
1. จงแสดงวธิ หี ำรำกท่ีสองของจำนวนท่ีกำหนดให้ โดยใช้ข้อสรุป a2 |a|
1. รำกท่ีสองของ 9 = …………………………………. 2. รำกที่สองของ 25 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
3. รำกที่สองของ 11 = …………………………………. 4. รำกท่ีสองของ 13 = ………………………………….
2. จงหำว่ำจำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นรำกท่ีสองของจำนวนใด
1. 3 เปน็ รำกที่สองของ …………………………. 2. -5 เป็นรำกที่สองของ ………………………….
3. 11 เปน็ รำกที่สองของ …………………………. 4. 13 เปน็ รำกท่ีสองของ ………………………….
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 8
1. จงแสดงวิธหี ำรำกที่สองของจำนวนที่กำหนดให้ โดยใชข้ ้อสรุป a2 |a|
พรอ้ มระบุวำ่ รำกท่ีสองที่หำได้เป็นจำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ
1. รำกท่ีสองของ 1 = …………………………………. 2. รำกท่ีสองของ 144 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 1 เปน็ …………………………………. รำกที่สองของ 144 เปน็ ………………………………….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรู้เบ้ืองต้นเก่ียวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
24
3. รำกท่ีสองของ 24 = …………………………………. 4. รำกท่ีสองของ 121 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 24 เปน็ ……………………………. รำกที่สองของ 121 เปน็ ………………………………….
5. รำกท่ีสองของ 36 = …………………………………. 6. รำกท่ีสองของ 100 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 36 เป็น ……………………………. รำกท่ีสองของ 100 เปน็ ………………………………….
7. รำกท่ีสองของ 45 = …………………………………. 8. รำกท่ีสองของ 16 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 45 เป็น ……………………………. รำกท่ีสองของ 16 เปน็ ………………………………….
9. รำกท่ีสองของ 4 = …………………………………. 10. รำกที่สองของ 81 = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
= …………………………………. = ………………………………….
รำกท่ีสองของ 4 เปน็ ……………………………. รำกท่ีสองของ 81 เป็น ………………………………….
2. จงหำว่ำจำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นรำกที่สองของจำนวนใด
1. 7 เปน็ รำกท่ีสองของ …………………………… 2. -3 เป็นรำกท่ีสองของ ……………….………………
3. 5 เปน็ รำกที่สองของ ………………………… 4. 2 เปน็ รำกท่ีสองของ …………………..…………
5. 2 เปน็ รำกท่ีสองของ ………………………… 6. 5 เปน็ รำกท่ีสองของ ………………………..……
7. 9 เปน็ รำกที่สองของ ………………………… 8. 3 เปน็ รำกท่ีสองของ ……………………………..
9. 2 3 เปน็ รำกท่ีสองของ ………………………… 10. 5 2 เปน็ รำกที่สองของ …….…………………….…
= …………….……………………. = ………………………………….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรูเ้ บ้ืองตน้ เกยี่ วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
25
4.2 การหารากท่ีสองโดยใชว้ ิธีแยกตัวประกอบ
จำกกำรทำกิจกรรมในหัวข้อ รูจ้ ักรำกท่ีสอง นักเรยี นคงพอจะทรำบมำบ้ำงแล้ววำ่ กำรหำ
รำกท่ีสองของจำนวนใด ๆ เชน่ รำกที่สองของ 9 สำมำรถทำได้โดย
รำกท่ีสองของ 9 = …………………………………. ; เขียนให้อยใู่ นรูปกรณฑ์ท่ีสอง ท้ังค่ำบวกและลบ
= …………………………………. ; จดั ให้อยู่ในรูป a2
= …………………………………. ; ใช้ข้อสรุป a2 |a|
แต่เม่อื ค่ำท่ีนักเรยี นต้องกำรหำรำกท่ีสอง เป็นจำนวนที่มีค่ำมำก ๆ ซ่ืงเป็นจำนวนที่
นักเรยี นอำจจะยังไมท่ รำบมำก่อนว่ำจำนวนน้ันสำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปยกกำลังสองได้เชน่ ไร
จืงจำเป็นต้องใช้วิธีกำรแยกตัวประกอบ เพื่อชว่ ยในกำรจัดให้อยู่ในรูปยกกำลังสอง ดังนี้
ตวั อยา่ ง 1 หำโดยใชข้ ้อสรุป a2 |a| หารสัน้
รำกที่สองของ 576 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ 576 = ………………………..……………….…………..….
= …………………….……………………………..…….
= ……………….……………….……………………….
= ………………………….……………….…………….
= ……………………………………..………………….
รำกที่สองของ 576 = ……………………………………..……………..….
หรือหาโดยใช้วิธีจับคูแ่ ล้วถอดกรณฑ์
รำกที่สองของ 576 = ………………………………………..……….……….
พจิ ำรณำ 576 = ………………………………………………..……….
= ………………..……………………………….……….
= …………………………..…………………….……….
= …………………………..…………………….……….
รำกที่สองของ 576 = ……………………………………..……………..….
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความรูเ้ บ้อื งตน้ เกยี่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
26
ตวั อย่าง 2 หำโดยใชข้ ้อสรุป a2 |a| หารส้นั
รำกที่สองของ 0.0676 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ 0.0676 = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกที่สองของ 0.0676 = …………………………………..…..……………..….
หรอื หาโดยใชว้ ธิ จี ับค่แู ล้วถอดกรณฑ์
รำกท่ีสองของ 0.0676 = …………………………………………..…….……….
พิจำรณำ 0.0676 = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกท่ีสองของ 0.0676 = …………………………………..…..……………..….
จำกตัวอย่ำงที่ 1 และ 2 นักเรยี นจะเหน็ ได้ว่ำ ค่ำของรำกท่ีสองท่ีเปน็ จำนวนตรรกยะ
ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอไป อำจจะเปน็ ทศนิยมซำ้ หรอื เศษส่วนของจำนวนเต็มก็ได้
กำรหำรำกที่สองนั้น อำจจะมีมำกมำยหลำยวธิ ี แตว่ ิธีที่นิยมใชม้ ำกที่สุดคือ กำรหำรำกท่ี
สองโดยใช้วธิ ีแยกตัวประกอบน่ันเอง ซ่ืงนักเรยี นอำจจะใชว้ ิธีตรง (หำโดยใชข้ ้อสรุป a2 |a| )
หรอื ใช้วิธลี ัด (จับค่แู ล้วถอดกรณฑ์) ก็แล้วแต่ควำมถนัดของนักเรยี น
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรู้เบ้อื งต้นเก่ยี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
27
นอกจำกกำรหำรำกท่ีสองจำกตัวอย่ำงที่ 1 – 2 แล้ว ยังมีอีกหลำยจำนวนท่ีไม่สำมำรถหำ
รำกท่ีสองที่เปน็ จำนวนตรรกยะได้ แต่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปกรณฑ์ท่ีสองอย่ำงง่ำยได้ เชน่
ตวั อยา่ ง 3 หำโดยใชข้ ้อสรุป a2 |a| หารสนั้
รำกที่สองของ 72 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ 72 = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกที่สองของ 72 = …………………………………..…..……………..….
หรือหาโดยใชว้ ิธจี ับค่แู ล้วถอดกรณฑ์
รำกที่สองของ 72 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ 72 = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกท่ีสองของ 72 = …………………………………..…..……………..….
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 9 หารส้ัน
1. จงหำรำกท่ีสองของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1. รำกท่ีสองของ 324 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ ………….. = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกที่สองของ 324 = …………………………………..…..……………..….
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรูเ้ บอ้ื งต้นเกี่ยวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
28
2. รำกท่ีสองของ 1,156 = …………………………………………..…….………. หารส้นั
พิจำรณำ ………….. = …………………………………………..…….………. หารสนั้
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกท่ีสองของ 1,156 = …………………………………………..…….……….
3. รำกที่สองของ 11,025 = …………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ ……..……….. = …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกท่ีสองของ 11,025 = …………………………………………..…….……….
4. รำกที่สองของ 144 = …………………………………………..…….………. หารสั้น
1, 225
พจิ ำรณำ ………….…..……….. = ……………………………………………..…….……….
= …………………………..…..……………..…….……….
= ……………………………………………..…….………. หารส้ัน
รำกท่ีสองของ 144 = …………………………………….………..…….……….
1, 225
5. รำกท่ีสองของ 56.25 = ………………………………………………..…….……….
พจิ ำรณำ ……….…..……….. = ……………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
= …………………………………………..…….……….
รำกที่สองของ 56.25 = …………………………………………..…….……….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความร้เู บ้อื งต้นเกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
29
2. จงทำให้อยู่ในรูปอย่ำงงำ่ ย 2. หารส้นั
1. หารสั้น
………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
………………………………………………
3. หารส้นั 4. หารสั้น
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
5. หารส้ัน 6. หารสน้ั
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
3. จงหำค่ำประมำณของกรณฑ์ท่ีสองในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ เมือ่ กำหนดให้ 2 1.414 , 3 1.732
5 2.236 (ตอบเปน็ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
1. 2. 3.
………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….
………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….
………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….
………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกีย่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
30
4.3 รู้จกั รากท่ีสาม
ให้ a แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ รากท่ีสามของ a คือ จำนวนจรงิ ท่ียกกำลังสำมแล้วเท่ำกับ a
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
a เป็นจานวนจริงลบ ไดไ้ หม ?
จำกนิยำมจะได้วำ่
1. รำกท่ีสำมของ 8 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ................. มคี ่ำเท่ำกับ .............. เพรำะ ……………………………
2. รำกที่สำมของ -8 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ................. มคี ่ำเท่ำกับ .............. เพรำะ ……………………………
3. รำกท่ีสำมของ 27 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ................. มคี ่ำเท่ำกับ .............. เพรำะ ……………………………
4. รำกท่ีสำมของ -27 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ................. มคี ่ำเท่ำกับ .............. เพรำะ ……………………………
จำกนิยำมข้ำงต้น เรำสำมำรถสรุปและขยำยควำมได้ดังน้ี 3 23 2
3
1. เน่ืองจำก รำกท่ีสำมของ a = 3 a ทำให้ได้ว่ำ 3 a a
2. พจิ ำรณำกำรหำค่ำของรำกที่สำมจำกตัวอย่ำงขำ้ งต้น พบว่ำ
2.1 3 8 2 เมือ่ จัดจำนวนท่ีต้องกำรหำรำกท่ีสำมให้อยู่ในรูปยกกำลังสำมจะได้
2.2 3 8 2 เม่อื จัดจำนวนที่ต้องกำรหำรำกท่ีสำมให้อยู่ในรูปยกกำลังสำมจะได้
3 (2)3 2
2.3 3 27 3 เมอ่ื จัดจำนวนท่ีต้องกำรหำรำกท่ีสำมให้อยู่ในรูปยกกำลังสำมจะได้ 3 33 3
2.4 3 27 3 เมอื่ จัดจำนวนท่ีต้องกำรหำรำกท่ีสำมให้อยู่ในรูปยกกำลังสำมจะได้ 3 (3)3 3
จำก 2.1 – 2.4 จืงได้ข้อสรุปว่ำ 3 a3 a
ตัวอยา่ ง
1. จงแสดงวิธีหำรำกที่สำมของจำนวนท่ีกำหนดให้ โดยใชข้ ้อสรุป 3 a3 a พรอ้ มระบุว่ำรำกที่สำม
ที่หำได้เป็นจำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ
1. รำกท่ีสำมของ 8 = ………………………………. 2. รำกท่ีสำมของ -27 = ……………………………….
= ………………………………. = ……………………………….
= ………………………………. = ……………………………….
รำกท่ีสำมของ 8 เปน็ ............................... รำกท่ีสำมของ -27 เปน็ ...............................
3. รำกที่สำมของ 9 = ………………………………. 4. รำกท่ีสำมของ -4 = ……………………………….
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความรเู้ บื้องต้นเก่ยี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
31
รำกที่สำมของ 9 เป็น............................... รำกท่ีสำมของ -4 เปน็ ...............................
2. จงหำวำ่ จำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เปน็ รำกที่สำมของจำนวนใด
1. 2 เปน็ รำกท่ีสำมของ ……………………………….. 2. -3 เปน็ รำกที่สำมของ ………………………………..
3. 3 9 เป็นรำกท่ีสำมของ ……………………………….. 4. 3 13 เปน็ รำกท่ีสำมของ ………………………………..
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 8
1. จงแสดงวธิ ีหำรำกที่สำมของจำนวนท่ีกำหนดให้ โดยใชข้ ้อสรุป 3 a3 a พรอ้ มระบุว่ำรำกที่สำม
ที่หำได้เป็นจำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ
1. รำกท่ีสำมของ 1 = ………………………………. 2. รำกท่ีสำมของ -64 = ……………………………….
= ………………………………. = ……………………………….
= ………………………………. = ……………………………….
รำกที่สำมของ 1 เปน็ ................................. รำกที่สำมของ -64 เป็น ............................
3. รำกท่ีสำมของ 125 = …………………………… 4. รำกที่สำมของ 16 = ……………………………….
= …………………………… = ……………………………….
= ……………………………. = ……………………………….
รำกที่สำมของ 125 เปน็ ........................... รำกที่สำมของ 16 เปน็ ...........................
2. จงหำวำ่ จำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ เปน็ รำกท่ีสำมของจำนวนใด
1. 3 เปน็ รำกที่สำมของ ………………………….. 2. -1 เปน็ รำกที่สำมของ …………………………..
3. 5 เปน็ รำกที่สำมของ ………………………….. 4. 7 เป็นรำกท่ีสำมของ …………………………..
5. 3 7 เปน็ รำกท่ีสำมของ ………………………….. 6. 3 13 เปน็ รำกท่ีสำมของ ………………………..
3. จงหำผลลัพธ์ = …………………………………….. 2. = ……………………………………..
1. = ……………………………………..
= ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความรู้เบือ้ งต้นเกี่ยวกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
32
4.4 การหารากที่สามโดยใชว้ ิธีแยกตัวประกอบ
จำกกำรทำกิจกรรมในหัวข้อ รูจ้ ักรำกท่ีสำม นักเรยี นคงพอจะทรำบมำบ้ำงแล้วว่ำ กำรหำ
รำกท่ีสำมของจำนวนใด ๆ เชน่ รำกท่ีสำมของ 8 สำมำรถทำได้โดย
รำกท่ีสำมของ 8 = ……………………………… ; เขียนเปน็ สัญลักษณ์
= ……………………………… ; จดั ให้อยู่ในรูป 3 a3
= ……………………………… ; ใช้ข้อสรุป 3 a3 a
แต่เมอื่ ค่ำท่ีนักเรยี นต้องกำรหำรำกท่ีสำม เป็นจำนวนท่ีมีค่ำมำก ๆ ซ่ืงเป็นจำนวนท่ี
นักเรยี นอำจจะยังไม่ทรำบมำก่อนวำ่ จำนวนนั้นสำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปยกกำลังสำมได้เช่นไร
จืงจำเป็นต้องใช้วิธีกำรแยกตัวประกอบ เพ่ือชว่ ยในกำรจัดให้อยู่ในรูปยกกำลังสำม ดังน้ี
ตวั อยา่ ง 1 หำโดยใชข้ อ้ สรุป 3 a3 a หารส้ัน
รำกท่ีสำมของ 216 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ ………………… = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกที่สำมของ 216 = …………………………………………….………………………
หรอื หาโดยใชว้ ธิ ีจับ 3 ตัวแลว้ ถอดออกจากเครอื่ งหมายกรณฑ์
รำกท่ีสำมของ 216 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ ………………… = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความรูเ้ บ้อื งตน้ เกยี่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
33
รำกที่สำมของ 216 = …………………………………………….……………………… หารสน้ั
ตัวอยา่ ง 2
รำกที่สำมของ 1.728 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ 3 1.728 = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกท่ีสำมของ 1.728 = …………………………………………….………………………
นอกจำกกำรหำรำกที่สองจำกตัวอย่ำงท่ี 1 – 2 แล้ว ยังมอี ีกหลำยจำนวนท่ีไม่สำมำรถหำ
รำกท่ีสองท่ีเปน็ จำนวนตรรกยะได้ แตส่ ำมำรถเขียนให้อยู่ในรูปอย่ำงงำ่ ยได้ เชน่
ขอ้ ควรรู้ หารสั้น
ตวั อยา่ ง 3
รำกที่สำมของ -1,944 = …………………………………………….………………………
พิจำรณำ 3 1,944 = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกที่สำมของ -1,944 = …………………………………………….………………………
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 9 หารส้นั
จงหำรำกท่ีสำมของจำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้
1. รำกที่สำมของ 648 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ …………………….. = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความร้เู บื้องต้นเกี่ยวกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
34
รำกท่ีสำมของ 648 = …………………………………………….……………………… หารสนั้
2. รำกที่สำมของ 3,375 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ …………………….. = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกท่ีสำมของ 3,375 = …………………………………………….………………………
3. รำกท่ีสำมของ 2,744 = …………………………………………….……………………… หารส้ัน
พิจำรณำ …………………….. = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกที่สำมของ 2,744 = …………………………………………….………………………
4. รำกท่ีสำมของ 27 = …………………………………………….……………………… หารสน้ั
512
พจิ ำรณำ …………………….. = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกที่สำมของ 27 = …………………………………………….………………………
512
5. รำกท่ีสำมของ 0.000216 = …………………………………………….……………………… หารสน้ั
พจิ ำรณำ ………..….……………. = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรู้เบอ้ื งต้นเกีย่ วกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
35
รำกที่สำมของ 0.000216 = …………………………………………….………………………
4.5 การหารากท่ีสองและรากท่ีสามโดยใชส้ มบัติของเลขยกกาลัง
ในกำรหำรำกท่ีสองหรอื รำกที่สำมของค่ำคงท่ี ที่มจี ำนวนมำก ซ่ืงเปน็ จำนวนนักเรยี นไม่
คุ้นเคยว่ำจำนวนน้ันเปน็ กำรยกกำลังสอง หรอื เปน็ กำรยกกำลังสำมของจำนวนใด นักเรยี นอำจ
หำรำกของจำนวนน้ันได้โดยใช้วิธกี ำรแยกตัวประกอบที่ได้เรยี นรูจ้ ำกหัวข้อทผ่ี ่ำนมำ แต่ถ้ำจำนวน
ที่นักเรยี นต้องกำรหำรำกเปน็ จำนวนท่ีอยู่ในรูปเลขยกกำลัง คงไมส่ ะดวกทนี่ ักเรยี นจะแยกตัว
ประกอบเพือ่ หำรำกของจำนวน ดังน้ัน จืงต้องใชส้ มบัตบิ ำงประกำรของเลขยกกำลังมำชว่ ยดังนี้
1. สมบัติ amn (am)n เชน่ ………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
2. สมบัติ am bm (a b)m เชน่ ………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
ตวั อย่าง 1 จงหำรำกที่สองของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้
รำกที่สองของ 25a8b12c14 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ 25a8b12c14 = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกท่ีสองของ 25a8b12c14 = …………………………………………….………………………
ตวั อยา่ ง 2 จงหำรำกที่สำมของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปน้ี
รำกท่ีสำมของ 64a15b12c27 = …………………………………………….………………………
พจิ ำรณำ 3 64a15b12c27 = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความร้เู บ้อื งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนันตา
36
รำกท่ีสำมของ 64a15b12c27 = …………………………………………….………………………
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 10
1. จงหำรำกที่สองของจำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี
1. รำกท่ีสองของ 16a6b14c12 = …………………………………………….………………………
พิจำรณำ …….……………………… = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกท่ีสองของ 16a6b14c12 = …………………………………………….………………………
2. รำกท่ีสองของ 81a12b8c6 = …………………………………………….………………………
พิจำรณำ …….……………………… = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
รำกที่สองของ 81a12b8c6 = …………………………………………….………………………
2. จงหำรำกท่ีสำมของจำนวนท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้
รำกที่สองของ 125a21b15c6 = …………………………………………….………………………
พิจำรณำ …….……………………… = …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
= …………………………………………….………………………
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความร้เู บือ้ งตน้ เกีย่ วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
37
รำกที่สองของ 125a21b15c6 = …………………………………………….………………………
4.6 การแก้สมการเก่ียวกับรากท่ีสองและรากท่ีสาม
ตัวอย่าง 1 จงหำค่ำของ y จำกสมกำรต่อไปนี้
1. 2.
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
ตัวอยา่ ง 2 จงหำค่ำของ m จำกสมกำรต่อไปนี้
1. 2.
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
3. 4.
…………………………………………….……………… …………………………………………….……………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….……………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….……………………
…………………………………………….……………… ………………………………………………….………………
…………………………………………….……………… ………………………………………………….………………
……………………………เอ…กส…า…รป…ร…ะ…กอ.…บก…า…รเ…รยี…น…รู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ค…ว…าม…ร…เู้ บ…อื้ …งต…้น…เก…ี่ย…วก…ับ…จ…าน…ว…นจ…ร…งิ …คร…ผู .ู้ส…อ…น…ค…ร…ูน…งนุช ชัยนนั ตา
38
ตรวจสอบควำมเข้ำใจ 11
1. จงหำค่ำของ y จำกสมกำรต่อไปน้ี
1. 2.
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
2. จงหำค่ำของ m จำกสมกำรต่อไปนี้
1. 2.
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
3. 4.
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
…………………………เอ…ก…สา…ร…ปร…ะ…กอ…บ.…กา…ร…เร…ียน…ร…ู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เ…รือ่…ง…ค…ว…าม…ร…ู้เบ…อื้ ง…ต…น้ …เก…ยี่ ว…ก…ับ…จา…น…วน.…จร…งิ …ค…รูผ…ู้ส…อน ครูนงนุช ชัยนนั ตา
…………………………………………….……………… …………………………………………….………………
39
5. การนาความรู้เก่ียวกับจานวนจริงไปใช้
แบบฝึกหัด
1. แน็กไป2ทำนข้ำวที่รำ้ นอำหำรแห่งหน่ืงกบั เพอื่ นทงั้ หมด 6 คนรวมแน็กด้วย ปรำกฏวำ่ เมอ่ื ทำน
เสรจ็ รำ้ นคิดค่ำอำหำรเป็นเงนิ จำนวนหน่ืงโดยแน็กได้ออกให้ก่อน และแน็กได้ใชเ้ ครอื่ งคิดเลขโดย
นำค่ำอำหำรท้ังหมดหำรด้วย 6 ได้ผลลัพธ์เป็น 130.8333... บำท ถ้ำแน็กให้เพอื่ นออกเงินกัน
คนละ 130 บำท อยำกทรำบว่ำแน็กออกเงินก่บี ำท
วธิ ที า ................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
2. กล่องกระดำษทรงลูกบำศก์ใบหน่ืงมคี วำมจุประมำณ 9,261 ลูกบำศก์เซนติเมตร จงหำว่ำ
กล่องกระดำษใบนี้มีด้ำนแต่ละด้ำนยำวกี่เซนติเมตร
วิธที า .................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรเู้ บือ้ งตน้ เก่ยี วกับจานวนจรงิ ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนันตา
40
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
3. สบู่ยี่ห้อหน่ืง แมค่ ้ำขำยปลีกให้ในรำคำก้อนละ 7 บำท แต่ถ้ำขำยส่งเปน็ โหลแล้วรำคำเฉลี่ย
โดยใชเ้ ครอ่ื งคิดเลขคำนวณได้ก้อนละ 5.41666... บำท จงหำวำ่ ซื้อในรำคำขำยปลีก 5 โหล กับซ้ือ
ในรำคำขำยส่ง 5 โหล ซ้ือในรำคำขำยส่งจะประหยัดกวำ่ เท่ำใด
วธิ ที า
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
4. แท็งก์น้ำทรงลูกบำศก์แท็งก์หน่ืงมคี วำมจุประมำณ 15.625 ลูกบำศก์เมตร จงหำว่ำแต่ละด้ำน
ของแท็งก์นำ้ ยำวกี่เมตร
วธิ ที า
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรียนรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรู้เบ้อื งต้นเกย่ี วกับจานวนจริง ครูผู้สอน ครูนงนุช ชัยนันตา
41
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
5. วงกลมมีพ้ืนทป่ี ระมำณ 2,464 ตำรำงเซนติเมตร วงกลมน้ีจะมีรศั มียำวประมำณก่ีเซนติเมตร
(กำหนดให้ 22 )
7
วธิ ที า
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
6. ถำดน้ำแข็งย่ีห้อหน่ืงทำน้ำแข็งยนู ิตทรงลูกบำศก์ท่ีมีควำมยำวด้ำนละ 4 เซนติเมตร ได้ 18 ก้อน
คุณแมบ่ อกวำ่ นำ้ แข็งที่ได้ก้อนใหญ่เกินไป จืงซ้ือถำดท่ีทำให้ได้น้ำแข็งมีปรมิ ำตรเท่ำเดิม แต่ทำ
นำ้ แข็งได้เพม่ิ ข้ืนเปน็ 24 ก้อน น้ำแข็งจำกถำดใหมแ่ ต่ละก้อนจะมคี วำมยำวของด้ำนประมำณกี่
เซนติเมตร (ตอบเปน็ ทศนิยม 2 ตำแหน่งและกำหนดให้ 3 6 1.817 )
วิธที า
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความร้เู บ้อื งต้นเก่ียวกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
42
.....................................................................................................................................................................................................
7. กล่องทรงลูกบำศก์ไม่มฝี ำปดิ ใบหน่ืง มคี วำมจุ 5,832 ลูกบำศก์เซนติเมตร กล่องใบนี้จะมพี ื้นท่ี
ผิวเท่ำกับเท่ำใด
วิธีทา
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
8. แท็งก์น้ำทรงลูกบำศก์ 2 ใบ ใบแรกบรรจนุ ้ำได้ 343 ลิตร ใบที่สองจุนำ้ ได้ 512 ลิตร แท็งก์ใบที่
สองมีด้ำนแต่ละด้ำนยำวกวำ่ แท็งก์ใบแรกกี่เซนติเมตร
วธิ ที า
.................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความรู้เบอื้ งตน้ เกี่ยวกับจานวนจริง ครผู ู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
43
.....................................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรยี นรู้ วิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความรู้เบ้ืองตน้ เกี่ยวกับจานวนจรงิ ครูผู้สอน ครูนงนชุ ชัยนนั ตา
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
- 1 - 45
Pages: