เอกสารการแปรผันต่อเนื่อง

ความสัมพนั ธร์ ะหว่างปรมิ าณใดๆ เม่อื ปรมิ าณหน่งึ เปล่ยี นแปลงไปแล้ว ส่งผลให้ปรมิ าณอ่นื ๆ
เปล่ยี นแปลงตามไปด้วยอย่างได้สดั สว่ นกนั ความสมั พันธ์ลกั ษณะน้ี เรียกว่า การแปรผัน

ในหัวข้อน้นี ักเรียนจะได้เรียนรู้ การแปรผนั อกี รูปแบบหน่งึ โดยมลี กั ษณะดงั น้ี
• การแปรผนั ระหว่างปริมาณหน่ึงกบั ผลคณู ของปรมิ าณสองปริมาณหรอื มากกว่า
• การแปรผันระหว่างปริมาณหน่งึ กบั ผลหารของอีกสองปรมิ าณ
• การแปรผันของปรมิ าณหน่งึ กบั ผลคูณและผลหารของอกี หลายปริมาณ

การแปรผนั ในลกั ษณะท่กี ล่าวมาน้ี เรียกว่า การแปรผนั เกยี่ วเนอื่ ง

การแปรผนั เกี่ยวเนอื่ ง (Joint Variation)

บทนยิ าม
ให้ y , x1 , x2 , x3 , … , xn แทนปรมิ าณใดๆ
y แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกับ x1 , x2 , x3 , … , xn เม่อื
y แปรผันตรงกับผลคูณของ x1 , x2 , x3 , … , xn

น่นั คือ y แปรผันเก่ยี วเน่ืองกับ x1 , x2 , x3 , … , xn

เม่อื y = k( x1 )( x2 )( x3 )…( xn )

โดยท่ี k เป็นค่าคงตวั ของการแปรผันและ k  0

เช่น 1) y แปรผนั เก่ยี วเน่ืองกับ x และ z เขยี นเป็นสัญลักษณ์ คอื y  xz

จะได้ว่า y = kxz เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k  0

1

2) a แปรผนั เก่ยี วเน่ืองกบั b , c และ d เขียนเป็นสัญลักษณ์

คือ a  (b)( 1 )(d) จะได้ว่า a = kbd เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k0
c c

ขอ้ สงั เกต :

1. การแปรผนั เกี่ยวเน่ือง คอื ความสมั พันธ์ของตัวแปรมากกว่าสองตัว

ในลกั ษณะท่คี ่าคงตวั เป็นตวั แปรตัวหน่ึงข้นึ กับตวั แปรมากกว่าหน่ึงตวั

2. กรณีทก่ี ล่าวว่า y แปรผันตรงกับ x และแปรผกผันกับ z

มีความหมายเช่นเดยี วกับข้อความต่อไปน้ี

1

• y แปรผันเกีย่ วเน่ืองกับ x และ z

1

• y แปรผันตรงกับ (x)( z )

ตวั อย่างที่ 1 ให้นกั เรียนเติม สญั ลักษณ์ และสมการของการแปรผนั ลงในช่องว่าง ให้ถูกต้อง

กาหนดให้ สญั ลกั ษณ์ สมการของการแปรผนั

เมอื่ k เป็ นคา่ คงตวั

1) A แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกบั x และ y A  xy A = kxy
C  ab2 A = k ab2
2) C แปรผันเก่ียวเน่อื งกบั a และกาลังสองของ b

3) E แปรผันเก่ยี วเน่อื งกบั a , b2 และ c3 E  ab2c3 E = kab2c3

4) x แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกบั 1 และ z x  ( 1 )( z) x = kz
y y y

5) A แปรผันตรงกบั m , n และแปรผกผนั กับ t A  mn A = kmn
t t

6) D แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกับ p , r และ D  (p)( r ) A = kp r
แปรผกผันกบั s2 s2 s2

จากตัวอย่างดงั กล่าว จะเหน็ ได้ว่า เราสามารถ เปล่ยี นข้อความ ประโยคภาษา
ให้กลายเป็น ประโยคสญั ลกั ษณ์ ซ่งึ จะง่ายต่อการเขยี นสมการของการแปรผัน น่นั เอง

มาลองดูตัวอย่างถดั ไปกันนะค่ะ
คราวน้ีถ้าหากเราร้สู มการของการแปรผนั แล้ว
เราสามารถ เขียนสญั ลักษณแ์ ละบอกค่าคงตัว กันได้ไหมเอย่ ...

ตวั อยา่ งที่ 2 เขยี นสัญลกั ษณข์ องการแปรผนั พร้อมบอกค่าคงตวั ของการแปรผัน ตามสมการ
ทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ี

สมการของการแปรผนั สญั ลกั ษณก์ ารแปรผนั คา่ คงตวั ของการแปรผนั

1) A = 2abc A  abc 2
5
2) C = 5 ab C  ab 4
3) E = 4m2nr
E  m2nr 5

4) x = 5y2 x  y2 2
z3 z3 5

5) m = 2 xy m xy
5z z

การหาค่าคงตัวของการแปรผนั เก่ยี วเน่ือง
นักเรียนได้เรียนรู้เก่ยี วกับบทนิยามของการแปรผันเก่ยี วเน่ืองกันมาแล้ว ซ่งึ จะทาให้สามารถเขียน
สญั ลกั ษณ์ และสมการของการแปรผนั เก่ยี วเน่ืองได้
มาทบทวนกนั อีกคร้ัง นะครับ

เม่อื y , x1 , x2 , x3 , … , xn เป็นปริมาณใดๆ
y แปรผันเก่ยี วเน่อื งกับ x1 , x2 , x3 , … , xn
เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ y  (x1)(x2)(x3)...(xn)
รปู สมการของการแปรผัน คือ y = k(x1)(x2)(x3)...(xn)
เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k  0

ตวั อยา่ งที่ 3 ถ้า a แปรผันเก่ยี วเน่อื งกับ b และ c โดยท่ี a = -18 เม่อื b = -6 และ c = 1

แล้วค่าคงตัวของการแปรผันเป็นเทา่ ไร

วธิ ีทา จาก a  bc จะได้ a = kbc เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0

แทนค่า a = -18 , b = -6 , c = 1 น่นั คอื k = −18 = 3
จะได้ -18 = k(-6)(1) −6

ดังน้นั ค่าคงตัวของการแปรผนั คอื 3

ตวั อย่างท่ี 4 ถ้า m แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกบั s และ 1 โดยท่ี m = 5 เม่อื s = 5 และ t = -2
t2 6

แล้ วค่าคงตัวของการแปรผันเป็ นเท่าไร

วิธีทา จาก m  (s)( 1 )
t2

จะได้ m = k(s)( 1 ) เม่อื k เป็ นค่าคงตวั และ k  0
t2

แทนค่า m= 5 , s = 5 , t = -2
6

จะได้ =5 k(5)

6 (−2)2

4

น่นั คือ k = 6

2

=3

2

ดังน้นั ค่าคงตวั ของการแปรผัน คอื 3

ตวั อย่างท่ี 5 กาหนดให้ P แปรผันเก่ยี วเน่ืองกับ a และ b และแปรผกผันกบั c2

โดยท่ี P = 12 เม่อื a = 3 , b = 4 และ c = 2 จงหาค่าคงตัวของการแปรผนั

วธิ ีทา จาก P  (a)( b ) ( 1 )
c2

จะได้ P = k(a)( b) เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0
c2

แทนค่า P = 12 , a = 3 , b = 4 , c = 2

k(3) 4

จะได้ 12 = 22

น่นั คือ k= (12)(4)
(3)(2)

= 48
6

=8

ดังน้นั ค่าคงตัวของการแปรผัน คือ 8

การหาจานวนตามเง่อื นไขทก่ี าหนด
การศกึ ษาเรยี นรู้ในหัวข้อต่อไปน้ี จะทาให้นักเรยี นสามารถคดิ คานวณ โดยการฝึกแก้ปัญหา หา
จานวนตามเง่ือนไขท่กี าหนด สิ่งสาคัญอย่างหน่ึงท่ตี ้องตระหนัก คือ การเขียนสัญลักษณ์ของการแปรผัน
แทนข้อความท่โี จทย์กาหนด และ สามารถเขียนรูปสมการเบ้ืองต้น ให้ถูกต้องก่อน หลังจากน้ันจึงเป็น
ข้นั ตอนการคิดคานวณหาคาตอบเป็นลาดบั ถดั ไป

ตัวอย่างต่อไปน้ี จะช่วยเสริมสร้างความรู้ ความเข้าใจ
ในเร่อื งน้ไี ด้ครับ ไปเรยี นร้พู ร้อมๆ กนั เลย

ตวั อย่างท่ี 6 ถ้า y แปรผันเก่ยี วเน่อื งกบั x และ z2 โดยท่ี y = 27 เม่อื x= 9 และ z = 1

แล้วจงหาค่า y เม่อื x = 4 , z = 10
วธิ ีทา กาหนดให้ y  xz2 จะได้ y =kxz2 เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k  0

แทนค่า y = 27 , x = 9 , z = 1
จะได้ 27 = k(9)(12)

27

น่นั คือ k = 9 = 3
สมการของการแปรผัน คือ y = 3xz2

หาค่า y เม่อื x = 4 , z = 10
จะได้ y = 3(4)(102) = 1,200

ดังน้นั เม่ือ x = 4 และ z = 10 จะได้ ค่า y เท่ากับ 1,200

ตัวอย่างท่ี 7 ถ้า z แปรผนั เก่ยี วเน่อื งกับ x2 และ 1 โดยท่ี z = 9 เม่อื x = 3 และ y = 4
y

แล้วจงหาค่าของ x เม่อื z = 18 และ y = 2

วธิ ีทา กาหนดให้ z  (x 2 )( 1 )
y

จะได้ z = kx 2 เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0
y

แทนค่า z = 9 , x = 3 , y = 4

จะได้ k(32 )
น่นั คอื
9= 4

k = (9)(4)
(9)

k=4

สมการของการแปรผัน คือ z= 4x2
y

หาค่า x เม่อื z = 18 , y = 2

จะได้ 4x2
น่นั คอื
18 = 2

=x2 18  2
4

=9

x = 3

ดงั น้นั เม่ือ z = 18 และ y = 2 จะได้ ค่า x เท่ากบั  3

ตวั อย่างท่ี 8 ถ้า x แปรผันเก่ยี วเน่อื งกบั y และ z และแปรผกผนั กบั รากทส่ี องของ t
โดยท่ี x = 100 เม่อื y = 25 , z = 2 และ t = 1
จงหาค่าของ y เม่อื x = 60 , z = 5 และ t = 4

วิธีทา กาหนดให้ x  (y)(z)( 1)
t

จะได้ x= kyz เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k  0
t

แทนค่า x = 100 , y = 25 , z = 2 และ t = 1

k(25)(2)

จะได้ 100 = 1

น่นั คือ k = (100)( 1)
(25)(2)

=2

สมการของการแปรผนั คือ x = 2yz
t

หาค่า y เม่อื x = 60 , z = 5 , t = 4

จะได้ (2)(y)(5)
น่นั คือ
60 = 4

y= 60  2
25

= 12

ดังน้นั เม่ือ x = 60 , z = 5 และ t = 4 จะได้ ค่า y = 12

การแก้โจทยป์ ัญหาการแปรผนั เก่ยี วเน่อื ง
การศึกษาและการเรยี นรู้เร่ืองราวต่างๆในชวี ิตประจาวัน นักเรียนมกั พบปัญหาในทาง
คณติ ศาสตร์ ในสถานการณ์ เหตกุ ารณต์ ่างๆ โดยเฉพาะองค์ความรู้ทเ่ี ก่ยี วข้องกับวิทยาศาสตร์ เช่น
พลังงานไฟฟ้ า แรงโน้มถ่วง ความเข้มเสียง พ้นื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของรูปทรงต่างๆ เป็นต้น
การฝึกฝนในการแก้ปัญหาโจทย์ ดงั กล่าว จะช่วยเสรมิ สร้างทกั ษะให้นักเรยี นมีความพร้อมและ
แก้ปัญหาได้อย่างคล่องแคล่วและมีประสทิ ธิภาพ ต่อไปน้เี ป็นตัวอย่างสถานการณ์

ตัวอย่างท่ี 9 พลังงานศกั ย์โน้มถ่วง (E) แปรผันเก่ยี วเน่ืองกบั มวลวตั ถุ (m) และความสงู ของ
วัตถุ (h) โดยทว่ี ตั ถมุ วล 10 กรมั มคี วามสูง 2 เมตร มพี ลงั งานความศักยโ์ น้ม
ถว่ ง 196 จูล ถ้าวตั ถุมมี วล 25 กรัม อยู่สงู จากพ้ืน 3 เมตร จะมีพลงั งานศักย์
โน้มถ่วงเท่าไร

วิธีทา จาก E  mh จะได้ E = kmh เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0
แทนค่า E = 196 , m = 10 , h = 2
จะได้ 196 = k(10)(2)

196

k = 20 = 9.8
สมการของการแปรผัน คือ E = 9.8mh
หาค่า E จาก m = 25 , h = 3
จะได้ E = (9.8)(25)(3) = 735 จูล
ดังน้นั วัตถุมมี วล 25 กรมั อย่สู ูงจากพ้นื 3 เมตร จะมพี ลังงานศกั ย์ 735 จูล

ตัวอย่างท่ี 10 ความเข้มของเสียง (I) แปรผนั ตรงกับพลงั งานเสยี ง (P) และแปรผกผนั กบั

กาลงั สองของระยะทางจากแหล่งกาเนดิ เสยี ง (R) โดยท่เี สยี งซ่งึ มคี วามเข้ม

5

6 วตั ต/์ ตารางเมตร ณ จุดท่หี ่างจากแหล่งกาเนิดเสียง 6 เมตร
มพี ลังงานเสียง 120  วัตต์ ณ จุดทห่ี ่างจากแหล่งกาเนิดเสยี ง 2 เมตร

มคี วามเข้มเสยี ง 12.5 วัตต/์ ตารางเมตร เสียงน้นั มีพลังงานเสยี งเท่าไร

วธิ ีทา จาก I  P จะได้ I = kP เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0
R2 R2

5

แทนค่า I = 6 , P = 120  , R = 6

จะได้ =5 k(120)

6 (6)2

น่นั คือ k = =(5)(36) 1
(6)(120) 4

P

สมการของการแปรผนั คือ I = 4R2

หาค่า P จาก I = 12.5 , R = 2

P

จะได้ 12.5 = 4(2)2

น่นั คือ P = (12.5)(4 )(4)

= 200 

ณ จุดท่หี ่างจากแหล่งกาเนดิ เสียง 2 เมตร มีความเข้มเสยี ง12.5 วตั ต์/ตารางเมตร

เสยี งน้นั มพี ลังงานเสยี ง 200  วตั ต์

ตวั อย่างท่ี 11 กาลังไฟฟ้ า (P) แปรผนั ตรงกับกาลงั สองของความต่างศักย์ (V) และแปรผกผัน

กับความต้านทานไฟฟ้ า (R) วทิ ยุมกี าลงั ไฟฟ้ า 200 วตั ต์ ใช้กับไฟฟ้ า

ความต่างศกั ย์ 220 โวลต์ เกดิ ความต้านทาน 242 โอห์ม โทรทศั นก์ าลังไฟฟ้ า

150 วตั ต์ ใช้กับไฟฟ้ าความต่างศักย์ 110 โวลต์ เกิดความต้านทานเท่าไร

วิธีทา จาก P  V2 จะได้ P = kV 2 เม่อื k เป็ นค่าคงตัว และ k  0
R R

แทนค่า P = 200 , V = 220 , R = 242

k (220)2

จะได้ 200 =

242

น่นั คอื k = =(200)(242) 48,400 =1
(220)2 48,400

V2

สมการของการแปรผัน คือ P = R

หาค่า P จาก P = 150 , V = 110

1102

จะได้ 150 = R

น่นั คือ R = 1102
150

= 80.67

โทรทศั น์กาลงั ไฟฟ้ า 150 วัตต์ ใช้กบั ไฟฟ้ าความต่างศักย์ 110 โวลต์

เกดิ ความต้านทาน 80.67 โอหม์

ตัวอย่างท่ี 12 ปริมาตรของทรงกระบอก (V) แปรผนั เก่ยี วเน่ืองกบั กาลงั สองของรศั มีหน้าตดั (r)

และความสงู (h) โดยทท่ี รงกระบอกมีปรมิ าตร 50  ลูกบาศก์น้วิ เม่อื มรี ศั มี 5 น้วิ

และสูง 2 น้วิ จงหาว่าทรงกระบอกซ่งึ มปี รมิ าตร 36  ลกู บาศกน์ ้วิ ความสูง 4 น้วิ

มรี ศั มหี น้าตัดเทา่ ไร
วิธีทา จากโจทย์ V  r2h

จะได้ V = kr2h เม่อื k เป็นค่าคงตัว และ k  0

แทนค่า V = 50  , r = 5 และ h = 2

จะได้ 50  = k(52 )(2)

น่นั คอื 50

k = (25)(2) = 

สมการของการแปรผนั คือ V = r2h

หาค่า r เม่อื V = 36  และ h = 4

จะได้ 36  = r2(4)

น่นั คือ r2 = 36 = 9
4

ดังน้นั r = 3

ดงั น้นั ทรงกระบอกซ่งึ มปี ริมาตร 36  ลูกบาศก์น้วิ มีรัศมีหน้าตดั 3 น้วิ

ตัวอย่างท่ี 13 กฎของโอห์มกล่าวว่า กระแสไฟฟ้ าในเส้นลวดแปรผนั ตรงกบั แรงเคล่อื นและ

แปรผกผนั กบั แรงต้านทาน โดยท่กี ระแสไฟฟ้ าท่เี ทา่ กับ 22 แอมแปร์ มีแรงเคล่อื น

เป็น 110 โวลต์ และความต้านทานเป็น 5 โอหม์ จงหากระแสไฟฟ้ าเม่อื แรงเคล่อื น

เป็น 220 โวลต์ และมีความต้านทานเป็น 16 โอห์ม

วธิ ีทา ให้ I แทน กระแสไฟฟ้ า

E แทน แรงเคล่อื น

R แทน แรงต้านทาน

จากโจทย์ I E
R

จะได้ I= kE เม่อื k เป็นค่าคงตวั และ k  0
R

แทนค่า I = 22 , E = 110 และ R = 5

จะได้ 22 = k 110
5

น่นั คือ (22)(5)

k = 110 = 1

สมการของการแปรผัน คอื I= E
R

หาค่า I เม่อื E = 220 และ R = 16

220

จะได้ I = 16 = 13.75

เม่อื แรงเคล่อื นเป็น 220 โวลต์ และความต้านทานเป็น 16 โอห์ม