ETUDE DE FONCTION

Etude des fonctions

Prof. Hayat KHALOUFI

I. Branches infinies

Dans tout ce chapitre, est une fonction numérique, son ensemble de définition
et sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; ⃗ , ⃗ )

L´étude des branches infinies a pour objectif de comprendre en d´détails le comportement de la
courbe de la fonction

Pour cela on calcule les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction

Définition: On dit que la courbe " de fonction admet une branche
infinie, lorsque l'une au moins des coordonnées d’un point ( ; )
de " tend vers l'infini.

1) Asymptote verticale

Si: 3l→im56 = ±∞ ou 3l→im5: = ±∞ Alors la droite d'équation
= est une asymptote à la courbe "

Remarque: une asymptote verticale est une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

Quatre cas possibles

Exemple: Soit la fonction définie sur ℝ ∖ 1 par: = ? + 3
3@A

On a: 3l→imA6 = +∞ et 3l→imA: = −∞

Alors: " admet une asymptote verticale d'équation = 1

2) Asymptote horizontale

Si: lim = Alors la droite d'équation = est une asymptote à

3→±E

la courbe " au voisinage de ±∞

Remarque: une asymptote verticale est une asymptote parallèle à l’axe des abscisses

Exemple: Soit la fonction définie sur ℝ ∖ 1 par: = ? + 3
3@A

Calculons lim
3→HE
3@? A=0
On a lim − 1 = +∞. Par quotient, on a: lim

3→HE 3→HE
Donc lim = 3
3→HE
Ainsi, la droite d’équation = est une asymptote horizontale à "
au voisinage de +∞

3) Asymptote oblique ( = ±∞)
→±E

Définition: La droite d'équation = + est une asymptote oblique à la
courbe " si et seulement si lim = 0 ou lim
3→HE − ( + ) 3→@E − ( + ) =0

Exemple: Soit la fonction définie sur ℝ ∖ 1 par: = 2 − 1 − R
3

On a: 3l→imHE − (2 − 1) = lim − R =0
De même on a: 3l→im@E − 3 lim
3→HE R
3→@E 3
(2 − 1) = − = 0

Alors: La droite d’ équation = 2 − 1 est une asymptote oblique
à la courbe " au voisinage de +∞ et au voisinage de −∞

Remarque:

" est au dessus de ∆ : = + ⟺ − > 0
" est au dessus de ∆ : = + ⟺ − < 0

4) Les branches paraboliques

Détermination de la nature de la branche parabolique dans le cas où = ±∞
→±∞

Si: = ±∞ Alors admet une branche parabolique de direction ( )

→±∞

Exemple: = ?

On a: = +∞ et = = +∞

→H∞ →H∞ 3→HE



Si: = Alors admet une branche parabolique de direction ( )

→±E

Exemple: = "3 A
3 3
On a: = +∞ et = = 0

3→HE 3→HE 3→HE



Si: = ( ∈ ℝ∗), on calcule alors −
→±E
→±E

Si: − = ±∞ Alors admet une branche parabolique de direction

→±E
la droite d’équation =

Exemple: = − 2 "3 ?
3 3
On a: = +∞ et = 1 − = 1

3→HE 3→HE 3→HE
Et on a: − 1 = −2 = − ∞
3→HE 3→HE

Alors admet une branche parabolique de direction la
Droite d’équation = au voisinage de +∞

Si: − = ( ∈ ℝ) Alors la droite d’équation = +

→±E

est une asymptote oblique à " au voisinage de ±∞.

Exemple: = R3`H3
3HA
"3
On a: = 3 = + ∞ et 3 =3

3→@E 3→@E @?3 3→@E
3HA
Et on a: − 3 = = − 2

3→@E 3→@E

Alors la droite d’équation = 3 − 2 est une asymptote oblique à "
au voisinage de −∞

Les branches infinies

Exercice 1

Etudier les branches infinies des fonctions définies par:

1) = 3`@a3H?
3`@A

2) = 3 c@3`@3HA
3`

3) ℎ = + 2 − 3 + 1

Exercice 2

Exercice 3