PENERAPAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENGHITUNG LUAS DAERAH

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

DAILNLATUPMEEAGNSMREDAERNAAL GPETRAHEANNITHTUUNG

OLEH KELOMPOK 6
NADILA CEMPAKA HANY (4202431016)

TIARA RITONGA (4203131044)
NIKI ARIH ERSADA BR. SEMBIRING (4203131074)

ARFITO NUGROHO (4203131015)

DOSEN PANGAMPU:
ERI WIDYASTUTI S. Pd. M. Sc.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena telah
memberi rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Ebook ini tepat
pada waktunya. Adapun dalam Ebook ini penulis membahas mengenai “Penerapan Integral
Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah”. Ebook ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas
mata kuliah Matematika Dasar.
Penulis menyadari dalam menyelesaikan Ebook ini tidak lepas dari bantuan berbagai
pihak, oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada
Ibu Eri Widyastuti S.Pd., M.Sc selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika Dasar yang
telah membimbing penulis dalam penyelesaian Ebook ini. Penulis juga mengucapkan terima
kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu dalam penyelesaian Ebook ini yang tidak bisa
penyusun sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa penyusunan Ebook ini masih jauh dari kata sempurna, akibat
keterbatasan waktu dan kemampuan penulis serta sarana dan prasarana yang kurang dan ini
merupakan langkah yang baik dari studi yang sesungguhnya. Oleh karena itu, kritik dan saran
yang membangun senantiasa penulis harapkan untuk perbaikan kedepannya. Akhir kata
semoga Ebook ini dapat menambah pengetahuan dan pemahaman kita mengenai ilmu
Matematika dan semoga Ebook ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Medan, Desember 2020
Tim Penulis,

KELOMPOK 6

i

DAFTAR ISI
Kata Pengantar................................................................................................................... i
Daftar Isi ............................................................................................................................ ii
PENERAPAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENGHITUNG LUAS DAERAH
A. Inspirasi........................................................................................................................ 1
B. Kompetensi Dasar........................................................................................................ 1
C. Urain Materi

1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dengan Sumbu X .................................... 2
2. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva ................................................. 6
Rangkuman ...................................................................................................................... 10
Latihan (Uji Kompetensi) ................................................................................................ 11
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 12
GLOSARIUM ................................................................................................................. 13

ii

PENERAPAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENGHITUNG LUAS DAERAH

A. INSPIRASI
Pernahkan kalian memikirkan bagaimana cara menghitung luas suatu daerah? Misalkan

luas layang-layang atau luas sebuah bidang datar tidak beraturan. Ada sebuah metode yang
dapat digunakan untuk untuk mengukur luas dari sebuah benda yang tidak beraturan yaitu
dengan menggunakan integral. Bagaimana cara kita menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah sebuah benda? Pada integral, kita perlu mengetahui fungsi dari benda tersebut,
yang dapat dinyatakan sebagai y= f(x) dan x=g(y). Selanjutnya dengan menggunakan batas-
batas tertentu, kita baru dapat menentukan luas dari benda yang kita inginkan.

Jadi, untuk memahami integral, ukan kemampuan dalam turunan fungsi, sehingga tidak
akan sulit untuk mengerti. Selain itu, jika sudah mengetahui trik-trik khusus dalam integral,
tentu akan sangat membantu mempermudah dalam memecahkan masalah. Seperti untuk
menghitung luas suatu daerah penerapan integral tentu dapat dilakukan, sehingga luas suatu
daerah yang dicari dapat diketahui. Untuk lebih jelasnya dalam mengetahui lebih rinci
tentang penerapan integral tentu dalam menghitung luas suatu daerah pelajari materi berikut
dengan seksama.

B. KOMPETENSI DASAR
1. Memahami konsep penerapan integral tentu dalam menghitung luas daerah
2. Mengetahui cara merumuskan luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva
3. Mampu menggambarkn sketsa dari kurva suatu fungsi
4. Menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah
5. Mempresentasikan tentang penerapan integral tentu dalam menghitung luas daerah

1

C. URAIAN MATERI

Berdasarkan konstruksinya, integral tentu dari fungsi kontinu f pada [a,b] menyatakan luas

daerah D = {( , ): ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ( )}, seperti diperlihatkan pada gambar dibawah.

Jadi kita mempunya definisi berikut tentang luas daerah dibidang.

Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f pada [a,b]

dengan ( ) ≥ 0 pada [a,b], garis x=a, garis x=b, dan sumbu x.

Daerah D dapat ditulis = {( , ): ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ( )},

dengan f kontinu pada [a,b]. Luas D didefinisikan sebagai



= lim ∑ ( )∆ = ∫ ( )

→0 =1

Untuk fungsi f yang memotong sumbu x, definisinya sebagai berikut:

Luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f pada [a,b], garis x = a, garis x = b,
dan sumbu x didefinisikan sebagai = l i→m0| ( )|∆ = ∫ | ( )|

Catatan: definisi ini dapat dimodifikasi untuk x sebagai fungsi dari y.

1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dengan Sumbu X
Untuk merumuskan integral tentu bagi luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dengan

sumbu X, perhatikan kurva = ( ) yang ditampilkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 1.

2

Kurva ini merupakan fungsi kontinu dan tak negatif ( ( ) ≥ 0) dalam interval
tertutup ≥ ≥ . Daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ) sumbu X, garis = , dan
garis = misalkan dilambangkan dengan D1. Luas daerah D1 dapat ditentukan dengan
menggunakan proses limit.

Luas daerah D1 dirumuskan dengan menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut :



( 1) = ∫ ( )



Pada gambar diatas diperlihatkan kurva = ( ) dengan ( )merupakan fungsi kontinu
dan tak positif ( ( ) ≤ 0) dalam interval tertutup [ , ] . Berdasarkan sifat integral tertentu
menyatakan bahwa jika ( ( ) ≤ 0) maka∫ ( ) ≤ 0. Misalkan D2 adalah daerah yang
dibatasi oleh kurva = ( ), sumbu X, garis = , dan garis = .

Dengan mengingat bahwa luas daerah harus bernilai positif, maka luas daerah D2 dapat
dirumuskan dengan integral sebagai berikut :



( 2) = − ∫ ( ) ( 2) = |∫ ( ) |



Dengan demikian, luas daerah dapat dirumuskan dengan menggunakan integral melalui
hubungan sebagai berikut :

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ), sumbu X, garis = , dan garis =
ditentukan oleh:



= ∫ ( ) , ( ) ≥ 0




= − ∫ ( ) = |∫ ( ) | , ( ) ≤ 0



Hubungan diatas menunjukan bahwa dalam merumuskan luas daerah yang dibatasi oleh
satu kurva, perlu digambarkan terlebih dahulu sketsa dari kurva fungsi yang bersangkutan.
Dari sketsa kurva yang diperoleh dapat ditentukan positif atau negatifnya fungsi ( ),
sehingga dapat ditetapkan rumus mana yang akan digunakan.

3

Contoh 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. kurva = ( ) = 3 2 + 6 , sumbu X, dan garis-garis = 0 dan = 2.
b. kurva y = f (x) = x3 − x dan sumbu X.

Jawab:

(a) (b)

Gambar 2.
a) Daerah yang dibatasi oleh = ( ) = 3 2 + 6, sumbu X, dan garis-garis = 0 dan =

2 diperlihatkan oleh bagian yang diraster pada Gambar 2-a. Dalam interval tertutup 0  x  2
, nilai dari fungsi = ( ) = 3 2 + 6 positif. Dengan demikian, luas daerah itu ditentukan

oleh:

2

= ∫(3 2 + 6 )

0

 L = 2
x3 + 3x2 0

= {(2)3 + 3(2)2} − {(10)3 + 3(0)2}

= 20

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ) = 3 2 + 6, sumbu X, dan garis-garis

= 0 dan = 2adalah = 20 satuan luas.

4

b) Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) = x3 − x dan sumbu X diperlihatkan oleh bagian

yang diraster pada Gambar 2b.
Titik potong kurva y = f (x) = x3 − x dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 .

x3 − x = 0
x(x + 1)(x −1) = 0
x = −1 atau x = 0 atau x = 1

• Dalam interval −1  x  0 , nilai dari f (x) = x3 − x  0

Luas daerah D1 ditentukan oleh:

( )0

L(D1 ) = x3 − x dx
−1

➢ L( D1 ) = 1 x4 − 1 x2 0 = (0 − 0) −  1 − 1  = 1
 4 2  −1  4 2  4


• Dalam interval 0  x  1, nilai dari f (x) = x3 − x  0

Luas daerah D2 ditentukan oleh :

( )1

L(D2 ) = − x3 − x dx

0

➢ L(D2 ) = − 1 x4 − 1 x 2 1 =  1 − 1  − (0 − 0) = 1
4 2  0  4 2  4


Luas daerah yang diraster merupakan jumlah luas daerah D1 dengan luas daerah D2

L = L(D1 ) + L(D2 ) = 1 + 1 = 1
4 4 2

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) = x3 − x dan sumbu X adalah

L = 1 satuan luas
2

LINK VIDEO PEMBELAJARAN:
https://youtu.be/8Xvldauovyo
https://youtu.be/h499JWo4Fqw

5

2. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Beberapa Kurva
Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan = ( )

dan = ( ). Kedua kurva ini merupakan kurva-kurva yang kontinu dengan ( ) ≥ ( )
dalam suatu interval tertutup ≤ ≤ . Daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ),
kurva = ( ), garis = , dan garis = ditunjukkan oleh bagian yang diraster pada
gambar 3.

Gambar 3.
Dengan mengacu pada Gambar 3, luas daerah yang diraster (yaitu luas daerah ABCD
merupakan selisih antara luas daerah EFCD dengan luas daerah EFBA. Dengan demikian,
luas darah ABCD ditentukan oleh:

Luas daerah ABCD = luas daerah EFCD – luas daerah EFBA
Luas daerah ABCD = ∫ ( ) − ∫ ( )
➢ Luas daerah ABCD = ∫ { ( ) − ( )}
Berdasarkan paparan diatas, luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dapat dirumuskan
dengan menggunakan aturan sebagai berikut.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva = ( ), kurva = ( ), garis = ,
dan garis = ditentukan dengan rumus

∫ { ( ) − ( )}
Dengan catatan ( ) ≥ ( ) dalam interval tertutup ≤ ≤
Contoh 2

de 6

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva = , kurva = 2 , garis = 1, dan
garis = 2.
Jawab:

Gambar 4.

Daerah yang dibatasi oleh kurva = , kurva = 2 , garis = 1, dan garis

= 2 diperlihatkan oleh bagian yang diraster pada Gambar 4. Dimisalkan = 2 =

( )dan = = ( ), maka ( ) ≥ ( ) dalam interval1 ≤ ≤ 2.

Luas daerah yang diraster pada Gambar 4, dapat dirumuskan dan dihitung sebagai berikut:
➢ = ∫12{ ( ) − ( )}
➢ = ∫12{(2 ) − ( )}
➢ = ∫12

➢ L =  1 x 2 2
 2 1

➢ = 1 1

2

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva = , kurva = 2 , garis = 1, dan garis = 2

adalah = 1 1 satuan luas.

2

Contoh 3

7

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = sin x , kurva y = cos x , garis x = 0 , dan garis
x = 2 .
Jawab:

Gambar 5.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x , kurva y = cos x , garis x = 0, dan garis x = 2

diperlihatkan pada bagian yang diraster pada Gambar 5.
Perhatikan bahwa kurva y = sin x dan kurva y = cos x berpotongan di titik dengan absis

=  dan x = 5
44

• Dalam interval 0  x   nilai cos x  sin x , sehingga luas daerah D1 dihitung sebagai
4

berikut.


2

L(D1 ) =  (cos x − sin x)dx
0

L(D1 ) = (sin 
)4
➢ x + cos x 0

➢ L(D1 ) =  sin  + cos   − (sin 0 + cos 0)
 4 4 

➢ L(D1 ) =  1 2+1 2  − (0 + 1)
 2 2


➢ L(D1 ) = 2 −1

• Dalam interval   x  5 nilai sin x  cos x , sehingga luas daerah D2 dihitung sebagai
44

berikut.

8

5
2

L(D2 ) =  (sin x − cos x)dx

4

5

➢ L(D2 ) = − (cos x + sin x)4

4

➢ L(D2 ) = − cos 5 + sin 5  − cos  + sin  
 4 4  4 4 

➢ L(D2 ) = − − 1 2−1 2  −  1 2+1 2 
 2 2  2 2 

➢ L(D2 ) = 2 2

• Dalam interval 5  x  2 nilai cos x  sin x , sehingga luas daerah D3 dihitung sebagai
4

berikut.

2

L(D3 ) =  (cos x − sin x)dx
5

4

➢ L(D3 ) = (sin x + cos )x2
5

4

➢ L(D3 ) = (sin 2 + cos 2 ) − sin 5 + cos 5 
4 4 


➢ L(D3 ) = (0 + 1) −  − 1 2−1 2 
 2 2 

➢ L(D3 ) = 1+ 2

Luas daerah yang diraster merupakan penjumlahan dari luas daerah D1, luas daerah D2 , dan

luas daerah D3 :

L = L(D1 ) + L(D2 ) + L(D3 )

L = ( 2 −1)+ (2 2)+ (1+ 2) = 4 2

Luas daerah yang dibatasi oelh kurva y = sin x , kurva y = cos x , garis x = 0 , dan garis

x = 2 adalah L = 4 2 satuan luas.

LINK VIDEO PEMBELAJARAN
https://youtu.be/XIbui3w0FBw
https://youtu.be/4Lm0B2J2GNA

RANGKUMAN
1. Integral tentu adalah nilai dari jumlah luas dibawah suatu kurva tertentu dalam interval a ≤

x ≤ b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral tertentu.

9

2. Berdasarkan konstruksinya, integral tentu dari fungsi kontinu f pada [a,b] menyatakan luas

daerah L = {( , ): ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ ( )}.

L= lim ∑ =1 ( )∆ = ∫ ( )

→0

3. Dalam penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah dapat dilakukan dengan

menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang

dibatasi kurva dengan sumbu y.

4. dalam merumuskan luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva, perlu digambarkan terlebih
dahulu sketsa dari kurva fungsi yang bersangkutan. Dari sketsa kurva yang diperoleh dapat

ditentukan positif atau negatifnya fungsi f (x) , sehingga dapat ditetapkan rumus mana

yang akan digunakan.

4. Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dapat digunakan

rumus:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) , sumbu X, garis x = a , dan garis x = b

ditentukan oleh:

b

L =  f (x) dx, untuk f (x)  0

a

bb

L = − f (x) dx atau L =  f (x) dx , untuk f (x)  0

aa

5. Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat digunakan rumus :

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) , kurva y = g(x) , garis x = a , dan garis

x = b ditentukan dengan rumus

b

f (x) − g(x) dx

a

Dengan catatan f (x)  g(x) dalam interval tertutup a  x  b .

LATIHAN (UJI KOMPETENSI)

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = x + 5, sumbu X, garis x = 1 dan

garis x = 5

10

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan fungsi y = x2 – 4x, sumbu X,
dan garis y = x

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3-3x2 – x + 3, sumbu X, dan garis
x=3

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi garis y = x + 4 dan fungsi garis y = x
5. Hitunglah luas-luas daerah berikut ini.

a. Dibatasi oleh kurva parabola = ( ) = 1 + 2 dan garis = 10
b. Dibatasi oleh kurva parabola = ( ) = 3 2 − 9, sumbu Y, garis = 0 , dan

garis = 1
6. Hitunglah lua-luas daerah berikut ini

a. Dibatasi oleh kurva = + 1, garis = 1, dan garis = 2
b. Dibatasi oleh kurva = − 1, kurva = 3 − , dan = 0

DAFTAR PUSTAKA
BSW, Pudjiastuti. 2006. KALKULUS-Diferensial & Integral. Yogyakarta: Graha Ilmu

11

Lutfi, Mohammad. Pembelajaran Konsep Penyelesain Integral Tentu. Diakses tanggal 3
Desember 2020. Link download: https://media.neliti.com/media/publications/123859-ID-
pembelajaran-konsep-penyelesaian-integra.pdf

Pandu K. Yafet. (2019). Penerapan Integral Numerik Dalam Menghitung Luas Daerah Tidak
Beraturan. Asimtot: Jurnal Kependidikan Matematika. 1(2), 127-132. ISSN: 2685-9580.

Pinem, Mhd Daud. 2017. Kalkulus Untuk Perguruan Tinggi. Bandung: Rekayasa Sains
Sudaryono. 2015. KALKULUS DIFERENSIAL DAN INTEGRAL (Teori dan Aplikasi).
Wirodikromo, Sartono. 2006. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XII. Jakarta: Erlangga
https://www.madematika.net/2016/12/aplikasi-integral-tentu-untuk.html

12

GLOSARIUM
Berpotongan berarti adanya dua buah garis yang sebidang dan mempunyai satu titik
persekutuan yang merupakan titik potong kedua garis tersebut.
Diraster berarti menarik garis-garis kecil sejajar untuk mendapatkan efek bayangan ketika
menggambar, melukis, dan sebagainya. Secara sederhana diraster artinya diarsir.
Fungsi kontinu dalam matematika adalah fungsi yang bila dijelaskan secara intuitif,
perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran.
Grafik adalah gambar pasang surut suatu keadaan dengan garis atau gambaran.
Interval tertutup adalah seperangkat bilangan real antara dua bilangan real a, b. Jika kedua
titik akhir termasuk keduanya dan ditulis [a, b].
Kurva yang kontinu adalah kurva yang berkesinambungan.
Limit Fungsi merupakan salah satukonsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang
kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Luas daerah adalah daerah yang dibatasi oleh kurva dan dapat ditentukan dengan
menggunakan konsep integral tentu.

13